Solucionario - Resistencia de Materiales 7 Rusos | 7 PROBLEMAS | "SIETE"

(1)

(2)

PROBLEMA 69: PROBLEMA 69:

Calcular las tenciones normales en los elementos elásticos de los sistemas sometidos a la acción de fuerzas Calcular las tenciones normales en los elementos elásticos de los sistemas sometidos a la acción de fuerzas de

de módulo de módulo de elasticidad es elasticidad es E.E.

2 2 1 1 F F == 4c4cmm 2 2 2 2 55 F F  cmcm 3 3 5 5 1010 P P    KgKgf f SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: D.C.L. D.C.L. Por estática: Por estática:



 0 0 A A M M 1 1 ((2 2 ccoos ) s ) ( ( ) ) 22((2 2 ccoos )s ) T T aa __ PP aa TT aa __ OO      1 1 22

((22ccooss ))   T T   P P 22T T ccooss 

1 1 22 4 4 2 2 ...((11)) 5 5 T T   T T  P P

Las deformaciones de las barras elásticas. Las deformaciones de las barras elásticas.

1 1 11 11 11 1 1 1 1 11 ( ( 22) ) 22 ... ...( ( )) 4 4 44 ll T T T T a a AAT T l l aa E

E F F E E E E

      2 2 22 22 22 2 2 2 2 22 ( ( 55) ) 55 ... ...( ...( )) 2 2 22 l l T T T T a a aaT T l l bb E

E A A E E E E

      1 1 22 2 2 22 2 2( ( ) ) 2 2 ( ( )) 2 2 T T P P T T 55    A A C C

(3)

2 2 sseec c 11sseecc4455 l l   l l      2 2 11 53 53 s seec c sseecc 4455 2 2 l l    l l     __ _        2 2 11 5 5 ( ( ) ) 22 2 2 l l l l        2 2 11

5

l l

2 2 2

2 ...(

l l

( ))

I I        Reemplazando

Reemplazando (a) (a) y (b) y (b) en (I)en (I) se tiene: se tiene: ₅₍₅₍ 5 5 2 2 ₎_{) 2}_{2 2}₂₍₍ 22 11₎₎ 5

5 44

a

a TT aa TT

E

E E E

  2 2 11 T T T T   

Ahora reemplazando en:

Ahora reemplazando en: 2 2 ₁₁ 44 ₁₁ ...((11)) 5 5 T T   T T  P P 1 1 11 1 1 11 4 4 2 2 5 5 4 4 ( ( 2 2 )) 4 4 5 5 ₂₂ 5 5 T T T T P P P P T T P P T T             Pero Pero P P   55000000Kgf Kgf   T T 11 15156611Kgf Kgf 2 2 15611561 T T  KKggf f

Por lo que las tensiones normales

Por lo que las tensiones normales ( ( ))  son:son:

2 2 1 1 1 1 1 1 3 39900 // T T Kgf Kgf cmcm F F      RptaRpta 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3112 2 // T T Kgf Kgf cmcm F F      Rpta. Rpta.

(4)

PROBLEMA 77: PROBLEMA 77:

Calcular las tenciones del montaje,

Calcular las tenciones del montaje, es la magnitudes la magnitud lineal del error cometido al elaborar el elemento lineal del error cometido al elaborar el elemento elástico del sistema, considerarse que elástico del sistema, considerarse que

6 6 22 2 2 110 0 // E E    Kgf Kgf cmcm .. 1 1 2 2 2 2 F F F F F F F F     SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: D.C.L. D.C.L. Por equilibrio: Por equilibrio:



M M 00 00 1

1 ((4 4 ccoos ) s ) 2 2 ((2 2 ccoos s ) ) 22((2 2 ccoos s ) ) 00

T T aa __ TT aa __ TT aa __      1 1 ((4 4 ccoos s ) ) 22((4 4 ccoos s ) ) 00 T T aa __ TT aa __      1 1 22 T T T T      Pero: Pero: T T ₁₁ __  ₁₁F T F ₁₁__T ₂₂ __  ₂₂F F ₂₂ Luego: Luego:T T ₁₁--T T ₂₂ 1 1 1 F F 1 2 2 2F F 2     1 1 22 F F 22F F       2 2 T T   _Es_{Es de c}_{de contracción}_ontracción 2 2 1 1 2 2    Diagrama de deformaciones Diagrama de deformaciones Por semejanza de

Por semejanza de triángulotriángulos.s.

2 2 1 1 2 2     m m m m       2 2 2 2 1 1 11 2 2 11 2 2 11 2 2 22(( l l )) l l E

E E E                   Pero Pero ll = a₂₂= aCCssc c y   y ll = a₂₂= aCCsscc  2 2 11 2( 2( aaCCssc c )) aaCCsscc E

E E E



   



(5)

a a 1 1 5 5 EsenEsen a a        

Por lo tanto las tensiones en el

Por lo tanto las tensiones en el montaje son:montaje son: 11

5 5 Esen Esen a a       _y_y 2 2 2 2 5 5 Esen Esen a a       PROBLEMA 81 PROBLEMA 81

Determinar las tenciones térmicas. Notaciones: Determinar las tenciones térmicas. Notaciones: t t

variación de temperatura de todo el sistema en grados variación de temperatura de todo el sistema en grados centígrados;

centígrados; t t iivariación de la temperatura delvariación de la temperatura del

elemento “i” del sistema. elemento “i” del sistema.

7 7 11 66 22 1 16655 110 0 , , EE 11 1100 // C Coobbrre e C C CCoobbrree KKggf f ccmm           7 7 11 66 22 1 12255 1100 , , EE 22 1100 // Ace

Acero ro C C AceAceroro KKggf f ccmm

           SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: D.C.L. D.C.L. Por estática:

Por estática:



_Fy_Fy__ 00

60 60 cos cos 2 2 30 30 cos cos 2 2_T_T₁₁ ____ _T_T₂₂ 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 T T T T  T T ₂₂  33T T ₁₁ Pero:

Pero: _T_T₁₁   ₁₁_A_A₁₁ _T_T₁₁ 22_A_A  ₁₁  22_A_A  ₁₁

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2   A A T T A A  AA 

T

T    

Luego:

Luego: A A  ₂₂  33((22AA  ₁₁))

2

2 2 2 3 3 ..11...(.(11))



(6)

Diagrama de deformaciones Diagrama de deformaciones.. 1 1 22 c coos 3s 30 0 ccoos 6s 600 T T T T l l l l         ,,entoncesentonces 1 1 22 3 3 2 2 22 T T T T       1 1 22 3 3 ...(2.(2)) T T T T        Ahora sabem

Ahora sabemos que:os que: T

T TTeennssiióón n tteemmppeerraattuurraa

  __  __  1 1 11 1 1 11 11 Para

Para el el cobre:cobre:

(( )) T T l l t t E E              1 1 77 11 6 6 2 2 ((11665 5 110 0 110 0 )) 10 10 3 3 T T a a __          1 1 1 1 6 6 2 2 ((16165 5 ))...( ( )) 10 10 33 T T a a a a          2 2 22 77 6 6 2 2 ( ( 11225 5 110 0 1100)) 2 2 1010 T T aa              2 2 2 2 6 6 ( ( 225500))...( ( )) 10 10 T T a a b b          Debemos reemplazar

Debemos reemplazar (( ) a a ) y y (( ) bb) een n ((22))_,,

entonces entonces )) 250 250 )( )( 10 10 (( 3 3 )) 16 1655 (( 10 10 2 2 2 2 6 6 1 1 6 6       a a a a 750 750 3 3 2 2 330 330   ₁₁    ₂₂  2 2 1 1 33 2 2 1080 1080__   __   Pero de (1)

Pero de (1) tenemos:tenemos:   2 2 2 2 33  11

1 1 1 1)) 22 3 3 2 2 (( 3 3 1080 1080        2 2 1 1 1080 1080 8 877..115 5 // 6 6 2 2 22 Kg Kg cmcm   __ __   Finalmente: Finalmente:  22 303011..889 9 Kg Kg cm//cm22 Por lo tanto: Por lo tanto: 2 2 1 1 2 2 2 2 8 877..115 5 // 3 30011..889 9 // Kgf Kgf cmcm Kgf Kgf cmcm         Rpt. Rpt. 2 2 22 2 2 2 2 Para

Para el el acero:acero:

(( )) T T l l t t E E             

(7)

Determinar las tenciones térmicas. Notaciones: Determinar las tenciones térmicas. Notaciones: t t

variación de temperatura de todo el sistema en grados variación de temperatura de todo el sistema en grados centígrados;

centígrados; t t iivariación de la temperatura del elementovariación de la temperatura del elemento

“i” del sistema. “i” del sistema.

7 7 11 6 6 22 1 12255 1100 E E 22 1100 // Acero Acero Acero Acero C C Kgf Kgf cmcm              SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:

Diagrama de cuerpo libre

Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) (D.C.L.)



 En el punto “O”En el punto “O”



   _Fy_Fy 00_:: 3 3 2 2 22 2 2 2 2 ccooss 445 5 22 2 2 T T



T T

 

T T













3 3 22 22 T T T T    , luego, luego 3 3 F F 22F F 22      Por lo que: Por lo que: ₂₂ 11 ₃₃...(1)...(1) 2 2        En la barra ACEn la barra AC



   _Fy_Fy 00 3 3 1 1 2 2_T_T _T_T 3 3 1 1 2 2  A A  AA  3 3 1 1 3 3 11 2 2 ...((22)) 2 2             

(8)

Diagrama de

Diagrama de deformacionesdeformaciones:: Del grafico podemos notar que Del grafico podemos notar que

1 1 33

l

l      

Luego en el

Luego en el triángulo rectángulotriángulo rectángulo

2 2

( )

( ) co

l l

coss 4

45

5

__{ }_  2 2 1 1 33 co coss 4545 l l            1 1 3 3 2 2 ..22...( )( ) I I          Pero

Pero   ₁₁   _temperatur_temperatur_a_a   _fuerza_fuerza_, , 2 2 22 2 2 l l E E      y y 3 3 33 3 3 l l E E      3 3 33 1 1 2 2 22 1 1 2 2 ( ( )) l l l l l l t t E

E E E E E                  1 1(( 11)) 33 33 22 22 22 l l  ttE   E     ll   ll

Pero sabemos que:

Pero sabemos que: l l ₂₂aa

1 1  ,, l l ₂₂  aa 22,, l l ₃₃  aa 2 2 2 2 )) (( 2 2aa   tE tE   ₁₁   ₃₃aa    ₂₂aa   2 2 3 3 1 1 22 2 2 2 2  tE tE         1 1 3 3 22 2 2    ttEE  2 2     2 2 ...(  ( )) IIII Ahora debemo

Ahora debemos reemplazs reemplazar (1), (2) y loar (1), (2) y los datos en (Is datos en (II)I)

7 7 66 3 3 33 3 3 1 14400((11225 5 110 0 ))((2 2 110 0 ) ) 22( ( ) ) 22( ( )) 2 2 2 2                3 3 2 2 3 35500000 0 ( ( 22)) 2 2      2 2 3 3 11002255..112 2 Kgf cm Kgf //cm      Además reem

Además reemplazan en (1) plazan en (1) y (2) tenemosy (2) tenemos::

2 2 3 3 1 1 552200..556 6 // 2 2 Kgf Kgf cmcm        2 2 3 3 2 2 772244..8877 // 2 2 Kgf Kgf cmcm       

(9)

Determinar las tenciones originadas por las Determinar las tenciones originadas por las fuerzas y tenciones debidas a la variación de la fuerzas y tenciones debidas a la variación de la temperatura. temperatura. Notaciones: Notaciones: p p ii   yy t t ii 

 , tenciones, tenciones en la barra “i”en la barra “i” debidas a la acción de las fuerzas y a la debidas a la acción de las fuerzas y a la variación de la temperatura, respectivamente variación de la temperatura, respectivamente considerar para las barras considerar para las barras

6 6 22 2 2 110 0 //

E

  

kg

kgf f cm

cm

yy     112 2 1  100  6 6 C C 11.. SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:

Diagrama de cuerpo libre

Diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) (D.C.L.)

Por estática: Por estática:  



F F _y_y 00:: T T ₁₁  T T ₂₂  T T ₂₂  8400...(1) 8400...(1)   00 : : T T ((1₂₂1) ) ₃₃((33) ) 88440000((11..55)) A A M M     T T 



2 2 33 T T 33T T 1122660000...((22))        0: 0: TT ((3₁₁ 3) ) ₂₂(2(2) ) 88440000((11..55)) c c M M     T T 



1 1 22 3 3TT 22T T 1122660000...((33))     

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienes lo (3) se obtienes lo siguiente.siguiente.

1

1 22 33

T

T 88440000, , TT 0 0 y y TT 84840000

Lo que significa que

Lo que significa que TT₁₁ es de es de compresión.compresión.

Pero

Pero T T ₁₁   A A ₁₁  ₁₁ y y TT₃₃  AA₃₃  ₃₃

Entonces

(10)

Ahora las deform

Ahora las deformaciones debidas aciones debidas los esfuerzos slos esfuerzos son:on: 11 33 3 3 y y 1 1 l l l l = = == E

E E E         Luego se tiene: Luego se tiene: 22110000₆₆ yy ₃₃ 22110000₆₆ 2 2 1100 22 1100 1 1 l l l l = = ==        3 3 0 0..11005 5 y y 00..110055 1 1= = llccm m = = llccmm     Ahora veamos

Ahora veamos las deformalas deformaciones ocaciones ocasionado por sionado por el cambio de el cambio de temperatura.temperatura.

1 1 2 2 3 3

14

temp temp temp temp temp temp

=

= l

l t

t

l

=

= l

l t

t

L

=

= l

l t

t

l













        

Luego la deformación total para cada barra estaría dado por: Luego la deformación total para cada barra estaría dado por:

1 1 0 0..11005 5 1144 l l l l   l l      , , _{ }_l l ₂₂ _44  LL_y_y 3 3 0 0..11005 5 1144 l l l l   l l      De la diagrama de las deformaciones, tenemos:

De la diagrama de las deformaciones, tenemos:

2

2 1 1 33

5

5 __{   }l l _{   }22 l l _l l

Luego de reemplazar en este último: