Cinetica de flotación

6.1. Conceptos básicos de

cinética de flotación

La cinética de flotación es el estudio de la variación en cantidad del producto que rebalsa en la espuma con el tiempo y la identificación cuantitativa de todas las variables que controlan la velocidad.

Ecuación de velocidad de flotación, se refiere a la relación algebraica entre la proporción de minerales que flota y el tiempo de flotación, manteniendo constante todas las variables del proceso.

La cinética de flotación contempla determinar la forma de la ecuación de velocidad y los efectos cuantitativos de las variables principales del proceso sobre la constante cinética (definición dada por M. Arbiter y C. Harris).

El enfoque cinético aplicado al proceso de flotación requiere de una definición de variables dinámicas, especialmente respecto al tipo de flujo existente en la celda o banco de celdas. Además, es necesario separar lo concerniente a pruebas de laboratorio (batch o semibatch) con la operación en continuo de un circuito industrial.

Por esta razón las restricciones de los modelos aconsejan introducir la siguiente clasificación:

VARIACIÓN DE

CONCENTRACIONES RECIPIENTE CERRADO

A) BATCH

VARIACIÓN DE CONCENTRACIONES

B) SEMIBATCH

ALIMENTACIÓN PRODUCTO NO ALCANZA ESTADO _ESTACIONARIO

LA CONCENTRACIÓN ES CONSTANTE EN CUALQUIER PUNTO PERO VARÍA CON LA POSICIÓN ALIMENTACIÓN CONSTANTE PRODUCTO CONSTANTE C) CONTÍNUO FLUJO TUBULAR CONCENTRACIÓN CONSTANTE ALIMENTACIÓN CONSTANTE PRODUCTO CONSTANTE

FLUJO TANQUE ALCANZA ESTADO ESTACIONARIO

D) CONTÍNUO

Según el enfoque elegido para el ajuste de datos : EMPÍRICOS Ajustando curvas a datos de recuperación-tiempo

SEMIEMPÍRICOS

Eligiendo ecuaciones diferenciales que se integran entre límites adecuados (es el más usado) pero no entrega información acerca de la física del proceso

ANÁLOGOS

ANALÍTICOS

Aplicación de las ideas sacadas de la cinética química, aquí se refiere al orden de la ecuación

Aplicación de la hidrodinámica al encuentro partícula-burbuja para obtener ecuaciones de la probabilidad y frecuencia del encuentro, captura y velocidad de remoción de la masa de sólidos desde la celda (es la más compleja por que involucra muchas variables

La operación discontinua (batch) en sentido estricto no se da en flotación, por cuanto el concentrado siempre se remueve de la celda en forma continua. Las pruebas de laboratorios (batch) convencionales son realmente operaciones semi-batch que no alcanzan el estado estacionario.

La flotación industrial siempre comprende el paso de un flujo de pulpa a través de una serie de tanques agitados.

De aquí se desprende las limitaciones de usar pruebas de laboratorio semi-batch como modelo para una celda o un banco industrial que operan bajo condiciones de flujo continuo.

. . . Como sabría amarte, mujer, como sabría amarte, amarte como nadie supo jamás.

Morir y todavía amarte más. Y todavía amarte más y más. Crepusculario, 1919, Amor

6.2. Flotación a escala

banco-laboratorio (batch o semi-batch)

Se considera una celda de flotación como un comportamiento aislado que no tiene entremezcla o intercambio de pulpa con compartimentos adyacentes.

La alimentación y la descarga de colas o relaves es discontinua y sólo el concentrado se remueve desde la celda durante el tiempo que dura la flotación.

Respecto al mecanismo de transporte para alcanzar el volumen de espuma, las partículas pueden retornar a la fase de la pulpa o eventualmente abandonar la fase de la espuma y pasar a las canaletas de concentrados si los niveles de las variables manejables permiten la remoción de espuma, según se aprecia en la figura Nº 6.1.

FASE PULPA FASE ESPUMA ATRAPAMIENTO FÍSICO DE PARTÍCULAS DRENAJE TRANSFERENCIA DE PARTÍCULAS ENTRE LAS FASES DE PULPA Y ESPUMA EN INA CELDA DE FLOTACIÓN

CONCENTRADO

Figura Nº 6.1. Transferencia de partículas entre las regiones de pulpa y espuma en una celda de flotación

Por lo tanto la etapa determinante de la velocidad de flotación podrá ser cualquier etapa de la figura anterior. Se debe considerar, que también el agua se transfiere entre ambas regiones.

Al realizar una prueba de flotación a escala banco (semi–batch) y si se retira concentrados parciales a distintos tiempos de flotación, se observa que la cantidad y la calidad del concentrado cambia con el tiempo.

En un gráfico de recuperación acumulativa vs tiempo, muestra que la recuperación crece muy rápidamente en los primeros minutos de flotación y que después la curva se hace asintótica con el tiempo sin alcanzar una recuperación completa. La forma de esta curva se aprecia con claridad en la figura Nº 6.2.

Figura Nº 6.2. Gráfico recuperación acumulada v.s. tiempo 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 TIEM PO (min) % RECUPERACIÓN t2 t1 R2 R1 A B C D

La recuperación al tiempo t1 está dada por la pendiente de la tangente A - B y así sucesivamente. Se aprecia claramente que la velocidad de recuperación decrece con el tiempo.

Se ha encontrado con frecuencia que la velocidad de flotación a un tiempo dado, depende de la cantidad de partículas flotables que aún permanecen en la celda en ese instante.

Uno de los primeros trabajos sobre cinética de flotación en que se destacó, que en una flotación a escala de laboratorio (semi–batch) la fracción de sólidos no flotables remanentes en una celda de flotación, decae con el tiempo fue publicado por García-Zúñiga en 1935.

García-Zúñiga hace una descripción matemática y reconoce la analogía algebraica con las ecuaciones de reacción de cinética de química de primer orden.

Posteriormente en 1942 Schumann puntualiza que la constante específica de velocidad de flotación tiene el mismo significado dimensional que la constante de reacción específica de una reacción cinética de primer orden.

De estos y otros trabajos surgen el enfoque analógico a la cinética química que lleva al desarrollo de ecuaciones como las siguientes:





n

i

i

i

*

C

k

-dt

dC

C_i = representa la concentración de un constituyente particular en la celda (especie flotable, especie de ganga, aire, etc)

C = representa la concentración del material flotable. n_i = representa el orden de la reacción.

k_i = constante específica de velocidad de flotación. t = tiempo de flotación.

Si en un experimento controlado, se mantienen constantes todas las variables (flujo de aire, velocidad de agitación, tipo y dosificación de reactivos, etc.), entonces la ecuación anterior se simplifica considerablemente; obteniéndose la expresión usual, en donde la única variable es la concentración de material flotable:

n

n

*

C

k

-dt

dC



k_n : es la constante cinética de la velocidad de flotación. n : es el orden del proceso, (n = 1, para la cinética de primer orden).

(-dC/dt): representa la velocidad de recuperación instantánea desde un recipiente o estanque semi - batch.

Se considera que todas las partículas tienen idéntica flotabilidad, y no se contempla la distribución de tamaños de partículas y burbujas existentes normalmente en una celda de flotación.

Así, el valor de k está relacionado con las condiciones de flotación, tales como concentración del colector, velocidad de flujo de aire, etc., y que se suponen constantes a lo largo de la prueba.

Para cualquier condición dada, k es una medida cuantitativa de la probabilidad de que las partículas de una especie sean recuperadas en el concentrado.

Las dimensiones de k en una cinética de primer orden son (min-1_).

Integrando la ecuación anterior para n = 1, se tiene:

t

*

k

-0

1

e

*

C

C



C₀ = concentración del material flotable en la celda al tiempo cero.

C = concentración del material flotable en la celda al tiempo t.

Para representar gráficamente la ecuación, puede escribirse como:

t

*

k

C

C

Ln

0

_



₁











Al graficar los valores experimentales de Ln(C₀/C) versus el tiempo, se obtendrá una línea recta cuya pendiente será igual a k₁ si n = 1.

Sin duda existe una dificultad para determinar el tiempo cero, puesto que transcurre un espacio de tiempo desde que se abre el paso de aire en una celda hasta que se forma una espuma mineralizada adecuada para la remoción del concentrado.

Sin embargo, cualquier tiempo en una prueba a escala banco (batch) puede considerarse como tiempo cero. En la práctica lo mejor es esperar hasta que la remoción de espuma esté bajo control para tomar muestras experimentales.

Al final de un experimento de flotación después de un tiempo suficientemente largo, siempre queda en la celda una cantidad de material que no flotó. Si la concentración de este material se representa por C_∞, entonces la ecuación se puede reescribir para darle mayor aplicación, de la siguiente forma:





-

k

*

t

0

1

e

*

C

-C

C

-C

_



_

t

*

k

C

-C

C

-C

Ln

0

_



₁











 

Al graficar la ecuación, se obtendrá una línea recta, cuya pendiente es k₁.

Desde el punto de vista metalúrgico, conviene trabajar con recuperaciones en vez de concentraciones. Para ello se usará la definición de concentración:

V

M

C



M : corresponde a la masa de todo el mineral o la masa de la fracción del mineral flotable.

V : corresponde al volumen de la pulpa, incluyendo el aire o el volumen de agua.

Manteniendo V constante a lo largo del experimento, la recuperación máxima alcanzable, R_∞, de la prueba será:

0

0

0

0

C

C

-C

M

M

-M

R

_









La recuperación para un tiempo t dado:

0

0

C

C

-C

R



Al introducir el concepto de C_∞, entonces la ecuación de prime orden se transforma en:





n

n

*

C

-

C

k

-dt

dC





En términos de recuperaciones, considerando n = 1, se obtiene:







1

-

exp

-

k

*

t



*

R

e

-1

*

R

R

_

-

k

*

t





_













R = recuperación acumulativa al tiempo t.

R_ = es la recuperación de equilibrio a tiempo prolongado. k = constante de velocidad de primer orden.

Esta es una ecuación básica de la cinética de flotación y fue sugerida por primera vez por García-Zúñiga y posteriormente validada por Arbiter y Harris.

En la práctica la ecuación:

por lo general no se cumple exactamente debido a la dificultad de fijar el tiempo cero en forma precisa. Para obviar este problema se introduce una corrección en el tiempo y entonces la ecuación de velocidad se expresa como:

)

e

-1

(

R

=

R

_ -k*t







1

-

exp

-

k

(

t

+

)



R

=

R

_



En la ecuación cinética de 1er _{orden, obtenida por}

García-Zúñiga, se tiene que:

)

e

-1

(

R

=

R(t)

_

-

k

*

t

- R(t) = Representa la recuperación de material flotable

hasta el instante t.

- R_∞ = Es la recuperación máxima alcanzable para un tiempo de flotación infinitamente grande (t → ∞).

- R_∞ y K:

* Son valores característicos de cada componente flotable (ejemplo: Cu, Mo, Fe e Insolubles).

* Sus valores dependen de:

+ La etapa de flotación considerada: primaria

(rougher), limpieza (cleaner), barrido (scavenger).

+ Las características propias del mineral: granulometría, grado de liberación, etc.

+ Las condiciones de operación y diseño de la celda: pH de flotación, tipo y dosificación de reactivos, velocidad de agitación, diseño de la celda, etc.

Por lo tanto, se deben determinar para cada situación en particular y para cada componente de la mena.

Una metodología para estimar R_∞ y K es la técnica de minimización del coeficiente variacional.

Otra ecuación cinética, a escala banco, es considerar la de orden dos. En este caso “n” asume el valor 2:

2

2

*

C

k

-dt

dC



t

*

k

C

1

-C

1

2

0



Considerando la concentración infinito y las definiciones de R y R_∞ en términos de las concentraciones, se llega a:

t

*

k

*

R

1

t

*

k

*

R

R

2

















R

t

R

*

k

1

R

t

2

o

Otras expresiones alternativas para modelar la flotación a escala banco (batch), que a veces proporcionan un mejor grado de ajuste a los datos experimentales, son los siguientes:

• Ecuación de García-Zúñiga modificada:







n



t

*

k

-exp

-1

*

R

R(t)



_

Donde:

- n es un parámetro empírico dependiente del componente flotable y de la etapa de flotación considerada.

• Ecuación de R. R. Klimpel: en 1979, propuso la siguiente ecuación:









_

























_

*

1

-

exp

-

k

*

t

t

*

k

1

-1

R

R(t)

En la ecuación:

- R(t): representa la recuperación acumulada del componente flotable en el instante t.

* La abundancia relativa inicial (para t=0) de cada especie es la misma e igual a 1/k.

* La distribución inicial (t=0), de las velocidades específicas de flotación es de tipo rectangular.

- k: corresponde a la máxima velocidad específica de flotación (1/t) de un conjunto de especies con velocidades específicas comprendidas entre 0 y k, de modo que:

- R_∞: representa la recuperación máxima alcanzable para t → ∞.

- El concepto de especie flotable, definida por Harris y colaboradores, se refiere a todas aquellas partículas con la misma velocidad específica de flotación, por efecto combinado del medio ambiente que rodea a la partícula (tanto químico como hidrodinámico) y de las propiedades inherentes al propio material en proceso.

• Modelo a escala banco semidistribuido, Kelsall

1961:

Si las partículas en la pulpa no poseen propiedades idénticas de flotación, pero tienen un rango continuo de constantes de velocidad, la forma integral de la ecuación de velocidad es:







0 kt -0

e

f(k,0)dk

c

c

f(k,0) : representa una distribución continua de constantes de velocidad

El mayor problema de la ecuación es definir en forma exacta la distribución de las constantes de velocidad.

Para esto, Kelsall sugiere considerar la aproximación de que las especies flotables se dividen en dos grupos o componentes; uno de baja y otro de alta constante de velocidad.

En los casos donde esta aproximación es válida, la ecuación de velocidad para una celda de laboratorio es:

k_s : constante de velocidad lenta. K_f : constante de velocidad rápida.

Ф : proporción de la especie flotable con baja constante de velocidad.

 



-k

t

-k

t



0

f

s

1

-

φ

e

e

φ

c

c





La ecuación anterior, se puede expresar en términos de recuperación, según:







 













φ

1

-

exp

-

k

t

1

-

φ

1

-

exp

-

k

t



R

6.3.

Tiempo

de

residencia

óptimo a escala banco

(semi-batch)

Es fundamental poder relacionar pruebas de laboratorio (batch) con la conducta de una operación continua. Una aplicación directa es obtener datos a partir de pruebas de laboratorio que sirvan de base para el diseño de una planta.

De los diversos factores involucrados en el diseño y operación de un circuito de flotación, el tiempo de residencia es probablemente el más crítico.

Al respecto, Agar y colaboradores, han planteado y analizado la aplicación de los siguientes criterios para determinar el tiempo de residencia óptimo:

1) No agregar al concentrado material de ley menor a la alimentación de la etapa de separación.

Los procesos de flotación son fundamentalmente una etapa de concentración.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Le y co nc . p ar ci al (% C u) Tiempo (min)

Ley parcial vs tiempo

Ley conc. Parcial (% Cu) Ley alim. (% Cu)

Para el caso de alimentaciones muy altas, al aplicar este criterio a un circuito primario (rougher) se obtendrán leyes de relaves también altas. Por esta razón, a menudo se emplea una o mas etapas de barrido (scavenger) a continuación del circuito primario.

Por lo tanto, la aplicación de este criterio se refiere a cada etapa en particular.

2) Maximizar la diferencia en recuperación entre el mineral deseado (útil) y la ganga.

Suponiendo que la ecuación de velocidad que describe el proceso de flotación es de primer orden, según el modelo propuesto por García -Zúñiga:







1

exp

kt



R

Debido a que la recuperación es función del tiempo de flotación, es posible definir un valor que corresponderá a la diferencia de recuperación entre el mineral útil y la ganga.



= R

_u

- R

_g

Se define a Δ como la diferencia en recuperaciones, según:

R_u = recuperación de la especie útil. R_g = recuperación de la ganga.

Se define la recuperación para el material útil y la ganga, utilizando las ecuaciones cinéticas:

i. Para el mineral:







- k t



u u u

e

-1

R

R



_

ii. Para la ganga:







- k t



g g g

e

-1

R

R



_

Para maximizar esta diferencia, se debe obtener la diferencial con respecto a „t‟ e igualarla a cero:

0

dt

dΔ

_

 





0

e

R

k

-e

R

k

dt

d

- k t g g t k -u u g u







 

g u g g u u

k

k

R

k

R

k

Ln

t





















 

¿Cuándo se tiene la máxima diferencia en recuperación?. Para responder esta pregunta, se realiza el siguiente análisis matemático a partir de la ecuación de velocidad de flotación:

 



- kt



-kt

e

k

R

-e

R

t

t

R

 













El máximo se obtiene cuando:

0

t

Δ







g

u

t

Δ

t

Δ



































“La máxima diferencia en recuperación de las dos especies que se pretende separar corresponde al tiempo al cual las dos velocidades de flotación se hacen iguales”.

3) Maximizar la eficiencia de separación.

Definición de eficiencia de separación, ES, dada por Schulz:

ES = R

_u

- R

_g

La eficiencia de separación será máxima cuando:

a) La diferencia en recuperación entre la especie

útil y la ganga sea máxima.

b) Las velocidades de flotación de la especie útil y la ganga sean iguales.

Definiendo eficiencia de separación como:



















f

m

f

c

*

Ff

Cm

ES

m = Contenido metálico del mineral valioso. c = Ley del concentrado acumulativo.

F = Masa de alimentación. f = Ley de alimentación. C = Masa del concentrado.

En la ecuación anterior, sólo c y C dependen del tiempo, y para obtener el máximo se debe derivar ES con respecto a t e igualar a cero, según:

0

t

ES

_





0

dt

dc

C

dt

dC

f)

(c

f)

Ff(m

m

t

ES











_

_









Definiendo:





t 0

Cc

GdC

G = ley instantánea del concentrado.

G dC= C dc + c dC /:dC

G = C dc/dC + c /*(dC/dt)

G(dC/dt) = C(dc/dt) + c(dC/dt)

C (dc/dt) = G (dC/dt) - c (dC/dt)

Remplazando las ecuaciones en ∂ES/∂t=0, se obtiene:

G = f

Esto significa que, “la eficiencia de separación es máxima cuando la ley instantánea del concentrado es igual a la ley de alimentación”.

6.4. Formas integrales de la

ecuación

de

velocidad

de

Las formas integrales de la ecuación de velocidad de flotación:

C

K

-=

dt

dC

_n

a) Para un grupo de partículas simples en una celda de laboratorio (batch):

b) Para un grupo simple de partículas en una celda continua en condiciones de estado estacionario:

C = C exp ( - K t ) E ( t ) dt

_o

o oo



E (t): representa la distribución de tiempos de residencia.

c) Para muchos grupos de partículas útiles con un rango de constantes de velocidad en una celda de laboratorio:



oo 0 o

exp

(

-

Kt)

f

(K,0

)

dK

C

=

C

d) Para muchos grupos de partículas útiles en una celda continua en estado estacionario:



  o o o

exp

(

-

K

t

)

E

(

t

)

f

(

K,0

)

dt

dK

C

=

C

La ecuación d), es aplicable a la operación de plantas de flotación.

6.5. Modelos cinéticos continuos

de flotación

Para pasar de un modelo a escala banco (batch) al caso continuo, se requiere incorporar al modelo una función matemática que describa el transporte del material a través de las celdas de flotación.

Esta función corresponde a la distribución de tiempos de residencia de las partículas en el banco de flotación (curva DTR).

Los sistemas lineales, tienen la propiedad de aditividad y homogeneidad. Respecto a la primera propiedad, la respuesta a una entrada arbitraria al sistema, puede representarse como la suma de respuestas del sistema a una serie de impulsos (función Delta Dirac) debidamente ponderados.

Por lo tanto, si se define E(t)dt como la fracción másica de partículas con tiempos de residencia en la celda comprendidos en el intervalo de tiempo infinitesimal (t, t+dt; la recuperación del elemento valioso (r_c) en la celda de flotación continua, operando en estado estacionario, estará dada por:







0

c

r(t)

E(t)

dt

r

El problema de la modelación continua consistirá en identificar la DTR (Distribución de Tiempos de Residencia, E(t) y el modelo de flotación a escala banco r(t)), que mejores se adapten a los resultados experimentales obtenidos.

Se puede asumir que la DTR puede representarse por una serie de mezcladores perfectos, por lo que se puede expresar como:



N

-

1



!

t

N

-exp

t

N

E(t)

1 -N N









_























- N: representa el número de reactores en serie

perfectamente mezclados e idénticos.

- Si N = 1: se obtiene el modelo de mezcla perfecta (un solo mezclador perfecto).

- Si N → ∞: se obtiene el otro caso extremo de flujo pistón (que supone ausencia de mezcla en cualquier dirección del reactor).

- τ: representa el tiempo promedio de residencia de

las partículas en la celda, que se define como:









0

Q

V

dt

E(t)

t



* Q: es el flujo volumétrico de alimentación. * V: es el volumen efectivo de la celda.

APLICACIONES DEL MODELO CONTINUO:

1. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de 1 celda de flotación perfectamente mezclada:

En este caso se tiene:







1

exp

kt



R

r(t)

























t

-exp

1

E(t)

















k

1

k

R

r

_c

Reemplazando las ecuaciones en la integral de la expresión cinética continua, se obtiene:

2. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de 1 celda de flotación con régimen de flujo pistón:

En este caso, no existe una DTR en la celda de flotación, ya que todas las partículas permanecen el mismo tiempo t = τ, dentro de la celda, es decir:







1

exp

k





R

3. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de un banco de N celdas, cada una de ellas perfectamente mezcladas:

Se define en primer lugar:

celda cada en residencia de promedio Tiempo N Q V .... _N 2 1          

- τ: tiempo promedio total de residencia en el

banco de celdas.

- V: volumen de cada celda.

- Q: flujo de pulpa alimentado al banco de flotación (igual al flujo de alimentación a cada celda, si se desprecia el flujo de concentrado en cada caso).

En este caso, se tiene:







1

exp

kt



R

r(t)











!

1

1

-N

t

N

-exp

t

N

E(t)

N









_























 N

Al reemplazar, se obtiene:

































N

c

k

N

N

-1

R

r



4. Modelo de García-Zúñiga, para el caso de un banco de N celdas con régimen de flujo pistón:

De manera similar al caso anterior, se llega a:



































N

kN

-exp

-1

R

r

_c



- N: representa el número de celdas en el banco.

- τ/N: es el tiempo promedio de residencia en cada celda.

5. Modelo de Klimpel, para un banco de N celdas perfectamente mezcladas:

En este caso se tiene:









_

























1

-

exp

-

kt

kt

1

-1

R

r(t)



N

-

1



!

t

N

-exp

t

N

E(t)

1 -N N









_























Reemplazando y realizando las operaciones matemáticas, se llega a:

(

)

+

=

N

τ

*

1

-N

*

k

)

τ

*

k

(N

N

-1

-1

R

r

N -1 1 N c

Observaciones:

• De acuerdo a la metodología y modelos

propuestos, se puede obtener múltiples modelos de flotación en bancos de celdas industriales, con el fin de optimizar los circuitos de flotación.

• Los resultados de la flotación a escala de

laboratorio podrán extrapolarse a nivel industrial, mediante la aplicación de los modelos anteriores.

• En las ecuaciones de los modelos de

García-Zúñiga para un banco de N celdas perfectamente mezcladas y con régimen de flujo pistón, el término (N/(N+kτ))N _{es siempre mayor que exp(-kN/(τN)), es}

decir, la flotación a escala banco (batch) (o N celdas en régimen de flujo pistón), siempre producirá una mayor recuperación que el banco de N celdas perfectamente mezcladas (excepto cuando N → ∞, donde las recuperaciones en ambos casos se igualan).

6.6. Aplicación de la ecuación de

primer orden a flujo continuo

El análisis de la cinética para un banco de N celdas indica que el tiempo de retención promedio en el banco, Nλ, no puede sustituirse directamente en las expresiones cinéticas que representan un experimento a escala banco.

Para una celda operando en continuo, la constante de flotación específica (idéntica a la constante de velocidad), se define por:

p t c c

V

C

Q

C

=

K

C_c = Concentración en el concentrado. C_t = Concentración en el relave.

Q_c = Velocidad volumétrica de remoción de concentrado.

Suponiendo que todo el material es flotable (R_ = 1), la recuperación fraccional (R') en la celda es:

λ

K

+

1

λ

K

=

R'

λ es el tiempo de residencia nominal (volumen de la celda/velocidad de flujo volumétrico de los relaves).

La recuperación fraccional acumulativa para un banco de N celdas cuando el volumen de concentrado es pequeño comparado con el flujo total, está dado por la serie geométrica:



_'



_'



_'



2 _'



_'



N 1 ' ' N ' R 1 R ... R 1 R R 1 R R R         





_'



N N '

R

1

1

R









De las ecuaciones, se obtiene el tiempo de residencia efectivo bajo condiciones semi-batch,



, que da la misma recuperación que en condiciones continua es:



1

Kλ



Ln

K

1

τ





La recuperación en un banco de N celda es:





N N '

kλ

1

1

R









6.7. Determinación de r

_∞

y k de

flotación continua

Para tal efecto se considera el modelo de García-Zúñiga para un banco de N celdas perfectamente mezcladas.

































N c

k

N

N

-1

R

r



De dicha ecuación, de manera similar al caso de escala laboratorio, se despeja k:

p N 1 c

1

-r

-R

R

k

















• k: constante específica de velocidad de flotación

(1/min).

• τ: tiempo promedio total de residencia en el

banco de N celdas.

• τ_p: tiempo promedio de residencia en la celda =

• R: máxima recuperación alcanzable.

• r_c: recuperación acumulada en la N-ésima celda

del banco.

Se aplicará para un estudio cinético de flotación primaria (rougher) de Cu efectuado en un banco de celdas industriales, que aporta los siguientes datos:

• N = 10 celdas. • τ_p = 3 minutos. • τ = 30 minutos.

Los datos experimentales de recuperación acumulada son: N rc(N) 1 46,4 2 70,9 3 83,7 4 90,5 5 94,0 6 95,9 7 96,9 8 97,4 9 97,7 10 97,8

Es conveniente, en primer lugar graficar r_c vs N: GRÁFICO rc vs N 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 0 2 4 6 8 10 12 N % r c

Determinación de los parámetros R y K, según el método de minimización del coeficiente de variación:

- Se asignan valores arbitrarios a R, partiendo de 97,9 %, según se aprecia en la tabla siguiente:

R = 97,9 98,0 98,5 100,0 98,01 N rc(N) Ki Ki Ki Ki Ki 1 46,4 0,3003 0,2997 0,2969 0,2886 0,2997 2 70,9 0,3014 0,3005 0,2964 0,2846 0,3005 3 83,7 0,3011 0,2998 0,2937 0,2769 0,2997 4 90,5 0,3024 0,3004 0,2911 0,2671 0,3002 5 94,0 0,3017 0,2987 0,2846 0,2518 0,2984 6 95,9 0,3042 0,2991 0,2775 0,2343 0,2987 7 96,9 0,3083 0,2997 0,2671 0,2142 0,2989 8 97,4 0,3114 0,2969 0,2513 0,1927 0,2956 9 97,7 0,3300 0,3009 0,2357 0,1736 0,2986 10 97,8 0,3303 0,2860 0,2133 0,1549 0,2830 K PROM = 0,3091 0,2982 0,2708 0,2339 0,2973 SK = 0,0116 0,0044 0,0287 0,0481 0,0052 % CV = 3,764 1,488 10,613 20,554 1,757

Por lo tanto los parámetros R y k son:

R =

98,0

%

6.8. Aplicación de un modelo de

flotación continua

Para un banco de “n” celdas, con cada celda operando en regimen de mezcla perfecta, se determina la velocidad de acumulación para cualquier celda: t t t 0 0

c

-

q

c

-

Vkc

q

t

dt

dc

V



                                                 concenrado el en componente del salida de Velocidad -relave en componente del salida de Velocidad -ón alimentaci la en componente del entrada de Velocidad celda la en componente del n acumulació de Velocidad

con:

- V : volumen de la celda.

- c : concentración al tiempo t.

- t : tiempo.

- q₀ : flujo volumétrico de alimentación a la celda.

- c₀ : concentración de alimentación.

- c_t : concentración a la salida de la celda (relave).

- k : constante cinética.

- q_t : flujo volumétrico a la salida de la celda (relave). Denominando a: t

q

V





En estado estacionario:



1

kθ



c

q

c

q

_{0 0}



_{t t}



Desarrollando, se tiene:

kθ

c

q

c

q

_{f f}



_{t t} con:

q_f : flujo volumétrico de concentrado. c_f : concentración del concentrado.

La recuperación para k especies, es:

kθ

1

k

c

q

c

q

especies

k

de

Rec.

0 0 0 f f







Para n celdas en serie:





n

t

t

0

0

c

q

c

1

kθ

q

n n





La recuperación global (r), es:





n

kθ

1

1

-1

r





La expresión anterior, se puede rescribir como es:

n

nθ

n

k

1

1

-1

r













_

_



Donde nθ es el tiempo promedio total de residencia para n celdas. Esta recuperación puede relacionarse con la cinética a escala banco de García-Zúñiga:



-

knθ



exp

-1

r



Las dos ecuaciones permiten establecer circuitos de flotación. Asumiendo que el tiempo T es el requerido bajo condiciones de laboratorio, existen varias posibilidades para n y θ, para obtener la misma recuperación global “r”, la ecuación es:











































r

-1

1

Ln

1

-r

-1

1

T

θ

n 1

Aplicando dicha ecuación para T = 15 min y r = 0,95, se tiene:

n

1

2

5

10

15

θ (min)

95,14

17,39

4,11

1,75

1,11

nθ (min)

_95,14

_34,77

_20,54

_17,49

_16,60

6.9.

Escalamiento

laboratorio/planta y optimización

de circuitos de flotación (Gutiérrez

y Sepúlveda, 1986)

Escalar de datos obtenidos a escala de laboratorio a planta industrial, pasando por planta piloto, es un problemática relevante tanto para el diseño de nuevas instalaciones como en la optimización de plantas concentradoras existentes.

En el escalamiento del diseño de celdas industriales, especialmente para el desarrollo de nuevas máquinas de flotación, se aplica, usualmente, la Teoría de Similitud, a través de números adimensionales, tales como: Número de Potencia (Power Number), Número de flujo (Flow Number), Número de Froude (Number Froude) y el Número de Reynolds.

Otro enfoque utiliza en el escalamiento de datos de flotación correlaciones empíricas. En este caso se recurre a técnicas de regresión y análisis estadístico de la información experimental obtenida desde la planta funcionando y pruebas a escala de laboratorio (pruebas batch).

Desde el punto de vista de control metalúrgico, las plantas concentradoras disponen de uno o más ensayos estándar de laboratorio, cuyos resultados permiten detectar variaciones de proceso y/o determinar la conveniencia de efectuar cambios operacionales, a fin de mejorar los índices metalúrgicos y/o económicos de la planta.

Según Arbiter y Harris, las variables que determinan el comportamiento de la flotación, son clasificadas en dos grupos:

1.Aquellas propiedades físico-químicas del proceso de flotación que incluyen:

- las características superficiales de las especies

valiosas y la ganga acompañante,

- las asociaciones existentes entre las diversas

especies presentes,

- las propiedades químicas de la fase acuosa: pH de

flotación, presencia de colectores, espumantes, activadores, depresores u otros.

2. Aquellos factores que definen el comportamiento hidrodinámico del sistema, entre las cuales se encuentran:

- las variables de diseño del equipo, y

- la dinámica de la pulpa circulante incluyendo el

comportamiento de la fase espuma (esta última juega un rol fundamental en la eficiencia global del proceso.

La flotación considerada como proceso cinético proporciona una vía simple de solución al problema de escalamiento enfocado al diseño de circuitos industriales y a la optimización de plantas industriales, a través del desarrollo de pruebas a escala banco o laboratorio (Gutiérrez y Sepúlveda, 1986).

Gráfico de r/R vs Ktau; para un banco de N celdas con flujo pistón (caso batch), y otro banco de N celdas perfectamente mezcladas (N = 1,2,3,..., infinito)

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 k*TAU r/ R , º/ 1 N = 1 N = 3 N = 5 N = 10 N = 20 N = 50 N = 100 N TIENDE A INFINITO N = 1, MEZCLA PERFECTA N  ∞, FLUJO PISTÓN