259978046-Problemas-Resueltos-de-Fisica-2.pdf

(1)

ÍÍndi

ndice

ce ge

gene

nera

rall

Presentación

Presentación II

Índi

Índicece generagenerall IIII

11. . DDaattooss ggeenneerraallees s 11

1.1. Datos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Datos de la Institución . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Datos de la Asignatura . . . . . . . . . . . . . . . 1

22. . JJuussttiifificcaacciióón n 22 33. . O Obbjjeettiivvoos s 44 3.1. Objetivos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 44. . EEllaassttiicciiddaad d 55 4.1. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2. Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.3. Deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.4. Esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.5. Ley de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.6. Deformación longitudinal o unilateral (E ) . . . 6

4.7. Deformación multilateral o volumétrica (B ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.8. Deformación por cizalladura o elasticidad de forma (η) . . . 7

4.9. Deformación lateral (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.10. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.11. Energía elastica acumulada en una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.12. Deformación volumétrica (Ley de Hooke generalizada) . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.13. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . 10

55. . OOsscciillaacciioonnees s 4488 5.1. Movimiento periódico . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2. Movimiento oscilatorio o vibratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3. Movimiento Armónico simple (MAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.1. Elongacion (x ) . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.2. Posición de equilibrio (x 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3.3. Amplitud ( A ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.4. Periodo (T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.5. Frecuencia (ν) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.6. Energía almacenada en MAS . . . . . . . 49

5.4. Péndulo simple o Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

(2)

ÍNDICE GENERAL II I

5.6. Péndulo de torsion . . . . . . . . . 51

5.7. Superposición de MAS en la misma dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.8. Superposición de dos MAS en dirección perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.9. Movimiento oscilatorio amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.10. Movimiento oscilatorio forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

66. . HiidHdrroossttááttiicca a 7777 6.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3. Peso especiﬁco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.4. Densidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.6. Variación de la presión en un ﬂuido en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.6.1. Líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.6.2. Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.7. Equilibrio de los líquidos no miscibles en los vasos comunicantes . . . . . . . . . . . . . 80

6.8. Fuerza ejercida sobre la pared de un recipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.9. Principio de pascal . . . . . . . . . 81

6.10. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.11. Manometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.12. Fuerzas moleculares en los líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.13. Tension superﬁcial . . . . . . . . . 83

6.14. Definición del coeficiente de tension superficial (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.15. Formación de una gota liquida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.16. Formación de una burbuja de jabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.17. Ascenso de liquido en tubos capilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

77. . HHiiddrrooddiinnáámmiicca a 110011 7.1. Líneas de ﬂuido o de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2. Tubos de ﬂujo o de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.3. Principio fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.4. Tipos de ﬂujo o regimen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4.1. Regimen estable, permanente o estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4.2. Flujo uniforme . . . . . . . . . 102 7.4.3. Flujo rotacional . . . . . . . . . 102 7.4.4. Flujo laminar . . . . . . . . . . . . . 102 7.4.5. Flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.5. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . 102 7.6. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.7. Teorema de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.8. Tubo de Venturi . . . . . . . . . 104 7.9. Tubo de Pitot . . . . . . . . . 105

7.10. Flujo de los ﬂuidos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.11. Numero de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.12. Ley de Stokes . . . . . . . . . 108

(3)

ÍNDICE GENERAL IV

88. . TTeemmppeerraattuurra a 111199

8.1. Ley cero de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.1. Deﬁnición de estado de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.2. Pared adiabática . . . . . . . . . 119 8.1.3. Pared diatérmica . . . . . . . . . 119 8.1.4. Equilibrio térmico . . . . . . . . . 119 8.2. Concepto de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.2.1. Isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2.2. Deﬁnición de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2.3. Medición de la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.3. Dilatación por temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.4. Dilatación de líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.4.1. Variación de la densidad con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

99. . CCaalloorr yy pprriimmeerraa lleeyy ddee llaa tteerrmmooddiinnáámmiicca a 112288 9.1. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.1.1. Teoría del calórico . . . . . . . . . 128

9.1.2. Teoría cinética o energética . . . . . . . 128

9.2. Cantidad de calor . . . . . . . . . 129

9.3. Calor especiﬁco . . . . . . . . . 129

9.4. Cambios de estado . . . . . . . . . 130

9.4.1. Region AB . . . . . . . . . 131

9.4.2. Region BC . . . . . . . . . 131

9.4.3. Calor latente de fusion . . . . . . . . . . 131

9.4.4. Region CD . . . . . . . . . . . . . 131

9.4.5. Region DE . . . . . . . . . 131

9.4.6. Calor latente de vaporización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.5. Propagación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.5.1. Conducción . . . . . . . . . 132

9.5.2. Conducción de calor entre dos capas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.5.3. Flujo caloríﬁco radial entre dos cilindros coaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.5.4. Flujo caloríﬁco radial entre dos esferas concéntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.5.5. Convección . . . . . . . . . 135

9.5.6. Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.6. Diferencial entre calor y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.7. Trabajo originados por cambios de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.8. Primera ley de la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.9. Transformación isobarica . . . . . . . . . 138

9.10. Transformación adiabática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.11. Dilatación libre o expansion en el vació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.12. Transformación isocora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.13. Teoría cinética de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.13.1. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.13.2. Ley de Boyle - Mariotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.13.3. Ley de Gay - Lusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.13.4. Ley de Dalton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.13.5. Calores especíﬁcos de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

(4)

ÍNDICE GENERAL V

1100..SSeegguunnddaa lleeyy ddee llaa tteerrmmooddiinnáámmiicca a 114499 10.1. Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.2. Eﬁciencia o rendimiento térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.3. Enunciado de Clausius y de Kelvin - Planck del segundo Principio de la

Termodi-namica . . . . . . . . . . . . . 151 10.3.1. Enunciado de Kelvin-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3.2. Enunciado de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3.3. Teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.3.4. Entropía - Procesos reversible (Teorema de Claussius) . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.4. Entropía y la Segunda Ley de la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.5. Entropía y desorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 1111..MMeettooddoollooggíía a 116611

11.1. Estrategias . . . . . . . . . . 161 11.2. Métodos . . . . . . . . . . . . . 161 11.3. Medios y Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 1122..CCrroonnooggrraammaa ddee AAccttiivviiddaaddees s 116622

12.1. Temas . . . . . . . . . . . . . 162 12.2. Cronograma de Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1133..RReellaacciióónn ddee EEssttuuddiiaanntteess yy AAssiisstteenncciiaas s 116633

13.1. Relación de estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 13.2. Lista de Asistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 B

(5)

C

Cap

apít

ítul

ulo

o 22

Justiﬁcación

La practica pre-profesional contribuye a lograr el perﬁl del futuro profesional de la E.P. de Cien-cias Físico Matemáticas, en sus aspectos: personal, profesional y promotor de cambio social y de-sarrollo.

La practica pre-profesionales permite el logro de experiencias en las areas de desempeño do-cente, mediante la aplicación de los conocimientos y el ejercicio de habilidades y destrezas desar-rolladas en la E.P. de Ciencias Físico Matemáticas.

La practica pre-profesional tiene sustento:

1ro _{En la curricula ﬂexible por competencias de la C.P. de Ciencias Físico Matemáticas 2001-2006}

en los reglamentos especíﬁcos que habla de las prácticas pre-profesionales en sus artículos 40-48 señalan:

Art. Art. 4040

El presente reglamento se sustenta en el estatuto de la U.N.A. que contempla la realización de prácticas pre-profesionales en la formación de todos los estudiantes de la universidad. Art.

Art. 4141

Los estudiantes de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas están obligados a realizar prácticas pre-profesionales pudiendo efectuarse después de haber logrado un mínimo de 170 créditos.

Art. Art. 4242

Las prácticas pre profesionales de la Carrera Profesional de Cs. Físico Matemáticas serán prácticas productivas y prácticas de investigación.

Art. Art. 4343

Las prácticas productivas comprenderán prácticas pedagógicas en centros de enseñanza de nivel medio superior y universidades; prácticas en centros productivos, convenio, proyectos y otros que requieran la participación de Físicos Matemáticos.

Art. Art. 4444

Las prácticas de investigación se realizan en la U.N.A. bajo la dirección de un profesor des-ignado especíﬁcamente con este ﬁn.

Art. Art. 4545

Las prácticas productivas de investigación tendrán una duración de un semestre académico. Art.

(6)

2.

2. JuJustiﬁcastiﬁcaciónción 3

Los estudiantes, después de haber cumplido con sus prácticas productivas y /o de investi-gación presentaran el informe a la institución donde se realizo y esta a su vez informara de su desarrollo a la Dirección de Carrera quien lo remitirá a la comisión de prácticas pre profesionales para su aprobación o desaprobación.

Art. Art. 4747

En el caso de que la practica productiva y /o prácticas de investigación se realice en la Uni-versidad Nacional del Atiplado el practicante presentara el informe al docente a cargo, este a su vez informara su desarrollo a la Dirección de la Carrera para el visto bueno de la comisión de prácticas Pre-profesionales.

Art. Art. 4848

Los aspectos no contemplados en el presente reglamento serán absueltos por la Comisión de prácticas pre profesionales.

2d o _{En el Estatuto Universitario del Titulo VI del regimen académico y administrativo en su}

capit-ulo II del regimen de estudios en la facultad, cuando nos habla de los estudios en su articcapit-ulo 122 que señala:

Art. Art. 122122

La actividad académica en una Escuela Profesional comprende: Formación general.

Formación básica profesional. Formación profesional. Investigación.

Orientación profesional.

Proyección y extension universitaria

Su diseño involucra la programación curricular teórico-practica de cada asignatura; proyec-tos de investigación sobre la realidad regional, nacional y mundial; plan de actividades de proyección y extension universitaria; y un plan de prácticas pre-profesionales. Concor.: Arts.10, 12, 16 y ss. Ley 23733

(7)

C

Cap

apít

ítul

ulo

o 33

Objetivos

3.

3.1. 1. Ob

Obje

jeti

tivo

voss Ge

Gene

nera

rale

less

Las prácticas pre-profesionales tienen como objetivo poner en práctica los conocimientos adquiridos plasmándolo en la enseñanza universitaria.

3.

3.2. 2. Ob

Obje

jeti

tivo

voss Es

Espe

pecíﬁ

cíﬁcos

cos

Los objetivos especíﬁcos que se tiene para la practica desarrollada en la respectiva asignatura designada son:

Familiarizarse en el desempeño de la docencia universitaria.

Aﬁanzar los conocimientos adquiridos, para resolver problemas durante la práctica pre-profesional.

Solucionar con métodos adecuados los problemas que se presentan. Estar siempre disponible para absolver las inquietudes de los alumnos.

(8)

C

Cap

apít

ítul

ulo

o 44

Elasticidad

4.

4.1. 1. El

Elas

asti

tici

cida

dad

d

Se llama así a la propiedad que tiene los cuerpos, de recuperar su forma y dimensiones original cuando la fuerza aplicada cesa de actuar. El trabajo realizado por la fuerza se transforma en energía potencial de deformación.

4.

4.2. 2. Pl

Plas

asti

tici

cida

dad

d

Cuando al cesar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, este no recupera su forma o dimen-siones srcinales, parcial o totalmente. El trabajo realizado por los fuerzas parte se transforma en calor.

4.

4.3. 3. De

Defor

formac

mació

ión

n

Son todas las variaciones que se producen en su longitud, superﬁcie, volumen y también de forma.

4.

4.4. 4. E

Esf

sfue

uerz

rzo

o

Se deﬁne como una relación entre las fuerzas entre el area de la sección transversal, su no-tación esσ

σ= F

S (4.1)

44..55. . L

Leeyy d

dee H

Ho

oo

ok

kee

Todo cuerpo bajo la acción de una fuerza, se deforma, esta deformación (x ) es proporcional a la fuerza (F ) que se aplica, dentro del intervalo en el cual el cuerpo se comporta elásticamente.

(9)

4.

4. ElasElasticidaticidadd 6

Figura 4.1: Ley de Hooke

4.

4.6. 6. D

Def

efor

orma

maci

ción

ón lo

long

ngit

itud

udin

inal

al o

o un

unil

ilat

ater

eral

al ((

E

))

Se deﬁne el modulo de Young (E )

E = Esfuerzo por tensión o compresión

Deformación unitaria longitudinal (4.2)

E = σ ∆ = F S ∆L L 0 = F L 0 S ∆L (4.3)

(10)

4.

Figura 4.3: Deformación volumétrica

4.

4.7. 7. D

Def

efor

orma

maci

ción

ón mu

mult

ltil

ilat

ater

eral

al o

o vvol

olum

umét

étri

rica

ca ((

B

))

Si el cuerpo se somete iguales esfuerzos de tracción o compresión por todo los lados, entonces el cuerpo sufrirá deformación volumétrica.

Deﬁniremos el modulo de compresibilidad (B ) y su inversa el coeﬁciente de compresibilidad (χ).

B = Esfuerzo volumétrico

Deformación unitaria de volumen =

Variación de presión

Deformación unitaria de volumen (4.4)

B = ∆p ∆ = ∆p ∆V V 0 (4.5) χ 1 B (4.6)

4.

4.8. 8. D

Def

efor

orma

maci

ción

ón po

porr ci

ciza

zall

llad

adur

uraa o

o el

elas

asti

tici

cida

dad

d de

de fo

form

rmaa ((

η

))

Esta deformación es producto de aplicar fuerzas opuestas a os caras contrarías del cuerpo, produciendose un desplazamiento de planes paralelos en la dirección de las fuerzas.

(11)

4.

Figura 4.4: Elasticidad de forma

η= Esfuerzo cortante Deformación cortante = σr φ (4.7) σr = Fuerza tangencial Superﬁcie que se desplaza =

F

S (4.8)

φ=

Corrimiento

Distancia entre las dos caras = Y

L 0 (4.9)

4.

4.9. 9. D

Def

efor

orma

maci

ción

ón la

late

tera

rall ((

µ

))

Es cuando la muestra se estira, se observa que lateralmente sufre una contracción. Para medirla se usa el coeﬁciente de Poisson (µ).

µ= Contracción lateral relativa

Alargamiento longitudinal negativo (4.10) Para el caso del cilindro de la ﬁgura

µ∆r L 0

(12)

4.

Figura 4.5: Deformación lateral

4.

4.10 10. . T

Tor

orsi

sion

on

Es una deformación por cizalladura pura, pero no homogénea, se produce cuando se aplica un par de fuerzas (F ), en la parte superior de la barra y la sección inferior de la base esta ﬁja. Se demuestra que el torque aplicado es igual a

τ=πµR

4_θ

2L o

(4.12) en este caso tampoco hay variación de volumen.

4.

4.11 11. . E

En

ner

ergí

gíaa el

elas

asti

tica

ca ac

acum

umu

ula

lada

da en

en u

una

na ba

barr

rra

a

Cuando una barra es sometida a una fuerza  F de tracción , esta se alarga una distancia ∆L y el trabajo realizado por esta fuerza, se transforma en energía elastica almacenada en la barra.

(13)

4.

Figura 4.6: Deformación lateral

U =₁₂E V 0∆2 _(4.13)

Relación entre los módulos elásticos

η= E

2(1+µ), B = E

3(1

₋

2µ) (4.14)

4.

4.12 12. . De

Defo

form

rmaci

ación

ón vo

volu

lumé

métri

trica

ca (L

(Ley

ey de

de H

Hook

ookee ge

gene

nera

rali

liza

zada

da))

4.

4.13 13. . Ej

Ejer

erci

cicio

cioss rres

esue

uelt

ltos

os

E

EJERCICIOJERCICIO_N_NOO_4._{4. 11}_{De un tubo vertical cuyo radio infer ior r =}₁_{m gotea agua. Hallar el radio de las}

gotas en el momento de desprenderse. Considérese que las gotas son esféricas

(14)

4.

Figura 4.7: torsion

Figura 4.8: Energía elastica almacenada en una barra

(15)

4.

Figura 4.9: Deformación volumétrica

F =σ A σ(πr 2) (ii) W = ρg V W = ρg



4 3πR 3



_(iii)

igualando (ii)=(iii)

σπr 2= ρg 4 3πR 3 R 3= 3 4



σr 2 ρg



⇒

R = 3



3 4



σr 2 ρg



E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 22}_{En la ﬁgura se representa dos alambre de sección uniforme A que están}

articu-ladas en X , Y , Z , inicialmente tiene una longitud H y están horiz ontales, cuando se ha aplicado ninguna carga. El peso del cable es despreciable. Si se aplica gradualmente un peso P en el punto Y . Hallar P para producir una deformaci ón vertical v , respecto del punto Y

SOLUCIÓN

(16)

4.



F Y =0 2T cosθ =P (i) cosθ = v



H 2_{+ v}2 (ii) ∆L = F L 0 A E , F = T t = ∆ LA E _L 0 (iii) (iii) en (i) P =2∆LA E L 0 cosθ P = 2 A E H



H 2_{+ v}2 H

−

1



v



H 2_{+ v}2 ∆L =L f

−

L 0 L 0 ∆L =



H 2₊_v2

−

H H ∆L =



h 2₊_v2 H

−

1 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 33}_{Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente}₄

×

108_N_/_m2_{, el acero}

se rompe. Determinar para (a) Corte un perno de acero de 1, 0c m de diametro. (b) Hacer un hoyo de

1,0c m de diametro en una placa d e acero de 0, 5cm de espesor.

SOLUCIÓN (a) σr = F r A

⇒

F r =σr A A =πr 2=πd 2 4 , F r = σr πd 2 4 (b) S OLUCIÓN σr = F r A

⇒

F r =σr A A =πd l f r =σr πd l

(17)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 44}_{A dos caras opuestas de un bloque cubico de acero de} ₂₆_{cm de lado se aplica}

fuerzas de extension opuesta de 200K g f cda una.Hallar el ángulo de ciza lla y el desplazamie nto relativo, el modulo de rigidez del acero vale 8,4

_×

105_{K g f}_/_{c m}2

SOLUCIÓN SOLUCIÓN (a) G = σ εs = F / A ∆ y /h = F / A tanθ , tanθ =θ θ = F AG (b) Si tanθ

_≈

θ = ∆ y _h , ∆ y =θ h E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 55}_{Se aplican fuerzas de compre sion a dos caras opuestas de un bloque rectangular}

de volumen V 0 = L x L y L z . La disminucion relativa de volumen es 0,0005 y la distancia relativa de la

longitud del bloque es 0,001. Determinar el coeﬁciente de poisson del material del bloque.

SOLUCIÓN

Consideremos las ecuaciones de Ley de Hooke generalizadas para el caso de compresion, se tiene.

SOLUCIÓN εx =

−

1 y



σx

−

µ(σ y +σz )



ε y =

−

1 y



σ y

−

µ(σz +σx )



εz =

−

1 y



σz

−

µ(σx +σ y )



(18)

4.

como las fuerzas están aplicadas en la dirección del eje y tenemos σx = σz = 0, reemplazamos

estos valores en las ecuaciones anteriores y sumando.

εv = ∆V V 0 =εx +ε y εz (1) εx +ε y εz = + 1 y µσ y

−

σ y y + µσ y y εx +ε y εz =

−

1 y (1

−

2µ)σ y (2) en la dirección y se tiene σ y = y ε y = y ∆L y L y , ε y = ∆L y L y (3) ahora (2),(3) en (1) εV =

−

1 y (1

−

2µ)σ y =

−

1 y (1

−

2µ) (

−

y ε y )

  

Porcompresionodisminucion εV = 1 y (1

−

2µ) y ε y εV ε y =1

₋

2µ µ= 1 2

_

1

₋

εV ε y



E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 66}_{Sea una barra de longitud L}

o que al calentarla desde 0o C hasta t o C se dilata en

una magnitud ∆L, si αes el coeﬁciente lineal del material de la barra. Para reducir la barra medi-ante un deformación elastica de compresión, en la magnitud ∆L hay que aplicar una carga σn si E

es el modulo de Young del material, hallar σn .

SOLUCIÓN

Cuando la barra se calienta desde 0o_C_hasta_to_C_{, el cuerpo se dilata una longitud:}

∆L = I o αt o (1)

También se puede dilatar la barra debido a la cargaσn :

E =σn /∆ =σn /(∆L /I o )∆L =σn I o /E (2)

Igualando las expresiones (1) y (2): I o _α_t

o

=σn _Io _/_E σn =αE t o

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 77}_{Una barra de cobre de longitud L =}₁_{m , dispuesta horizontalmente gira alrededor}

de un eje vertical que pasa por su centro. ¿Con que frecuencia de rotación se despedazara la barra?

(19)

4.

Sea conoce la densidad: ρC u =8,9g /c m 3Resistencia a la rotura:σr (C u ) =3

×

108N /m 2

Cuan-do la barra gira con velocidad angular w , se tiene la fuerza centripeta para el diferencial de masa

d m d F C =d m V 2 x =d m (w x )2 x =w 2x d m , d m = ρd V = ρSd x F C = w 2 ρS



L /2 0 x d x = 1 2w 2_ρ S L 2 a (1)

se ha usado d m = ρd V = ρSd x La barra gira y se rompe cuando supera la fuerza asociada a la resistencia a la rotura F r =σr S (2) Igualando (1) y (2) 1 8w 2_ρ_SL2₌_σ r S y w =2πν ν 1 πL



2σr ρ



1/2

≈

0,827

_×

102_RPS_, _ν₌₈₂_RPS E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 88}_{Al tensar un alamb re de C u , cuya sección transversal tenia}_1,5_{m m}2_{de area, se}

observo que el comienzo de la deformación permanente correspondía a la carga de 4,5K g f . ¿Cual es el limite de elasticidad del material de que esa hecho el alambre?

SOLUCIÓN

Según el problema, cuando se aplica una fuerza F 1 = 4,5K g f , el alambre se estira x l ; luego el

limite de elasticidad esta dado por:

σ= F S =

4,5

_×

9,8N

1,8

_×

10−6_m2 =2,94

×

10 7_N_/_m2

(20)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4._{4. 99}_{Del tejado de una casa cuelga un alambre de acero de} ₄₀_{m de longitud y}₂_{m m}

de diámetro (a)¿Que carga máximo se puede colgar de este alambre sin que llegue a romperse? (b)¿Cuanto se alarga este alambre se de el se cuelga un hombre que pesa 70K g ? (c)¿Se notara alargamien-to permanente cuando el hombre anterior suelta el alambre?. El limite de elasticidad del acero es igual a 2,94

_×

108_N_/_m2

SOLUCIÓN

Se conoce d = 2

_×

10−3_m_,_L

o = 40m La tension a la rotura σr (acero ) = 7,85

×

108N /m 2Limite de

elasticidad:σ=2,94

_×

108_N_/_m2_{Modulo de Young:}_{E =}_21,6

_×

₁₀10_N_/_m2

(a) La carga maxima pedida: F =σr S

F =σr πd 2 4 =7,85

×

10 8 N m 2

×

3,14 (2

_×

10−3₎2 4 m 2₌₂₄₆₉_N F =251K g f (b) El alargamiento solicitado ∆L = F L o /ES ∆L = 70

×

9,8

×

40 3,14

_×

10−6

_×

_21,6

_×

₁₀10m =0,04m ∆L =4c m

(c) Hallemos el esfuerzo que ejerce el hombre y lo comparamos con el limite de elasticidad.

σ= F S = 70

_×

9,8 3,14

_×

(2

_×

10−3₎2_/₄ =2,47

×

10 8 N /m 2

Se puede ver queσ <2,94

_×

108_N_/_m2_{, y como no supera el limite, la respuesta es no se notara el}

alargamiento. E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.10_4.10_{Entre dos paredes macizas se hallan dos barras hechas de diferentes materiales.}

La sección de las barras es S. sus longitudes son l 1 y l 2. Las barras se calientan en ∆t grados. Hallar

las fuerzas con que las barras actúan la una sobre la otra; si los coeﬁcientes de expansion térmica de las barras α1 y α2 y los módulos de elasticidad del material de las barras E 1 y E 2 son conocidos

(21)

4.

SOLUCIÓN

En este problema nuevamente comparamos el alargamiento debido a la temperatura y la compre-sión debido a la elasticidad. El alargamiento debido a la temperatura en las dos barras:

∆l = ∆l 1+ ∆l 2 =α1l 1∆t o+α2l 2∆t o (1)

La compresión de las barras, debido a la elasticidad en las dos barras:

∆l = ∆l 1+ ∆l 2 = (F l 1/SE 1) + (F l 2/SE 2) (2) Igualando (1) y (2) y despejando F F = (α1l 1+α2l 2)



l 1 E 1+ l 2 E 2



A ∆t o E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.11_4.11_{Una carga de}₁₀₀_{K g f esta colgado de un alambre de acero de}₁_{m de longitud y}

1m m de radio. ¿A que es igual el trabajo de tracción del alambre?

(22)

4.

Se conoce

E =21,6

_×

1010_N_/_m2_, _{r =}₁₀₋3_m

F =10

_×

9,8N , S =πr 2=3,14

_×

(10−3₎2_m2

Se sabe que el trabajo debido a la tracción del alambre esta dado por

W = 1

2ESL o ∆2

La deformación unitaria: ∆ = F /SE reemplazando, W = 1₂ESL o (F /SE )2= L o F 2/2SE

W = 1m

×

(10 2

×

9,8N )2 2

_×

3,14(10−3₎2_m2

×

21,6

_×

1010_N_/_m2 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.12_4.12_{Hallar el modulo de Poisson para el cual el volumen de un alambre no varia al}

alargarse

SOLUCIÓN

El volumen inicial V o =πr o 2l o , El volumen ﬁnal V f =π(r o

−

∆r )2(l o + ∆l ) donde el radio se acorta y

la longitud se alarga. Como el volumen no varia V o = V f πr _o2l o =op i (r o

−

∆r )2(l o + ∆l )

πr o l o =π(r _o2l o

−

2r o l o ∆r + l o ∆r 2+r _o2∆l

−

2r o ∆l ∆r + ∆l ∆r 2)

donde los términos que poseen ∆r 2_,_{∆l ∆r}2_{son nulos.}

Simpliﬁcando 2πr o l o ∆r =πr o 2∆l , 2l o ∆r = r o ∆l como por deﬁniciónµ= ∆r _∆l/_/r _lo o µ= ∆r /r o ∆l /l o = 1 2 luegoµ0,5

(23)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.13_4.13_{Una barra de cobre de longitud l se suspende de uno de los extremos de un techo.}

Hallar (a) el alargamiento de la barra ∆L bajo la acción de su propio peso. (b) El incremento relativo de su volumen ( ∆V /V )

SOLUCIÓN

(a)Debemos suponer que la gravedad permanece constante por que el cambio de la gravedad es cero. Como la fuerza se ejerce la barra es su propio peso, entonces tomemos un diferencial de su peso: d p = g d m = g ρSd z p = ρg S



l o 0 d z = ρg Sl o (1) Por deﬁnición: E = F /S ∆l /l o , F = ES ∆l l o (2) Igualando (1) y (2), ES ∆l l o = ρg Sl o ∆l = ρg l _o2/E (b) En teoría se demuestra ∆V V = (1

₋

2µ)σ E (3) como E =σ/(∆l /l o ), σ E = ∆l l o (4.15) reemplazando (4.15) en (3): ∆V = (1

₋

2µ)∆l

(24)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.14_4.14_{Una esfera de hierro de}₂₀_{cm de diámetro y}₂₅_{K g f de peso, se encuentra}

sus-pendida de un punto a 2,00sobre el suelo por un alambre de 3m de longitud. El diámetro del alam-bre es 0,10cm se le comunica una oscilación al péndulo así formado de manera que el centro de la esfera, en la posición mas baja esta animado de una velocidad de 2m /s . ¿A que distancia pasara del suelo? El modulo de Young del hierro es 1,89

_×

106_{K g f}_/_{c m}2

SOLUCIÓN

Las fuerzas que actúan sobre la esfera en su posición mas baja:



= T

−

W = F c T = F c + W T = m v 2 L o + ∆L + m g (1)

La fuerza que produce estiramiento ∆L es la tension.Como por deﬁnición

E = T /S ∆L /L o , T = S E L o ∆L (2) reemplazando valores en (2): T = 3,14

×

(0,10) 2

_×

_1,89

_×

₁₀6

_×

_9,8

_×

_∆L 4

_×

3,0 =48466∆LN (3) de (3) en (1): 48466∆L = m v 2 L o + ∆L + m g ∆L 2+3∆L

₋

0,017=0 ∆L =0,05m =5c m

La esfera pasara a una distancia de 2,00

₋

0,05m =1,95 de suelo. E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.15_4.15_{(a)Calcular la extensio n de un alambre de acero que tiene una longitud de}₂_m

y diámetro 1mm cuando es cargado con un peso de 10K g f si el modulo de Young para el acero es

(25)

4.

SOLUCIÓN

(a) de la deﬁnición E =_∆L F /_/S _L

o , y por lo tanto ∆L = F L E ES o reemplazando valores

∆L = 10

×

9,8

×

2

2,16

_×

1010

_×

_π₍₁₀3₎2_/₄ =11,55

×

−

4_{m =}_0,115_{c m}

∆L =0115c m

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.16_4.16_{Calcular la densidad del agua a}₈_{K m de profundidad si su coeﬁciente de}

com-presión es χ =4,8

_×

10−10_m2_/_N

SOLUCIÓN

Por deﬁnición del modulo de compreibilidad:

B = 1 χ =

−

p



∆V V



Por tanto ∆V V =

−

p χ (1) de ρ= m

V se obtiene por derivacion

∆ ρ ρ =

−

∆V V (2) de (1) en (2) ∆ ρ =1

_×

980

_×

8

_×

105

×

4,8

_×

10−10

×

10 4 =0,038

(26)

4.

ρ

₋

ρo ρo =0,038 donde ρ= ρo (1+0,038) =1,038 ρo ρ=1,038

_×

103_{K g}_/_m3 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.17_4.17_{(a)¿Que presión p debe actuar todas las caras de un cubo de caucho, para que}

su densidad aumente en el 1 por 100? (b)¿Que fuerza por area nos proporciona el alargamiento del cuboen un 10por 100en la dirección de un de sus aristas?. Se sabe que E =7,2K g f /c m 2_y_µ₌_0,499

SOLUCIÓN

En teoría se ha deducido ∆V V =

1₋2µ

E (σx +σ y +σz )como la presión es la misma para todas las caras,

se tiene: ∆V V = 3σ E (1

−

2µ) (1) Además ∆V V = ∆ ρ ρ (2)

tomar en cuenta queσ= p = presion De (1) y (2):

p =



∆ ρ ρ



E 3(1

₋

2µ) = 0,01

_×

7,2K g f /c m 2 3(1

₋

2

_×

0,499) =12K g f /c m 2 p =12K g f /c m 2

(b)Nos pide el esfuerzo: E = σ

∆

, como dato ∆ =0,10

σ= ∆e =0,10

_×

7,2K g f /c m 2=0,72K g f /c m 2 σ=0,72K g f /c m 2

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.18_4.18_{¿Cual es la presión necesario para comprimir un cubo de hule al}_{90 %}_{de su}

vol-umen original?. Compara este presión con la presión atmosférica. La compresibilidad del hule es de

40

_×

10−11_m2_/_N SOLUCIÓN Por deﬁnición: B =₍ p ∆V V ) Por tanto ∆V V =0,10 p = B



∆V V



= 1 40

_×

10‘

₋

11m 2_/_N

×

0,10=2,5

×

10 8_N_/_m2 p =2,5

×

108 N /m 2 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.19_4.19_{La suspension de un ascensor montacargas esta construida por 4 cables iguales}

de acero de 1,00cm de diámetro cada uno. Cuando el suelo del ascensor se encuentra a nivel del primer piso del ediﬁcio, la longitud de los cables de suspension es de 20m. Si se introduce en el ascensor una maquina de 1000K g f . ¿a que distancia por debajo del nivel del suelo, quedara el piso del ascensor?. Se supone que el alargamiento de los cables de suspension y el E =2

_×

106_{K g f}_/_{c m}2

(27)

4.

SOLUCIÓN



F =0, 4F

₋

W =0, F = W /4 Por deﬁnición E = F i o /S ∆l ∆l = W l o 4SE = 1000

_×

20 4

_×

π(10−2)2 4

×

2_×106 10−4 =3

_×

10−3_m ∆l =3m m E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.20_4.20_{El extremo superior de un cordon de goma esta ﬁjo y las extensiones causadas}

por suspender varias masas M de su extremo inferior han sido medidas. Los resultados se muestran en la tabla.

Haga la graﬁca carga versus extension y de ella determinar el trabajo que se hace en aumentar la extension del cordon desde 7,5cm hasta 22,5c m

SOLUCIÓN

Primero hallemos la constante de elasticidad K del cirdon de goma, a partir de la pendiente de la recta (por minimos cuadrados).

K = 300

−

100

25

₋

6,5 =10,8g f /c m =10,6

×

10

3_dinas_/_{c m}

Para determinar el trabajo se usa la expresión vista en teoría:

W =



F (x )d x =



x 2 x 1 Kxdx = 1₂K [x 2 2

−

x 21]

dondex 1 =7,5c m y x 2 =22,5c m por tanto W =4,77

×

106Ergios

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.21_4.21_{Se aplican fuerzas de compreson dos caras opuestas de un bloque rectangular de}

volumen V o = a o b o c o . La disminicion relativa del volumen es 0,0004 y la dismininucion relativa de

la longitud del bloque es 0,02. Hallar µ

SOLUCIÓN Se debuja en teoría ∆V V = (1

−

2µ) σx +σ y +σz E

en este caso la fuerza se aplica a lo largo del eje X , entoncesσ y =σz =0. Como es una compresión

a lo largo del eje X .

∆V V = (1

₋

2µ) σx E (1) Además E = σx ∆x , por dato ∆x =

−

∆a a o , entonces

−

∆a _a o = +σx E (2) reemplazando (2) en (1):

−

∆V = (1

₋

2µ)



₋

∆a



(28)

4.

∆V V =0,0004, ∆a a o =0,02 0,0004= (1

₋

2µ)(0,02) el coeﬁciente de Poisson:µ=0,49 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.22_4.22_{Entre dos columnas fue tendido un alambre de longitud L. En el alambre,}

exac-tamente en el centro fue colgado un farol de masa M . El area de la sección transversal del alambre es S 1 el modulo de Yo ung es E . Hallar α1 del alambre, considerando pequeño

SOLUCIÓN

El diagrama de fuerza es el siguiente



F y =0(equilibrio ) 2T senα

₋

m g =0 T = m g /2senα (1) Por deﬁnición E = σ ∆ = T S ∆ = T (L /2) S ∆L T =2ES



∆L L



(2) También cosα= L /2 L /2+ ∆L ∆ L = L 2

_

1 cosα

₋

1

_

(3) de (2), (3) en (1): 2ES



1 2



1 cosα

−

1



= m g 2senα

Haciendo aproximaciones porqueαes pequeño, se tiene: senα=α, cosα=1

₋

2sen2₍_α/₂_{) =}₁

−

2(α/2)2=1

₋

α2 2 ES



1 1

₋

α2_/₂



= m g 2α α3 1

₋

α2_/₂ = m g ES

≈

α 3 α(m g /ES )1/3 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.23_4.23_{A dos caras opuestas de un bloque cubico de acero de} ₂₅_{cm de largo se aplica}

sendas fuerzas de extension opuesta de 200K g f c /u . Hallar el ángulo de cizalla y el desplazamiento relativo. El modulo de rigidez del acero vale 8,4

_×

105_{K g f}_/_{c m}2

SOLUCIÓN

(a)Por deﬁniciónη= es f uer zoc orta nte

De forma cionc orta nte = F /S Φ Φ = F S η = F l 2_η = 200K g f 202_{c m}2

_×

_8,4

_×

₁₀5_{K g f}_/_{c m}2

(29)

4.

Φ =3,8

_×

10−7_{r a d}

(b)El desplazamientox , se determina tanΦ = x l = Φ

x = Φl =3,8

_×

10−7

×

25c m =0,95

_×

10−5_{c m}

x =0,95

_×

10−5_{c m}

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.24_4.24_{Un alambre delgado y uniforme de radio r esta colocado horizontalmente entre}

dos soportes rígidos A y B de tal maneraque la longitud del alambre es L. Una masa m se cuelga en el punto medio C del alambre, deslizándose una distancia vertical Y que es muy pequeña comparada con L . Hallar (a) el esfuerzo, (b) la deformación, (c) el modulo de Young del alambre en función de m , L, r , Y . Despreciase en cada caso cuad rados y potencias mayores de (Y /L ) comparadas con la unidad

SOLUCIÓN

(a)



F y =0, 2T cosθ = m g , t = m g /2cosθ El esfuerzo:σ= T _S =₂ m g _π_r2_cos_θ

σ= m g 2πr 2



(L /2)2_{+ y}2 Y = m g (L /2)



1+ (Y /L /2)2 2πr 2_Y σ= m g L 4πr 2_Y (b) La deformación unitaria ∆ =L f

−

L o L o =



(L /2) 2_{+ Y}2

−

(L /2) L /2 ∆ =



L 2



1+ 1 2_(V_/_L_/₂) 2

−

. ..

₋

1

_

L /2 = 2Y 2 L 2 ∆ = 2Y 2 L 2 (c) E = σ ∆ = m g L 4πr 2Y 2Y 2_/_L2 = m g L 2 8πr 2_Y3 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.25_4.25_{Una barra de}₈_{K g cuya sección recta es un cuadrado de longitud b =}₅₀_{m m ,}

tiene una longitud L = 30c m . Se mueve jaland a sobre una superﬁ cie lisa por acción de una fuerz a aplicada uniformemente sobre uno de sus extremos. La barra adquiere una aceleración constante

2,4m /s 2_{. (a) ¿Cual es el esfuerzo en una sección transversal de la barra normal a su longitud y a una}

distancia de x =25m m del extremo posterior de la barra? (b) ¿Caul es el valor de dicho esfuerzo en el centro de la barra? SOLUCIÓN (a)Hallemos la fuerza d F = a d m d F = a ρb 2_{d x}_, _{F = a}_ρ_b2



x 0 d x  F = a ρb 2x El esfuerzoσ= a ρb 2_x_/_b2_{= a}_ρ_{x = a (m b}2_{L )x} σ= a m x /b 2L =640N /m 2 (b) Parax = L 2,σ= a m (L /2) b 2_L = m a ₂_b2 =3840N /m 2 3840 2

(30)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.26_4.26_{La compresibilidad del sodio se mide observando el desplazamiento del}

émbo-lo de la ﬁgura al aplicar una fuerza F. El sodio esta sumergido en aceite que llena el cilindro por debajo del émbolo. Supongase que las paredes del cilindro son perfectamente rígidas, que no hay rozamiento ni perdida de aceite. Calculese la compresibilidad del sodio en función de la fuerza F , el desplazamiento del émbolo x , del area de este ultimo S, del volumen inici al del aceite V o , del

volu-men del sodio V o y de la compresibilidad del aceite K o

SOLUCIÓN

Hallemos el cambio de volumen del aceite:

∆V a c ₌_Vo

₋

_Sx

Hallemos el cambio de volumen del sodio debido al aceite:

∆V N a = V o

−

K o ∆p V o

Luego el cambio a que las paredes del cilindro son rígidas. Luego, por deﬁnición

K N a = ∆V N A /V o ∆p = 1 V o (V o

−

K o ∆p V o

−

V o + Sx ) ∆p K N a = 1 V o (Sx

₋

K o V o ∆p ) ∆p = 1 V o



Sx F /S

−

K o V o



, y ∆p = F /S K N a = 1 V o



xS 2 F

−

K o V o



E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.27_4.27_{Al levantar una jaula que pesa}₁₀_{T n con un cable que tiene}₂₀₀_{m de longitud y}

area de sección recta 1,000m m 2_{, este se estira}₁₇₀_{m m . Hallar la aceleración de la jaula}

desprecian-do el peso del cable que es de acero y su modulo vale 2

_×

10

6

K g f /c m

2

SOLUCIÓN

Como no hay equilibrio



F = m a

T

₋

w = m a (1)

La tension T da lugar a una deformación ∆L

T = ES ∆L L o (2) de (2) en (1) ES ∆L L o

−

m g = m a , a = ES ∆L m L o

−

g Reemplazando valores a =7,86m /s 2 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.28_4.28_{Dos bandas metálicas se mantienen unidas mediante cuatro remaches que tienen}

cada uno un diámetro de 6mm. ¿cual es la tension maxima que se puede ejercer sobre la banda remaches no ha de exceder de 7,2K g f /m m

2

?. Supongase que cada remache soporta una cuarta parte de la carga

SOLUCIÓN

Como el esfuerzo a la rotura es : σr = F _S Cada remache soporta la cuarta parte, es decir F  = F ₄, σr = F 4S F =4σr S =4σr πd 2 d = o_{p i}_σ r d 2 F =3,14

_×

7,2K g f /m m 2(6m m )2=813,8K g f

(31)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.29_4.29_{Un cubo se encaja en un hueco adecuado de paredes rígidas y sobre la cara libre}

se hace actuar la presión σz . Calcular la deformación unitaria en la dirección σz

SOLUCIÓN

Por se las paredes rigidas: ∆ y = ∆x =0 ademásσx =σ y , porque:

Se ha deducido en teoría: ∆ y 0σ y

−

µ(σx

−

σz ) E =0 σ y

−

µ(σ y +σz ) =0, σ y σz = µ 1

₋

µ También ∆x = σx −µ(σ y +σz ) E =0 σx

−

µ(σx +σ y ) =0, σx σz = µ 1

₋

µ entonces ∆z = σz −µ(σx +σ y ) E = σz −2µσx E ∆z = σz

−

2µ[σz µ/(1

−

µ)] E = σz E (1

−

µ

−

2µ 2₎ E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.30_4.30_{Un alambre uniforme esta ﬁjo en su extremo superio r y tiene un peso atado en}

el otro extremo. Si la energía de deformación por unidad de volumen es 2

_×

104_ergios _/_{c m}3_{y el}

incremento de la longitud por unidad de longitud es 2

_×

10−4_{(a) Halle el modulo de Young. (b)El}

esfuerzo

SOLUCIÓN

(a) Sabemos que el energía que almacena una barra, debido a su deformación es:

W = 1 2E V o ∆2= 1 2E (SL o )∆2 W V o = E ∆ 2 2 , E =2



W V o



1 ∆2 = 2

_×

2

_×

104 (2

_×

10−4₎2ergios /c m 3 E =1012_dinas _/_{c m}2

(b)Por deﬁnición E = σ_∆,σ=E ∆ =1012 dinas

c m 2

×

2

×

10−4

σ=2

_×

108_dinas_/_{c m}2

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.31_4.31_{Un alambre de acero cuyo densidad es}_7,8_g_/_{c m}3_{, pesa}₁₆_{g y tiene}₂₅₀_{cm de}

longitud. Si se estira 1,2mm cuando es traccionado por una fuerza de 8K g . Halle (a) el modulo de Young para el acero, (b) la energía almacenada en el alambre.

SOLUCIÓN (a) Se tiene m = ρV o = ρSL o , ρ=7,8g /c m 3, m =16g , l o =250c m , ∆L =0,12c m , F =8K g E = F L o S ∆L = F L o



m ρL o



∆L =1,99

_×

1012_dinas _/_{c m}2 (b) W = 1 2E V o ∆2= 1 2E



m



∆2=4,71

_×

105_ergios

(32)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.32_4.32_{Un tubo de goma de}₆₀_{cm de longitud y}₈_{mm de diámetro interior se estira}

hasta alargarse 12c m . Hallar el diámetro inte rior del tubo estirado , si el modulo de Poisson para la goma es igual a 0,5 SOLUCIÓN Por deﬁniciónµ= ∆r /r o ∆L /L o = L o ∆r r o ∆L ∆r = µr o ∆L L o , r = r o



1

−

µ ∆L L o



r =4m m



1

₋

0,5

_×

12 60



=3,6m m E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.33_4.33_{Sobre una superﬁcie horizontal se puso un cilindro de Cu macizo de longitud}

65cm y desde arriba se le aplico una fuerza de compresión vertical 103_{N, distribuida}

uniforme-mente por su extremo. ¿En cuanto mm 3_{cambio en este caso el volumen del cilindro?}_µ₌_0,34_,

e =11,8

_×

1010_N_/_m2

SOLUCIÓN

Se tiene deducido en teoría:

∆V V = (1

₋

2µ) E (σx +σ y +σz ) En este caso:σx =σ y =0, V = A L , ∆V _V = (1₋2µ) E σz , ∆V = 1₋2µ E σz V ∆V = (1

−

2µ) E (F / A )( A L ) = 1

₋

2µ E F L ∆V = (1

−

2

×

0,34)

×

0,65 11,8

_×

1010 m 3 ∆V =1,7m m 3 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.34_4.34_{En la ﬁgura AB es un alambre de hierro, CD un alambre de cobre de la misma}

longitud y sección transversal que el AB y BD una barra de 80c m de longitud. De esta barra se quiere colgar una carga P = 2K g f . ¿A que distancia x del punto B habrá que colgar la carga para la que la barra horizontal?

SOLUCIÓN

Para la barra de F e : ∆L F e = T _SEFe L o

Fe Para la barra deC u : ∆L C u = T Cu L o

SE Cu Por la condición del problema

∆L F e = ∆L C u T C u T F e = E C u E F e (1) Por equilibrio de momentos:



τB = x P

−

80T C u =0 (2)



τO = x T F e

−

(80

−

x )T C u =0 (3)

(33)

4.

de (2), (3) y (4): T F e T C u = 80

−

x x (5) de (1) y (5): 80

₋

x x = E F e E C u = 19,6

×

10 10 11,8

_×

1010 =1,66 se deduce:x =30c m E E JERCICIO JERCICIO N N O O 4.35

4.35 Para hacer un tirador se ha empleado un cordon de goma de 42c m de longitud y

3m m de radio. El niño que dispara con el, estira la goma 20c m al lanzar la piedra. Hallar el modulo de Young de esta goma sabiendo que una piedra cuyo peso era de 0,02K g f salió disparada por el tirador con una velocidad de 20m /s . La variación que experimenta la sección del cordon al estirarse se desprecia.

SOLUCIÓN

Cuando la goma se estira, almacena energía potencial, que sabemos esta dada por W = 1₂E V o ∆2=

1

2ESl o ∆2 Al salir disparado la piedra con cierta velocidad, esta energía cinética E c = oummv 2,

como no hay perdida de energía se tiene : W = E c

1 2ESl o ∆2= 1 2m v 2_, _{E =} m v 2l o S (∆l )2 reemplazando valores: E = 0,02

×

(20) 2

_×

_0,42 3,14

×

(0,003)2₍_0,20₎2 =2,94

×

(10) 6 N m 2 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.36_4.36_{Desde un barco se lanzo una pesa sujeta por un cable de acero para medir la}

profundidad del mar despreciando el peso de la pesa en comparación con el cable, hallar la profun-didad maxima que se puede medir por este procedimiento. La densidad del agua del mar tómese igual a 1g /c m 2

SOLUCIÓN

El cable de acero soporta una tracción debido a su peso y a la pesa adicional, es decir W 

a c +W .

Conforme el cable se sumerja estará sometido a mayor tracción, hasta el limite de resistencia a la rotura:σr S Luego: W a c  +W =σr S , segun el problema W a c 



W

W 

a c =σr S (1)

pero W 

a c es el peso del cable de acero cuando esta dentro del agua, es decir el peso aparente,

debido al empuje: W _{a c} = W a c

−

E = ρa c SH g

−

ρa SH g (2) de (1) y (2) ( ρa c

−

ρa )SH g =σr S H = σr g ( ρa c

−

ρa ) =12,000m H =12K m E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.37_4.37_{Hallar la variación relativa de la densidad de una barra de cobre cilíndrica al}

(34)

4.

SOLUCIÓN

Se sabe por teoría

∆V V =

(1

₋

2µ)σ

E (1)

Para una presión aplicada p = σ (esfuerzo de compresión) De la expresión ρ = m

V , derivado, se obtiene: ∆ ρ ρ = ∆V V (2) De (2) y (1): ∆ ρ ρ = (1

−

E 2µ)σ= (1

−

2

×

0,34 )

_×

₁₀3

_×

_9,8 1,18

_×

1011

×

10−4 ∆ ρ ρ =0,265

×

10− 3 E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.38_4.38_{Hallar la longitud que tendrá un alambre de plomo que colgado verticalmente,}

comience a romperse por su propio peso.

(σr =0,2

×

108N /m 2, ρ=11,3

×

3K g /m 3)

La fuerza que da lugar al alargamiento de la barra es la tracción gravitacional

SOLUCIÓN

d F = ρSgdz , si el cambio de gravedad es nulo

F = ρS g



L

0 d z = ρS g L

El alambre se destruirá cuando alcance la tension de ruptura F r = σr S , como F = F r , entonces

L = σr

ρg , reemplazando valores L =180,6m

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.39_4.39_{Una barra uniforme horizontal de masa}₂₀₀_{K g esta soportada horizontalmente}

por tres alambres vertical A, B, C, cada uno de una longitud inicial de 2 metros y sección recta 2c m 2_.

B es un alambre de cobre, A y C son alambres de acero y están colocados simétricamente uno a cada lado de B. Hallar: (a) la tension en cada alambre, (b) la extension en cada alambre

SOLUCIÓN

En la condición de equilibrio:



F y =0

2T a c + T C u = m g

Por deﬁnición de modulo

2

_

E a c S ∆L L o



+ E C u S ∆L L o = m g Despejando: ∆L = m g L o S (2E ac +e Cu ) y reemplazando valores: E a c =21,6

×

1010N /m 2, E C u =11,8

×

1010N /m 2 ∆L =0,36

_×

10−4_m E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.40_4.40_{¿Que diámetro mínimo debe tener un cable de acero para poder aguanta r}₁_{T n}

(35)

4.

SOLUCIÓN

Sabemos por deﬁnición de resistencia a la rotura:σr = F /S ,σr =



F πd 2

4



, despejando d =



4_πσF r



1/2 , reemplazando valores: d =



4

×

10 3

_×

_9,8 3,14

_×

7,85

_×

108



1/2 m =3,98

_×

10−3 m d =4

_×

10−3_m E EJERCICIOJERCICIO_N_N O O 4.41

4.41 Hallar de que altura se puede construi r un muro vertical de hormig ón si su re-sistencia de rotación es de 180K g /c m 2_{y se emplea un coeﬁciente de seguridad 5. La densidad del}

hormigón es de 2,200K g /m 3

SOLUCIÓN

Por deﬁnición:σr = F /S Como la fuerza que debe soportar el muro es su propio peso, se tiene

F = ρSL o

Luego:σr = ρSL o /S = ρL o reemplazando valores: L o =σr /ρ

L o =180/2200

×

10−4m =818m

como el coeﬁciente de seguridad es 5, entonces la altura del muro debe ser: 818m /5

∼

=164

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.42_4.42_{Un cilindro recto, hueco de sección circular, de función, tiene un diámetro}

exter-no de 10cm y el interior de 8c m . Si se aplica una fuerza axial de compresión de 10,000K g . Hallar el acortamiento, para 60c m de longitud y el esfuerzo de la carga. No cons idere la deformación lateral del cilindro y E =2

_×

106_{K g}_/_{c m}2

(36)

4.

Para hallar el acortamiento por teoría



L = L o



La deformación unitaria:



=σ/E Luego el esfuerzo: σ=F /S = F /π(r ₂2

₋

r ₁2) Entonces:

_

L = L o F /E π(r 22

−

r 12) reemplazando:



L =0,011c m E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.43_4.43_{Una varilla circular maciza de acero de}₁₀_{mm de diámetro de}₃₀_{cm de}

longi-tud, esta rígidamente unidad al exterior de una barra cuadrada de bronce de 8cm de largo y 20c m de longitud, con sus ejes sobre la misma recta. Se aplica una fuerza de tracción axial de 1000K g en cada extremo. Hallar el alargamient o total del conjunto. Para el acero E a = 20

_×

105_{K g}_/_{c m}2_{y el}

bronce E b =9

_×

105_{K g}_/_{c m}2

SOLUCIÓN

Hallemos la deformación para el acero:



L a = F I 1/S 1E a



L a = 1000

_×

30 3,14(0,5)2

×

20

_×

105



L a =0,0191c m Para el bronce:



L b =F I 2/S 2E b



L b = 1000

_×

20 8

_×

8

_×

9

_×

105



L b =0,00035c m

Al alargamiento pedido sera:



L a +



L b =0,0191+0,00035

(37)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.44_4.44_{Una barra de bronce de}₂₀_{c m}2_{de sección esta sometida a las fuerzas axiales}

representada en la ﬁgura. Hallar el alargamiento total de la barra. E =1

_×

106_{K g}_/_{c m}2

SOLUCIÓN

Region AB

La deformación longitudinal es un alargamiento:



L A B = F L /SE



L A B =6000

×

100/20

×

106=0,03c m

Region BC:

La deformación es una compresión:



L BC =

−

2000

_×

150 20

_×

106



L BC =

−

0,015c m

Region CD:

La deformación es una compresión



L C D =

−

500

_×

200 20

_×

106



L C D =

−

0,005c m

La deformación total es un alargamiento:

(38)

4.

E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.45_4.45_{Una placa de acero delgada tiene la forma trapezoidal de la ﬁgura. El espesor es}

e y varia uniformemente desde una anchura de 2a hasta otra de 2b en una longitud L o . Si se aplica

en cada extremo una fuerza axial de F . Hallar el alargamiento de la placa, si se conoce E

SOLUCIÓN

Se puede observar que la deformación no es homogénea, de la expresión:



L = F L /SE

Para un diferencial de deformación se tendrá: d

_

L = F d x /SE d



L = F d x /2 y e E (1)

Por semejanza de triángulos:

y

₋

a x

₋

0 = b

₋

a L

₋

0, y = x L (b

−

a ) + a

reemplazando en (1) el valor de y e integrando:



L =



L 0 F d x 2



x L (b

−

a ) + a



e E = F L 2e (b

₋

a ) ln(b /a ) E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.46_4.46_{Una barra cónica maciza de sección circular esta suspendida vertical como en la}

ﬁgura. La longitud de la barra es L, el diámetro de su base D, el modulo de elasticidad E y el peso especiﬁco es γ. Hallar el alargamiento de la barra debido a su propio peso.

(39)

4.

Usando nuevamente la expresión:



L = F L /SE en este caso: d

_

L = W d y SE (1) donde: W =γV =γ1/3Sy (2) DE (2) en (1) d (

_

L ) = (γ y S /3)d y /SE integrando:

_

L = γ 3E



L 0_{y d y}



L =γL 2/6E E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.47_4.47_{Se tiene un estado de tension en un elemento para el cual se ejerce una tension}

de σ y , en una dirección y se impide totalmente la contracción lateral en las otras dos direcciones.

Hallar la relación σ y /



y

SOLUCIÓN

(40)

4.



x =

_

z =0 De las ecuaciones de teoría:



x =1/E [σx

−

µ(σ y +σz )] (1)



y =1/E [σ y

−

µ(σx +σz )] (2)



z =1/E [σz

−

µ(σx +σ y )] (3) De (1) 0=σx

−

µ(σ y +σz ) σx =µ(σ y +σz ) (4) de (3) 0=σz

−

µ(σx +σ y ) σz =µ(σx +σ y ) (5) De (5) en (4) σx =µ[σ y +µ(σx +σ y )] σx =µσ y (1

−

µ) (6) de(6) en (5): σz =µ



µσ y 1

₋

µ +σ y



= µσ y 1

₋

µ (7) De (6) y (7) em (2):



y = 1 E



σ y

−

µ



µσ y 1

₋

µ + µσ y 1

₋

µ



simpliﬁcando σ y



y = E (1

−

µ)/(1

−

µ

−

2µ 2₎ E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.48_4.48_{Una union remachada de dos placas metálicas tiene n}o _{pernos de cierto}

materi-al. La maxima tension que se puede ejerce r sobre la banda es T y la fatiga por cizalladura tien e un valor máximo en los remaches dados por σT . Hallar el diámetro de cada remache.

(41)

4.

SeaT la fuerza que se ejerce sobre la barra, en la que hay n o_{pernos, la fuerza sobre un perno sera:}

F T = T /n oPor deﬁnición de cizalladura σT = F T S = T /n o πd 2_/₄ = 4T n o_π_d2,



4T n o_πσ T =d E

EJERCICIOJERCICIO N NOO_4.49_4.49_{Se tiene un tubo de bronce que rodea a un cilindro macizo de hormigón,}

com-primido todo el conjunto entre placas inﬁnitamente rígidas, por fuerzas aplicadas centralmente como en la ﬁgura. El cilindro de hormigón tiene 12cm, de diámetro y el diámetro exterior del tubo de bronce es de 15cm . Si la fuerza es de 5,000K g . Hallar las tensiones en el bronce y en el hormigón. Para el bronce E =9

_×

106_{K g}_/_{c m}2_{y el Aluminio E =}₇

×

106_{K g}_/_{c m}2

SOLUCIÓN

Seaσb el esfuerzo debido al bronce y σ Al al aluminio. Por condición de equilibrio:



F =0

F

₋

F b

−

F Al =0

F = F b + F Al (1)

Las deformaciones que se producen en el bronce y aluminio son iguales, debido a las placas rígi-das: ∆b = ∆ Al F b L S b _Eb = F AL L S Al _E Al (2) donde S b =π[(7,5)2

−

(5)2] =31,25πc m 2 S Al =π(6)2=36πc m 2 reemplazando en (2): F b =1,113F Al (3) de (3) en (1):