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Capítulo
10c
:
Número neperiano.
1. Objeto de estudio.
En este capítulo se analiza desde la matemática al número neperiano “e”, el motivo de su estudio es la necesidad de “medir” la conducta de los técnicos; aquellos que son los responsables de las ta-reas de proyecto, cálculo y ejecución de los edificios.
Existen diferentes formas de medir según el objeto de inves-tigación, desde la física la medición se realiza con las herramientas elementales (cinta métrica) y con las operaciones elementales de la
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aritmética porque sus leyes se consideran precisas, exactas y repetiti-vas. Pero cuando se trata de medir la conducta humana, sea de mane-ra individual o colectiva la tarea se complica mucho.
Si bien ahora estamos dentro del campo de las ciencias de las físicas (ciencias duras), el diseño de las cargas es un trabajo muy di-fícil porque debe ser pronosticado a futuros desde los antecedentes del pasado; el factor humano en los reglamentos o normativas se lo presenta como el Coeficiente de Seguridad.
Ese coeficiente deberá ser más elevado cuanto menos fiable es la comunidad técnica que participará en la ejecución del edificio. Por ello la psicofísica emplea ecuaciones que determinan ese coefi-ciente de seguridad según los datos que tenga del colectivo técnico responsable de la obra; allí aparece el número neperiano. Este núme-ro irracional puede interpretar la conducta futura.
Kant: “…nada estrictamente recto puede hacerse del torcido
leño del que están hecho los humanos…”
Thorndike: “…cuando medimos algo, bien sea en el campo
de la física, de la biología o de las ciencias sociales, esa medición contiene una cierta cantidad de errores aleatorios. La cantidad de error puede ser grande o pequeña, pero siempre estará presente…”
Con la interpretación de las frases anteriores las ciencias de la construcción nos plantea dos tipos de errores: a) el cometido en alguna de las fases de ejecución de la obra y b) el de medición de la conducta del colectivo de técnicos que participan.
2. Número neperiano.
Historia y análisis.
El número “e” neperiano, fue descubierto a principios del 1.600 por John Napier y luego perfeccionado por otros, en especial por Euler en 1720. Es un número irracional no expresable por rela-ción de enteros. Tampoco es posible establecerlo con un número fi-nito de cifras o con decimales periódicos. Se obtiene de una función límite:
(
)
Su resultado: e = 2,718280….
Cuando este número se lo usa como base de un exponente o en la forma de logaritmo, presenta notables cualidades para in-terpretar fenómenos de la teoría de complejidad o del azar. Las cargas tienen esa característica aleatoria, por otro lado el hombre que las calcula o predice también lo tiene. Se lo usa para el diseño de los coeficientes de seguridad y los de reducción en cargas com-binadas.
Los logaritmos más comunes son el “vulgar” de base 10 y el “natural” o “neperiano” de base “e”. Este último se lo puede de-finir como:
El de base 10:
El de base “e”:
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Ejemplos:
Coeficiente de seguridad.
Esta última expresión de exponencial de base neperiana lo analizamos. Entre sus cualidades, el neperiano toma el valor 1 (uno) cuando la variable de potencia es 0 (cero).
Este fenómeno se puede interpretar de la siguiente manera: el factor de potencia se compone de variables que resultan de cali-ficar las tareas que realiza la comunidad técnica. Citamos un ejemplo ideal: cuando la incertidumbre no existe, cuando las dudas son nulas, los controles de obra son exactos, los materiales son perfectos y otras variables sin ninguna desviación; en ese caso ideal el factor de potencia es cero y el neperiano adopta el valor uno.
En este caso ideal imaginario, la resistencia de la estructu-ra (R) es igual a las cargas que la solicitan (S). Recordemos una vez más; cuando la incertidumbre es nula, el coeficiente de seguri-dad es uno.
γ: Coeficiente de seguridad. R: Resistencia de la estructura. S: Cargas que actúan.
En esta situación teórica ideal con un coeficiente de segu-ridad igual a uno significa que no es necesario mayorar las cargas o reducir las resistencias, porque estamos en la utopía de una co-munidad técnica perfecta.
Como la realidad es otra, veremos más adelante la deter-minación de los coeficientes de seguridad γ (Cirsoc 106) y de los factores de superposición ψ (Cirsoc 105).
3. Coeficiente de seguridad según Cirsoc 106.
Coeficiente de seguridad.
Ya lo dijimos. Depende de la incertidumbre y del valor de falla, con esas variables y el neperiano es posible establecer el coe-ficiente de seguridad a emplear en el diseño y cálculo de un edifi-cio:
El “β” se denomina “índice de seguridad”, es función de la vida útil del edificio, de la probabilidad de falla y de la cantidad de personas en riesgo, está establecido en el R106. Un estadio
cubier-4
to que alberga miles de espectadores posee un “β” muy superior al de un depósito de granos.
El “δ” es la dispersión que presenta una determinada po-blación o comunidad técnica de una región. Una sociedad técnica ideal, imaginaria, de una extraordinaria capacidad de control, don-de no existieran errores, olvidos o incertidumbres, dondon-de sus miembros tuvieran esa virtud absoluta y magnífica, en esas cir-cunstancias el “δ” se aproxima a cero; esta situación la expresa-mos en párrafos anteriores.
También puede existir un colectivo técnico real que efec-túe una riguroso y repetido control en cada una de las fases del edificio, pero sin separarse de su condición humana del error, esa comunidad excelente podría tener un δ = 0,05. Por último si la comunidad es distraída y negligente el valor de los δ alcanza valo-res de 0,30 y también superiovalo-res.
Caso uno: situación ideal teórica.
Resolvamos la ecuación anterior. La aplicamos a un edifi-cio de elevado índice de seguridad (teatro, estadio) con un beta = 5.
β = 5 δ = 0,00
γ = 1,0
El proyecto (ideal) se realiza sobre la hipótesis de resistencia de los materiales “R” y cargas actuantes “S” invariables y precisas
Caso dos: situación real de control riguroso.
Beta = 5 y delta 0,05
Gama = 1,28
β = 5 δ = 0,05
γ = 1,28
Para el proyecto se supone un control riguroso de los materiales “R” y también un cuidadoso cálculo de las solicitaciones “S”:
Por esos reducidos “deslices” del colectivo técnico (factor humano) la resistencia de la estructura deberá ser un 28 % de las cargas que actúan.
Caso tres: Situación ideal de control pobre:
Beta = 5 y delta 0,30
Gama = 4,48
β = 5 δ = 0,30
γ = 4,48
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Existe inseguridad en la calidad de los materiales, en la ejecución de los cálculos y en el control de obra, en ese caso el proyecto debe realizarse con coeficientes de seguridad altos.
En este caso la resistencia deberá estar en un 348 % por arriba de las acciones. Por ejemplo si la carga real es de 100 kN por los antecedentes de la región (gestión pobre), la carga de dise-ño deberá ser 448 kN, casi cinco veces más.
En resumen: el coeficiente de seguridad depende de la ca-tegoría o importancia del edificio y de la capacidad de control que posea la comunidad técnica que trabaje en ese edificio, desde el proyecto, hasta su finalización y uso. Lo interesante de este asunto es que pueda ser expresado mediante el exponencial del neperiano.
4. Otras aplicaciones.
A continuación desarrollamos algunos notables ejemplos de su aplicación:
Catenaria:
La forma que adopta un cable suspendido por sus extre-mos:
Edad:
La antigüedad de un objeto que contiene materia orgánica se puede establecer en función de la reducción del carbono 14. Los seres vivos lo poseen de manera constante. Luego de la muerte esa cantidad disminuye. La función que establece la desintegración:
Q: cantidad de carbono final.
Q
0: carbono inicial.
Δt: tiempo transcurrido.
Biología:
El crecimiento es exponencial. Se lo estudia en especies que por vez primera llegan a una determinada región. También luego de un incendio de un bosque.
N0: población inicial.
t: tiempo.
Permite predecir la población N, desde una población ini-cial en un tiempo t.
