Anexo. Aplicaciones de los Determinantes



Anexo. Aplicaciones de

los Determinantes

02 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016®

Not a Técnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtual es Iberoamericanas. Su difusión, reproducción o uso t otal o parcial para cual quier ot ro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

Índice

1 Cálculo del rango usando determinantes ... 3

1.1 Ejemplo: Estudio del Rango de la matriz resolviendo el determinante. ... 3

2 Cálculo de la matriz adjunta ... 4

3 Cálculo de la matriz inversa usando determinantes ... 4

3.1 Ejemplo matriz 2x2 ... 5

1

Cálculo del rango usando determinantes

1.1 Ejemplo: Estudio del Rango de la matriz resolviendo el determinante.

Determinar el rango de la siguiente matriz

𝐴 = (

1 1 0

2 2 1

0 0 1

)

El rango de una matriz nos indica el número de vectores linealmente independiente que forman esa matriz.

Podemos en ocasiones podemos observar a simple vista si los vectores son linealmente dependientes o no. Cuando esto no es posible recurriremos a otros métodos como por ejemplo resolver el determinante de la matriz.

 Si el determinante es nulo, entonces existen vectores linealmente dependientes, y habrá que buscar un determinante de orden menor.

 Si el determinante es distinto de cero entonces el rango de la matriz equivale al número de vectores linealmente dependientes.

En este caso el determinante es nulo eso quiere decir que por lo menos dos vectores son linealmente dependientes.

Habrá que buscar un determinante de orden menor distinto de cero. Por ejemplo el que forman los dos primeros vectores.

04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016®

Not a Técnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtual es Iberoamericanas. Su difusión, reproducción o uso t otal o parcial para cual quier ot ro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

Los vectores señalados son linealmente independientes porque su determinante es distinto de cero, luego podemos afirmar que el rango de la matriz es Rg=2Cálculo de la matriz inversa usando determinantes.

2

Cálculo de la matriz adjunta

La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar.

|𝐶| = |

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

| = |

+ − +

− + −

+ − +

|

Los adjuntos para esta matriz son

𝑎

= |

𝑎

_𝑎

_𝑎

𝑎

| 𝑎

= − |

𝑎

_𝑎

_𝑎

𝑎

| 𝑎

= |

𝑎

_𝑎

𝑎

_𝑎

|

𝑎

= − |

_𝑎

𝑎

_𝑎

𝑎

| 𝑎

= |

𝑎

_𝑎

_𝑎

𝑎

| 𝑎

= − |

𝑎

_𝑎

𝑎

_𝑎

|

𝑎

= |

𝑎

_𝑎

_𝑎

𝑎

| 𝑎

= − |

𝑎

_𝑎

_𝑎

𝑎

| 𝑎

= |

𝑎

_𝑎

𝑎

_𝑎

|

3

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de

los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

3.1 Ejemplo matriz 2x2

Obtener la matriz inversa de 𝐴 = (1 0 1 3)

Para obtener la matriz inversa seguiremos 3 pasos. 1. obtener el determinante

2. obtener la matriz adjunta

06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016®

Not a Técnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtual es Iberoamericanas. Su difusión, reproducción o uso t otal o parcial para cual quier ot ro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

1 obtener el determinante

|𝐴| = |1 0

1 3

| = 3

2. obtener la matriz adjunta

𝐴 = (1 0

_{1 3}

) = (

+ −

_{− +)}

𝑎

= 3 ,

𝑎

= −1

𝑎

= −0 ,

𝑎

= 1

La matriz adjunta de A será

𝐴

= (3 −1

₀

₁

)

3 obtner la matriz adjunta traspuesta

Obtemer la matriz traspuesta de una matriz dada significa que (definición)

Es decir lo que actualmenete es fila pasa a colocarse como una columna viceversa.

𝐴

= ( 3

_{−1 1}

0

)

𝐴

₌

1

3

( 3

−1 1

0

) = (

1

0

−1/3 1/3)

Obtener la matriz inversa de

𝑨 = (𝟐 𝟐

_{𝟏 𝟐}

)

1 obtener el determinante

|𝐴| = |𝟐 𝟐

𝟏 𝟐

| = 1

2. obtener la matriz adjunta

𝐴 = (𝟐 𝟐

_{𝟏 𝟐}

) = (

+ −

_{− +)}

𝑎

= 2 ,

𝑎

= −1

𝑎

= −2 ,

𝑎

= 2

𝐴

= ( 2

₋₂

−1

₂

)

3 obtner la matriz adjunta traspuesta

𝐴

_{= ( 2}

−2

−1

2

)

𝐴

₌

1

1

( 2

−1

−2

2

) = ( 2

−1

−2

2

)

Obtener la matriz inversa de

𝐴 = (

1 2 1

1 1 1

0 0 1

)

|𝐴| = |

1 2 1

1 1 1

0 0 1

| = −1

2. obtener la matriz adjunta

𝐴 = (

1 2 1

1 1 1

0 0 1

) = (

+ − +

− + −

+ − +

)

𝑎

= |1 1

_{0 1}

| = 1 𝑎

= − |1 1

_{0 1}

| = −1 𝑎

= |1 1

_{0 0}

| = 0

𝑎

= − |2 1

_{0 1}

| = −2 𝑎

= |1 1

_{0 1}

| = 1 𝑎

= − |1 2

_{0 0}

| = 0

𝑎

= |2 1

_{1 1}

| = 1 𝑎

= − |1 1

_{1 1}

| = 0 𝑎

= |1 2

_{1 1}

| = −1

La matriz adjunta de A será

𝐴

= (

1

−1

0

−2

1

0

08 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016®

Not a Técnica preparada por Asturias: Red de Universidades Virtual es Iberoamericanas. Su difusión, reproducción o uso t otal o parcial para cual quier ot ro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

3 obtner la matriz adjunta traspuesta

𝐴

= (

1

−2

1

−1

1

0

0

0

−1

)

𝐴

₌

−1

1

(

1

−2

1

−1

1

0

0

0

−1

) = (

−1

1

−1

2

−1

0

0

0

1

)