Ecuaciones lineales
Objetivos: Al terminar esta lección podrás definir lo que es una ecuación lineal y podrás resolver ecuaciones lineales.
Una ecuación es un enunciado que declara la igualdad de dos expresiones. Escribimos una ecuación poniendo el signo de igualdad, “=”, entre las dos expresiones.
Ejemplos 1) 5 = 3 + 2 2) 1 = 2 3) 3x + 1 = 7 4) x = x + 1 5) 2(3x +1) - 4 = 6x - 2
Una ecuación puede ser siempre falsa, como los ejemplos 2 y 4 de arriba; puede ser siempre cierta como los ejemplos 1 y 5; o puede ser cierta para algún(os) valores de las desconocidas y falso para otros, como el ejemplo 3. El ejemplo 3 muestra una ecuación que es cierta si x = 2, pero es falsa para cualquier otro valor de x.
Las ecuaciones que son ciertas para todos los valores legítimos de las variables son llamadas
identidades. Un valor legítimo es uno para el cual los dos lados de la ecuación están definidos.
Las ecuaciones que son falsas para todos los valores legítimos de las variables son llamadas
contradicciones. Una ecuación que es cierta para algunos valores de la(s) variable(s) y falsa para
otros valores es llamada una ecuación condicional. Ejemplos:
6)
2
x
−
1
=
2x
−
6
x
2−
4x
+
3
es una identidad porque para todo valor de x para los quelos dos lados de la ecuación estén definidos, la ecuación es cierta. Por ejemplo, si x = -4, la ecuación se convierte en
2
−
5
= −
14
35
, lo cual es cierto. Similarmenteocurre con cualquier otro valor de x que no sea 1 ni 3, (1 y 3 implican división por 0).
7)
5
2x
−
1
=
3x
−
8
es una ecuación condicional pues se satisface sólo para x = 3y para x = 1/6.
8)
3x
−
9
=
3x
+
1
es una contradicción porque no existen valores de x para los que la ecuación se haga cierta.Nos interesa determinar los valores que hacen cierta a una ecuación condicional. Para determinar estos valores nos valdremos de algunas propiedades de las ecuaciones.
Para cualesquiera números reales a, b, y c , las siguientes propiedades son válidas: 1) Si a = b, entonces b = a .
2) Si a = b y b = c, entonces a = c. 3) Si a = b , entonces a + c = b + c.
4) Si a = b y c ≠ 0, entonces a•c = b•c, y además a/c = b/c.
Cuando cambiamos una ecuación mediante la aplicación de una de estas propiedades, la ecuación resultante se dice equivalente y tiene las mismas soluciones que la ecuación original. Nuestro objetivo es transformar la ecuación hasta obtener una ecuación equivalente de la forma x = a, cuya solución es, obviamente, a. Al proceso de hallar la(s) solución(es) de una ecuación le llamamos
resolver la ecuación. Una clase de ecuaciones que frecuentemente necesitamos resolver está
formada por las ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una en la que las variables que
aparecen no están elevadas a ninguna otra potencia que no sea la primera potencia. Una ecuación lineal en una variable es una ecuación que puede escribirse en la forma ax +b=c .
Ejemplos de ecuaciones lineales: 9)
12x
−
7
=
23
Si aplicamos la propiedad 3 con c = 7, obtenemos
12x
−
7
+
7
=
23
+
7
que al simplificarse nos da
12x
=
30
La aplicación de la propiedad 4 con c = 1/12, produce
12x
⋅
1
12
=
30
⋅
1
12
que al simplificar se convierte en
x
=
30
12
=
5
⋅
6
2
⋅
6
=
5
2
Por lo tanto la solución a la ecuación es
5
2
.10)
4y
+
9
=
13
−
2 y
(
+
3
)
Es equivalente a
4y
+
9
=
13
−
2y
−
6
(aplicando la propiedad distributiva)⇔
4y
+
9
=
7
−
2y
(asociando 13 y -6)⇔
4y
+
9
+
2y
=
7
−
2y
+
2y
(propiedad 3 con c = 2y)⇔
6y
+
9
=
7
(asociando 4y y 2y en el lado izquierdo, -2y y 2y en el derecho)⇔
6y
+
9
−
9
=
7
−
9
(propiedad 3 con c = -9⇔
6y
= −
2
⇔
1
6
⋅
6y
=
1
6
⋅
(
−
2)
(propiedad 4 con c = 1/6)⇔
y
= −
2
6
= −
1
Note que hemos usado
⇔
delante de una ecuación para indicar que es equivalente a la ecuación previa. Podemos abreviar un poco el proceso si notamos que cuando queremos eliminar el término c de un lado de la ecuación, podemos simplemente añadir el término opuesto de c en el otro lado de la ecuación y anular a c en el lado en que estaba originalmente.Ejemplo 11)
2
3
x
−
4
=
5
7
⇔
2
3
x
=
5
7
+
4
⇔
2
3
x
=
5
+
4
⋅
7
7
⇔
3
2
⋅
2
3
x
=
3
2
⋅
33
7
⇔
x
=
99
14
Para resolver ecuaciones, podemos proceder de la siguiente manera: 1ro: Expandir para deshacernos de los paréntesis, si los hubiera .
2do: Juntar todos los términos numéricos en un lado de la ecuación y todos los términos con variables en el lado opuesto.
3ro: Consolidar todos los términos semejantes para obtener una ecuación con un sólo término en cada lado.
4to: Multiplicar o dividir por una cantidad conveniente en ambos lados para que quede la variable sola. Ejemplos: 12)
2x
+
3
=
x
−
4 5
(
−
x
)
+
1
⇔
2x
+
3
=
x
−
20
+
4x
+
1
⇔
2x
−
x
−
4x
= −
20
+
1
−
3
⇔ −
3x
= −
22
⇔ −
3x
−
3
= −
22
−
3
⇔
x
=
22
3
13) 23
(
x
−
12)
+
8
=
15−
2 3x
(
+
10
)
⇔
2 3x
−
13+
8
=
15−
6x
−
20
⇔
2 3x
+
6x
=
15−
20
+
13−
8
⇔
2+18 3x
=
3−30015+5−120⇔
3 20⋅
203x
=
203⋅
−41215⇔
x
=
−412 100=
−25103 14)⇔
4x+
53=
8
−
x 6⇔
x 4+
x6=
8
−
53 ⇔12⋅x 4 + x 6(
)
=12⋅8−5 3(
)
:note que 12 es el menor denominador común de todos los denominadores.⇔
3x
+
2x
=
96
−
20
⇔
5x
=
76
⇔
x
=
765Ejercicios:
Resuelve las siguientes ecuaciones: 1)
7x
+
5
=
26
2)
9
−
2 x
=
5x
−
19
3) 12
x
+
5
=
10
−
13x
4) 35(
x5−
74)
+
2
=
7 x10
+
11
RespuestasPodemos usar ecuaciones lineales para resolver algunos problemas relacionados con operaciones financieras.
Ejemplos
15) El precio de venta de una silla refleja una ganancia de 40% sobre su costo. Si el precio de venta es $85, ¿cuál es el costo de la silla?
Solución: Si denotamos con x al costo de la silla, entonces 85= x+.40x. Resolviendo esta ecuación para x, obtenemos:
85 =1.40 x
⇒
85
1.40
=
x
⇒
x
≈
60.71
. Por lo tanto16) En el país de Tributolandia, para un nivel de ingresos tributables mayor de $40,000, la responsabilidad contributiva es de $10,000 más el 45% del exceso de $40,000. Si la ciudadana María pagará $13,000 como tributo por sus ingresos, ¿cuánto fue el ingreso tributable de María?
Solución: Si I denota el ingreso tributable de María, el exceso de $40,000 puede representarse con (I-40,000). El 45% de eso es 0.45(I-40,000). Ahora podemos formar la ecuación 13,000 = 10,000 + 0.45(I-40,000). Resolviendo esta ecuación para I, obtenemos 3,000 = 0.45I -0.45(40,000)
⇒
3,000 + 0.45(40,000) = 0.45I⇒
3,000 + 18,000 = 0.45I⇒
21,000/0.45 = I⇒
46666.67 ≈ IEl ingreso tributable de María fue $46,666.67.
