Problema 01
Definimos en una operación matemática representada por * de la siguiente manera:
a * b a 22b 5
Sobre la base de la definición dada, calculemos las siguientes operaciones:
a) 2 * 3 b) 6 * 1 c) a * b2 3 d) b * a Solución:
Para llevar a cabo la resolución, primero debemos aclarar lo siguiente: Si escribimos: a * b y solicitamos calcular 2 * 3 , debemos poner especial cuidado en identificar cada elemento con el valor que le corresponde. Así, al primer elemento (a) le corresponde el valor 2(a 2) y al segundo elemento (b) le corresponde 3(b 3)
Como:
Procederemos de manera análoga para los demás casos.
Entonces:
6 * ( 1) 6 2 2( 1) 5 39
a * b3 2 (a )3 22(b ) 5 a2 62b25
b * a b 22a 5 Nótese aquí que: a * b b* a
Problema 02 Definimos en :
Luego, calculando para algunos valores al azar:
Problema 03
Si: a * b=2a+3b , hallar 3 * 4
a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
Solución:
a * b=2a+3b
3 * 4=2 3 +3 4 3 * 4 6 12 3 * 4 18 Rpta.
Como usted ha visto, lo único que tenemos que hacer es reemplazar valores.
Problema 04
Si se define: a b a 23ab b Hallar: 5 2
a) 52 b) 36 c) 53 d) 27 e) 65
2 2(3) 3
2 7 7(8) 28
2
3 3(4)
27 3 6
2
a * b a 22b 5 2* 3 2 22(3) 5 15
Regla de definicion
x(x 1)
x 2
Operador Matemático
5 ¡No se puede!, pues 5 , y decimos que la operación no está definida para este valor.
¡No se puede!, pues 1/3 .
13
Solución:
Tal como en el caso anterior, procedemos a reemplazar los valores respectivos.
a b a 23ab b 523 5 2 2
52 30 2
53 Rpta.
Problema 05 Si se cumple que:
a* 3a , si “a” es número par a* 2a , si “a” es número impar Halla el valor de: E 2 *5*7*10* a) 52 b) 36 c) 60 d) 27 e) 65
Solución:
En este caso la aplicación de la definición depende del hecho de que si el número es par o impar, entonces tendremos:
2* 3 2 6 Pues 2 es número par 5* 2 5 10 Pues 5 es número impar 7* 2 7 14
10* 3 10 30 Entonces:
* * * *
E 2 5 7 10 6 10 14 30 60 Rpta.
Problema 06
Si: ; hallar:
a) 22 b) 36 c) 20 d) 28 e) 45
Solución:
El operador aquí es una figura; ello no varía nuestro método de solución.
Procedamos:
20 Rpta.
Problema 07
Hallar el valor de:
a) 21 b) 31 c) 45 d) 30 e) 50
Solución:
Resolveremos inicialmente los rombos interiores, aplicando la definición que le corresponde de acuerdo a si el producto es mayor o menor que 20, luego con los resultados resolveremos el rombo mayor. Veamos:
Reemplazando en el rombo mayor:
31 Rpta.
a b c
3a 2b c
1
5 7
a b c
3a 2b c
1 5 7
3 1 2 5 7 3 10 7 20
a
b 5a 2b 1
b
a 3b 2 a ... Cuando ab>20 ... Cuando ab<20
1 4
6 7
1
4 1 4 4 20, luego la operación será:
1
4 =5 1 2 4 1 5 8 1 14 6
7 6 7 42 20, luego la operación será: 6
7 3 6 2 7 18 2 7 13
1 4
6 7
14
13
14 13 182 20
14
13
3 14 2 13 31
Problema 08
Si: 1
a * b * c a b c
2 Hallar: E 5 *1* 4 *1* 2
7 * 9 * 4
a) 3
2 b) 7
4 c) 3 5 d) 2
7 e) 7 2 Solución:
Debemos empezar hallando el valor del paréntesis, el cual a su vez depende del valor del numerador y del denominador, que hallaremos por partes, así:
5 *1* 4 1 5 1 4 5
2
7 * 9 * 4 1 7 9 4 10
2 Luego: E 5 *1* 2
10
5 *1* 2 1 5 1 2
10 2 10
7
4 Rpta.
Problema 09
Si: a * b a 2b2 y 8 * 39 Hallar " " , si se sabe que es positivo.
a) 4 b) 5 c) 8 d) 10 e) 16
Solución:
Del dato: 8 * 39
Aplicándole la definición: 82239 Despejamos “q”: 642 39
252 5 Rpta.
Problema 10
Si: m n
m n m n
y 8 n 7 Hallar el valor de “n”
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
Solución:
Su dato: 8 n 7
Apliquémosle la definición: 8 n 7 8 n
¿Y ahora?... resolvemos: 8 n 7 8 n De donde: n 6 Rpta.
Problema 11 Si
además:
Así mismo: c * dc d 2c d 2 Hallar: m * n
a) 100 b) 102 c) 94 d) 112 e) 56
Solución:
Para poder hallar m * n , debemos de calcular m y n, para lo cual hemos de resolver los datos.
De ( I ):
De ( II ):
Reemplazando ( III ) en ( IV )
7n n 16 n=2 y m=14 Luego: m * n 14 * 2 14 2 214 2 2
14 * 2 112 Rpta.
a b a b
a
b
3
4 m
n
y ... ( I )
p q
y
p q
m n
4
... ( II )
3 m n 3
4 m+n 4
m
n 4m 4n 3m 3n m 7n ... ( III )
n
4 m+n 4
m m n 16 ... ( IV )
Problema 12
Si: a * b 2a 5b y x * y 16 p%q 5p 2q x%y 11 Hallar (x+y)
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
Solución:
Vemos que tenemos que hallar los valores de “x” e
“y” independientemente:
Tenemos 2 operaciones distintas (* y %), así como los resultados de sus aplicaciones a “x” e “y”, usemos entonces estas aplicaciones para hallar “x” e
“y”.
x * y 16 2x+5y=16 … ( I ) x%y 11 5x 2y=11 … ( II ) Resolvamos ( I ) y ( II )
2 2x 5y 2 16 4x+10y=32 +
5 5x 2y 5 11 25x 10y =55 29x 87 x=3 Al reemplazar en ( I ) obtenemos:
2 3 5y 16 y 2 Luego: x y 2 3 5 Rpta.
Problema 13
Se define: A2A25A 3 Calcular: 2
a) 23 b) 21 c) 27 d) 20 e) 16
Solución:
“A” asumirá el valor de –2 A2A25A 3
2 2 2 25 2 3
2 21 Rpta.
Problema 14
Si se cumple que: a
4a 3b
b
Hallar:
4 5 1 3 3 2
a) 91 b) 62 c) 64 d) 92 e) 63
Solución:
1 4 1 3 3 5
3 3 4 3 3 2 6 2 Luego:
4 5
4 4 3 5 4 5 3 6
5 6
4 5
5 6
62 Rpta.
Problema 15
Se define la operación
*
, en el conjunto
6 , 4 , 2
mediante la tabla mostrada:* 6 4 2
6 4 2 6
4 24 26 46
2 6 4 2
Calcular:
6 2 2 4
E
*
4 2* *
*
a) 1
13 b) 13 c) 1 d) 1 e) 2 23
Solución:
Forma de ubicar valores en la tabla:
a b R
*
De la tabla obtenemos los siguientes valores:
6 2 6 2 4 4 4 2 46
*
*
*
Luego:
6
2E 46 46
* 4
E 1
23 Rpta.
b . . a ... R
*
Problema 15 Si se cumple que:
Calcular:
a) 27 b) 26 c) 24 d) 28 e) 29
Solución:
Luego reemplazamos en la figura mayor:
27 Rpta.
Problema 16
Se define: a 2a 1 Hallar “x” en: x 2 13
a) 1,5 b) 3,5 c) 3 d) 6,5 e) 4,5
Solución:
1er paso:
Al numeral 13 le damos la forma: 2a 1 13 2 6 1 , luego: 6 13 2da paso:
Al numeral 6 le damos la forma : 2a 1
5 5
6 2 1 , luego: =6
2 2
Finalmente: 5 13
2
Luego: x 2 5
2
De donde por analogia, se tendra que:
5 5
x 2 x=2+
2 2
x 4,5 Rpta.
a b
c3a 2b c
2 3
1
3 1
2 1
2 3
2 3
13 2 2 3 1 1
3 1
23 3 2 1 2 9
1 2
33 1 2 2 3 2
9 1
23 9 2 1 2 27
Problema 17 Se define en R
a a a 24
Calcular:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4
Solución:
Al no tener definida la operación triángulo debemos despejar de la segunda expresión, aplicando la primera.
Pero por definición de la segunda operación tenemos.
Completando:
Aplicando la regla de formación:
2 Rpta.
x 4x 40
23
24
x x x
x224 x 4 x 40
x 224 x 144 4x 40 144
x 12 4x 104 x 2 x 26 12
23 2 23 26 12 23 2 7 12 23
