x(x 1) x 2(3) 7(8) (4) a * b a 2b 5 Sobre la base de la definición dada, calculemos las siguientes operaciones: a) 2* 3 b) 6 * 1 c) a * b

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(1)

Problema 01

Definimos en una operación matemática representada por * de la siguiente manera:

a * b a 22b 5

Sobre la base de la definición dada, calculemos las siguientes operaciones:

a) 2 * 3 b) 6 * 1 c) a * b2 3 d) b * a Solución:

Para llevar a cabo la resolución, primero debemos aclarar lo siguiente: Si escribimos: a * b y solicitamos calcular 2 * 3 , debemos poner especial cuidado en identificar cada elemento con el valor que le corresponde. Así, al primer elemento (a) le corresponde el valor 2(a 2) y al segundo elemento (b) le corresponde 3(b 3)

Como:

Procederemos de manera análoga para los demás casos.

Entonces:

 6 * ( 1) 6  2   2( 1) 5 39

 a * b3 2 (a )3 22(b ) 5 a2   62b25

 b * a b 22a 5 Nótese aquí que: a * b  b* a

Problema 02 Definimos en :

Luego, calculando para algunos valores al azar:

Problema 03

Si: a * b=2a+3b , hallar 3 * 4

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

Solución:

a * b=2a+3b

    3 * 4=2 3 +3 4 3 * 4 6 12  3 * 4 18 Rpta.

Como usted ha visto, lo único que tenemos que hacer es reemplazar valores.

Problema 04

Si se define: a b a  23ab b Hallar: 5 2

a) 52 b) 36 c) 53 d) 27 e) 65

2 2(3) 3

 2  7 7(8) 28

 2 

3 3(4)

27 3 6

  2 

a * b a 22b 5 2* 3 2 22(3) 5 15 

Regla de definicion

x(x 1)

x 2

 

Operador Matemático

 5 ¡No se puede!, pues 5 , y decimos que la operación no está definida para este valor.

 

¡No se puede!, pues 1/3 .

13

(2)

Solución:

Tal como en el caso anterior, procedemos a reemplazar los valores respectivos.

a b a  23ab b 523 5 2  2

52 30 2

  

 53 Rpta.

Problema 05 Si se cumple que:

a* 3a , si “a” es número par a* 2a , si “a” es número impar Halla el valor de: E 2 *5*7*10* a) 52 b) 36 c) 60 d) 27 e) 65

Solución:

En este caso la aplicación de la definición depende del hecho de que si el número es par o impar, entonces tendremos:

2* 3 2  6 Pues 2 es número par 5* 2 5  10 Pues 5 es número impar 7* 2 7  14

  10* 3 10 30 Entonces:

* * * *

E 2 5 7 10 6 10 14 30     60 Rpta.

Problema 06

Si: ; hallar:

a) 22 b) 36 c) 20 d) 28 e) 45

Solución:

El operador aquí es una figura; ello no varía nuestro método de solución.

Procedamos:

20 Rpta.

Problema 07

Hallar el valor de:

a) 21 b) 31 c) 45 d) 30 e) 50

Solución:

Resolveremos inicialmente los rombos interiores, aplicando la definición que le corresponde de acuerdo a si el producto es mayor o menor que 20, luego con los resultados resolveremos el rombo mayor. Veamos:

Reemplazando en el rombo mayor:

31 Rpta.

a b c

3a 2b c

   1

5 7

a b c

3a 2b c

  

1 5 7

   

3 1 2 5 7 3 10 7 20

      

a

b 5a 2b 1 

b

a 3b 2 a  ... Cuando ab>20 ... Cuando ab<20

1 4

6 7

1

4  1 4   4 20, luego la operación será:

1

4 =5 1 2 4     1 5 8 1 14 6

7  6 7  42 20, luego la operación será: 6

7 3 6   2 7 18 2 7 13  

1 4

6 7

14

13

  14 13 182 20

14

13

3 14  2 13 31

 

(3)

Problema 08

Si: 1 

a * b * c a b c

2   Hallar: E 5 *1* 4 *1* 2

7 * 9 * 4

 

   a) 3

2 b) 7

4 c) 3 5 d) 2

7 e) 7 2 Solución:

Debemos empezar hallando el valor del paréntesis, el cual a su vez depende del valor del numerador y del denominador, que hallaremos por partes, así:

 

5 *1* 4 1 5 1 4 5

2   

 

7 * 9 * 4 1 7 9 4 10

 2    Luego: E 5 *1* 2

10

5 *1* 2 1 5 1 2

10 2 10

 

     

 7

4 Rpta.

Problema 09

Si: a * b a 2b2 y 8 * 39 Hallar " " , si se sabe que es positivo.

a) 4 b) 5 c) 8 d) 10 e) 16

Solución:

Del dato: 8 * 39

Aplicándole la definición: 82239 Despejamos “q”: 642 39

252    5 Rpta.

Problema 10

Si: m n

m n m n

  

 y 8 n 7  Hallar el valor de “n”

a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

Solución:

Su dato: 8 n 7 

Apliquémosle la definición: 8 n 7 8 n 

¿Y ahora?... resolvemos: 8 n 7 8 n   De donde: n 6 Rpta.

Problema 11 Si

además:

Así mismo: c * dc d 2c d 2 Hallar: m * n

a) 100 b) 102 c) 94 d) 112 e) 56

Solución:

Para poder hallar m * n , debemos de calcular m y n, para lo cual hemos de resolver los datos.

De ( I ):

De ( II ):

Reemplazando ( III ) en ( IV )

7n n 16    n=2 y m=14 Luego: m * n 14 * 2 14 2 214 2 2

14 * 2 112 Rpta.

a b a b

 

 a

b

3

4 m

n

y ... ( I )

p q

  y

p q

m n

4

 ... ( II )

3 m n 3

4 m+n 4

   

m

n 4m 4n 3m 3n   m 7n ... ( III )

n

4 m+n 4

  

m m n 16 ... ( IV ) 

(4)

Problema 12

Si: a * b 2a 5b  y x * y 16 p%q 5p 2q  x%y 11 Hallar (x+y)

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Solución:

Vemos que tenemos que hallar los valores de “x” e

“y” independientemente:

Tenemos 2 operaciones distintas (* y %), así como los resultados de sus aplicaciones a “x” e “y”, usemos entonces estas aplicaciones para hallar “x” e

“y”.

x * y 16   2x+5y=16 … ( I ) x%y 11   5x 2y=11 … ( II ) Resolvamos ( I ) y ( II )

 

2 2x 5y 2 16  4x+10y=32 +

 

 

5 5x 2y 5 11  25x 10y =55 29x 87   x=3 Al reemplazar en ( I ) obtenemos:

2 3 5y 16   y 2 Luego: x y   2 3 5 Rpta.

Problema 13

Se define: A2A25A 3 Calcular: 2

a) 23 b) 21 c) 27 d) 20 e) 16

Solución:

“A” asumirá el valor de –2 A2A25A 3

2 2 2 25 2  3

2 21 Rpta.

Problema 14

Si se cumple que: a

4a 3b

b  

Hallar:

4 5 1 3 3 2

a) 91 b) 62 c) 64 d) 92 e) 63

Solución:

1 4 1 3 3 5

3       3 4 3 3 2 6 2      Luego:

 

 

4 5

4 4 3 5 4 5 3 6

5  6        

 4 5

5  6 

 62 Rpta.

Problema 15

Se define la operación

  *

, en el conjunto

6 , 4 , 2

mediante la tabla mostrada:

* 6 4 2

6 4 2 6

4 24 26 46

2 6 4 2

Calcular:

     

 

6 2 2 4

E

*

4 2

* *

*

a) 1

13 b) 13 c) 1 d) 1 e) 2 23

Solución:

Forma de ubicar valores en la tabla:

a b R

*

De la tabla obtenemos los siguientes valores:

6 2 6 2 4 4 4 2 46

*

*

*

 Luego:

6

2

E 46 46

* 4

 

E 1

23 Rpta.

b . . a ... R

*

(5)

Problema 15 Si se cumple que:

Calcular:

a) 27 b) 26 c) 24 d) 28 e) 29

Solución:

Luego reemplazamos en la figura mayor:

27 Rpta.

Problema 16

Se define: a 2a 1 Hallar “x” en: x 2 13

a) 1,5 b) 3,5 c) 3 d) 6,5 e) 4,5

Solución:

1er paso:

Al numeral 13 le damos la forma: 2a 1 13 2 6  1 , luego: 6 13 2da paso:

Al numeral 6 le damos la forma : 2a 1

5 5

6 2 1 , luego: =6

2 2

   

 

Finalmente: 5 13

2 

Luego: x 2 5

  2

De donde por analogia, se tendra que:

5 5

x 2 x=2+

2 2

  

x 4,5 Rpta.

a b

c3a 2b c

2 3

1

3 1

2 1

2 3

2 3

13 2 2 3  1 1

3 1

23 3 2 1  2 9

1 2

33 1 2 2  3 2

9 1

23 9 2 1  2 27

(6)

Problema 17 Se define en R

a a a 24

Calcular:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4

Solución:

Al no tener definida la operación triángulo debemos despejar de la segunda expresión, aplicando la primera.

Pero por definición de la segunda operación tenemos.

Completando:

Aplicando la regla de formación:

2 Rpta.

x 4x 40 

23

24

x x x  

x224 x 4 x 40 

x 224 x 144 4x 40 144   

x 12  4x 104 x 2 x 26 12  

23 2 23 26 12   23 2 7 12 23 

24

4x 40 x x   

x 12 

2

 4x 104 

 

Figure

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Referencias

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