Departamento de Ingeniería Mecánica

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 1

2. FLUJO COMPRESIBLE 2.1 Introducción

Para el flujo compresible las variaciones de la densidad son importantes, principalmente en flujos de alta velocidad. Los cambios de velocidad implican cambios de presión que están acompañados por cambios de temperatura y densidad.

Entonces, para el análisis del flujo compresible es necesario agregar la ecuación de la energía una ecuación de estado a las ecuaciones de conservación de masa y balance de cantidad de movimiento, esto es,

( )

( )

( )

( )

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y T k y x T k x y T v x T u t T x P y u x u y u v x u u t u y v x u t 2 2 2 2 ) ( 0 µ µ ρ ρ ρ ρ ρ ρ RT p=

ρ

Para simplificar el estudio del flujo compresible, se considera un flujo unidimensional en estado permanente de un gas ideal (aire). Esto implica aplicar conceptos termodinámicos donde se desarrollan relaciones para las propiedades de flujo como son: temperatura, densidad, presión y velocidad.

2.2 Propagación de ondas

El estudio del flujo compresible se inicia con en análisis de la propagación de ondas de sonido. Esta propagación se debe a un pulso infinitesimal de presión en un fluido en reposo, y se identifica como una propiedad termodinámica del fluido.

Para el análisis del flujo compresible es conveniente establecer un parámetro adimensional que involucre a la velocidad de propagación de la onda de sonido con la velocidad del flujo de fluido. Este parámetro se identifica como el número el número de Mach, M, que se define como:

sonido vel flujo vel c U M . . = =

De acuerdo al valor del número de Mach se pueden establecer los siguientes rangos: -Para M _<0.3, el flujo es incompresible y la ecuación de la energía no se considera para el estudio del flujo.

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 2 -Para 0.3_{< M <}1,el flujo es subsónico y las variaciones de la densidad son consideradas, incorporando la ecuación de la energía al análisis del flujo.

-Para 0.9≤ M ≤1.2,se presenta el flujo transónico donde existe la transición de flujo subsónico a flujo supersónico.

-Para 1< M <5, se tiene el flujo supersónico y las variaciones de la densidad son consideradas.

-Para M >5, se tiene flujo hipersónico aplicando principalmente el estudio de misiles y vehículos espaciales.

Para estudiar la propagación de una onda de sonido se considera un volumen de control que representa un pulso infinitesimal de presión que viaja a través de un fluido en reposo, figura 2.1a.

Figura 2.1 Onda de sonido: (a) móvil (b) fija

Para la onda móvil, el pulso infinitesimal de presión se mueve a la velocidad del sonido, c, dejando atrás un fluido con incremento de velocidad y cambios en las propiedades. Sin embargo, para realizar el análisis de esta onda móvil es necesario considerar los términos transitorios de las ecuaciones de conservación, lo cual implica mayor complejidad para la solución. Para evitar esta situación, se propone considerar un volumen de control fijo, figura 2.1b, donde el fluido se mueve a la velocidad c y pasa por la onda fija, provocando cambios en el fluido después de la onda de sonido.

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∫

⋅ =

∑

−

∑

Ent Sal uA uA dA n u ρ ρ ρ( )

donde: (ρ+∆ρ)(c−∆u)=ρc, obteniéndose la ecuación:

ρ ρ ρ ∆ + ∆ = ∆u c

la cual expresa que la velocidad inducida en el flujo es mucho menor que la velocidad de la onda, c. En el límite de una onda de intensidad infinitesimal (onda sonora) la velocidad también es infinitesimal.

Teniendo que el grosor de una onda de presión para los gases es de 10-5 m, a la presión atmosférica, se puede aplicar la ecuación de cantidad de movimiento, despreciando fricción y fuerzas de cuerpo, esto es,

) ( sal ent sx m u u F = −

∑

& donde: ]pA−(p+∆p)A=(ρAc)[(c−∆u)−c , obteniéndose: ∆p=ρc∆u]

Lo cual significa que si la intensidad de la onda es pequeña, la variación de presión es pequeña. Al combinar las ecuaciones para las variaciones de velocidad y presión, se obtiene: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∆ + ∆ = ∆ ρ ρ ρ ρc c p donde:, aproximándose a: ρ ∆ ∆ = p c

Representando la influencia de la intensidad de onda, ρ

ρ ∆

, sobre la velocidad de la onda de sonido. Esto es, a mayor intensidad de onda mayor velocidad de propagación, por lo tanto, las ondas de explosión se mueven mucho más rápido que las ondas sonoras.

Para el límite, ∆ρ →0, se obtiene la expresión:

ρ ∂ ∂

= p

c2 , que representa un proceso termodinámico que el fluido sufre al pasar por la onda sonora de intensidad infinitesimal. Entonces para un proceso adiabático y reversible, proceso isoentrópico, pvk = C, la velocidad de la onda sonora en un gas ideal, pv = RT, se puede expresar como:

kRT c=

Por otra parte, la velocidad del sonido puede relacionarse a diferentes fuentes de emisión, esto es,

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 4 1. Fuente fija V=0: la trayectoria de la onda de sonido se propaga uniformemente en todas las direcciones. En este caso, los frentes de las ondas son esferas concéntricas.

Figura 2.2 Fuente fija de emisión de ondas sonoras.

2. Fuente móvil,0<V <c: Se pierde la concentricidad de la trayectoria de la onda de sonido, el frente de cada onda es esférico, pero se emiten de diferentes puntos.

Figura 2.3 Fuente móvil de emisión de ondas sonoras.

Cuando V <c; se tiene el efecto “Doopler”, que consiste en que las ondas sonoras, de la fuente móvil, llegan más rápido a un observador fijo qntes de que la fuente pase por su posición. Por ejemplo, el sonido emitido por una locomotora antes de llegar a un punto fijo.

3. Fuente móvil con V =c: la superficie de todas las ondas de sonido emitidas desde la fuente son planas, perpendiculares a la trayectoria del movimiento. La onda del sonido no viaja en el frente de onda. En este caso, la fuente de sonido llega primero a un punto que la onda de sonido.

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 5 Figura 2.4 Fuente móvil con V = c.

4. Fuente móvil con V >c: Las superficies de las ondas de sonido generan un cono y la fuente llega más rápido que a la onda de sonido a un punto fijo.

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2.3 Propiedades de estancamiento: estado de referencia

Desde el punto de vista termodinámico, el análisis del flujo compresible se relaciona con la definición se estados termodinámicos donde se definen propiedades termodinámicas. Uno de ellos es el “estado de referencia” que permite establecer las propiedades de estancamiento, las cuales se definen para la condición de velocidad cero (fluido en reposo). Para calcular estas propiedades se considera un proceso de desaceleración. En este proceso, el flujo inicialmente tiene propiedades velocidad, presión, temperatura, densidad, etc., en un punto cualquiera dentro del campo de flujo y posteriormente, al final del proceso la velocidad del flujo será cero, esto es,

(

ρ

₀,T₀,p₀,U₀ =0

)

.

Para un flujo unidimensional en estado permanente, se aplican las ecuaciones de conservación de masa y balance de la cantidad de movimiento a un flujo unidimensional, figura 2.6.

Figura 2.6 Proceso de desaceleración en un flujo unidimensional. Conservación de la masa

(

ρ+dρ

)(

V +dV

)(

A+dA

)

=( VAρ ); Ecuación de continuidad Balance de la cantidad de movimiento

[

( )( )( )

]

( )

)

(V dV d V dV A dA V VA

F_sx = + ρ+ ρ + + − ρ

Donde las fuerzas de superficie, son:

[

(p dp)(A dA)

]

pA dR

F_sx = _x + − + +

Teniendo que dR_xes una fuerza de presión sobre la pared del tubo corriente, definida como: dA dp dR_x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2

ρ

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 7 Despreciando el producto da los diferenciales, la ecuación del balance de fuerza de superficie se reduce a:

dpA F_sx =−

Entonces, la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como:

[

( )( )( )

]

( )

)

(V dV d V dV A dA V VA

dpA= + ρ+ ρ + + − ρ

−

Aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene:

0 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = V d d V d VdV dp ρ ρ ρ ρ

Considerando el proceso de desaceleración para un gas ideal en un proceso isentrópico, se puede aplicar la relación:

. cte pVk = ; proceso isentrópico _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = cte. c c k v p donde: p cte. k =

ρ

Sustituyendo en la ecuación de la cantidad de movimiento

( )

_∫

∫

_⎟⎟= = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 12 0 1 2 2 p p k_dp p cte u d

Integrando y sustituyendo los límites, se obtiene:

( ) ( )

[

k k k k

]

k _{p p} k k c u 1 1 0 1 2 1 2 − − ₋ − = Sustituyendo c1k =ρp1kentonces: 1 2 0 1 0 2 2 1 1 1 1 2 − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = k k k k u p k k p p p p p k k u ρ ρ

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 8 Aplicando la ecuación del gas ideal se obtiene:

1 2 0 1 1 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ + = k k kRT u k k p p

Para un gas ideal c= kRT

Finalmente, para la relación de presiones, se obtiene:

1 2 2 1 1 _⎥⎦⎤ − ⎢⎣ ⎡ ₊ − = k k o M k p p

Teniendo las relaciones isentrópicas:

k p p ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

ρ

ρ

₀ 0 0 0⎟ −1 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = k k T T p p Se obtiene: 1 1 2 0 2 1 1 − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = k M k ρ ρ 2 0 2 1 1 k M T T − + = 2.4 Condiciones críticas

Para un caso crítico, la velocidad del flujo alcanza la velocidad del sonido, esto es, M=1 . Estas condiciones son útiles también como condiciones de referencia para las propiedades termodinámicas, pero no son válidas para u = 0. Esta condición, algunas veces, es hipotética, pero es útil como condición de referencia. Las condiciones críticas se expresan como: ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − = ∗ − ∗ − ∗ 2 1 1 2 1 1 2 1 1 * 0 1 1 * 0 1 * 0 k T T k k p p k k k ρ ρ también se tiene: c∗ =u∗ = kRT∗

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3. FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL 3.1 Introducción

Las propiedades del fluido en un flujo compresible están afectadas por cambios de área, por fricción, por transferencia de calor y por ondas de choque. El análisis de un flujo compresible unidimensional en estado permanente estudia primero un flujo isentrópico a través de un canal de sección transversal arbitraria, figura 3.1, donde se aplican las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía.

Figura 3.1 Flujo compresible isoentrópico. Ecuación de continuidad 2 2 2 1 1 1

u

A

ρ

u

A

ρ

=

Ecuación de momento

(

u A

)

u

(

u A

)

u A p A p R_x + _{1 1} − _{2 2} = ₂

ρ

_{2 2} − ₁

ρ

_{1 1} Ecuación de la energía

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

2

2

2 1 1 . 1 2 2 2 2 .

_u

h

m

u

h

m

donde: h=

μ

+ p

υ

de acuerdo al balance de masa se obtiene:

.

2

2

2 1 1 2 2 2

Cte

u

h

u

h

_⎟

⎟

=

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

_{; m}._{1 =m}.₂ entonces,

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 2 cte u h _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2

; h₀ =cte; Entalpía de estancamiento

Esta entalpía de estancamiento es la que el fluido alcanzaría si se desacelera isentropicamente. La entalpía de estancamiento es constante en un campo de flujo adiabático.

Para un flujo isoentrópico, s1 = s2, las propiedades de cada estado termodinámico se pueden relacionar con la entalpía de estancamiento, figura 3.2. Para un gas ideal, se tiene:

Figura 3.2 Flujo isoentrópico en un diagrama h-s.

(

)

(

)

(

02 01

)

(

02 0₁

)

1 2 1 2 T T c h h T T c h h T c h p p p − = − − = − Δ = Δ si ho2 = ho1, entonces: To2 = To1

3.2 Efecto de la variación de área sobre las propiedades del flujo compresible

Para el estudio de este efecto se considera la ecuación diferencial de la cantidad de movimiento, esto es,

0 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +d u dp

ρ

También se puede escribir como:

u du u dp − = 2

ρ

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 3 0 = + + A dA u du dp

ρ

Combinando con la ecuación de cantidad de movimiento se obtiene:

(

)

C u M M u dp u u dp A dA d dp ⎟= − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ₂ 1 2 ₂ 1 2 ;

ρ

ρ

_ρ

Para un proceso isentrópico, se tiene que 2

. C p d dp cte s = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = =

ρ

ρ

También se obtiene la ecuación:

(

2

)

2 1 1 M u du u u du A dA d dp ⎟=− − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ρ

Las ecuaciones anteriores presentan la relación de la variación de área con la variación de presión y velocidad, esto es:

• Para M < 1, un cambio en el área produce un cambio de presión del mismo signo y un cambio de velocidad de signo opuesto.

• Para M > 1, un cambio de área produce un cambio de presión de signo opuesto y un cambio de velocidad del mismo signo.

Este efecto se puede observar en el comportamiento de flujo compresible en una tobera o difusor, figura 3.3.

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 4 Para el caso donde M = 1, se tiene que =0

du dA

, lo cual significa que el área de paso debe ser máxima o mínima para ese valor de M. De acuerdo a la figura 3.3, M = 1 se alcanza solamente en la garganta o sección de área mínima.

Entonces, para acelerar el flujo desde condiciones de reposo hasta una velocidad supersónica, se requiere, primero, que el flujo subsónico pase por una tobera convergente, alcanzando un M = 1 en la garganta, para posteriormente hacerlo pasar por una tobera divergente.

En caso de una desaceleración de un flujo supersónico, se requiere un difusor convergente divergente. Sin embargo, en la práctica el flujo supersónico no se puede desacelerar exactamente a M = 1 en la garganta, debido a que el flujo sónico cerca de la garganta es inestable, surgiendo un gradiente de presión adverso. Además la desaceleración no ocurre isoentrópicamente.

3.3 Condiciones de referencia para un flujo isoentrópico de un gas ideal.

Considerando un gas ideal en un flujo isentrópico, se puede obtener una expresión que relaciona el área con el número de Mach, esto es, para el caso donde M=1 se define un área A* y se obtiene una relaciónA_A*.

Partiendo de la ecuación de continuidad

ρ

uA=

ρ

*u*A*=cte., entonces:

T T M Mc c u u A A * * * * * 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ = = = ∗ ∗ También se obtiene 0 0 * 0 0 * * 1 T T T T M A A

ρ

ρ

ρ

ρ

=

Sustituyendo las condiciones criticas y de estancamiento se obtiene:

2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 * ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + = − − k M k k M k M A A k k Finalmente se obtiene:

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 5 ) 1 ( 2 1 2 * 2 1 1 2 1 1 1 − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = k k k M k M A A

Esta relación se muestra en la figura 3.4., donde se observa que existen dos valores de M para una misma relación, lo cual está de acuerdo con el flujo a través de un ducto convergente-divergente con una sección de área mínima.

Figura 3.4 Variación de la relación de áreas en función de Mach.

3.4 Flujo isoentrópico en una tobera convergente

El flujo a través de una tobera convergente, como se muestra en la figura 3.5, empieza desde una cámara con condiciones de estancamiento y se induce por medio de una bomba de vacío, pasando por una válvula.

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 6 La presión de retorno, Pb, a la cual la tobera descarga, está controlada por la válvula y

las propiedades de estancamiento se mantienen constantes. La presión en el plano de salida de la tobera se identifica con Pe. En el estudio del flujo isoentrópico, se desea

conocer el efecto de la variación en la presión de retorno sobre la distribución de presión a lo largo de la tobera, sobre el flujo másico y sobre la presión en el plano de salida, esto es,

• Para la válvula cerrada, no hay flujo a través de la tobera y la presión es Po,

condición (i).

• Si la presión de retorno se reduce a un valor menor de Po, entonces existe flujo a

través de la tobera debido a la disminución de presión en la dirección del flujo, condición (ii). El flujo en el plano de salida será subsónico y la presión es igual a la presión de retorno, esto es, Pe = Pb.

• Si la presión de retorno se sigue reduciendo, el flujo incrementará y la presión en el plano de salida seguirá disminuyendo, condición (iii). Al continuar disminuyendo la presión de retorno, el flujo en el plano de salida puede alcanzar, eventualmente, M = 1, correspondiendo, para esta condición, una presión crítica, P*, en el plano de salida, condición (iv), donde: M = 1 y

o o b P P P P ∗ =

• Si la presión de retorno se sigue reduciendo hasta un valor por debajo de P*_,

condición (v), no existe efecto sobre las condiciones del flujo en la tobera, ni sobre la distribución de presión, flujo másico o presión de salida. Cuando Pb ≤ P*

la tobera se encuentra en “choque”. Para esta condición, el flujo que sale de la tobera se expandirá en un proceso de expansión tridimensional donde la teoría de flujo unidimensional no se aplica.

De acuerdo al comportamiento del flujo a través de la tobera convergente, se pueden establecer dos regímenes de flujo, definidos como:

• Régimen I: teniendo o o b P P P P 1 ∗ ≥

≥ , el flujo a través de la tobera es isoentrópico y se tiene que: Pe = Pb.

• Régimen II: teniendo

o o b P P P P ∗

< , el flujo a través de la tobera sigue siendo isoentrópico, pero se presenta la expansión no isonetrópica a la salida, donde: Pe

= P* >Pb.

Estos regímenes son aplicados como una idealización del flujo isoentrópico a través de la tobera convergente, sin embargo, son una buena aproximación al comportamiento del flujo.

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3.5 Flujo isoentrópico en una tobera convergente-divergente

En este caso también se induce el flujo por medio de una bomba de vacío y se controla con una válvula, figura 3.6.

Figura 3.6 Flujo a través de una tobera convergente-divergente.

Para condiciones de flujo subsónico, M < 1, la tobera se comporta como un “Venturi”, esto es, el flujo se acelera en la sección convergente hasta llegar al punto de máxima velocidad y mínima presión (sección de garganta) para posteriormente desacelerarse en la sección divergente y mantener flujo subsónico en el plano de salida, condición (i) y (ii).

Para la condición de M=1 en la garganta, el flujo será máximo en la tobera y se dice que la tobera se encuentra en “choque”. En la sección divergente, el flujo puede desacelerarse para salir como flujo subsónico, condición (iii), o puede seguir acelerándose para alcanzar condiciones de flujo supersónico, condición (iv), esto se logra al seguir reduciendo la presión de retorno. Para esta condición se define una presión en el plano de salida como P(iv).

Reduciendo la presión de retorno por debajo de la presión P(iv), no hay efecto sobre el

flujo en la tobera y a l salida se presenta la expansión tridimensional irreversible.

Una tobera convergente-divergente generalmente produce flujo supersónico en el plano de salida y si la presión de retorno se mantiene a la presión P(iv), el flujo será

iseontrópico a través de la tobera con flujo supersónico en el plano de salida. Las toberas que operan bajo esta condición, Pb = P(iv), se dice que están en condiciones de

diseño.

Para las cuatro primeras condiciones (i-iv) se aplican los dos regímenes definidos anteriormente. Régimen I. 1 ; 0 * 0 p p p p_b ≥

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 8 Régimen II. ; 0 * 0 p p p p_b

< existe flujo isentrópico a través de la tobera, pero ocurre una expansión no isentrópica a la salida y p_e = p*.

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3.6 Flujo adiabático en un ducto con sección transversal constante con fricción

El análisis de flujo adiabático con fricción, se considera el volumen de control mostrado en la figura 3.7, sobre el cual se aplican las ecuaciones de conservación.

Figura 3.7 Flujo adiabático con fricción.

-Ecuación de continuidad: . . 2 2 1 1 G A m u u =

ρ

= =

ρ

=flujo volumétrico.

-Ecuación de cantidad de movimiento:

(

u A

)

u

(

u A

)

u A p A p R_x + _{1 1} − _{2 2} = ₂

ρ

_{2 2} − ₁

ρ

_{1 1} -Ecuación de la energía: ; 2 2 2 2 2 2 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +u h u h 2 2 0 u h h = + ; 1 2 0 0 h h = ( ); 1 2 0 0 0 c T T h = _p − Δ Δh₀ =0; 1 2 0 0 T T =

-Ecuación de la segunda ley de la Termodinámica:

∑

∑

∑

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i i i ent sal C V gen T Q s m s m dt ds S 1 . . . . ; 1 . 2 . s m s m S_gen = −

(

)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − 1 2 1 2 1 2 ln ln p p R T T c s s p

Para tener consistencia en cuanto al número de ecuaciones con respecto al número de incógnitas, la solución está sujeta al valor propuesto paras una de las variables. Generalmente, se asigna un valor a la temperatura para el estado 2. Esto permite obtener el valor de las demás variables y mostrar las soluciones en la grafica T-s, figura 3.8.

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Figura 3.8 Diagrama T-s para flujo adiabático con fricción (Línea de Fanno).

Estas gráficas T-s, da como resultado una curva conocida como la línea de Fanno, donde la máxima entropía generada se obtiene para M=1. Para cualquier estado sobre la línea de Fanno, existe otro punto cualquiera que representa un posible estado corriente abajo, que requieren un incremento de entropía, por lo tanto, el cambio de estado sigue la trayectoria hacia la derecha de la línea de Fanno (hacia mayor entropía). Las propiedades del flujo varían con el incremento de entropía y su comportamiento se muestra en la tabla 3.1.

Tabla 3.1 Variación de las propiedades de flujo en la línea de Fanno. Propiedad M _<1 M _>1 Obtenida de:

0

T Constante Constante Ec de la energía

S Incrementa Incrementa Ec. de la 2da ley

0

P Disminuye Disminuye Línea de Fanno

u Incrementa Disminuye Ec. de la energía y tendencia de la temperatura

ρ

Disminuye Incrementa Ec. de continuidad

p _{Disminuye Incrementa Ec. de estado y}

tendencia de temperatura y

densidad.

T Disminuye Incrementa Línea de Fanno

Partiendo de un volumen de control diferencial, figura 3.9, se pueden establecer las ecuaciones de gobierno que representan el comportamiento del flujo en una línea de Fanno.

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Figura 3.9 Volumen de control diferencial para el análisis de flujo en la línea de Fanno.

Ecuación de continuidad: 0 ) )( ( = + + + =

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ud du A du u d uA

Ecuación de cantidad de movimiento:

(

uA

)

u A du u d du u A dp p pA dF_f + −( + ) =( + )[(ρ+ ρ)( + ) ]− ρ − du u dp A dF_f ρ = − − Ecuación de la energía:

(

)

( ) (

[

)(

)

]

(

)

0 2 2 2 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + +du u du pυ d pυ ρ dρ u du A u u pυ ρuA u

Sustituyendo la entalpía, se obtiene: 0

2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +d u dh

La fuerza de fricción se relaciona con las variables de flujo a través de la siguiente ecuación:

= =

= dA pdx p

dF_f

τ

_w

τ

_w( ); Perímetro mojado del elemento diferencial.

Para el esfuerzo cortante se tiene: ; 8 2 u f w

ρ

τ

= que corresponde a un flujo completamente desarrollado, donde f es el factor de fricción.

Este factor de fricción está relacionado con el número de Reynolds que se define como

μ

ρ

ud

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circular se aplica el concepto de diámetro hidráulico d_h, definido como: 4 ; P

A

d_h = donde A = área y P = perímetro “mojado”

Entonces la fuerza de fricción se expresa como:

2 2 dx u d fA dF h f

ρ

=

Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento se tiene que:

p udu dx p u d f p dp h

ρ

ρ

− − = 2 2 Aplicando: p=

ρ

RT, , 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =d u udu y RT = c2/k se obtiene:

( )

2 2 2 2 2 2 _u u d kM dx kM d f p dp h − − = Teniendo que:

( )

( )

2 2 2 2 M M d T dT u u d +

= , que se obtiene al aplicar: u2 =M2c2 =M 2kRT

De la ecuación de continuidad, se obtiene:

u

du

d

₌

₋

ρ

ρ

De la ecuación de gas ideal:

T dT d p dp _{= +}

ρ

ρ

Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene:

( )

M M d kM dx kM d f T dT kM h 2 2 2 2 2 1 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

Aplicando la propiedad de estancamiento para temperatura,

2 0 2 1 1 k M T T − + = ; T₀ =cte

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 5 Entonces, . 2 1 1 k M2 cte T ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − Por lo tanto: 0 2 1 1 2 1 2 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − + M dM M k k M T dT

Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene:

(

)

( )

(

)

∫

∫

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + max 0 2 1 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 1 : obtiene se , Integrando 2 1 1 1 L h M h dx d f dM M k kM M dx d f kM M d M k M

Donde Lmax representa la máxima longitud posible para que M alcance el valor de la unidad,

figura 3.10.

Figura 3.10 Longitud máxima obtenida en la línea de Fanno.

Entonces:

(

)

h L h M d fL dx d f dM M k kM M max 0 2 1 2 4 2 max 2 1 1 1 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − −

∫

∫

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 6 h d fL M k k M k k kM M max 2 2 2 2 2 1 1 2 ) 1 ( ln 2 1 1 ₌ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − + + + −

Para diferentes números de M, se define:

2 max max 1 h M M h h d fL d fL d fL ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

Para determinar el factor de fricción, f, se aplica el diagrama de Moody, figura 11.

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Cuando se tienen condiciones críticas, M=1, se pueden establecer algunas relaciones, esto es:

2 2 0 * 0 * 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 M k k k M k T T T T T T − + − = − + − + = = 2 1 2 2 * * * 2 1 1 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = = M k M k T T M kRT kRT M u u 2 1 2 2 * * 2 1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = = M k M k u u

ρ

ρ

2 1 2 * * * 2 1 1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = M k k M T T p p

ρ

ρ

Para propiedades de estancamiento, se tiene:

∗ ∗ ∗ = o o o o p p p p p p p p * Donde se obtiene: ) 1 ( 2 1 2 2 1 1 1 2 1 − + ∗ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = k k o o k _M k M p p

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3.7 Flujo sin fricción en un ducto de área constante con transferencia de calor Tomando en cuenta el diagrama mostrado en la figura 3.12, se aplican las ecuaciones de gobierno de conservación de masa, momento y energía.

Figura 3.12 Flujo sin fricción con transferencia de calor.

Ecuación de continuidad: . . 2 2 1 1 G A m u u =

ρ

= =

ρ

Ecuación de cantidad de movimiento:

(

u A

)

u

(

u A

)

u A p A p1 1− 2 2 = 2 ρ2 2 − 1 ρ1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 u p u p +

ρ

= +

ρ

Ecuación de la energía ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 2 1 1 2 2 2 . . _u h u h m Q ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = = 2 2 2 1 1 2 2 2 . . u h u h m Q m Q

δ

δ

1 2 h0 h m Q o − = δ δ

-Para un gas ideal:

(

T₂ T₁

)

c h= _p − Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Δ 1 2 1 2 _ln ln p p R T T c S _p

Para que el sistema de ecuaciones sea consistente con el número de incógnitas se propone el valor de una variable, por ejemplo, la temperatura T₂ y se obtiene del valor de las demás variables.

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Para cada valor T₂ se obtienen valores de las otras variables y el comportamiento del flujo se puede representar en una gráfica conocida como la línea de Rayleigh, figura 3.13.

Figura 3.13 Comportamiento del flujo sin fricción con transferencia de calor (línea de Rayleigh).

La variación de las propiedades del flujo se presenta en la tabla 3.2

Tabla 3.2 Comportamiento de las propiedades de flujo en la línea de Rayleigh

Propiedad Calentamiento M _<1 M _>1 Enfriamiento 1 < M M _>1 Formas de obtener S 0 T T p u

ρ

0 p Incrementa Incrementa Incrementa Incrementa K M _< 1 Incrementa Incrementa 1 _{< M <}1 K Incrementa Disminuye Incrementa Incrementa Disminuye Disminuye Incrementa Disminuye Disminuye Disminuye Disminuye Disminuye Disminuye K M _< 1 Disminuye Disminuye 1 _{< M <}1 K Disminuye Disminuye Incrementa Disminuye Incrementa Incrementa Disminuye Incrementa Incrementa Segunda ley Primera ley Línea de Rayleigh Línea de Rayleigh Ec. de momento Ec. de continuidad Línea de Rayleigh

De acuerdo al valor del número de Mach y a la condición de enfriamiento o calentamiento, el flujo tiene un comportamiento distinto, figura 3.14.

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Figura 3.14 Comportamiento del flujo para diferentes números de Mach.

Teniendo en cuenta las condiciones críticas, se pueden establecer relaciones en función del número de Mach, para determinar el valor de las variables de flujo, esto es:

(

u u

)

m A p pA− = *− . * También se tiene: p+

ρ

u2 = p*+

ρ

*u*2

Para un gas ideal:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + * 2 * * 2 1 1 RT u p RT u p Donde: 2 2 2 kM kRT u k RT u ₌ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Entonces: p

[

1+kM2

]

= p*

[

1+k

]

Por lo tanto 2 * 1 1 kM k p p + + =

por otra parte

ρ ρ* * * p p TT = Donde: _{* * *} * T T M C C M u u = = = ρ ρ

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 11 Entonces: * * * T T M p p T T = Obteniéndose que: 2 2 2 * * 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = kM k M M P p T T También se obtiene:

(

)

2 2 * 1 1 kM k M + + =

ρ

ρ

Para las propiedades de estancamiento se tiene que:

2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 * * * 0 * 0 + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − = = k kM k M M k T T T T T T T T o Obteniéndose:

(

)

(

₂

)

2 2 2 * 0 0 1 2 1 1 1 2 kM M k M k T T + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + =

También se puede obtener:

1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 * 0 * * 0 * 0 0 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − = = k k k k k kM k M k P p p p p p p p Donde: 1 2 2 0 0 2 1 1 1 2 1 1 − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ∗ k k M k k kM k p p

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3.8 Onda de choque normal

Combinando los casos de la línea de Fanno y la línea de Rayleigh, se obtiene el caso que reprenda a “una onda de choque”

La onda de choque representa una discontinuidad irreversible que se presenta en un campo de

flujo supersónico, ya sea interno o externo.

El conocimiento a través de las ondas de choque es importante para el diseño de difusores supersónicos utilizados en aviones y túneles de viento.

En el análisis de la onda de choque se considera el esquema mostrado en la figura 3.15 y se establecen las siguientes ecuaciones de gobierno

Figura 3.15 Volumen de control de una onda de choque.

Ecuación de continuidad: . . 2 2 1 1 G A m u u =

ρ

= =

ρ

Ecuación de momento: 2 2 2 2 2 1 1 1 u p u p +

ρ

= +

ρ

Ecuación de la energía: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 1 1 2 2 2 u h u h

Ecuación de la segunda ley:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Δ 1 2 1 2 _ln ln p p R T T c S _p Gas ideal: Δh=c_p

(

T₂ −T₁

)

De a acuerdo al comportamiento físico de la onda de choque normal, para un estado 1 corresponde un estado 2 sobre las líneas de Fanno y Rayleigh, figura 3.16

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Figura 3.16 Comportamiento de flujo en una onda de choque normal.

Las propiedades a través de onda de choque sufren cambios como los que se muestran en la tabla 3.3.

Tabla 3.3 Variación de las propiedades a través de una onda de choque normal.

Propiedad Efecto Forma de obtener

0

T Constante Ec de la energía.

S Incrementa 2da. Ley

T Incrementa Diagrama T-s

U Disminuye Ec. De la energía

ρ

Incrementa Ec. De continuidad P Incrementa Ec. De momento

0

P Disminuye Diagrama T-s

Para determinar los valores de las propiedades en el análisis de onda de choque, se proporciona valores para T₂ y se obtienen las demás incógnitas a través de relaciones que están en función del número de Mach, esto es:

2 2 2 1 1 01 01 02 02 2 1 2 2 1 1 2 1 1 M k M k T T T T T T T T − + − + = = También se obtiene 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 T T M M c M c M u u = = 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = M k M k M M u u

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 14 De la ecuación de continuidad 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = = M k M k M M u u ρ ρ De la ecuación de momento 2 2 2 2 2 1 1 1 u p u p +

ρ

= +

ρ

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 RT u p RT u p 2 2 kM RT u ₌ Entonces 2 2 2 1 1 2 1 1 kM kM p p + + =

Para obtener una expresión de M2 en función de M1, se aplica la relación derivada de la

ecuación de gas ideal, esto es,

2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 / / ρ ρ ρ ρ p p R p R p T T = = Donde: 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + + + = M k M k M M kM kM T T

Sust. la relación de temperaturas, se obtiene:

2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 kM kM M M M k M k + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + Entonces, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + 4 2 2 2 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 M k kM M k kM M M M k M k

Dr. Armando Gallegos Muñoz Mecánica de Fluidos II 15 Donde se obtiene: 2 1 2 2 M M = 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 − − − + = M k k k M M

Para las propiedades de estancamiento se tiene:

1 2 1 2 2 1 2 01 1 1 2 2 0 01 0 2 1 1 2 1 1 2 2 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + = = k k M k M k p p p p p p p p p p

Sust. la relación de presiones y M2 en función de M1, se obtiene:

1 1 2 1 1 2 1 2 1 01 0 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 − − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + = k k k k k M k k M k M k p p