442 Estructuras de Hormigón Armado 2010

(1)

Diseño a flexo-compresión oblicua

DISEÑO A FLEXO-COMPRESION OBLICUA

El método aproximado utilizado para el diseño de secciones de columnas de hormigón armado sometidas a solicitaciones de flexo-compresión oblicua esta basado en la ecuación de Bresler, y se conoce como el “Método de la Carga Inversa o Reciproca”.

El método de la carga inversa consiste en determinar un valor de resistencia nominal a la flexo-compresión oblicua (carga con excentricidades en “x” e “y”) para una sección dada, mediante la determinación de resistencias nominales de flexo-compresión recta en torno a cada eje de flexión por separado, combinadas con compresión pura, para dicha sección. Esto permite hacer el estudio de la resistencia cuando se tiene flexión oblicua mediante los procedimientos para flexión recta, que son más simples.

La expresión de Bresler es:

1

n nxo nyo o

P

=

P

+

P

−

P

Donde:

Pn= valor aproximado de la resistencia nominal con excentricidades ex y ey.

Pnxo= resistencia nominal cuando solo se tiene excentricidad ey, o sea con ex=0. Es decir, que se supone una flexo-compresión recta en torno al eje “x”. Este valor se obtiene con ayuda de diagramas de interacción para flexión recta.

g nxo nxo g n A P n P A

φ

⋅ ⋅ = ⇒ ₌

Pnyo= resistencia nominal cuando solo se tiene excentricidad ex, o sea con ey=0. Es decir, que se supone una flexo-compresión recta en torno al eje “y”. Este valor se obtiene con ayuda de diagramas de interacción para flexión recta.

nyo g nyo g P n A n P A

φ

⋅ ⋅ = ⇒ ₌

Po= resistencia nominal para carga centrada, o sea compresión pura. Se obtiene con la expresión básica para resistencia a compresión:

(

)

' 0.85 o c g st y st P = ⋅ ⋅f A −A + ⋅f A Donde

Ag= área de la sección bruta de hormigón.

Ast= área de acero de las armaduras.

El procedimiento consiste en determinar los valores de resistencia para luego comparar el valor de resistencia Pn con el valor de la carga exterior solicitante. El diseño será confiable cuando se cumpla la condición básica de diseño por resistencia:

n u

P

φ

⋅ ≥

Donde:

Pn = valor aproximado de resistencia nominal para carga con excentricidades ex y ey, obtenido

de la expresión de Bresler.

Pu = carga ultima.

φ= factor de minoración de resistencia (0.65 para columnas con estribos, y 0.70 para columnas zunchadas).

(2)

El método de la carga inversa no es un método usado para hacer el proporcionamiento de la sección, sino es más bien un método aproximado de verificación de capacidades de columnas

sometidas a flexo-compresión oblicua. Esto significa que las dimensiones de la sección y las

cantidades de armadura deben determinarse previamente mediante algún método, para luego verificar la resistencia nominal mediante la formula de Bresler.

Para determinar los valores de “P” de la ecuación de Bresler con los diagramas de interacción, deben tenerse la cuantía y distribución de las armaduras en la sección. Existen varios métodos aproximados que simplifican la determinación de las armaduras en estos casos.

En síntesis, el problema radica en qué cuantía de armadura tomamos como inicial para hacer la verificación de la capacidad de la columna, teniendo en cuenta que el proceso de selección puede requerir de varias iteraciones.

A continuación se presenta un procedimiento aproximado, tomado del libro “Concreto

Reforzado” de McCormac, mediante el cual pueden determinarse las cuantías de armaduras

para una sección sometida a flexo-compresión oblicua, para luego verificar su capacidad mediante la formula de Bresler. Se hacen diferencias entre columnas de sección cuadrada y columnas de sección rectangular.

1) Si la columna es cuadrada, se supone que los valores de momento Mnx y Mny actúan,

ambos, respecto a ambos ejes “x” e “y”, esto significa que:

x y nx ny

M =M =M +M

La cantidad total de armadura se determina haciendo el diseño respecto a uno de los ejes (mediante un diagrama de interacción para flexo-compresión recta) y se distribuye alrededor de la sección de la columna, y la ecuación de Bresler se usa para verificar la capacidad última de carga de la columna cargada excéntricamente.

2) Si se tiene una sección rectangular donde el eje “y” es la dirección débil, parecería lógico calcular My = Mnx + Mny y usar ese momento para seleccionar las armaduras requeridas

respecto al eje “y” y distribuir el área de acero así calculada en toda la sección de la columna. Este procedimiento conduce a valores seguros, pero tiene el inconveniente de que pueden obtenerse columnas poco económicas, ya que serán demasiado resistentes en torno al eje fuerte.

Frente a este inconveniente, se plantea como una aproximación bastante satisfactoria suponer My = Mnx + Mny, y multiplicarlo por la relación de lados b/h, y con ese valor de momento

determinar las armaduras entorno al eje débil (llamado “y” en este caso).

Es decir que la cantidad total de armaduras se determina con el valor de momento entorno al eje débil (mediante un diagrama de interacción para flexo-compresión recta)

(

)

y nx ny b M M M h = + ⋅

Y luego se distribuye en toda la sección de la columna, para finalmente verificar la capacidad mediante la ecuación de Bresler.

(3)

Diseño a flexo-compresión oblicua Ejemplos.

1) Sección cuadrada

Diseñar una columna con sección cuadrada, para las siguientes solicitaciones últimas:

23.00 22.50 570.10 ux uy u M kNm M kNm P kN = = = 1.1) Sección propuesta:

Materiales: Hormigón H-25 ( f_c'=25MPa) y Acero ADN-420 ( f_y =420MPa)

Se propone una sección de 25cm x 25cm (estas medidas deben responder a un presimensionado de la sección de hormigón)

2 2

25 25 625 0.0625

g

A cm cm cm m

⇒ ₌ _⋅ ₌ ₌

Disposiciones reglamentarias para diámetros de armaduras: - Barras longitudinales ⇒d_b ≥12mm

- Estribos ⇒d_be =6mm para d_b ≤16mm

Deben hacerse estimaciones previas en cuanto a la distribución que tendrán las armaduras en la sección, así como algunas medidas de la misma. Esto es necesario para poder determinar los parámetros para elegir y utilizar el diagrama de interacción correspondiente.

'

d d h

γ = −

Se suponen barras con diámetros d_b =16mm y estribos con d_be =6mm . Se considera un recubrimiento al filo de armaduras c_c =2, 0cm

25 2 2 1.6 0.6 18.2 2 cm h cm cm cm cm γ ⋅ = − ⋅ + + =  

Podrían despreciarse los estribos aquí.

18.2

0.73 25.0

γ = =

(4)

Las armaduras propuestas, en esta instancia, no responden a una cuantía determinada, sino que son un indicativo de la distribución que tendrán en la sección, y los diámetros propuestos son nada más que para determinar las medidas que se necesitan para calcular el parámetro que permite elegir los diagramas de interacción a utilizar (γ). Debe tenerse en claro que estas determinaciones pueden estar sujetas a modificaciones en función a los resultados obtenidos.

1.2) Determinación de la cuantía total mediante la metodología propuesta.

Se determina la cuantía total para el momento último:

23.00 22.50 45.50 0.0455

u ux uy

M =M +M = kNm+ kNm= kNm= MNm Y para la carga axial ultima:

570.10 0.5701

u

P = kN= MN

Se usan los diagramas de interacción para la distribución propuesta con γ =0.70 y γ =0.80, para finalmente interpolar para el valor obtenido γ =0.73.

2 0.5701 9.10 0.0625 n u g g P P MN n A A m

φ

⋅ = = = = 2 0.0455 2.90 0.0625 0.25 n u g g M M MNm m A h A h m m

φ

⋅ = = = = ⋅ ⋅ ⋅

Ingresando a los diagramas dados por el reglamento CIRSOC 201, para secciones con armadura en todas las caras:

.8 0.70

II ⇒γ = , se tiene para n=9,10 y m=2,90 ⇒sobre curva ρ≅0.026

.9 0.80

II ⇒γ = , se tiene para n=9,10 y m=2,90 ⇒sobre curva ρ ≅0.022 Interpolando⇒ para γ =0.73 ⇒ ρ=0.025

Verificación de las cuantías limites reglamentarias: min max 0.01 0.08

ρ

= =

Si se prevé la utilización de empalmes por yuxtaposición, debe considerarse que la cuantía máxima es

ρ

_max =0.04

0.025

ρ

⇒ ₌ ✓

Sección de armadura requerida 2 2

0.025 625 15.63

st g

A = ⋅

ρ

A = ⋅ cm = cm

⇒Se disponen 8d_b16mm distribuidos en las 4 caras de la sección

2 16.08 stdisp A cm ⇒ ₌ _y 2 2 16.08 0.026 625 disp cm cm

ρ

= ≅

(5)

1.3) Verificación de la capacidad de la sección determinada

Se verifica la capacidad de la columna mediante el la ecuación de Bresler.

1

n nxo nyo o

P

=

P

+

P

−

P

- Po

(

)

(

)

' 4 2 4 2 0.85 0.85 625 16.08 10 420 16.08 10 1.969 1969.00

25

o c g st y st o P f A A f A m MPa m P MN kN

MPa

− − = ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ₌ ₌

⋅

- Pnxo 23.00 0 ; 0.040 570.10 ux x y u M kNm e e m P kN ⇒ ₌ ₌ ₌ ₌

Diagrama _→

γ

=0.73, sección con armadura distribuida en todas las caras

Pendiente línea radial → 0.25 6.25

0.040

y

h m

e = m = (en los diagramas aparece como e/h, o sea la inversa y 0.16

y e

h = ). Debe tenerse en cuenta que los diagramas tienen los ejes en escalas distintas.

Curva →

ρ

=0.026 (corresponde a un valor intermedio de curva entre las de

ρ

=0.020 y

0.030

ρ

= . Podría hacerse también una interpolación. Acá se toma un valor intermedio aproximado).

Diagrama II.8 con

γ

=0.70 ⇒n=13.78MPa Diagrama II.9 con

γ

=0.80 ⇒n=14.00MPa → Para

γ

=0.73 ⇒n=13.85MPa 2 13.85 0.0625 1.332 0.65 g nxo nxo g n A P MPa m n P MN A

φ

⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ₌ ₌ ₌ 1332.00 nxo P kN ⇒ ₌ - Pnyo 22.50 0 ; 0.039 570.10 uy y x u M _kNm e e m P kN ⇒ ₌ ₌ ₌ ₌

Diagrama _→

γ

Pendiente línea radial _→ 0.25 6.41

0.039

x

h m

e = m = (en los diagramas aparece como e/h, o sea la inversa x 0.156

x e

h = )

Curva →

ρ

=0.026

(6)

Diseño a flexo-compresión oblicua Los resultados son muy similares a los del caso de Pnxo.

1332.00 nyo P kN ⇒ ₌ - Resistencia Nominal: 4

1

1 9.936 10

1332.00

1969.00

n nxo nyo o

P

kN

−

=

+

−

=

+

−

=

⋅

1006.40 n P kN ⇒ ₌

- Verificación de aplicabilidad del método de carga inversa

0.10 n o debe ser P ≥ ⋅P ⇒1006.40kN >0.10 1969.00⋅ kN =196.90kN ✓ - Verificación de resistencia n u P P

φ

⋅ ≥ ⇒

φ

⋅ =P_n 0.65 1006.40⋅ kN =654.16kN >P_u =570.10kN ✓✓

Con lo cual la sección cumple con la resistencia para el valor de carga último y las excentricidades dadas.

Finalmente se dispone la sección de la columna con:

- Barras longitudinales _→ 8 db 16mm

- Estribos _→ dbe=6mm (diámetro en función de los diámetros de barras longitudinales)

Separación máxima 12 12 1, 6 19.2 48 48 0.6 28.8 25 b be d cm cm s b cm cm b cm = ⋅ =   ≤ = ⋅ =  ₌  ⇒smax =19.2cm

- Verificación de las condiciones de arriostramiento de las barras longitudinales:

Las barras que se encuentren a una distancia x > 15dbe de otras barras efectivamente

arriostradas, deben arriostrarse mediante armadura transversal adicional. Cabe aclarar que el reglamento considera efectivamente arriostradas a las barras de esquina, y por ende las distancias “x” deben medirse a partir de dichas barras.

(7)

Diseño a flexo-compresión oblicua En este caso 15⋅d_be= ⋅15 0.6cm=9cm

X= 7.5cm

→ no se requieren arriostramientos adicionales → se dispone 1 dbe 6mm c/ 19cm

(8)

Diseño a flexo-compresión oblicua 2) Sección rectangular

Diseñar una columna con sección rectangular, para las siguientes solicitaciones últimas:

195.00 65.00 1300.00 ux uy u M kNm M kNm P kN = = =

Eje débil → “y” Eje fuerte _→ “x”

2.1) Sección propuesta:

Materiales: Hormigón H-25 ( '

25

c

f = MPa) y Acero ADN-420 ( fy =420MPa)

Se propone una sección de 50cm x 35cm (estas medidas deben responder a un presimensionado de la sección de hormigón)

2 2

50 35 1750 0.175

g

A cm cm cm m

⇒ ₌ _⋅ ₌ ₌

Disposiciones reglamentarias para diámetros de armaduras: - Barras longitudinales ⇒d_b ≥12mm

- Estribos ⇒d_be =8mm para 16mm<d_b ≤25mm

Se suponen barras con diámetros d_b =25mm y estribos con d_be =8mm . Se considera un recubrimiento al filo de armaduras c_c =2, 0cm

Como la sección es rectangular deben calcularse los parámetros “γ” en las dos direcciones diferentes.

Para flexión con respecto al eje “y” (débil)

2.5 35 2 2 0.8 26.9 2 cm b cm cm cm cm

γ

⋅ = − ⋅ + + =   26.9 0.77 35.0 cm cm

γ

⇒ ₌ ₌

Para flexión con respecto al eje “x” (fuerte)

2.5 50 2 2 0.8 41.9 2 cm h cm cm cm cm

γ

⋅ = − ⋅ + + =   41.9 0.84 50.0 cm cm

γ

⇒ ₌ ₌

(9)

2.2) Determinación de la cuantía total mediante la metodología propuesta.

El método aplicado al caso de secciones rectangulares indica que la determinación de las armaduras se hace considerando una flexión recta con respecto al eje débil, que en este caso llamamos “y”.

Entonces se determina la cuantía total para el momento último dado por:

(

)

(

)

35 195.00 65.00 182.00 0.182 50 uy ux uy b M M M kNm kNm kNm MNm h = + ⋅ = + ⋅ = =

Y para la carga axial ultima:

1300.00 1.30

u

P = kN = MN

Se usan los diagramas de interacción para la distribución propuesta, considerando la flexión recta entorno al eje “y”, con

γ

=0.70 y

γ

=0.80, para finalmente interpolar para el valor obtenido

0.77

γ

= .

Parámetros “n” y “m” de los diagramas:

2 1.30 7.43 0.175 n u g g P P MN n A A m

φ

⋅ = = = = 2 0.182 2.97 0.175 0.35 n u g g M M MNm m A b A b m m

φ

⋅ = = = = ⋅ ⋅ ⋅

Ingresando a los diagramas dados por el reglamento CIRSOC 201, para secciones con armadura en todas las caras:

Diagrama II.8⇒

γ

=0.70, se tiene para n=7.43 y m=2,97 ⇒sobre curva

ρ

≅0.022

Diagrama II.9⇒

γ

=0.80, se tiene para n=7.43 y m=2,97⇒sobre curva

ρ

≅0.019 Interpolando⇒ para

γ

=0.73 ⇒

ρ

=0.0211

Verificación de las cuantías limites reglamentarias: min max 0.01 0.08

ρ

= =

Si se prevé la utilización de empalmes por yuxtaposición, debe considerarse que la cuantía máxima es

ρ

max =0.04

0.0211

ρ

⇒ ₌ _✓

Sección de armadura requerida 2 2

0.0211 1750 36.93

st g

(10)

Diseño a flexo-compresión oblicua ⇒Se disponen 8d_b25mm distribuidos en las 4 caras de la sección

2 39.27 stdisp A cm ⇒ ₌ _y 2 2 39.27 0.0224 1750.0 disp cm cm

ρ

= ≅

2.3) Verificación de la capacidad de la sección determinada

Se verifica la capacidad de la columna mediante el la ecuación de Bresler.

1

n nxo nyo o

P

=

P

+

P

−

P

- Po

(

)

(

)

' 4 2 4 2 0.85 0.85 1750 39.27 10 420 39.27 10 5.284 5284.00

25

o c g st y st o P f A A f A m MPa m P MN kN

MPa

− − = ⋅ ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ₌ ₌

⋅

- Pnxo 195.00 0 ; 0.15 1300.10 ux x y u M kNm e e m P kN ⇒ ₌ ₌ ₌ ₌

Diagrama →

γ

0.15

y

h m

e = m= (en los diagramas aparece como e/h, o sea la

inversa ey 0.3

h = ). Debe tenerse en cuenta que los ejes del diagrama están en escalas distintas.

Curva _→

ρ

=0.0224 (corresponde a un valor intermedio de curva entre las de

ρ

=0.020 y

0.030

ρ

= . Podría hacerse también una interpolación. Acá se toma un valor intermedio aproximado).

Diagrama II.9 con

γ

=0.80 ⇒n≅9.12MPa Diagrama II.10 con

γ

=0.90 ⇒n≅10.0MPa → Para

γ

=0.84 ⇒n=9.472MPa 2 9.472 0.175 2.55 0.65 g nxo nxo g n A P MPa m n P MN A

φ

⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ₌ ₌ ₌ 2550.00 nxo P kN ⇒ ₌ - Pnyo 65.00 0 ; 0.05 1300.00 uy y x u M _kNm e e m P kN ⇒ ₌ ₌ ₌ ₌

Diagrama _→

γ

0.05

x

b m

e = m = (en los diagramas aparece como e/h, o sea la inversa ex 0.14

(11)

Curva _→

ρ

=0.0224

Diagrama II.8 con

γ

=0.70 ⇒n≅14.30MPa Diagrama II.9 con

γ

=0.80 ⇒n≅16.20MPa → Para

γ

=0.77 ⇒n=15.63MPa 2 15.63 0.175 4.208 0.65 nyo g nyo g P n A _MPa _m n P MN A

φ

⋅ ⋅ _⋅ = ⇒ ₌ ₌ ₌ 4208.00 nyo P kN ⇒ ₌ - Resistencia Nominal: 4

1

1 4.405 10

2550.00

4208.00

5284.00

n nxo nyo o

P

kN

−

=

+

−

=

+

−

=

⋅

2269.90 n P kN ⇒ ₌

- Verificación de aplicabilidad del método de carga inversa

0.10 n o debe ser P ≥ ⋅P ⇒2269.90kN >0.10 5284.00⋅ kN =528.40kN ✓ - Verificación de resistencia n u P P

φ

⋅ ≥ ⇒

φ

⋅ =P_n 0.65 2269.90⋅ kN =1475.43kN >P_u =1300.00kN ✓✓

Con lo cual la sección cumple con la resistencia para el valor de carga último y las excentricidades dadas.

Puede verse que, tanto en el ejemplo de sección cuadrada como en este, hay un “exceso” de resistencia que deriva de la adopción de las armaduras a disponer, ya que si se toma la cuantía exacta dada por el método aproximado de McCormac los resultados son más ajustados. También, es importante tener en cuenta que es parte de un proceso de optimización de la sección hacer que los resultados obtenidos sean más ajustados (modificando la sección bruta de hormigón y/o combinando diámetros de barras a usar para obtener una cuantía mas ajustada).

Finalmente se dispone la sección de la columna con:

- Barras longitudinales → 8 db 25mm

- Estribos _→ dbe=8mm (diámetro en función de los diámetros de barras longitudinales)

Separación máxima 12 12 2.5 30.0 48 48 0.8 38.4 35 b be d cm cm s b cm cm b cm = ⋅ =   ≤ = ⋅ =  ₌  ⇒smax =30.0cm

(12)

- Verificación de las condiciones de arriostramiento de las barras longitudinales:

En este caso se tiene:

15⋅d_be= ⋅15 0.8cm=12cm Lado dirección “x”

(

)

(

)

2 3 35 2 2 0.8 3 2.5 10.95 12 2 2 c be b b c d d cm cm cm x= − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ = cm< cm

Lado dirección “y”

(

)

(

)

2 3 50 2 2 0.8 3 2.5 18.45 12 2 2 c be b h c d d cm cm cm x= − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ = cm> cm

→ deben arriostrarse las barras intermedias de las caras en dirección “y”.

→ se disponen:

- Estribos cerrados 1 dbe 8mm c/ 30cm

(13)