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En el siguiente decágono regular hemos trazado algunas diagonales. Calcula el valor de los cinco ángulos
marcados.
(
)
360 54 , 36 10 36 18 2 18 8 . 3 18En un decágono regular el ángulo central que abarca un lado mide
Un ángulo inscrito que abarca un lado medirá un ángulo inscrito
que abarca n lados medirá n n
El ángulo abarca tres lados El ángu α α α = = = ⇒ ⋅ ≤ ⇒ = ⋅ ⇒ 4 18 72 180 , 54 18 126 108 3 0 6 18 218 6
lo abarca cuatro lados
El ángulo al formar parte del mismo triángulo El ángulo
El ángulo abarca seis lados El ángulo abarca dos lados El ángulo aba σ γ γ γ ρ α γ ρ σ ρ β β δ δ β δ ω ⇒ = ⋅ ⇒ = = − − ⇒ = = = = = − ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ 4 18 72 7 18 126 360 , 108
rca cuatro lados El ángulo abarca siete lados
El ángulo al formar parte del mismo cuadrilátero
ω ω µ µ µ φ ρ ω µ φ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ = = − − − = ⇒ ⇒
Halla el valor de los seis ángulos señalados en la figura:
ˆ ˆ 1 50 ˆ2 9 1 25 ˆ2 ´45 ˆ3 11 0 ˆ ˆ ˆ 3 180 1 2 , ˆ4 0 es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de
es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de
El ángulo al formar parte del mismo triángulo
es un á ⇒ ⇒ = = = − − ⇒ = 50 ˆ ˆ4 25 ˆ5 45 ˆ6 1 5 90 ˆ ˆ 6 5 10
ngulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de es un ángulo inscrito cuyo ángulo central correspondiente es de
El ángulo al ser opuestos por el vértice
= = ⇒ = ⇒ = ⇒
www.jlmat.es [2] Matemáticas 3º ESO 2 2 2 2 2 : 10 6 . : 10 5 75 75 5 3 10 5 3 25 3 2 6 triángulo hexágono triángulo
Base de la pirámide hexágono regular de lado cm
Dividimos el hexágono en triángulos equiláteros como el de la figura y aplicamos el th de Pitágoras
a a a cm A cm A A = + ⇒ = ⇒ = = ⋅ = = = ⋅ =150 3 2 cm 2 2 2 2 2 2 : 6 : . : 25 5 600 600 10 6 10 10 6 50 6 2 6 300 6 triángulo lateral triángulo
Caras laterales iguales Triángulo isósceles aplicamos el th de Pitágoras x x x cm A cm A A cm = + ⇒ = = = ⋅ = = = ⋅ =
(
)
2 2 150 3 300 6 150 3 2 6 1 ; 25 994, 6 10 . . 5 3 total pirámide total baseSuperficie exterior de la pirámide Área de la base Área lateral
S cm
Volumen A h tenemos el triángulo rectángulo de hipotenusa y catetos y h Aplicam
S c os el th de Pi m t = + = + = + ⇒ = ⋅ ⋅ ≃ 2 2 2 2 2 3 3 : 25 10 625 100 525 525 5 21 1 750 63 75 1984, 0 3 7 150 3 5 21 750 7 3 3 3 31 pirámide Vpirámide cm ágoras h h h h cm V cm = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = = = ⇒ ≃ Ejercicio 3.
El triángulo
ABC
está inscrito en una circunferencia de tal forma que el lado
BC
es un diámetro. Sabiendo
que la recta r es la mediatriz del lado
BC
, y que
AB
=
12
cm
y
AC
=
5
cm
. Calcula el área del
cuadrilátero sombreado.
( ) ( ) ( )
2 2 2( )
2( )
2 2 2ˆ 90 . :
12 5 169 13
El triángulo ABC está inscrito en una circunferencia y BC es un diámetro
ABC es un triángulo rectángulo con A aplicando el th de pitágoras
BC AB AC BC BC BC cm
La mediatriz r divide el lado BC en dos partes i
⇒ ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = 6, 5 , .
guales de cm cada una y
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, : 5 5 6, 5 2, 71 6,5 12 12 5 12 2, 2
cuadrilátero triángulo mayor triángulo menor cuadrilátero
Colocando los triángulos semejantes en la misma posición tenemos la siguiente relación de proporcionalidad
DE AC DE DE cm DB AB A A A A ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⋅ = − ⇒ = − ≃ 2 71 6, 5 2 Acuadrilátero=21,19cm ⋅ ⇒ Ejercicio 4.
Con una pieza como la que se muestra se quiere construir un cubo con forma de tronco de cono, al que se
le añadirá la base menor.
−
¿Qué radio debe tener la base que hay que añadir?
−
¿Qué volumen tendrá el cubo?
−
¿Cuántos m
2de material se consumirán?
(
)
2 2 2 2 2 2 2 6 2 18 9 1 1 , " " " " : 3 3 10 6 6 3 4 8 ; 3cubo cono completo cono cortado
Si r es el radio de la base menor r
Llamamos R al radio de la base mayor R R dm
V V V R h a r a calculamos h por Pitágoras y a por semejanza
a h h h h dm r dm π π π π π π ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = = − = ⋅ + − ⋅ = + ⇒ = ⇒ = = =
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 3 2 2 3 8 4 6 6 9 12 3 4 1 1 936 9 12 3 4 312 980, 3 3 3 3 6 18 10 : 3 2 129 4, 2 05 cubo lateral base cubo a dm V gran cuboPara hallar la superficie del tronco de cono S A A
También V dm litros S dm m podemos calcul π π π π π π π π π ⋅ ⇒ = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ + ⋅ = + = = = + ⋅ ⇒ ≃ ≃
(
)
2 : 10 , 5 9 15 3 5 120 120 9 129lateral sector grande sector pequeño
lateral
ar el área lateral A A A R x r x como x dm
A dm S dm
π π
π π π π π π
= − = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =
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,
, , ,
El centro de la circunferencia inscrita a un triángulo se obtiene como corte de las bisectrices de los ángulos como el triángulo es equilátero esas bisectrices coinciden con las mediatrices alturas y medianas ⇒ el incentro circuncen
( ) ( ) ( )
2 2 2( )
2( )
2 2 2 , 1 . 3 1 10 5 75 5 3 3 tro ortocentro y baricentro son el mismo punto y el radio de la cirunferencia inscrita será la distancia del centro al puntomedio de un lado r GD Como G es el baricentro GD AD
AB BD AD AD AD AD entonces GD ⇒ = ⇒ = ⋅ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = ⋅ 2 2 5 3 5 3 3 10 5 3 5 3 25 25 3 2 3 3 75 3 25 3 3 3 9 5, 71 triángulo círculo y r A A
Ahora el área sombreada será A A A cm
π π π = ⋅ − ⋅ − ⋅ − − = ⇒ = = = ⇒ ≃ Ejercicio 6.
En el triángulo rectángulo ABC de hipotenusa AB, tenemos que AC=15. Si la altura CH divide a AB en los
segmentos AH y HB con HB=16, calcula el área del triángulo ABC.
(
)
, ,
, 90 .
Como el triángulo ABC es rectángulo los triángulos ABC ACH y CBH son semejantes como se puede apreciar en el
siguiente dibujo ya que los ángulosα βy son complementarios α β y tienen ángulos iguales
⇒
+ =
,
:
Colocamos los triángulos ABC ACH y CBH en la misma posición y marcamos los lados
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(
)
(
)
2 2 2 2 : 15 16 15 16 225 16 16 225 0 15 16 16 4 225 16 1156 16 34 9 2 2 2 25Aplicando el teorema de Thales obtenemos la siguiente proporción x x x x x x x x x x x + = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ + − = − ± − ⋅ − − ± − ± = = = = ⇒ = − 2 2 2 , , . 9 25 12 150 16 144 12 ; : 20 16 15 12 15 20 : 15 2 2 0
una vez encontrado el valor x buscamos el de a
a y
a a también podemos hallar y y
a
Entonces el área del triángulo valdrá A u o A u
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⋅ = = ⋅ = =
