Programación lineal: Apuntes y ejercicios de clase

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I.E.S. CASTILLO DE LUNA

Programación lineal

En un problema de programación lineal con dos variablesx; y, se trata de optimizar (hacer máximo o mínimo, según los casos) una función, llamadafunción objetivode la formaF =px+qysujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistrema de desigualdades lineales de tipo8

> > < > > :

a1x+b1y c1

a2x+b2y c2

::: amx+bmy cm

Las variablesx; yse llaman variables de decisión.

Los puntos del plano que cumplen todas las restricciones (el sistema de desigualdades lineal) están en un recinto convexo …nito (poligonal) o in…nito, llamadoregión factibleoregión de validez del problema.

Los puntos de la región factible cumplen todas las restricciones y se llaman soluciones factibles. La solución factible que haga óptima la función objetivo, se llama solución óptima.

Para resolver usaremos las siguientes propiedades:

Si existe una única solución que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un vértice de la región factible acotada, nunca en el interior de la misma. (Principio de las esquinas).

Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos delsegmentoque determinan esos vértices. En este caso el problema tienesolución múltiple.

Si la región es no acotada, el problemapuede carecer de solución, pero de existir se encuentra en los vértices de la región factible.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas: 8

> > < > > :

a1x+b1y c1

a2x+b2y c2

::: amx+bmy cm Para resolver se procede:

1. Resolver cada inecuación grá…camente por separado indicando mediante ‡echas o sombreando, el semiplano solución.

2. La región factible está formado por las soluciones comunes a todas las inecuaciones.

Puede tener o no solución. La solución puede estar o no acotada. Si la solución es acotada, sus puntos están encerrados en un polígono convexo.

Ejemplo: Representar la región factible asociada al sistema 8 > > < > > :

x+ 3y 20 x+y 10

x 0 y 0

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Representemos la rectax+y= 10; y= 10 x

x y

0 10

10 0

Localizemos el semiplano x+y <10: Para ello comprobamos que el punto(0;0) pertenece a dicho semiplano, pues0 + 0<20

Reprersentemos los semiplanos x >0; y >0

Resumiendo toda la información obtenemos la región factible, en la cual es importante tener calculado los puntos de corte x+ 3y 20

x+y 10 =)x= 5 =y;(5;5)

x+ 3y= 20

x= 0 =)x= 0; y= 20

3 ; 0; 20

3

(3)

Ejemplo 2: Región acotada. Solución única. Maximizar la función F(x; y) = 10x+ 4y sujeta a las

restric-ciones 8 > > < > > :

x+ 3y 20 x+y 10

x 0 y 0

:

La región factible la hemos calculado en el ejemplo anterior. Pero, ¿cómo saber en que punto de dicho recinto se maximiza la función objetivo?

Trazaremos la recta10x+ 4y = 0;recta en la que la función objetivo se anula. Recorreremos la región factible con las paralelas a la anterior10x+ 4y=z. De todas estas líneas buscaremos aquella en la que se alcanza el valor óptimo de la función objetivo, que pasará por un vértice de la región factible. En este caso, la que pasa por el vértice 0;20

3 ;dondeF 0; 20

3 = 40 20

3 = 800

3 = 266:67:

Vértices F(x; y) = 10x+ 40y (0;0) F(0;0) = 10 0 + 40 0 = 0

0;20

3 F 0;

20 3 = 40

20 3 =

800

3 = 266:67 (5;5) F(5;5) = 10 5 + 40 5 = 250

(10;0) F(10;0) = 10 10 + 40 0 = 100 Por tanto el máximo se alcanza en 0;20

3 y la función toma el valor de 800

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Vértices F(x; y) = 4x+y+ 9 (0;0) F(0;0) = 9

(2;8) F(2;8) = 9 (10;3) F(10;3) = 28

La solución se alcanza en todos los puntos del segmento de extremos B(0;0)y A(2;8), y el valor máximo es 9. Ejemplo 3: Región no acotada. Solución única. Minimizar y maximizar la funciónF(x; y) = 2x+ 3y sujeta

a las restricciones 8 > > > > < > > > > :

x+y 5 x+ 3y 9 4x+y 8

x 0 y 0

Vértices F(x; y) = 2x+ 3y (0;8) F((0;8) = 24 (3;2) F(3;2) = 12 (1;4) F(1;4) = 14 (9;0) F(9;0) = 18

Por tanto, si tiene mínimo que se alcanza en (3,2) con valor 12, pero no tiene máximo, pues crece inde…nidamente. Ejemplo 4: Región no acotada. Sin solución. Minimizar y maximizar la funciónF(x; y) =x+y+ 1sujeta a

las restricciones 8 < :

3x+ 4y 13

2x 3y 3

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En este caso, no alcanza ni el máximo ni el mínimo.

Ejemplo 5: Problema del transporte. El objetivo del problema de transporte es determinar cuántas unidades de producto deben enviarse desde cada origen hasta cada destino de forma que se minimicen los costes totales de distribución, se satisfaga la demanda de cada destino y no se exceda la capacidad de oferta de cada uno de los orígenes.

Destino 1 Destinoo 2 Destino n Ofertas Origen 1

Origen 2 Origen m Demandas

Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados, necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita de 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los datos del cuadro. Plani…ca el transporte para que el coste sea mínimo.

Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

Almacén A 10 15 20

Almacén B 15 10 10

Llamemosxa la cantidad de mercancía que entrega el almacén A al mercado 1,ey a la mercancía que entrega el almacén A al mercado 2, el resto de la mercancía se distribuye de la forma que se recoge en la tabla.

Envíos al mercado 1 al mercado 2 al mercado 3 Ofertas

desde el almacén A x y 10 x y 10

desde el almacén B 8 x 8 y 1 +x+y 15

Demandas 8 8 9

Todas los envíos deben ser números positivos.

x 0 y 0

10 x y 0

8 y 0

8 x 0

1 +x+y 0 9 > > > > > > = > > > > > > ;

La función coste es10 x+ 15 y+ 20 (10 x y) + 15 (8 x) + 10 (8 y) + 10 ( 1 +x+y) = 390 5y 15x

MinimizarC(x; y) = 390 15x 5ysujeto a

x 0 y 0

10 x y 0

8 y 0

8 x 0

(6)

C(x; y) = 390 15x 5y C(1;0) = 375

C(0;1) = 385 C(8;0) = 270 C(0;8) = 350

C(8;2) = 260;alcanza el valor mínimo C(2;8) = 320

Por tanto las cantidades a transportar son

Envíos al mercado 1 al mercado 2 al mercado 3 Ofertas

desde el almacén A 8 2 0 10

desde el almacén B 0 6 9 15

Demandas 8 8 9

Ejemplo 6: Problema de la dieta. Se trata de hallar la manera más económica de alimentar al ejercito pero asegurando al mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales. Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, una dieta adelgazante que cumpla unos determinados niveles de calorías, proteínas, hidratos de carbono, .

Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:

Producto A Producto B

Proteínas 2 1

Hidratos 6 1

Grasas 1 3

Coste(kg) 600 400

¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?

De…namosxkg de producto A ey kg de producto B y completemos la información de la tabla. Producto A Producto B

Proteínas 2 1 8

Hidratos 6 1 12

Grasas 1 3 9

Coste(kg) 600 400

Cantidad x y

La función coste es C(x; y) = 600x+ 400y sujeto a

2x+y 8 6x+y 12

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C(x; y) = 600x+ 400y C(0;12) = 4800 C(1;6) = 3000

C(3;2) = 2600 C(9;0) = 5400

Por tanto la solución es 3 kg del producto A y 2 kg del producto B. Programación lineal entera.

Vamos a proponer dos problemas de similar formulación, pero que nos sirve para introducir la programación lineal entera.

Ejercicio 1: Una fábrica de tableros de madera pintados, produce 2 tipos de tableros: Normales, con una mano de imprimación y una de pintura.

Extras, con una mano de imprimación y tres de pintura.

Disponen de 10 milm2 de imprimación y 20 milm2 de pintura y tableros sin pintar en cantidad ilimitada. Sus

ganancias netas son 10 euros porm2 de tablero normal y 40 euros porm2 de tablero extra.

¿Qué cantidad de tableros de cada tipo les conviene fabricar para maximizar ganacias? x=miles dem2 de tableros normales

y=miles dem2 de tableros extra

x+ 3y 20(pintura) x+y 10(imprimación) x 0

y 0

Función a maximizarG(x; y) = 10x+ 40y;sujeta a 8 > > < > > :

x+ 3y 20 x+y 10

x 0 y 0

:

Este problema está resuelto en el ejemplo 1. Por tanto la ganancia máxima se alcanza fabricando 0 m2 de tablero normal y 20

3 miles dem

2 de tablero extra, consiguiendo un bene…cio de 800000

3 = 266666;67euros. Ejercicio 2: Las 20 chicas y los 10 chicos de una clase organizan un viaje. Para sacar dinero trabajan en una

(8)

x=número de equipos de A y=número de equipos de B

x+ 3y 20(número de chicas disponibles) x+y 10(número de chicos disponibles) x 0

y 0

Función a maximizarF(x; y) = 10x+ 40y;sujeta a 8 > > < > > :

x+ 3y 20 x+y 10

x 0 y 0

Pero una restricción a tener en cuenta y que los distingue del problema anterior, es que tanto x; y deben ser números enteros. Observando el dibujo, sólo hay 54 puntos factibles.

La soluciónx= 0; y=20

3 no nos vale, puesxeydeben ser números enteros. Si analizamos el valor de la función objetivo en los 54 puntos factibles, el máximo se alcanza para(2;6); dondeF(2;6) = 10 2 + 40 6 = 260euros. Ejemplo 7: Una empresa elabora dos productos, cada una de ellas en una cantidad que es múltiplo de 1000.

Conoce que la demanda, de ambos productos conjuntamente, es mayor que 3000 unidades y menor que 6000 unidades. Asimismo, sabe que la cantidad que se demanda de un producto es mayor que la mitad y menor que el doble de la de otro. Si la empresa desea vender toda la producción:

¿De cuántos modos puede organizar la producción?

Para obtener bene…cios máximos, ¿de cuánto ha de ser la producción de cada uno de ellos si uno se vende a un precio que es el triple que el del otro?

xcantidad elaborada del producto 1 (expresadas en miles) e y cantidad elaborada del producto 2 (expresadas en miles).

x+y >3 x+y <6

x > y 2 x <2y x 0; entero y 0; entero

(9)

Las soluciones facibles sólo son tres: (2;3);(3;2);(2;2):Luego la producción sólo se puede organizar de 3 manera Producto 1 (unidades) Producto 2 (unidades)

2000 3000

3000 2000

2000 2000

La función bene…cio esB(x; y) =k(x+ 3y) B(2;2) = 8k

B(2;3) = 11k B(3;2) = 9k

Figure

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