Introducción a la Programación Lineal

UNIDAD 01

Introducción a la Programación Lineal

1.1 Modelo de Programación Lineal con dos variables

Ejemplo: (La compañía Reddy Mikks)

Reddy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema

Producto

Componente

Pinturas para exteriores

Pinturas para interiores

Disponibilidad diaria máxima

(toneladas) Materia prima, M1

Materia prima, M2

6 1

4 2

24 6 Utilidad por toneladas

(miles de $)

5 4

Una encuesta de mercado indica que: la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores.

También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.

Reddy desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

El modelo de programación lineal, como en cualquier modelo de investigación de operaciones, tiene tres componentes básicos:

• Las variables de decisión que se trata de determinar

• El objetivo (la meta) que se trata de optimizar

• Las restricciones que se deben satisfacer

Definimos las variables:

x1=toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores x2=toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores

Para formar la función objetivo, la empresa desea aumentar sus utilidades todo lo posible. Si Z representa la utilidad diaria total (en miles de dólares), el objetivo de la empresa se expresa así:

Maximizar Z=5x₁+4x₂

A continuación se definen las restricciones que limitan el uso de las materias primas y la demanda:

(uso de la materia prima para ambas pinturas)=(disponibilidad máxima de materia prima)

Según los datos del problema:

Uso de la materia prima M1, por día = 6x1+4x2 toneladas Uso de la materia prima M2, por día = 1x1+2x2 toneladas

Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan:

6x1+4x2≤24 (materia prima M1) x1+2x2≤6 (materia prima M2)

La primera restricción de la demanda indica que la diferencia entre la producción diaria de pinturas para interiores y exteriores, x2-x1, no debe ser mayor que 1 tonelada, y eso se traduce en: x2-x1≤1. La segunda restricción de la demanda estipula que la demanda máxima diaria de pintura para interiores se limita a 2 toneladas, y eso se traduce como: x2≤2.

Una restricción implícita (o “que se sobreentiende”) es que las variables x1 y x2 no pueden asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad: x1≥0 y x2≥0.

El modelo de Reddy Mikks completo es:

Maximizar:

Z = 5 x

+ 4 x

2 1 6 2

24 4

6

2 2 1

2 1

2 1

≤

≤ +

−

≤ +

≤ +

x x x

x x

x x

0 , ₂

1 x ≥ x

EJEMPLOS INICIALES DE PROGRAMACION LINEAL

1. Una firma industrial elabora dos productos, en las cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que deba fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformación. O sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.

Producto Componente

P 1 P ₂ Disponibilidad

(kilogramos) A

B C D

1 2 2 1

3 1 2 1

15 000 10 000 12 000 10 000 Beneficios

US$Unidad

4 3

Solución

1=

x Nº de Unidades de Producto P₁

2 =

x Nº de Unidades de Producto P₂

Dado que x₁ y x₂ pueden tomar distintos valores reciben el nombre de

"variables".

Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de transformación se tiene:

Si en una unidad del Producto _P1 entra 1 Kg. Del componente A, en x₁ unidades de _P2 entrarán.

[ ]

1 1

x P de Unidad

componente de

Kg ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

(

)

y para el producto P₂:

[ ]

1 2 x

P de Unidad

componente de

Kg ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

(

)

Dado que la restricción impuesta dice que la disponibilidad del componente A es de 15 000 Kg es evidente que la suma de las expresiones anteriores deberá ser menor, a lo sumo igual a 15 000. Es decir 15 000 Kg constituye el máximo disponible de la componente A.

Entonces eliminando las unidades de medida, se expresan en forma matemática de la siguiente forma:

000 15 3 1x1+ x2 ≤

Aplicando el mismo análisis a los componentes B, C, y D, se tendrán las siguientes inecuaciones:

000 10 1 1

000 12 2 2

000 10 1 2

2 1

2 1

2 1

≤ +

≤ +

≤ +

x x

x x

x x

Ahora bien, si el producto P₁ genera un beneficio de US$4 por unidad, x₁ unidades producirá un beneficio de US$4x₁ y para el producto P₂, serán 3x₂ soles de beneficio.

El beneficio total puede expresarse entonces como suma de los beneficios que deja cada producto.

Entonces:

2

1 3

4x x

Z= +

Pero lo que nosotros queremos es que este beneficio no sólo sea grande, sino que sea el mayor de todos; en una palabra, que sea máximo.

Entonces el programa lineal correspondiente es:

2

1 3

4x x

Z = +

Sujeto a:

000 10 1 1

000 12 2 2

000 10 1 2

000 15 3 1

1 2 2 1

2 1

2 1

≤ +

≤ +

≤ +

≤ +

x x

x x

x x

x x

0 , ₂

1 x ≥ x

2. La Compañía "PROLANSA" produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta US$2,00 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta US$2,50. un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento Nº 1 y tres horas en el departamento Nº 2, mientras que un

tornillo requiere cuatro horas en el departamento Nº 1 y dos horas en el departamento Nº 2. El jornal por hora en cada departamento es de US$2,00.

Si ambos productos se venden a US$18,00, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximicen las utilidades.

Solución

1=

x Nº de tornillos/semana

2 =

x Nº de clavos/semana Utilidad = venta - costo

Costo de los tornillos = 6 x 2 + US$US$2 /Unid.

= US$12 Unid + US$2 /Unid. = US$14 /Unid.

= US$14 /Unid.

Utilidad = 18 - 14 = US$4 /Unid.

Costo de los clavos = 5 x 2 + 2,5 = US$12,5 /Unid.

= US$12,5 /Unid.

Utilidad = 18 – 12,5 = US$5,50 /Unid.

Por lo tanto el programa lineal es:

2 1 5,50

4x x

Z

Max = +

Sujeto a:

0 ,

180 3

2

160 2

4

2 1

2 1

2 1

≥

≤ +

≤ +

x x

x x

x x

3. Un fabricante produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto, y usa dos tipos de materia prima (A y B), de los cuales se tienen disponibles 2 000 y 3 000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por unidad de los 3 modelos son:

MATERIA PRIMA

REQUISITOS POR UNIDAD DE MODELO DADA

I II III

A B

2 4

3 2

5 7

El tiempo de mano de obra por cada unidad del modelo I es dos veces el modelo II y tres veces el modelo III. La fuerza laboral completa de la fábrica pudo producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. Una encuesta de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es 200, 250 y 150 unidades respectivamente. Sin embargo, las relaciones del número de unidades producidas deben ser iguales a 3: 2: 5. Supongamos que los beneficios por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 unidades monetarias. Formule el problema como un modelo de Programación lineal a fin de determinar el número de unidades de cada producto que maximiza el beneficio.

Solución

1=

x Cantidad de Producción del Modelo I

2 =

x Cantidad de Producción del Modelo II

=

x3 Cantidad de Producción del Modelo III Función Objetivo

3 2

1 20 50

30x x x

Z

Max = + +

Sujeto a:

1) Con respecto a Materia Prima

000 3 7 2 4

000 2 5 3 2

3 2 1

3 2 1

≤ + +

≤ + +

x x x

x x x

2) Con respecto a la Demanda Mínima

150 250 200

3 2 1

≥

≥

≥

x x x

3) Relación de las unidades producidas

, 2 3

2 1 = x x

, 5 2

3 2 = x x

5 3

3 1 = x

x

4) Condición Laboral

700 3

1 2 1

3 2

1+ x + x ≤

x

5) Condiciones de no negatividad

0 , 0 ,

0 _{2 3}

1 ≥ x ≥ x ≥

x

4. Para una cafetería que trabaja 24 horas se requiere las siguientes meseras:

HORAS DEL DIA NÚMERO MÍNIMO DE

MESERAS

2 - 6 4

6 - 10 10 - 14 14 - 18 18 - 22 22 - 2

8 10

7 12

4

Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas por día. El objeto es encontrar el número más pequeño requerido para cumplir los requisitos anteriores. Formule el problema como un modelo de Programación Lineal.

Solución

=

xi Cantidad de meseras que ingresan en el turno i =^___1,6

Función Objetivo

6 5 4 3 2

1 x x x x x

Z x

Min = + + + + +

Sujeto a:

Turno 1: x1 + x6 _≥⁴

Turno 2: ⁸

2

1+ x ≥

x

Turno 3: x₂ + x_{3 ≥}¹⁰ Turno 4: ⁷

4

3 + x ≥

x

Turno 5: x₄ + x_{5 ≥}¹² Turno 6: x5+ x6 _≥⁴

x_{i ≥}⁰ ∀i=1 …, ,6

Turno horas 2 6 10 14 18 22 2 6