Profesor: Javier Trigoso Página 1
PROGRAMACIÓN LINEAL
Indicadores
Analiza el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales graficando la región relacionada al sistema.
Calcula los vértices de una región poligonal resolviendo el sistema asociado de ecuaciones lineales.
Utiliza el método de los vértices resolviendo problemas de programación lineal.
Contenido
1. Gráfica de inecuaciones
2. Introducción a la programación lineal
Región factible
Función objetivo
Solución óptima
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia en los procesos de toma de decisión de numerosos ámbitos
económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial.
UN POCO DE HISTORIA
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente el matemático Fourier (1 768-1 830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que
actualmente llamamos programación lineal.
Sin embargo, debemos remontarnos al año 1 939 para encontrar nuevos estudios relacionados a la programación lineal. En este año, el matemático ruso Leonidas Kantarovitch publica una extensa
monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción, en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas sobre la teoría matemática de la programación lineal.
En 1 941 - 1 942 se formula por primera vez el problema del transporte, estudiado por Koopmans. Tres años más tarde, Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio.
Profesor: Javier Trigoso Página 2 En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados
Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.
En 1 947, Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de
programación lineal. Una de las primeras aplicaciones fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad de aplicaciones de tipo preferentemente militar.
Hacia 1 950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal.
Respecto al método del simplex, que estudiaremos después, señalaremos que su estudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM.
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro Von Neuman (1 903 - 1 957). En 1 947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de Hilbert en Gotinga y, desde 1930, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.
En 1 858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto: el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú. El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10
días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costos previstos.
Se ha estimado, de una manera general, que si un país
subdesarrollado utilizase los métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año.
En este sentido podemos decir que; la programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente, que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización. Nos centramos en aquellos problemas de programación lineal, donde solo intervienen 2 variables.
Profesor: Javier Trigoso Página 3 1.
GRÁFICA DE INECUACIONES
1.1. Regiones del plano determinadas por rectas
La gráfica de una recta de ecuación y = ax + b divide al plano en dos regiones: una formada por los puntos que satisfacen la inecuación y < ax + b, y otra formada por los puntos que satisfacen la inecuación y > ax + b.
Si se trata de una inecuación en sentido estricto (>, <), no incluye a los puntos de la recta que limitan al semiplano.
Si es una inecuación en sentido amplio (≥, ≤), los puntos de la recta también son soluciones de la inecuación.
1.2. Gráfica de una inecuación lineal
A continuación se detalla el procedimiento a seguir para graficar una inecuación lineal en el plano cartesiano:
Se traza la recta de la ecuación y = ax + b
Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y se comprueba si verifican la inecuación dada
Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la inecuación
Ejemplo 1
Traza la gráfica de la inecuación:
x + y ≤ -2
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
x + y = -2 , hallando los puntos donde la recta corta a los ejes.
Si x = 0 y = -2
Si y = 0 x = -2
La recta la trazamos continua porque forma parte de la solución. Ahora sustituyendo los valores de las coordenadas del origen en la
inecuación se obtiene: 0 + 0 = 0 ≥ -2 es falso, por lo que se concluye que el origen de coordenadas no pertenece al conjunto solución como tampoco el semiplano que lo contiene, entonces sombreamos el semiplano inferior.
Ejemplo 2
Traza la gráfica de la inecuación:
3y – 2x < 6 Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
3y – 2x = 6, hallando los puntos donde la recta corta a los ejes.
Si x = 0 y = 2
Si y = 0 x = -3 La recta la trazamos punteada porque no forma parte de la solución. El punto (0; 0) se encuentra en el semiplano
inferior; y 3(0) – 2(0) = 0 < 6 es verdadero, por lo tanto,
sombreamos el semiplano inferior.
Profesor: Javier Trigoso Página 4 1.2. Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Ejemplo 3
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
x 2y 3
2x y 1
Solución:
Trazamos la gráfica de cada una de las ecuaciones; para lo cual calculamos los valores de las coordenadas de dos de sus puntos:
x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0)
2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y > 3, se obtiene -3 > 0: falsedad;
por lo que la solución para esta inecuación es el conjunto de puntos del semiplano que no incluye al origen.
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y >
1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que la solución para esta inecuación es el conjunto de puntos del semiplano que incluyen al origen.
El conjunto solución del sistema es la intersección de los semiplanos – solución hallados individualmente (la región sombreada)
Ejemplo 4
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
x 3y 7
3x 2y 1
4x y 17
Solución:
Lo primero que debemos hacer es trazar la gráfica de cada una de las ecuaciones.
Basta con hallar las coordenadas de dos de los puntos para cada una de ellas:
x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0)
3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0)
4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)
El conjunto solución es el interior del triángulo sombreado, sin incluir ninguno de los lados. Para aclarar mejor la solución debemos calcular las coordenadas de los vértices del triángulo, lo cual se consigue resolviendo los tres sistemas:
x 3y 7 ; x 3y 7 ; 3x 2y 1
3x 2y 1 4x y 17 4x y 17
Para el primer sistema la solución es (1; 2), para el segundo (4; 1) y para el tercero (3; 5). La solución del sistema de inecuaciones es, en resumen, el interior del triángulo, cuyos vértices son los puntos (1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno de los tres lados del triángulo.
Profesor: Javier Trigoso Página 5 2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la economía, la estrategia militar, y en otras áreas, en las que se presentan situaciones donde se exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a determinadas situaciones.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. Veremos a continuación la aplicación de la programación lineal a diversas situaciones.
2.1. Programación lineal bidimensional
La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.
2.2. Conjunto de restricciones lineales
El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema asociadas a un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo
Encuentra la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x y 7 2x y 10 x 0 y 0
2.3. Región factible
La región factible está formada por la intersección o región común
de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (≤ o
≥) o en sentido estricto (< o >).
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible representada en la gráfica.
Profesor: Javier Trigoso Página 6 2.4. Función objetivo
La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha región el valor de la función f(x;y) = 30x + 20y
2.5. Solución óptima
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.
TEOREMA:
“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse en uno de los vértices de la región factible”
Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo cada uno de los vértices de la región factible.
Ejemplo
Continuando con el mismo ejemplo:
O (0; 0) f (0; 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0 A (5; 0) f (5; 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150
B (3; 4) f (3; 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo C (0; 7) f (0; 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140
La solución óptima es B (3; 4)
… PARA LA CLASE
01. Representa en el plano cartesiano la solución de las siguientes inecuaciones:
A. x ≥ 3 B. – 3 ≤ x ≤ 5 C. y < 5 D. -5 ≤ y < 3 E. y ≤ 3x + 4 F. x + 6y + 12 ≤ 0 G. 3x – 4y + 12 ≥ 0 H. 3x + 9y – 27 ≤ 0
02. Hallar el punto de intersección, de cada uno de los siguientes pares de rectas:
A. L1 : x + 4y – 10 = 0 y L2 : 7x – y – 12 = 0 B. L1 : 3x + y – 4 = 0 y L2 : 3x – 7y + 4 = 0 C. L1 : 9x + 2y – 35 = 0 y L2 : 2x + 7y = 34 D. L1 : 7x + y – 18 = 0 y L2 : 8x – y = –3 E. L1 : x + y – 180 = 0 y L2 : x – y = 40
03. Grafica en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las siguientes desigualdades:
x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x + 2y ≤ 160 ; x + y ≤ 100 Indica los vértices del polígono formado.
04. Dada la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x y 27 x 12 y 6
Profesor: Javier Trigoso Página 7 Represéntala gráficamente y determina los vértices de la región,
indica además, ¿cuáles son los valores máximo y mínimo de la siguiente función: f(x; y) = 90x + 60y
05. Representa gráficamente la región factible determinada por las siguientes desigualdades:
x y 5 4x 3y 30
x 0 y 0
Calcula la solución que hace mínima la función objetivo f(x; y) = x + 2y sometida a las restricciones anteriores.
06. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
2x y 1000 x 1,5y 750
x 0 y 0
A. Represéntalo gráficamente.
B. Halla sus vértices.
C. Obtén el valor máximo de la función f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior, así como el punto en que lo alcanza.
… PARA LA CASA
01. Representa en el plano cartesiano la solución de las siguientes inecuaciones:
A. y ≥ 2x – 2 B. 4x + 3y ≤ 2 C. x y 3
2x y 4
D. x y 3
2 x 4
E.
x 3y 15 4x y 16 x 0;y 0
02. Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones:
x 3 y 8 x y y x 3 x 0; y 0
Encuentra los vértices de dicha región
03. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x y 27 x 12 y 6
A. Represéntalo gráficamente.
B. Determina los vértices de ese recinto.
C. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función
Profesor: Javier Trigoso Página 8 f(x;y) = 90x + 60y en el recinto anterior?
D. ¿En qué puntos alcanza dichos valores?
04. Dada la función objetivo f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones siguientes:
3x y 10 x 2y 8 x 0;y 0
A. Representa la región factible.
B. Halla los valores de x e y que hacen máxima la función objetivo.
C. Determina los valores x e y que minimizan la función objetivo.
05. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y R sujeto a las siguientes condiciones:
2x 3y 6 2x y 6
0 y 4 x 0
Identifica la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. El valor óptimo es 5.
II. La región admisible es un polígono de cuatro lados.
III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen a la región admisible.
06. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x 2y 10 0 x 6 0 y 8
A. Represéntalo gráficamente.
B. Calcula sus vértices.
C. Calcula el máximo de la función f(x; y) = 20x + 60y 07. Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones:
5x 2y 10 3x 4y 20
x y 2 x 0;y 0
A. Dibuja dicho recinto y determina sus vértices.
B. Determina en qué punto de ese recinto alcanza la función f(x; y) = 4x + 3y el máximo valor.
08. Calcula el área de la región limitada por:
y x 1
y x 1
1 x 1 0 y 1
09. Calcula el área de la región definida por el siguiente conjunto de inecuaciones:
y x 3 x y 4 x 0;y 0
10. Determina el número de puntos de coordenadas entras que se encuentran en el conjunto solución del sistema:
x y 3 x y 3
x y 3 x y 3
Profesor: Javier Trigoso Página 9 3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL
3.1. Pasos para resolver un problema de programación lineal en el plano
Los siguientes "pasos" resumen como resolver un problema de P.L. en el plano
Paso 1. Identificar las variables del problema.
Paso 2. Confeccionar una tabla que resuma la información facilitada.
Paso 3. Expresar las restricciones o limitaciones dadas en el problema mediante un sistema de desigualdades relativo a las variables.
Paso 4. Representar gráficamente el sistema de desigualdades, determinando la llamada región factible.
Paso 5. Establecer la función objetivo lineal, que deberá ser maximizada o minimizada.
Paso 6. Resolver el problema planteado.
Paso 7. Interpretar los resultados.
3.2. Tabla con los datos del problema
En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.
En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las variables.
En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a una restricción, es decir, a una inecuación.
En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objetivo y si se trata de maximizar o minimizar.
Ejemplo 1
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se
necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 dólares y las de montaña a 150 dólares, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?
Solución
1) Tabla con los datos del problema.
B. de paseo B. de montaña Restricciones
Nº de bicicletas x y x ≥ 0; y ≥ 0
Acero x 2y x + 2y ≤ 80
Aluminio 3x 2y 3x + 2y ≤ 120
Beneficio 200x 150y f(x; y) = 200x +
150y 2) Región factible.
Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
O (0; 0) f (0; 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 A (40; 0) f (40; 0) = 200 · 40 + 150 · 0
= 800
B (20; 30) f (20; 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850 Máximo
Profesor: Javier Trigoso Página 10 C (0; 40) f (0; 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600
4) La solución óptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30 bicicletas de montaña.
Ejemplo 2
Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipaje.
Los aviones disponibles son de dos tipos:
11 del tipo A y 8 del tipo B. La
contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede
transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?
Solución
1) Tabla con los datos del problema.
Tipo A Tipo B Restricciones Nº de aviones x y 0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8
Personas 200x 100y 200x + 100y ≥ 1 600
Equipaje 6x 15y 6x + 15y ≥ 96
Costo 40 000x 10 000y f(x; y) = 40 000x + 10 000y 2) Región factible.
Es el gráfico mostrado a continuación.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
A (6; 4) f (6; 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000 B (11; 2) f (11; 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000 C (11; 8) f (11; 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000
D (4; 8) f (4; 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 Mínimo 4) La solución óptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B
… PARA LA CLASE Ejercicio 1
Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un vestido de señora 2 m2 de cada tejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mismo beneficio que la de un vestido, halla cuántos trajes y vestidos debe fabricar para obtener la máxima ganancia.
Profesor: Javier Trigoso Página 11 Ejercicio 2
Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dos factorías y cada una de ellas produce los dos bienes en las cantidades por hora siguientes:
La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. Los costos de funcionamiento de las dos factorías son: S/.100 por hora para la factoría 1 y S/.80 por hora para la factoría 2. ¿Cuántas horas debe funcionar cada factoría para minimizar los costos de la empresa y satisfacer el pedido?
Ejercicio 3
Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libros de la colección Austral y 80 de la colección Alianza de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lote de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de Alianza de bolsillo, que vende a S/.10.¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer el vendedor para maximizar su ganancia cuando los haya vendido todos?
Ejercicio 4
Un comerciante acude a cierto supermercado a comprar naranjas con S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las
de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo dispone en su camioneta de espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo B a S/.6. ¿Cuántos kg. de naranjas de
cada tipo deberá comprar para obtener el máximo beneficio?, ¿Cuál será el máximo beneficio?
Ejercicio 5
La compañía INIPAS fábrica dos productos X e Y, para cada producto es necesario usar tres máquinas diferentes A, B y C. En la fabricación de una unidad del producto X, hay que usar 3 horas la máquina A, 1 hora la máquina B y 1 hora la máquina C. Para fabricar una unidad del producto Y se requieren 2 horas en la máquina A, 2 horas en la máquina B y una hora en la máquina C. La utilidad unitaria del producto X es $ 500 y del producto Y es $ 350. Podemos
disponer de la máquina A las 24 horas de día pero solo 16 horas de la máquina B y 9 horas de la máquina C. Halla la cantidad de unidades de cada producto
Ejercicio 6
Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Tipo I y Tipo II. Durante la producción, las parrillas requieren del uso de dos máquinas “A” y “B”. El número de horas necesarias en ambas, está indicado en la siguiente tabla:
Máquina A Máquina B Tipo I 2 horas 4 horas Tipo II 4 horas 2 horas
Si cada máquina puede utilizarse las 24 horas del día y las utilidades en los modelos son de $40 y $60 respectivamente, ¿cuántas parrillas de cada tipo deben producirse por día para obtener la máxima utilidad?, ¿cuál es dicha máxima utilidad?
Profesor: Javier Trigoso Página 12
… PARA LA CASA
Enunciado: (Preguntas 01 a 03)
Un fabricante de pelotas, obtiene una utilidad de $ 15 por cada pelota de futbol y $ 8 por cada pelota de vóley. Para satisfacer la demanda de los distribuidores, la producción diaria de pelotas de futbol debe ser de 10 a 30 pelotas y entre 30 y 80 pelotas de vóley.
A fin de conservar la máxima calidad, el total de pelotas producidas no debe ser mayor de 80 diarias.
01. ¿Cuál de los siguientes puntos no es un vértice de la región limitada por las restricciones del problema?
A. (10; 70) C. (60; 20) B. (50; 30) D. (30; 30)
02. ¿Cuántas pelotas de futbol deberá fabricar cada día?, para obtener la máxima utilidad.
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60
03. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener?
A) $ 900 B) $ 950 C) $ 990 D) $ 800 Enunciado: (Preguntas 04 a 06)
Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de proteínas. El alimento “A” tiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento “B” contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento “A” cuesta $1,20 por unidad y el alimento “B” $0,80 por unidad.
04. ¿Cuál de los siguientes puntos no es un vértice de la región limitada por las restricciones del problema?
A) (4; 4) C) (8; 5)
B) (0;20) D) (8; 0)
05. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo?
A) 4 y 4 C) 5 y 3
B) 3 y 5 D) 6 y 2
06. ¿Cuál es el costo mínimo?
A) $ 9,5 B) $ 9 C) $ 8 D) $ 8,5 Enunciado: (Preguntas 07 a 09)
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos, se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a guanábana y a fresa. Se decide repartir al menos 30 000 yogures. Cada yogur de guanábana necesita para su elaboración 0,5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0,2 gramos de ese mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación, y además, el costo de producción de un yogur de guanábana es de 30 u.m. y el de un yogur de fresa es 20 u.m.
07. ¿Cuál de los siguientes puntos presentados es un vértice de la región limitada por las restricciones del problema?
A) (45 000; 0) C) (10 000; 20 000) B) (0;20 000) D) (30 000; 0)
08. Si se desea repartir yogur de un solo sabor, ¿cuál es el mínimo costo que se tendría?
A) 500 000 u.m. C) 600 000 u.m.
B) 550 000 u.m. D) 700 000 u.m.
09. ¿Cuál es el mayor costo que tendrá esta campaña?, sin importar si se reparte uno o dos sabores de yogur.
A) 1 000 000 u.m. C) 900 000 u.m.
B) 700 000 u.m. D) 800 000 u.m.
Profesor: Javier Trigoso Página 13 Enunciado: (Preguntas 10 a 14)
Las restricciones pesqueras impuestas por la Comunidad Económica Europea, obligan a cierta empresa a pescar como máximo, 2 000 kilos de merluza y 2 000 kilos de rape; además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de los 3 000 kilos. Si la merluza se logra vender a 10 dólares el kilo y el rape a 15 dólares el kilo.
10. ¿Cuál de los siguientes puntos es un vértice de la región limitada por las restricciones del problema?
A) (1500; 1500) C) (2000; 1000) B) (1800; 1200) D) (3000; 0)
11. ¿Qué cantidad de merluza debe pescar para obtener el máximo ingreso?
A) 1000 kilos C) 2000 kilos B) 1500 kilos D) 3000 kilos
12. ¿Qué cantidad de rape debe pescar para obtener el máximo ingreso?
A) 1000 kilos C) 2000 kilos B) 1500 kilos D) 3000 kilos 13. ¿Cuál es el máximo ingreso que se obtiene?
A) 40 000 $ C) 50 000 $
B) 30 000 $ D) 35 000 $
14. ¿Qué vértice de la región limitada por las restricciones genera un ingreso de 30 000 $?
A) (0; 2000) C) (2000; 1000) B) (1500; 1000) D) (3000; 0)
Enunciado: (Preguntas 15 a 18)
Un fabricante produce dos productos A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquinas, I, II y III. Los requerimientos (en horas) y la utilidad (en dólares) de cada unidad de A y B, así como, la disponibilidad mensual (en horas) de cada máquina, están dados en el siguiente cuadro.
I II III Utilidad por producto
A 2 4 3 $25
B 5 1 2 $30
Disponibilidad
mensual 200 240 190
15. Uno de los vértices de la región limitada por las restricciones, tiene por abscisa 50, ¿cuál es su ordenada?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25
16. ¿Cuál de los siguientes valores corresponde a la suma de las coordenadas de uno de los vértices de la región limitada por las restricciones del problema?
A) 62 B) 64 C) 66 D) 68
17. ¿Cuántos productos de cada clase debe fabricar para obtener la máxima utilidad?
A) 40 y 30 C) 50 y 20
B) 58 y 8 D) 10 y 50
18. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener?
A) $ 1950 C) $ 1690
B) $ 1850 D) $ 1800
Profesor: Javier Trigoso Página 14 19. En avícolas de “San Fernando”, se usa diariamente un mínimo de
800 libras de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:
Alimento
Por libra de
alimento Costo ($/lb) Proteínas Fibras
Maíz 0,09 0,02 0,30 Soya 0,60 0,06 0,90
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Halla el costo mínimo diario que satisfaga estas condiciones.
A) $ 437,2 C) $ 437,6
B) $ 437,5 D) $ 437,9
20. Una compañía fabrica mesas y sillas. Por cada silla se necesitan 20 pies de madera y 4 horas de mano de obra. Por cada mesa se necesitan 50 pies de madera y 3 horas de mano de obra. El
fabricante dispone de 3 300 pies de madera y de 380 horas de mano de obra. El fabricante obtiene una utilidad de 3 dólares por cada silla y 6 dólares por cada mesa. ¿Cuántas mesas debe fabricar para maximizar su ganancia?
A) 18 B) 30 C) 44 D) 56
21. La compañía Taliona, requiere producir dos clases de recuerdos de primera comunión del tipo A y del tipo B. Cada unidad tipo A genera una ganancia de $ 2, mientras que una del tipo B genera una ganancia de $ 3. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2 minutos en la máquina 1 y 1 minuto en la máquina 2. Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la máquina 1 y 3 minutos en la máquina 2. Hay 3 horas disponibles en la máquina 1 y 5 horas disponibles en la
máquina 2 para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo se deben producir para maximizar la ganancia?
A) A = 48 ; B = 84 C) A = 40 ; B = 68 B) A = 60 ; B = 32 D) A = 72 ; B = 50
22. Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar trigo o maíz, él calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial de verano. Dados los márgenes de utilidad y los requerimientos laborales que se adjuntan:
Utilidad Por hectárea
Horas/trabajo por hectárea
Maíz $ 40 2 h
Trigo $ 30 1 h
¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?. Da como respuesta la utilidad máxima.
A) $ 20 200 C) $ 17 600
B) $ 14 500 D) $ 18 210
23. Un sastre tiene a su disposición 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15 m2 de lana. Un traje requiere lo siguiente: 2 m2 de algodón, 1 m2 de seda y 11 m2 de lana. Una túnica requiere: 1 m2 de algodón, 2 m2 de seda y 3 m2 de lana. Si el traje se vende por $30 y una túnica por
$50, ¿cuántas prendas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero?
A) 8 trajes C) 7 trajes 0 túnicas 2 túnicas B) 4 trajes D) 3 trajes 3 túnicas 4 túnicas
Profesor: Javier Trigoso Página 15 24. Un fabricante de radios de banda civil obtiene una utilidad de
$25 en un modelo de lujo y $30 en un modelo estándar. La compañía desea producir por lo menos 80 modelos de lujo y 100 modelos estándar por día. A fin de conservar alta la calidad, la producción total diaria, no debe ser mayor de 200 radios. ¿Cuántos de cada tipo han de producir diariamente a fin de llevar al máximo la utilidad? Da como respuesta (en dólares) la máxima utilidad.
A) $ 4 800 C) $ 5 000
B) $ 5 500 D) $ 5 600
25. El administrador del sistema de suministro de agua de cierta ciudad debe hallar la manera de proporcionar por lo menos 10 millones de galones de agua por día (mgd). El agua se debe tomar de los depósitos locales o de una tubería. Los depósitos locales pueden suministrar 5 mgd, cantidad que no puede ser excedida. La tubería puede suministrar un máximo de 10 mgd, además por una cláusula debe bombear por lo menos 6 mgd. El costo de agua de depósito es
$300 por un millón de galones y el costo del agua de la tubería es
$500 por un millón de galones. ¿En qué forma puede el administrador minimizar el costo diario del agua, es decir cuántos mgd del depósito y la tubería se deben tomar?
A) 2 y 5 C) 4 y 6
B) 4 y 7 D) 5 y 2
GLOSARIO
Optimizar es determinar la mejor manera de realizar una actividad, buscando el uso eficiente de los recursos que se dispone.
Matemáticamente podemos decir que optimizar es maximizar o minimizar.
Maximizar una función es determinar el valor del dominio que hace que la función tenga el mayor valor.
Minimizar una función es determinar el valor del dominio que hace que la función tenga el menor valor.
Función objetivo: es la representación algebraica de la situación que se busca optimizar. Esta función se designa como F(x;y) = ax + by
Conjunto de restricciones lineales: son todas las variables que intervienen en la función objetivo, asociadas a un sistema de ecuaciones lineales.
Solución factible: es cada par ordenado que satisface al conjunto de restricciones.
Solución factible básica: es cada par ordenado que determina un vértice de la región factible.
Región factible: es el conjunto de todas las soluciones posibles o factibles. Es el polígono convexo formado al resolver gráficamente el sistema de ecuaciones planteado.
