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Pág. 1

1. (PAU junio 2005 A1) Calcular los valores x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4 que satisfacen las siguientes ecuaciones:    = − = − C AY AX B AY AX 3 2

, donde _

     = 4 3 2 1 x x x x

X , _

     = 4 3 2 1 y y y y

Y . _

     − − = 3 1 5 2

A , _

    − = 1 11 0 18

B , _

    − − = 18 10 30 17 C

Sol: _

    − − = 16 5 5 4

X , _

    − − = 10 2 5 3 Y

2. (PAU junio 2005 B1) El sistema de ecuaciones lineales

     = + + = + + = + + 2 2 2 2 1 α α α α α α α α z y x z y x z y x

depende del parámetro α .

Discute para qué valores de α es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado y resuélvelo en los casos compatibles.

Sol: Si α =0 el sistema es incompatible; Si α =1 el sistema es compatible indeterminado y la solución es ) , , 1 ( ) , ,

(x y z = −λ−µ λ µ ; Si α ≠0 y α ≠1 sistema es compatible determinado y la solución es ) 1 , 1 , 0 ( ) , , ( α α α − ₋ = z y x

3. (PAU septiembre 2005 A1) Dadas las matrices

          = 3 2 1 A ,           − = 2 2 7 B ,           = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 C ,           = 2 2 0

D y

          = 3 5 2 E ,

calcula razonadamente la matriz

          = z y x

X que satisfaga la ecuación

(

ABt+C

) ( )

X = AtD E, donde t

M significa

la matriz transpuesta de la matriz M . Sol:           − − = 30 10 7 / 60 X

4. (PAU septiembre 2005 B1) En el mercado podemos encontrar tres alimentos preparados para gatos que se fabrican poniendo, por kilo, las siguientes cantidades de carne, pescado y verdura:

* Alimento Migato: 600 g de carne, 300 g de pescado y 100 g de verdura. * Alimento Catomeal: 300 g de carne, 400 g de pescado y 300 g de verdura. * Alimento Comecat: 200 g de carne, 600 g de pescado y 200 g de verdura.

Si queremos ofrecer a nuestro gato 470 g de carne, 370 g de pescado y 160 g de verdura por kilo de alimento, ¿qué porcentaje de cada uno de los compuestos anteriores hemos de mezclar para obtener la proporción deseada? Sol: el 62% de carne, el 22% de pescado y el 16% de verdura.

5. (PAU junio 2006 B1) Dadas las matrices

          − − − = 3 4 2 1 1 1 1 2 2 A y           − − − = 1 2 1 1 3 1 1 4 2

T se pide:

a) Probad que la matriz T tiene matriz inversa, T−1, y calculad dicha matriz inversa T−1 (1,3 puntos). b) Dada la ecuación con matriz incógnita B, A=T−1⋅B⋅T , calculad el determinante de B (0,8 puntos). c) Obtened los elementos de la matriz Bconsiderada en el apartado b) (1,2 puntos)

Sol: a)           − − − = 2 0 1 1 1 0 1 2 1

T ; b) Det(A)=2; c)

Pág. 2 6. (PAU septiembre 2006 B1) A es una matriz 3x3 tal que

  

 

  

 

− −

− −

=

2 1 1

1 0 1

0 1 2 2

A y

  

 

  

 

− − − =

3 2 2

0 1 2

2 0 1 3

A . Se pide:

a) Calcula el determinante de la matriz A3 (0,5 puntos) y la matriz inversa de A3(1 punto).

b) Calcula la matriz X =

(

x,y,z

)

que es solución de la ecuación matricial XA3 =BA2, donde B es la matriz fila

(

1,2,3

)

=

B (1,3 puntos).

c) Calcula la matriz inversa de A (0,5 puntos). Sol: a) Det(A3)=−1;

( )

  

 

  



− − −

=

−

1 2 2

4 7 6

2 4 3 1 3

A ; b) X =

(

5,6,2

)

; c)

  

 

  



 −

=

−

0 1 1

1 2 1

0 1 0 1

A

7. (PAU junio 2007 1.1) Dadas las matrices

  

 

  

 

+ + + =

6 2 4 4

6 3 3 2

6 4 2

) (

x x x

x

B y

  

 

  

 

+ + + =

6 2 4 3

6 3 3 2

12 7 5 3

) (

y y y

y C

a) Calcular el determinante de la matriz 3B(x) y obtener el valor de x para el que dicho determinante valga 162. (1,8 puntos).

b) Demostrar que la matriz C(y) no tiene inversa para ningún valor real de y. (1,5 puntos) Sol: a) Det(3B(x))=162x ; x=1 ; b) Cambiando la F3 por F3+F1

8. (PAU septiembre 2007 1.1) Dado el sistema de ecuaciones lineales

    

= + +

= + +

= + +

α z y x

z y x

z y x

2 3

3 6 4 3

5 2 3 6

, se pide:

a) Justificar que para cualquier valor del parámetro real α , el sistema tiene solución única. (1 punto). b) Hallar la solución del sistema en función del parámetro α . (1.3 puntos).

c) Determinar el valor de α para el que la solución (x, y, z) del sistema satisfacex+y+z=1.(1 punto). Sol.: a) Es A =−50≠0 ; b)

10 3 4 , 5

3 3 , 5

5−α ₌ α− ₌ − α

= y z

x ; c) α =2

9. (PAU septiembre 2007 1.2) Dadas las matrices _   

  − =

1 1

4 6

A y _

     =

y x

X , se pide:

a) Obtener razonadamente todos los valores de α para los que _      0 0

es la única solución de la ecuación matricial X

AX =α (1,5 puntos).

b) Resolver la ecuación matricialAX =2X . (1,8 puntos).

Sol.: a) Cuando α ≠2 yα ≠5 b) x=λ, y=−λ siendoλ∈R

10. (PAU junio 2008 1.2) Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: _      =

1 0

0 1

I ; _

  

 

− − =

17 10

29 17

A . Se pide

calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices 2

A y 3

A .

b) Los números reales α y β para los que se verifica (I+A)3 =αI+βA. Sol: a) A2 =−I ; _

  



− − =

17 10

29 17 3

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Pág. 3 11. (PAU junio 2010 A.1) Dadas las matrices cuadradas

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I y

  

 

  

 

− − − =

2 3 3

2 3 2

1 1 2

A se pide:

a) Calcular las matrices (A−I)2 y A(A−2I). (4 puntos). b) Justificar razonadamente que:

b.1) Existen las matrices inversas de las matrices A y A−2I . (2 puntos). b.2) No existe matriz inversa de la matriz A−I. (2 puntos).

c) Determinar el valor del parámetro real λ para el que se verifica A−1=λ(A−2I)(2 puntos). Sol: a) (A−I)2 =0; A(A−2I)=−I ; b) Ver vídeo; c) λ=−1

12. (PAU junio 2010 B.1) Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros a, b y c

    

− = + −

= − −

= + +

b cz y ax

a cz by x

c z by ax

4 2

5

2 2 3

3 2

, se pide:

a) Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a = 0, b = –1 y c = 2 el sistema es incompatible. (3 puntos).

b) Determinar razonadamente los valores de los parámetros a, b y c, para los que se verifica que (x, y, z)= (1,2,3) es solución del sistema. (4 puntos).

c) Justificar si la solución (x, y, z)= (1,2,3) del sistema del apartado b) es, o no, única. (3 puntos). Sol: a) Ver vídeo ; b) a =1, b=−1, c=1 ; c) Es única.

13. (PAU septiembre 2010 A.1) Dado el sistema de ecuaciones lineales     

= + +

= + +

= + +

1 1 1

3 3

z y x

z y x

z y x

α α

α α

α α

, donde α es un parámetro

real, se pide:

a) Deducir, razonadamente, para qué valores de α es compatible determinado. (4 puntos). b) Deducir, razonadamente, para qué valores de α es compatible indeterminado. (3 puntos). c) Resolver el sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado. (3 puntos).

Sol: a) Para α∉

{

0,1,−1

}

; b) Para α∈

{

0,1,−1

}

; c) Para α =0 es (x,y,z)=(λ,µ,1)∀λ∈R,∀µ∈R; para 1

=

α es (x,y,z)=(λ,µ,1−λ−µ) ∀λ∈R,∀µ∈R; para α =−1 es (x,y,z)=(λ,µ,1+λ+µ)∀λ∈R,∀µ∈R

14. (PAU septiembre 2010 B.1) Dadas las matrices

  

 

  

 

+ + + =

2 8 3

2 6 2

3 4 2

) (

x x x

x

A y

  

 

  

 

+ + + =

1 8 3

2 6 2

3 4 1

) (

y y y

y

B , se pide:

a) Obtener razonadamente el valor de x para que el determinante de la matriz A(x) sea 6. (4 puntos). b) Calcular razonadamente el determinante de la matriz 2A(x). (2 puntos).

c) Demostrar que la matriz B(y) no tiene matriz inversa para ningún valor real de y. (4 puntos). Sol: a) x=6 ; b) Det(2A(x))=16(x−3) ; c) Ver vídeo.

15. (PAU septiembre 2011 A.1) Se dan las matrices _   

  − =

3 1

2 0

A , _

     =

1 0

0 1

I y M , donde M es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica M2 =M

. Obtener razonadamente:

a) Todos los valores reales k para los que la matriz B= A−kI tiene inversa. (2 puntos). b) La matriz inversa B−1 cuando k=3. (2 puntos).

Pág. 4

d) Comprobar razonadamente que la matriz P=I−M cumple las relaciones: P

P2 = y MP=PM

(2 puntos, repartidos en 1 punto por cada igualdad).

Sol: a) Si k≠1y k≠2 la matriz tiene inversa; b) _   

 

− −

= −

2 / 3 2 / 1

1 0

1

B ; c) α =1,β =−3 ; d) Ver vídeo

16. (PAU septiembre 2011 B.1) Se dan las matrices

  

 

  

 

− =

1 1 2

1 1 2

1 2 1

M y T , y se sabe que T es una matriz cuadrada

de 3 filas y 3 columnas cuyo determinante vale 2 .

Calcular razonadamente los determinantes de las siguientes matrices, indicando explícitamente las propiedades utilizadas en su cálculo:

a) T 2 1

. (3 puntos). b) 4

M . (3 puntos). c) TM3T−1. (4 puntos). Sol: a)

8 2 ) 2 1 ( T =

Det ; b) Det(M4)=1296 ; c) Det(TM3T−1)=216

17. (PAU junio 2012 A.1) Se da el sistema de ecuaciones     

= + +

= + − +

= +

1 2

1 )

1 (

5 2

:

2 2

z y x

z y x

z x S

α α

α

, donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente:

a) La solución del sistema S cuando α =0. (3 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema S cuando α =−1. (4 puntos) c) El valor de α para que el sistema S es incompatible. (3 puntos)

Sol.: a) x=5/2, y=−3/4,z =−3/4; b) x=λ, y=(λ−4)/4, z =5−2λ siendoλ∈R ; c) α =2 18. (PAU junio 2012 B.1) Obtener razonadamente:

a) Todas las soluciones

  

 

  

 

z y x

de la ecuación

  

 

  

 

− =   

 

  

 

  

 

  

 

− 1

3 1

1 1 1

3 1 1

2 0 1

z y x

. (4 puntos)

b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene inversa y que verifica la ecuación B2 = B. (3 puntos).

c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación:

   

 

   

 

=    

 

   

 

−

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 9 2 A

sabiendo además que el determinante de A es positivo. (3 puntos) Sol: a)(x,y,z)=(1−2λ,λ,2−λ) siendoλ∈R; b) B =1 ; c) A =81 19. (PAU septiembre 2012 B.2) Se dan las matrices _

  

  − =

1 1

1 1

A , _

     =

1 0

0 1

U y B, donde B es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación B2 =−7B+U.

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Pág. 5 a) Los números reales a y b tales que A2 =aA+bU. (4 puntos).

b) Los números reales p y q tales que B−1= pB+qU (2 puntos), justificando que la matriz B tiene inversa. (2 puntos).

c) Obtener los valores x e y para los que se verifica queB3 =xB+yU. (2 puntos). Sol.: a) a=2, b=−2 ; b) p=1,q=7 ; c) x=50, y=−7

20. (PAU junio 2013 A.1) Se tiene el sistema de ecuaciones:

    

= +

= − −

= +

c y x

b y x

a y x

2 4 5 2

donde a, b y c son números reales. Obtener

razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La relación que deben verificar los números a, b y c para que el sistema sea compatible. (4 puntos). b) La solución del sistema cuando a=−1, b=2 y c=3. (2 puntos).

c) La solución del sistema cuando los números a, b y c verifican la relación a=c=−2b. (4 puntos).

21. (PAU junio 2013 B.1) Dadas las matrices

  

 

  

 

− −

=

2 2 4

0 1 1

0 0 2

A y

  

 

  

 

− =

2 0 0

5 1 0

2 1 2

B obtener razonadamente el valor de los determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) A+B y 1

) ( 2

1 ₊ −

B

A . (4 puntos). b) (A+B)−1A y A−1(A+B) . (3 puntos).

c) 1

2ABA− y 3 −1 B

A . (3 puntos).

22. (PAU julio 2013 A.1) Comprobar razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que: a) Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es conmutativo, es decir que AB = BA, entonces se deduce que

2 2

2

) (AB B

A = . (2 puntos).

b) Que la matriz

  

 

  

 

− − =

7 3 0

10 4 0

0 0 1

A satisface la relación A2 – 3A + 2I = O, siendo I y O , respectivamente, las

matrices de orden 3 x 3 unidad y nula, (4 puntos), y que una matriz A tal que A2 _{– 3A + 2I = O tiene matriz}

inversa. (2 puntos)

c) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores αy β tales queA3 =αA+βI, sabiendo que la matriz A verifica la igualdad A2 – 3A + 2I = O. (2 puntos).

23. (PAU julio 2013 B.1) Se da el sistema de ecuaciones

    

= + +

= + +

= + +

1 5

3

1 1

z y x

z y x

z y x

α α

, donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Todas las soluciones del sistema cuando α =7. (4 puntos).

b) Los valores de αpara los que el sistema es compatible indeterminado. (3 puntos). c) Los valores de α para los cuales el sistema es compatible determinado. (3 puntos).

24. (PAU junio 2014 A.1) Dado el sistema de ecuaciones

    

= + +

− = + +

− = + +

k z y k x

k z y x

z y x

2 3

2 5

4 2

1 2 3

2

, donde k es un parámetro real se pide:

a) Discutir razonadamente el sistema según los valores de k. (4 puntos).

Pág. 6 sistema cuando k = –1. (3 puntos).

c) Resolver razonadamente el sistema cuando k = 0. (3 puntos).

25. (PAU junio 2014 B.1). Se dan las matrices

  

 

  



 −

=

1 0 0

1 1 0

1 1 1

A ,

  

 

  

 

− − =

1 1

2

B y C=

(

−1 1 3

)

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La matriz inversa −1

A de la matriz A. (3 puntos).

b) La matriz X que es solución de la ecuación AX = BC. (4 puntos).

c) El determinante de la matriz 2M 3, siendo M una matriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante vale 1/2. (3 puntos).

26. (PAU julio 2014 A.1). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El valor del determinante de la matriz

  

 

  

 

− − =

5 3 1

1 1 1

1 2 2

S , (2 puntos) y la matriz −1

S , que es la matriz inversa de la matriz S. (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de una matriz S sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa −1

S . (1 punto).

b) El determinante de la matriz

( )

4

( )

T2 −1, sabiendo que T es una matriz cuadrada de 3 filas y que 20 es el valor del determinante de dicha matriz T. (3 puntos).

c) La solución a de la ecuación

  

 

  

 

+ −

−

− + =

  

 

  

 

−

+ +

− −

1 4 3

4 2 1

3 1

1 4

3

4 2

1

3 1

2 2

2 2

a

a a

a a

a a a

a a

(2 puntos)

27. (PAU julio 2014 B.1). Se tiene el sistema de ecuaciones lineales

    

− = + − +

− = − +

= + + −

α α

α

2 ) 1 ( 4

4 2

4 2

) 1 (

z y

x

z y x

z y x

donde αes un

parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores del parámetro α para los que el sistema es incompatible. (3 puntos).

b) Los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos). c) Todas las soluciones del sistema cuando α =2. (4 puntos).

28. (PAU junio 2015 A.1) Se dan las matrices _

  



 −

= 2 2

3 1

A y _

  

 

− =

2 2

3 1

B .

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La matriz inversa de la matriz A . (2 puntos)

b) Las matrices X e Y de orden 2x2 tales que XA = B y AY = B. (2 + 2 puntos) c) Justificar razonadamente que si M es una matriz cuadrada tal que M2 = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad M3 = M7. (4 puntos)

29. (PAU junio 2015 B.1) Se da el sistema de ecuaciones

    

+ − = − + + +

+ = +

= + + + + −

9 2 )

1 ( ) 1 ( 2

2 2 ) 2 2 ( ) 1 2 ( ) 1 (

2 α

α α

α

α α α

α α

α α

z y

x

y x

z y

x

,

donde α es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

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Pág. 7 30. (PAU julio 2015 A.1) Se da el sistema de ecuaciones

    

+ = − +

= − +

= + +

3 2 2

1 3

α α

α α

z y x

z y x

z y x

, donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La solución del sistema cuando α =−1. (3 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema cuando α =0. (3 puntos) c) El valor de α para el que el sistema es incompatible. (4 puntos)

31. (PAU julio 2015 B.1) Se dan las matrices

  

 

  



 −

=

0 1

3 2

1 1

z y x

A y

  

 

  



 −

=

0 1 0

3 2 1

1 1

x

B .

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de x para los cuales la matriz B tiene inversa. (3 puntos) b) El valor del determinante de las matrices A3 y

  

 

  



 −

0 5 2

3 10 2

1 5 2

z y x

, sabiendo que el valor del determinante de la

matriz A es 8. (4 puntos)

c) Los valores de x, y, z para los cuales

  

 

  

 

− =

2 3 1

6 7 3

4 0 0

2

A (3 puntos)

32. (PAU junio 2016 A.1) Se da el sistema de ecuaciones

    

= +

= + +

= −

2 2

1 2

z x

z ay x

a z ax

, donde a es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es incompatible. (4 puntos) b) Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. (3 puntos)

c) La solución del sistema cuando a = –1. (3 puntos)

33. (PAU junio 2016 B.1) Se da la matriz

  

 

  

 

− =

1 2 0

2 1 0

0 0 5 A

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La comprobación de que t

A

A−1=5−1 siendo t

A la matriz traspuesta de A. (4 puntos)

b) Los valores del parámetro real λ para los cuales A−λI no es invertible, siendo I la matriz identidad de orden

3. (3 puntos)

c) El determinante de una matriz cuadrada B cuyo determinante es mayor que 0 y verifica t

B B−1= .

(3 puntos)

34. (PAU julio 2016 A.1) Se da el sistema

    

− = − +

− = + + −

= + +

4 5 2

2 3 2 3

2 2

z y x

z y x

z y x

α

, donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La solución del sistema cuando α =0. (3 puntos)

Pág. 8 35. (PAU julio 2016 B.1) Se dan las matrices

  

 

  



 −

=

1 1 0

1 2 1

1 1 1

A ,

  

 

  

 

− − =

1 0 1

2 1 2

1 1 0

B e

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El determinante de las matrices A⋅

(

2

( )

B 2

)

(1,5 puntos) y A⋅

( )

2

( )

B 2 ⋅

( )

3A−1 (1,5 puntos)

b) Las matrices A−1 (2 puntos)

y

(

(

B⋅A

)

−1⋅B

)

−1. (2 puntos)

c) La solución de la ecuación matricial A⋅X +B⋅X =3I (3 puntos)

36. (PAU junio 2017 A.1) Se da el sistema de ecuaciones

    

= + −

= − +

= + + −

a z y ax

z ay x

a z ay x

2 2 2

2

,

dependiente del parámetro real a.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La solución del sistema cuando a=2. (3 puntos)

b) Los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos) c) El valor del parámetro a para el que el sistema es compatible e indeterminado

y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de a. (2+2 puntos)

37. (PAU junio 2017 B.1) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La comprobación de que C2 =2C−I, siendo

  

 

  

 

− −

− − =

1 4 4

1 1 2

2 4 5

C e I la matriz identidad de orden 3x3,

(2,5 puntos) y el cálculo de la matriz 4

C . (2,5 puntos)

b) El valor del determinante de la matriz

( )( )

3A4 4A2 −1, sabiendo que A es una matriz cuadrada de cuatro

columnas cuyo determinante vale –1. (3 puntos)

c) La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad BB=B (2 puntos)

38. (PAU julio 2017 A.1) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 tales que A2 =−A−I y 2B3 =B, siendo

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I la matriz unidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento

utilizando:

a) La justificación de que la matriz A es invertible (2 puntos)

y el cálculo de la matriz 3

A en función de A y de I. (2 puntos)

b) Los valores posibles del determinante de B. (3 puntos)

c) El valor del determinante de la matriz 2

B , sabiendo que la matriz B tiene inversa. (3 puntos)

39. (PAU julio 2017 B.1) Se consideran las matrices

  

 

  



 −

=

0 0 1

0 1 0

1 0 0

A e

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I . Obtener

razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizando:

Resueltos en vídeo http://www.aprendermatematicas.org/2batmateccnn2algebra_05pau.html

Pág. 9 b) La justificación de que A4 =I

. (2 puntos)

c) El cálculo de las matrices A7, A30 y A100. (4 puntos)

40. (PAU junio 2018 A.1) Se tiene el sistema de ecuaciones

1

5

1

y z a

x z

ax y z

− = − 

 _{− + =}



− + − = 

donde a es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es compatible determinado. (2 puntos) b) Las soluciones del sistema cuando a = 3. (4 puntos)

c) Las soluciones del sistema para los valores de a que lo hacen compatible indeterminado. (4 puntos) 41. (PAU junio 2018 B.1) Sea A una matriz cuadrada tal que A2+2A=3I, donde I es la matriz identidad.

Calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores de a y b para los cuales A−1=aA bI+ . (3 puntos)

b) Los valores de α y β para los cuales A4 =αA+βI. (4 puntos)

c) El determinante de la matriz 2B−1, sabiendo que B es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinantes es 2. (3 puntos)

42. (PAU julio 2018 A.1) Dado el sistema de ecuaciones

1

( 1) 0

( 1)

x y

a y z

x ay a z a

+ = 

 _{− + =}



 + + − = 

donde a es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es compatible. (5 puntos) b) Las soluciones del sistema cuando a = 1. (3 puntos) c) Las soluciones del sistema cuando a = 0. (4 puntos)

43. (PAU julio 2018 B.1) Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Dadas A y B, matrices cuadradas del mismo orden tales que AB = A y BA = B, deducir que A2 = A y B2 = B. (4 puntos)

b) Dada la matriz 1 0 0 0 A=  _

 , se pide encontrar los parámetros a, b para que la matriz

0 1 a B

b

 

=  

 

cumpla que B2 = B pero AB≠A y BA≠B (2 puntos) c) Sabiendo que

1 0

2 1 3

3 2

x

y

z

= . Obtener razonadamente el valor de los determinantes

2 1 0

2 2 1

2 3 2

x

y

z

y

1 1 0

1 2 1

1 3 2

x

y

z

+ + +

(4 puntos)

44. (PAU junio 2019 A.1) Se dan la matriz

1 0

2 1 2

3 1

a

A a

a a

 

 

= −_ + _

_{− −} 

 

que depende del parámetro real a, y una matriz

cuadrada B de orden 3 tal que 2 1 2 3

Pág. 10

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El rango de la matriz A en función del parámetro a y el determinante de la matriz 2A−1 cuando a=1.

(2+2 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema de ecuaciones

1

2 0

x

A y z

−    

   ₌

           

cuando a= −1 (3 puntos)

c) La comprobación de que B es invertible, encontrando m y n tales que B−1=mB+nI. (3 puntos)

45. (PAU junio 2019 B.1)Se da el sistema

4

3 4 5 5

7 9 11

x y z

x y z

x y z α

+ + = 

 _{+ + =}



 _{+ + =}



donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y los valores de α para los que el sistema es

incompatible. (4 puntos)

b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible. (4 puntos) c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente. (2 puntos)

46. (PAU julio 2019 A.1)Se da el sistema de ecuaciones

2 3

2 2 5

3 5 1

x z

x y z

x y z α

α

+ =



 − + = 

 _{− + = +}



donde α es un parámetro real.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos)

b) La solución del sistema cuando α = −1. (3 puntos)

c) El valor de α para que el sistema tenga una solución

(

x y z, ,

)

que verifique x+ + =y z 0. (3 puntos) 47. (PAU julio 2019 B.1) Se dan las matrices 1 4

1 6 A=  _

−

  y

x X

y   =  

 .

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de α para los que la ecuación matricial AX =αX solo admite una solución. (4 puntos) b) Todas las soluciones de la ecuación matricialAX =5X. (3 puntos) c) Comprobar que 4

1 X =   

  es una solución de la ecuación matricial AX =2X y, sin calcular la matriz

100

A ,

obtener el valor de β tal que 100 4 4

1 1

A  _{ }=β _{ }

    (3 puntos)

48. (PAU junio 2020 Pr1) Dado el sistema de ecuaciones

1 1

2

x y az x ay z

ax y z

+ + =



 + + = 

 + + = − 

, siendo a un paràmetro real,

obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El estudio del sistema en función del parámetro a. (5 puntos)

b) Las soluciones del sistema cuando a = –2. (3 puntos)

Resueltos en vídeo http://www.aprendermatematicas.org/2batmateccnn2algebra_05pau.html

Pág. 11 49. (PAU junio 2020 Pr4) Se dan las matrices

1 2

0

1 2

A b

 

 

=  

₋ 

  _y

1 0 2

1 1

B

b −

 

= _{− −} 

 _{que dependen del parámetro real b.} Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: