02Clase HCE integrales

Integrales

Luis A. Cubillos

Ecuaciones diferenciales

I Las ecuaciones diferenciales son todas aquellas en que

intervienen diferenciales de la formadx,dt,dN, dB,dw, dl,. . .

Ecuaciones diferenciales (II)

I Existen varios tipos de ecuaciones diferenciales que se clasifican según el tipo de derivada y el orden de ella. En este curso sólo se vera Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden en las que participan solamente derivadas totales.

Ecuaciones diferenciales (III)

I Una ecuación diferencial representa una tasa de cambio instantánea de la variable de interés, y nos señala

explícitamente cuales son las reglas de cambio de dicha tasa.

¿Cómo resolvemos ec. dif.?

Por ejemplo:

dNt

Integrales

I El cálculo infinitesimal fue desarrollado por Newton

(1642-1727) y Leibniz (1646-1716), quienes lo inician por dos caminos distintos.

I Sin embargo, la nomenclatura actual del cálculo infinitesimal se debe a Leibniz.

Primitiva de una función

I Se habla de una función primitiva de una función si dada una función cualquieraf(x) definida en un intervalo [a,b], se llama primitiva de f(x) a otra funciónF(x) cuya derivada seaf(x) en dicho intervalo. Es decir F(x) =f(x) para todox de [a,b].

Propiedades

I Primera propiedad, siF(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la funciónF(x) +C es otra primitiva de f(x).

I Segunda propiedad, si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas.

La integral indefinida

Se denomina integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza por:

Z

f(x)dx

SiF(x) es una primitiva def(x),

Z

f(x)dx =F(x) +C

Integrales directas

Operación Integral inmediata

Integral de la derivada R

f0(x) =f(x) +C

Integral del diferencial R

dx =x+C

Integral de una constante R

kdx =kx+C

Integral cte por función R

kf(x)dx =kR

f(x)dx

Integral función potencial R

xmdx = x_m+1m+1 +C

Integral función inversa R 1

xdx =log(x) +C

Integral func. exponencial R

axdx = _log(a)ax +C

Integral func. exponencial R

exp(x)dx =exp(x) +C

Integral logaritmo natural R

Otras integrales directas

Operación Integral inmediata

Integral de seno R

sin(x) =−cos(x) +C

Integral de coseno R

Integral de fracciones definidas

Z _dx

√

x2_{+ 1}= log(x+

p

x2_{+ 1) +C}

Z _dx

√

x2₋₁ = log(x+

p

x2_{−1) +C}

Z _dx

x2₋₁ =

1 2log(

x−1

x+ 1) +C

Z _dx

1−x2 =

1 2log(

1 +x

Métodos analíticos de integración

I Integración por descomposición.

I Integración por cambio de variable.

I Integración por partes.

I Integración de funciones racionales.

Integración por descomposición

Z

[f(x) +g(x)]dx =

Z

f(x)dx+

Z

g(x)dx

Z

[f(x)−g(x)]dx =

Z

f(x)dx− Z

g(x)dx

Z

k·f(x)dx =k

Z

Integración por cambio de variable

R

u0·umdx = u_m+1m+1 +C

R u0

udx =log(u) +C

R

u0·au_{dx =} au log(a)+C

R

u0·exp(u)dx =exp(u) +C

R

Ejemplo

Z

2xexp(x2)dx

Siu =x2 entoncesu0 = 2x, por lo tanto:

R

u0exp(u)dx =R

Integración por partes (I)

I Consiste en lograr una suma de productos de dos funciones

I Seanu yv son dos funciones dependientes de la variable x, es deciru =f(x) y v =g(x). La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada af(x)g(x), permite expresar:

d(f(x)·g(x)) =g(x)·f0(x)dx+f(x)·g0(x)dx

I Al integrar, se tiene

Z

g(x)·f0(x)dx +

Z

Integración por partes (II)

Ya que,R

d(f(x)·g(x))dx =f(x)·g(x),

Z

f(x)·g0(x)dx =f(x)·g(x)− Z

g(x)·f0(x)dx

Ya queu =f(x)du =f0(x)dx yv =g(x) condv =g0(x)dx, se tiene

Z

udv =u·v− Z

Integración de funciones racionales

Z _p(x)

q(x)dx

Integrales racionales inmediatas se convierten en una suma de integrales inmediatas, dividiendop(x) por q(x)

Divisor

El divisor esD=d ·c+r. Al dividir pord, se tiene:

D d =

d ·c d +

r

d =c+ r d

En polinomiosp(x)/q(x),c(x) será el cociente yr(x) el resto, i.e.,

p(x)

q(x) =c(x) +

r(x)

q(x)

Luego:

Z _p(x)

q(x) =

Z

(c(x) +r(x)/q(x))dx =

Z

c(x)dx+

Z

Ejemplo

R _x2

x2₊₁dx

Se dividex2 enx2+ 1, por lo cual c(x) = 1 y r(x) =−1

=

Z

(1− 1

x2_{+ 1})dx =

Z

dx−

Z _dx

Integración descomposición en fracciones simples

Z _p(x)

q(x)dx

En este caso el grado dep(x) es estrictamente menor queq(x)

1 El polinomio q(x) se descompone en factores, las raices cuando

q(x) = 0.

2 La fracciónp(x)/q(x) se descompone en una suma de fracciones simples.

Ejemplo

R x−2 x2₋₁

Las raíces dex2−1 sonx2 = 1, por lo tantox =±1, i.e.

x−2

x2₋₁ = _xA₋₁+_xB₊₁ =

A(x+1)+B(x−1) x2₋₁ x−2 =A(x+ 1) +B(x−1)

Six = 1⇒A=−1/2; six =−1⇒B= 3/2. Luego,

x−2 x2₋₁ =

−1/2

x−1 + 3/2 x+1

R −1/2

x−1dx+

R 3/2

x+1dx =− 1

2log(x+ 1) + 3

La integral definida

I La regla de Barrow

Siy =f(x) es una función continua en el intervalo [a,b], y F(x) una función definida en [a,b], derivable y primitiva def(x); es decir

F0(x) =f(x), para cualquier x en [a,b], entonces:

Z b

a

Propiedades

I Si K es un número real cualquiera, entonces:

Z b

a

K ·f(x)dx =K · Z b

a

f(x)dx

I Suma y resta

Z b

a

[f(x) +g(x)]dx =

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

g(x)dx

Z b

a

[f(x)−g(x)]dx =

Z b

a

f(x)dx− Z b

a

Promedio de funciones continuas

f(x) = 1

x2−x1

Z x2

x1

f(x)dx

¯

x = 1

t2−t1

Z t=t2

t=t1

Integración numérica

I La integración numérica es un procedimiento cada vez más utilizado para resolver integrales dado el gran desarrollo computacional.

I Puede contener errores, es una aproximación.

I =

Z b

a

Ejemplo

Dada la funciónf(x) =exp(−x2), integrar entre 0 y 1:

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Aproximación numérica: regla del trapezoide

1. Resolver la integral en su primer punto:

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Regla del trapezoide (II)

2. Resolver la integral en la mitad:

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Metodos numéricos

I =h[1 2f(a) +

1 2f(b)]

I Regla de Simpson:

I =h[1 3f(a) +

4

3f(a+h) + 1 3f(b)]

I Regla de Bode:

I=h[14 45f(a) +

64

45f(a+h) + 24

45f(a+ 2h) + 64

45f(a+ 3h) + 14 45f(b)]

Ejemplo numérico

Dadof(x) =exp(−x2), calcule el área entre x = 0 y x = 1

I Trapezoide: 0,68394

I Simpson : 0,74718

I Bode : 0,74683

I Valor exacto: 0,74682

I En R:

f<-function(x){exp(-x^2)}

integrate(f,lower=0,upper=1)

Integración de ecuaciones diferenciales

I El problema es estudiar un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas

El método de Euler

El método de Euler permite resolver ecuaciones diferenciales acopladas, dada una condición inicial.

EL método actualiza la solución dexn axn+h, utilizando:

Runge-Kutta

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

EL método RK de cuarto orden es el más utilizado.

yn+1=Yn+k1/6 +k2/3 +k3/3 +k4/6

k1=hf(xn,yn)

k2=hf(xn+h/2,yn+k1/2)

k3=hf(xn+h/2,yn+k2/2)

Ejemplo

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales acopladas:

du

dt =u(1−u)− auv u+d dv

dt =bv(1−v/u)

Solución en R

#Implementacion de un modelo tipo Lotka-Volterra # du/dt = u*(1-u) - a*f(u,v) recurso u

# dv/dt = b*v*(1-v/u) recurso v

# f Holling tipo II f(x,y) = x*y/(x+d)

# (1) El modelo se escribe como una función R # (2) Vector de parámetros

# (3) valores iniciales

Preparación de la función en R (cont.)

library(deSolve)

f<-function(x,y,d){x*y/(x+d)} # Holling

model<- function(t,xx,parms) {

u <- xx[1] v <- xx[2]

with(as.list(parms),{

du <- u*(1-u) - a*f(u,v,d)

dv <- b*v*(1-v/u)

list(c(du,dv))

Condiciones iniciales y parametros

times <- seq(0,200,0.1)

parms <- c(a=1,b=0.2,d=0.1)

Corre la simulación

Graficos I

0 50 100 150 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

times

Graficos II

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Especie u

Desarrollo del programa

https://tu-dresden.de/Members/thomas.petzoldt/downloads

Ejemplo Lorenz:

http://desolve.r-forge.r-project.org/user2014/examples/compiled_ lorenz/compiledcode.svg#1_10