Distribuci
Distribuci
ó
ó
n de probabilidad
n de probabilidad
binomial
COMBINACIONES
COMBINACIONES
En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el número de maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un conjunto de n
objetos. A esto se le denomina número de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos.
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:
)!
(
!
!
r
n
r
n
C
r
n
−
=
El signo de admiración en este caso significa “factorial”, es decir que se multiplican los valores del 1 hasta n:
.
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:
Ejemplo.
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene?
a) Las 8 preguntas pueden tener
45
)!
8
10
(
!
8
!
10
10
8
=
−
=
C
45 combinaciones posibles
b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger las otras 5 de las 7 últimas preguntas, por lo que
21
)!
5
7
(
!
5
!
7
7
5
=
−
=
C
Distribución Binomial
En los temas anteriores, hemos considerado que la variable puede tomar una infinidad de valores. Por ejemplo la talla de una población de estudiantes puede tomar casi cualquier valor entre 1.5 y 2 metros. Estos casos se tratan entonces de distribuciones de variables continuas y un caso general es la distribución normal.
Sin embargo, en ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar un número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de variable discreta.
Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el número de total posibilidades (2) y considerando cada uno de los casos (1).
Entonces
donde
P es la probabilidad de que algo suceda
F es el número de casos favorables (o éxitos)
N es el número total de posibilidades.
2
1
N
F
P
=
=
Para construir un proceso binomialbinomial se necesita lo siguiente:
1)
1) En el experimento sólo hay dos posibles resultados EXITO
EXITO
FRACASO
FRACASO
Esto puede tomar la forma que queramos, por ejemplo que salga bien un producto de una máquina (éxito) o que salga defectuoso (fracaso).
2)
2) A la probabilidad de éxito le llamamos “p p ”
3)
3) A la de fracaso le llamamos “q q ”
4)
4) Se cumple que p + q = 1p + q = 1 (por lo tanto q = 1 q = 1 –– pp )
5)
5) La probabilidad de éxito permanece constante
6)
6) Los eventos son independientes.
Por ejemplo: Al tirar una moneda 15 veces, cada vez que tire la moneda no se va a ver afectada por lo que pasó en el evento anterior; cada vez que tire un dado y espero que salga un número en particular la
probabilidad no va a depender del número que haya salido antes, etc.
7)
7) El experimento se realiza “n n ” veces
8)
Para conocer la probabilidad de “éxito” es necesario calcular las posibles combinaciones de la variable, y multiplicarlas por las probabilidades de cada suceso:
Donde
P(x) = Probabilidad de éxito
es el total de posibles combinaciones
x número de éxitos que se busca
n número de total de eventos
p probabilidad de éxito
q probabilidad de fracaso
x
n
x
n
x
p
q
C
x
P
(
)
=
−
)! x n ( ! x
! n Cxn
Ejemplos:
Ejemplos:
1. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados? Para este problema n = 6, x = 4 y p = 0.5 por lo que:
Respuesta: 23.43%
2343
.
0
015625
.
0
2
24
720
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
!
2
!
4
!
6
)
4
(
4 2=
⋅
=
⋅
=
P
2. Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno de los clientes haga una compra, o sea de que P(x=0)
6 0
6
0
0
2
0
8
0
)
C
(
.
)
(
.
)
b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra, P(x=4)
c) A lo más, tres prospectos realicen una compra, esto es P(x≤3), o sea que se pueden hacer 1, 2 o 3 ventas.
Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido:
El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de
computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco ¿Cuál es la probabilidad de que?
a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba en este caso P(x=1)
b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba.
167
.
0
)
1
(
)
98
.
0
(
)
02
.
0
(
)
1
(
110 1 9=
=
P
C
P
Respuesta: 16.7%016
0
98
0
02
0
98
0
02
0
1
1
0
1
9 1 10 1 10 0 10 0.
)
x
(
P
)
.
(
)
.
(
C
)
.
(
)
.
(
C
)
x
(
P
)
(
P
)
(
P
)
x
(
P
=
−
−
=
−
−
=
Respuesta: 1.6%)
x
(
Actividad 1.
Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3
estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso? en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2)
2
1
0
,
y
x
≠
n = 15, p = 0.10, q = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.9015 0 15 15 1 14 15 2 13
0 1 2
( ) 1 (0) (1) (2)
( ) 1 (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) ( )
P x P P P
P x C C C
P x
= − − −
= − − −
Media y Varianza de una distribuci
Media y Varianza de una distribucióón discreta de probabilidades.n discreta de probabilidades.
Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la siguiente manera:
Es decir se multiplican los valores , por su probabilidad y se suman
Por otro lado la varianza se calcula:
∑
=
=
E
(
x
)
x
iP
(
x
i)
μ
∑
−
=
−
=
E
[(
x
)
2]
(
x
i)
2P
(
x
i)
2
μ
μ
σ
Siendo la desviación estándar como anteriormente:
2
Ejemplo:
El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos salgan águilas:
sustituimos en las fórmulas:
25
0
5
5
0
)
C
02(.
)
0(.
)
2.
(
P
=
=
5
0
5
5
1
)
C
12(.
)
1(.
)
1.
(
P
=
=
25
0
5
5
2
)
C
22(.
)
2(.
)
0.
(
P
=
=
∑
=
=
E
(
x
)
x
i
P
(
x
i
)
μ
1
25
0
2
5
0
1
25
0
0
+
+
=
=
(
.
)
(
.
)
(
.
)
μ
∑
−
=
(
x
iμ
)
P
(
x
i)
σ
2 5 0 25 1 2 5 0 1 1 25 0 10 2 2 2
2 = ( − ) ( . )+ ( − ) ( . )+ ( − ) (. ) = .
σ
2
