15. Coordenadas Matemáticas II, 2012-II. Breve resumen del concepto función

15. Coordenadas

Breve resumen del concepto “funci´

on”

Empezamos con un breve recordatorio de lo que hemos visto hasta ahora so-bre el concepto defunci´on. Las funciones fueron presentados como “m´aqui-nas”. Un ejemplo que hemos visto es:

? + 1 2_· x 3 + 1 2·? ? 3 x

Aprendimos a usar una notaci´on m´as corta. Si llamamos a la funci´on del ejemplo anterior comof entonces podr´ıamos escribir:

f(x) = 2· x

3 + 1. (15.1)

Finalmente vimos que una funci´on se puede graficar. En el ejemplo anterior la gr´afica def es el siguiente. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 6 y=f(x) x y P Q O A B

Sistema de coordenadas

La gr´afica de la funci´on es una curva en elplano de coordenadas. Las coorde-nadas se suelen llamarx y y. En la ilustraci´on anterior se marcaron algunos

puntos. La ubicaci´on de cada punto se puede indicar por sus dos coordenadas. Por ejemplo, el punto P tiene las coordenadas (4,1). La primera coordena-da indica el valor de x (o la distancia hacia el eje y) mientras la segunda coordenada indica el valor de y (o la distancia hacia el eje x). Por ello, las dos coordenadas no se pueden interecambiar libremente: (1,4) indica otra ubicaci´on (es la del punto Q).

El punto con coordenadas (0,0) se llama origen del sistema de coordenadas. Se suele denotar porO.

Como se puede ver, ninguno de los tres puntosO,P,Qpertenece a la gr´afica de la funci´on f. En cambio, los puntos A y B s´ı pertenecen a la gr´afica. Sus coordenadas son (0,1) y (6,5) respectivamente.

Veamos el punto A con coordenadas x = 0 y y = 1. Si sustituimos x por 0 en la ecuaci´on (15.1) obtenemos

f(0) = 2_· 0 3+ 1 es decir

f(0) = 1.

En otras palabras el par x= 0, y = 1 satisface la ecuaci´on y=f(x), que en nuestro caso es

y= 2· x 3 + 1.

La gr´afica de la funci´on consiste justo de todos los puntos tales que sus coordenadas (x, y) satisfacen la ecuaci´on y=f(x).

La gr´

afica de algunas otras funciones

Para graficar una funci´on, lo que se tiene que hacer es sustituir x por varios posibles valores num´ericos y evaluar la expresi´on dada.

Como ejemplo mostramos c´omo se grafica la funci´on

f(x) =√x2 . Si x = 0 entonces x2 = 0 y por ello √x2 = 0. Si x = 1 entonces x2 = 1 y consequentemente √x2 = 1. Si x= 2 entonces x2 = 4 y √x2 = 2. Parece que siempre se tiene f(x) = x pero esta primera impresi´on es falsa: si x = ₋1 entonces x2

=x_·x= (−1)·(−1) = 1 y por ello f(−1) = 1.

De hecho,√vsiempre evaul´ua a un n´umero positivo o cero. Por ello la gr´afica de la funci´onf s´olo puede contener puntos (x, y) tal quey es positivo o cero.

En otras palabras, la gr´afica de f est´a contenido en el semiplano superior al eje de coordenadas x. La gr´afica se ve como se muestra en la siguiente ilustraci´on: −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 1 2 3 y=√x2 x y

Esta funci´on se conoce bajo el nombre de valor absoluto y muchas veces se escribe como abs. Si la funci´on se evalua en x entonces se obtiene el valor abs(x)

Funciones lineales, es decir, funciones de la formaf(x) =ax+b para algunos par´ametrosay bsiempre tienen una recta como gr´afica. Para ver que esto es correcto calculamos el valorf(x+d) y lo comparamos con el valor de f(x). Se tiene

f(x+d) =a(x+d) +b =ax+ad+b = (ax+b) +ad=f(x) +ad.

En otras palabras el valorf(x+d) difiere def(x) juste enad. Esto pasa para cualquier x: 1 ad x x+d f(x) f(x+d)

Esto muestra que el incremento en el valor de la funci´on (es decir el cambio def(x) a F8x+d)) es proporcional al incremento en el argumento (es decir el cambio de xa x+d). Por ello la gr´afica tiene que ser una recta.

Para graficar una funci´on lineal f es suficiente calcular f(x) para dos valores dex, digamos x1 y x2. Luego basta marcar los dos puntos con coordenadas

(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) y dibujar la gr´afica con una regla la recta que une ests dos puntos.

La gr´

afica de una ecuaci´

on particular

Consideramos el siguiente ejemplo de ecuaci´on:

x2+y2 = 4. (15.2)

La pregunta es: ¿para cuales puntos P(x, y) se satisface esta ecuaci´on? R´api-damente podemos dar algunas soluciones: Six= 0 entonces la ecuaci´on (15.2) se reduce a y2

= 4, que tiene dos soluciones y = _±2. Si en cambio y = 0 entonces se tienen las dos soluciones x = ±2. En el plano de coordenadas estas cuatro soluciones son se muestran como en la siguiente ilustraci´on del lado izquierdo. −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 3 x y (2,0) (0,2) (−2,0) (0,₋2) −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 3 x y

La siguiente observaci´on es importante:En la ecuaci´on (15.2)el lado izquier-do es la suma de izquier-dos cuadraizquier-dos. Como cada cuadrado es no-negativa resulta que ninguno de los dos sumandos puede rebasar 4. Si por ejemplo x = 3 entonces x2

= 9 y la ecuaci´on (15.2) se reduce a 9 +y2 = 4,

una ecuaci´on que conduca a y2

= −5, que no tiene soluci´on en y. Por ello no hay ning´un punto con coordenadas (3, y) que satisface la ecuaci´on (15.2). Resulta que x no puede ser mayor que 2 ni mneor que −2 y lo mismo vale para y. Por ello la gr´afica se encuentra encerrado en un cuadrado de lado 4 que se encuentra centrado en el origen del sistema de coordenadas, ver el dibujo a la derecha en la ilustraci´on anterior.

Pero la expresi´on x2 +y2

debe recordarnos tabi´en al Teorema de Pit´agoras. Si interpretamos ax, y como los catetos de un tri´angulo rect´angulo, la hipo-tenusa tiene la longitud p

x2_+y2_{. Como x}2 +y2

= 4 para cada soluci´on de la ecuaci´on, obtenemos que px2

+y2

= 2. En otras palabras, para cada so-luci´on (x, y) obtenemos un tri´angulo rect´agulo con catetos x, y e hipotenusa 2.

Estos tri´angulos se pueden acomodar de tal manera que el ladoxse encuentra sobre el ejexy el lado ysea perpendicular. En la siguiente ilustraci´on vemos uno de estos tri´angulos rect´angulos.

−3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 3 x y −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −2 −3 1 2 3 x y

Como la hipotenusa tiene como uno de sus extremos al origen obtenemos que la punta P(x, y) del tri´angulo se encuentra a distancia 2 del origen. De esta manera vemos que cada uno de los puntos de la circunferencia con centro

O y radio 2 da una soluci´on a la ecuaci´on (15.2), ver el lado derecho de la ilustraci´on anterior.

Concluimos: las soluciones de la ecuaci´on (15.2) forman una circunferencia con centro O y radio 2.

Ejercicios

(a) Indica las coordenadas de los puntos C, D, E y F en el dibujo anterior.

(b) Dibuja los puntosG(6,₋1),H(−2,3),I(−0.5,₋1.5) y J(0,5) en la ilustraci´on arriba.

2j_{En una s´olo cuadr´ıcula dibuja las gr´aficas de las dos funciones}

f(x) = p(x+ 1)2

y g(x) = √x2 + 1.

3j_{Dibuja las gr´aficas de las siguientes dos funciones en el mismo sistema} de coordenadas (el mismo dibujo):

f(x) = 1

3x y g(x) =x+ 2.

4j_{¿Cu´al es el radio de la circunferencia descrita por la ecuaci´onx}2 +y2

= 25? 5j_{Haz un dibujo de las soluciones de la ecuaci´on xy = 4 en un plano de}

coordenadas.

6j_{Averigua qu´e gr´afica tiene la ecuaci´on 4x}2 +y2

= 4. Dib´ujala en un plano de coordenadas.