Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Sucesiones y Series de funciones
Convergencia puntual y uniforme
-Semanas 1 y
2-Federico De Olivera
Cerp del Sur
curso 2017, (1/2)
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.1
Analicemos en geogebra las siguientes funciones que dependen del
par ´ametro
n
∈
N
:
1
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
2
g
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
g
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
)
3
h
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
h
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
n
)
a)
Para cada funci ´on analiza el comportamiento cuando
n
→
+
∞
.
¿Hay una funci ´on l´ımite?.
b)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia que observaste?
c)
Sean
f
,
g
,
h
las funciones l´ımite que observaste. Fija un par ´ametro
variable
ε >
0
y grafica la banda
(
f
(
x
)
−
ε
;
f
(
x
)
+
ε
)
. ¿Se cumple que
todas las funciones
f
n
quedan en dicha banda a partir de cierto
n
0
?
d)
Repite el item anterior para
g
y
h.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.1
Analicemos en geogebra las siguientes funciones que dependen del
par ´ametro
n
∈
N
:
1
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
2
g
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
g
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
)
3
h
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
h
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
n
)
a)
Para cada funci ´on analiza el comportamiento cuando
n
→
+
∞
.
¿Hay una funci ´on l´ımite?.
b)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia que observaste?
c)
Sean
f
,
g
,
h
las funciones l´ımite que observaste. Fija un par ´ametro
variable
ε >
0
y grafica la banda
(
f
(
x
)
−
ε
;
f
(
x
)
+
ε
)
. ¿Se cumple que
todas las funciones
f
n
quedan en dicha banda a partir de cierto
n
0
?
d)
Repite el item anterior para
g
y
h.
e)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia de toda la “curva”?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.1
Analicemos en geogebra las siguientes funciones que dependen del
par ´ametro
n
∈
N
:
1
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
2
g
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
g
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
)
3
h
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
h
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
n
)
a)
Para cada funci ´on analiza el comportamiento cuando
n
→
+
∞
.
¿Hay una funci ´on l´ımite?.
b)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia que observaste?
c)
Sean
f
,
g
,
h
las funciones l´ımite que observaste. Fija un par ´ametro
variable
ε >
0
y grafica la banda
(
f
(
x
)
−
ε
;
f
(
x
)
+
ε
)
. ¿Se cumple que
todas las funciones
f
n
quedan en dicha banda a partir de cierto
n
0
?
d)
Repite el item anterior para
g
y
h.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.1
Analicemos en geogebra las siguientes funciones que dependen del
par ´ametro
n
∈
N
:
1
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
2
g
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
g
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
)
3
h
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
h
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
n
)
a)
Para cada funci ´on analiza el comportamiento cuando
n
→
+
∞
.
¿Hay una funci ´on l´ımite?.
b)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia que observaste?
c)
Sean
f
,
g
,
h
las funciones l´ımite que observaste. Fija un par ´ametro
variable
ε >
0
y grafica la banda
(
f
(
x
)
−
ε
;
f
(
x
)
+
ε
)
.
¿Se cumple que
todas las funciones
f
n
quedan en dicha banda a partir de cierto
n
0
?
d)
Repite el item anterior para
g
y
h.
e)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia de toda la “curva”?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.1
Analicemos en geogebra las siguientes funciones que dependen del
par ´ametro
n
∈
N
:
1
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
2
g
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
g
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
)
3
h
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
h
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
n
)
a)
Para cada funci ´on analiza el comportamiento cuando
n
→
+
∞
.
¿Hay una funci ´on l´ımite?.
b)
¿C ´omo definir´ıas la convergencia que observaste?
c)
Sean
f
,
g
,
h
las funciones l´ımite que observaste. Fija un par ´ametro
variable
ε >
0
y grafica la banda
(
f
(
x
)
−
ε
;
f
(
x
)
+
ε
)
. ¿Se cumple que
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Definici ´on 1.1
Sea
X
⊂
R
,
una sucesi ´
on de funciones
(
f
n
)
, con
f
n
:
X
→
R
, es una
funci ´on que asocia a cada natural
n
∈
N
una funci ´on
fn
.
Observaci ´
on:
La funci ´on referida arriba es
χ
:
N
→ F
tal que
χ
(
n
)
=
fn
, donde
F
es el espacio de las funciones con dominio
incluido en
R
y codominio
R
.
Pero sobreentendiendo el dominio
X
y el codominio
R
, anotaremos
simplemente
(
fn
)
para referirnos a la sucesi ´on de dichas funciones.
Definici ´on 1.2 (Convergencia puntual)
Decimos que la sucesi ´on de funciones dada por
f
n
:
X
→
R
converge
puntualmente a
f
:
X
→
R
si, para cada
x
∈
X
la sucesi ´on num ´erica
(
fn
(
x
))
converge al real
f
(
x
)
.
Nt:
f
n
→
f
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Definici ´on 1.1
Sea
X
⊂
R
,
una sucesi ´
on de funciones
(
f
n
)
, con
f
n
:
X
→
R
, es una
funci ´on que asocia a cada natural
n
∈
N
una funci ´on
fn
.
Observaci ´
on:
La funci ´on referida arriba es
χ
:
N
→ F
tal que
χ
(
n
)
=
fn
, donde
F
es el espacio de las funciones con dominio
incluido en
R
y codominio
R
.
Pero sobreentendiendo el dominio
X
y el codominio
R
, anotaremos
simplemente
(
fn
)
para referirnos a la sucesi ´on de dichas funciones.
Definici ´on 1.2 (Convergencia puntual)
Decimos que la sucesi ´on de funciones dada por
f
n
:
X
→
R
converge
puntualmente a
f
:
X
→
R
si, para cada
x
∈
X
la sucesi ´on num ´erica
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Definici ´on 1.1
Sea
X
⊂
R
,
una sucesi ´
on de funciones
(
f
n
)
, con
f
n
:
X
→
R
, es una
funci ´on que asocia a cada natural
n
∈
N
una funci ´on
fn
.
Observaci ´
on:
La funci ´on referida arriba es
χ
:
N
→ F
tal que
χ
(
n
)
=
fn
, donde
F
es el espacio de las funciones con dominio
incluido en
R
y codominio
R
.
Pero sobreentendiendo el dominio
X
y el codominio
R
, anotaremos
simplemente
(
fn
)
para referirnos a la sucesi ´on de dichas funciones.
Definici ´on 1.2 (Convergencia puntual)
Decimos que la sucesi ´on de funciones dada por
f
n
:
X
→
R
converge
puntualmente a
f
:
X
→
R
si, para cada
x
∈
X
la sucesi ´on num ´erica
(
fn
(
x
))
converge al real
f
(
x
)
.
Nt:
f
n
→
f
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Definici ´on 1.1
Sea
X
⊂
R
,
una sucesi ´
on de funciones
(
f
n
)
, con
f
n
:
X
→
R
, es una
funci ´on que asocia a cada natural
n
∈
N
una funci ´on
fn
.
Observaci ´
on:
La funci ´on referida arriba es
χ
:
N
→ F
tal que
χ
(
n
)
=
fn
, donde
F
es el espacio de las funciones con dominio
incluido en
R
y codominio
R
.
Pero sobreentendiendo el dominio
X
y el codominio
R
, anotaremos
simplemente
(
fn
)
para referirnos a la sucesi ´on de dichas funciones.
Definici ´on 1.2 (Convergencia puntual)
Decimos que la sucesi ´on de funciones dada por
f
n
:
X
→
R
converge
puntualmente a
f
:
X
→
R
si, para cada
x
∈
X
la sucesi ´on num ´erica
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Definici ´on 1.1
Sea
X
⊂
R
,
una sucesi ´
on de funciones
(
f
n
)
, con
f
n
:
X
→
R
, es una
funci ´on que asocia a cada natural
n
∈
N
una funci ´on
fn
.
Observaci ´
on:
La funci ´on referida arriba es
χ
:
N
→ F
tal que
χ
(
n
)
=
fn
, donde
F
es el espacio de las funciones con dominio
incluido en
R
y codominio
R
.
Pero sobreentendiendo el dominio
X
y el codominio
R
, anotaremos
simplemente
(
fn
)
para referirnos a la sucesi ´on de dichas funciones.
Definici ´on 1.2 (Convergencia puntual)
Decimos que la sucesi ´on de funciones dada por
f
n
:
X
→
R
converge
puntualmente a
f
:
X
→
R
si, para cada
x
∈
X
la sucesi ´on num ´erica
(
fn
(
x
))
converge al real
f
(
x
)
.
Nt:
f
n
→
f
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Observaci ´
on:
La convergencia puntual puede visualizarse
simplemente por medio de l´ımites:
para cada
x
∈
X
,
l´ım
n
→
+
∞
f
n
(
x
)
=
f
(
x
),
o tambi ´en usando la definici ´on (*):
∀
x
∈
X
y
∀
ε >
0, existe
n
0
(
ε,
x
)
tal que si
n
>
n
0
(
ε,
x
)
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
Ejercicio 1.2
Estudia la convergencia puntual de las sucesiones de funciones:
1
f
n
:
R
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
+
1
/n
2
fn
:
R
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
cos
(
nx
)
3
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
4
f
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Observaci ´
on:
La convergencia puntual puede visualizarse
simplemente por medio de l´ımites:
para cada
x
∈
X
,
l´ım
n
→
+
∞
f
n
(
x
)
=
f
(
x
),
o tambi ´en usando la definici ´on (*):
∀
x
∈
X
y
∀
ε >
0, existe
n
0
(
ε,
x
)
tal que si
n
>
n
0
(
ε,
x
)
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
Ejercicio 1.2
Estudia la convergencia puntual de las sucesiones de funciones:
1
f
n
:
R
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
+
1
/n
2
fn
:
R
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
cos
(
nx
)
3
fn
: [0
,
1]
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
4
f
n
: [0
,
1]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
(1
−
x
n
)
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Observaci ´
on:
La convergencia puntual puede visualizarse
simplemente por medio de l´ımites:
para cada
x
∈
X
,
l´ım
n
→
+
∞
f
n
(
x
)
=
f
(
x
),
o tambi ´en usando la definici ´on (*):
∀
x
∈
X
y
∀
ε >
0, existe
n
0
(
ε,
x
)
tal que si
n
>
n
0
(
ε,
x
)
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
Ejercicio 1.2
Estudia la convergencia puntual de las sucesiones de funciones:
1
f
n
:
R
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
+
1
/n
2
fn
:
R
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
cos
(
nx
)
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ahora damos paso a otro tipo de convergencia, “el de toda la curva
simult ´aneamente”.
Definici ´on 1.3 (Convergencia uniforme)
Decimos que
fn
:
X
→
R
converge uniformemente
a la funci ´on
f
:
X
→
R
si,
∀
ε >
0
,
∃
n0
(
ε
)
tal que si
n
>
n0
(
ε
)
entonces
|
fn
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X
Nt:
f
n
⇒
f
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ahora damos paso a otro tipo de convergencia, “el de toda la curva
simult ´aneamente”.
Definici ´on 1.3 (Convergencia uniforme)
Decimos que
fn
:
X
→
R
converge uniformemente
a la funci ´on
f
:
X
→
R
si,
∀
ε >
0
,
∃
n0
(
ε
)
tal que si
n
>
n0
(
ε
)
entonces
|
fn
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ahora damos paso a otro tipo de convergencia, “el de toda la curva
simult ´aneamente”.
Definici ´on 1.3 (Convergencia uniforme)
Decimos que
fn
:
X
→
R
converge uniformemente
a la funci ´on
f
:
X
→
R
si,
∀
ε >
0
,
∃
n0
(
ε
)
tal que si
n
>
n0
(
ε
)
entonces
|
fn
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X
Nt:
f
n
⇒
f
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.3
1
En las siguientes proposiciones, analiza cuales son iguales y
cuales diferentes:
a)
∀
x
∈
X
,
∀
ε >
0
,
∃
n
0
tal que si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
b)
∀
ε >
0
,
∀
x
∈
X
,
∃
n
0
tal que si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
c)
∀
ε >
0
,
∃
n
0
, tal que
∀
x
∈
X
, si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
d)
∀
ε >
0
,
∃
n
0
tal que si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.3
1
En las siguientes proposiciones, analiza cuales son iguales y
cuales diferentes:
a)
∀
x
∈
X
,
∀
ε >
0
,
∃
n
0
tal que si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
b)
∀
ε >
0
,
∀
x
∈
X
,
∃
n
0
tal que si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
c)
∀
ε >
0
,
∃
n
0
, tal que
∀
x
∈
X
, si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
d)
∀
ε >
0
,
∃
n
0
tal que si
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X
2
¿Puedes asociar todas a alg ´un tipo de convergencia?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.4
En geogebra estudia la convergencia uniforme de las sucesiones de
funciones del ejercicio 1.1. Demuestra dicha conjetura.
Ejercicio 1.5
Sean
fn,
f
:
X
→
R
. Prueba que si
fn
⇒
f
entonces
fn
→
f.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.4
En geogebra estudia la convergencia uniforme de las sucesiones de
funciones del ejercicio 1.1. Demuestra dicha conjetura.
Ejercicio 1.5
Sean
fn,
f
:
X
→
R
. Prueba que si
fn
⇒
f
entonces
fn
→
f
.
¿Se cumple el rec´ıproco?.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Ejercicio 1.4
En geogebra estudia la convergencia uniforme de las sucesiones de
funciones del ejercicio 1.1. Demuestra dicha conjetura.
Ejercicio 1.5
Sean
fn,
f
:
X
→
R
. Prueba que si
fn
⇒
f
entonces
fn
→
f
.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Sucesiones de Cauchy
Al igual que para sucesiones num ´ericas, en las sucesiones de
funciones encontramos el criterio de Cauchy:
Definici ´on 1.4 (Sucesi ´on de Cauchy)
Una sucesi ´on de funciones
(
f
n
)
con
f
n
:
X
→
R
es de Cauchy si:
∀
ε >
0
, existe
n
0
tal que si
m,
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X.
Si para cada
x
∈
X
se cumple que
(
fn
(
x
))
es una sucesi ´on num ´erica
de Cauchy,
¿se cumple que
(
fn
)
es una sucesi ´on de funciones de Cauchy?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Sucesiones de Cauchy
Al igual que para sucesiones num ´ericas, en las sucesiones de
funciones encontramos el criterio de Cauchy:
Definici ´on 1.4 (Sucesi ´on de Cauchy)
Una sucesi ´on de funciones
(
f
n
)
con
f
n
:
X
→
R
es de Cauchy si:
∀
ε >
0
, existe
n
0
tal que si
m,
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X.
Si para cada
x
∈
X
se cumple que
(
fn
(
x
))
es una sucesi ´on num ´erica
de Cauchy,
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Sucesiones de Cauchy
Al igual que para sucesiones num ´ericas, en las sucesiones de
funciones encontramos el criterio de Cauchy:
Definici ´on 1.4 (Sucesi ´on de Cauchy)
Una sucesi ´on de funciones
(
f
n
)
con
f
n
:
X
→
R
es de Cauchy si:
∀
ε >
0
, existe
n
0
tal que si
m,
n
>
n
0
entonces
|
f
n
(
x
)
−
f
m
(
x
)
|
< ε
∀
x
∈
X.
Si para cada
x
∈
X
se cumple que
(
fn
(
x
))
es una sucesi ´on num ´erica
de Cauchy,
¿se cumple que
(
fn
)
es una sucesi ´on de funciones de Cauchy?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Teorema 1.1
La sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
converge uniformemente si y
s ´olo si es de Cauchy.
Prueba:
C ´omo es usual, la condici ´on de Cauchy nos es de gran utilidad
desde el punto de vista te ´orico, generalmente no es de utilidad
aplicarla en casos pr ´acticos.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Teorema 1.1
La sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
converge uniformemente si y
s ´olo si es de Cauchy.
Prueba:
C ´omo es usual, la condici ´on de Cauchy nos es de gran utilidad
desde el punto de vista te ´orico, generalmente no es de utilidad
aplicarla en casos pr ´acticos.
La gran virtud es que podemos demostrar la convergencia sin
conocer la funci ´on l´ımite.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Teorema 1.1
La sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
converge uniformemente si y
s ´olo si es de Cauchy.
Prueba:
C ´omo es usual, la condici ´on de Cauchy nos es de gran utilidad
desde el punto de vista te ´orico, generalmente no es de utilidad
aplicarla en casos pr ´acticos.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Corolario 1.1.1
Si las funciones
f
n
:
X
→
R
son continuas y
f
n
⇒
f
en
X
entonces
(
f
n
)
converge uniformemente en
X.
Prueba:
Pruebe que para cada
y
∈
X
existe
x
k
∈
X
tal que
x
k
→
y
.
Pruebe que dado
ε >
0, existe
n
0
tal que si
n
,
m
>
n
0
entonces
|
fn
(
x
k
)
−
fm
(
x
k
)
|
< ε/
2, donde
n0
no depende ni de
y
ni de
(
x
k
).
Pruebe que a partir del mismo
n
0
se cumple
|
fn
(
y
)
−
fm
(
y
)
| ≤
ε/
2
< ε
.
Concluya que
(
fn
)
Converge uniformemente.
¿
fn
: [0
,
1)
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
converge uniformemente?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Corolario 1.1.1
Si las funciones
f
n
:
X
→
R
son continuas y
f
n
⇒
f
en
X
entonces
(
f
n
)
converge uniformemente en
X.
Prueba:
Pruebe que para cada
y
∈
X
existe
x
k
∈
X
tal que
x
k
→
y
.
Pruebe que dado
ε >
0, existe
n
0
tal que si
n
,
m
>
n
0
entonces
|
fn
(
x
k
)
−
fm
(
x
k
)
|
< ε/
2, donde
n0
no depende ni de
y
ni de
(
x
k
).
Pruebe que a partir del mismo
n
0
se cumple
|
fn
(
y
)
−
fm
(
y
)
| ≤
ε/
2
< ε
.
Concluya que
(
fn
)
Converge uniformemente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Corolario 1.1.1
Si las funciones
f
n
:
X
→
R
son continuas y
f
n
⇒
f
en
X
entonces
(
f
n
)
converge uniformemente en
X.
Prueba:
Pruebe que para cada
y
∈
X
existe
x
k
∈
X
tal que
x
k
→
y
.
Pruebe que dado
ε >
0, existe
n
0
tal que si
n
,
m
>
n
0
entonces
|
fn
(
x
k
)
−
fm
(
x
k
)
|
< ε/
2, donde
n0
no depende ni de
y
ni de
(
x
k
).
Pruebe que a partir del mismo
n
0
se cumple
|
fn
(
y
)
−
fm
(
y
)
| ≤
ε/
2
< ε
.
Concluya que
(
fn
)
Converge uniformemente.
¿
fn
: [0
,
1)
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
converge uniformemente?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Corolario 1.1.1
Si las funciones
f
n
:
X
→
R
son continuas y
f
n
⇒
f
en
X
entonces
(
f
n
)
converge uniformemente en
X.
Prueba:
Pruebe que para cada
y
∈
X
existe
x
k
∈
X
tal que
x
k
→
y
.
Pruebe que dado
ε >
0, existe
n
0
tal que si
n
,
m
>
n
0
entonces
|
fn
(
x
k
)
−
fm
(
x
k
)
|
< ε/
2, donde
n0
no depende ni de
y
ni de
(
x
k
).
Pruebe que a partir del mismo
n
0
se cumple
|
fn
(
y
)
−
fm
(
y
)
| ≤
ε/
2
< ε
.
Concluya que
(
fn
)
Converge uniformemente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Corolario 1.1.1
Si las funciones
f
n
:
X
→
R
son continuas y
f
n
⇒
f
en
X
entonces
(
f
n
)
converge uniformemente en
X.
Prueba:
Pruebe que para cada
y
∈
X
existe
x
k
∈
X
tal que
x
k
→
y
.
Pruebe que dado
ε >
0, existe
n
0
tal que si
n
,
m
>
n
0
entonces
|
fn
(
x
k
)
−
fm
(
x
k
)
|
< ε/
2, donde
n0
no depende ni de
y
ni de
(
x
k
).
Pruebe que a partir del mismo
n
0
se cumple
|
fn
(
y
)
−
fm
(
y
)
| ≤
ε/
2
< ε
.
Concluya que
(
fn
)
Converge uniformemente.
¿
fn
: [0
,
1)
→
R
tal que
fn
(
x
)
=
x
n
converge uniformemente?
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Corolario 1.1.1
Si las funciones
f
n
:
X
→
R
son continuas y
f
n
⇒
f
en
X
entonces
(
f
n
)
converge uniformemente en
X.
Prueba:
Pruebe que para cada
y
∈
X
existe
x
k
∈
X
tal que
x
k
→
y
.
Pruebe que dado
ε >
0, existe
n
0
tal que si
n
,
m
>
n
0
entonces
|
fn
(
x
k
)
−
fm
(
x
k
)
|
< ε/
2, donde
n0
no depende ni de
y
ni de
(
x
k
).
Pruebe que a partir del mismo
n
0
se cumple
|
fn
(
y
)
−
fm
(
y
)
| ≤
ε/
2
< ε
.
Concluya que
(
fn
)
Converge uniformemente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Series de funciones
Al igual que en sucesiones y series num ´ericas, una serie ser ´a
pensada como la acumulaci ´on de los t ´erminos de una sucesi ´on, m ´as
formalmente:
Definici ´on 1.5 (serie de funciones y convergencia)
Sea
fn
:
X
→
R
y sea
sn
=
f
1
+
f2
+
· · ·
+
fn
. Llamamos serie de
funciones al par
((
f
n
); (
s
n
))
.
Decimos que la serie converge puntualmente o uniformemente si lo
hace la sucesi ´on de funciones
(
sn
)
respectivamente.
Ejemplo 1
Sea
f
n
: [
−
1
+
δ
; 1
−
δ
]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
. En este caso podemos
hallar una expresi ´on para
s
n
¿ cu ´al?, y con esto podemos la
convergencia de la serie (ahora no profundizaremos).
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Series de funciones
Al igual que en sucesiones y series num ´ericas, una serie ser ´a
pensada como la acumulaci ´on de los t ´erminos de una sucesi ´on, m ´as
formalmente:
Definici ´on 1.5 (serie de funciones y convergencia)
Sea
fn
:
X
→
R
y sea
sn
=
f
1
+
f
2
+
· · ·
+
fn
. Llamamos serie de
funciones al par
((
f
n
); (
s
n
))
.
Decimos que la serie converge puntualmente o uniformemente si lo
hace la sucesi ´on de funciones
(
sn
)
respectivamente.
Ejemplo 1
Sea
f
n
: [
−
1
+
δ
; 1
−
δ
]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
. En este caso podemos
hallar una expresi ´on para
s
n
¿ cu ´al?, y con esto podemos la
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Series de funciones
Al igual que en sucesiones y series num ´ericas, una serie ser ´a
pensada como la acumulaci ´on de los t ´erminos de una sucesi ´on, m ´as
formalmente:
Definici ´on 1.5 (serie de funciones y convergencia)
Sea
fn
:
X
→
R
y sea
sn
=
f
1
+
f
2
+
· · ·
+
fn
. Llamamos serie de
funciones al par
((
f
n
); (
s
n
))
.
Decimos que la serie converge puntualmente o uniformemente si lo
hace la sucesi ´on de funciones
(
sn
)
respectivamente.
Ejemplo 1
Sea
f
n
: [
−
1
+
δ
; 1
−
δ
]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
. En este caso podemos
hallar una expresi ´on para
s
n
¿ cu ´al?, y con esto podemos la
convergencia de la serie (ahora no profundizaremos).
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Series de funciones
Al igual que en sucesiones y series num ´ericas, una serie ser ´a
pensada como la acumulaci ´on de los t ´erminos de una sucesi ´on, m ´as
formalmente:
Definici ´on 1.5 (serie de funciones y convergencia)
Sea
fn
:
X
→
R
y sea
sn
=
f
1
+
f
2
+
· · ·
+
fn
. Llamamos serie de
funciones al par
((
f
n
); (
s
n
))
.
Decimos que la serie converge puntualmente o uniformemente si lo
hace la sucesi ´on de funciones
(
sn
)
respectivamente.
Ejemplo 1
Sea
f
n
: [
−
1
+
δ
; 1
−
δ
]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
.
En este caso podemos
hallar una expresi ´on para
s
n
¿ cu ´al?, y con esto podemos la
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Series de funciones
Al igual que en sucesiones y series num ´ericas, una serie ser ´a
pensada como la acumulaci ´on de los t ´erminos de una sucesi ´on, m ´as
formalmente:
Definici ´on 1.5 (serie de funciones y convergencia)
Sea
fn
:
X
→
R
y sea
sn
=
f
1
+
f
2
+
· · ·
+
fn
. Llamamos serie de
funciones al par
((
f
n
); (
s
n
))
.
Decimos que la serie converge puntualmente o uniformemente si lo
hace la sucesi ´on de funciones
(
sn
)
respectivamente.
Ejemplo 1
Sea
f
n
: [
−
1
+
δ
; 1
−
δ
]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
. En este caso podemos
hallar una expresi ´on para
s
n
¿ cu ´al?,
y con esto podemos la
convergencia de la serie (ahora no profundizaremos).
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Series de funciones
Al igual que en sucesiones y series num ´ericas, una serie ser ´a
pensada como la acumulaci ´on de los t ´erminos de una sucesi ´on, m ´as
formalmente:
Definici ´on 1.5 (serie de funciones y convergencia)
Sea
fn
:
X
→
R
y sea
sn
=
f
1
+
f
2
+
· · ·
+
fn
. Llamamos serie de
funciones al par
((
f
n
); (
s
n
))
.
Decimos que la serie converge puntualmente o uniformemente si lo
hace la sucesi ´on de funciones
(
sn
)
respectivamente.
Ejemplo 1
Sea
f
n
: [
−
1
+
δ
; 1
−
δ
]
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
x
n
. En este caso podemos
hallar una expresi ´on para
s
n
¿ cu ´al?, y con esto podemos la
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
En general no es sencillo obtener una expresi ´on para la suma parcial
(recuerden series num ´ericas),
por ende estudiaremos un criterio
para la convergencia uniforme de series sin requerir de una
expresi ´on de
s
n
.
Definici ´on 1.6 (Sucesi ´on normalmente convergente)
Una sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
se dice
normalmente
convergente
si existe una sucesi ´on num ´erica
(
a
n
)
con
a
n
≥
0
∀
n
∈
N
y
P
a
n
converge de modo que
|
f
n
(
x
)
| ≤
a
n
∀
n
∈
N
,
∀
x
∈
X
Ejercicio 1.6
Probar que la sucesi ´on del ejercicio 1 es normalmente convergente.
Sea
f
n
:
R
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
sin(nx)
n
2. Probar que
(
f
n
)
es normalmente
convergente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
En general no es sencillo obtener una expresi ´on para la suma parcial
(recuerden series num ´ericas), por ende estudiaremos un criterio
para la convergencia uniforme de series sin requerir de una
expresi ´on de
s
n
.
Definici ´on 1.6 (Sucesi ´on normalmente convergente)
Una sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
se dice
normalmente
convergente
si existe una sucesi ´on num ´erica
(
a
n
)
con
a
n
≥
0
∀
n
∈
N
y
P
a
n
converge de modo que
|
f
n
(
x
)
| ≤
a
n
∀
n
∈
N
,
∀
x
∈
X
Ejercicio 1.6
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
En general no es sencillo obtener una expresi ´on para la suma parcial
(recuerden series num ´ericas), por ende estudiaremos un criterio
para la convergencia uniforme de series sin requerir de una
expresi ´on de
s
n
.
Definici ´on 1.6 (Sucesi ´on normalmente convergente)
Una sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
se dice
normalmente
convergente
si existe una sucesi ´on num ´erica
(
a
n
)
con
a
n
≥
0
∀
n
∈
N
y
P
a
n
converge de modo que
|
f
n
(
x
)
| ≤
a
n
∀
n
∈
N
,
∀
x
∈
X
Ejercicio 1.6
Probar que la sucesi ´on del ejercicio 1 es normalmente convergente.
Sea
f
n
:
R
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
sin(nx)
n
2. Probar que
(
f
n
)
es normalmente
convergente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
En general no es sencillo obtener una expresi ´on para la suma parcial
(recuerden series num ´ericas), por ende estudiaremos un criterio
para la convergencia uniforme de series sin requerir de una
expresi ´on de
s
n
.
Definici ´on 1.6 (Sucesi ´on normalmente convergente)
Una sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
se dice
normalmente
convergente
si existe una sucesi ´on num ´erica
(
a
n
)
con
a
n
≥
0
∀
n
∈
N
y
P
a
n
converge de modo que
|
f
n
(
x
)
| ≤
a
n
∀
n
∈
N
,
∀
x
∈
X
Ejercicio 1.6
Probar que la sucesi ´on del ejercicio 1 es normalmente convergente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
En general no es sencillo obtener una expresi ´on para la suma parcial
(recuerden series num ´ericas), por ende estudiaremos un criterio
para la convergencia uniforme de series sin requerir de una
expresi ´on de
s
n
.
Definici ´on 1.6 (Sucesi ´on normalmente convergente)
Una sucesi ´on de funciones
fn
:
X
→
R
se dice
normalmente
convergente
si existe una sucesi ´on num ´erica
(
a
n
)
con
a
n
≥
0
∀
n
∈
N
y
P
a
n
converge de modo que
|
f
n
(
x
)
| ≤
a
n
∀
n
∈
N
,
∀
x
∈
X
Ejercicio 1.6
Probar que la sucesi ´on del ejercicio 1 es normalmente convergente.
Sea
f
n
:
R
→
R
tal que
f
n
(
x
)
=
sin(nx)
n
2. Probar que
(
f
n
)
es normalmente
convergente.
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Teorema 1.2 (Criterio de Weierstrass)
Si
f
n
:
X
→
R
es normalmente convergente, entonces
P
|
f
n
|
y
P
f
n
convergen uniformemente.
Prueba:
Ejemplo 2
Sea
X
acotado, entonces
P
x
nn!
⇒
Convergencia puntual y uniforme Semanas 1 y 2
Teorema 1.2 (Criterio de Weierstrass)
Si
f
n
:
X
→
R
es normalmente convergente, entonces
P
|
f
n
|
y
P
f
n
convergen uniformemente.
Prueba:
Ejemplo 2
Sea
X
acotado, entonces
P
x
nn!
⇒
, ¿c ´omo probarlo?
Intercambio de l´ımite con l´ımites, integrales y derivadas Semanas 3 y 4
Sucesiones y Series de funciones
Intercambio de l´ımite con l´ımites, integrales y derivadas
-Semanas 3 y
4-Federico De Olivera
Cerp del Sur
Intercambio de l´ımite con l´ımites, integrales y derivadas Semanas 3 y 4
