Campo eléctrico

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CAMPO ELÉCTRICO

LEY DE COULOMB

Otra de las fuerzas o interacciones fundamentales de la naturaleza es la interacción eléctrica, que se observa entre cuerpos que poseen una propiedad llamada carga eléctrica.

Fue Coulomb (1737-1806) el físico que describió esta interacción mediante la ley que lleva su nombre:

 

r r r QQ K F

 

 

2 '

2

en la que el sentido de la fuerza, el mismo u opuesto al vector de posición, vendrá dado por el producto de los signos de las respectivas cargas, dando origen a fuerzas de atracción entre cargas de distinto signo o de repulsión entre cargas del mismo signo.

UNIDADES: Hasta ahora para definir una nueva unidad nos bastaba con relacionarla con las de las magnitudes fundamentales M, L y T, pero a partir de ahora necesitamos añadir otra magnitud fundamental que nos ayude a definir las nuevas magnitudes eléctricas.

S.I.: Tomando dos cargas cuyo valor sea la unidad (un Culombio) y situándolas en el vacío a una distancia de 1 m, Coulomb determinó, mediante una balanza de torsión (similar a la que utilizó Cavendish para medir la constante de gravitación universal), el valor de la fuerza con la que se repelen: 9.109 Nw.

Por tanto queda: 2

2

9 .

10 . 9

C m Nw K

E.C.G.S: En este sistema partimos de otro supuesto: Dos unidades de carga (1 uee) situadas en el vacío a una distancia igual a la unidad (1 cm) se deben repeler con una fuerza igual a la unidad (1 dina). Ello implica que la constante de la ley de Coulomb debe ser también igual a la unidad: K1 (debe observarse que no tiene unidades).

(2)

 

2 9 9 2 2 9 2 4 5 2 2 2 10 . 9 10 . 10 . 9 10 . 10 . C C m N m N K cm dina uee      

; 1C 3.10 uee 9

Pero normalmente la constante de la Ley de Coulomb se expresa como: K  14 donde

se conoce como constante dieléctrica del medio y representa la "oposición" de dicho medio

a la transmisión del campo eléctrico, ya que cuanto mayor sea  más pequeña será la fuerza de atracción o repulsión eléctrica.

Por tanto los valores de  para el vacío serán:

S.I:  

 1 

4 9 109 2

2

. . .

C

N m y E.C.G.S:  

1 4

También se puede definir una constante dieléctrica relativa: la del medio dividida por la del vacío. Debemos tener en cuenta que el vacío es el medio en que mejor se "transmite" el campo eléctrico: para iguales cargas a iguales distancias la fuerza electrostática es mayor que en cualquier otro medio, por tanto tiene la K mas alta y la  más pequeña.

 

 

r

o K r o

 ; quedando  1

4

Una vez que tenemos totalmente definidas las fuerzas que actúan en el campo eléctrico y en el gravitatorio, vamos a continuación a aplicar la Teoría de Campos a cada uno de ellos.

INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO.

Suponemos una región del espacio vacía. Situamos en ella una carga Q.

Se llama campo eléctrico a la perturbación que ésta carga crea en el espacio que la rodea. Es decir, ese espacio se modifica ante la presencia de la carga, ya que en cada punto de ese espacio aparecen los valores de dos nuevas magnitudes: una vectorial, la intensidad de campo (E) y otra escalar el potencial (V).

Inicialmente ese nuevo campo no se manifiesta, pero si introducimos una segunda carga Q' en un punto cualquiera del espacio que rodea a la primera Q, se vera sometida a una fuerza que vendrá dada por la Ley de COULOMB (2).

Siguiendo el mismo razonamiento que en el campo gravitatorio, la ecuación F e.A se convierte en el campo eléctrico en FQ'.E, donde E es la intensidad de campo eléctrico y Q' la carga que introducimos en el campo de la primera Q.

La intensidad de campo eléctrico se define como la fuerza que sufre la unidad de carga (C) situada en un punto cualquiera del campo.

 

r r r Q K E r r r Q Q K F E Q F          

 '. y .2 ' ; queda 4 2

Si

(3)

- La distancia a la que estemos de Q, es decir, del punto del campo en el que nos encontremos.

- Del medio a través del cual se transmite el campo.

Nos encontramos entonces ante un campo vectorial bien definido, pues a cada punto del espacio que rodea a la carga Q le corresponde un único valor de E, mientras que se pueden tener infinitos valores de la fuerza, tantos como cargas podamos situar en ese punto.

La representación del campo queda a cargo, como en cualquier campo vectorial, de las Líneas de Fuerza, que indican en cada punto la dirección y sentido de la Intensidad de campo.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

Si en una zona del espacio coinciden los campos eléctricos creados por varias cargas, la fuerza total sobre otra carga Q' situada en un punto P cualquiera de esa zona será:

E E E

Q ET

Q E

Q E Q E Q

F  '.1 '.2  '.3 ... ' 1  2  3 ...  '.

Donde E1,E2,E3,... son los campos producidos por cada carga en el punto P.

Podemos enunciar, entonces, el principio de superposición: si en un punto del espacio coinciden a la vez más de un campo eléctrico, sus efectos (intensidades) se suman.

i

T E E E E

E  1 2  3 ... 

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA:

Al igual que el gravitatorio, el campo eléctrico también es un campo de fuerzas central y, por tanto, conservativo, por lo que podemos definir la energía potencial eléctrica como el trabajo necesario para transportar una carga desde el origen hasta un punto P.

Si el origen de energías lo situamos en el infinito:

p r

r r

r p

r KQQ r

KQQ r

dr KQQ dr

r QQ K r

d F U

p p

p

p 1 '

' '

'

.  2   2    

 

 

 

El signo de la energía potencial vendrá dado por el producto de los signos de las respectivas cargas:

- Si ambas son positivas o negativas Up será positiva, ya que al ser la fuerza entre ambas

de repulsión, el trabajo se habrá hecho en contra del campo.

- Si las cargas son de distinto signo Up será negativa pues al ser la fuerza de atracción el

trabajo lo habrá hecho el campo.

POTENCIAL ELÉCTRICO:

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Por ello se define el potencial eléctrico de un punto como la energía potencial por unidad de carga, es decir, es el trabajo necesario para traer una carga de 1 culombio desde el infinito y situarla en ese punto del campo.

V U

Q U

KQQ

r V K

Q r

p p

p p

  

'

'

y como queda

Por tanto el potencial depende de la carga que crea el campo Q y del punto en el que nos situemos, es decir, en cada punto del espacio que rodea a una carga existe un único valor del potencial eléctrico, por lo que podemos decir que se trata de una propiedad de ese punto.

Se puede decir entonces que el campo eléctrico consiste en la perturbación que una carga eléctrica crea en el espacio que la rodea. Cada punto del espacio posee entonces dos propiedades: la intensidad de campo E y el potencial eléctrico V.

Si en ese punto P situamos otra carga Q' el campo ejercerá sobre ella una fuerza

p

E Q

F  '. y tendrá una energía U =Q’V La unidad de potencial eléctrico en el S.I. será el julio/cul que se conoce con el nombre de voltio.

Si lo que se desea es mover la carga Q' entre dos puntos A y B del campo:

V U

Q V

U

Q V V

U U

Q U Q V

A A B B B A B A A

B

A B

     

' y ' restando ' o también  '.

A B

B A B

A B

A W W Q V V

U    

 queda '.

como

Ecuación que nos da el trabajo en el campo eléctrico y que será de una gran utilidad práctica.

Aplicando la teoría de campos podemos obtener la relación entre la intensidad y el potencial:

  

graV V Edr

E  y . 

Teniendo en cuenta que las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales, nos quedan las siguientes representaciones de los campos creados por dos cargas:

CAMPO DE UN DIPOLO CAMPO DE DOS CARGAS IGUALES

TEOREMA DE GAUSS EN EL CAMPO ELÉCTRICO.

(5)

Ello nos llevaría, como ya vimos en el cálculo de Centro de Masas y de Momentos de Inercia, a procesos de integración bastante complicados.

El Teorema de Gauss, mediante la utilización de una nueva magnitud, el Flujo Eléctrico (o gravitatorio) intenta simplificar el cálculo de campos producidos por cargas (o masas) no puntuales.

FLUJO ELÉCTRICO: Se define flujo de un campo  que atraviesa una superficie a la integral del producto escalar del vector intensidad de campo E por el vector diferencial de

superficie dS:

 

5 

sE.dS

En general, se suele decir que el Flujo es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie.

Si se tiene una superficie cerrada, el flujo sería el número neto de líneas de fuerza que atraviesan esa superficie, es decir, las líneas de fuerza que entran menos las líneas de fuerza que salen de la superficie.

Como las líneas de fuerza "nacen" (fuentes del campo eléctrico) en las cargas positivas y "mueren" (sumideros del campo eléctrico) en las negativas, si dentro de la superficie no hay ninguna carga, el flujo debe ser cero, pues al no crearse ni morir ninguna línea, las que entran deben ser igual a las que salen.

En el caso de que hubiera cargas, parece lógico que el flujo sea proporcional a la cantidad de carga que haya encerrada en la superficie, pues cuantas más cargas haya más líneas de fuerza saldrán de la superficie, aumentando la diferencia entre las que entran y las que salen.

Para deducir matemáticamente lo anteriormente dicho, necesitamos conocer antes qué es el ángulo sólido.

ÁNGULO SÓLIDO: Se puede definir como el espacio comprendido entre los vectores de posición que delimitan una superficie.

Dicho de otra forma, es la misma idea que la del ángulo pero en el espacio, pues se puede definir el ángulo como el espacio comprendido entre los dos radios (vectores de posición) que delimitan un arco de circunferencia.

Al igual que el radian es el ángulo desde el que se ve un arco de 1 m de una circunferencia de radio 1m, el estereorradián sería el espacio comprendido entre los vectores que delimitan una superficie de 1 m2 de una esfera de 1 m de radio.

De la misma forma que la relación entre el arco y el ángulo es: l. , en el caso del ángulo sólido: R S .R2.

Si la superficie delimitada es diferencial:

dS R d d dS

R

 2 

2 .  ó 

Esto sería en el caso de que se tratase de una esfera, en la que los radios son perpendiculares a la superficie (debemos tener en cuenta que el vector superficie S es un vector de módulo el de la superficie y de dirección perpendicular a la misma y sentido hacia el exterior).

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Si los vectores de posición no son perpendiculares a la superficie, es decir, forman con el vector S un ángulo  la relación anterior quedaría d dS

R

  .cos2

Igual que en el plano el máximo ángulo es el que delimita el total de la circunferencia: 2R. ; luego R 2 rd, en el espacio, el máximo ángulo sólido es el que delimita la superficie de la esfera: 4R2 .R2; luego 4 estrd.

Ahora ya estamos en condiciones de deducir el TEOREMA DE GAUSS:

Se tiene una superficie cerrada (gausiana) con una carga Q en su interior.

El flujo que atraviesa la superficie será:

  

 

s s

dS r Q K S d

E.  2 cos

 

 

s s

KQ d

KQ d

KQ. 4

  

Q

Q

 

 4

4 1

Si en lugar de una sola carga, hubiese más cargas encerradas, tendríamos que considerar la suma algebraica de las mismas:

 

Qi

6

Luego se puede enunciar el Teorema de Gauss de la siguiente forma: El Flujo que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada dentro de la superficie.

Para entender el Teorema de Gauss, lo mejor es aplicarlo a varios ejemplos concretos:

CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA CORTEZA ESFÉRICA:

En el interior:

Se dispone de una carga Q, homogéneamente distribuida en una corteza esférica de espesor despreciable.

Imaginamos una superficie cerrada, infinitamente próxima a la corteza esférica pero por dentro.

Si calculamos el flujo que atraviesa la superficie esférica cerrada según el teorema de Gauss (6), el flujo debe ser 0, ya que no hay carga en el interior de la superficie.

Si el flujo es igual al producto escalar de la intensidad por la superficie y la superficie no es 0, debe serlo el campo. Luego E en el interior de la esfera es 0.

En el exterior:

Seguimos teniendo la misma corteza esférica homogéneamente cargada.

Ahora imaginamos la superficie cerrada infinitamente próxima a la corteza esférica, pero por fuera.

El campo creado por la esfera debe ser perpendicular a la superficie de la misma, pues, en cada punto se tiene siempre la misma cantidad de carga a ambos lados.

d

r

d S

d S

E

(7)

Por tanto, según (6):

4 . .

.

también

; EdS EdS E dS E R2

Q

s s

s

    

 

luego; E R = Q E Q

R K

Q R

.4 1

4 2

2 2

     ; es decir, es el mismo campo que

crearía una carga puntual, igual a la carga de la esfera, situada en su centro.

Por tanto, una esfera homogéneamente cargada se comporta, en su exterior, como si fuera una carga puntual situada en su centro.

CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA ESFERA MACIZA:

En el exterior:

Tendríamos que seguir los mismos pasos que en el caso de la corteza esférica. Suponemos una superficie cerrada e infinitamente próxima y exterior a la esfera.

Por las mismas razones de simetría que en el caso anterior, el campo sería el mismo en todos los puntos de la superficie y perpendicular a la misma, por lo que llegaríamos a un resultado idéntico: La esfera se comporta, para el campo en el exterior de la misma, como una carga puntual situada en su centro.

E Q

R K

Q R

 1   

4 2 2

En el interior:

Se desea calcular el campo en un punto P del interior de la esfera cuya distancia del centro es r.

Podemos considera a la esfera divida en dos partes: una interior al punto P y otra exterior a P.

La parte interior de la esfera se comporta, como ya hemos visto, como una carga puntual colocada en su centro, mientras que la exterior, no crea campo en su interior, es decir en el punto P.

Si definimos una densidad de carga, la carga interior a P, que es la responsable del campo en dicho punto, sería: Q    4  r

3

3 por lo que el campo quedaría:

E r

r E r

 1   

4

4 3

3 3

2



 

;

TEOREMA DE GAUSS EN EL CAMPO GRAVITAROTIO.

Lo dicho para el campo eléctrico lo podemos aplicar de la misma forma al campo gravitatorio.

E s f e r a e x t e r i o r

E s f e r a i n t e r i o r

S u p e r f i c i e s G a u s i a n a s r

(8)

FLUJO GRAVITATORIO: Se define flujo de un campo  que atraviesa una superficie a la integral del producto escalar del vector intensidad de campo g por el vector diferencial de superficie dS: 

sg.dS

Se tiene una superficie cerrada (gausiana) con una masa M en su interior. El flujo que atraviesa la superficie será:

  

 

s s

dS r M G S d

g.  2 cos 





s s

GM d

GM d

M

G· · 4

4 · GM

Luego se puede enunciar el Teorema de Gauss de la siguiente forma: El Flujo gravitatorio que atraviesa una superficie cerrada es proporcional a la masa (M) encerrada dentro de la superficie.

Aplicamos el Teorema de Gauss en campo gravitatorio a una esfera maciza como la Tierra:

CAMPO GRAVITATORIO CREADO POR UNA ESFERA MACIZA:

En el exterior:

Disponemos de una esfera maciza con la masa distribuida de forma homogénea.

Ahora imaginamos una superficie cerrada infinitamente próxima a la esfera, pero por fuera.

El campo creado por la esfera debe ser perpendicular a la superficie de la misma en todos los puntos, pues, en cada punto se tiene siempre la misma distribución de masa a un lado y otro del punto.

Por tanto: GM4 ; también g.dS g.dS g dS g.4 R2

s s

s

    

 

 

por ser la superficie total de la esfera, luego queda ·4 2 = 4 2

R M G g GM

R

g   

  

es decir, es el mismo campo que crearía una masa puntual, de igual masa que la de la esfera situada en su centro.

Por tanto, una esfera de masa homogénea se comporta, en su exterior, como si fuera una masa puntual situada en su centro.

En el interior:

Se desea calcular el campo en un punto P del interior de la esfera cuya distancia del centro es r.

Podemos considerar a la esfera divida en dos partes: una interior al punto P y otra exterior a P.

La parte interior de la esfera se comporta, como ya hemos visto, como una masa puntual colocada en su centro, mientras que la exterior, no crea campo en su interior, como ya vimos en el campo eléctrico para una corteza esférica en su interior, al no haber masa dentro de la superficie gausiana. Luego en el punto P solo cuenta el campo creado por la masa interior al punto P y que, ademas podemos considerarla como concentrada toda en el centro de la esfera.

E s f e r a e x t e r i o r

E s f e r a i n t e r i o r

S u p e r f i c i e s G a u s i a n a s r

(9)

Si definimos una densidad de masa M/V, la masa interior a P, que es la responsable

del campo en dicho punto, sería: 3 3 4

r

M   por lo que el campo quedaría:

g G r

r r G

g

3 4

; 3 4 ·

2 3

 

 

 

Es decir, como G  y  son constantes, solo dependerá de r, es decir de la distancia al centro de la Tierra, o lo que lo mismo, g disminuye linealmente con la profundidad.

COMPARACIÓN ENTRE EL CAMPO GRAVITATORIO Y EL ELÉCTRICO:

Las similitudes son evidentes y han quedado palpables a lo largo de los dos últimos temas.  Ambos disminuyen con cuadrado de la distancia.

 Ambos dependen de una propiedad de carácter escalar de la materia, en un caso la masa y en otro la carga.

 Ambos son conservativos y por tanto se puede definir en ellos una energía potencial que disminuye con la primera potencia de la distancia.

 Incluso podemos aplicar el Teorema de Gauss a ambos para poder calcular los campor creados por distribuciones homogéneas de carga.

Las diferencias son las siguientes:

• La constante de la ley de gravitación es universal, es decir, siempre tiene el mismo valor en todos los medios.

• La constante de la Ley de Coulomb, depende del medio en el que nos encontremos, presentando el valor mas alto para el vacío.

• La interacción gravitatoria es siempre atractiva pues la masa no tiene mas que un signo, mientras que la interacción eléctrica puede ser atractiva o repulsiva, ya que la carga puede ser de dos tipos.

• Para que las masas se acerquen no hay que hacer nada ya que es el propio campo quien lo hace, teniendo que alejar las masas para que aumente la energía potencial. Es decir, las masas se mueven espontáneamente en el sentidos de los potenciales decrecientes (hacia potenciales cada vez mas negativos).

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