TRABAJO DE TRIGONOMETRIA.. -YENDER PIMEN

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada Nacional

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada Nacional

Profesor: Bachiller Nº C.I

Lcdo. Eliezer Montoya

 Yender Pimentel. 20.963.076.

Matemática Barinas, Febrero de 2010.

Índice

Introducción………...VI 1. Trigonometría……….7-9

1.1. Triángulos: ángulos y clasificación.

2. Sistema de medición de ángulos………...10 2.1. Sistema sexagesimal

2.2. Sistema centesimal 2.3. Sistema circular.

3. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos………10,11 3.1. Seno.

3.2. Coseno. 3.3. Tangente. 3.4. Cotangente. 3.5. Secante. 3.6. Cosecante.

4. Dado los valores de cada razón trigonométrica, encontrar las cinco (5)

restantes, considerando el cuadrante en donde esta ubicado……..………12,13 4.1. cosθ=

√

3

2(I)cuadrante .

4.2. sen θ=¿−1

2(III)cuadrante .¿ 4.3. tanθ=

√

3(III)cuadrante .

5. Demostrar a través de las identidades fundamentales el valor exacto……14,15 5.2 cos 75° ≡cos(45°+30°)

5.3 cos 15° ≡cos(45°−30°) 5.4 cos 7,5°≡cos

(

15₂

)

5.5 sin 105°≡sin(60°+45°) 5.6 sin 15°≡sin(45°−30°) 5.7 sin 120°≡sin(90+30°)

6. A la tangente del ángulo alfa (∝) que forma la escalera con el suelo se llama pendiente de la escalera, se sabe que la longitud de la escalera es de cinco (5) metros (m), y que el valor de la pendiente es de 2,23………..16

A. ¿Cual es la distancia que hay entre el pie de la escalera y la pared? B. ¿A qué altura sobre el suelo esta situada el extremo E, de la escalera?

8. Establezca la unidad de medidas de masa, longitud, área ó superficie, volumen o capacidad……….…19-21 9. ¿Cuál es el área de un trapecio cuya base mayor mide quince (15) centímetro

(cm), la base menor mide dos tercios

(

2

3

)

de la mayor y la altura mide cuatro (4) centímetros (cm)?...22

10. El área de un rombo mide doscientos sesenta (260) centímetros cuadrado (cm2_{), si la diagonal menor del rombo mide diez (10) centímetros (cm),}

¿Cuánto mide la diagonal mayor y su perímetro?...22 11. ¿Calcular el área y el perímetro de un triangulo cuya base mide ocho (8)

centímetros (cm) y la altura mede cinco (5) centímetro (cm)?...23 12. ¿Cual es el área de un triangulo cuya medidas son: ocho, seis y siete (8; 6; 7) centímetros (cm), de longitud de cada uno de sus lados. (cinco (5) métodos para la resolución del ejercicio?...23-28 13. Hallar el área de cada uno de los siguientes polígonos regulares en los cuales

A= apotema; L= lados; P= perímetro………...29,30 13.A. Pentágono: A= 3cm; L= 4,4 cm.

13.B. Decágono: A= 5,7cm; L= 3,7 cm. 13.C. Heptágono: P= 63cm; A= 9,6cm. 13.D. Hexágono: A= 1,8cm; L= 3 cm.

14. Se desea llenar un tanque de forma cilíndrica, si su radio mide cero con setenta y cinco (0,75) metros (m), y la altura de uno con setenta y cinco (1,75) metros (m). determinar el volumen de líquido que contendrá……….31 15. Se quiere pintar un tanque de forma cilíndrica, si su radio es diez (10) metros (m), y su altura quince (25) metros (m), si un galón de pintura alcanza para veinticinco (15) metros al cuadrado (m2_{), ¿Cuántos galones se necesitan para}

Bibliografía……….….34

Introducción

Desde lo más remoto de nuestra historia, el hombre se ha valido de su capacidad intelectual para transformar el medio en que vive con el fin de adecuarlo sus necesidades.

Los modelos del proceso de investigación forman parte en sus experimentos, por lo que dedicamos este espacio a la profundización de este tema en cualquier acción participativa. A lo largo del mismo definiremos la trigonometría como la ciencia que estudia los triángulos, sus funciones como: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante; triángulos y ángulos con su clasificación según sus medidas y/o longitudes, los sistema de medición, los cuadrantes e identidades trigonométricas y una micro extensión de ejercicios resulto para la agilidad mental del estudiante con series de métodos para la resolución de la misma, ya que a la vez permite la facilidad del aprendizaje en la calculación de los problemas planteados.

Trigonometría.

Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Triangulo, Ángulo y Clasificación.

Triangulo:

En geometría, un triangulo es un polígono de tres lados

determinado por tres segmentos de tres rectas que se cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Clasificación:

Los triángulos se pueden clasificar por la longitud de

sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Ángulo:

son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el

mismo origen. [ _{Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado}

sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

 Forma geométrica: Se denomina ángulo a la abertura entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman las rectas tangentes en el punto de intersección.

 Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un

en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Clasificación:

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben sus

denominaciones.

Tipo Descripción

Ángulo nulo Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo_{tanto su abertura es nula, o sea de 0º.}

Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.

Es decir, mayor de 0º y menor de 90º (grados sexagesimales), o menor de 100g _{(grados centesimales).}

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a rad Es equivalente a 90º sexagesimales (o 100g_{centesimales).}

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que

coincide con el vértice. Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad

Mayor a 90º y menor a 180º sexagesimales (o más de 100g _y

menos de 200g_{centesimales).}

Ángulo llano

o colineal _{Equivalente a 180º} El ángulo llano tiene una amplitud de rad_{sexagesimales (o 200}g_{centesimales).}

También es conocido como ángulo extendido. Ángulo

completo

o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad Equivalente a 360º sexagesimales (o 400g_{centesimales).}

Clasificación

de triángulos según las

medidas de sus lados.

 Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

 Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que

se oponen a estos lados tienen la misma medida.

 Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Equilátero Isósceles Escaleno

Clasificación

de triángulos según las

medidas de sus ángulos.

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

 Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

 Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

 Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el

triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Se llama triángulo oblicuángulo cuando no tiene un ángulo interior recto (90°). Los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Sistema de medición de ángulos.

Sistema sexagesimal:

Es un sistema de numeración posicional que

emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos

(grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior.

Sistema centesimal:

En este sistema la circunferencia se considera

dividida en 400 grados, cada grado en 100 minutos y cada minuto en 100 segundos. A estos grados se les llama grados centesimales. Las abreviaturas son: grados centesimal (g.c.); minuto centesimal (m.c.), y segundo centesimal (s.c.). Así, Un grado centesimal es la medida del ángulo central de un círculo, de amplitud igual a la 400 ava parte del mismo.

Sistema de 400 g su unidad es el grado centesimal (g) Se cumple:

1 g= 100 m 1 m= 100 s 1 g=10000 s

Sistema circular:

La unidad de medida (unidad de arco), en el sistema

circular es el radian. Un radian (Rad.) se define como la medida del ángulo central se subtiende un arco del circulo igual al radio del circulo. Tenemos que la longitud de la circunferencia está dada por c= π .r y que toda la circunferencia sub tiene un ángulo de 360º; tenemos entonces que: longitud de la circunferencia en radianes es : 360º = 2π rad. π= 3.1416.

Razones trigonométricas para

triángulos rectángulos.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivos será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa.

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

Seno:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud

de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

Coseno:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la

longitud de la hipotenusa:

Tangente:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del

adyacente:

Cotangente:

de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la

del opuesto:

Secante:

de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud

del cateto adyacente:

Cosecante:

de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

(5) restantes, considerando el

cuadrante en donde esta ubicado:

cosθ

√

3

2(I)cuadrante .

sen2

+cos2¿1

senθ¿

√

1−cos2θ

senθ¿

√

1−

(

√

3 2

)

2

senθ¿

√

1−

(

3 4

)

❑

senθ¿

√

(

4−3 4

)

❑

senθ¿1 2 Rep.

tanθ¿senθ cosθ

tanθ¿ 1 2

√

3 2

= 2.1 2.

√

3

tanθ¿ 1

√

3.

√

3

√

3=

√

3 (

√

3)❑❑

2

tanθ¿

√

3 3 Rep.

secθ¿ 2

√

3 Rep. cscθ¿2

Rep.

cotθ¿ 3

√

3= 3.

√

3

√

3.

√

3=

√

3 Re

p.

sen θ=¿−1

cosθ=

_√

1−sen2θ

cosθ=

√

1−

(

−1 2

)

2

cosθ=

√

1−1 4 ❑

cosθ=

√

4−1 4

cosθ=−

√

3

2 Por estar en el III Cuadrante

Rep.

tanθ=senθ cosθ tanθ= −1 2

√

3 2

tanθ= 1

√

3

Rep.

cotθ=

√

3

Rep.

cscθ¿−2

Rep.

secθ=¿− 2

√

3¿

Rep.

tanθ=

√

3(III)cuadrante .

1+tan2θ=sec2θ

1+

(

√

3

)

❑¿

2 _sec❑ θ

√

4=secθ

−2=sec θ

Rep.

csc θ=−2

√

3

Rep.

cotθ= 1

√

3

Rep.

tanθ=sen θ cosθ

sinθ=cosθ .tanθ

sen θ=

(

−1 2

)

.

√

3

sen θ=−

√

3

Rep.

cosθ=−1 2

Demostrar a través de las

identidades fundamentales el valor

exacto

cos 75° ≡cos(45°+30°)

Se aplica (A+B) = Cos A . Cos B – Sen A . Sen B = Cos 45° . Cos 30° – Sen 45° . Sen 30°.

¿

√

2 2 .

√

3 2 −

√

2 2 .

√

1 2

¿

√

6 4 −

√

2 4

cos 75°=

√

6−

√

2 4

Rep.

cos 15° ≡cos(45°−30°) Cos A . Cos B + Sen A . Sen B Cos 45°. Cos 30° – Sen 45° . Sen 30°.

¿

√

2 2 .

√

3 2 +

√

2 2 .

√

1 2

¿

√

6 4 +

√

2 4

cos 15°=

√

6+

√

2 4

Rep.

cos 7,5°≡cos

(

15 2

)

Se aplica con: cos A 2=

√

1+cosA

¿

√

1−cos 15

2 =

√

1 1−

√

6+

√

2 4

2 =

√

4−

√

6−

√

2 4 2 1

=

√

4−

√

6−

√

2 8

Rep.

sin 105°≡sin(60°+45°)

Se aplica: sen (A+B) = Sen A. Cos. B + Sen B . Cos A. Sen 60°. Cos. 45° + Sen 45° . Cos 60°.

¿

√

3 2 .

√

2 2 +

√

2 2 .

√

1 2

¿

√

6 4 +

√

2 4

sen105°=

√

6+

√

2 4 .

Rep.

sen15° ≡sin(45°−30°)

¿

√

3 2 .

√

2 2 −

√

2 2 .

1 2

sen15°=

√

6−

√

2 4

Rep.

sen120° ≡ s∈(90+30°)

Se aplica: sen (A+B) = Sen A. Cos. B + Sen B . Cos A. Sen 90°. Cos. 30° + Sen 30° . Cos 90°.

Entonces que : Sen 90° = 1 Cos 90° = 0

Resolviendo:

¿1.

√

3 2 +

E

P=

PARED

sen120°=

√

3 2

Rep.

A la tangente del ángulo alfa (

∝

) que

forma la escalera con el suelo se

llama pendiente de la escalera, se

sabe que la longitud de la escalera

es de cinco (5) metros (m), y que el

valor de la pendiente es de 2,23.

tan∝=PENDIENTE .→tan∝=2,23 →_∝=tan−1(2,23)→∝=65,84°

REP.

A ¿Cual es la distancia que hay entre el pie de la escalera

y la pared?

cos 65,84°=CA

H →cos65,84°= X

5m→ X=5m.cos 65,84°

X=2,05m

REP.

B ¿A que altura sobre el suelo esta situada el extremo E,

de la escalera?

sen65,84°=CO

H → sen65,84°= P

5m→ P=5m. sen65,84°

P=5m .(0,91) P=4,55m

REP.

Elabore un cuadro de resumen de

las ecuaciones para determinar el

perímetro, el área, y el volumen de

la diferente figura y, cuerpo

geométrico.

Área y perímetro

Nombre Área Perímetro

Triángulo

Triángulo equilátero

Rombo

Rectángulo

Paralelogramo

Trapecio

Pentágono regular

Polígono regular

Polígono regular

Nombre Área Longitud

Circunferencia no tiene

Círculo

Volumen

Nombre Volumen

Cubo

Tetraedro

Cilindro

Cono

Esfera

Esferoide

Elipsoide

Toroide

Establezca la unidad de medidas de

masa, longitud, área ó superficie,

volumen o capacidad.

Masa:

es la cantidad de materia que poseen los cuerpos, la cual está constituida por átomos que se encuentran ubicados en el núcleo de éstos. La masa tiene como unidad estándar al kilogramo (kg),

Nombre Símbolos Equivalencia

Kilogramo Kg 1.000g

Hectogramo Hg 100g

Decagramo Dg 10g

Gramo G 1g

Decigramo dg 0,1g

Centigramo Cg 0,01g

Miligramo Mg 0,001g

Longitud:

Nombre Símbolos Equivalencia

Kilometro Km 1.000m

Hectómetro Hm 100m

Decámetro Dm 10m

metro m 1m

Decímetro dm 0,1m

Centímetro Cm 0,01m

Milímetro Mm 0,001m

Área o superficie:

Se conoce como metro cuadrados (m2_{); patrones establecidos mediante}

acuerdos para facilitar el intercambio de datos en las mediciones cotidianas o científicas y simplificar radicalmente las transacciones comerciales.

Nombre Símbolos Equivalencia

Kilometro cuadrados Km2 _1.000.000m2

Hectómetro cuadrados Hm2 _10.000m2

Decámetro cuadrados Dm2 _100m2

Metro cuadrados m2 _1m2

Decímetro cuadrados dm2 _0,01m2

Centímetro cuadrados Cm2 _0,0001m2

Milímetro cuadrados Mm2 _0,000001m2

Volumen:

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.

Kilometro cúbico Km3 _{1.000.000.000m}3

Hectómetro cúbico Hm3 _1.000.000m3

Decámetro cúbico Dm3 _1.000m3

Metro cúbico m3 _1m3

Decímetro cúbico dm3 _0,001m3

Centímetro cúbico Cm3 _0,000001m3

Milímetro cúbico Mm3 _0,000000001m3

¿Cuál es el área de un trapecio cuya

base mayor mide quince (15)

centímetro (cm), la base menor

mide dos tercios

₍

2₃

₎

de la mayor y la

altura mide cuatro (4cm)

centímetros?

Datos

A=1

2h .(B+b)→ A= 1

24cm .(15cm+10cm)=

A=2cm.(25cm)→ A=50cm2❑

REP.

B=15 cm

h

El área de un rombo mide

doscientos sesenta (260)

centímetros cuadrado (cm

2

_{), si la}

diagonal menor del rombo mide

diez (10) centímetros (cm), ¿Cuánto

mide la diagonal mayor y su

perímetro?

Datos A=D . d

2 → D= 2. A

d → D=2.260cm

2

❑ 10cm =

D=520cm

2

10cm → D=52cm

REP.

DIAGONAL MAYOR MIDE: 52 cm.

CALCULANDO EL PERÍMETRO:

C=

_√

a2_+b2

❑ → C=

√

(10)2+(52)2❑ =

C=

√

100+2704 → C=

√

2804 = C = 59,95 cm P=4.52,95CM → P=211,81cm P≡4= números de las dos del ROMBO

PERÍMETRO ES: 211,81.

¿Calcular el área y el perímetro de

un triangulo cuya base mide ocho

(8) centímetros (cm) y la altura

mede cinco (5cm) centímetro?

a

d

c

a= 10 cm.

b= 52 cm c= ?

b

D

A= 260 cm

2_.

A=b . h 2 →

8cm .5cm

2 → A= 40cm2

2

=

A=20cm2

Rep. El área es igual a:

20cm2

C=

√

a2+b2❑ → C=

√

(5)2+(4)2❑ =

C=

√

25+16 → C=

√

41 = C = 6,40 cm P=8cm+6,40cm+6,40cm → P=20,8cm

El Perímetro es igual a: 20,8 cm.

¿Cual es el área de un triangulo

cuya medidas son: ocho, seis y siete

(8; 6; 7) centímetros (cm), de

longitud de cada uno de sus

lados. (Cuatro (5) métodos

para la resolución del

ejercicio?

1ER _MÉTODO

I. HALLAMOS “∝” POR LA LEY DEL COSENO.

62

=82+72−2.8.7 cos∝→36=64+49–112.cos∝=¿ ¿

cos∝=¿36−64−49

−112 →cos∝= −77

−112¿ → cos∝=0,6875=¿ ¿ ∝=cos−1(0,6875)→∝=46,56°

Rep.

7cm

a

c

8cm

b

6cm

h

II. LA FIGURA QUEDA

sen46,56°= h

7cm→ h=7cm. sen46,56°=¿ ¿

h=¿7cm . (0,73) → h=5,11cm Rep.

III. LUEGO

A=b . h

2

=

A=

8cm.5,11cm

2

→

A=20,44cm2

Rep.

2DO _MÉTODO

RESOLVIENDO POR TALES.

I. 7cm_h = ₈6cm

−X →7(8−X)=6h III. C

OMO: m + n = 8 m

1+ 6m

7 =8 7m+6m

7 =8 13m

7 =8

13m=8 .7 13m=5 6

m=56 13 m=4,30cm

IV. POR PITÁGORAS 72 = m2+h2 72 = 4,302+h2

49❑

= 18,49❑ +h2

49❑_-

18,49❑ =h2

h= 5,11 cm. b= 8 cm A= ?

6cm

8cm

7cm

_h

46,56°

30,51=h2

√

30,51=h 5,52 cm = h

V. LUEGO QUE:

Á REA=A=b . h 2

A=8cm.5,52cm 2 A= 22,08 cm2

Rep.

4TO _MÉTODO

I. HALLAMOS “β” POR LA LEY DEL COSENO

72 = ₆2

+82−2.(6).(8)cosβ

49=36+64+(−96 cosβ)

49−36−64

−96 =cosβ

−51

−96=cosβ → 51

96=cosβ

cosβ=0,53125

β=cos−1_(0,53125)

β=57,91°

QUEDA:

X=7cm .cos 46,56°

cos 57,91°=8−X 6cm

Hallar el área de cada uno de los

siguientes polígonos regulares en

los cuales A= apotema; L= lados;

P= perímetro.

Pentágono: A= 3cm; L= 4,4 cm.

Á=perímetro . apotema

2 P=N . L→

I. HALLAMOS PERÍMETRO “P” II. CALCULAMOS EL ÁREA

P=N . L

Área=P . A 2 P=5 .4,4cm

Área=22cm .3cm

2 → Á= 66cm2

2

P=22cm

Área=33cm2

Decágono: A= 5,7cm; L= 3,7 cm.

Á=perímetro . apotema

2 P=N . L→

I. HALLAMOS PERÍMETRO “P” II. CALCULAMOS EL ÁREA

Donde N= número de lados

Donde N= número de lados

Datos: Área = ? A =3cm L = 4,4cm

P=N . L

Área=P . A 2 P=10 .3,7cm

Área=37cm.5,7cm

2 → Á=

210,90cm2 2

P=37cm

Área=105,45cm2

Heptágono: P= 63cm; A= 9,6cm.

Á=perímetro . apotema

2 P=N . L→

II. HALLAMOS LADOS “L” II. CALCULAMOS EL ÁREA

POR CONSIDERACIÓN.

L= P

N

Área=P . A 2

L=63CM 7

Área=63cm .9,6cm

2 → Á=

604,80cm2

2 L=9cm

Área=302,40cm2

Datos: Área = ? A = 9,6cm P = 63cm

Hexágono: A= 1,8cm; L= 3 cm.

Á=perímetro . apotema

2 P=N . L→

III.HALLAMOS PERÍMETRO “P” II. CALCULAMOS EL ÁREA

P=N . L

Área=P . A 2 P=6.3cm

Área=18cm .1,8cm

2 → Á=

32,40cm2 2

P=18cm

Área=16,20cm2

Se desea llenar un tanque de forma

cilíndrica, si su radio mide cero con

setenta y cinco (0,75) metros (m), y

la altura de uno con setenta y cinco

(1,75) metros (m). Determinar el

volumen de líquido que contendrá.

Donde N= número de lados

Datos: Área = ? A = 1,8cm L = 3cm

V=π . r2h

V=3,14.(0,75m)2.1,75m

V=3,14.0,5625m2.1,75m

V=3,0909m3

Se

quiere pintar un tanque de forma

cilíndrica, si su radio es diez (10)

metros (m), y su altura quince (15)

metros (m), si un galón de pintura

alcanza para veinticinco (25) metros

al cuadrado (m

2

_{), ¿Cuántos galones}

se necesitan para pintar el tanque?

I. CALCULAR LA SUPERFICIE DEL CILINDRO.

l

o¿2π . r

l

o¿2. 3,14 . 10m →

l

o¿ 62,8 m

II. CALCULAR EL ÁREA DEL CILINDRO.

A=superficie . altura

A=62,8m.15m=942m2→ A=942m2

II. CALCULAR LA CANTIDAD DE GALONES POR LA REGLA DE 3.

1 GALÓN 25 m2 _X=942m

2

.1GALÓN

25m2 → X=37,68GALONES

X 942 m2 _{CANTIDAD A ÚTILIZAR: 37,68 GALONES.}

El borrador del profesor es un

paralelepípedo de longitud diez,

Datos: V = ? r = 0,75 m h = 1,75 m

h

Datos: G = ? r = 10 m h = 15 m

h

cuatro y seis (10; 4; 6) centímetros

(cm) ¿calcular el espacio que ocupa

y el área total del mismo? (cm).

I. CALCULAR EL II. CALCULAR EL ÁREA DEL CILINDRO. ESPACIO DEL CILINDRO.

A=2(ab+bc+ac) V=a . b .c

A=2(10cm .4cm+4cm .6cm+10cm .6cm) V=10cm.4cm.6cm A=2

(

40cm2+24cm2+60cm2

)

V=240cm3

A=2

(

124cm2

)

A=248cm2

Conclusión

Modelo del proceso de investigación trigonométricas; se centra en los modelos de grandes personajes para la definición de una acción investigativa en la trayectoria de practicar la resolución de sistema trigonométricos, en un gran número de estos experimentos de los modelos es necesario, para su tratamiento matemático, cuantificar los resultados analíticos de modo que se asigne un análisis reflexivo en cada uno de estos ejercicios.

Bibliografía Electrónica

Disponible en la web:

 http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

 http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo

 http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

 http://www.monografias.com/trabajos36/poligonos-triangulos/poligonos-triangulos.shtml

 http://www.vitutor.com/geo/eso/as_1.html

 http://www.escolares.net/trabajos_interior.php?Id=206

 http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal referencia bibliográficas: Dantzig, Tobías (1971). El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana. (Traducido de la cuarta edición en inglés).

 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno

 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno. referencia bibliograficas: Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). «Al-Kashi's Impractical Method of Determining the Solar Altitude» Journal for the History of Arabic Science Aleppo. Vol. 3. n.º 2. pag 219-227.

 Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en inglés). Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.

 Consulta realizada el 25, 27 y 29 de enero de 2010.