Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de iluminación y de oscuridad para la caracterización de células solares

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN. TESIS DOCTORAL. NUEVOS PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS DE LOS DATOS CORRIENTE-TENSIÓN DE ILUMINACIÓN Y DE OSCURIDAD PARA LA CARACTERIZACIÓN DE CÉLULAS SOLARES. Mama HAOUARI-MERBAH Licenciada en Ciencias Físicas 2011.

(2) UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID Instituto de Energía Solar Departamento de Electrónica Física Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación. TESIS DOCTORAL. Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de iluminación y de oscuridad para la caracterización de células solares. AUTORA: Mama HAOUARI-MERBAH Licenciada en Ciencias Físicas DIRECTORES: José María Ruiz Pérez Doctor en Ciencias Físicas Ignacio Tobías Galicia Doctor Ingeniero de Telecomunicación. 2011.

(3) Tribunal nombrado por el Magfco. Y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Madrid. PRESIDENTE:. VOCALES:. SECRETARIO:. SUPLENTES:. Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis en Madrid, el día ___ de _____ de 200__. Calificación: EL PRESIDENTE. EL SECRETARIO. LOS VOCALES.

(4) ÍNDICE GENERAL Resumen……………………………………………………………………...... Summary…………………………………………………………………… ..... Lista de símbolos……………………………………..…………………… ....... i v ix. Capítulo 1 1.1 Introducción .................................................................................................. 1.2 Objetivos de la tesis ...................................................................................... 1.3 Plan de la tesis............................................................................................... 1.4 Estado del arte ................................................................................................ 3 5 5 7. Capítulo 2. Aspectos generales del ajuste por mínimos cuadrados 2.1 Introducción .................................................................................................. 2.2. Planteamiento general del problema ............................................................ 2.3. Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados ..................................... 2.3.1. Las desviaciones medidas sobre la normal a la curva modelo ............. 2.3.2. El error estándar del ajuste ................................................................... 2.4. Ajuste por mínimos cuadrados en el caso lineal .......................................... 2.5. Ajuste no lineal. Tratamiento matricial iterativo ......................................... 2.6. Matriz dinámica del sistema ........................................................................ 2.7. Matriz estática .............................................................................................. 2.8. Resolución mediante proceso iterativo. El problema de la convergencia ... 2.8.1 Convergencia y no convergencia .......................................................... 2.8.2 Soluciones a la no convergencia ........................................................... 2.9. Propiedades de M (y M-1)............................................................................. 2.9.1. Relación entre menores principales de orden menor o igual que dos de M y M-1. Obtención por partición……………… ................................. 2.9.2 Elementos diagonales: menores principales de orden 1 ........................ 2.9.2.1. Significado en la matriz M dinámica ....................................... 2.9.2.2. Significado en la matriz M estática ......................................... 2.9.2.3. Significado de un elemento diagonal de la matriz M-1 estática 2.9.3 Elementos no diagonales, menor principal de orden 2 ......................... 2.9.4 Matrices “normalizadas” o de correlación ............................................ 2.9.4.1 Definición ................................................................................. 2.9.4.2 Cálculo de matrices................................................................... 2.10. Cálculo de la incertidumbre ....................................................................... 2.11. Conclusiones ............................................................................................... 17 17 18 21 24 26 28 29 32 33 33 35 37 37 39 40 40 41 43 46 46 47 49 52. Capítulo 3. Ajuste de curvas I-V de iluminación: 3.1. Introducción ................................................................................................. 3.2. El modelo de la célula solar en iluminación ................................................ 3.2.1. Modelos eléctricos de la célula iluminada. Definiciones de parámetros. 57 59 59.

(5) 3.2.2. El modelo convencional de una célula en iluminación ........................ 3.2.3. El modelo de dos exponenciales en iluminación ................................. 3.2.4. Rangos de validez física de los parámetros sin normalizar.................. 3.2.5. Normalización de variables y parámetros ............................................ 3.2.6. Definición del modelo normalizado de dos exponenciales .................. 3.2.7 Rangos de validez física de los parámetros normalizados .................... 3.3. Mínimos cuadrados basados en la distancia ortogonal ................................ 3. 4 Desarrollo del procedimiento de ajuste ....................................................... 3.4.1 Juego de parámetros iniciales. División en zonas ................................. 3.4.2 Resolución del sistema matricial (obtención de Δpl) ............................ 3.5. Ejemplo de ajuste ......................................................................................... 3.5.1 Cálculo de los elementos de la matriz con derivadas completas .......... 3.5.2 Cálculo de los elementos de la matriz con derivadas aproximadas ...... 3.5.3. Ajuste con el modelo de una exponencial ............................................ 3.6. Otros Resultados y Ejemplos ....................................................................... 3.6.1. Resultados ............................................................................................ 3.6.2. Comentarios ......................................................................................... 3.7.Conclusión ..................................................................................................... 61 62 63 63 64 66 67 70 70 73 77 78 87 88 90 90 100 106. Capítulo 4. Criterios de ajuste 4.1. Introducción ................................................................................................. 4.2. Relaciones de correspondencia experimento-modelo y expresiones de la desviación............................................................................................ 4.2.1. Introducción ......................................................................................... 4.2.2 Desviación sólo en corriente ................................................................. 4.2.3 Desviación combinada por tramos ........................................................ 4.2.4 Distancia sobre la normal a la curva modelo ........................................ 4.3. Ejemplo de resultados con distintos criterios de ajuste ............................... 4.3.1 Resultados ............................................................................................. 4.3.2 Comentarios .......................................................................................... 4.4. Conclusiones ................................................................................................. 109 110 110 111 114 116 117 117 120 122. Capítulo 5. Ajuste de curvas I-V de oscuridad 5.1. Introducción ................................................................................................. 5.2 Modelo normalizado de dos exponenciales .................................................. 5.3. El criterio ortogonal en representación logarítmico-lineal .......................... 5.4 Desarrollo del procedimiento de ajuste ........................................................ 5.4.1 Expresiones para el ajuste inicial .......................................................... 5.4.2 Expresiones para el ajuste por mínima distancia ortogonal. Proceso iterativo ................................................................................... 5.5 Aplicación del método iterativo .................................................................... 5.6. Otros Resultados y Ejemplos ....................................................................... 5.6.1. Resultados ............................................................................................ 5.6.2. Comentarios ......................................................................................... 5.6.3. Comparación de una célula , Cz, en iluminación y en oscuridad......... 5.7. Conclusiones ................................................................................................. 125 127 128 132 134 135 136 149 149 156 157 161.

(6) Capítulo 6. Conclusiones Conclusiones ........................................................................................................ 167. Anejos Anejo 1 A1. Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de iluminación ................................................................................................. 175. Anejo 2 A2. Derivadas paramétricas de la desviación ortogonal en el caso de oscuridad ....................................................................................................... 183. Anejo 3 A3.1.Intoducción ................................................................................................ A3.2.Incertidumbres de relaciones funcionales de parámetros .......................... A3.3 Calculo de incertidumbre en caso de iluminación ..................................... A3.4 Calculo de incertidumbre en caso de oscuridad .......................................... 189 189 192 194. Bibliografía ......................................................................... 199. Publicaciones....................................................................... 209.

(7) Resumen. El trabajo de la tesis está dedicado al desarrollo de nuevos procedimientos de caracterización de células y generadores solares. Se procede a ajustar datos experimentales a curvas calculadas con el fin de extraer los parámetros que mejor representen el comportamiento del dispositivo de acuerdo con el modelo preestablecido, determinar sus errores estándar y medir la bondad del ajuste. En el Capítulo 1 se introduce el tema de los ajustes paramétricos de características de corriente-tensión de células solares: su filosofía y objetivos, métodos y dificultades son presentados en el estado de arte. También se introducen las ecuaciones de los modelos de generadores fotovoltaicos: con una y dos exponenciales, sin y con resistencias, explícitos e implícitos, con coeficientes de idealidad fijos o variables. En el Capítulo 2 se presenta el ajuste por mínimos cuadrados, que en el caso que nos ocupa consiste en la minimización de la distancia cuadrática entre la característica I-V experimental y la curva calculada de células solares en los casos de iluminación y de oscuridad. Para ello se ha desarrollado un procedimiento iterativo cuyos aspectos matemáticos se describen en este capítulo. Los resultados de este capítulo constituyen la herramienta principal para abordar las diferentes situaciones contempladas a lo largo de la tesis. Definido el error estándar del ajuste de forma que caracterice adecuadamente la distancia media entre la curva y los puntos experimentales, se busca el conjunto de parámetros que lo hace lo más pequeño posible. Este error estándar del ajuste se compone con las contribuciones de los errores o desviaciones individuales de cada punto experimental respecto a la curva teórica. Se trata de un problema de minimización con funciones implícitas y no lineales que se aborda con un proceso iterativo basado en el método de Newton, en cada paso del cual se resuelve un sistema de ecuaciones lineales expresado en forma matricial. Aquí se estudian las propiedades de las matrices de los sistemas y su repercusión en la estabilidad del proceso. Estas matrices, junto con el error del ajuste, también contienen la información sobre los errores estándar, o incertidumbres, que afectan a los parámetros extraídos. A partir de ellas se deriva la matriz de covarianzas. i.

(8) Se describe en este capítulo el criterio de la distancia ortogonal (RDO) a la curva modelo. Este criterio parece el más adecuado en todas las situaciones, aunque debido a su compleja formulación frecuentemente se prefiera usar criterios basados en la distancia vertical. En el Capítulo 3 se expone y aplica el método para el caso de las características corriente – tensión de iluminación. Se trabaja con parámetros normalizados. Como ilustración, se ajustan y extraen los parámetros físicos para varios dispositivos de diversos tamaños y tecnologías de fabricación. Se describe en este capítulo una aproximación a la distancia ortogonal que puede ser aplicada a características representadas en coordenadas lineales. Se han derivado expresiones aproximadas para el cálculo de las desviaciones con lo que se supera la principal desventaja del criterio de la distancia ortogonal que es la dificultad de su implementación. Esas aproximaciones consisten en asignar un peso w a la desviación en cada punto, dependiendo de la pendiente de la curva. Esta formulación incluye el criterio de distancia vertical, que correspondería a un peso siempre igual a uno. Todo esto aligera la escritura del formalismo matemático. Se encuentra que el método basado en esta aproximación funciona muy bien en la determinación del conjunto de cinco parámetros que minimizan la distancia ortogonal. La convergencia del proceso iterativo es rápida. La matriz de covarianzas se usa como fuente de información sobre el desarrollo del proceso iterativo y sus posibles problemas de convergencia, así como sobre los errores estándar (incertidumbres) y las correlaciones entre los parámetros. En el Capítulo 4 se han presentado diferentes criterios para calcular el error estándar del ajuste, compararlos y justificar la elección de uno de ellos. Se comparan tres criterios: el más usado por su simplicidad, el de la distancia vertical, un criterio combinado por tramos que es una primera aproximación al de la distancia ortogonal y, por fin, este último en su versión simplificada. El criterio de la distancia ortogonal se revela como el más apropiado porque conduce a los errores de ajuste más bajos y no tiene especiales dificultades de aplicación, además de tener en cuenta todos los posibles errores experimentales, sean de corriente o de tensión.. ii.

(9) En el Capítulo 5 se aplica el procedimiento a la extracción de cuatro, cinco o seis parámetros de la célula solar a partir de medidas de la característica I-V de oscuridad. En primer lugar, el criterio RDO se ha adaptado a características representadas en coordenadas semi-logarítmicas. El método se ha estructurado usando el modelo de una y dos exponenciales con factores de idealidad fijos o variables, de forma que se van obteniendo parámetros significativos asegurando lo más posible la estabilidad del proceso. Se encuentra que debido a las fuertes correlaciones entre parámetros es muy difícil extraer seis de ellos mediante minimización del error. El juego de parámetros con el que iniciar el proceso iterativo es muy importante pues puede llevarlo a regiones alejadas del óptimo. Aquí, como en el Capítulo 3, se ha utilizado un método para su obtención, basado en ajustes parciales y en tramos restringidos, que se ha revelado muy efectivo. La tesis concluye con los resultados más relevantes y la perspectiva de trabajos futuros.. iii.

(10) Summary. In this Doctoral Thesis new procedures to characterize solar cells and solar generators are developed. We proceed to fit experimental current-voltage data to calculated curves in order to extract the parameters which best represent the behavior of the device according with the assumed model, to define their standard errors and to quantify the goodness-of-fit. In Chapter 1 we introduce the problem of parametric fitting of current-voltage characteristics of solar cells: its rationale and objective, methods and difficulties are presented in the state of the art. The analytic models of solar cells and photovoltaic generators to be used in the Thesis are also presented. These models are explicit or implicit and feature one or two exponentials, with and without parasitic resistances, and with fixed or variable ideality diode coefficients. In Chapter 2 we present least squares fitting, applied in our case to the minimization of the distance between the experimental characteristic IV and the calculated curve of solar cells, in the illuminated and dark cases. For this we have developed an iterative procedure whose mathematical features are described here. The results of this chapter are the main tool to address the different situations found during the Thesis work. The standard fitting error characterizes the average distance between the theoretical curve and the experimental points, and the procedure consists in the search for the set of parameters that makes it as small as possible. The error is composed with the individual measurement errors or deviations for each experimental point with reference to the theoretical curve. An implicit, non linear minimization problem is posed that is addressed by means of a matrix iterative process based on Newton’s method of solution for non-linear equations, each step of which consists in the solution of a system of linear equations. In this chapter we study the properties of the system matrices and their importance on the process stability. These matrices, together with the standard fitting error, contain important information about the standard errors, or uncertainties, of extracted parameters. From them the covariance matrix is derived. v.

(11) In this chapter the Orthogonal Distance Regression (ODR) criterion is described. This criterion seems the best choice in different situations, but due to its complex formulation it is often preferred to use a criterion based on the vertical distance. In Chapter 3 the procedure is applied to illuminated current – voltage characteristics, working with normalized parameters. Several application examples are given where physical parameters are extracted from fitting for a variety of solar cell sizes and manufacture technologies. We describe in the same chapter an approximation to the orthogonal distance regression which can be applied when the characteristics are plotted in linear coordinates. The approximate expressions are explicit and hence the main drawback of ODR, its difficult implementation, is overcome. The approximations can be shown equivalent to assign a weight w to the deviation at each point that depends on the slope of the curve. The formulation includes the vertical distance criterion if this weight is always unity. The mathematical formalism becomes very simple. With this approximation, the iterative process converges quickly and satisfactory results are obtained. The procedure based on these approximations is very efficient at determining the five parameter set that minimizes the orthogonal distance. The convergence of the process is fast. The co-variance matrix is used as a source of information about the progress of the iterative process and its possible convergence problems, as well as about the uncertainties of the parameters and the correlations existing among them. In Chapter 4 different criteria are presented that are used to calculate the standard fitting error in order to compare them and justify the choice of one of them. We have compared three criteria: the vertical distance, which is the most widely used for its simplicity; a piecewise combined horizontal-vertical distance, that is a first approximation to the orthogonal distance, and finally this one in its simplified version. The orthogonal distance criterion is revealed as the most appropriate because – in the simplified version – has no implementation difficulties while it takes into account both current and voltage experimental errors and produces the lowest fitting errors. In Chapter 5 we apply the procedure to extract four, five or six solar cell parameters from dark current-voltage characteristics fitting. First, the orthogonal distance criterion is adapted to the semi-logarithmic case. vi.

(12) The method is structured using the one and two-exponential models with variable or fixed ideality factors, so that more significant parameters are progressively obtained, starting with four, while ensuring the stability of the process. It is generally very difficult to extract six parameters by minimizing the error because of the strong parameter correlations. The initial parameter set with which the iterative process starts is very important because it can drive the process to regions very far from the true optimum. Here, as in Chapter 3, we obtain an initial set with a method based on partial fitting of limited I-V regions which has proved very effective. This thesis concludes with the most relevant results and the prospect of future work.. vii.

(13) Lista de símbolos Añadidos a otros símbolos:. i (subíndice): i = 1,…,nd .Indicador de un valor genérico de entre un conjunto de valores que se corresponden con nd datos, puntos o resultados experimentales. Ejemplo: Hi: valor de la función H en el punto i-ésimo (asociado al resultado experimental i-ésimo) j, k (subíndices): j, k = 1,…,np. Indicadores de valores asociados a uno de entre np parámetros ordenados. Ejemplos: Sj: valor de la magnitud S asociada al parámetro jésimo. Uk,i: valor de la función Uk (parámetro k-ésimo) en el punto i-ésimo (asociado al resultado experimental i-ésimo 0 (subíndice): Indicador de valor asociado a un conjunto inicial de parámetros, {pj}0. Ejemplo: Hi,0: valor i-ésimo de la función H0 = H ({pj}0). ( ) : Valor medio de los asociados al conjunto de datos. Ejemplos: H =. 1 nd. nd. ∑H i =1. i. ; H ⋅U k =. 1 nd. nd. ∑H i =1. i. ⋅ U k ,i. ( ) ; ( ) : Vector de np componentes en fila (“bra”); en columna (“ket”). Ejemplos: S ; U i : valores Sj dispuestos en un vector fila; Uj,i en un vector columna (j = 1,…,np). Símbolos en orden alfabético (primero romano, después griego). c1, c2: Parámetro normalizado deducido de I01, I02. DM : Vector cuyas componentes son los elementos de la diagonal principal de la. matriz M. ix.

(14) (D ). M k. Componente k-ésima del vector DM. E1, E2: Abreviatura para el valor genérico de la primera, segunda exponencial de un modelo con dos exponenciales. E1SC, E2SC: Valor de E1, E2 en cortocircuito. e: Carga (absoluta) del electrón. (1,602.10-19 C). F, F(x,y,pj):. Expresión matemática de un modelo físico para la magnitud experimental y(x), con np parámetros pj. Fa: Valor (calculado) de la función modelo F correspondiente al punto Pa. En representaciones semilogarítmicas (v-lni) Fa es lnia e ia el valor calculado de corriente normalizada.. Fc: Valor (calculado) de F en un punto Pc que se corresponde, mediante algún criterio definido, con otro experimental Pe.. fj, fk: Funciones básicas (componentes de F ) del sistema matricial (j, k: 1,…,np) F’: Función derivada de F respecto de la variable combinada x’ (o v’). F’p: Función derivada de F respecto del parámetro p (p = ISC, rS,…) F’a, F'x’a, F'v’a: Valor de F’ en el punto Pa. f’j, f’k: Derivadas de funciones básicas respecto de la variable combinada v’ (j, k: 1,…,np). f’p: Función derivada de f respecto del parámetro p (p = ISC, rS,…) f’’p: Función derivada de f’ respecto del parámetro p x.

(15) G, G(y,x,pj): Expresión matemática de un modelo físico para la magnitud experimental x(y), con np parámetros pj. GP: Conductancia en paralelo (= 1/RP). gP: Conductancia en paralelo normalizada. I: Corriente del dispositivo.. Ic , Ical: Valor de corriente calculado Ie , Iexp , Imed : Valor de corriente experimental, medido. IL: Corriente generada por la iluminación. Fotocorriente. IM: Valor de normalización para corrientes en oscuridad. Típicamente será próximo al valor máximo trasladable al plano gráfico.. Iqxq , Irxr: Matrices (cuadradas) unidad de orden q, r ISC: Corriente de cortocircuito. I0: Corriente inversa de saturación de un diodo (modelo de Shockley). I01, I02: Corrientes inversas de saturación de los diodos con factores de idealidad m1 y m2, respectivamente. I-V: Referido a pares de valores de corriente y tensión representados gráficamente en forma de puntos discretos o de curva continua. i: indicador genérico asociado a un dato experimental de un conjunto ordenado de ellos hasta el número nd. xi.

(16) i, ic: corriente normalizada, calculada (mediante modelo). ia, ie: Valor de i (corriente) correspondiente al punto Pa, Pe (experimental) iL: Fotocorriente normalizada. i01 , i02: Corrientes inversas de saturación normalizadas. j, k: Indicador genérico asociado a un parámetro de un conjunto ordenado de ellos hasta el número np.. k: Constante de Boltzmann (1,381.10-23 J.K-1). k1, k2; kOC1, kOC2: Parámetros normalizados de tensión, de primera y segunda exponencial, inversamente proporcionales al respectivo coeficiente de idealidad (VM/mVt en oscuridad, VOC/mVt en iluminación).. Ln: Factor de normalización del eje logarítmico y en el caso de oscuridad. M, M : Matriz del sistema.. MN : Matriz normalizada del sistema MC, M N−1 : Matriz de correlaciones. Mk,j: Elemento k,j (fila k, columna j) de la matriz M. M11, M12, M21, M22: Matrices procedentes de una partición de M MI, M-1 M −1 : Matriz inversa de M. Salvo un factor, matriz de error o matriz de covarianzas.. MI11, MI12, MI21, MI22: Matrices procedentes de una partición de M-1 xii.

(17) m: Factor o coeficiente de idealidad, único en un modelo de una exponencial. m1 , m2: Factores de idealidad en un modelo de dos exponenciales. Por convenio: m2 > m1 nd: Número de datos (pares I-V) experimentales. np: Número de parámetros. Pe: Punto experimental genérico Pa: Punto perteneciente a una curva modelo, próximo a Pn y obtenido mediante una relación simple de correspondencia con Pe.. Pn: Punto perteneciente a una curva modelo y a la recta normal a ella que pasa por el experimental, Pe. pj: Parámetro genérico, j-ésimo de un conjunto de np parámetros. {pj}: Conjunto genérico de parámetros que deben ser optimizados {pj}0: Conjunto de valores iniciales de los parámetros {pj}MC: Conjunto de valores de parámetros optimizados según un criterio de mínimos cuadrados. q, r: Indicadores complementarios (q+r = np) de las particiones de M o MI RMS: (root mean squares, raíz de la media de los cuadrados). Salvo un factor próximo a 1, error estándar del ajuste.. RO: Resistencia dinámica (dV/dI) en circuito abierto. Permite obtener la resistencia en serie (RS) descontando la resistencia interna o intrínseca (mVt/ISC). xiii.

(18) RP: Resistencia. en. paralelo.. Habitualmente. representada. mediante. su. (conductancia) inversa, GP.. RS: Resistencia en serie. r: Parámetro genérico del desplazamiento x-x’ (de resistencia para v-v’). rS: Resistencia en serie normalizada. s: Raíz cuadrada de s2. Equivale a RMS. s2: Varianza del ajuste. Desviación cuadrática media (valor medio de los cuadrados de las desviaciones).. s2min: Mínima desviación cuadrática media. Condición de ajuste óptimo.. T : Vector término independiente del sistema matricial.. Tk: Componente k-ésima del vector T. TN: Vector término independiente normalizado T: Temperatura (absoluta, en grados K) de funcionamiento del dispositivo.. V: Tensión del dispositivo.. Vc , Vcal: Valor de tensión calculado Ve , Vexp , Vmed : Valor de tensión experimental, medido. VM : Valor de normalización para tensiones en oscuridad. Típicamente será próximo al valor máximo trasladable al plano gráfico. xiv.

(19) VOC: Tensión de circuito abierto. Vt: Tensión térmica, kT/e V': Tensión corregida. Desplazada respecto de V en una caída óhmica (RSI). v: Tensión normalizada.. vc: Tensión calculada normalizada. v' tensión corregida normalizada.. w, wi: Peso, peso local i-ésimo, aplicable a cada desviación vertical (en el plano x’-y) para convertirla a su correspondiente ortogonal aproximada.. x, y: Designaciones genéricas de las magnitudes que, en un gráfico, se representan, respectivamente, sobre el eje horizontal (de abscisas) y vertical (de ordenadas). xa, ya; Coordenadas del punto Pa xc, yc; Coordenadas de un punto genérico sobre una característica x-y modelada (calculada).. xe, ye; Coordenadas de un punto genérico experimental, Pe. xi, yi; xie, yie: Coordenadas del punto gráfico i-ésimo, representativo de una característica x-y experimental.. xic, yic: Coordenadas del punto sobre una característica modelada que se corresponde, mediante algún criterio preestablecido con el punto experimental i-ésimo.. xv.

(20) x': Variable paramétrica. Consistente en la variable x modificada por una componente lineal con y (x’ = x ± r·y). x’a, x’e: Valores de la variable paramétrica x’ correspondientes a los puntos Pa, Pe. y, ya, yc, ye: Coordenada sobre el eje vertical del punto correspondiente: genérico, Pa, Pc (calculado), Pe (experimental). En representaciones semi-logarítmicas (vlni) y es lni e i el valor experimental o calculado de corriente normalizada. α : Ángulo, respecto de la horizontal, de la recta tangente a una curva en el punto Pa.. β : Ángulo, respecto de la vertical, de inclinación del segmento Pa-Pe Δp : Vector de parámetros incrementales. δa, δai: Aproximación de δn. particularizada al punto i-ésimo. Equivalente al módulo, con signo, de εO.. δn: Distancia normal de un punto Pe a una curva modelo (distancia Pe-Pn). ε: Vector desviación de un punto experimental, Pe, respecto de su correspondiente, Pa, de la curva modelo.. εO: Vector del plano x-y representante de la desviación ortogonal (normal, aproximado) de un punto experimental, Pe, respecto de la característica I-V ajustada.. ε, εi: Desviación, respecto de la curva ajustada, de un punto experimental genérico, particularizada al punto i-ésimo (módulo de ε y signo).. xvi.

(21) εx, εy; εxi, εyi: Componentes del vector desviación ε, particularizadas al punto iésimo.. ε 2 : Desviación cuadrática media (= s2 = RMS2) φ: Función genérica de un modelo expresado en la forma: φ(x,y,pj)=0. χ2: Chi-cuadrado, función de error: suma cuadrática de desviaciones normalizadas respecto de las desviaciones estándar locales.. λ : Coeficiente reductor del vector incremental Δp utilizado para resolver problemas de convergencia. σi: Desviación estándar del dato experimental i-ésimo (yi). σ(pj): Error estándar del parámetro pj. σ(pj)/pj: Error relativo del parámetro pj. Habitualmente se expresará en porcentaje. σy: Desviación estándar del ajuste.. σ p2 : Varianza estándar del parámetro pj j. σ y2 : Varianza estándar del ajuste.. xvii.

(22) CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS.

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(24) Capitulo 1: Introducción y objetivos. 1.1.Introducción. 1.1 Introducción. “El sol, base de la vida y origen de todas las demás formas de energía utilizadas por el hombre, es en sí mismo una fuente inagotable de energía. La tierra recibe del sol cada día muchísima más energía que la que consume. Es nuestra responsabilidad usarla y liberarnos de la dependencia de los combustibles fósiles que además de ser limitados, contaminan el medio ambiente y causan problemas de estabilidad política en el tercer mundo.” [Lor06].. Con la toma de conciencia sobre el cambio climático, se prevé que el uso de las energías renovables adquiera un papel importante. Entre ellas, destaca la conversión fotovoltaica por la que la energía solar se transforma en energía eléctrica mediante un dispositivo electrónico llamado “célula solar”.. En los últimos años, gracias a los estímulos gubernamentales en ciertos países, ha aumentado espectacularmente la capacidad de producción de sistemas fotovoltaicos y la potencia instalada. Esto ha propiciado un descenso de los costes de generación de electricidad que, no obstante, están aún lejos de los medios convencionales.. Cuando la luz del sol incide sobre las células solares, los fotones de la radiación transmiten su energía al substrato semiconductor, provocando un movimiento de los electrones y huecos en direcciones opuestas que genera una corriente eléctrica en el semiconductor capaz de circular por un circuito externo para realizar un trabajo.. Para explicar el funcionamiento de la célula solar se utilizan diferentes modelos físicomatemáticos que permiten relacionar la corriente, la tensión y otras variables de funcionamiento como la iluminación y la temperatura, y predecir su comportamiento en condiciones determinadas. Estos modelos contienen varios parámetros propios de cada célula que dependen de su diseño y su proceso de fabricación. Si se conocen los parámetros para un conjunto de dispositivos fabricados, el estudio de su variación permitirá orientar la tecnología hacia unos resultados óptimos. De este modo, un exacto conocimiento de los parámetros de la célula solar es de una extrema importancia para el diseño y el control de calidad tanto de células solares como de generadores más. 3.

(25) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. complejos (módulos, paneles, ramas, etc) y para estimar su comportamiento en condiciones de operación.. El proceso de extracción de parámetros, objeto de este trabajo, consiste en la determinación de los valores de los parámetros de un modelo de célula a partir de medidas realizadas sobre ella. Muchos autores han desarrollado numerosos métodos para la caracterización de células solares a partir de mediciones que permiten averiguar el valor de los parámetros del modelo utilizado. Entre todos los métodos, los más importantes y extendidos se basan en la curva I-V que representa el comportamiento eléctrico de la célula y es fácilmente obtenible; se registra rutinariamente para células y módulos en la fábrica para control de calidad y clasificación.. Por último, hay que recalcar que un procedimiento de extracción de parámetros debe incluir i) la extracción de los valores de los parámetros propiamente dichos, ii) un análisis de los errores que afectan a estos parámetros y, por último, iii) la cuantificación de la bondad del ajuste dando el error estándar del mismo. Muchas veces, se ven publicados estudios que se limitan al punto i), lo que para nosotros carece de valor.. En este entorno, pueden señalarse tres líneas de interés para el sector fotovoltaico a lo largo de las cuales el trabajo desarrollado en la presente tesis puede presentar utilidad:. 1.- La investigación para el aumento de eficiencia o la simplificación de procesos de fabricación de las células solares. La caracterización permite identificar los fenómenos que limitan el rendimiento y poner en práctica las mejoras correspondientes. Es una actividad principal del Instituto de Energía Solar, incluyendo células de silicio, de compuestos III-V y nuevas tecnologías.. 2.- El control de procesos en fabricación. Con el aumento de la productividad de las líneas, hay una clara ventaja en disponer de una herramienta rápida de análisis de las curvas de las células o módulos que permita señalar posibles incidencias.. 3.- El análisis de los sistemas fotovoltaicos. La curva I-V de un generador fotovoltaico, formalmente igual que la de una célula, contiene la información que puede utilizarse,. 4.

(26) Capitulo 1: Introducción y objetivos. 1.2.Objetivos de la tesis. mediante la extracción de parámetros de un modelo, para calcular su productividad a lo largo de un periodo determinado y en una localización concreta.. 1.2 Objetivos de la tesis. El objetivo del trabajo propuesto consiste en el desarrollo de nuevos métodos de extracción de parámetros a partir de la característica I-V de células solares, tanto de iluminación como de oscuridad. Esto consiste en: • Estudio del problema matemático del ajuste aplicado a las curvas I-V. Se abordan los problemas generales de los ajustes no-lineales: la definición del error del ajuste, el análisis de la convergencia del proceso iterativo y la significación estadística de los parámetros extraídos, y su aplicación al caso de los modelos de curvas I-V de iluminación y oscuridad para encontrar su expresión más adecuada. • Desarrollo de herramientas informáticas. Se buscarán estrategias de optimización robustas y que permitan no sólo obtener un conjunto de parámetros que proporcionen buen acuerdo con las medidas, sino también una caracterización completa en términos de error y fiabilidad. En su implementación como herramienta informática se perseguirá la facilidad de uso y la flexibilidad, pues el objetivo es que pueda servir a los diferentes grupos del Instituto de Energía Solar y otros. • Validación del procedimiento. Mediante pruebas en células solares de diferentes tecnologías se verificará la generalidad de los modelos y estrategias de ajuste y se plantearán sus posibles extensiones.. Para conseguir estos objetivos se desarrolla la tesis según el plan que sigue.. 1.3 Plan de la tesis. Capítulo 1: Se presenta el estado del arte tras los objetivos y el plan de la tesis.. 5.

(27) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. Capítulo 2: Se introduce el procedimiento matemático que se usa durante todo el trabajo de la tesis. Tras presentar el problema del ajuste por mínimos cuadrados con ecuaciones lineales y no-lineales, se define la matriz de covarianzas y otros indicadores estadísticos de importancia. A continuación se definen los errores estándar de los parámetros a extraer, precisándose las expresiones para su obtención. Por último, se deriva una forma sencilla y explícita para el cálculo aproximado de las desviaciones ortogonales en el caso de una función general.. Capítulo 3: En este capítulo se aplican los conceptos anteriores al ajuste de características I-V de iluminación con factores de idealidad fijos minimizando la distancia ortogonal. El proceso iterativo para la extracción de los cinco parámetros del modelo resulta ser simple y de convergencia rápida y segura en una variedad de casos estudiados correspondientes a células solares de diferentes tecnologías y diferentes materiales.. Capítulo 4: Se presentan y comparan en este capítulo diferentes definiciones del error del ajuste: error en corriente, error combinado en corriente y en tensión y distancia gráfica ortogonal (normalizada). Estudiando su aplicación a una curva I-V de iluminación, se ilustran sus diferentes méritos e inconvenientes, usando los métodos de cálculo del capítulo 3.. Capítulo 5: Se ajustan características I-V de oscuridad que, en principio, contienen seis parámetros. Sin embargo, se observa que el proceso no suele ser estable debido a que aparecen correlaciones muy importantes entre diferentes parámetros, como lo indica la matriz de covarianzas. Por ello, se diseña un método de extracción de cuatro, cinco y seis parámetros estructurado y seguro para converger al mínimo deseado. En la práctica no todos los casos experimentales permiten la extracción de seis parámetros significativos.. Capítulo 6: Se presentan las principales conclusiones del trabajo realizado, así como se sugieren las líneas a lo largo de las cuales podría completarse.. En los anexos se recogen detalles matemáticos de los cálculos relativos a alguno de los capítulos. 6.

(28) Capitulo 1: Introducción y objetivos. 1.4 Estado del arte. 1.4 Estado del arte. La característica I-V de la célula solar en condiciones determinadas de trabajo, por ejemplo condiciones estándar, o un espectro y una temperatura ambiente determinados, es la medida más representativa de su calidad como generador fotovoltaico “unitario” y la más extendida y usada en los laboratorios y entornos industriales. De aquí el interés de extraer toda la información sobre las células que de ella pueda obtenerse. Por otra parte, los modelos más utilizados para explicar las medidas de la curva I-V de células solares suelen basarse en representar la corriente como suma de términos exponenciales (los asociados a diodos) y lineales (los asociados a resistencias en paralelo)[Hov75]. A continuación se recogen las expresiones de los más importantes.. El modelo de una exponencial en iluminación se escribe:. ⎡ ⎛ V + IRS I = I L − (V + IRS )GP − I 0 ⎢exp⎜⎜ ⎣ ⎝ mVt. ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ ⎠ ⎦. (1.1). Estando la tensión térmica, Vt, determinada por la temperatura, esta expresión contiene 5 parámetros propios de la célula en cuestión: La corriente de saturación inversa es I0 y el factor de idealidad m, IL representa la corriente generada por la iluminación, RS la resistencia serie y GP la conductancia en paralelo. La corriente I se toma positiva si sale por el lado p de la célula, y el voltaje V es la diferencia de potencial entre el lado p y el n.. Este es el modelo más utilizado en el campo de los sistemas fotovoltaicos, porque presenta la mayor simplicidad compatible con un ajuste suficientemente bueno, y porque en ese campo no suele ser tan importante el contenido físico de los parámetros (el de un m arbitrario puede ser problemático, por ejemplo) como disponer de una herramienta. suficientemente. precisa. para. generar. características. continuas:. extrapolación a diversas condiciones, entre ellas las estándar, etc.. El modelo de dos exponenciales de iluminación con los factores de idealidad m1 y m2 variables o fijos incluye dos funciones exponenciales del voltaje:. 7.

(29) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. ⎡ ⎛ V + IRS I = I L − (V + IRS )GP − I 02 ⎢exp⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ m2Vt. ⎡ ⎛ V + IRS ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ − I 01 ⎢exp⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ m1 Vt ⎠ ⎥⎦. ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ ⎠ ⎥⎦. (1.2). Y contiene hasta 7 parámetros, con IL, RS y GP definidos arriba. En este caso hay dos diodos caracterizados por sus respectivas corrientes de saturación, I01 e I02, y factores de idealidad, m1 y m2, variables. La versión más reducida de este modelo, con los factores de idealidad m1 y m2 fijos, contiene cinco parámetros (IL, RS, GP, I01 y I02) y es también muy utilizada. En el caso de curvas de oscuridad la expresión del modelo de dos exponenciales, con 6 parámetros (RS, GP, I01, I02, m1 y m2) será:. ⎡ ⎛ V − IRS I = (V − IRS )GP + I 02 ⎢exp⎜⎜ ⎣ ⎝ m2Vt. ⎡ ⎛ V − IRS ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ + I 01 ⎢exp⎜⎜ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ m1 Vt. ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ ⎠ ⎦. (1.3). La corriente, por convenio, es positiva ahora si entra por el terminal p.. Por último, el modelo de una exponencial en oscuridad, de 4 parámetros (equivalente al (1.1) de iluminación, con los mismos parámetros excepto IL) es:. ⎡ ⎛ V − IRS I = (V − IRS )GP + I 0 ⎢exp⎜⎜ ⎣ ⎝ mVt. ⎞ ⎤ ⎟⎟ − 1⎥ ⎠ ⎦. (1.4). Los modelos presentados en (1.2) y (1.3) son utilizados con preferencia a los (1.1) y (1.4) por los fabricantes de células solares.. Los primeros métodos descritos en la bibliografía no eran propiamente de ajuste de curvas sino de extracción de parámetros fundamentales a partir de conjuntos restringidos de los datos, y operación con ellos. Jia et al.[Jia87], [Jia88], Charles et al.[Cha88] y Appelbaum et al.[App93] se centran en la corriente de cortocircuito, tensión de circuito abierto y el punto de potencia máxima para expresar en función de ellos la relación corriente-tensión. Son ajustes sencillos y pueden especificar el. 8.

(30) Capitulo 1: Introducción y objetivos. 1.4 Estado del arte. comportamiento eléctrico de la célula, pero estos métodos no usan todos los datos experimentales y no suelen ir acompañados de los estudios estadísticos que informen sobre el grado de incertidumbre y correlación de los parámetros ajustados.. Otros procedimientos de ajuste usan todo el conjunto de datos medidos. El número de parámetros a extraer varía dependiendo del modelo que se elija.. Charles et al.[Cha81] utilizan un modelo de una exponencial (1.1) para la curva de iluminación, obteniendo diferentes parámetros internos de las células.. Kojima el al.[Koj98] estudian el comportamiento de células solares CIS con diferentes niveles de iluminación y en oscuridad usando los modelos (1.2) y (1.3). Como la resistencia serie, Rs, es un parámetro de gran importancia para la célula solar, para su obtención a partir de medidas I-V se han desarrollado métodos específicos. Entre los primeros y más conocidos se encuentra el de Wolf [Wol63], que es un procedimiento gráfico donde se extrae la resistencia serie como único parámetro a partir de dos curvas de iluminación obtenidas bajo diferente irradiancia.. El caso de la resistencia serie ilustra el hecho de que los parámetros constantes de un modelo pueden no ser adecuados para todas las condiciones de funcionamiento. Esto lo han estudiado de forma teórica Ruiz et al. [Rui82], Cuevas [Cue83] y Araujo, [Ara86] para situaciones de oscuridad o de iluminación de células solares. Aberlee et al. [Abe93] presentan en su artículo un método para la obtención de la resistencia serie (con resultados diferentes) en oscuridad e iluminación. Estas consideraciones se aplican a otros parámetros como los factores de idealidad m cuyo valor estudian McIntosh et al. [McI00].. Cuando se requiere extraer parámetros para los modelos de suma de exponenciales (1.2), el ajuste es lineal en todos los parámetros salvo en la resistencia serie y en los factores de idealidad de forma que, si éstos se consideran conocidos “a priori”, la obtención de los parámetros es directa. Sin embargo, con una ecuación en Rs no-lineal se requiere algún valor inicial, y un método recurrente para su resolución. L. Chien-. 9.

(31) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. Chih et al.[Chi08] describen este tipo de problemas de regresión no-lineal donde los valores iniciales tienen una gran importancia para lograr el mejor resultado.. Suele considerarse como mejor ajuste de un modelo (curva teórica, conjunto de parámetros) a un conjunto de datos experimentales aquél que minimiza algún tipo de norma relacionada con el conjunto de distancias (ε) entre los valores medidos y la curva teórica. En el ajuste por mínimos cuadrados estándar, la norma a minimizar es una suma de cuadrados de distancias. Y las distancias son, en el caso más habitual, proyecciones sobre la ordenada representada en el eje vertical. En otras variantes podría ser sobre el eje horizontal o sobre la dirección ortonormal (variable en cada punto).. Este tipo de ajuste tiene una interpretación estadística clara pues el conjunto de parámetros que hace mínima la distancia es el de máxima verosimilitud, es decir, el más probable para el cual el conjunto de datos experimentales representa una única muestra de valores de una función aleatoria. También hay diferentes posibilidades para la elección del criterio o de la distancia ε. Tratándose de características I-V, el valor más usado es la diferencia en corriente para voltaje constante (o distancia vertical, pues la corriente suele representarse en función del voltaje), lo que quiere decir que sólo se asumen errores en la medida de corrientes, no de voltajes. Esto se debe a que los modelos se suelen presentar como expresiones de la corriente en función del voltaje. Sin embargo, despreciar los errores de medida de la tensión, puede inducir errores aparentes de corriente importantes en las zonas de fuerte derivada (por ejemplo entre máxima potencia y circuito abierto en las características de iluminación).. Araujo et al.[Ara82] con una curva de oscuridad con dos exponenciales aplican el método de mínimos cuadrados con funciones lineales en GP, I01 e I02 considerando la resistencia serie Rs y los factores de idealidad m1 y m2 constantes. La desviación estándar utilizada ε es:. 10.

(32) Capitulo 1: Introducción y objetivos. ⎡1 ε =⎢ ⎢⎣ nd. 1.4 Estado del arte. 1. 2 ⎧ I cal (Vi ) − I med (Vi ) ⎫ ⎤ ⎥ ⎬ ⎨ ∑ I med (Vi ) i =1 ⎩ ⎭ ⎥⎦ 2. i = nd. (1.5). Siendo nd el numero de datos, Ical la corriente calculada, Imed la corriente experimental y Vi la tensión medida de cada punto experimental. El método presentado por Veissid et al. [Vei90] minimiza las desviaciones estándar de los parámetros característicos, en condiciones de iluminación o de oscuridad. Van Kerschaver et al.[Ker97] presentan en su artículo un método rápido de extracción de parámetros a partir de curvas de iluminación, con dos exponenciales (1.2), usando sólo la parte cercana al punto de máxima potencia en la curva I-V y el criterio de la distancia vertical. Ortiz-Conde et al.[Ort06] analizan una curva de iluminación de una exponencial utilizando la función de Lambert W(x) que se define como solución a ecuaciones del tipo W(x)×exp(W(x)) = x. Este tipo de solución puede ser usado directamente para estudiar células solares [Jai05a], [Jai05b] y [Cer02] . En la tesis doctoral de V.E. Martínez Santos [Mar01] se aborda la caracterización de células solares en líneas de producción de fábricas, utilizando también el criterio del error en corriente. Polman et al.[Pol85] usan el ajuste por mínimos cuadrados, el criterio del error en vertical y un modelo con dos exponenciales.. Martí et al.[Mar89] presentan diferentes curvas I-V de oscuridad y del tipo ISC-VOC para establecer una metodología para seleccionar el criterio del error y para estudiar la fiabilidad de los modelos usados. En sus procesos de ajuste, utilizan criterios de error tanto de corriente como de tensión.. Una de las soluciones propuestas (Phang et al.[Pha86]) para superar el problema de considerar sólo el error en corriente es elegir como magnitud a minimizar el área (suma algebraica de trapecios) entre la curva ajustada y la experimental.. Otro método de extracción de parámetros es el propuesto por Burgers et al.[Bur96] cuyo criterio elegido es la minimización de la suma cuadrática de distancias ortogonales a la curva, abreviadamente llamado ODR (en castellano RDO: regresión de distancias ortogonales). Se considera el más eficaz desde cualquier punto de vista. Pone en pie de 11.

(33) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. igualdad en lo que se refiere a los errores experimentales el voltaje y la corriente. En un trabajo más reciente [Bur04] aplican el ajuste por RDO a curvas correspondientes a diferentes niveles de iluminación.. El ajuste por tramos [Hao03], [Hao04] tiene en cuenta los errores en corriente o voltaje según el tramo de curva ajustado, intentando mantener la simplicidad de la formulación del criterio de distancia vertical (u horizontal). Puede usarse para obtener fácilmente primeras aproximaciones a los parámetros, posteriormente refinados mediante, por ejemplo, el criterio RDO, o bien constituir un procedimiento sustitutivo (por más simple) a éste.. Chan et al.[Cha85] realizan un trabajo de comparación entre tres métodos de extracción de parámetros utilizando esquemas de cálculo iterativos y el modelo de una exponencial.. En un estudio [Hao05] comparamos el uso del criterio de error en corriente con el RDO utilizando esos programas de ordenador MULTIV [Mar92], IVFIT [Bur96] de libre distribución y criterio combinado por tramos.. Algunos autores (Jain y Kapoor [Jai04], Ortiz-Conde et al.[Ort05]) realizan el proceso de extracción mediante métodos puramente analíticos.. A veces, la extracción de los parámetros de células solares se realiza recurriendo a simuladores de dispositivos que incorporan modelos detallados del funcionamiento físico. Por ejemplo, el programa PC-1D [Bas88], usado con profusión en el contexto fotovoltaico, sirve para reproducir resultados de experimentos concretos y obtener información de algún parámetro interno, pero no se trata de procesos de ajuste de características terminales en el sentido estricto.. Muchos de los trabajos presentados no realizan un análisis estadístico de los resultados, es decir, de la incertidumbre que afecta a los parámetros obtenidos o la adecuación del modelo empleado. Existen numerosos estudios sobre el tema en la literatura matemática, especialmente para la regresión lineal por mínimos cuadrados. En nuestro caso se suman varias complicaciones: la forma implícita de las ecuaciones del modelo, 12.

(34) Capitulo 1: Introducción y objetivos. 1.4 Estado del arte. la no linealidad de éstas con los parámetros a extraer y la hipótesis de error experimental en las dos magnitudes medidas (I y V).. R. de Levie [Lev07] presenta en su artículo los fundamentos del método de los mínimos cuadrados así como una breve historia del mismo, que está ya documentado en el año 213 en China; en Europa aparece en torno a 1700 y llega a denominarse método de Gauss por las contribuciones de éste.. La formalización con matrices del método de mínimos cuadrados es introducida por Arthur Cayley, produciéndose un avance notable en el tema. También de Levie en el artículo antes citado considera la descripción con matrices y el significado de la aparición de matrices singulares así como la interpretación del cero en los cálculos realizados con ordenador.. Diferentes artículos [Ree89], [Ros92], [Lyb84] en la revista American Journal of Physics estudian y presentan métodos de mínimos cuadrados cuando las dos variables están afectadas de errores, cuando el sistema de ecuaciones es no lineal y cuando las funciones son implícitas.. Los parámetros que se obtienen por el método de los mínimos cuadrados son evidentemente inexactos porque se han determinado a partir de un conjunto finito de datos y porque el proceso de medida proporciona datos con un cierto grado, intrínseco, de incertidumbre.. Determinar los parámetros incluye estimar y analizar los errores que los aquejan, lo que constituye un problema con una enorme dificultad que requiere todos los instrumentos de la estadística matemática.. El estudio estadístico expuesto en el libro de Sánchez del Rio [San89] sobre los errores estándar y su análisis estadístico se basa en la función de error llamada χ2 (chicuadrado), y se desarrolla para ajuste lineal con error en una variable.. El problema es más complicado si se quiere llegar a cuantificar la bondad de un ajuste cuando las ecuaciones son no lineales, caso abordado en el libro Numerical Recipes 13.

(35) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. [Pre92]. Su capítulo 15 trata diferentes ajustes de curvas, incluyendo el código para su implementación. El ajuste no lineal está bastante desarrollado, y se presenta como la búsqueda del mínimo de la función de error χ2 respecto a todos los parámetros a extraer. Las ecuaciones del sistema se representan con una matriz que en muchos casos es casi singular y cuya inversión plantea problemas. Para resolverlos se propone un método (SVD, Singular Value Decomposition) que consiste en la descomposición de la matriz buscando el elemento (parámetro) que presenta una más alta correlación con alguno de los restantes.. 14.

(36) CAPÍTULO 2 ASPECTOS GENERALES DEL AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS.

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(38) Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste …. 2.1 Introducción. 2.1 Introducción. Se ha planteado el problema del ajuste por mínimos cuadrados en los casos de ecuaciones lineales y no-lineales. Este último caso es el de mayor interés para los objetivos de esta tesis y el que presenta dificultades mayores, tanto matemáticas como de interpretación y, sobre todo, numéricas. En este capítulo se presenta el proceso matemático generalizado que se aplicará a lo largo de la tesis en diferentes situaciones, y que por tanto servirá muchas veces de referencia en los próximos capítulos.. La resolución de ecuaciones no-lineales con un elevado número de incógnitas necesita un proceso iterativo cuya convergencia es muy problemática. El estudio realizado se basa en la matriz del sistema linealizado de ecuaciones, que va modificándose en cada iteración. Su análisis permite señalar las causas por las que la convergencia del proceso se pierde y sugiere posibles soluciones para recuperarla. Dos son los motivos fundamentales para el descarrilamiento de la convergencia: la lejanía de las variables iniciales al mínimo buscado y un número excesivo de variables que, por tanto, exhiben altos grados de correlación mutua. Las soluciones pasan por la disminución del número de variables y/o la continuación del proceso de minimización en conjuntos limitados de variables según indique el análisis de la matriz del sistema. Estas soluciones se usarán para los ajustes de las medidas de células solares presentados en los capítulos siguientes.. 2.2. Planteamiento general del problema. Sea un conjunto de pares de valores experimentales (xi, yi; i=1, 2,…, nd) correspondientes a dos magnitudes físicas x e y relacionadas. Por ejemplo, x puede ser la tensión V en bornes de un dispositivo e y la corriente I circulante, o viceversa. O x puede denotar la longitud de onda, o el coeficiente de absorción, e y la respuesta espectral, o la eficiencia cuántica, etc. Sea φ(x,y,pj) = 0 la expresión matemática de un modelo físico con np parámetros (pj, j=1,2,…, np) que se supone representa adecuadamente el comportamiento experimental del sistema. Frecuentemente, esa expresión se escribirá en las formas y = F(x,y,pj) o. 17.

(39) Tesis doctoral: Nuevos procedimientos de análisis de los datos corriente-tensión de…. incluso en la x = G(y,x,pj), no necesariamente explícitas como se indica por la presencia de una variable a ambos lados del signo de igualdad.. A menudo, las dependencias de F o G con los parámetros pj serán no lineales, es decir, F o G no consistirán, necesariamente, en combinaciones lineales de funciones independientes, siendo los parámetros los factores de escala de esas funciones, sino que algunos de ellos podrán entrar en la propia definición de las funciones.. El objeto de este capítulo es la descripción general del procedimiento utilizado para extraer los valores concretos de los parámetros pj que mejor representan el comportamiento del dispositivo de acuerdo con el modelo preestablecido, obteniendo la función concreta φ(x,y,pj) = 0 que mejor se ajusta, según algún criterio a determinar, a los datos experimentales.. Hay que tener en cuenta, además, que los pares experimentales están afectados por errores de medida y constituyen solamente una posible realización del experimento, una muestra estadística de resultados que, por ello, contienen un cierto grado, desconocido a priori, de incertidumbre. Esta incertidumbre se trasladará a los parámetros extraídos. Ningún procedimiento de ajuste está completo si no proporciona información sobre la incertidumbre con que se conocen los parámetros obtenidos.. 2.3. Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados. La pregunta de qué juego de parámetros es mejor que los demás debe formularse de forma que pueda cuantificarse. Intuitivamente, se trata de hacer que la curva correspondiente pase lo más cerca posible de los puntos. Así, hay que definir una magnitud s, que llamaremos error estándar del ajuste, que caracterice adecuadamente la distancia entre la curva y los puntos y se buscará el conjunto de parámetros que la hace lo más pequeña posible.. Este error estándar del ajuste se compone con las contribuciones de los errores o desviaciones individuales de cada punto experimental respecto a la curva teórica. Llamaremos εi a esta desviación, que será una distancia en el plano x-y y que puede definirse de diferentes maneras, como ilustra la Figura 2.1. 18.

(40) Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste …. 2.3 Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados. Las figuras a y b son representativas de criterios de distancia horizontal o vertical (ver Capítulo 4). La más habitual (parte a de la figura) es la distancia entre la ordenada medida y la calculada para el valor experimental de la abscisa: se mide la distancia vertical entre el punto y la curva. Así, vemos que la definición de la desviación, es decir, del criterio con el que valoraremos los parámetros, consiste en 1) establecer la correspondencia de cada punto experimental, (xi,yi) con un único punto calculado (xci,yci), es decir, que satisfaga la condición del modelo φ(xci,yci,pj) = 0, y 2) medir la distancia entre los dos, que suele tomarse sobre la recta que los une.. Dependiendo del criterio adoptado, para un mismo conjunto de datos experimentales y un mismo modelo se pueden originar distintos planteamientos y obtener diferentes resultados concretos, es decir, conjuntos de parámetros. Todos los resultados son igualmente válidos desde un punto de vista matemático, en cuanto a que son acordes con los criterios adoptados, pero se preferirán unos a otros precisamente por la idoneidad del criterio. Se tratará esta cuestión con cierta profundidad, para el caso concreto de la curva I-V de la célula solar.. 19.

(41) Tesis docctoral: Nuevoss procedimien ntos de análisiis de los datoss corriente-ten nsión de…. b. A. y1c,x1c. y. y2,x2. ε1. 1. ε2. y. y1,x1. ε1. y2c,xx2c. ε2. 1c. ε1 1e. 2e. 2cc 3c. ε33ee 4e. x. x. c. ε4 4c. 1. D. 2e. 1. y. ε2. 1c. ε1 1e. 2c 3c. ε33e 4e. x. 4 ε4 4c. 1. e Figura 2.1 Diferenntes criterioos para la definición dee la desviacción εk, conn signo, de un punto p experiimental (xk,yyk) o ke respecto de la curva teóriica sobre a)) rectas verticalees, b) horizzontales, c)) rectas de correspond dencia obliccua pero diistancia vertical d) rectas que q pasan por el origgen y e) no ormales a laa curva. Ell punto calculaddo sobre la curva c es (xkc mplemente, kc k ,ykc) o, sim. 20.

(42) Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste …. 2.3 Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados. 2.3.1. Las desviaciones medidas sobre la normal a la curva modelo. Aunque la discusión sobre la idoneidad de los diferentes criterios se realizará en el Capítulo 4, se describe aquí el criterio de la distancia ortogonal a la curva modelo con objeto de aplicar algunos desarrollos posteriores a un caso concreto. La elección del criterio podría estar simplemente fundada en la comodidad de desarrollo y cálculo de las expresiones resultantes en uno u otro caso. Sin embargo, el criterio de la distancia ortogonal debería ser considerado el más eficaz desde cualquier punto de vista.. A continuación se presenta brevemente este criterio y una aproximación explícita a su valor.. Es bien sabido que la distancia más corta de un punto, Pe (xe, ye), a una curva plana de expresión implícita φ(x,y) = 0 que no lo contiene es aquella medida sobre la normal a la curva que pasa por el punto. Esta es la distancia normal o, simplemente, la distancia del punto a la curva. En particular, la distancia normal es menor que cualquiera de las dos distancias medidas sobre el eje y (que a menudo llamaremos distancia vertical, con x=xe) o sobre el eje x (distancia horizontal, con y=ye). Si x e y son en origen magnitudes físicas con dimensiones convendremos que han sido normalizadas (por ejemplo, respecto de sus correspondientes fondos de escala) para poder tratar con distancias adimensionales en los gráficos.. Todo ello hace atractiva para el ajuste y extracción de parámetros por mínimos cuadrados la consideración de criterios basados en la desviación según la normal. Ésta sería aquí la distancia normal con signo, positivo o negativo, asignado coherentemente. A continuación se analizan las dificultades operativas de este criterio y las simplificaciones que pueden hacerlo tratable.. La base del proceso de ajuste está en la obtención de expresiones derivables (al menos en primer orden) de las desviaciones individuales. En esto radica la dificultad fundamental de este caso: el punto Pn, perteneciente a la curva y a su normal desde uno experimental, Pe, sólo suele obtenerse de forma precisa mediante aproximaciones sucesivas pues el problema planteado en la mayoría de los casos no puede resolverse analíticamente. 21.

(43) Tesis docctoral: Nuevoss procedimien ntos de análisiis de los datoss corriente-ten nsión de…. La Figuura 2.2 esquuematiza un caso particcular de la función f moddelo que se supone sem miexplícitaa en y: y = F (x′, p j ). x′ = x − r ⋅ y. conn. (2.1). Donde r es uno de los parámettros y pj reppresenta al conjunto c de los restantees. Esta form ma se aplicca a los modelos m dee caracteríssticas I-V con y reppresentando la corrien nte normaliizada y x laa tensión. El E parámetroo r, para las caracteríssticas de oscuridad, es la resistenncia en seerie, positiva y tam mbién norm malizada cooherentemeente con las l normaliizaciones dee tensión y corriente. Este E es el caaso (r>0) representadoo en la Figu ura 2.2. Parra características de iluuminación, la expresió ón genéricaa del modello (2.1) sig gue siendo válida, pero r corresppondería ahhora a la reesistencia serie s con siigno negativo (r<0). (2.1) ( tambiéén contiene el caso partticular de modelo m explíícito en y coon r = 0.. Figura 2.2. Representación geométrica g del proceso o de aproximación a laa desviació ón normall, δn, de un punto experimenntal, Pe, respecto r d una currva modello de genériccamente exppresada meddiante (2.1)) con r>0. La L curva tiene concaviddad positivaa. El puntto Pe se enccuentra por debajo de laa curva (εy > 0) y la deesviación, por convenio o, es positiva.. 22.

(44) Capitulo 2: Aspectos generales del ajuste …. 2.3 Criterios de ajuste. Ajuste por mínimos cuadrados. En la Figura 2.2, el punto Pn, perteneciente a la curva, es aquel cuya normal contiene al punto Pe. Como habitualmente la función F no es analíticamente invertible, el punto Pn resulta difícil de obtener. Por el contrario pueden obtenerse sencillamente las coordenadas de un punto próximo, Pa, sobre la curva calculada, siempre y cuando Pe no esté muy alejado de ella como corresponde a un ajuste razonable a los valores experimentales. La obtención del punto Pa se deduce de la gráfica: Es el punto de intersección de la línea x’= cte expresada en (2.1), que pasa por Pe, y la curva calculada. Las coordenadas de Pa (xa, ya) son:. x′a ≡ xa − r ⋅ ya = xe′ ≡ xe − r ⋅ ye. ⎧ y = Fa ≡ F (x′a = xe′ , p j ) ⇒ ⎨ a ⎩ xa = xe + r (Fa − ye ). (2.2). Así, la desviación ε, de acuerdo con este criterio de correspondencia, sus componentes. εx, εy y el ángulo β de inclinación del segmento Pa-Pe son: ⎫ ⎪⎪ εx =r ⎬ ⇒ tg β = ε y ⎪ 1 + r 2 ⎪⎭. ε y = ya − ye = Fa − ye ε x = xa − xe = rε y ε = + ε y2 + ε x2 = ε y. (2.3). Se ha dado, por convenio, a la desviación ε el mismo signo que posee εy. En la Figura 2.2 éste es positivo; el signo negativo se daría si el punto Pe se encontrara por encima de la curva modelo. También el signo de β es el mismo que el del parámetro r explicado en un párrafo anterior. El ángulo α es el de la tangente a la curva en el punto Pa, es decir: dy ⎞ ⎛ d y ⎞ ⎛ d F ⎞ ⎛ d x′ ⎞ ⎛ d F ⎞ ⎛ tg α = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜1 − r ⎟ = dx ⎠ a ⎝ d x ⎠ a ⎝ d x ′ ⎠ a ⎝ d x ⎠ a ⎝ dx ′ ⎠ a ⎝ ⎛ dF ⎞ ⎜ ⎟ Fx′′a ⎝ dx′ ⎠ a = ≡ 1 + rFx′′a ⎛ dF ⎞ 1 + r⎜ ⎟ ⎝ dx ′ ⎠ a. 23. (2.4).