Proyecto fin de carrera

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APLICADAS II

Proyecto fin de carrera

Simulación Numérica de Sistemas de

Ecuaciones Diferenciales Lineales a Trozos

Autor: Ignacio Manso Martos Tutor: Emilio Freire Macías

Índice

1. Introducción a los sistemas Dinámicos ... 3

1.1 Clasificación de sistemas dinámicos ... 3

Discretos y Continuos ... 3

Autónomos y No autónomos ... 5

Lineales y No lineales ... 6

1.2 Geometría y estabilidad de los sistemas dinámicos ... 7

Equilibrios de sistemas lineales planos ... 9

Ciclos Límite ... 12

1.3 CAOS ... 13

Exponentes de Lyapunov ... 14

Sistemas caóticos de tirón ... 15

2. Aplicaciones ... 22

2.1 Análisis dinámico de circuitos lineales a trozos ... 22

2.2 Ecuaciones diferenciales lineales a trozos aplicados a modelos biológicos .... 23

3. Análisis de problemas en 2D ... 25

4. Análisis de problemas en 3D ... 30

5. Análisis de problemas en 3D lineales a trozos ... 43

6. Anexo: Documentación de Dynamics Solver. ... 77

Introducción ... 77

1. Introducción a los sistemas Dinámicos

Los sistemas dinámicos son sistemas cuyos parámetros internos (variables de estado) siguen una serie de reglas temporales. Se llaman sistemas porque están descritos por un conjunto de ecuaciones (sistema) y dinámicos porque sus parámetros varían con respecto a alguna variable que generalmente es el tiempo. El estudio de los sistemas dinámicos puede dividirse en 3 subdisciplinas:

• Dinámica aplicada: Modelado de procesos por medio de ecuaciones de estado que relacionan estados pasados con estados futuros.

• Matemáticas de la dinámica: Se enfoca en el análisis cualitativo del modelo dinámico.

• Dinámica experimental: Experimentos en laboratorio, simulaciones en computadora de modelos dinámicos.

1.1 Clasificación de sistemas dinámicos

Discretos y Continuos

Los sistemas dinámicos pueden dividirse en dos grandes clases: aquellos en los que el tiempo varía continuamente y en los que el tiempo transcurre discretamente. Los sistemas dinámicos de tiempo continuo se expresan con ecuaciones diferenciales; éstas pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs), ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDEs) y ecuaciones diferenciales con retrasos

(DDEs). Por otro lado si el tiempo es discreto los sistemas se describen por medio de ecuaciones en diferencias (DEs), también conocidas como mapas iterados.

En lo referente a ecuaciones diferenciales, la diferencia entre las ODEs y las PDEs es la variable con respecto a la cual varían las variables de estado del sistema. En las ODEs sólo hay una variable independiente que es generalmente el tiempo. En contraste, en una PDE puede haber 2 o más variables independientes. Los sistemas dinámicos más comunes en electrónica son ODEs en el caso de electrónica analógica y DEs con electrónica digital. De ahora en adelante los sistemas dinámicos que se analizarán estarán representados por ODEs, a excepción que se indique lo contrario.

Un sistema dinámico continuo n-dimensional se puede representar por la ecuación

̇ (1)

Donde [ ] es el vector de estados; [ ] y [ ] .

Autónomos y No autónomos

Un sistema dinámico es autónomo si está representado por una ecuación diferencial ordinaria autónoma o no forzada de la forma

̇ (2)

mientras que si al sistema dinámico lo modela la ODE no-autónoma o forzada

̇ (3)

el sistema dinámico es no autónomo. La diferencia entre (2) y (3) radica en que la primera no contiene ningún estímulo externo al sistema que fuerce el comportamiento natural de la dinámica del sistema, mientras que (3) sí.

La función que fuerza el comportamiento del sistema (3) puede ser constante, periódica, aleatoria, etc.

Lineales y No lineales

Un sistema dinámico es lineal si se cumple

(5)

es decir, es lineal si la función F que relaciona la tasa de incremento de las variables de

estado con sus valores actuales es lineal (afín).

Los sistemas lineales son sencillos de analizar y de trabajar, ya que la solución del sistema sujeto a condiciones complejas se puede lograr simplificando el problema a la suma de respuestas del sistema a condiciones más sencillas. Existen técnicas ampliamente usadas para analizar estos sistemas como son la transformada de Laplace, el principio de superposición, la transformada de Fourier, etc. Por lo anterior es usual encontrar soluciones analíticas exactas de sistemas lineales, aunque también es muy común recurrir a métodos geométricos para visualizar la evolución del sistema en el tiempo.

Sin embargo, si la ecuación (5) falla en un sistema, éste se dice ser no lineal. El hecho de ser no lineal hace que su análisis sea mucho más complejo (ya que no se puede simplificar el problema a instancias más sencillas). En la mayoría de las ocasiones no se podrá encontrar soluciones analíticas exactas a los problemas no lineales, por lo tanto la representación de la dinámica del sistema se auxilia mucho de técnicas geométricas de visualización y análisis.

1.2 Geometría y estabilidad de los sistemas dinámicos

La forma de visualizar el comportamiento de las variables de estado de un sistema dinámico puede ser en forma de onda temporal (gráfica de una variable de estado contra tiempo), o en forma de espacio de fases (o de estados). El espacio de fases de un sistema n-dimensional ̇ es el espacio donde todos los posibles estados de un sistema son representados, cada componente de la variable de estado del sistema se representa como un eje de un espacio multidimensional y cada punto del espacio representa cada posible estado de las variables de sistema. En este tipo de representación el tiempo se vuelve un parámetro implícito; como ejemplo se muestra la Figura 1 una onda temporal (izquierda) y un plano de fases (derecha) de un sistema dinámico.

Figura 1 Onda temporal (izquierda) y plano de fases (derecha) de un sistema dinámico

El espacio de fases está descrito por un campo vectorial F que rige el recorrido de las variables x(t) del sistema con el tiempo, el recorrido de estas variables recibe el

nombre de órbita o trayectoria. La Figura 2 muestra el campo vectorial en el espacio de fases de un sistema dinámico. En él se pueden apreciar las singularidades, que atraen a las trayectorias que pasan cerca de ellas y otras que las repelen. Las singularidades son las soluciones constantes (Llamadas también equilibrios, puntos críticos o puntos fijos), cuyas órbitas se reducen a puntos del espacio de fases.

Figura 2 Espacio d e fases de un sistema dinámico no lineal

Se dice que una singularidad del espacio de fases es atractiva, sumidero o atractor si toda trayectoria que comienza cerca de ella se aproxima a ella conforme el tiempo transcurre.

Por otro lado, una singularidad del espacio de fases es Liapunov-estable si todas las trayectorias que comienzan suficientemente cercanas a ella se mantienen cercanas a ésta durante todo el tiempo futuro. Puede darse la situación de que una singularidad del espacio fase sea Liapunov-estable pero no atractor, si esto sucede se dice que es neutralmente estable. Sin embargo, por lo general los dos tipos de estabilidad ocurren al mismo tiempo, y en ese caso la singularidad se dice ser asintóticamente estable.

Por último, una singularidad es inestable, repulsor o fuente cuando no es ni atractor ni Lyapunov-estable, es decir, las trayectorias que se inician cercanas a ella divergen conforme pasa el tiempo.

Equilibrios de sistemas lineales planos

Los autovalores de A guardan una estrecha relación con los puntos fijos ya que determinan la forma en que las trayectorias interactúan con el punto fijo. En base al comportamiento de las trayectorias alrededor de los puntos fijos, éstos pueden ser:

 Nodo: es un punto tal que en sus proximidades todas las órbitas entran a él. Es asintóticamente estable si las órbitas están direccionadas al punto lo que sucede si los autovalores del sistema son reales, negativos y distintos entre sí, ver Figura 3. En cambio, si las trayectorias se alejan del nodo, éste es inestable y los autovalores del sistema son reales, positivos y diferentes entre ellos.  Nodo estrella: Es un nodo en el que la tasa de rapidez con que todas las

trayectorias convergen o divergen del punto es igual. En este caso, los autovalores del sistema son reales e iguales, si son positivos el nodo estrella es inestable y si son negativos es estable.

 Foco: Este punto es asintóticamente estable cuando todas las órbitas en sus proximidades tienden a él pero no entran en él; para que esto suceda los autovalores del sistema son complejos conjugados con parte real negativa. Los focos inestables se producen cuando las trayectorias tienden a él en y corresponden a sistemas con autovalores complejos conjugados con parte real positiva, ver Figura 4.

 Centro: Es tal que en sus proximidades todas sus órbitas son cerradas. Ninguna órbita entra y ninguna sale. Este punto es neutralmente estable y se presenta cuando los autovalores del sistema son imaginarios puros, ver Figura 5.

 Punto Silla: Las trayectorias inicialmente tienden al punto pero después divergen de él. Este tipo de punto es inestable y se da cuando existen autovalores de signo opuesto, ver Figura 3-6.

Figura 3 Nodo estable

Figura 5 Centro

Figura 6 Punto silla

Si se tiene un sistema dinámico lineal ̇ , es fácil conocer qué tipo de punto fijo presenta dicho sistema; simplemente se calculan los autovalores a partir de la ecuación característica del sistema det y se analiza la relación que hay entre los autovalores.

Por otro lado, el análisis de los puntos fijos de un sistema no lineal plano ̇ se puede hacer linealizando el sistema alrededor de cada uno de los puntos fijos y analizando cada sistema linealizado por separado.

Sea x * un punto fijo, la linealización FL (x) de F(x) es

(

)

, con

)=0

(6) Existe un teorema debido a Henri Poincaré que dice que si el punto fijo del sistema linealizado ̇ es nodo, punto silla o foco, se puede garantizar que el sistema no lineal ̇ tiene el mismo tipo de punto fijo y con la misma estabilidad. Este teorema no aplica a casos en que el punto fijo sea un nodo estrella o un centro, debido a que este tipo de punto es frontera y pequeños términos no lineales ignorados en la linealización lo puede afectar y cambiar el tipo de punto fijo que éste es. Sin embargo, en lo referente a la estabilidad, los nodos estrella no cambian su estabilidad con los términos no lineales, mientras que los centros sí. Esto último se debe a que los centros son resultado de autovalores con parte real igual a cero, y los términos no lineales los decidirán su estabilidad o inestabilidad.

Ciclos Límite

Un ciclo límite es una órbita aislada cerrada, que corresponde por tanto a soluciones periódicas; así, no existen otras órbitas cerradas en su vecindad y por lo tanto las trayectorias vecinas se mueven acercándose o alejándose del ciclo límite.

Si todas las trayectorias vecinas se acercan al ciclo, entonces éste es estable. El ciclo es inestable si las trayectorias vecinas se alejan del ciclo; existen casos singulares donde

se dice que el ciclo es semiestable y se da cuando algunas trayectorias se alejan del ciclo y otras tienden a él.

Figura 7 Ciclo limite estable

Los ciclos límite sólo pueden ocurrir en sistemas no lineales; es imposible que sucedan en sistemas lineales. Aunque un sistema lineal puede tener orbitas cerradas, éstas no son aisladas y corresponden a la dinámica causada por un punto fijo tipo centro.

1.3 CAOS

Caos es un comportamiento aperiódico en un sistema determinista que presenta sensibilidad a condiciones iniciales. Un sistema presenta caos cuando tiene un atractor que no es una solución de equilibrio, ni una solución periódica, ni una solución cuasiperiódica. A pesar de comportarse aperiódicamente, el caos no es aleatorio, es determinista: si se conocen las condiciones iniciales del sistema y los parámetros de éste se puede determinar la evolución de una trayectoria. Otra característica importante de un sistema caótico es que ligeras variaciones en las condiciones iniciales hacen que las correspondientes órbitas evolucionen de forma

muy distinta; a esta característica se le llama dependencia sensible a condiciones iniciales.

Exponentes de Lyapunov

Los exponentes de Lyapunov son cantidades que dan la tasa de divergencia exponencial de trayectorias con condiciones iniciales perturbadas. Por lo general el término de exponente de Lyapunov se refiere al más grande de los exponentes de Lyapunov de un sistema, ya que es éste el que determina la predictibilidad de un sistema. Numéricamente el significado del exponente de Lyapunov es que si dos trayectorias cualesquiera estaban originalmente distanciadas | | , entonces al transcurrir del tiempo t estarán separadas en | |, ver Figura 9.

Figura 9 Divergencia entre trayectorias

Es importante resaltar que el número de exponentes de Lyapunov depende de las dimensiones del espacio de fase. En un sistema tridimensional hay, por lo tanto, tres exponentes. Para que un sistema sea caótico al menos uno de los exponentes debe ser positivo, y la suma de todos ellos debe ser negativa, para que exista un atractor.

Sistemas caóticos de tirón

Existen diferentes sistemas autónomos que pueden presentar caos. Dichos sistemas tienen en común ser de dimensión 3 o mayor, y ser no lineales; sin embargo pueden ser muy diversos en su estructura y complejidad. En 1996, Gottlieb (ver http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf) argumentaba que la ecuación más sencilla presentando dinámica caótica es la llamada ecuación de “tirón” (jerky dynamics):

⃛ ̈ ̇

donde x es el desplazamiento, ̇ es la velocidad, ̈ es la aceleración y ⃛ es el “tirón”

(jerk). En 1999, Linz y Sprott (ver

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf) encontraron diversos atractores caóticos para el sistema de tirón, lineal en velocidad y aceleración, y no lineal en el desplazamiento:

⃛ ̈ ̇

(8)

donde la función f (x) es no lineal (por ejemplo lineal por partes); algunos ejemplos de f(x) son:

| | ;

(9)

(

);

(10)

;

(11)

Dependiendo de la función f(x) que se seleccione se obtienen atractores diferentes. La Figura 10 (a), (b), (c), y (d) muestra los atractores caóticos correspondientes a sistemas de tirón con las funciones f(x) expresadas en (9), (10), (11) y (12), respectivamente (http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf).

Figura 3-10 Atractores caóticos de sistemas de tirón

No todo sistema de tirón presenta caos, dependiendo del valor de los parámetros  y , y de la función no lineal f



x



se obtienen diversos comportamientos algunos de los cuales son caóticos. Las ecuaciones (9), (10), (11) y (12) son algunos ejemplos de funciones que pueden lograr caos en los sistemas de tirón para algunos valores de b y c. Las condiciones que el sistema de tirón debe cumplir para presentar un comportamiento caótico:

 Si f



x



es continua debe tener un cero en x  x0 .

 Si



x0 , 0, 0



es un punto de equilibrio, una condición necesaria y suficiente

para su estabilidad es que   0 y que  f L  0 . Por lo tanto, para que el

sistema se comporte caóticamente se necesita que f L  0 o que f L  .

Una función lineal por partes que cumple las características antes mencionadas es la función triangular que está descrita por:

O de forma alternativa:

{

(

)

(14)

donde   0 

0.8,1.2y



0,

  . La Figura 11 muestra la gráfica de la función característica en forma triangular.

Figura 3-11 Función característica triangular

Si se hace x1 = x, x2 = x, x3 = x, y se usa la función de la ecuación (13), se tiene que el sistema de tirón con función triangular está descrito por el sistema dinámico:

[ ̇ ̇ ̇ ] ( ) [ ] [ ] ( | | | | ) (15) o de forma alternativa:

[

̇

̇

̇

] (

) [

] ,

(16)

donde  puede tomar dos valores diferentes dependiendo del punto fijo alrededor del cual se linealize la función. Los valores posibles son    para punto fijo z  



0, 0, 0



y  para los puntos fijos 



  , 0, 0



Por ejemplo, si   0.6 ,   1 ,   1 ,   1 y   0.25, existen 3 puntos fijos: z  



0, 0, 0



y



1, 0, 0



Los autovalores del punto fijo z son  1.0731 y

_

-0.8366  i1.4476 , por lo tanto éste es un punto fijo tipo silla. Los autovalores del punto fijo

son

=

-0.8356 y  0.1178  i1.0876 y los de son

son

_

-0.8356 y

0.1178  i1.0876, lo que significa que los puntos fijos son tipo silla.

Los autovalores conrolan las trayectorias alrededor del punto fijo , mientras que los autovalores controlan las trayectorias alrededor del punto fijo

;

así, el comportamiento cercano a estos puntos fijos se caracteriza por espirales que se alejan de ellos. Por otro lado, los autovalores correspondientes a hacen que las trayectorias se alejen exponencialmente y así, caerán en los comportamientos espirales antes descritos. Como resultado de esta descripción cualitativa se obtiene un atractor extraño que se muestra en la Figura 12.

 Figura 12 Espacio de fases del atractor caótico del sistema de tirón.

Si se dejan fijos los valores   0.6,   1 ,   1 ,  1 la condición de obtener caos en el sistema de tirón queda en función de . La Figura 13 muestra el diagrama de bifurcación del sistema de tirón y el espectro de exponentes de Liapunov en función de . En ambas gráficas se puede ver que la región de  en la que posiblemente se

Figura 3-13 Diagrama de bifurcación (a) y de exponentes de Lyapunov (b) del sistema de tirón (13).

Se concluye que el sistema general:

[ ̇ ̇ ̇ ] ( ) [ ] [ ] ( | | | | ) (17)

con   1 ,   0.6 ,   1 ,   1 y 



0, 0.3



presenta un comportamiento caótico, ya que bajo esas condiciones se obtiene un exponente de Lyapunov positivo.

2. Aplicaciones

A continuación se muestran situaciones en diferentes campos, donde se usan como modelo sistemas lineales a trozos para aproximar y resolver de forma más sencilla las cuestiones que en cada uno de ellos se plantea.

2.1 Análisis dinámico de circuitos lineales a trozos

Los circuitos eléctricos se componen de elementos dinámicos como condensadores y bobinas y de elementos estáticos no lineales, tales como resistencias y transistores. Para analizar el comportamiento de estos sistemas eléctricos, a menudo los elementos no lineales se aproximan por segmentos lineales a trozos (Heemels, Kanat Çamlıbel, y Schumacher, 2002). En consecuencia, los dispositivos estáticos lineales a trozos pueden ser sustituidos por diodos ideales y resistencias lineales. Elementos de conmutación como los tiristores y los diodos están presentes en una gran variedad de aplicaciones como en ingeniería de la energía y el procesamiento de señales. Para reducir el tiempo de simulación del comportamiento transitorio de este tipo de redes y para análisis (de por ejemplo, la estabilidad o el caos), estos conmutadores son a menudo modelados de forma ideal.

Como consecuencia, se pueden dar dos motivos diferentes para el uso de un diodo ideal en el estudio de circuitos eléctricos no lineales y de conmutación: como una metodología de modelado para circuitos lineales a trozos y como descripciones ideales de dispositivos físicos. Entonces, se considera que los circuitos lineales a trozos se pueden modelar mediante el uso de las características ideales de diodos y resistencias lineales para la parte estática (lineal a trozos) e inductores y condensadores para la

captura de la parte dinámica del circuito. Esto se traduce en modelos que son combinaciones lineales de circuitos eléctricos (descrito por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo) y diodos ideales (condiciones de complementariedad).

2.2 Ecuaciones diferenciales lineales a trozos aplicados a

modelos biológicos

Se trata de investigar las propiedades de las soluciones de un tipo particular de ecuaciones diferenciales lineales a trozos, que aparecen como modelos en sistemas biológicos caracterizados por las interacciones “switch-like” entre elementos (Gouzé, 2003). El análisis usa el concepto de solución de Filippov de ecuaciones diferenciales discontinuas.

Sistemas biológicos compuestos se modelan a menudo bajo las relaciones “switch-like” entre variables, que involucran funciones escalón. Tales comportamientos de umbral se han demostrado experimentalmente en las redes genéticas o enzimáticas: en el modelo, el ratio de producción de la enzima(o gen) es a menudo descrito por una función sigmoidea, como por ejemplo la función de Hill ∑ , donde el umbral es . Si es grande, la función es similar a la función escalón. La ecuación general del modelo puede ser escrita como:

̇ i= (1, · · · , n) (1)

donde el ratio de degradación relativa del componente es una constante positiva, y el ratio de producción depende de los componentes Se asume que es una función positiva constante a trozos, cuyos valores cambian con la

variable cuando cruza un determinado umbral . Este sistema ha sido estudiado ampliamente, principalmente en la rama de redes genéticas (Gouzé, 2003). El comportamiento dinámico de las variables en cada espacio entre umbrales está bien determinado; por lo tanto, la descripción del comportamiento puede ser asociada a autómatas booleanos, involucrando variables booleanas (correspondiendo a las variables continuas por debajo o por encima del umbral).

3. Análisis de problemas en 2D

Vamos a comenzar a analizar las variaciones que pueden producirse en un modelo de ecuaciones lineales a partir de un sistema de ecuaciones que suponen un modelo en 2D y observar que variaciones se producen al efectuar ciertos cambios en los parámetros de dicho modelo.

El modelo está compuesto por las variables de estado y , y los parámetros y , que corresponden a la traza y el determinante de la matriz respectivamente, siendo el sistema el siguiente:

( _̇ ̇ ) ( )

O bien escrito de forma matricial:

( ̇ _̇ ) ( )

Para realizar el análisis escogeremos seis situaciones diferentes de la siguiente manera:

𝑑 𝑇 4

Para realizar los siguientes puntos debemos tomar unas condiciones iniciales siempre distintas de cero para que el resultado no sea el punto (0, 0).

Punto 1: Si damos a los parámetros T y d los siguientes valores T=-4 y d=2, y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un nodo estable.

Punto 2: Sean los parámetros T y d con los siguientes valores T=-2 y d=5, y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos ahora un foco estable.

Esto ocurrirá siempre que y 4.

Punto 3: Tomando los valores T=0 y d=1, y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un centro.

Punto 4: Siendo los valores de los parámetros T y d los siguientes, y , y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un foco inestable.

Al tomar T valores positivos la curva tiende al infinito produciéndose la inestabilidad.

Punto 5: Tomando T y d valores de la siguiente manera, 4 y , y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un nodo inestable.

Como podemos observar la disminución de valor de d provoca que la curva tienda más rápido al infinito, es decir, sea más inestable.

Punto 6: Si damos a los parámetros T y d valores de la siguiente manera y , y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un punto de silla.

4. Análisis de problemas en 3D

Veamos ahora un modelo de ecuaciones lineales a partir de un sistema de ecuaciones con tres variables, es decir, en 3D y observaremos que variaciones se producen al efectuar ciertos cambios en los parámetros de dicho modelo.

El modelo está compuesto por las variables x, y, z, y los parámetros T, m y d, que corresponden a la traza de la matriz, la suma de los adjuntos principales de orden dos y el determinante de la matriz respectivamente, siendo el sistema el siguiente:

[ ̇ ̇ ̇

] [ ]

O bien escrito en forma matricial:

[ ̇ ̇ ̇

] [ ] [ ]

Además estos parámetros toman valores en función de los autovalores de la matriz: i, , de la siguiente manera:

Estudiaremos los casos en los que y variaremos los valores de y para ver cómo responde el sistema.

Para observar mejor el comportamiento de los distintos casos asignaremos valores de bajos de manera que podamos observar como gira la curva. Podríamos describir al

parámetro como el paso de la curva que produce una espiral. Esto se produce debido a que determina el avance de cada giro, hacia el origen si es estable ( , o al infinito si es inestable ( ).

Con respecto a daremos valores del orden de . El parámetro determina el paso de la órbita como si de un tornillo se tratara, es decir, cuanto baja ) o sube ) la órbita por cada vuelta que da. Esto se determina mediante .

Caso 1: Si consideramos dando los siguientes valores:

; los parámetros T, m y d son los siguientes: 4 ; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero obtenemos la siguiente órbita:

Proyección sobre el plano (x, y):

Proyección sobre el plano (y, z):

Sección de Poincaré x=0:

Al ser , la curva avanza más rápido hacia abajo que hacia el interior produciéndose este tipo de curva parabólica.

Caso 2: Si consideramos dando los siguientes valores: ; los parámetros T, m y d son los siguientes: 0.03 ; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero obtenemos la siguiente órbita:

Órbita en 3D:

Proyección sobre el plano (x, z):

Sección de Poincaré en y=0:

Al ser no predomina ningún paso sobre el otro de manera que la bajada es igualmente rápida que el paso hacia el interior mostrando una forma rectilínea en la sección de Poincaré que corresponde a una superficie invariante tipo cono en el espacio de fase.

Caso 3: Si consideramos dando los siguientes valores: ; los parámetros T, m y d son los siguientes: ; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero obtenemos la siguiente órbita:

Proyección sobre el plano (x, y):

Proyección sobre el plano (y,z):

Sección de Poincaré en y=0:

Al ser el paso hacia el interior es más fuerte que de bajada, de manera que la curvas que aparecen en la sección entra al origen tangente a una recta común.

Caso 4: Si consideramos dando los siguientes valores: ; los parámetros T, m y d son los siguientes: ; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero obtenemos la siguiente curva:

Órbita en 3D:

Proyección sobre el plano (x, z):

Sección de Poincaré y=0:

5. Análisis de problemas en 3D lineales a trozos

A continuación procedemos a estudiar un modelo de ecuaciones lineales a trozos a partir del sistema de ecuaciones con tres variables estudiado anteriormente, pero imponiendo unas condiciones que hagan del sistema un sistema homogéneo lineal a trozos y observaremos que variaciones se producen al efectuar ciertos cambios en los parámetros de dicho modelo.

Las condiciones que impondremos para que el sistema sea lineal a trozos serán las siguientes: [ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ]

El modelo tiene unos valores para T, m y d, que son distintos si es positivo ( , a los que toma cuando x es negativo ( ).

Para reflejar esto definiremos unos parámetros ( ) que permitirán reflejar en una sola ecuación la linealidad a trozos del sistema, gracias a la función valor absoluto:

De manera que los parámetros quedan de la siguiente manera:

Y del mismo modo con los demás parámetros: Y por tanto:

Pudiendo escribir el sistema de la siguiente forma: [ ̇ ̇ ̇ ] [ | | | | | | ]

A los parámetros T, m y d seguimos asignando valores en función de los autovalores de la matriz de la siguiente manera:

De manera que tendremos un para y un para

Caso 1: Si consideramos

debiendo cumplir que:

dando los siguientes valores:

los parámetros T, m y d son los siguientes:

4 4

Quedando los parámetros con los siguientes valores:

Comenzamos con condiciones iniciales en el plano focal común z=0, que es por tanto invariante (al ser ):

Obtenemos la siguiente órbita en el plano (x,y), que obviamente, coincide con su proyección:

La proyección en el plano (x,z) es naturalmente el eje horizontal:

La órbita simulada, que permanece siempre en el plano invariante z=0 tiende al origen como un foco estable. El plano focal invariante z=0 puede ser considerado un cono invariante (degenerado).

Introducimos ahora unas nuevas condiciones iniciales:

Órbita verde: 4

Órbitas en perspectiva 3D:

Proyección sobre el plano (x, z), que coincide con la línea horizontal z=4.

Sección de Poincaré para y=0:

En las gráficas podemos observar el comportamiento transitorio de las orbitas azul y verde y cómo alcanzan el régimen permanente cuando el tiempo tiende a infinito en forma de una solución periódica que aparece como una orbita cerrada. En un caso (azul) nos acercamos desde fuera y en otro (verde) desde dentro.

La conducta observada para el plano z=4 se reproduce de manera análoga para cualquier plano z>0, disminuyendo la amplitud de las correspondientes órbitas cerradas conforme z tiende a 0. Por tanto el conjunto de estas orbitas cerradas

formarían una superficie que por el carácter homogéneo del sistema estudiado es tipo cono. Este cono invariante junto con el cono invariante formado por el plano z=0 forman una pareja de superficies invariantes siendo el primero de ellos atractivo.

Realizamos ahora las simulaciones numéricas para planos invariantes con cota z<0:

Órbita 3D.

Proyección sobre el plano (x,z).

Sección de Poincaré en y=0.

Así, en los planos invariantes con z<0 vemos un comportamiento transitorio con una orbita en espiral (foco) que asintóticamente, con el tiempo tendiendo a infinito, tiende a un equilibrio en la zona x<0.

Caso 2: Cambiamos con respecto al caso anterior lo siguiente:

y simulamos con los mismos valores de obteniendo los siguientes valores de los parámetros T, m y d:

4 44

Los parámetros valen:

Para la simulación numércia tomamos:

Órbita azul:

Órbita en perspectiva 3D.

Proyección sobre el plano (x, z).

Sección de Poincaré x=0.

El comportamiento asintótico de las dos órbitas simuladas sugiere la existencia de un cono invariante que en la sección de Poincaré muestra pendientes parecidas al cono del caso 1 anterior. Este primer cono invariante sería atractivo y heredero del cono del caso 1 al ser el valor absoluto común de pequeño (0,001).

Para el plano focal común a los dos sistemas lineales, tiene de ecuación , por tanto el corte con el plano x=0 es la recta y así la condición inicial x = 0, y = 1, z = -0,001 produce una órbita que estará siempre en dicho plano, que constituye así el segundo cono invariante.

Para dicha condición inicial, la Órbita en perspectiva 3D.

Proyección sobre el plano (x, z).

Sección de Poincaré x=0.

Podemos ver, al aumentar el zoom, como el plano focal ahora está ligeramente inclinado (z= -0,001y)

Caso 3: En este caso procederemos a estudiar el problema haciéndolo no homogéneo. Para ello introduciremos una constante “a” en la última ecuación de la siguiente manera: [ ̇ ̇ ̇ ] [ ]

Si observamos, el origen ya no es la solución de equilibrio del sistema. Para ello veamos donde se produce el equilibrio, que se calcula de la siguiente manera:

La condición de equilibrio es: [ ̇ ̇ ̇ ] [ ] Por lo tanto: [ ] [ ]

El parámetro “a” hace que, como decíamos, el origen ya no sea solución del sistema.

Recordemos el valor de :

Para estudiar este caso asignaremos los mismos valores que en el caso anterior:

Debido a que tienen valores negativos, para valores positivos de “a” tendremos para el equilibrio soluciones negativas de la componente x, y por tanto un equilibrio

estable en la región x<0 ( ); para valores negativos de a obtendríamos valores positivos de la componente x, produciéndose un equilibrio inestable en la región x >0 ( ).

Vamos a considerar el caso de equilibrio inestable, ya que su conducta dinámica es de mayor riqueza; para ello asignaremos al parámetro “a” el valor -0.001.

Si , entonces , y sustituyendo el valor ( ) en el sistema, podemos determinar el punto de equilibrio como ( ).

Tomando las siguientes condiciones iniciales:

Órbita verde:

Perspectiva 3D.

Proyección sobre el plano (x, z).

Sección de Poincaré x=0.

Observemos más detenidamente la sección de poincaré con distintas condiciones iniciales:

Vemos que en la sección de Poincaré aparece un punto fijo en (0, -3.6, 1) que representa una orbita periódica asintóticamente estable; de hecho dicho punto fijo aparenta ser un nodo estable.

Caso4: En todos los casos anteriores hemos considerado y así teníamos un único plano focal que puede verse como un cono invariante para los casos homogéneos. Ahora es el momento de tomar valores distintos de , manteniendo los otros parámetros iguales al caso 3:

Para una primera simulación tomamos y .

Observamos que se mantiene la onda periódica, con mayor amplitud puesto que el punto fijo es (0,-14,-3.5); dicha órbita cerrada mantiene el carácter estable y la configuración tipo nodo.

Consideramos ahora el mismo valor para y aumentamos el valor absoluto de hasta el valor -0.005:

La órbita periódica ha desaparecido, presumiblemente porque ha colisionado con una órbita periódica inestable que por su carácter silla no observamos. En este caso todas las soluciones son no acotadas (Warning: Infinity Reached).

Obtenemos la siguiente sección de Poincaré en el plano x=0:

Observamos nuevamente un punto fijo en (0, -0,4, -0,1) que corresponde a una órbita periódica estable pero con una configuración tipo foco.

Caso 5: Vamos a utilizar en este caso un conjunto distinto de valores:

4

Quedando los valores de T, M y d de la siguiente manera:

Tomando a=1, y arrancando de diversas condiciones iniciales se obtiene un atractor que presenta la siguiente configuración:

Proyección sobre el plano (x, y).

Proyección sobre el plano (y, z).

El aspecto geométrico del objeto que aparece en la simulación nos induce a pensar que estamos en presencia de una atractor caótico, es decir, aperiódico y con sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales.

En la sección de Poincaré se produce un error de representación del programa que se observa en la esquina inferior derecha.

Caso 6: Vamos a estudiar el sistema asignando otros valores a los parámetros de la siguiente manera:

44

4

Tomando a=1 obtenemos la siguiente órbita:

Proyección sobre el plano (x, y).

Proyección sobre el plano (y, z).

Sección de Poincaré x=0.

Podemos observar que la órbita obtenida se asemeja a un atractor caótico es decir, aperiódico y con sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales.

6. Anexo: Documentación de Dynamics Solver.

Introducción

Dynamics Solver es un software que resuelve numéricamente problemas de valores iniciales y condiciones de contorno para sistemas dinámicos discretos y continuos:

 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden arbitrario.

 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

 Sistemas dinámicos discretos en forma de mapas iterados en dimensiones arbitrarias.

Dynamics Solver es una herramienta poderosa para estudiar ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos no lineales tanto continuos como discretos, caos determinista, etc. Por ejemplo, se puede representar secciones del espacio (incluyendo el campo

vectorial), mapas de Poincaré, exponentes de Liapunov, histogramas, diagramas de bifurcación, etc. Los resultados pueden ser observados (en perspectiva o no) desde cualquier dirección y pueden analizarse subespacios particulares.

Dynamics Solver es extensible: pueden añadirse nuevas funciones matemáticas y códigos de integración.

También tiene todas las ventajas de programas de Windows, incluyendo facilidad de uso, la posibilidad de abrir simultáneamente varias ventanas de representación y la cantidad de memoria que permite analizar problemas más complejos. Además hay muchas formas de imprimir y exportar resultados.

Manejo y funcionamiento

Para comenzar a utilizar el Dynamics Solver lo primero que se tiene que hacer es definir la ecuación o sistema de ecuaciones con el que se quiere trabajar. Para ello, al abrir el programa, debemos ir a Edit y pulsar en Type, llegando a la siguiente pantalla:

En este paso debemos definir si es una ecuación o sistema de ecuaciones y el orden del mismo.

El siguiente paso es definir las variables que van a componer el sistema de ecuaciones. Para ello en la barra de herramientas pulsamos Edit y posteriormente en Variables, apareciendo la siguiente pantalla:

Aquí debemos definir la variable independiente y el resto de variables del sistema.

A continuación, bien en la pestaña Parameters o bien desde el principio pulsando en Edit y posteriormente en Parameters, procedemos a definir los parámetros:

Definiremos el nombre del parámetro a la izquierda y el valor que le queremos asignar a la derecha.

Una vez definidos las variables y los parámetros del sistema procedemos a definir las ecuaciones que componen el sistema. Para ello en la pestaña Equations o bien pulsando en Edit, Equations, llegamos a la siguiente pantalla:

Escribimos la primera ecuación que compone al sistema y pulsamos sobre la barra lateral de la izquierda para proceder a escribir la siguiente ecuación.

Definido ya el sistema podemos asignar los valores iniciales, del mismo modo que hemos hecho anteriormente; bien pulsando en la pestaña de Initial Values o bien pulsando sobre Edit, Initial Values.

Definimos tanto el valor inicial para la variable independiente (la primera casilla) como para las variables dependientes que habíamos definido anteriormente (la segunda casilla).

Asignados ya todos los valores y definido el sistema podemos comenzar a configurar las ventanas de representación.

Para ello pulsamos en Output en la barra de herramientas y posteriormente en New graph window, apareciendo lo siguiente:

En la pestaña Expresions podemos definir el área de representación que deseamos, asignando los valores máximos y mínimos de los ejes. Para ello previamente debemos escribir el nombre de nuestra variable en las casillas intermedias, llamadas Horizontal axis y Vertical axis. La pestaña de Title nos sirve para nombrar a la ventana, por ejemplo, si lo que queremos es representar x frente a y, podemos llamarla Proyección x-y. Además en esta ventana podemos definir el error con el que queremos que la gráfica sea representada en la correspondiente casilla de error.

En el caso de querer representar la sección de Poincaré debemos seleccionar la opción Poincaré section, y alguna o ambas opciones llamadas Increasing y Decreasing. Estas dos últimas opciones hacen que en la sección de Poincaré aparezca los puntos que cortan al plano que representamos de forma creciente, si pulsamos Increasing, o bien los puntos que cortan al plano de forma decreciente, si pulsamos Decreasing, o ambos en caso de pulsar ambas opciones. Sin embargo esta última opción (Pulsar Increasing y Decreasing) no se recomienda ya que el programa para intentar hacernos más visible

la representación, une los puntos formando una curva que en el caso que comentamos puede dar lugar a confusión.

Posteriormente podemos dibujar los ejes o algún otro elemento si lo deseamos pulsando la opción Draw en la barra de herramientas, seguido de New element, o Edit element si queremos editar uno que ya habíamos creado.

Si por ejemplo seleccionamos axes para dubujar los ejes:

Podemos determinar el tamaño de letra en Height y Width, o por ejemplo el color.

Una vez creada la pantalla de representación deseada, podemos continuar creando más, si deseamos tener varias pantallas de representación o bien podemos proceder a simular con el programa pulsando el botón start:

Una vez simulado podemos cambiar los parámetros para ver como se comporta el sistema. Para ello podemos limpiar las pantallas pulsando sobre el siguiente botón:

El de la izquierda borrará solo la pantalla seleccionada mientras que el de la derecha borrará todas las pantallas.

6. Bibliografía

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf (Tutorial sobre Sistemas Dinámicos)

W. P. M. H. Heemels, M. Kanat Çamlıbel, y J. M. Schumacher(MARCH 2002), “On the Dynamics Analysis of Piecewise-Lineal Networks”, IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS—I: FUNDAMENTAL THEORY AND APPLICATIONS, VOL. 49, NO. 3, http://www.mate.tue.nl/mate/pdfs/6004.pdf

Jean-Luc Gouzé, “A class of piecewise-linear differential equations arising in biological models”, COMORE, INRIA, Francia

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.5.3267