INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Azcapotzalco

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

MODELO CINEMÁTICO PARA EL CONTROL DE

POSICIÓN DE UN MANIPULADOR MÓVIL

CON DOS RUEDAS DE TRACCION

T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN INGENIERÍA DE MANUFACTURA

PRESENTA:

ING. JACOBO RODRÍGUEZ MONROY

Índice general

1.2. Planteamiento del problema. . . 10

1.3. Objetivo general. . . 12 1.4. Objetivos particulares. . . 13 1.5. Justi…cación. . . 13 1.6. Metodología. . . 15 1.7. Capitulado. . . 17 1.8. Resultados y aportaciones. . . 18 2. Marco teórico. 20 2.1. Introducción. . . 20

2.2. Herramientas matemáticas. . . 21

2.2.1. Vectores. . . 21

2.2.2. Matrices. . . 22

2.3. Robot móvil con con…guración diferencial. . . 25

2.3.1. Descripción. . . 25

2.3.2. Cinemática directa. . . 27

2.3.3. Cinemática inversa. . . 29

2.4. Robot manipulador de tres grados de libertad. . . 31

2.4.1. Descripción. . . 31

2.4.2. Cinemática directa. . . 32

2.4.3. Cinemática inversa. . . 35

2.5. Campos potenciales arti…ciales. . . 37

2.6. Conclusiones. . . 39

3. Modelado cinemático de un manipulador móvil de 6 gdl. 40 3.1. Introducción. . . 40

3.2. Descripción del manipulador móvil de 6gdl. . . 41

3.3. Modelo cinemático del manipulador móvil. . . 44

3.3.1. Cinemática directa. . . 44

3.3.2. Cinemática inversa. . . 46

3.4. Simulaciones. . . 52

4. Control de posición de un manipulador móvil de 6 gdl. 56

4.1. Introducción. . . 56

4.2. Aplicación de las fuerzas de atracción y repulsión de los campos potenciales. 57 4.2.1. Fuerza de atracción hacia la meta. . . 58

4.2.2. Modelo del obstaculo y fuerza de repulsión. . . 58

4.3. Diseño del controlador basado en la cinemática inversa. . . 60

4.3.1. Aplicación del controlador al MM. . . 62

4.4. Simulaciones. . . 63

4.4.1. Primera simulación del MM con controlador. . . 63

4.4.2. Segunda simulación del MM con controlador. . . 67

4.5. Conclusiones. . . 71

5. Modelado y control del MM como la unión de dos subsistemas. 72 5.1. Introducción. . . 72

5.2. Modelo Cinemático. . . 73

5.2.1. Cinemática directa. . . 73

5.2.2. Cinemática inversa. . . 75

5.3. Aplicación del controlador. . . 75

5.3.1. Controlador de la plataforma. . . 76

5.3.2. Controlador del manipulador. . . 76

5.4. Simulaciones. . . 77

Conclusiones y perspectivas 83

Apéndices 85

Índice de …guras

1.1. Diseño conceptual del método 1 del MM. . . 11

1.2. Diseño conceptual del método 2 del MM. . . 12

1.3. Manipulador móvil usado para limpieza de rectores nucleares. . . 14

2.1. Diagrama con parametros de la plataforma móvil. . . 25

2.2. Movimientos que puede realizar un robot móvil tipo diferencial. . . 27

2.3. Diagrama con parametros del manipulador de 3 gdl. . . 31

3.1. Diagrama y parametros del manipulador móvil de 6 gdl. . . 41

3.2. Movimientos de locomoción que puede realizar el MM. . . 43

3.3. Área de manipulación del MM. . . 43

3.4. Sistema del MM en lazo abierto. . . 52

3.5. Trayectoria circular del MM en lazo abierto. . . 53

3.6. a) Velocidad angular de Wd y Wi. b) Desempeño de la orientación del MM. 54 3.7. Desempeño de las velocidades de las articulaciones del MM en lazo abierto. . 55

4.1. In‡uencia de las fuerzas del campo potencial sobre el MM. . . 57

4.3. Trayectoria del MM con evasión de obstaculo. . . 64

4.4. a) Desempeño de las fuerzas de atracción y repulsión. b) Velocidades angulares de Wd y Wi. . . 65

4.5. a) Desempeño de la orientación del MM b) Desempeño de la velocidad de las articulaciónes. . . 66

4.6. Trayectoria del MM segunda simulacion del controlador. . . 68

4.7. a) Desempeño de las fuerzas de atracción y repulsión. b) Desempeño de las velocidades angulares. . . 69

4.8. a) Desempeño de la orientación del MM. b) Desempeño de las velocidades de las articulaciónes. . . 70

5.1. Descripcion espacial de la plataforma y el manipulador. . . 73

5.2. Descripcion espacial del MM de acuerdo a la ecuacion (3.4). . . 74

5.3. MM compuesto de dos subsistemas en lazco cerrado . . . 75

5.4. Trayectoria del MM con controlador. . . 78

5.5. a) Desempeño de las fuerzxas de la plataforma. b) Desempeño de las fuerzas del manipulador. . . 79

5.6. a) Desempeño de Wd y Wi. b) Desempeño de la orientación del MM. 80 5.7. Desempeño de las articulaciones del MM. . . 81

Agradecimientos.

A mi directora de tesis, la Dr. Maricela Guadalupe Figueroa García, por su guía durante estos dos grandes años y por siempre desa…arme a conocer nuevas cosas.

A los miembros de la comisión revisora: Dr. Salvador Antonio Rodríguez Paredes, Dr. Alejandro Zacarías Santiago y al M. en C. Gerardo Villegas Medina, Dr. Javier Ramírez Gordillo y Dr. Maricela Guadalupe Figueroa García.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y a todos los ciudadanos mexicanos, por haber …nanciado los estudios de Maestría en Ingeniería de Manufactura, por medio de la beca otorgada.

De igual forma agradezco al Ing. Guillermo Alejandro Cruz Vázquez, por todo su apoyo brindado antes y durante mi estadía en el programa de estudios.

A mis padres por siempre apoyarme e inculcarme valores como la paciencia, la persever-ancia y la honestidad

A mis sobrinos Guillermo y Andrea por demostrarme que nunca hay que dejar de soñar. "Yo no quiero creer. Yo quiero saber" Carl Sagan.

Resumen.

Hoy en día la robótica tiene un gran valor dentro de la manufactura, esto se debe a que las empresas quieren ser más competitivas en el mercado, tienen que implementar estos robots en sus líneas de producción. Así gracias a la ‡exibilidad de los manipuladores móviles, estos son ahora la sustitución de las cintas transportadoras.

Por lo tanto, en este proyecto de investigación se muestra un procedimiento para modelar la cinemática de un manipulador móvil, formado por un robot móvil con con…guración diferencial y un manipulador robótico de tres grados de libertad, basado únicamente en los modelos cinemáticos de estos dos sistemas.

Otra parte de este proyecto de investigación es el control del manipulador móvil para llegar a una meta y la posibilidad de evitar los obstáculos que pudieran existir en su espacio de trabajo. En este caso, desarrollamos un controlador usando fuerzas de atracción y repul-sión y el modelo cinemático inverso del manipulador móvil. Con esto podemos simular este manipulador móvil en lazo cerrado y con esto, conocer su posición y orientación, además de poder corregir estos dos parámetros durante la simulación.

Palabras clave:

Abstract.

Nowadays the robotics has a great value inside the manufacturing process, this is because if the companies want to be more competitive in the market, they have to implement these systems on their production lines. So thanks to the ‡exibility of the mobile manipulators these are now the substitution of the conveyor belts.

Therefore in this investigation project is shown a procedure to model the kinematics of a mobile manipulator formed by a mobile robot with di¤erential drive con…guration and a robotic manipulator of three degrees of freedom, based only on the kinematic models of these two systems.

Another part of this investigation project is the control of the mobile manipulator to reach a goal and the ability to avoid obstacles that could exist in the work space. In this case, we develop a controller using attraction and repulsion forces, and the inverse kinematic model of the mobile manipulator. Thanks to this we can simulate this mobile manipulator in closed loop and with this, is able to know its position and orientation, also can correct these two parameters on the go.

Key words:

Capítulo 1

Generalidades.

1.1.

Introducción.

Este capítulo introductorio presenta el planteamiento del problema necesario para el de-sarrollo de este trabajo de investigación, y con base en el planteamiento del problema se plantea el objetivo general del trabajo de investigación, y a su vez esté ayuda al establec-imiento de los objetivos particulares. Se de…ne la justi…cación y la metodología usada durante todo el proceso de investigación, se describen cada uno de los capítulos contenidos en este documento y por último se describen los resultados obtenidos al …nal del proyecto, así como las aportaciones realizadas gracias a esta investigación.

1.2.

Planteamiento del problema.

Este proyecto de investigación pretende modelar un controlador de posición para un manipulador móvil, basado en la cinemática inversa y las fuerzas de atracción y repulsión generadas por la meta y por un obstáculo conocido, respectivamente. Con este controlador se busca que el manipulador móvil pueda alcanzar la meta utilizando la trayectoria más corta y que posea la capacidad de evadir obstáculos conocidos, si es que estos inter…eren con su trayectoria.

Para lograr lo anterior es necesario desarrollar el modelo cinemático del manipulador móvil de seis grados de libertad, basado en una expresión matemática que describa el acoplamiento de los sistemas que conforman al manipulador móvil. Derivado de esta ex-presión matemática se emplean dos métodos, el primer método, considera al manipulador móvil como un solo sistema con un solo controlador. Tal y como se muestra en la siguiente …gura.

Figura 1.1: Diseño conceptual del método 1 del MM.

En la Figura 1.1 se observa que el manipulador móvil tiene un controlador y el sistema completo está en lazo cerrado, teniendo como señales de entrada las coordenadas deseadas y a la salida del sistema, se obtendrán las coordenadas reales que alcanza el sistema.

En el método 2 se plantea que el manipulador móvil es la unión de dos subsistemas y por lo tanto se manejan independientemente a cada sistema, con esto tendremos dos controladores, siendo el primero, el correspondiente al robot móvil, y el segundo, el controlador del robot manipulador.

Figura 1.2: Diseño conceptual del método 2 del MM.

La Figura 1.2 muestra cómo se implementan los controladores de cada subsistema que conforma al manipulador móvil, para este método, cada subsistema tendrá sus señales de entrada y la suma de sus señales de salida será la descripción de la posición general del manipulador móvil.

1.3.

Objetivo general.

Desarrollo de un controlador basado en la cinemática inversa y fuerzas de atracción y repulsión, de un manipulador móvil de seis grados de libertad, para el control de su posición y evasión de obstáculos.

1.4.

Objetivos particulares.

Desarrollo de la cinemática directa e inversa de un robot móvil de con…guración difer-encial.

Desarrollo de la cinemática directa e inversa de un robot manipulador de tres grados de libertad.

Desarrollo de una expresión matemática que describa el acoplamiento del robot móvil y robot manipulador.

Desarrollo del primer modelo cinemático de un manipulador móvil de seis grados de libertad tomando a dicho manipulador móvil como un solo sistema.

Desarrollo e implementación del controlador basado en la cinemática inversa del ma-nipulador móvil de seis grados de libertad y las fuerzas de atracción y repulsión en el primer modelo cinemático del manipulador móvil.

Desarrollo del segundo modelo cinemático de un manipulador móvil de seis grados de libertad considerando al sistema como la unión de dos subsistemas independientes. Implementación del controlador para cada subsistema, es decir, un controlador desar-rollado para el robot móvil con…guración diferencial y otro controlador desardesar-rollado para el robot manipulador de tres grados de libertad.

1.5.

Justi…cación.

Aunque los manipuladores móviles son tecnología que aún se está estudiando, debido al número de variables que se involucran en el funcionamiento de los manipuladores móviles, ya existen empresas (www.robotnik.es) que fabrican estos robots y han identi…cado áreas de aplicación dentro de la industria.

De la misma manera que lo hacen dichas empresas, a continuación sugerimos áreas de aplicación en la industria para el manipulador móvil estudiado en este documento, con lo cual se pretende minimizar la brecha que existe entre estos robots y la industria en general.

Una aplicación de este robot es la inspección preventiva o correctiva dentro de líneas de producción, en procesos peligrosos o en tuberías, ya que el manipulador móvil puede alcanzar distancias o posiciones, que un humano no podría realizar; además que al ser un proceso tedioso y de apreciación.

Por último se puede atacar un sector el cual se ha abandonado en México, la agricultura, con la aplicación del manipulador móvil (estudiado en este documento), para la recolección de frutas o legumbres durante la época de cosecha, con lo cual se podrían reducir costos a futuro.

Figura 1.3: Manipulador móvil usado para limpieza de rectores nucleares.

La Figura 1.3 nos muestra otra aplicación de los manipuladores móviles, para la limpieza de un reactor nuclear, donde anteriormente se tenía que vaciar una tina y hacer que en-trara el personal a realizar la limpieza y después volver a llenar la tina, sin embargo, con el manipulador móvil, se puede realizar la limpieza con la tina llena (Figura cortesía de www.robotnik.es).

1.6.

Metodología.

A continuación se muestran las actividades realizadas durante cuatro semestres, las cuales permitieron la realización y conclusión de este proyecto y documento:

Investigación de tesis o artículos relacionados con los temas que involucran la real-ización de este trabajo de investigación.

Asistencia a cursos para conocer todas las funciones de la plataforma MATLAB-Simulink, necesaria para el desarrollo del proyecto de investigación.

Comprensión y modelado de la cinemática de un robot móvil de con…guración diferen-cial, incluyendo los parámetros y restricciones necesarias para el modelado.

Simulaciones del modelo cinemático del robot móvil de con…guración diferencial para observar el comportamiento de este modelo.

Comprensión y modelado de la cinemática de un robot manipulador de tres grados de libertad.

Simulaciones del modelo cinemático del robot manipulador de tres grados de libertad, con el …n de observar su comportamiento a diferentes entradas y conocer el área de trabajo de dicho robot.

Plantear la expresión matemática que muestre el acoplamiento del robot manipulador y el robot móvil.

Desarrollo del primer modelo cinemático del manipulador móvil de seis grados de lib-ertad.

Simulaciones en lazo abierto del manipulador móvil, con el …n de observar el compor-tamiento a una trayectoria de referencia.

Comprensión y desarrollo de las fuerzas de atracción y repulsión necesarias para mod-elar el controlador, a partir de la ecuación de campos potenciales.

Diseño del controlador para el control de posición y evasión de obstáculos, basado en la cinemática inversa de robots y fuerzas de atracción y repulsión con respecto a la meta y el obstáculo, respectivamente.

Aplicación del controlador al primer modelo del manipulador móvil.

Simulaciones del manipulador móvil en lazo cerrado, para observar su desempeño. Desarrollo del segundo modelo cinemático del manipulador móvil de seis grados de libertad.

Aplicación del controlador a cada sub-sistema que forman al manipulador móvil. Simulaciones del manipulador móvil en lazo cerrado, para observar el desempeño del controlador.

1.7.

Capitulado.

Capítulo 1 Generalidades: Se presentan los conceptos introductorios necesarios para el desarrollo del proyecto de investigación, tales como, objetivo general, objetivos particulares, metodología, entre otros.

Capítulo 2 Marco teórico: Se presentan todos los conocimientos previos necesarios para poder desarrollar y entender de mejor manera el contenido de este documento. Algunos de los temas a tratar en este capítulo son, las matrices y sus operaciones más importantes, los modelos cinemáticos de la plataforma móvil, los modelos cinemáticos del robot manipulador y los campos potenciales arti…ciales.

Capítulo 3 Modelado cinemático de un manipulador móvil de 6 gdl : Se desarrolla la

expresión matemática que describe el acoplamiento del robot manipulador de tres grados de libertad y el robot móvil de con…guración diferencial. Una vez creada esta expresión matemática, se usa para modelar la cinemática del manipulador móvil, y por último se plantean los resultados obtenidos de las simulaciones del manipulador móvil con una trayec-toria deseada utilizada como señal de entrada.

Capítulo 4 Control de posición de un manipulador móvil de 6 gdl : Basados en la cin-emática inversa del manipulador móvil y las fuerzas de atracción y repulsión de la meta y el obstáculo, respectivamente, se modelará el controlador necesario para la trayectoria y evasión de obstáculos, una vez obtenido el controlador, se muestran los resultados obtenidos en las simulaciones del manipulador móvil en lazo cerrado, teniendo como señales de entradas las coordenadas deseadas a las que deberá llegar el manipulador móvil.

Capítulo 5 Modelado y control del MM como la unión de los subsistemas: En este

capítulo se modela al MM como dos subsistemas independientes, los cuales son, la plataforma y el manipulador. Después de modelar la cinemática por este segundo método, se aplica el controlador desarrollado en el capítulo anterior; modi…cado para cada subsistema, con el …n de lograr evadir obstáculos con mayor seguridad debido a que se tienen dos puntos de referencia.

1.8.

Resultados y aportaciones.

El objetivo de este proyecto de investigación es el desarrollo de un controlador basado en la cinemática inversa de un manipulador móvil, por lo tanto los resultados obtenidos son los siguientes:

Se logró modelar cinemáticamente a un manipulador móvil de seis grados de libertad formado a partir de los modelos cinemáticos del robot móvil y el robot manipulador que lo conforman.

Se creó un segundo método de modelado cinemático con dos puntos de referencia, basado en los subsistemas que forman al manipulador móvil.

Se diseñó de un controlador usando la fuerza de atracción creada por la meta y la fuerza de repulsión creada por el obstáculo, y basados en la cinemática inversa de un manipulador móvil de seis grados de libertad.

Se aplicó el controlador al manipulador móvil de seis grados de libertad y se observó la respuesta del sistema en lazo cerrado en la plataforma Simulink. En donde se observa a las salidas la trayectoria realizada por el manipulador móvil, teniendo como señal de entrada una posición deseada.

Se aplicó el controlador a cada subsistema del manipulador móvil de seis grados de liber-tad, en lazo cerrado, para posteriormente observar su comportamiento en la plataforma Simulink, teniendo como señal de entrada las coordenadas deseadas.

Las aportaciones derivadas de este proyecto de investigación son:

1. Diagramas en Simulink del modelo cinemático creado para el manipulador móvil de seis grados de libertad en lazo abierto.

2. Diagramas en Simulink del modelo cinemático creado para el manipulador móvil de seis grados de libertad en lazo cerrado con el controlador basado en campos potenciales. 3. Diagramas en Simulink del manipulador móvil con dos puntos de referencia en lazo

cerrado con el controlador implementado.

Capítulo 2

Marco teórico.

2.1.

Introducción.

En este capítulo se desarrollaran todos los conocimientos previos necesarios para entender y comprender el contenido de este documento.

Los primeros temas abordados son los vectores y matrices, siendo en estas últimas donde se pone más énfasis, sobre todo, en la inversa de una matriz cuadrada y en las inversas unilaterales, donde se discute el método más sencillo para obtener la solución mínima de dicha inversa.

Una vez comprendidos estos temas avanzamos al modelado cinemático de los elementos que formaran al manipulador móvil usado. Primeramente se modela la cinemática de la plataforma móvil, teniendo en cuenta la con…guración de este así como sus restricciones no holonomicas. Después se procede a modelar la cinemática del manipulador, en el cual hay que tener en cuenta la posición de origen y algunos parámetros geométricos como las longitudes de los eslabones.

Por último se desarrolla de manera general los campos potenciales arti…ciales, los cuales son de vital importancia para la planeación de trayectorias y para la formulación del con-trolador usado en capítulos posteriores.

2.2.

Herramientas matemáticas.

2.2.1.

Vectores.

Para la robótica la de…nición de un vector no puede ser descrita como: Un elemento que tiene magnitud y dirección; por lo que esta de…nición se expande para los …nes de la robótica, de la siguiente manera [2]:

El vector representa la agrupación de varias señales físicas del robot para ser analizadas, procesadas o controladas; por ejemplo, las variables más representativas del área de la robótica son posiciones, errores de posición, velocidades, pares y fuerzas.

En general, un espacio vectorial sobre un campo F consta de un conjunto V en el que está de…nida una operación de suma, junto con una operación de multiplicación de…nida entre elementos de V y elementos de E tal que esta operación asocia escalares, distribuye escalares, distribuye vectores y posee elemento identidad y también el elemento neutro. Un ejemplo de campo vectorial son un conjunto de los números reales (R), y a un espacio vectorial constituido de R se le llama espacio vectorial real.

Para la robótica un conjunto de V del espacio vectorial está representado de la siguiente manera: x = 2 6 6 4 x1 ::: xn 3 7 7 5 = h x1 ::: xn iT y = 2 6 6 4 y1 ::: yn 3 7 7 5 = h y1 ::: yn iT

En esta expresión los componentes xi 2 R, donde i = 1; 2; :::; n representan los

compo-nentes o coordenadas del vector x, el cual será igual al vector y, si y solo si, sus compocompo-nentes o coordenadas son iguales.

2.2.2.

Matrices.

Una matriz A de m nes un arreglo rectangular de m renglones o …las y n columnas [3]. Cada elemento de la matriz A es un escalar y se identi…ca individualmente como el número aij, donde i es el i-énesimo renglón o …la y j es la j-énesima columna, y se representa de la

siguiente manera: A = 2 6 6 6 6 4 a11 ::: a1j a21 ::: a2j ::: ::: ::: ai1 ::: aij 3 7 7 7 7 5

Si m = n se dice que la matriz es una matriz cuadrada, mientras que si en una matriz todas sus componentes son cero se dice que es una matriz cero, por ultimo una matriz cuya diagonal principal son solo el número uno y los demás cero, se dice que es una matriz identidad.

Transpuesta de una matriz.

Una matriz transpuesta se denota como AT_{, y se realiza simplemente cambiando las …las}

por las columnas, es decir:

A = 2 6 6 4 a11 a12 a21 a22 a31 a32 3 7 7 5 (3 2) AT = " a11 a21 a31 a12 a22 a32 # (2 3)

Algunas de las propiedades de una matriz transpuesta son:

(AT)T = A

(A + B)T = AT + BT

Inversa de una matriz cuadrada.

La inversa de una matriz cuadrada puede de…nirse de la siguiente manera [3]:

Sean A y B matrices de n n. Supongamos que AB = BA = I Entonces B se conoce

como la inversa de A y se escribe A 1_{. Si A tiene una inversa entonces decimos que A es}

invertible.

Sin embargo, esta de…nición no establece que toda matriz cuadrada tenga una inversa. De hecho hay muchas matrices cuadradas que no tienen inversa; lo cual nos lleva al siguiente teorema [3]:

Teorema 1 Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces su inversa es única.

Debido a que las matrices son un arreglo de ecuaciones, con un número de incógnitas, existen muchos métodos algebraicos para determinar la inversa de una matriz cuadrada, pero a continuación mostraremos una ecuación, la cual simpli…ca dichos métodos:

A 1 = 1

det(A)adj A

T _(2.1)

Teorema 2 Sea A una matriz de n n. Entonces:

A _{es invertible si y sólo si det(A) 6= 0}

Además se debe cumplir:

AA 1 = A 1A = I

Inversas unilaterales de matrices.

El Teorema 1 se puede reescribir de la siguiente manera usando la siguiente función:

Ax = b (2.2)

donde A es una matriz de m n, x es un vector de dimensión n y b es un vector de dimensión m.

Por lo tanto y de acuerdo al teorema 1, la solución de la ecuación (2.2) es única si y solo si A es invertible. Pero si la matriz A es rectangular ya no aplica dicho teorema ya que la ecuación (2.2) tendría un número in…nito de soluciones. Por lo que se genera el siguiente teorema de acuerdo a lo descrito por [3]:

Teorema 3 Sea A una matriz de m n. Entonces

i. A posee inversa derecha si existe una matriz R de n m tal que AR = I

ii. A posee inversa izquierda si existe una matriz L de n m tal que LA = I

Para el teorema anteriormente mencionado existen innumerables métodos para encontrar la matriz R o la matriz L, pero como se mencionó anteriormente existen una serie in…nita de soluciones, por lo que se encontró un método con el cual podemos obtener la solución mínima para cada caso [4][5].

Se puede identi…car que se necesitara calcular la matriz R, si existen menos ecuaciones que incógnitas (m < n), es decir, que x esta sub especi…cada, por lo tanto:

Teorema 4 Se reescribe la matriz R como la matriz AR con dimensión n m, y se calcula

de la siguiente manera

AR= AT AAT 1

También se puede identi…car que se necesitara calcular la matriz L, si existen más ecua-ciones que incógnitas (m > n), es decir, que x esta sobre especi…cada, por lo tanto:

Teorema 5 Se reescribe la matriz L como la matriz AL _{con dimensión n m, y se calcula}

de la siguiente manera

2.3.

Robot móvil con con…guración diferencial.

2.3.1.

Descripción.

La plataforma móvil mostrada en la Figura , es un claro ejemplo de un robot móvil de con…guración diferencial. Este consiste de dos ruedas de tracción, y una o más ruedas pasivas o de soporte. El movimiento y la orientación son logradas por actuadores independientes como por ejemplo, motores que aplican un cierto torque para que las ruedas de tracción giren [7][8].

Parametro Descripcion Unidades

2b Distancia entre las ruedas de traccion [m]

L Distancia entre el centro de masa y el punto de referencia [m]

P Punto de referencia o punto de control

-R Radio de las ruedas de traccion [m]

Angulo de orientacion del robot móvil [rad]

V Velocidad lineal del robot móvil [m

s]

Vd Velocidad lineal de la rueda derecha [m_s]

Vi Velocidad lineal de la rueda izquierda [m_s]

W Velocidad angular del robot móvil [rad_s ]

Wd Velocidad angular de la rueda derecha [rad_s ]

Wi Velocidad angular de la rueda izquierda [rad_s ]

Diferentes modelos y geometrías de robots móviles pueden encontrarse en la literatura y en artículos [4][7][11]. Sin embargo, se seleccionó la plataforma móvil mostrada en la Figura , ya que esta asocia no solamente las dimensiones del robot, sino también la posición del sistema de referencia de la plataforma y el punto de referencia a estudiar.

Es de vital importancia determinar los grados de libertad para la plataforma móvil, ya que más adelante nos permitirá determinar los mismos pero del manipulador móvil. En este documento usaremos la convención que los robot móviles de con…guración diferencial, en realidad poseen tres grados de libertad, siendo los dos primeros alcanzados por la traslación de dicho robot gracias a las ruedas de tracción; y el tercer grado de libertad alcanzado por la capacidad de cambiar su orientación, gracias a los actuadores independientes y a la rueda de soporte.

Figura 2.2: Movimientos que puede realizar un robot móvil tipo diferencial.

La plataforma móvil puede demostrar que posee estos tres grados de libertad de la sigu-iente manera. Para la traslación de la plataforma móvil sobre el plano (x; y), las ruedas de tracción tienen que tener la misma velocidad angular (ver Figura 2.2a). Si la plataforma desea cambiar su orientación, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda, una de las ruedas de tracción deberá tener una velocidad mayor que la otra (ver Figura 2.2b - 2.2c) o girar sobre su propio eje (rueda de soporte), haciendo que las ruedas giren en sentido contrario (ver Figura 2.2d). Inclusive si la plataforma desea trasladarse en reversa las ruedas de tracción deberán girar a la misma velocidad pero en sentido contrario (ver Figura 2.2e).

2.3.2.

Cinemática directa.

La cinemática directa consiste en conocer el comportamiento del robot sin tomar en cuenta las fuerzas que generan ese movimiento.

Para poder comenzar con la cinemática directa de la plataforma móvil tenemos que tener las siguientes consideraciones [4][7]:

1.- El robot se mueve sobre una super…cie completamente plana.

2.- La fricción que existe entre las ruedas del robot y la super…cie es tan pequeña que puede descartarse.

3.- Los ejes de guiado son perpendiculares a la super…cie. 4.- El robot móvil no tiene partes ‡exibles.

Estas consideraciones son necesarias ya que permiten hacer el cálculo de la cinemática más sencillo; sin embargo estos sistemas tienen restricciones cinemáticas no holonomicas las cuales son importantes mencionar para poder comprender el comportamiento del robot móvil. La restricción no holonomica establece que el robot móvil solo se puede mover en la dirección normal al eje de las ruedas de tracción, es decir, que no se puede mover en direcciones laterales y se describe de la siguiente manera [8]:

_y sin( ) + _x cos( ) = 0 (2.3)

Cabe destacar que la ecuación (2.3) no se puede integrar analíticamente (no se pueden obtener como las derivadas de dos condiciones holonomicas). Sin embargo, las direcciones de movimiento deben satisfacer la ecuación anterior.

Si descomponemos la ecuación (2.3), con respecto a cada uno de sus elementos, es decir, _x0 y _y0, tenemos las siguientes expresiones:

_x = v cos( ) (2.4)

_y = v sin( ) (2.5)

incluyendo la orientación, tenemos:

_ = w (2.6)

Una vez estableciendo lo anterior podemos comenzar a modelar la cinemática directa de la plataforma móvil, teniendo como punto de referencia, el punto P mostrado en la Figura 2.1, el cual se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

P = " x1 y1 # = " x + L cos( ) y + L sin( ) # (2.7)

Pero como se mencionó anteriormente, la restricción no holonomica no se puede integrar, por lo que es necesario derivar la ecuación (2.7) con respecto al tiempo, obteniendo:

_ P = " _x1 _y1 # = " _x L sin( ) _ _y + L cos( ) _ # " _x1 _y1 # = " 1 0 L sin( ) 0 1 L cos( ) #2 6 6 4 _x _y 3 7 7 5 (2.8)

substituyendo las ecuaciones (2.4)(2.5)(2.6), en la ecuación (2.8), tenemos: " _x1 _y1 # = " 1 0 L sin( ) 0 1 L cos( ) #2 6 6 4 cos( ) 0 sin( ) 0 0 1 3 7 7 5 " v w # " _x1 _y1 # = " cos( ) L sin( ) sin( ) L cos( ) # " v w # (2.9)

En la ecuación (2.9) observamos la dependencia de la posición de la plataforma móvil con respecto a la velocidad lineal y angular; por lo que a continuación se procede a realizar una igualdad entre las velocidades de la plataforma y las velocidades de cada rueda Wd y

Wi, en base a las restricciones geométricas del robot.

V = (Wd+ Wi)R 2 W = (Wd Wi)R 2b substituyendo en la ecuación (2.9): " _x1 _y1 # = " cos( ) L sin( ) sin( ) L cos( ) # " _R 2 R 2 R 2b R 2b # " Wd Wi # " _x1 _y1 # = " _{R cos( )} 2 RL sin( ) 2b R cos( ) 2 + RL sin( ) 2b R sin( ) 2 + RL cos( ) 2b R sin( ) 2 RL cos( ) 2b # " Wd Wi # (2.10)

La cinemática directa de la plataforma móvil puede ser descrita por la ecuación (2.9) con respecto a la velocidad lineal y angular de dicha plataforma, o con respecto a las velocidades angulares de las ruedas de tracción, como se muestra en la ecuación (2.10).

2.3.3.

Cinemática inversa.

Ahora para poder obtener la cinemática inversa de la plataforma móvil, es necesario reescribir la cinemática directa de acuerdo a la ecuación (2.2), y de esta manera se obtiene:

_

donde _Pp = " _x1 _y1 # , Jp = " _{R cos( )} 2 RL sin( ) 2b R cos( ) 2 + RL sin( ) 2b R sin( ) 2 + RL cos( ) 2b R sin( ) 2 RL cos( ) 2b # y _qp = " Wd Wi # . Así podemos decir que la cinemática inversa obedece a la siguiente expresión:

_

PpJp1 = _qp

_qp = P_pJp 1

de acuerdo al teorema 2, es necesario calcular la determinante de la matriz Jp con el …n de

determinar si tiene inversa. det(Jp) = R cos( ) 2 RL sin( ) 2b R sin( ) 2 RL cos( ) 2b R cos( ) 2 + RL sin( ) 2b R sin( ) 2 + RL cos( ) 2b det(Jp) = LR2 2b > 0

Podemos determinar que la distancia entre ruedas tiene que ser diferente de cero (2b 6= 0), de la misma manera que la distancia L y el radio de las ruedas de tracción R.

Una vez calculada la determinante de la matriz Jp, y determinando bajo qué condiciones

se cumple el teorema 2; es posible aplicar la ecuación (2.1), con el …n de modelar la cinemática inversa de la plataforma móvil y se obtiene lo siguiente:

J_p 1 = _LR1 2 2b adj J_pT J_p 1 = 2b LR2 adj " _{R cos( )} 2 RL sin( ) 2b R sin( ) 2 + RL cos( ) 2b R cos( ) 2 + RL sin( ) 2b R sin( ) 2 RL cos( ) 2b #! J_p 1 = " _{L cos( ) b sin( )} LR b cos( )+L sin( ) LR b sin( )+L cos( ) LR L sin( ) b cos( ) LR # por lo tanto: _" Wd Wi # = " _{L cos( ) b sin( )} LR b cos( )+L sin( ) LR b sin( )+L cos( ) LR L sin( ) b cos( ) LR # " _x1 _y1 # (2.11)

Cabe destacar que a partir de este punto siempre se utilizara el modelo cinemático de la plataforma móvil que está modelado con respecto a las velocidades angulares de las ruedas

2.4.

Robot manipulador de tres grados de libertad.

2.4.1.

Descripción.

Un manipulador es una cadena cinemática abierta, el cual posee más de un actuador independiente, ya sea un actuador rotacional o un actuador lineal.

Los manipuladores robóticos tienen muchas formas de clasi…cación, pero la más aceptada es la clasi…cación por la cantidad de grados de libertad. Los grados de libertad se asignan dependiendo del número de actuadores que poseen. Dentro de esta clasi…cación existen los llamados robots manipuladores antropomór…cos, ganando este nombre debido a que aún el más sencillo de los manipuladores posee un hombro, codo y muñeca, haciendo una alusión a un brazo humano. Estos manipuladores presentan mayor destreza en su espacio de trabajo [2][6].

En el caso de estudio de este trabajo se utilizara un robot manipulador de tres grados de libertad como el que se muestra en la Figura 2.3.

Parametro Descripcion Unidades

l1 Longitud primer eslabon m

l2 Longitud segundo eslabon m

l3 Longitud tercer eslabon m

q1 Primer grado de libertad rad

q2 Segundo grado de libertad rad

q3 Tercer grado de libertad rad

x3 Posicion del efector …nal m

y3 Posicionn del efector …nal m

z3 Posicion del efector …nal m

El espacio de trabajo de la con…guración antropomór…ca corresponde a una esfera hue-ca, cuyo radio es igual a la suma de longitudes de sus eslabones. El sistema de referencia cartesiano (X0; Y0; Z0) se encuentra sobre la base del robot.

2.4.2.

Cinemática directa.

Aunque para describir la relación que existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualquier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma más reconocida en la comunidad, es la convención Denavit-Hartenberg, dicha convención fue propuesta por Jaques Denavit y Richard S. Hartenberg en 1955. Este es un método matricial que permite estable-cer de manera sistemática un sistema de coordenadas ligada a cada eslabón, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas del manipulador completo [10].

A continuación se presenta un resumen del procedimiento desarrollado por Denavit-Hartenberg para asignar el sistema de coordenadas de referencia a un robot manipulador [2][10].

1.- Identi…que los ejes de articulación e imagine (o dibuje) líneas in…nitas sobre ellos. Para los pasos del 2 al 5, considere dos de estas líneas adyacentes (en los ejes i e i + 1).

2.- Identi…que la perpendicular común entre ellos, o el punto de intersección. En el punto de intersección, o en el punto en el que la perpendicular común se encuentra con el i-ésimo

3.- Asigne el eje Zi para que apunte sobre el i-ésimo eje de articulación.

4.- Asigne el eje Xi para que apunte sobre la perpendicular común o, si los ejes se

intersecan, asigne Xi para que sea normal al plano que contiene los dos ejes.

5.- Asigne el eje Yi para completar un sistema de coordenadas en base a la regla de la

mano derecha.

6.- Asigne 0 (cero) para que concuerde con 1 (uno) cuando la primera variable de artic-ulación sea cero. Para N seleccione la ubicación del origen y la dirección de XN libremente,

pero generalmente de manera que haga que la mayor parte de los parámetros de los vínculos sean cero.

Si se hace el procedimiento anterior para la asignación se planos de referencia se aplica las siguientes de…niciones de los parámetros.

a1 = la distancia de Z1 1 a Zi medida sobre Xi i = el angulo de Zi a Zi+1 medida sobre Xi

di = la distancia de Xi a Xi+1 medida sobre Zi i = el angulo del Xi 1 a Xi medido sobre Zi

Para los dos ángulos ( i; i), estos se miden con signo positivo en base a la regla de la mano

derecha. Por último se recomienda crear una tabla como la que se muestra a continuación ya que esta ayuda a simpli…car el siguiente paso, el cual es crear las matrices homogéneas de cada eslabón.

Eslabon ai i di i

i ai i di i

i + 1 ai+1 i+1 di+1 i+1

Las matrices de transformación homogéneas para cada eslabón se crean a partir de la siguiente ecuación [2][10]: i 1_H i = 2 6 6 6 6 4

cos( i) sin( i) cos( i) sin( i) sin( i) licos( i)

sin( i) cos( i) cos( i) cos( i) sin( i) lisin( i)

0 sin( i) cos( i) di 0 0 0 1 3 7 7 7 7 5 (2.12)

Una vez estipulado el algoritmo de Denavit-Hartenberg y la ecuación a usar para cada una de los eslabones del robot manipulador, se procedería a aplicar dicho algoritmo al robot manipulador, pero como se observa en la Figura 2.3, esto ya se realizó con antelación. Por lo tanto, se procede a crear la tabla que nos servirá para calcular la cinemática directa del robot manipulador de tres grados de libertad, o también conocido como robot antropomór…co.

Eslabon ai i di i 1 0 ₂ l1 q1 2 l2 0 0 q2 3 l3 0 0 q3 substituyendo: 0_H 1 = 2 6 6 6 6 4 cos(q1) 0 sin(q1) 0 sin(q1) 0 cos(q1) 0 0 1 0 l1 0 0 0 1 3 7 7 7 7 5 1_H 2 = 2 6 6 6 6 4

cos(q2) sin(q2) 0 l2cos(q2)

sin(q2) cos(q2) 0 l2sin(q2)

0 0 1 0 0 0 0 1 3 7 7 7 7 5 2_H 3 = 2 6 6 6 6 4

cos(q3) sin(q3) 0 l3cos(q3)

sin(q3) cos(q3) 0 l3sin(q3)

0 0 1 0 0 0 0 1 3 7 7 7 7 5

Para obtener el modelo cinemático del robot manipulador se tienen que multiplicar las matrices anteriores en el orden mostrado a continuación, esto debido a las propiedades de las matrices. 0_H 3 = 0H11H 2 2H3 0_H 3 = 2 6 6 6 6 4 c1c23 c1s23 s1 c1(l2c2 + l3c23) s1c23 s1s23 c1 s1(l2c2+ l3c23) s23 c23 0 l1+ l2s2+ l3s23 3 7 7 7 7 5

donde: s1 = sin(q1) c1 = cos(q1) s2 = sin(q2) c2 = cos(q2) s23 = sin(q2+ q3) c23 = cos(q2+ q3)

Con el algoritmo de Denavit-Hartenberg, la matriz resultante nos arroga dos resultados que dependiendo del objetivo pueden utilizarse ambos resultados o solamente uno. Primero obtenemos una matriz de 3 3, la cual muestra la orientación del robot manipulador. Y por último obtenemos un vector de 3 1, la cual muestra la posición del efector …nal del robot manipulador, de la siguiente manera:

Ho =

2 6 6 4

cos(q1) cos(q2+ q3) cos(q1) sin(q2 + q3) sin(q1)

sin(q1) cos(q2+ q3) sin(q1) sin(q2 + q3) cos(q1)

sin(q2 + q3) cos(q2 + q3) 0 3 7 7 5 Hp = 2 6 6 4

cos(q1) (l2cos(q2) + l3cos(q2+ q3))

sin(q1) (l2cos(q2) + l3cos(q2+ q3))

l1+ l2sin(q2) + l3sin(q2+ q3)

3 7 7

5 (2.13)

Así para el objetivo de este documento solamente utilizaremos el vector de posición descrito por la ecuación (2.13).

2.4.3.

Cinemática inversa.

A diferencia del robot móvil, los robots manipuladores tienen diferentes métodos para calcular la cinemática inversa ya que al realizar este cálculo surgen más de una solución a dicho problema, debido a las restricciones cinemáticas propias del manipulador. El método más sencillo para calcular la cinemática inversa del manipulador es por el método de la cinemática diferencial o también conocido como el jacobiano.

Para comenzar este método, es necesario calcular la derivada parcial de la ecuación (2.13) de la siguiente manera: Jm = (Hp) q Jm = 2 6 6 4

(A) sin(q1) (B) cos(q1) l3cos(q1) sin(q2+ q3)

(A) cos(q1) (B) sin(q1) l3sin(q1) sin(q2+ q3)

0 A l3cos(q2+ q3) 3 7 7 5 donde: A = l2cos(q2) + l3cos(q2+ q3) B = l2sin(q2) + l3sin(q2+ q3)

por lo tanto la cinemática diferencial se expresa por la siguiente ecuación: 2 6 6 4 _x3 _y3 _z3 3 7 7 5 = 2 6 6 4

(A) sin(q1) (B) cos(q1) l3cos(q1) sin(q2 + q3)

(A) cos(q1) (B) sin(q1) l3sin(q1) sin(q2 + q3)

0 A l3cos(q2+ q3) 3 7 7 5 2 6 6 4 _q1 _q2 _q3 3 7 7 5 (2.14)

si reescribimos la ecuación (2.14), tenemos: _

Pm = Jm_qm

donde, _Pm = ( _x3; _y3; _z3)T y _qm = ( _q1; _q2; _q3)T.

La cinemática inversa del manipulador se describe como:

_qm = Jm1P_m (2.15)

De la misma manera que en el caso de la plataforma móvil, para la inversa de la matriz Jm se necesita calcular la determinante de dicha matriz.

det(Jm) = l2l3 l2cos(q2) sin(q3) l3sin(q2) + l3cos2(q3) sin(q2) + l3cos(q2) cos(q3) sin(q3)

podemos determinar que la inversa de la matriz Jm existe si y solo si l2l3 6= 0.

J_m1 = 2 6 6 4 sin(q1) l2cos(q2)+l3cos(q2+q3) cos(q1) l2cos(q2)+l3cos(q2+q3) 0 cos(q1) cos(q2+q3) l2sin(q3) sin(q1) cos(q2+q3) l2sin(q3) sin(q2+q3) l2sin(q3) 3 7 7 5

Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (2.15) la cinemática inversa del manipulador, por el método de la cinemática diferencial queda expresada por la siguiente ecuación:

2 6 6 4 _q1 _q2 _q3 3 7 7 5 = 2 6 6 4 sin(q1) l2cos(q2)+l3cos(q2+q3) cos(q1) l2cos(q2)+l3cos(q2+q3) 0 cos(q1) cos(q2+q3) l2sin(q3) sin(q1) cos(q2+q3) l2sin(q3) sin(q2+q3) l2sin(q3) (A) cos(q1) l2l3sin(q3) (A) sin(q1) l2l3sin(q3) (B) l2l3sin(q3) 3 7 7 5 2 6 6 4 _x3 _y3 _z3 3 7 7 5 (2.16)

Cabe destacar que si se quiere conocer los valores cartesianos de las articulaciones, sola-mente es necesario integrar la ecuación (2.16).

2.5.

Campos potenciales arti…ciales.

Los métodos más comunes para planeación de trayectorias, normalmente intentan cap-turar la conectividad global del espacio libre del robot en una grá…ca y subsecuentemente buscan la trayectoria ideal. Sin embargo los campos potenciales generan una idea diferente para la planeación de trayectorias.

El método de los campos potenciales arti…ciales considera al robot como un punto o partícula, dentro de un espacio conocido el cual está bajo la in‡uencia de dichos campos potenciales. La función potencial esta normalmente de…nida por el espacio libre, el cual es la suma de las fuerzas de atracción, ejercidas por la meta u objetivo, y las fuerzas de repulsión, ejercidas por los obstáculos conocidos [9].

Debido a estas fuerzas, la planeación de movimiento es desarrollada de forma iterativa. En cada iteración la fuerza arti…cial ( ~F (q) = _{5U(q)) reconoce la con…guración actual del}~ robot y en base a esta información genera la trayectoria más prometedora, siempre de forma incremental.

Los campos potenciales originalmente fueron desarrollados para la evasión de colisiones online, aplicable cuando el robot conoce o no conoce el modelo de los obstáculos por medio de una camara. Sin embargo, a lo largo de los años, se hizo énfasis en la aplicación en tiempo real, más allá de simplemente garantizar la llegada a la meta. Así usando un modelo del espacio de trabajo, esto puede cambiarse a una planeación de movimiento sistemático.

La planeación de trayectorias por medio de campos potenciales arti…ciales, normalmente se consideran métodos locales. Esto es debido, a que las funciones potenciales son de…nidas de tal manera que no dependen de la distribución de los obstáculos, sino, del espacio entre estos obstáculos.

La mayoría de los métodos de planeación de trayectorias por medio de campos poten-ciales arti…poten-ciales tienen un gran sentimiento de ser empíricos. Ya que estos usualmente están incompletos y fallan constantemente en encontrar un camino libre en el espacio de trabajo. Sin embargo, algunos son particularmente rápidos en un gran rango de situaciones. La más grande ventaja de los campos potenciales es que se necesita muy poco conocimiento del tema para construir un modelo para planeación de trayectorias, de tal forma que sean e…cientes y con…ables.

Como se mencionó anteriormente la fuerza arti…cial esta descrita por el gradiente de los campos potenciales arti…ciales, de la siguiente manera [9]:

~

F (q) = _5U(q)~

Donde el campo potencial U (q) es la suma de los campos de atracción y repulsión re-spectivamente.

U (q) = UA(q) + UR(q)

por lo que sustituyendo, tenemos: ~

F (q) = _{5U(q) =}~ _{5 (U}~ A(q) + UR(q))

Si cambiamos los campos potenciales por vectores de fuerzas, la expresión anterior se reescribe de la siguiente manera:

~ F (q) = _{5 ~}~ FA(q) + ~FR(q) donde: q = (x; y; z) por lo tanto: F (x; y; z) = _{5 (F}~ A(x; y; z) + FR(x; y; z)) (2.17)

Así la ecuación (2.17) representa el vector fuerza desarrollado a partir de los campos potenciales arti…ciales, el cual está formado de las fuerzas de atracción y repulsión; las cuales serán usadas más adelante para desarrollar al controlador del MM.

2.6.

Conclusiones.

De acuerdo con lo expuesto en la introducción de este capítulo, se puede concluir lo siguiente.

Es importante conocer las diferentes operaciones que existen con las matrices, ya que es una herramienta fundamental para el desarrollo de este documento. De igual manera observamos lo complejas que pueden ser las inversas unilaterales.

Observamos las características de la plataforma móvil utilizada para el manipulador móvil, así como sus restricciones cinemáticas y como estas son de vital importancia para el modelado cinemático.

El modelado cinemático puede llegar a ser confuso debido a los pasos descritos por el algoritmo de Denavit-Hartenberg, pero este mismo nos proporciona una herramienta sis-tematizada para realizar dicho modelo. También se observó el método y la importancia de calcular la cinemática diferencial ya que aunque este no es el caso, es importante para el modelado dinámico y para otras aplicaciones como se verá más adelante.

Por ultimo conocimos los campos potenciales y como son formulados, ya que estos per-mitiran formular las fuerzas de atracción y repulsión, necesarias para modelar el controlador del manipulador móvil.

Capítulo 3

Modelado cinemático de un

manipulador móvil de 6 gdl.

3.1.

Introducción.

En este capítulo se describen varios elementos importantes que son necesarios conocer y comprender si el comportamiento del modelo cinemático en las simulaciones son correctas. Dentro de estos elementos se incluyen los parámetros usados en el modelado cinemático, tipos de movimientos durante la locomoción, entre otros.

Una vez descrito lo anterior, lo siguiente es formular la expresión matemática que describa el acoplamiento de los robots que conforman al MM. Después se modela la cinemática del MM a partir de esta expresión.

Para terminar se muestran los resultados obtenidos en las simulaciones del modelo cin-emático obtenido anteriormente, donde se describe detenidamente todos los términos que son importantes monitorear durante la simulación.

3.2.

Descripción del manipulador móvil de 6gdl.

Se tiene un manipulador móvil (desde ahora llamado MM), el cual consta de una platafor-ma (robot móvil) y un platafor-manipulador (robot platafor-manipulador), dicho platafor-manipulador móvil tiene la con…guración mostrada en la siguiente …gura; esta …gura nos muestra que el manipulador está acoplado en la parte frontal de la plataforma, esta con…guración permite una mayor área de trabajo y una mejor locomoción. Muchos autores recomiendan que durante el movimiento del manipulador móvil no se active el manipulador, ya que esto hace que se incluyan más variables al control del manipulador móvil.

Parametro Descripcion Unidades

2b Distancia entre ruedas de traccion m

L Distancia desde ruedas hasta base manipulador m

l1 Longitud del primer eslabon del manipulador m

l2 Longitud del segundo eslabon del manipulador m

l3 Longitud del tercer eslabon del manipulador m

q1 Primera articulación del manipulador rad

q2 Segunda artiuclación del manipulador rad

q3 Tercera articulación del manipulador rad

R Radio de las ruedas de traccion m

Wd Velocidad angular de la rueda derecha rad_s

Wi Velocidad angular de la rueda izquierda rad_s

Angulo de orientacion de la plataforma rad

Como se puede observar en la Figura 3.1, el manipulador móvil contiene los mismos parámetros que la plataforma y el manipulador por separado.

Como parte de la descripción del manipulador móvil, es necesario mencionar los tipos de movimientos que puede realizar este robot. Estos se pueden dividir en dos grandes ramas, locomoción y manipulación. Siendo la locomoción la capacidad de dicho MM para desplazarse por el plano (X0; Y0); esto gracias a las ruedas de tracción de la plataforma. Por lo tanto, el

Figura 3.2: Movimientos de locomoción que puede realizar el MM.

En la Figura 3.2 podemos observar que el MM tiene los mismos movimientos que los descritos para la plataforma en el capítulo anterior. Cabe resaltar que algunos autores [4][13][17][18], recomiendan que la locomoción de un MM sea independiente a la manipu-lación.

Por otro lado para la manipulación del MM depende por completo del manipulador, pero a diferencia de la plataforma, el manipulador si puede desplazarse por los tres planos coordenados (X0; Y0; Z0). La siguiente …gura muestra el área de trabajo que puede alcanzar

el MM, durante la manipulación.

En la Figura 3.3 se muestra un área de trabajo aproximada para el manipulador, en la cual se tiene que hacer hincapié en evitar las posiciones de singularidad.

3.3.

Modelo cinemático del manipulador móvil.

Para el modelado cinemático de los manipuladores móviles no se ha logrado crear un método homogéneo, el cual permita conocer la posición del manipulador móvil en base a los modelos cinemáticos de los robots que lo componen. Algunos autores como [13] primero calculan la cinemática del robot móvil para después calcular el modelo dinámico del manip-ulador y crear el modelo cinemático. Por lo tanto, para lograr modelar la cinemática del MM basado en la cinemática de la plataforma y el manipulador, primero es necesario modelar la expresión algebraica que describa de manera adecuada el acoplamiento de estos dos robots.

3.3.1.

Cinemática directa.

Lo primero es establecer el punto de referencia; en este caso se selecciona el efector …nal del MM, ya que es el punto más lejano del robot y este se puede mover sobre los tres planos cartesianos generales (X0; Y0; Z0).

Ahora bien, se conoce que la base del manipulador esta acoplada en el punto de referencia de la plataforma, por lo tanto la ecuación (2.10) describe tanto la posición de la plataforma, como la de la base del manipulador. Para conocer la posición del efector …nal en base a las coordenadas generales (X0; Y0; Z0), este acoplamiento se describe de la siguiente manera:

2 6 6 4 Xf Yf Zf 3 7 7 5 = 2 6 6 4 x1 y1 z1 3 7 7 5 + 2 6 6 4 x3 y3 z3 3 7 7 5 (3.1) Donde, el vector (Xf; Yf; Zf) T

representa las coordenadas del punto de referencia, el vector (x1; y1; z1)T representa la posición de la plataforma y el vector (x3; y3; z3)T representa

En la ecuación (3.1) se observa que la suma de los vectores es directa ya que la base del manipulador esta acoplada exactamente en el punto de control de la plataforma (ver Figura 2.3). Pero, para lograr esto el valor de q1 tiene que cumplir con la siguiente condición, ya

que esto permitirá que el efector …nal siempre se encuentre al frente del MM durante la locomoción. Y se de…ne que el valor de z1 = 0 para poder realizar la suma vectorial.

q1 = =

Z

R [Wd Wi]

2b dt

A partir de la ecuación (3.1) se puede desarrollar la cinemática directa del MM, basado solamente en la cinemática de ambos sistemas que componen al MM. Pero debido a que la cinemática de la plataforma está desarrollada en función de velocidades (ecuación (2.10)), se necesita utilizar la cinemática diferencial del manipulador (ecuación (2.14)), por lo que la ecuación (3.1) se deriva con respecto al tiempo y obtenemos lo siguiente:

2 6 6 4 _ Xf _ Yf _ Zf 3 7 7 5 = 2 6 6 4 _x1 _y1 _z1 3 7 7 5 + 2 6 6 4 _x3 _y3 _z3 3 7 7 5 (3.2)

substituyendo la ecuación (2.10) y la ecuación (2.14), en la ecuación (3.1), tenemos: 2 6 6 4 _ Xf _ Yf _ Zf 3 7 7 5 = Jp " Wd Wi # + Jm 2 6 6 4 _q1 _q2 _q3 3 7 7 5 (3.3)

La ecuación (3.3) se reescribe de la siguiente manera, para simpli…car el cálculo de la cinemática inversa: 2 6 6 4 _ Xf _ Yf _ Zf 3 7 7 5 = 2 6 6 4 Rc( ) 2 RLs( ) 2b Rc( ) 2 + RLs( ) 2b (A) s1 (B) c1 l3c1s23 Rs( ) 2 + RLc( ) 2b Rs( ) 2 RLc( ) 2b (A) c1 (B) s1 l3s1s23 0 0 0 A l3c23 3 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 4 Wd Wi _q1 _q2 _q3 3 7 7 7 7 7 7 7 5 (3.4)

donde: c ( ) = cos( ) s ( ) = sin( ) s1 = sin(q1) c1 = cos(q1) s23 = sin(q2+ q3) c23 = cos(q2+ q3) A = l2cos(q2) + l3cos(q2+ q3) B = l2sin(q2) + l3sin(q2+ q3)

De esta manera, el modelo cinemático directo (ecuación (3.4)) será utilizado para el cálculo del modelo cinemático inverso y más adelante para las simulaciones correspondientes.

3.3.2.

Cinemática inversa.

Para modelar la cinemática inversa del MM, primeramente se necesita reescribir la ecuación (3.4) de la siguiente manera:

_ P = Jmm_q donde: _ P = 2 6 6 4 _ Xf _ Yf _ Zf 3 7 7 5 Jmm = 2 6 6 4 Rc( ) 2 RLs( ) 2b Rc( ) 2 + RLs( ) 2b (A) s1 (B) c1 l3c1s23 Rs( ) 2 + RLc( ) 2b Rs( ) 2 RLc( ) 2b (A) c1 (B) s1 l3s1s23 0 0 0 A l3c23 3 7 7 5 _q = 2 6 6 6 6 6 6 6 4 Wd Wi _q1 _q2 3 7 7 7 7 7 7 7 5

Por lo tanto se concluye que la cinemática inversa queda descrita por la siguiente expre-sión:

_q = J_mm1 P_

Sin embargo en base a lo estudiado en el capítulo anterior, observamos que la matriz Jmm

es una matriz rectangular; por lo que se utilizará lo expuesto en el capítulo anterior para matrices unilaterales.

De acuerdo al Teorema 3, es necesario encontrar una matriz que al multiplicarla por la derecha o la izquierda, nos arroje como resultado la matriz identidad. De acuerdo a lo expuesto en dicha sección se concluye que la matriz Jmm tendrá inversa por la derecha, y se

aplica el Teorema 4, el cual indica que se reescribe la matriz J 1

mm como JmmR , teniendo que

esta se calcula de la siguiente manera:

J_mmR = J_mmT JmmJmmT 1

(3.5) aplicando la ecuación (3.5) obtenemos lo siguiente:

J_mmR = 2 6 6 6 6 6 6 6 4 M11 M12 M13 M21 M22 M23 M31 M32 M33 M41 M42 M43 M51 M52 M53 3 7 7 7 7 7 7 7 5 donde: M11 = fcos( ) 4A2L2R3+ 2L2R3l23 + 4A 4 Rb2+ 4A2Rb2l₃2+ 2B2Rb2l2₃ sin( ) 4A2LR3b + 2LR3bl2₃+ 4A4LRb + 4A2LRbl2₃+ 2B2LRbl₃2

+ cos( ) L2R3l2₃+ B2Rb2l₃2+ 2ABLRbl₃2 sin( ) LR3bl₃2 2ABRb2l₃2+ B2LRbl2₃ + cos( ) L2R3l₃2+ B2Rb2l2₃ 2ABLRbl₃2 sin( ) LR3bl2₃+ 2ABRb2l2₃+ B2LRbl₃2 + cos ( ) 4A4Rb2 2B2Rb2l2₃ + sin( ) 2B2LRbl2₃ 4A4LRb

+ cos( ) 2A2Rb2l2₃ B2Rb2l2₃ 2ABLRbl2₃ sin( ) 2ABRb2l₃2+ 2A2LRbl2₃ B2LRbl₃2 + cos( ) 2A2Rb2l2₃ B2Rb2l2₃ + 2ABLRbl2₃

M12 = fsin( ) 4A2L2R3+ 2L2R3l32+ 4A 4_Rb2_{+ 4A}2_Rb2_l2 3 + 2B 2_Rb2_l2 3 + cos( ) 4A2LR3b + 2LR3bl₃2+ 4A4LRb + 4A2LRbl₃2+ 2B2LRbl2₃ + sin( ) 2B2Rb2l2₃ 4A4Rb2 + cos( ) 2B2LRbl2₃ 4A4LRb

+ sin( ) L2R3l2₃+ B2Rb2l₃2+ 2ABLRbl₃2 + cos( ) LR3bl2₃ 2ABRb2l2₃+ B2LRbl2₃ + sin( ) L2R3l₃2+ B2Rb2l2₃ 2ABLRbl₃2 + cos( ) LR3bl2₃+ 2ABRb2l₃2+ B2LRbl2₃ + sin( ) B2Rb2l2₃ 2A2Rb2l2₃+ 2ABLRbl₃2 cos( ) 2ABRb2l₃2+ 2A2LRbl₃2 B2LRbl₃2 sin( ) 2A2Rb2l₃2+ 2ABLRbl2₃ B2Rb2l2₃ + cos( ) 2ABRb2l₃2 2A2LRbl2₃+ B2LRbl₃2 _{g= fT g} M13 = f L2R3l32+ 2A 2

Rb2l2₃ (sin( ) sin( )) + LR3bl₃2+ 2A2LRbl2₃ (cos( ) cos( ))

cos( ) 4ABL2R3+ 8A3BRb2 + sin( ) 4ABLR3b + 8A3BLRb _{g=fT g}

M21 = fcos( ) 4A2L2R3+ 2L2R3l23 + 4A 4_Rb2_{+ 4A}2_Rb2_l2 3 + 2B 2_Rb2_l2 3 + sin( ) 4A2LR3b + 4A4LRb + 4A2LRbl₃2+ 2B2LRbl2₃+ 2LR3bl2₃

+ cos( ) L2R3l2₃+ B2Rb2l₃2 2ABLRbl₃2 + sin( ) LR3bl₃2+ 2ABRb2l2₃+ B2LRbl2₃ + cos( ) L2R3l₃2+ B2Rb2l2₃+ 2ABLRbl₃2 + sin( ) LR3bl₃2 2ABRb2l₃2+ B2LRbl2₃ + cos( ) 4A4Rb2 2B2Rb2l2₃ + sin( ) 4A4LRb 2B2LRbl2₃

+ cos( ) 2A2Rb2l2₃ B2Rb2l2₃+ 2ABLRbl₃2 + sin( ) 2A2LRbl2₃ 2ABRb2l2₃ B2LRbl₃2 + cos( ) 2A2Rb2l2₃ B2Rb2l2₃ 2ABLRbl2₃

M22 = fsin( ) 4A4Rb2 2B2Rb2l32 + cos( ) 2B 2_LRbl2 3 4A 4_LRb sin( ) 4A2L2R3+ 2L2R3l2₃ + 4A4Rb2+ 4A2Rb2l₃2+ 2B2Rb2l2₃ + cos( ) 4A2LR3b + 2LR3bl₃2+ 4A4LRb + 4A2LRbl₃2+ 2B2LRbl2₃

+ sin( ) 2ABLRbl2₃ L2R3l₃2 B2Rb2l₃2 + cos( ) LR3bl2₃+ 2ABRb2l₃2+ B2LRbl2₃ sin( ) L2R3l2₃+ B2Rb2l₃2+ 2ABLRbl₃2 + cos( ) LR3bl2₃ 2ABRb2l2₃+ B2LRbl₃2 + sin( ) 2A2Rb2l2₃ B2Rb2l2₃+ 2ABLRbl₃2

+ cos( ) 2ABRb2l2₃ 2A2LRbl₃2+ B2LRbl₃2 + sin( ) 2A2Rb2l2₃ B2Rb2l₃2 2ABLRbl2₃

+ cos( ) B2LRbl₃2 2ABRb2l2₃ 2A2LRbl2_{3 g=fT g}

M23 = f L2R3l23+ 2A2Rb2l32 (sin( ) sin( )) + LR3bl23+ 2A2LRbl32 (cos( ) cos( ))

+ cos( ) 4ABL2R3+ 8A3BRb2 + sin( ) 4ABLR3b + 8A3BLRb _{g=fT g}

M31 = fsin(q1) 4A3L2R2+ 4A3R2b2+ 8A3b2l23+ 2AL2R2l23+ 8AB2b2l23+ 2AR2b2l32

+ sin( ) AR2b2l2₃ 4A3b2l2₃+ AL2R2l2₃ + 4AB2b2l₃2 8A2Bb2l2₃cos( ) + sin( ) 2AR2b2l2₃ 4A3L2R2+ 4A3R2b2 2AL2R2l2₃

+ sin( ) AL2R2l2₃ 4A3b2l₃2+ 4AB2b2l₃2+ AR2b2l₃2 + 8A2Bb2l2₃cos( ) + sin( ) AR2b2l2₃+ AR2b2l2₃ AL2R2l2₃ AL2R2l₃2 _{g=fT g}

M32 = fcos(q1) 4A3L2R2+ 4A3R2b2+ 8A3b2l23+ 2AL 2

R2l2₃+ 8AB2b2l2₃+ 2AR2b2l₃2 + cos( ) AL2R2l2₃ 4A3b2l₃2+ 4AB2b2l2₃+ AR2b2l₃2 + 8A2Bb2l2₃sin( ) + cos( ) AL2R2l2₃ 4A3b2l₃2+ 4AB2b2l₃2+ AR2b2l₃2 8A2Bb2l2₃sin( ) + cos( ) +2AR2b2l2₃ 4A3L2R2+ 4A3R2b2 2AL2R2l₃2

+ cos( ) +AR2b2l₃2+ AR2b2l₃2 AL2R2l2₃ AL2R2l2_{3 g=fT g} M33 =fAR2 L2 b2 l23cos( ) l

2

3cos($) + 4AB sin( ) g=fT g

M41 = fsin( ) 4A3b2l32+ AL 2_R2_l2 3 + AR 2_b2_l2 3 + cos( ) BL 2_R2_l2 3 + 4A 2_Bb2_l2 3+ BR 2_b2_l2 3 + cos(q1) 2BL2R2l32+ 8A 2_Bb2_l2 3 + 2BR 2_b2_l2 3 sin( ) 4A 3_b2_l2 3AL 2_R2_l2 3+ AR 2_b2_l2 3 + cos( ) BL2R2l2₃ + 4A2Bb2l₃2+ BR2b2l2₃ + cos( ) BL2R2l2₃ BR2b2l2₃ + sin( ) AL2R2l₃2 AR2b2l₃2 + cos( ) 2BL2R2l2₃ 2BR2b2l2₃ + cos( ) BL2R2l2₃ BR2b2l2₃ + sin( ) AR2b2l₃2 AL2R2l2_{3 g=fT g}

M42 = fcos( ) 4A3b2l23+ AL 2_R2_l2 3 + AR 2_b2_l2 3 + sin( ) BL 2_R2_l2 3 + 4A 2_Bb2_l2 3 + BR 2_b2_l2 3 + cos( ) AR2b2l2₃ AL2R2l₃2 + sin( ) BL2R2l2₃ BR2b2l2₃ cos( ) 4A3b2l₃2+ AL2R2l₃2+ AR2b2l2₃ + sin( ) BL2R2l₃2+ 4A2Bb2l2₃+ BR2b2l₃2 + cos( ) AL2R2l2₃ AR2b2l2₃ + sin( ) BL2R2l2₃ BR2b2l2₃ + sin( ) 2BL2R2l₃2 2BR2b2l₃2 + sin(q1) 2BL2R2l23+ 8A 2_Bb2_l2 3 + 2BR 2_b2_l2 3 g=fT g

M43 = fcos( ) 4A3R2b2 4A3L2R2+ 2AL2R2l23 2AR 2_b2_l2

3

cos( ) 8A3b2l₃2+ 2AL2R2l₃2+ 2AR2b2l2₃ + 2AL2R2l2₃+ 2AR2b2l₃2

sin( ) 2BL2R2l₃2+ 8A2Bb2l₃2+ 2BR2b2l2₃ + cos( ) AR2b2l2₃ AL2R2l₃2 + sin( ) BL2R2l2₃ BR2b2l2₃ + cos($) AR2b2l2₃ AL2R2l₃2

+ sin($) BR2b2l₃2 BL2R2l2₃ + 4A3L2R2+ 4A3R2b2+ 8A3b2l₃2+ 4AL2R4_{g=fT g}

M51 = [2Al3fsin(Q1) 4A3b2+ AL2R2+ AR2b2 + cos(Q1) BL2R2+ 4A2Bb2 + BR2b2

sin(Q2) 4A3b2+ AL2R2+ AR2b2 + cos(Q2) BL2R2+ 4A2Bb2+ BR2b2

+ sin(U ) AL2R2 AR2b2 + cos(U ) BL2R2 BR2b2 + cos(V ) BL2R2 BR2b2 + sin(V ) AR2b2 AL2R2 _{g]=fT g}

M52 = [2Al3fsin(Q1) BL2R2+ 4A2Bb2+ BR2b2 cos(Q1) 4A3b2+ AL2R2+ AR2b2

+ sin(Q2) BL2R2+ 4A2Bb2+ BR2b2 + cos(Q2) 4A3b2+ AL2R2+ AR2b2

+ cos(U ) AR2b2 AL2R2 + sin(U ) BL2R2 BR2b2 + cos(V ) AL2R2 AR2b2 + sin(V ) BL2R2 BR2b2 _{g]=fT g}

M53 = [2Al3fsin(Q1) BL2R2+ 4A2Bb2+ BR2b2 cos(Q1) 4A3b2+ AL2R2+ AR2b2

+ cos(Q2) 4A3b2+ AL2R2+ AR2b2 + sin(Q2) BL2R2 + 4A2Bb2+ BR2b2

+ cos(U ) AR2b2 AL2R2 + sin(U ) BL2R2 BR2b2 + cos(V ) AL2R2 AR2b2 + sin(V ) BL2R2 BR2b2 _{g]=fT g}

T = cos( ) 2B2L2R2l₃2 4A4L2R2 + 4A4R2b2 2B2R2b2l2₃

+ cos( ) 2L2R4l₃2 8A4b2l2₃+ 2B2L2R2l2₃+ 8A2B2b2l₃2+ 2B2R2b2l2₃ sin( ) 16A3Bb2l2₃+ 4ABL2R2l2₃ + 4ABR2b2l2₃

+ cos( ) B2L2R2l₃2 2A2L2R2l2₃+ 2A2R2b2l₃2 B2R2b2l₃2 + sin( ) 2ABL2R2l2₃ 2ABR2b2l2₃ + 2B2R2b2l2₃

+ cos($) 2A2R2b2l2₃ 2A2L2R2l₃2+ B2L2R2l2₃ B2R2b2l2₃

+ sin($) 2ABR2b2l2₃ 2ABL2R2l2₃ + 4A2L2R4 + 4A4L2R2+ 4A4R2b2 +2L2R4l2₃+ 8A4b2l2₃+ 4A2L2R2l2₃+ 2B2L2R2l2₃+ 8A2B2b2l₃2+ 4A2R2b2l2₃ 2q2 2q3 = 2 2q1 2q2 2q3 = 2 q1 = + 2q2+ 2q3 = 2 2q1+ 2q2+ 2q3 = $ 2 q1 2q2 2q3 = 2q1 = q1 2q2 2q3 = 2 q1+ 2q2+ 2q3 = 2q1 2q2 2q3 = q1+ 2q2 + 2q3 = q1 q2 q3 = Q1 2q1+ 2q2+ 2q3 = q1 = q1+ q2+ q3 = Q2 2 2q1 = q1 2q2 2q3 = 2 q1 q2 q3 = U 2q2+ 2q3 = q1+ 2q2+ 2q3 = 2 q1+ q2+ q3 = V

Por último se comprueba que cumpla con el requisito impuesto en el Teorema 3, es decir, que la multiplicación de la matriz Jmm por la matriz JmmR dé como resultado la matriz

identidad I. JmmJmmR = I = 2 6 6 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 7 5

Por lo tanto, la cinemática inversa del MM queda descrita por la siguiente ecuación y está sera utilizada como el modelo cinemático inverso del MM:

2 6 6 6 6 6 6 6 4 Wd Wi _q1 _q2 _q3 3 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 4 M11 M12 M13 M21 M22 M23 M31 M32 M33 M41 M42 M43 M51 M52 M53 3 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 4 _ Xf _ Yf _ Zf 3 7 7 5 (3.6)

3.4.

Simulaciones.

En esta simulación se observara el comportamiento del modelo cinemático obtenido por la ecuación (3.4) y la ecuación (3.6). Esta simulación se realizará en lazo abierto considerando a la cinemática inversa como el controlador y a la cinemática directa como la planta. Ya que en la ecuación (3.6), se tienen como entradas velocidades X_f; _Yf; _Zf , en esta simulación

se tendrán como entrada la trayectoria deseada que deberá realizar el MM.

Figura 3.4: Sistema del MM en lazo abierto.

La Figura 3.4 nos muestra de manera general la forma de interconectar la cinemática inversa del MM y la cinemática directa del MM. Para conocer a detalle el diagrama de bloques usado en esta simulación dirigirse al apéndice A.

Parametros Iniciales Trayectorias Deseadas Constantes del MM.

x0 = 0m _x = ((2) cos(t)) dt b = 0;175m y0 = 0m _y = ((2) sin (t)) dt L = 1m z0 = 0;1785m _z = (t) dt l1 = 0m 0 = 4rad - l2 = 0;19m t = 7s: - l3 = 0;08m - - q1 = = R R[Wd Wi] 2b dt - - q2 = 1;2217rad - - q3 = 1;2217rad - - R = 0;062m

Figura 3.5: Trayectoria circular del MM en lazo abierto.

La Figura 3.5 muestra la trayectoria del MM en lazo abierto, el cual tiene como señal de entrada una trayectoria especi…ca (espiral). En esta …gura observamos que el MM si realiza la trayectoria deseada durante el tiempo de simulación, sin embargo, cabe destacar que el MM realizara siempre esta trayectoria inde…nidamente hasta que el tiempo de simulación termine.

Figura 3.6: a) Velocidad angular de Wd y Wi. b) Desempeño de la orientación del MM.

Es importante monitorear el desempeño de las velocidades angulares, ya que estas per-miten la locomoción del MM; por lo tanto, en la Figura 3.6a observamos dicho desempeño.

En esta observamos que el valor de Wd es mayor que el de Wi y ambos permanecen

con-stantes; esto de acuerdo a [7] es correcto ya que de esta manera se garantiza que el MM siempre gire hacia la izquierda.

De la misma manera que en el caso de las velocidades angulares, de acuerdo con [7], la orientación del MM, descrito por la Figura 3.6b es el correcto, ya que esté incrementa conforme el MM se desplaza.

Figura 3.7: Desempeño de las velocidades de las articulaciones del MM en lazo abierto.

La Figura 3.7 describe el desempeño de las velocidades de las articulaciones, en esta …gura observamos que en general las velocidades son constantes, lo cual nos permite concluir que el manipulador se mantiene en una posición durante la simulación.

3.5.

Conclusiones.

En este capítulo se pudo observar los movimientos que puede lograr el MM. Para la locomoción se observa que son los mismos movimientos que la plataforma mientras que el área de manipulación disminuye debido a la posición de las ruedas (Figura 3.3).

Para lograr modelar cinemáticamente al MM fue esencial crear la ecuación que describe el acoplamiento entre los dos robots que forman al manipulador móvil; de…niendo un punto de referencia, el cual describe la trayectoria del MM.

Por ultimo en las simulaciones observamos que el MM ya puede seguir trayectorias si se conecta en lazo abierto, pero no puede evadir obstáculos.

Capítulo 4

Control de posición de un

manipulador móvil de 6 gdl.

4.1.

Introducción.

En este capítulo se retoma el tema de campos potenciales descritos en el capítulo uno, utilizándolos como herramienta para modelar el controlador que permitirá el control de posición y la evasión de obstáculo. Comenzando con los campos potenciales, primeramente se desarrollan las fuerzas de atracción y de repulsión y se muestra la in‡uencia de estas sobre el robot.

Después de desarrollar las fuerzas de atracción y repulsión, se utilizan estas para desar-rollar el controlador basado en la cinemática inversa del MM. Y al …nal de este capítulo se muestran los resultados obtenidos de las simulaciones y las observaciones generadas por estos resultados.

4.2.

Aplicación de las fuerzas de atracción y repulsión

de los campos potenciales.

En el capítulo 2 se planteó de manera general los campos potenciales, partiendo de la ecuación general de esto, y se logró reescribir esta ecuación para que sea expresada en fuerzas.

Figura 4.1: In‡uencia de las fuerzas del campo potencial sobre el MM.

La Figura 4.1 muestra la in‡uencia de las fuerzas que componen al campo potencial, sobre el MM y como se puede observar cada fuerza posee componentes en los tres planos coordenados generales (X0; Y0; Z0). Por lo tanto a continuación se modelaran estos

compo-nentes. Esto con el …n de lograr construir un sistema en lazo cerrado, en el cual estas fuerzas servirán como realimentación para el sistema.