MOVIMIENTO ONDULATORIO
CONCEPTO DE ONDA:
Una onda es una propagación de una perturbación que se produce en un lugar determinado y en un momento dado, ésta se transmite en una o varias direcciones en el espacio, y se entiende como una inclusión de una dimensión en el movimiento oscilatorio.
Lo primero que debemos hacer son distinguir entre dos tipos diferentes de ondas, éstas son: las ondas viajeras, y las ondas estacionarias.
- Ondas viajeras: es aquel tipo de onda que las cuales se propaga la energía, pero no la materia
- Ondas estacionarias: es aquel tipo de onda que está confinada en el espacio mediante unas fronteras.
También podemos clasificar las ondas según el medio donde se propaguen:
- Ondas materiales: son las ondas que se propagan en la materia, necesitan un medio material para que existan.
- Ondas electromagnéticas: son las ondas que no necesitan ningún tipo de materia para propagarse, sino que lo pueden hacer en el vacío.
Otra forma de clasificar las ondas es teniendo en cuenta la dirección en que se producen las vibraciones de las partículas, frente a la dirección de propagación:
- Ondas transversales: son ondas, las cuales sus partículas vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.
- Ondas longitudinales: son ondas, las cuales sus partículas vibran en la misma dirección de propagación de la onda.
En cualquier caso y según la definición de Onda, la expresión matemática tiene que ser una función tanto del espacio como del tiempo, esto quiere decir que la función tiene que ser del siguiente modo:
En la cual después de haber transcurrido un tiempo t, la onda se ha desplazado hacia la
derecha una distancia vt. Si el desplazamiento se hubiera hecho en sentido contrario, entonces dentro de la función el producto de la velocidad con el tiempo hubiera sido necesariamente positivo:
Sin embargo, todavía no hemos descrito la forma explícita de la onda.
vt
x
f
t
x
y
,
vt
x
f
t
x
y
,
Para ello tenemos que restringirnos al tipo de onda llamada armónica, la cual tiene su representación analítica:
Dimensional, en la fase, es necesario que al multiplicar el factor del paréntesis, tenga el producto con la velocidad dimensiones inversa al tiempo, y para una longitud de onda, éste tan sólo puede ser el periodo, por tanto:
También se puede razonar pensando que la velocidad de propagación es la relación que existe en la onda entre el espacio recorrido y el tiempo que tarda en recorrerlo. Por tanto si el espacio recorrido lo tomamos como la propia longitud de onda, el tiempo tardado en recorrerlo obligatoriamente tiene ser el periodo:
Pero sabemos que la frecuencia es la inversa del periodo, por tanto encontramos que la velocidad de propagación de la onda es el producto de su longitud de onda con su frecuencia.
Por otra parte es costumbre definir una nueva magnitud, por analogía con la frecuencia angular o pulsación, esta es el número de onda, y su expresión es la siguiente:
.
.
,
2
sen
,
onda
la
de
fase
la
es
sinusoidal
función
la
de
dentro
producto
El
amplitud
la
es
A
y
onda
de
longitud
la
es
donde
vt
x
A
t
x
y
v
T
implica
esto
tanto
Por
es
lo
x
porque
ensional
a
ser
que
tiene
t
v
vt
:
.
2
,
dim
2
2
T
v
v
2
2
Esto quiere decir que podemos escribir de otra forma la función de onda:
LA ECUACIÓN DE ONDA:
Si nos remontamos a la segunda ley de Newton, y al movimiento oscilatorio, recordaremos que las ecuaciones del movimiento se obtenían básica a partir de una ecuación diferencial que pretendía describir el fenómeno observado. Después experimentalmente y analizando la ecuación deducida como solución de aquella ecuación diferencial, se veía la fiabilidad de nuestro planteamiento. Ahora vamos a proceder a deducir la ecuación diferencial de forma diferente, y es sabiendo ya cual es la solución de la posible ecuación diferencial, podemos obtener la ecuación diferencial, que nos describe de forma analítica el fenómeno de una onda.
A partir de la solución anteriormente escrita, procedemos a realizar derivadas con respecto el tiempo y el espacio, suponiendo siempre que la onda se desplaza en una sola dirección del espacio (el eje x), situando el sistema de referencia de forma adecuada:
Consideramos ahora, las derivadas con respecto a la coordenada x, a partir de la función de Onda:
t
kx
A
y
sen
t
x
y
K
v
t
y
entonces
t
kx
A
t
x
y
Como
t
kx
A
K
v
t
y
tenemos
así
K
v
s
Sustituimo
t
kx
A
t
kx
A
t
t
y
t
t
y
t
kx
A
t
kx
A
t
t
y
,
sen
,
sen
:
sen
cos
cos
sen
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Combinando las dos ecuaciones anteriores; obtenemos:
Esta es la conocida como la ecuación de onda.
Esta ecuación diferencial satisface por igual tanto a una onda que se desplaza de izquierda a derecha, como de derecha a izquierda.
INTERFERENCIA DE ONDAS ARMÓNICAS:
Supongamos que tenemos dos ondas armónicas, que tienen la misma amplitud, dirección número de ondas, frecuencia, pero diferente desfase, esto es:
La diferencia de fase entre las dos ondas:
Para encontrar la función de onda resultante después de la interferencia, utilizamos el principio de superposición, que simplemente consiste en sumar la funciones de onda de cada una de las ondas armónica:
t
x
y
K
x
y
entonces
t
Kx
A
t
x
y
Como
t
Kx
A
K
t
Kx
KA
x
x
y
x
x
y
t
Kx
KA
t
Kx
A
x
x
y
,
:
sen
,
sen
cos
cos
sen
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21
t
y
v
x
y
2 2 1 1sen
sen
t
kx
A
y
t
kx
A
y
1 2 1 2kx
t
t
kx
Por tanto la función de onda resultante:
Hay dos tipos de interferencias según el tipo de diferencia de desfasaje que encontremos al aplicar el principio de superposición entre las dos funciones de onda. Estos dos tipos tratan de situaciones extremas que podemos encontrarnos, y que a los físicos les parecen interesante, por esta razón las destacamos:
INTERFERENCIA ENTRE ONDAS ESTACIONARIAS:
Una onda estacionaria, es una onda no libre, que está confinada en el espacio, esto quiere decir que tiene fronteras.
Si hacemos perturbar un punto dentro de un lugar confinado, lo que conseguiremos es que se produzca interferencias entra la onda incidente y la reflejada entre sí. Por tanto para poder estudiar a una onda estacionaria tendremos que aplicar el principio de superposición entre dos funciones de onda exactamente iguales, salvo cambiando de signo a una de ellas dentro de la fase, para obligarla a seguir el sentido contrario de la otra:
2
sen
cos
2
2
cos
2
sen
2
2
sen
2
sen
2
sen
sen
sen
sen
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1t
kx
A
t
kx
t
kx
t
kx
t
kx
A
Utilizando
t
kx
t
kx
A
y
y
y
2
sen
cos
2
A
12kx
t
1 2y
N
k
casos
ambos
en
k
va
constructi
cia
Interferen
k
a
destructiv
cia
Interferen
2
:
.
2
1
2
:
.
1
Aplicamos el principio de superposición:
Por tanto la onda estacionaria resultante es de la forma:
- Como podemos observa, la onda no se mueve aunque los elementos que la componen si lo hacen, realizando cada uno de ellos un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.).
- También podemos observar, que a haber una función trigonométrica que depende de la posición, existen lugares donde la onda se anula, y otros lugares donde el Movimiento Armónico Simple asociado describe una trayectoria rectilínea con una elongación máxima con respecto al resto de los puntos.
Antinodos: Son los puntos en el espacio donde la elongación del movimiento Armónico Simple asociado es máximo con respecto a otro punto del espacio que pertenece a la onda estacionaria. Son puntos periódicos, que podemos predeterminar haciendo máxima la función seno:
t
kx
A
y
t
kx
A
y
sen
sen
2 1kx
t
A
t
kx
t
kx
t
kx
t
kx
A
aplicamos
t
kx
A
t
kx
A
y
y
y
sen
cos
2
2
cos
2
sen
2
2
cos
2
sen
2
sen
sen
sen
sen
2 1t
kx
A
t
x
y
,
2
sen
cos
2
2
1
:
2
2
1
2
1
sen
n
x
tanto
Por
k
Como
n
kx
kx
nNodos: Son los puntos periódicos situados en el espacio por donde transcurre el Movimiento Ondulatorio, de forma que no existe ningún tipo de movimiento. Estos puntos los podemos encontrar anulando a la función seno de la función de onda estacionaria:
Podemos comprobar que tanto el origen como el extremo del movimiento ondulatorio son nodos. Precisamente se podría haber introducido la definición de onda estacionaria imponiendo a las funciones de onda esta condición.
Con la última ecuación, podemos encontrar que la distancia que separa a dos nodos es la mitad de la longitud de onda (esto último era de esperar):
El siguiente razonamiento que podemos desarrollar a partir de la ecuación que nos determina el lugar donde está los nodos en el Movimiento Ondulatorio cuando se trata de ondas estacionarias, es interesante desde el punto de vista, en el que por vez primera vez el estudiante se enfrenta con un principio donde una magnitud física no puede tomar el cualquier valor de forma continua, sino que sólo y condicionada por el hecho físico, puede valorarse esa magnitud por unos números determinados. En esta situación se suele decir que la magnitud está cuantizada. Este tipo de resultados, en cambio, es muy común en estudios superiores de física, como es la física atómica y nuclear con el material matemático de la Mecánica Cuántica. No obstante sería insensible olvidar que estas disciplinas y por tanto sus resultados eran desconocidos hace a penas un siglo.
En nuestro caso, simplemente tenemos que preguntarnos que le pasa en particular a la última partícula:
Igualando las dos expresiones y despejando la longitud de onda:
2
:
2
0
sen
n
x
tanto
Por
k
Como
n
kx
kx
n2
2
1
2
1n
n
x
x
n n.
2
conf inado
espacio
del
longitud
la
es
que
L
x
haciendo
n
x
Utilizamos
n nn
L
n2
Las longitudes de onda posibles, son aquellas que resultan de ir dando valores naturales a la n en la ecuación, estando prohibido tomar algún valor intermedio.
Utilizando la relación entre la frecuencia y la longitud de onda, podemos encontrar un resultado análogo para la frecuencia:
El conjunto de frecuencias posibles en un movimiento ondulatorio confinado en el espacio, se conoce como frecuencias naturales.
A la primera frecuencia posible según la ecuación se le llama frecuencia fundamental. Mientras que a las posteriores primer armónico, segundo armónico, etc.
