Introducción al Método de los Elementos Finitos

Alberto Cardona, Víctor Fachinotti

Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina

Introducción al Método

de los Elementos Finitos

Parte 8

MEF para problemas hiperbólicos

v

v

S

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Problemas hiperbólicos

• Problemas de convección-difusión con convección dominante, i.e., con difusión pequeña o nula

• El MEF estándar aplicado a problemas hiperbólicos no funciona para problemas hiperbólicos donde la solución no es suave

• Si la solución exacta presenta por ej. una discontinuidad de salto, la solución por MEF presenta oscilaciones espurias aún lejos del salto

• Se desarrollaron MEF modificados, no estándar, para problemas hiperbólicos – Método de difusión a lo largo de la línea de corriente (Streamline

diffusion)

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Problemas de convección-difusión

• Consideremos la ecuación hiperbólica-parabólica lineal

u: magnitud escalar, por ej. concentración b: campo de velocidades

s : coeficiente de absorción   0: coeficiente de difusión

• Esta ecuación tendrá un carácter más hiperbólico a medida que  decrezca y b=||b|| crezca

• Si  =0, obtenemos la ecuación puramente hiperbólica (convección pura)

• Consideremos el caso estacionario con u y b independientes del tiempo

( ) 0 en I u u u u t s        =   β ( ) ( ) 0 en I u u u u u u t s t s   _{   =}  _{     = }  β  β β 0 en d u u   =  β

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Problemas de convección pura en régimen estacionario

• Consideremos el caso estacionario con u y b independientes del tiempo

• Dado el campo de velocidades b=b(x), las líneas de corriente son las curvas x(s) solución del siguiente sistema de ODEs:

• Estas curvas, parametrizadas por s, también se llaman curvas características (o simplemente características) del problema (1).

• Supongamos que b=b(x) es Lipschitz-continua, o sea

• Luego, por un punto x pasa sólo una característica x(s), o sea 1, , i i dx i d ds = b = 0 en d u u   =  β (1) t.q. ( ) ( ) , C cte C  = β x β y  x y x y ! ( ) t.q. 1, , (0) i i dx s i d ds b  = =  = x x x x'

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Problemas de convección pura en régimen estacionario

• Siendo x(s) una característica, por la regla de la cadena tenemos

• Luego:

• La PDE (1) se reduce a la ODE (2) a lo largo de cada característica • Si se conoce u en un punto de una característica x(s) dada, podemos

determinar u en los demás puntos de x(s) integrando (2) • Ejemplo: sea u conocida en la frontera de entrada

 G_{={xG t.q. n(x)b<0}.}

– Para un punto x', se puede determinar u integrando a lo largo de la característica que pasa por x' empezando en G

Los efectos se propagan siguiendo las características

( ( )) i _i i i dx d u u u s u ds x ds x b   = = =    x β ( ( )) ( ( )) 0 d u s u s ds x  x = 0 u u   = β (1) (2) G G

n

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Problemas de convección pura en régimen estacionario (cont)

• La solución u de puede ser discontinua a través de una característica. • Si u tiene una discontinuidad de salto en x' G_{, la solución será}

discontinua a lo largo de toda la característica que pase por x' .

• Ejemplo: Sea el problema de convección pura en 2, con b=[1 0] y  =0:

cuya solución es ,1 1 2 2 2 2 2 0 para 0 , 1 (0, ) 1 para 0 0.5 (0, ) 0 para 0.5 1 u x x u x x u x x = < < = < < = < < 1 2 2 1 1 2 2 1 ( , ) 1 para 0 0.5, 0 1 ( , ) 0 para 0.5 1, 0 1 u x x x x u x x x x = < < < < = < < < <

x

x

u

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Problemas de convección pura en régimen transitorio

• Haciendo x₀t y b₀=1, podemos transformar la ecuación anterior en otra de forma idéntica a la convección pura estacionaria

• Las características de esta ecuación son curvas (x(t),t) en espacio y tiempo, donde x(t) satisface

• Aquí adoptamos el parámetro s igual a tx₀.

• La ecuación correspondiente a x₀ es simplemente 0 u u u t   _{   =}  β 0 0 en d d i i i u u x b  =  _{ = } 

