Libro Matematicas Aplicadas Al Derecho

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MATEMATICAS

APLICADAS AL DERECHO

Segunda edición

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EDITORIAL PORRÚA

AV. REPÚBLICA ARGENTINA 15

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Primera edición, 2004

Copyringbt lO 2010, DAVID C1ENFUEGOS SALGADO

Eutimio Pinzón 6, 39020, Chilpancingo, Gro.

Esta edición y sus características son propiedad de EDITORIAL PORRÚA. SA de CV 8

Av. República Argentina 15 altos, col. Centro, 06020, México, DF www.porrua.com

Queda hecho el depósito que marca la ley

Derechos reservados

ISBN 970-07-4616-2

IMPRESO EN MExICO

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La historia del hombre no seria la misma si la matemática no hubiera sido desarrollada. Esta ciencia exacta ha proporcionado muchos de los ele-mentos necesarios para la evolución cultural del hombre: desde los ins-trumentos necesarios para establecer el trueque o cambio de mercancias, basta la resolución de los problemas técnicos que lanzarianalgénero hu-mano a la conquista del espacio. La matemática, al igual que el derecho, está presente en la mayoría de las actividades realizadas cotidianamente. Davis y Hersh, al hablarnos de la utilidad que representa la matemática en el mundo moderno aseveraron que para un astrónomo o fisico, las ma-temáticas son útiles porque son el idioma de las ciencias, para un inge-niero civil son útiles porque facilitan la construcción de puentes, para un profesor de matemáticas son útiles puesto que le permite recibir su paga mensual, para un editor son útiles ya que le permiten vender libros.' En este contexto, por qué no pensar que las matemáticas son útiles al aboga-do porque le permiten realizar los cálculos que el estudio, interpretación y aplicación correcta del derecho exigen.

En la escuela aprendemos a contar y medir. Estos procesos se realizan a través de la utilización de un conjunto de simbolos con algunas reglas de escritura. Sin embargo con frecuencia descubrimos que solamente aque-llos alumnos que poseen ciertas aptitudes, se salvan de obtener malas ca-lificaciones, puesto que logran captar la estructura lógica de la ciencia matemática. ¿Cómo evitar que un porcentaje considerable de alumnos re-prueben en matemática? ¿Como evitar el disgusto y repulsión hacia la matemática? Y tratándose de la carrera de licenciado en derecho, ¿cómo formar un profesional capaz de' entender y solucionar los problemas cuan-titativos derivados del estudio, interpretación y aplicación del derecho? Estas preguntas se contestan por el hecho, innegable, de que el maestro siempre enseña el modo en que se hacen las cosas, en este caso las ope-raciones matemáticas, y los alumnos lo aceptan sin cuestionar por qué. Se requiere un cambio en esta situación, la doctrina matemática francesa considera que es preciso situar al alumno en presencia de situaciones

1 Perera, Mariano,Historia e historia de matemáticas, México: Grupo Editorial Iberoa· mericano, 1994. p. 75.

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2 Matem6licos aplicadas 01 Derecho • David Cienfuegos Salgado

matemáticas variadas (contextos diferentes) y hacerlo participar activa-mente en el descuhrimiento de ciertos resultados, de ciertas propiedades y estructuras. En el presente caso, el curso de Matemáticas aplicadas al derecha no debe ser ni un monólogo del profesor, ni un diálogo de éste último con determinado alumno en particular. El curso debe desarrollarse con la participación activa de la mayoria de los alumnos, de todos si es posible. Esto implica dejar un poco la didáctica tradicional para situarse ahora el docente, como un coordinador del grupo, como un colaborador más en la tarea que representa la construcción de nuevos conocimientos.

Con frecuencia se piensa que las matemáticas y el derecho son disci-plinas que chocan, que son incompatibles. Esto es falso, toda vez que la matemática aplicada al derecho constituye uno de los auxiliares princi-pales en su estudio, interpretación y aplicación. Basta señalar que la ciencia matemática provee al derecho de los métodos, técnicas y

herra-mientas necesarias para determinar cuantitativamente las repercusiones

jurídicas de un determinado comportamiento: cálculo de términos,

pla-zos, intereses, penas, beneficios, honorarios, salarios, actualizaciones,

prestaciones, asignación de curules, etcétera. El conocimiento de cómo se realizan estos cálculos, es necesario e indispensable, para cualquier profesional del derecho, cualquiera que sea su actividad: abogado litigan-te, asesor jurídico, juez, administrador, legislador, etcétera.

Esta importancia aumenta cuando descubrimos que en áreas común-mente atribuidas a los estudiosos del derecho, han proliferado

profesio-nales de oLras áreas, tales (;01110 contadores, ingenieros, actuarios,

admi-nistradores de empresas, licenciados en relaciones industriales, etc. Estos profesionales, a pesar de carecer de los conocimientos jurídicos necesa-rios, han desplazado a los egresados de las escuelasyfacultades de dere-cho, quienes por falta de una adecuada preparación en el conocimiento de la ciencia matemática, han pasado a desempeñar funciones secunda-rias. Esta situación debe cambiar; creo firmemente que ese es el objetivo que tuvieron en mente quienes decidieron incluir la asignatura de Mate-máticas aplicadas al derechoen la currícula de estudios superiores de la Facultad de Derecho de la Universidad Nacional Autónoma de México.

El actual programa2 difiere sustancialmente de los anteriores."

apre-2 Aprobado por el H. Consejo Técnico de la Facultad de Derecho en su sesión del B de

julio de 1997.

3 Aprobados por el H. Consejo Técnico, en sesiones de 26 de septiembre de 1994 ypu~ blicado en el Boletín de Jo Facultad de Derecho, número71,primera quincena de octubre de 1994;y, del 30de marzo, 14, 15 Y 19 de abril, 9y21 de junio de 1993; aprobados por la Co-misión de Trabajo Académico delH.Consejo Universitario en sus sesiones del 15 y 29 de ju-nio de 1993; aprobados por el H. Consejo Universitario en su sesión del 2 de septiembre de 1993. Vid.Planesyprogramas de estudio d(J la Facultad de Derecho. GuaIto semestre, Facul-tad de Derecho, UNAM, pp. 328-333.

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ciándose que se suprimieron temas que poco o en nada podían corres-ponderse con el nombre de la asignatura, aprobándose en cambio modW-caciones que enriquecen sustancialmente la cultura del estudiante en de-recho.

Considero que el contenido del programa de la asignatura Matemáti-cas Aplicadas alDerecho es muy ambicioso; sin embargo es preciso

reco-nocer que estamos ante una asignatura sumamente necesaria. Durante el

III Coloquio Internacional de Filosofía e Historia de las Matemáticas (UNAM, 22-26 de junio de 1992) Felipe Tirado Segura' hizo alusión a la problemática de la materia al señalar:

Hay indicadores que permiten apreciar que la enseñanza de las matemáticas a nivel básico (primaria y secundaria) tiene muy baja eficiencia. En una in-vestigación con 897 estudiantes pertenecientes a 21 universidades, se e'ncon-tró que respondiendo a un cuestionario de opción múltiple, el 15% no pudo indicar a cuánto equivale 48 x 3, el 46% no pudo identificar el resultado de dividir 50 entre 0.2 y el 61%no reconoció a que porcentaje equivale 50 en un total de 250. En otra investigación, todos los encuestados tenían estudios de posgrado terminados en distintas disciplinas, alrededor de tres cuartas partes (76%) de ellos se dedicaban de tiempo completo a la investigación o a la docencia a nivel de posgrado, es decir, personas que tenían probado éxito escolar, que corresponden a la élite de la élite en la pirámide de escolaridad, que son profesores de los profesores; con esta muestra se encontró que el 17.8% no pudieron identificar el resultado de dividir 50 entre 0.2, el 27.4% no identificó el porcentaje de 40 sobre 200, el 39.6% no reconoció el princi~ pio para despejar una incógnita en una ecuación simple y el 45.2% parece no comprender cual es el significado del valor "1[".

Es evidente que la asignatura no viene a cubrir tales lagunas, pues ello implica revisar los temas que en el área especifica se han explicitado al alumno desde la educación básica. Sin embargo, sí permite que el fu-turo profesional del derecho identifique los instrumentos y procedimien-tos matemáticos que le permitirán desarrollar su labor, tan preciada para la sociedad de hoy dia, en forma más adecuada. La presente obra va acompañada de abundantes ejercicios y prácticas que permitirán al estu-diante adquirir y mejorar su habilidad mental y afianzar los conocimien-tos obtenidos.

Estas páginas iniciales constituyen un repaso de conocimientos que el estudiante suele adquirir durante su formación básica, mismos que, se-guramente, ha relegado al olvido, pero que adquieren vítal importancia en el contexto de la asignatura que se trata.

4 Tirado Segura, Felipe,"Laenseñanza de las matemáticas básicas, la historia como es· tructura curricular", enMathesis, Vol. IX, no. 4, noviembre 1993, p. 434 Y ss.

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4 Matem6licas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

11. LA MATEMÁTICA

En este contexto introductorio vale la pena cuestionamos¿Quéesla

matemática? La matemática suele ser caracterizada como la ciencia que

se encarga del estudia de cantidades y formas, sus propiedades y relacio-nes, valiéndose de la utilización de números y simbolos. Aristóteles se habia referido a ella como la ciencia de la cantidad; y Descartes, siglos después la llamaría ciencia del orden y de la medida. Sin embargo, es mucho más que eso, puesto que abarca uno de los fundamentos científi-cos más importantes: el método de razonamiento deductivo, del cual ha-blaremos más adelante. Lancelot Hagben afirmó que la matemática es un método que permite descubrir y expresar, de la manera más económica posible, reglas útiles de razonamiento correcto sobre cálculos, medidas y formas. La matemática, en tanto expresión del conocimiento humano, es ciencia, puesto que refleja la voluntad activa, la razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Cualquier ciencia es activídad social, lo cual significa que su sistema de conceptos, técnicas y criterios de valida-ción de enunciados son compartidos y aceptados en el seno de un grupo social determinado. Pero el caso de la matemática es singular, es una ciencia exacta, pero sus aplicaciones se extienden a todas las ramas del conocimiento. Como señaló Bell: es la reina y la sirvienta de las ciencias. La matemática es el lenguaje de las ciencias.

Los elementos básícos de la matemática son: lógica e intuición, análi-sis y construcción, generalidad y particularidad. Como puede advertirse las diferencias de opinión para definirla surgen porque se subrayan di-versos tópicos: para unos lo formal, abstracto y puro son elementos de primer orden, mientras que para otros lo son sus aplicaciones y los usos de la misma. Baldar señala que la ciencia matemática tiene por objeto el estudio tanto de las magnitudes como de las cantidades, que son las va-riaciones de aquélla en el tiempo y en el espacio (estados particulares). En el presente trabajo tomaremos como definición la siguiente: Es la ciencia de los fundamentos que trata las estructuras, formas, magnitudes yrelaciones numéricas del pensamiento. Lo anterior sin desmerecer otras definiciones. También conviene señalar que es frecuente la utilización del plural: matemáticas, que suele considerarse correcto, tal y como lo es. En la presente obra se utiliza, indistintamente, tanto el singular como el plural.

III. HISTORIA DE LA MATEMÁTICA

La historia de la matemática no puede entenderse sin la ideay con-cepto de número; la referencia primordial que tenemos acerca de las

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ma-Introducción 5

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temáticas es precisamente la de este concepto. Es difícil determinar en que momento aparece el conocimiento del número y su desarrollo, pues-to que la idea de número es el principal conceppues-to matemático, además del más antiguo. Es dificil también, si no imposible, intentar reconstruir los momentos y hechos que el hombre tuvo que pasar para llegar a la so-lución de los problemas de medir y contar. Es precisamente esto lo que motiva el surgimiento de la matemática: la existencia de ciertos proble-mas y la necesidad de resolverlos. Si estableciéramos tales problemas por períodos históricos tendríamos que entre el 3500 a. C. y el 500 a. C. el problema era contar y medir; de 500 a. C. al siglo [[ d. C. lo era el realizar operaciones con números para contar y medir indirectamente; en el si-glo III el problema era optimizar algoritmos de las operaciones; para el

siglo VIll había que generalizar procesos de solución de problemas de aritmética; para el siglo XVIl los problemas estaban relacionados con la

construcción utilizando regla y compás y la relación entre dos variables; en el sigloXVIIl el problema es la generalización del método axiomático.

Todas estas situaciones problemáticas estaban relacionadas con activida-des tales como el comercio, las áreas de cultivo, la astronomía, la cons-trucción de templos, el cálculo de áreas, la navegación, la conscons-trucción de armas, la fisica, la termodinámica, la representación geométrica, los juegos de azar, etcétera.

Las matemáticas, como ciencia, habrían de aparecer hacía los siglos v yIVa. C., Eric T. Bell establece siete períodos en la evolución de las ma-temáticas: a) de la época más remota a la antigua Babilonia y Egipto, in-clusive; b) la contribución griega, desde cerca de 600 años a.C., hasta aproximadamente el año 300 de nuestra era, siendo la mejor en los si-glos IV y III a.

c.;

e) los pueblos orientales y semíticos -hindú, chino, persa, musulmán, judío, etc.-en parte antes y en parte después del se-gundo período y extendiéndose hasta el cuarto período; d) Europa du-rante el Renacimiento y la Reforma, aproximadamente los siglos xv yXVI;

e) los siglos XVIl y XVIII;

fJ

el siglo XIX y, g) el siglo xx.5

Poco abundaremos sobre el tema que representa la historia de las ma-temáticas, remitiendo al autor referido a quienes se encuentren interesa-dos en tal tópico. Si señalaremos, en cambio, que hacia 2500 a. C. los co-merciantes sumerios estaban familiarizados con pesos y medidas, con la aritmética necesaria para ejercer una usura despiadada y con los equiva-lentes de lo que hoy llamamos títulos de crédito. Los pueblos antiguos habrían de probar diferentes métodos y sistemas numéricos antes de que se desarrollara la matemática tal y como la conocemos hoy.

El contacta entre Oriente y Grecia hizo que los griegos estuvieran al

5 Bell, E. T.. Historia de las matemóticas, México: Fondo de Cultura Económica, 1985. pp. 25 Yss.

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6 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado corriente de los conocimientos mesopotámicos en matemática y astrono-mía. De esta forma, la matemática fue sometida entonces a las discusio-nes filosóficas que florecieron en las ciudades griegas, y que alcanzarían el punto más elevado (la tendencia axiomático-deductiva) con la teoría del continuo geométrico de Eudoxio y los Elementos de Euclides. En la cultura griega se formalizaron los conocimientos de la geometria y los oro denamientos lógicos.

Después de los griegos, fue el pueblo árabe el difusor de los conoci-mientos, debido a su actividad comercial; un ejemplo de ello es el siste-ma de numeración desarrollado en la India, que fue conocido en Europa gracias a las caravanas de comerciantes y a la dominación árabe. Los ára-bes realizaron mediciones astronómicas y se les conoce como creadores del álgebra. Durante casi veinte siglos el peso de los conceptos griegos re: trasa la evolución matemática: para los siglos XVII y XVIll, los ideales de cristalización axiomática y de deducción sistemática desaparecen para dar paso a la geometria analítica y al cálculo diferencial e integral. En el siglo XIX la necesidad de consolidar y el deseo de una mayor seguridad

en la extensión de la enseñanza superior, que babía impulsado la Revolu-ción francesa, condujo a una revisión de los fundamentos de la nueva matemática, en particular del cálculo diferencial e integral, así como del concepto fundamental de límite.

La mayoria de tales problemas no tenían un origen, ni una expresión juridica. Sin embargo la producción de mecanismos de razonamiento que surgirían en el seno de la comnnidad matemática adquieren pronto una proyección más amplia al servir a otras disciplinas, entre las cuales en-contramos al derecho. Líneas atrás

y

grosso modo la evolución de la ma-temática ha sido expuesta.- Corresponde ahora tratar un tema pospuesto en párrafos anteriores: el método deductivo. Para ello abordaremos la cuestión de la lógica matemática.

IV. LÓGICA MATEMÁTICA

El hombre requirió desde el principio de la civilización de procesos que le permitieran comprender y obtener conclusiones precisas para transformarse a sí mismo y a su entorno natural. Este proceso, que marca la diferencia con respecto de los demás seres vivos, es la capacidad de ra-zonamiento. En el ánimo de perfeccionar esta capacidad la historia de las diversas culturas nos da cuenta de cómo se ínició el estudio de los

me-6 Además del autor anotado en la cHa anterior, para conocer un poco de la evolución de la aritmética, remitoal lector interesado a: Perelman, Y.l.,Aritmética recreativa. México:

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Introducción 7

\

dios para desarrollarla. Hemos señalado en forma somera la evolución de la matemática, y la lógica se encuentra íntimamente ligada a ésta.

En la Grecia antigua destacó Aristóteles' a quíen se le considera el padre de la lógica. Sus aportaciones permanecieron hasta el siglo XIX, cuando se inicia el desarrollo moderno de la lógica con George Boole y Augustus de Margan. Después de ellos se distinguen en el estudio de la lógica matemática: G. Peana, Bertrand Russell, Alfred Tarskí y otros que han enriquecido esta ciencia de modo tal que en la actualidad la lógica matemática es una rama importante del saber humano que tiene aplica-ción en diversas áreas de conocimiento como la cibernética, la computa-ción, la electricidad, la psicología, la filosofía, etcétera,a sin dejar de lado la profesíón jurídica,

Puede definirse a la lógica como el estudio de los métodos y princi-pios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.9 En el ámbito jurídico, que a nosotros interesa, la lógica es un instrumento importante para la interpretación y aplicación del derecho. Por ello, ana-lizaremos en forma somera los razonamíentos lógicos inductivo, deducti-vo y analógico, destacando que strietu sensu no se trata de métodos sino de formas de pensamiento o razonamiento, aunque han sido denomina-dos como métodenomina-dos por numerosos autores, como podrá apreciarse a

con-tinuación.

V. RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Es la forma de razonamiento en la que, a partir de un número de ob-servaciones particulares, se concluyen leyes generales. Como señala Pon-ce de León, el método inductivo, considera una seríe de fenómenos o co-nocimientos particulares para llegar a conclusiones generales. Esta forma de razonamiento es más usual en el trabajo de laboratorio donde se ob-servan y experimentan diversos hechos propios de la física, la química, la biología, la psicología, etcétera. En el ámbito jurídico encontramos que el método inductivo se puede instrumentar de muy diversas formas, pero principalmente mediante las técnicas de análisis y presentación de casos, de procesos jurídicos, de resoluciones jurisdiccionales y jurisprudencia-les, etcétera.lO

7 (384-322 a.C.) Sus obras sobre lógica son un conjunto de trabajos que siglos más larde se conocieron bajo el nombre común de Órganon.

8 Se recomienda la lectura para estos temas de: Jasso Gutiérrez.Pedro,Lógica matemá-tica,México: McGraw-Hill, 1990.

9 Copi, frving M" Introducción a la lógica, México: Alpa CorreaL 1989, p.

3:

10 Ponee de León Armenta. Luis. Metodología del derecho, México: Porroa, 1996,p. 73.

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8 Matem6ticos aplicadas al Derecho· DavidCien fuegos Salgado

Tal razonamiento nos hace pensar que lo que concluimos no es del todo verdadero. pero sí hace muy probable la conclusión. Podemos decir que sin comprobar que se cumple para todos los casos posibles.

"induci-mos" o aceptamos su generalización.

Ejemplo:

Carlos viaja por el estado de Guerrero. y al pasar por la ciudad de Chilapa advierte que la mayoria de los habitantes tienen rasgos simi-lares: baja estatura, morenos y de pelo oscuro; al continuar su reco-rrido por Zitlala. Tlapa y Atlixtac (tres poblaciones de la misma zona en el estado de Guerrero) observa que tales rasgos físicos se repiten en la mayoría de los habitantes. Más tarde, al regresar a la ciudad de México. y platicar con un compañero. le dice que los habitantes de la región que visitó en el estado de Guerrero son en su mayoria de baja estatura, morenos y de pelo oscuro.

En este razonamiento Carlos hizo varias observaciones de casos par-ticulares y a partir de éstos obtuvo una generalidad. Mencionaremos que

en..f!gdo_razonamiento induétivo, la conclusión no se prueba, pero se

hace más

probab!3-Otros ejemplos de razonamiento inductivo:

o) Si conocemos de diversos casos en que agentes de tránsito de determinada población han extorsionado a conductores no residentes de la misma. concluimos que los agentes de tránsito de esa población son corruptos.

b) Si varias personas han sido lesionadas en sus derechos por miembros de una corporación policíaca, concluimos que los miem-bros de tal corporación son abusivos y prepotentes.

e)Si acudimos a ver una película peruana y en ella aparece mucha violencia. y después vemos otra del mismo país donde también apa-rece demasiada violencia. podemos concluir que en las películas

pe-ruanas aparece ro ucha violencia.

Las conclusiones a las cuales arribamos en los casos anteriores pue-den no ser válídas. puesto que nuestra referencia se límita a pocos casos particulares. Sin embargo. nos hemos aproximado a cierta realídad. pues-to que nuestra referencia para obtener una probable "ley" fueron

precisa-mente casos reales.

VI. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Es la forma de razonamiento en que concluimos ciertos principios o conocimientos particulares a partir de principios o conocimientos

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gene-rales. Esta forma de pensamiento es ideal para realizar investigaciones en las ciencias formales. En materia juridica, señala Ponce de León, el méto-do deductivo se realiza principalmente mediante las técnicas de aplica-ción de las normas jurídicas generales a casos concretos.11

Ejemplos:

Todos los Estados democráticos tienen una constitución política México es un Estado democrático

Conclusión: México tiene una constitución palitica.

Todos los mexicanos mayores de edad tienen derecho de voto José es mexicano mayor de edad

Conclusión: José tiene derecho de voto.

Notamos que en los ejemplos anteriores se concluyen ciertas cuestio-nes particulares a partir de otras generales. En estos casos no se trata de

pro~bles"leyes", puesto que son precisamente generalizaciones las que hemo",utilizado para obtener una conclusión particular. Notemos que mientra~el razonamiento inductivo se parte de lo particular para lle-gar a lo generalf en el Ifazonamiento deductivo partimos de lo general para arribar a una conclusión particularj

El razonamiento deductivo tiene un marcado interés para el derecho, pues durante mucho tiempo esta forma se ha aplicado en la resolución de casos. Ello mediante el uso de silogismos en las resoluciones judicia-les. Aunque no puede predicarse que esa sea la forma adecuada de reso-lución de problemas, lo cierto es que el uso de silogismos ilustra a la per-fección el razonamiento de los operadores jurídIcos tradicionales.Wn silogismo es \\llLfazonamiento deductivo en el que se infiere una conclu-- sión de dos premisas."

El ejemplo clásico lo constituye:

Premisa mayor: Todos los hombres son mortales Premisa menor: Sócrates es un hombre

Conclusión: Sócrates es mortal

En el ámbito jurídico la pr~isa may-or ~ una norma general y la premisa menor es la conducta desarrollada por un individuo que preten-de someterse a examen. La contrastación entre ambas premisas dará por resultado un juicio de valor de determinada conducta.

Los silogismos son ampliamente utilizados en ef derecho, especial-mente en los rubros de interpretación y argumentación jurídicas.

11 Ponce de León, Metod%gIo de/ derecho,p. 73. 1.2 Copi, Introducción a/0 lógico, p. 205.

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10 Matemáticas aplicadosal Derecho • David Cicnfuegos Salgado VII. RAZONAMIENTO ANALÓGICO

Es la forma de pensamiento en la cual la conclusión tiene el mismo grado de particularidad o generalidad que sus premisas. Esta forma de ra-zonar es considerada por algunos autores como una derivación del pen-samiento inductivo, por la discutible certeza de sus conclusiones. Como menciona Ponce de León, este método consiste en la comparación de fe-nómenos por sus semejanzas y diferencias, yendo de lo conocido a lo desconocido. En el contexto jurídico puede aplicarse en la modificación legislativa y en la elaboración de normas jurídicas, para lo cual conviene siempre considerar la experiencia normativa en el tiempo y en el espa-cio, situación que origina la comparación histórica y la comparación so-ciolÓgica.13

En este método se obtienen conclusiones estableciendo analogías o comparaciones y es el que utilizamos cotidianamente en nuestras

deci-siones.

Citando a Alejandro pfander, Garda Máynez14señala que el esquema del razonamiento analógico puede expresarse de la siguiente manera:

Q es P

·s

es análogo a Q

S es P

Utilizando el razonamiento analógico podemos llegar a conclusiones como las que siguen:

o) Concluimos que los abogados egresados de la Universidad Z son excelentes, porque anteriormente hemos tratado con abogados egresados de la Universidad Z que eran de una elevada excelencia académica.

b) Si el anuncio de una conferencia del maestro X atrae nuestra aten-ción, concluimos que disfrutaremos de ella, en virtud de que hemos asis-tido y disfrutado otras conferencias suyas.

Ninguno de estos razonamientos es seguro, pues es posible que no to-dos los abogato-dos egresato-dos de la Universidad Z sean excelentes o que la última conferencia del maestro X sea aburrida.

Llevando al campo jurídico el razonamiento analógico habremos de señalar que suele utilizarse para atribuir consecuencias a aquellos casos que no tienen de manera expresa atribuida una consecuencia pero que guardan cierta identidad con los supuestos regulados. Las reglas exigi-das para este razonamiento son: o) la primera premisa de un argumento por analogía formula una afirmación ace~ca del ejemplo usado como

13 Ponee de León,Metodología del derecho,p. 74.

14 Garda Máynez, Eduardo. .Lógica del raciocinio jurídico. za ed'J México: Fontarnara,

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\

analogía; y b) la segunda premisa afirma que el ejemplo de la primera premisa es similar al caso acerca del cual el argumento extrae la con-clusión.

Ahora bien, debe considerarse que las analogías no requieren que el ejemplo usado como una analogía sea absolutamente igual al caso de la conclusión, y sólo requieren de similitudes relevantes. Sólo puede haber analogía cuando entre dos casos o ejemplos comparados no existan

dife-rencias relevantes

Debe señalarse que esta forma de razonamiento jurídico se justifica por referencia a la voluntad del legislador, es decir. se considera, ante el silencio del legislador, que éste ha querido dar el mismo tratamiento a dos hipótesis parecidas. de lo contrario hubiera realizado una manifesta-ción expresa de su voluntad en otro sentido. Entendido de tal forma, el argumento analógico consiste en la aplicación de una norma a un su-puesto de hecho no previsto en la misma. pero con el que guarde cierta semejanza. La semejanza que justifica la aplicación analógica de una nor-ma concurre cuando el supuesto de hecho no regulado comparte con el regulado precisamente el elemento qué constituye la ratio legis de la nor-ma. Por ello. aplicar analógicamente una norma supone la previa identifi-cación del principio (ratio) que la fundamenta. En todo caso, se afirma que aun cuando se revista con ropajes interpretativos, la analogía supone la creación de una norma nueva, y en consonancia con ello está expresa-mente prohibida para las normas penales. las excepcionales y las de ám-bito temporal.

Conviene referirnos a continuación a la corrección del lenguaje. en tanto que suele convenirse que expresa la claridad del pensamiento. La literatura nos ha legado numerosas recomendaciones sobre el arte de re-dactar, es decir. de expresar ideas. de trasmitir información.

VIl!. PROPOSICIONES LÓGICAS

Las expresiones de nuestro lenguaje. por medio de las cuales nos co-municamos, pueden ser clasificadas en tres categorías:

a) proposiciones lógicas,

b) proposiciones abiertas, y e) expresiones indeterminadas.

Las proposiciones lógicas, son expresiones que pueden ser calificadas con valor de verdad o falsedad pero no ambas. Podemos referirnos a ellas simplemente como proposición.

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Ejemplos:

Motem6ticos aplicados al Derecho • David Cienfuegos Salgado

..

P~oposición Valor de verdad

El artículo 1° constitucional protege específicamente el Falso derecho ¡3. ser inteligente.

Los artículos. 27 y 123 constitucionales contienen derechos

Verdadero sociales.

El curso de Lógica III forma parte del vigente Plan de

Falso Estudios de la Facultad de Derecho de laUNAM.

La Constitución política mexicana vigente fue promulgada

Verdadero en 1917.

IX. PROPOSICIONES ABIERTAS

Las proposiciones abiertas son expresiones del lenguaje que incluyen variables. Tales proposiciones abiertas se transforman en proposiciones lógicas cuando son sustituidas sus variables.

Una variable es un simbolo que representa varios objetos. Ejemplo:

Consideremos que en un concurso sobre Derecho Internacional PÚ-blico participan equipos de estudiantes representando a Bélgica, Canadá, México, Rusia, Suecia, Suiza y Tailandia. Los primeros lugares son obte-nidos por los equipos suizo y mexicano; por tal razón reciben un premio.

Así, el enunciado,

El equipo mexicano recibió un premio, es una proposición verdadera, y

El equipo tailandés recibió un premio, es una proposición falsa.

Si nos referimos a un equipo de estudiantes indeterminado, y

afir-mamos,

X recibió un premio,

no tendremos una proposición verdadera o falsa en general, aunque si pode-mos garantizar que cuando coloquepode-mos algún equipo participante en lugar de "X" se obtendrá una proposición lógica, que puede ser falsa o verdadera.

Una expresión. como

X recibió un premio

es una proposición abierta. Y en la proposición abierta anterior"X" es una variabley los equipos que representa forman su dominio correspondiente.

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Z es ministro de la Suprema Corte

de

Justicia de la Nación

c;:

es un diputado al Congreso de la Unión

Cbilpancingo es la ciudad capital del Estado de # K es profesora de la Facultad de Derecho de la UNAM. Variable

z

# K Nombres de mexicanos Nombres de mexicanos Nombres de los estados de la República Mexicana Nombres de mexicanas ~l

(Fl

(¡Al(\1) (Al(fl

tn)

(el ( )

(cJ ( )

En el cuadro anterior y para los casos de Z,

c;:

y K el dominio de las va-riables puede ser incluso más amplio: el de cualquier nombre de persona.

X. EXPRESIONES INDETERMINADAS

Son expresiones que no son proposiciones lógicas ni proposiciones abiertas. Ejemplos: ·Buenas noches. El rector de la UNAM. ¿Quién eres tú? ¿Cómo estás? APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

1. Escribir en el primer paréntesis de cada una de las siguientes expre-siones una A si se trata de una proposición lógica, una B si es una

,

proposición abierta y una C si es una expresión indeterminada. En el caso de las proposiciones lógicas escribe si es verdadera o falsa en el segundo paréntesis.

a) La luna es un planeta.

b) La B es la segunda letra mayúscula del alfabeto español.

e) Ernesto Zedilla es el presidente número 75 de México. d) El libro del alumno.

e) X es cuadrúpedo.

(17)

14 Matemáticas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado

g} ¡Auxilio!

hJ

Estoy reprobando.

iJ

El derecho es un instrumento de control social. jJ La soberanía es un elemento integrante del Estado.

kJ

La sanción del delito de robo.

1J

Toda persona tiene derechos.

mJ

Ñes una letra del alfabeto español.

nJ

+

es el símbolo de la sustracción.

oJ

M es una persona de sexo masculino.

pJ

$ es el símbolo de pesos. . q) Z es un título de libro. (el( ) (el( ) (¡\) [V) (A) (1:') (:.l( ) U)(vi' (~( ) ~,,) (1=)

(e¡ ( )

(t;) (\.1

(eJ ( )

2. Especifica las variables y sus respectivos dominios de cada una de las proposiciones abiertas del ejercicio anterior.

,

3. Escribe cinco proposiciones lógicas, 5 abiertas y 5 expresiones inde-terminadas.

4. En la inauguración de un bufete jurídico, tres colegas de trabajo,..e!Ji.. cenciado Bajo, la licenciada Grande y el licenciado Delgado se dieron cuenta de' que las tres características que correspondían a

--;;s

apelli-. dos podían ser aplicadas al físico de cada uno de ellos.

-De todas formas, ninguno tiene la característica que se espera de su apellido- señaló enseguida el más espigado de los compañeros, elli-cenciado Bajo.

¿Que características físicas poseen los tres colegas?

5. Los abogados del bufete jurídico Alumnos &' asociados deciden que por cada año de experiencia van a ir aumentando en ocho el número de asuntos aceptados. Al finalizar el octavo año de labores, comprue-ban que durante ese año han aceptado 158 asuntos. .

¿Cuántos asuntos habían aceptado el primer año?

6. ¿Cuántas posibilidades hay de cambiar $500.00 (Quinientos pesos) en billetes, teniendo en cuenta que existen billetes en las siguientes denominaciones: 500, 200, lOO, 50, 20, 10.

7. ¿Cuántas posibilidades existen de cambiar $50.00 (Cincuenta pesos) en monedas, teniendo en cuenta que existen monedas de 50, 20, 5,l.

I

2

,o $"

8. Los alumnos del grupo 0034, cuarto semestre, de la Facultad de !!Jere-cho (donde ningún grupo cuenta con más de 30 alumnos), realizaron un examen de Matem6ticos aplicadas al derecho. La 38

parte de los alumnos obtuvieron una MB, la cuarta parte obtuvo una B y la sexta'~ parte una S. Dos octavas partes de los alumnos que realizaron el exa-men lo reprobaron.

(18)

9. Las guerras nunca han traído más que dolor: con mucha frecuencia, sólo ha habido perdedores y ningún ganador. Las familias que más sufrían, sin embargo, eran las que estaban directamente implicadas. Para muchos padres que debían ir al frente, la guerra se convertía en

un camino sin retorno.

Un futuro padre previó el destino que se le avecinaba y dispuso que sus ahorros de 14,000 monedas de plata recayeran en su mujer y el hijo que estaba en camino. Si se trataba de un varón, tendría derecho a percibir el doble que la parte de la madre. Si era niña, sin embargo, sólo debía recibir la mitad que la madre.

Como era de esperarse, el padre no regresó nunca de la guerra, y la madre dió a luz a dos gemelos, un niño y una niña. ¿Cómo había que repartir la herencia de acuerdo con los deseos del padre?

(19)

Anexo

ANEXO 1

PROGRAMA OFICIAL DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICAS APUGADAS AL DERECHO

GENERALIDADES DE LA MATERIA' CLAVE: SEMESTRE: REQUISITOS: NIVEL: CRÉDITOS:

HORAS POR SEMANA: HORAS DEL CURSO: HORAS TEORÍA: HORAS PRÁCTICA:

1411

Cuarto.

AcreditarLexicología Jurídica, Licenciatura. Tres (Obligatoria) Dos Treinta Quince Quince PROGRAMA DE LA ASIGNATURA OBJ~lIVOGENERAL DEL CURSO

Al concluir éste, el alumno:

Identificará. explicará y analizará la relación de las matemáticas con los aspectos normativos de las diferentes disciplinas jurídicas que requie-ran para su interpretacióny aplicación el auxilio de éstas.

• Se recomienda la utilización de una máquina calculadora que además de las cualro operaciones fundamentales, lenga como características el cálculo de la raíz cuadrada, cons-tantes, memoria y exponenciación.ElPrograma de la asignaturaMatemóticas aplicadas al Derecho, con las modificaciones acordadas por el Consejo Técnico de la Facultad de Dere-cho de la Universidad Nacional Autónoma de México, los días 28 de septiembre de 1994y8 de julio de 1997, liene como objeto principal que el alumno identifique, explique y analice la realidad de los actos jurídicos en sus dimensiones matemáticas con el propósito de con-trastar y manejar las fuentes reales del Derecho en forma cuantitativa. Para lograr esto, el programa sigue un desarrollo lineal a efecto de familiarizar al alumno con las operaciones matemáticas fundamentales y el ejercicio de tal conocimiento.

(20)

1. ARITMÉTICA

OBJI:."'TIVO DE LA PRIMERA UNIDAD

Alconcluir esta parte del curso, el alumno: Identificará los instru-mentos básicos que le permiten efectuar los cálculos matemáticos imprescindibles para la solución de los actos jurídicos con

reper-cusiones cuantitativas.

1.1. Sistemas matemáticos. Números y numerales. La interpretación prácticay

conceptual del sistema indoarábigo (posicional, exponencialy decimal). 1.2. Sistemas de unidadesy su importancia.

1.3. Conjuntos. 1.4. Proporcionalidad. 1.5. Porcentaje. 1.6. Interés simple.

1.7. Interés compuesto.

Tiempo Estimado: 10 horas II. LA INFORMACIÓN FINANCIERA

OBJETIVO DE LA SEGUNDA UNIDAD

Al concluir esta parte del curso, el alumno: Analizaráy aplicará la información contenida en los registros contables y estados finan-cieros que se derivan de ellos como elemento probatorio en proce-dimientos jurídicos; además de interpretar las disposiciones que estén relacionadas con la obligación de llevar registros contables. 2.1. Aspectos generales de la contabilidad.

2.2. Estados financieros.

2.3. Consecuencias jurídicas de la contabilidad. 2.4. La contabilidad y las matemáticas.

Tiempo Estimado: 5 horas

nI.

MÉTODOS Y FACTORES DE ACTUALIZACIÓN

OBJETIVO DE LA TERCERA UNIDAD

Al concluir esta parte del curso, el alumno: Aplicará los índicesy

factores de actualización para determinar los incrementos que su-fren las multas, recargos, tarifas, etc., contemplados en los diver-sos ordenamientos jurídicos en los cadiver-sos que así se requieran. 3.1. Métodos para los cálculos inflacionarios.

3.2. Procedimiento para la actualización. 3.3. Cálculos para operaciones jurídicas.

(21)

Anexo

IV. ÁREAS DE LA CURRÍCULA QUE TIENEN EN SUS CONTENIDOS NORMATIVIDAD CON REPERCUSIONES CUANTITATIVAS

OBJETIVODE LA CUARTAUNIDAD

Al concluir esta parte del curso, el alumno: Aplicará los instru-mentos matemáticos fundamentales de algunas disciplinas jurídi-cas que conforman la currícula, que tengan repercusiones

cuanti-tativas.

19

4.1. Área de Derecho fiscal.

4.1.1. Determinación de adeudos del contribuyente.

4.1.2. Determinación de contribuciones a cargo del contribuyente. 4.2. Área de Derecho penal.

4.2.1. Aplicación y ejecución de las penas y medidas de seguridad. 4.2.2. Determinación de fianzas y multas.

4.2.3. Aplicación de los heneficios de la libertad: condicional. bajo pala-bra y bajo caución.

4.2.4. Beneficios de la libertad anlicipada. a) Tratamiento preliberacional.

b) Libertad preparatoria.

e) Remisión parcial de la pena. 4.3. Área de Derecho procesal civil.

4.3.1. Gastos y costas conforme al arancel.

4.3.2. Juicio de conladores 443-VIlI del Código de Procedimientos Civiles para el Distrito Federal; juicio sucesorio. daños y perjuicios, admi-nistración de bienes.

4.4. Area de Derecho de la seguridad social.

4.4.1. Cálculo para la fijación de cuotas, de financiamiento para cada se-guro. determinación de los riesgos de trabajo;

4.4.2. Cálculos para: pago de pensiones o indemnización en riesgos de tra-bajo profesional o no profesional.

4.4.3. Cálculo para el otorgamiento de préstamos a corto plazo. 4.5. Area de Derecho del trabajo.

4.5.1. Indemnizaciones por: despido injusto. rescisión imputable al pa-trón.

4.5.2. Cálculos para el pago de: tiempo extraordinario, jubilaciones, in-demnizaciones.

4.5.3. Integración del salario: cálculo de prestaciones complementarias: salario y especie.

4.5.4. Cálculos en la contratación colectiva y sus repercusiones en el pago de cuolas del Institulo Mexicano del Seguro Social (IMSS). Instituto del Fondo Nacional de la Vivienda para los Trabajadores (INFO-NAVIT). Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR).

4.5.5. Cálculo en la producción y su incidencia en la participación de los trabajadores en las utilidades de la empresa.

4.6. Área de Derecho mercantil.

(22)

4.6.2. Inventario y balance, balance general (activo-patrimonio), análisis de estados financieros, presupuesto.

4.6.3. Juicios mercantiles (ejecutivos y ordinarios), quiebras. 4.7. Área de Derecho aduanero.

Cálculo y determinación de los impuestos de comercio exterior (ad val 0-rem, específico, mixto), impuesto al valor agregado, impuesto sobre pro-ducción y servicios, impuesto sobre automóviles nuevos, derechos.

Tiempo Estimado: 10 horas BIBLIOGRAFíA BÁSICA

CANTÚ TREVIÑO, Jesús, Interés compuesto y anualidades, Editorial Banca y Co-mercio, México, 1993.

CARRILLO ZARCE, Ignacio,Pr6cticas comercialesy documentación, Editorial Banca

y Comercio, México, 1993.

KUNE, Morris, Matem6ticas para los estudiantes de humanidades, Fondo de

Cul-tura Económica, México, 1992.

RAMÍREZ VALENZUELA, Alejandro,C61cu/os mercantiles, Editorial Limusa, México,

1992.

TORRESTORRIJA, Manuel. Manual de c61cuJos mercantiles, Editorial Trillas,

Méxi-co, 1995.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

CARRONELL CHAURE, Vicente, Matem6ticas primer curso, Editorial Porrúa, México,

198!.

SESTllms, Andrés, Historia de las matem6ticas, Editorial Limusa, México, 1989.

SILVAy LAZO, Fundamentos de matemáticas, Editorial Limusa, México, 1990.

LARA APARICIO, Miguel,Antología de matemátícas, 2 t., UNAM, México, 1987.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS Exposición del maestro.

Ejercicios dentro de clase. Exposición audiovisual. Trabajos de investigación.

Solución de casos prácticos por los alumnos. Proyección de láminas y acetatos.

Conferencia por profesores invitados. Ejercicios fuera de clase.

Otras: A elección del profesor.

El titular de la asignatura podrá de acuerdo con las sugerencias propuestas, elegir aquellas que considere las más adecuadas para cumplir con los objetivos de la materia, a fin de hacer más eficiente el proceso de enseñanza aprendizaje.

Asimismo, el maestro, en ejercicio de su libertad de cátedra, estará facuItado para seleccionar de los contenidos que integran el" programa, aquéllos que

(23)

consi-Anexo 21

dere más relevantes o fundamentales y que por lo tanto deban ser expuestos por él mismo, ya que dependiendo de la extensión del programa habrá temas que no pueda explicar durante el semestre, pero éstos podrán ser desarrollados por los alumnos mediante la vía de la investigación o por aquellas actividadesextraesco~ lares que el maestro determine para cubrir la totalidad de los contenidos del pro-grama.

NOTA: El profesor utilizará en todos los temas ejemplos de aplicación rela-cionados con la Cienciayla Técnica Jurídica. Por ejemplo, podrá analizar la Teo-ría de los Tres Círculos de Carda Máynez desde el punto de vista de la teoTeo-ría de los conjuntos o analizará la importancia jurídica de la existencia de los sistemas de unidades.

(24)

·

..

UnIdad 1

Aritmética

Objetivo particular: Al concluir esta parte del curso, el alumno: Identificará los instrumentos básicos que le permitan efectuar los cálculos matemáticos imprescindibles para la solución de los actos

jurídicos con repercusiones cuantitativas.

Aritmética

(De las voces griegas aritmos, número, e, jca, ciencia) Carl F. Causs habia advertido ya, que la matemática es la reina de las ciencias, y a su vez la aritmética es la reina de la matemática. Anteriormente se aceptaba la subdivisión de la matemática en aritmética,~álgebrlLy_g!lQmetría, des-pués en elemental y superior, así como matemática pura y matemática aplicada; hoy día, se considera que estas subdivisiones ya no son propías de su extensión. Se considera a la aritmética como el cálculo con núme-ros en las formas de cálculo fundamentales, a saber, sumar, restar, multi-plicar, dividir, potenciar, extraer raíces y logaritmar. En cuanto parte de la matemática, se considera a la aritmética como la ciencia matemática que tiene por objeto el estudio de los números. La idea de número consti-tuye uno de los pilares fundamentales de la ciencia matemática moderna, pues es a través de tal idea que podemos desarrollar y resolver cualquiera de los problemas planteados en términos matemáticos.

1.1. SISTEMAS MATEMÁTICOS. NÚMERO y NUMERALES. LA INTERPRETACIÓN PRÁCTICA Y CONCEPTUAL

DEL SISTEMA INDOARÁBICO (POSICIONAL, EXPONENCIAL Y DECIMAL)

SISTEMAS MATEMÁTICOS

Pensar y razonar es la más valiosa facultad del hombre. El cerebro es el instrumento único que nos sirve para pensar, aún cuando realmente

(25)

24 Matemciticas aplicadas al Derecho a David Cienfuegos Salgado

no sabemos con precisión cómo funciona. Se señala que ninguna máqui-na tiene el poder de procesamiento y capacidad que posee nuestro cere-bro, pero seguimos sin comprender el proceso desarrollado para realizar una adición o multiplicación.'

Si bien no sabemos cómo funciona nuestro cerebro, sí sabemos en cambio que es una gran necesidad el aprender a utilizar y desarrollar la valiosa capacidad de pensar, comprender, aprender o razonar; pues ello permitirá nuevas ideas y avances en el campo del conocimiento humano, en el que podemos contar al Derecho. Pero debemos también coincidir en el hecho ineludible que hoy día la interdisciplina es un requisito indis-pensable para el avance de cualquier área del conocimiento humano. La biología, ciencia política, matemática, química, historia, sociología, filo-sofía, etcétera, hoy día no realizan sus investigaciones sino a partir de fe-nómenos que exigen ser estudiados desde distintos, y a veces precisos, puntos de vista, que complementan el conocimiento realmente adquirido o descubierto.

Como señala González Amado, en estos momentos, el conocimiento de los principios de la ciencia y sus implicaciones debe ser una parte esencial en la formación de cualquier persona que se autodenomine cul-ta. Al referirse a la física, el mencionado autor expone: Hay una gran se-rie de elementos en el método científico que son de gran valor en otros aspectos de la vida. El primero y quizá el más destacado sea una visión racional del mundo. Las cosas suceden de acuerdo conleyes, y por ello, se pueden conocer y predecir. La física nos ayuda a pensar en términos cuantitativos, lo que no implica, necesariamente, el utilizar matemáticas más o menos complejas, sino más bien el tener una idea aproximada de lasórdenes de magnitudde las variables que intervienen en el problema.2 De ahí que recalquemos la importancia de la matemática en la formación de cualquier profesionista.

Por otra parte, es preciso reconocer como el aspecto más importante de la ciencia matemática el hecho incontestable de que nos indica cómo razonar correctamente: saber cómo utilizar las ideas y el razonamiento lógico para resolver problemas. El conocimiento de la matemática se

apli-1 El Fondo de Cultura Económica ha editado, en su colección"Laciencia para todos", numerosos trabajos de divulgación sobre tales tópicos. Un ejemplo es: Berlanga, Ricardo, CarlosB05ChyJuan José Rivaud.Las matemáticas, perejil de todas Jas salsas.411erl., México:

FCE, 2003, 118p.En el mismo tenor se encuentran libros como: Sagan, Cad,Miles de millo-nes. Pensamientos de vida y mue.rte en la antesala del milenio, Barcelona, España: Ediciones B, 1998;y.Fisher, Len,Cómo mojar una galleta. Laciencia en la vida cotidiana, Barcelona, España: Mondadori, 2003.

2 González Amado, Roberto,.Física para juristas. economistas... y demós gente curiosa, Barcelona, España: Crítica, Grijalbo Mondadori, 1996, p. 16.

(26)

ca en las diferentes áreas en mayor o menor grado; en el campo del Dere-cho no sólo ayuda al jurista a determinar aspectos cuantitativos de los actos jurídicos, sino que dada su estrecha relación con la lógica y el len-guaje, le facilita expresar sus ideas en el lenguaje preciso, requerido por la legislación y su actividad profesional. Es por ello, que la búsqueda a desarrollar en este programa de estudios debe privilegiar el razonamiento lógico del futuro jurista.

Un concepto previo que nos puede introducir al estudio de la mate-mática es precisamente elde,§.istema matemático. Un sistema matemáti-co es un matemáti-conjunto de elementos en el que participan una o más operacio-nes, las cuales son reglas para combinar a dos elementos cualesquiera del conjunto, y una serie de relaciones que satisfacen una serie de axiomas determinados. Dicho en otras palabras, un sistema matemático es un con-junto de elementos asociados con una o más operaciones y relaciones de-finidas en el conjunto. Un ejemplo de sistema matemático es el conjunto de números naturales junto con la operación de adición, ya que dicha operación está definida en ese conjunto (la operación de un sistema debe ser aplicable al conjunto del sistema). Otro ejemplo que se puede men-cionar de sistema matemático es el conjunto de números racionales y las operaciones que en él se definen: adición, sustracción, multiplicación, potenciación y división; así como el conjunto de axiomas o propiedades que los rigen.

NÚMEROS y NUMERALES

No se sabe con certeza cómo crearon y usaron el número las culturas primitivas. Algunos aspectos de su utilidad y manejo se conocen a través de papiros, tablillas de arcilla, códices diversos y el estudio directo en torno a agrupaciones humanas poco evolucionadas. Lo más probable es que la necesidad numérica apareciera con la necesidad práctica de contar propiedades.

En cualquier área del conocimiento es factible encontrar, en las más variadas formas, a los números: en la actividad administrativa es impor-tante conocer la cantidad de recursos materiales con que se cuenta y asi decidir lo que se debe adquirir; en la física para medir velocidades, ma-sas, temperaturas, voltajes, etcétera; en la ingenieria para calcular las fuerzas que existen en una construcción con el objeto de diseñar las es-tructuras que las soporten; en la biologia para medir variaciones de tem-peratura o acidez, etcétera; en las ciencias sociales es importante clasificar caracteristicas sociales de las comunidades para después correlacionarlas con fenómenos de grupo, etcétera. Como podemos ver el hombre utiliza el número para contar, medir, clasificar y enumerar, y así expresar yen-tender el medio que le rodea y facilitar sus actividades. La lista podria

(27)

se-26 Matemólioos aplicadas al Derecho· David Cicnfuegos Salgado guir, recordando que las direcciones postales, las licencias de manejar, los teléfonos, las estadísticas, las cuentas de banco, las legislaciones, et-cétera, involucran números de diferente forma."

Se entiende por número la idea o indicación de la cuantía de una multiplicidad; numeral es el número en forma escrita, como cifra. Pode-mos señalar que cualquier número es una expresión abstracta, una idea, que representa una cantidad o un conjunto. El número es la expresión abstracta y el numeral es el signo utilizado para representarla; el numeral nos sirve para representar la idea de número. Asi, el numeral X represen-ta la idea que los romanos tenían del número diez, actualmente 10 es el numeral que nos sirve para representar la idea del número diez. No debe-mos confundir al numeral con el valor representado. De igual forma no debemos confundir al numeral que es el signo con la expresión que lo denomina, puesto que esta varía de idioma a idioma; siete, seven, sept, etcétera.

El número nace de la acción de contar, puesto que contar consiste en asignar a cada objeto de un conjunto un número sucesivo. Este uso coti-diano ha originado que confundamos el símbolo matemático que repre-senta el número con el concepto mismo de número. Los símbolos matemá-ticos son difíciles de comprender porque son símbolos que representan a su vez otros simbolos. Para entender mejor veamos qué son los sistemas

de numeración.

Un sistema de numeración es un sistema utilizado para escribir

nu-merales. Peterson señala que por un sistema de numeración se entiende un conjunto de símbolos que se usa de acuerdo con algún método para asignar numerales, o símbolos numéricos, a los números.' Es decir, en cuanto sistema se compone de un conjunto de reglas que sirven para ex-presar y escribir los números. Cada civilización utilizó un numeral dis-tinto para significar su idea de un determinado número. Existen diversos sistemas de numeración: egipcio, romano, babilónico, maya. azteca, bina-rio, chino. griego, etc. Es precisamente esta diversidad de sistemas numé-ricos la que nos permite discernir la importancia que adquiere el contar con un sistema aceptado universalmente. Esto lo podemos apreciar en la siguiente tabla:

3 Abreu, José Luisy otros, Sistemas numéricos. México: Limusa, 1982,p. 17,

4 Pelerson, john A. y Joseph Hashisaki.Teoria de la aritmética, México: Limusa, Norie-ga Editores, 1999, p. 16.

(28)

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La interpretación práctica y conceptual del sistema indoarábigo En un principio, los sistemas de numeración surgen como respuesta a la necesidad de estandarizar un sistema de control. En la actualidad el sistema de numeración más extendido es el indoarábigo, llamado

tam-bién sistema numérico o sistema decimal.

Willerding5 señala que existen diversas teorias acerca del origen de los numerales que integran este sistema numérico. Una de ellas. estable-ce que se originó en la Indiay siendo una invención de los hindúes, los numerales fueron traídos a España entre el siglo VIII o IX d.C. por los árabes o moros y difundidos más tarde por Europa. Esta teoria se basa en diversos símbolos encontrados en la India. Por ejemplo, en la siguiente figura aparecen los símbolos descubiertos en las paredes de una cueva dentro de una colina llamada Nana Ghat:

-

-

F

?

~

Uno Dos Cuatro Siete Nueve

Otros símbolos encontrados en la India son los de Nasik:

-

-

--

4-

.'3

~

7

~

Uno Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Nueve

5 Willerding, Margaret F., "Los numerales indoarábigos", enAnta/ogIa de matemáticas [,

(29)

28 Matemólicas aplicadas al Derecho· David Cienfuegos Salgado Hay que señalar que estos símbolos fueron inicialmente usados en combinación con el concepto de valor de posición, puesto que los hin-dúes poseían símbolos para denotar veinte y cuarenta. Los numerales, tal y como los conocemos hoy aparecerían entre los siglos xv y XVI d.C. El manuscrito europeo más antiguo en el cual aparecen símbolos muy pare-cidos a nuestros numerales modernos fue escrito en España en 976 d.C. Tales símbolos son:

lc?{')L78¡

El numeral "O" fue el último de los numerales inventado y el número cero fue el último de los números descubiertos. Una de las propiedades de este número, es que al ser añadido (sumado) a un número X, da de

nuevo el número X:

X+o=X

Atribuida su invención a los hindúes, el cero nos permite desarro-llar la escritura decimal de los números. Sin cero el sistema indoarábigo de numeración no hubiese sido más eficiente para los cómputos que los sistemas egipcio o romano. El cero representa los conjuntos vacíos o nulos o conjuntos que carecen de elementos, asi, el cero carece de va-lor. La palabra cero proviene de la voz árabe ziffero, que significa lugar

vacío.

Durante muchos siglos se prefirió la notación romana a los signos in-doarábigos, incluso en Florencia, en 1299, se prohibió a los mercaderes su uso y se ordenó la escritura de los nombres verbales para los números o la notación romana. En algunas partes se prohibió el uso de numerales indoarábigos en la redacción de documentos oficiales.

El sistema indoarábigo como mencionamos es llamado también siste-ma numérico decisiste-mal o de base diez. Se entiende por base de un sistesiste-ma de numeración el número de unidades de un orden que forman una uni-dad del orden inmediato superior. Así, en el sistema decimal la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una decena; diez decenas forman una centena, etcétera. Son unidades de orden en el sistema deci-mal la decena, centena, millar, decena de millar, centena de millar, mi-llón, decena de mimi-llón, centena de mimi-llón, trimi-llón, cuatrimi-llón, quintimi-llón, etcétera.

Es conveniente señalar que en algunos países como Estados Unidos de América, Francia y Alemania, se llama billón al millar de millones; trillón a lo que conocemos como billón; cuatrillón al millar de billones,

(30)

etcétera. En nuestro caso, el billón representa un millón de millones; un trillón, un millón de billones; un cuatrillón. un millón de trillones; etcé-tera.

Podemos señalar como características de este sistema de numeración, las siguientes:

1. Para expresar cualquier número en forma escrita utiliza diez símbolos.

H. Se trata de un sistema posicional, es decir, se aplica el principio de posición para representar números. Esto signi-fica que los numerales tienen dos valores: uno absoluto y otro relativo.

III. Aplica también el principio aditivo, al sumarse los valores relativos de cada cifra.

IV. Aplica el principio multiplicativo, al obtener el valor de cada numeral multiplicando su valor absoluto por la po-tencia que le corresponde de acuerdo con su posición. V. Uso del cero, que representa ausencia de valor.

VI. Se ordenan las cifras en órdenes de unidades, clases y pe-ríodos. El orden se determina por el lugar que ocupa la ci-fra en la representación numérica, ubicándola de derecha a izquierda. Cada tres órdenes de unidades forman una clase y cada dos clases forman un período de numeración. Los órdenes decimales se consideran a partir de la derecha de las unidades, es decir, a la derecha del punto decimal y algunos los denominan suhórdenes.

El sistema indoarábigo utiliza diez símbolos para representar en for-ma escrita cualquier número, estos símbolos o numerales. que reciben el nombre de guarismos o cifras son:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 O

uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve cero

Las cifras del 1 al 9 tienen un valor propio y reciben el nombre de ci-fras significativas. mientras que el cero carece de valor. Un principio de la numeración decimal escrita establece que toda cifra tiene dos valores: uno absoluto y otro relativo.Absoluto es el valor que tiene el símbolo por su figura; relativo es el que tiene el numeral o símbolo por el lugar que ocupa.

(31)

30 Matem6ticas aplicadas al Derecho e David Cienfuegos Salgado

Por ejemplo en el número

37577

el valor absoluto de los tres sietes es el mismo: siete unidades, pero el lor relativo del siete de la derecha es 7 unidades de primer orden, el va-lor relativo del siete de las decenas es 7xl0= 70 unidades del primer or-den; el valor relativo del 7 de los millares es 7xl0xl0xl0=7000 unidades del primer orden. El valor relativo del 3 es de 3xl0xl0xlOxl0=30000 unidades del primer orden. El valor relativo del 5 de las centenas es 5xl0xl0= 500 unidades del primer orden.

La equivalencia de valores relativos podemos representarla como:·

Posición 5 4 3 2 1 O

donde n es cualquier n x lOS n x

104 n x 103 n x 102 n x 101 n x 100

numeral

En el ejemplo de 37577, los cálculos quedarían: 37577 = (3 x 104)

+

(7 x 10')

+

(3 x 10000)

+

(7 x 1000)

+

= (30000)

+

(7000)

+

(5 X lO')

+

(7 x 10])

+

(7 x 10°) (5 x 100)

+

(7 x 10)

+

(7 xl) (500)

+

(70)

+

(7)

Del ejemplo anterior podemos servirnos para comprender que el sis-tema decimal utiliza el principio posicional, es decir, toda cifra escrita a la izquierda de otra, representa unidades diez veces mayores que la que representa la anterior y viceversa, toda cifra escrita a la derecha de otra representa unidades diez veces menores que las que representa la

an-terior.

A continuación exponemos una tabla que nos muestra las cantidades y su forma de agrupación en el sistema decimal:

6 No debe olvidarse que toda cantidad elevada a cero equivale a la unidad; y toda canti-dad elevada al exponente uno es equivalente a la misma canticanti-dad.

(32)

decenas de cuatrillón 10'000,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1025

unidades de cuatrillón 1'000,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1024 centenas de millar de trillón 100,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1023 decenas de millar de trillón 10,000'000,000'000,000'000,000 1 x 10 22 unidades de millar de trillón 1,000'000,000'000,000'000,000 1 x 1021

centenas de trillón 100'000,000'000,000'000,000 1 x 10 20

decenas de trillón 10'000,000'000,000'000,000 1 x 1019 unidades de trillón 1'000,000'000,000'000,000 1 x 1018

centenas de millar de billón 100,000'000,000'000,000 1 x 1017

decenas de millar de billón 10,000'000,000'000,000 1 x 1016 unidades de millar de billón 1,000'000,000'000,000 1 x 1015

centenas de billón 100'000,000'000,000 1 x 101-1

decenas de billón 10'000,000'000,000 1 x 10t:l

unidades de billón 1'000,000'000,000 1 x 10 12

centenas de millar de millón 100,000'000,000 1 x 1011

decenas de millar de millón 10,000'000,000 1x 1010

unidades de millar de millón 1,000'000,000 1x 109

centenas de millón 100'000,000 1 x 108 decenas de millón 10'000,000 1 x 107 unidades de millón 1'000,000 1 x 106 centenas de millar 100,000 1 X 105 decenas de millar 10,000 1 x 104 unidades de millar 1,000 1 x 103 centenas 100 1x 102 decenas 10 1 x 101 unidades 1 1 x 10° decimos 0.1 1 x 10-1 centésimos 0.01 1 x 10-2 milésimos 0.001 1 x 10-3 diezmilésimos 0.000,1 1 x 10-4 cienmilésimos 0.000,01 1 x 10-5 millonésimo 0.000,001 1 x lO-r, diezmillonésimos 0.000,000,1 1 x 10-7 cienmillonésimos 0.000,000,01 1 x 10-8 milmillonésimos 0.000,000,001 1x 10-9 diezmilmillonésimos 0.000,000,000,1 1 x 10-10 cienmilmillonésimos 0.000,000,000,01 1 x 10-11 billonésimos 0.000,000,000,001 1 x 10- 12 diezbilloné~imos 0.000,000,000,000,1 1 x 10-13

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32 Matemáticas aplicadas al Derecho • David Cienfuegos Salgado

APRENDIZAJE Y AUTOEVALUACIÓN

Advertencia: Algunos de estos ejercicios tienen por objeto que el alumno realice investigación, pues no son abordados en el presente texto.

1. ¿Qué entiendes por sistema matemático?

2. ¿Qué se entiende por números perfectos? Dé algunos ejemplos. 3. Desarrolle un ensayo acerca de la evolución que ba sufrido la

mate-mática.

4. ¿Qué se entiende por números amigables? Dé ejemplos. 5. ¿Qué es un sistema de numeración?

6. Reflexiona acerca de la conveniencia de contar con un sistema de nu-meración uniforme.

7. Analiza los principios fundamentales de algún sistema numérico. 8. En el sistema numérico indoarábigo, ¿cuál es la diferencia que existe

entre el valor absoluto y el relativo de un numeral?

9. Determine los valores absolutos y relativos de cada uno de los nume-rales que integran las siguientes cantidades:

123 23.4560 3456 190.90 2347 7.80 45600 10.1200 28709.79 7893214 10. Represente los numerales utilizados en los sistemas de numeración

maya, babilónico, romano, chino, griego, egipcio, azteca y sumerio. 11. Represente las siguientes cantidades en diferentes sistemas de

nume-ración:

3 9 13 18 25 27

39 55 89 99 123 208

225 500 510 555 678 1,308

4,566 2,456 28,007 35,000 1,000,000 12. Analice la evolución de los numerales indoarábigos.

13. En la tabla presentada al final de este tema, ubica los órdenes de uni-dades, clases, períodos y grupos que integran los valores de las cifras que comprendan hasta los trillones y hasta los cienmill~nésímos.

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14. Investiga los datos más relevantes de los matemáticos griegos y ára-bes.

15. En Lara Aparicio, Miguel, comp.,Antología de Matemáticas, t. 1, Mé-xica, UNAM, 1983, lee y elabora un resumen de los siguientes ensa-yos: 1) Hernández, Rosaura,Los números mágicos (Lo vida indígenay los números). 2) Willerding, Margaret F., El misticismo de los núme-ros y las supersticiones, Sistemas antiguos de numeración, y Los nu-merales indoarábigos. 3) Dugas, René, Lo matem6tica, objeto de cultu-ray herramienta de trabajo.

16. Lee y escribe los siguientes números: 92384755864941948902099807.7 345974137798149823414544 789357895487987543780766541.34 380973477346978901789671290 7423769789423798789342789 76353637383930303356788708976 13789488954897898548978754897089 78789889779897234788734289703809234.76

1.2. SISTEMAS DE UNIDADES Y SU IMPORTANCIA

Como señalamos el número tiene su probable origen en la necesidad de contar propiedades. De igual manera cuando se iniciá a comerciar sur-gió una nueva necesidad: la de pesar y medir.

Varias unidades fueron adoptadas. según se tratara de una u otra ci-vilización antigua. Asi, los pueblos que más aportes hicieron a los siste-mas de unidades fueron los babilonios, los hebreos, los griegos y los ro-manos. Las unidades de medida variaban, y derivaban, por regla general, de partes del cuerpo humano. Para uniformarlos se utilizaron prototipos que se guardaban en lugares seguros. Destacan entre estas unidades el codo, el pie y la pulgada. El codo representa la distancia entre éste y la punta del dedo anular. Baste decir en tal caso que mientras el codo real griego equivalía a 0.524 metros, el codo hebreo era de 0.450 metros y el griego, 0.309 metros.

La milla fue definida por los romanos como mil pasos, y con un total de 5000 pies. En Inglaterra fue reformada, por decreto en el siglo XVI,

para que midiera los 5280.' Por su parte, la yarda parece que tuvo su origen durante el reinado de Enrique 1 de Inglaterra. y representa la

dis-7 Torres, Alberto, Peso y medidas anUguas en México, México: Gobierno de Jalisco,

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