Unidad 2:
Unidad 2:
VALUACION DE OPCIONES BAJO EL
VALUACION DE OPCIONES BAJO EL
MODELO DE BLACK - SCHOLES
MODELO DE BLACK - SCHOLES
Profesor: Alejandro Díaz Ramos
Profesor: Alejandro Díaz Ramos
Escuela de Ingeniería Comercial
Escuela de Ingeniería Comercial
Universidad de Atacama
Modelo Black - Scholes
Modelo Black - Scholes
En el año 1997, los economistas Robert Merton y En el año 1997, los economistas Robert Merton y Myron Scholes; ganaron el Premio Nobel de Myron Scholes; ganaron el Premio Nobel de Economía, por sus aportaciones respecto a un Economía, por sus aportaciones respecto a un modelo que permitía determinar el valor de modelo que permitía determinar el valor de opciones f
opciones financierinancieras.as.
Con este modelo, se introducen el cálculo Con este modelo, se introducen el cálculo estocástico, permitiendo que el comportamiento de estocástico, permitiendo que el comportamiento de los precios fuese descrito en lenguaje de los precios fuese descrito en lenguaje de
Modelo Black - Scholes
El modelo B-S permite calcular el valor actual de una opción europea, de compra (call) o venta (put), sobre acciones en una fecha futura, siempre que la acción NO PAGUE DIVIDENDOS. Donde:
=
−
Modelo Black - Scholes
y… = ln( ) + + 2 = ln( ) + ( 2) Por lo tanto…Modelo Black - Scholes
N(X)= función de probabilidad acumulativa para una variable normal estandarizada.
S0 = precio spot de la acción. K = precio de ejercicio.
r = tasa libre de riesgo con capitalización continua.
T= tiempo al vencimiento.
Modelo Black
–
Scholes: Ejemplo
El precio de una opción seis meses antes del vencimiento de una opción es de $42, el precio de ejercicio de la opción es de $40, la tasa libre de riesgo es de 10% anual y la volatilidad es de 20%.
Es decir:
Modelo Black
–
Scholes: Ejemplo
= ln(42 40) + 0,1 + 0,2 0,52 0,2 0,5 = 0,7693 = ln(42 40) + (0,1 0,2 2)0,5 0,2 0,5 = 0,6278Modelo Black
–
Scholes: Ejemplo
Utilizamos los valores de tabla, para una distribución normal.
Tabla de valores de N(X), cuando x>=0
Tabla de valores de N(X), cuando x=<0
Modelo Black
–
Scholes: Ejemplo
= 42 0,779 40
−,,0,7341
= 4,7861
= 40
(−,,) 0,2650 42 0,2221
= 0,7543
Modelo Black
–
Scholes: Ejemplo
Con lo anterior, en el caso del inversionista que toma una posición larga en opción de compra, el precio de mercado de la acción debería aumentar en $2,7861 (K=40), para que el inversionista termine sin pérdidas.
Del mismo modo, el precio de la acción debe bajar en $2,7543 (S0 = $42) para que el inversionista que tomó una posición larga en una opción de venta termine en equilibrio.
Modelo Black
–
Scholes: Ejemplo
Con lo anterior, en el caso del inversionista que toma una posición larga en opción de compra, el precio de mercado de la acción debería aumentar en $2,7861 (K=40), para que el inversionista termine sin pérdidas.
Del mismo modo, el precio de la acción debe bajar en $2,7543 (S0 = $42) para que el inversionista que tomó una posición larga en una opción de venta
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos)
Cuando la empresa paga dividendos, la valuación de la opción se debe ajustar por este pago.
Fecha ex dividendo: fecha en que se anuncia el
pago de dividendo por acción. En un mercado eficiente, el precio de la acción deberá disminuir en la misma cantidad del dividendo anunciado.
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos)
Eficiencia de mercado: Grado en que el precio
de la acción incorpora la información respecto a la empresa y sus expectativas.
La eficiencia de mercado se puede presentar en 3 niveles.
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos)
Eficiencia débil: los precios reflejan la
información contenida en los precios pasados. Ningún inversionista puede obtener excesos de retorno (sobre la media del mercado) basándose en información histórica (análisis técnico).
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos)
Eficiencia semi fuerte: los precios reflejan la
información histórica y además la información pública relacionada con la empresa (por ej. Estados financieros o hechos relevantes). En este caso ningún inversionista podrá obtener retornos excesivos o anormales, con el uso de la información pública disponible.
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos)
Eficiencia fuerte: los precios reflejan la
información histórica, la información pública disponible, y además información privada (privilegiada) respecto al emisor. Ningún inversionista puede obtener retornos anormales con el uso de la información privilegiada.
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos)
El modelo B-S asume que el mercado presenta una eficiencia semi-fuerte, por lo tanto se considera que el anuncio de pago de dividendos, se incorpora al precio de la acción mediante una baja en el precio de la misma.
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos): ejemplo.
Considere una opción de compra sobre una acción con fechas ex dividendo en 2 y 5 meses. Se espera que el dividendo sea de $0,5. El precio actual de la acción es de $40, el precio de ejercicio es de $40, la volatilidad del precio de la acción es de 30% anual, la tasa de interés libre de riesgo es de 9% anual, y el tiempo al vencimiento es de 6 meses.
¿A cuánto asciende el precio de la opción de compra?
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos): ejemplo.
Primero: calculamos el valor presente de los dividendos.
= 0,5
−,/+ 0,5
−,/ = 0,9741
Por lo tanto, el precio de la acción debería disminuir en $0,9741
Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos): ejemplo.
Por lo tanto: = 40 0,9741 = 39,0259 = 40 = 0,09, = 0,3; = 0,5 = ln(39,0259 40) + 0,09 + 0,3 0,52 0,3 0,5 = 0,2017 = ln(39,0259 40) + (0,9 0,3 2)0,5 0,3 0,5 = 0,0104Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos): ejemplo.
Por tabla… = 0,2017 = 0,5793 + 0,5832 2 = 0,58125 = 0,0104 = 0,4960 + 0,4920 2 = 0,494Modelo Black
–
Scholes (Con
dividendos): ejemplo.
Finalmente, valorizamos la posición larga en una opción de compra (call):
