2 El Método de Elementos Finitos (MEF)

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El Método de Elementos Finitos (MEF)

(COMPLEMENTO PARTE II)

Detalles de la formulación del problema de segundo orden y su modelado por

elementos …nitos

En los problemas que suelen presentarse para resolver, originados en algun problema de ingeniería, suelen presentarse algunos tipos de discontinuidades. Se analizará como debe formularse un problema, con el objeto de clari…car que tipo de consideraciones se deben tener al momento de discretizar este para resolverlo por elementos …nitos.

Se supone que se tiene el caso de la siguiente …gura:

Muchos problemas de física se formulan utilizando dos variables, una denominada variable de estado u y el ‡ujo . Estas dos variables se relacionan entre si por medio de la ecuación constitutiva que describe el comportamiento del material sometido al proceso en estudio. Si dicho comportamiento es lineal, la relación constitutiva tiene la siguiente forma:

(x) = k (x)@u (x)

@x (1)

k (x) se denomina módulo del material, y es un dato del problema, y se asume que es siempre positivo o siempre negativo.

La ley de conservación establece que para un dado dominio el ‡ujo neto es cero. El ‡ujo puede estar presente de una forma distribuída, descripta por la función f (x), de una forma “puntual”, descripta por f (x) (x xd) o a traves de los bordes de la región, condiciones de contorno.

Además de las condiciones que establecen la ley de conservación y la ecuación constitutiva sobre la variable de estado u (x), a la que se le pide que sea una función continua de x. Otra condición que puede pedirse es que u (x) tome un valor determinado en uno o ambos extremos, a lo hemos denominado condición de borde esencial. Las demás condiciones que pueden imponerse pueden derivarse de la ley de conservación.

En la …gura se observa que se tienen las siguientes discontinuidades: en la función que describe el ‡ujo distribuído f (x) en x = x1

en la función que describe el ‡ujo distribuído f (x) en x = x3 donde presenta una discontinuidad

simple dada por la función delta de DIrac

en el módulo k en x = x2 , se supone continuo dentro de cada subdominio

en la función que describe el ‡ujo distribuído, que presenta una discontinuidad simple en

Las discontinuidades en los datos llevan a de…nir cuatro subdominios dentro de los cuales los datos son suaves y un total de cinco puntos donde hay discontinuidades, los dos extremos y los tres puntos dentro del dominio, enumerados recientemente, donde se tiene alguna discontinuidad en los datos.

(2)

a0(x)

@2u (x)

@x2 + a1(x)

@u (x)

@x + a2(x) u (x) = f (x) (2)

Donde ak(x) nunca se anulan ni cambian de signo en el dominio (esto está relacionado con el hecho

de estar tratando problemas de tipo elípticos).

La forma más general de expresar las condiciones de borde relacionados con una ecuación diferencial de segundo orden es:

0 @u (0) @x + 0u (0) = 0 en x = x0 (3) L @u (L) @x + Lu (L) = L en x = xL

Porción del dominio donde los datos son suaves Analizaremos el planteo matemático sobre una porción a-b del dominio, donde todos los datos son continuos y suaves, como se esquematiza en la siguiente …gura:

Por la ley de conservación, el ‡ujo debe conservarse para todo punto, entonces:

(b) (a) =

b

Z

a

f (x) dx (4)

tomando límite en ambos miembros:

lim; b!x+ (b) lim; a!x (a) = lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x) dx 1 A como f (x) es acotada, en el límite de la integral es 0, entonces:

[ (x)] = lim;

b!x+

(b) lim;

a!x

(a) = 0 (5)

siendo [ (x)] el “salto” del ‡ujo en el punto x.

El resultado de la (5) dice que, si no hay discontinuidades, el ‡ujo es continuo en todos los puntos de un dominio suave.

Como f (x) es continua, puede utilizarse el teorema del valor medio del cálculo integral

b

Z

a

f (x) dx = (b a) f ( ) con a b donde f ( ) es el valor promedio de f (x) en [a; b]. Entonces

(b) (a) =

b

Z

a

(3)

y

(b) (a)

(b a) = f ( ) tomando limites en ambos miembros:

lim; b!x+ a!x (b) (a) (b a) = lim;b!x+ a!x (f ( ))

como la función es continua, el limite de la parte derecha existe y es lo que se conoce como derivad, por lo tanto el otro limite existe entonce, para toda región suave puede escribirse:

@ (x)

@x = f (x)

Reemplazando en esta última la expresión de la ecuación constitutiva (1) se tiene:

@ (x) @x = @ k (x)@u(x)@x @x = @ @x k (x) @u (x) @x = f (x)

como k (x) es suave, entonces la expresión anterior puede expandirse a: @k (x) @x @u (x) @x k (x) @2u (x) @x2 = f (x) (6)

Si comparamos esta última con la (2), y consideramos que: a0(x) = k (x)

a1(x) = @k(x)@x

a2(x) = 0

tenemos que (6) es una ecuación diferencial del tipo (2).

Porciones del dominio donde los datos no son suaves. Discontinuidades …nitas. Discon-tinuidad …nita en la fuente distribuídaf (x)

Es el caso que se produce en el punto x = x1 de la FIg.[9]. Anlizaremos una porción que incluye la

discontinuidad, como se muestra en la siguiente …gura:

Por la ley de conservación se tiene:

(b) (a) = b Z a f (x) dx tomando limites

(4)

lim; b!x+ (b) lim; a!x (a) = lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x) dx 1 A lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x) dx 1 A = 0 conlo que tenemos:

(x) = 0

que el “salto” del ‡ujo en el punto x sigue siendo homogeneo, pero debido a la discontinuidad de f (x) no es aplicable el teorema del valor medio. Aunque k (x)@u(x)@x fuera continua @x@ h k (x)@u(x)@x i no existe por no existir el límite, lo cual signi…ca que en x = x1 no tenemos ecuación diferencial.

Discontinuidad en la ecuación constitutivak (x) (cambio de material)

Este tipo de discontinuidad es del tipo que se produce en la zona de contacto entre dos materiales diferentes, y por lo tanto de relaciones contitutivas distintas, como en el punto x = x2.

Por la ley de conservación:

(b) (a) =

b

Z

a

f (x) dx

Al aplicar limites, nuevamente tenemos que el salto en el punto x donde se produce la discontinuidad es homogeneo, matemáticamente (x) = 0. Como f (x) es continua, se puede aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral, obteniendo que:

lim; b!x+ a!x (b) (a) (b a) = blim;!x+ a!x (f ( )) @ (x) @x = f (x)

Si ahora se reemplaza la expresión de la ecuación constitutiva en esta última se tiene: @

@x k (x) @u (x)

@x = f (x)

pero en este caso, k (x) es discontinua y no puede expandierse como en (6). La ecuación diferencial existe en el punto pero no puede ser expandida.

Discontinuidad simple en la fuente distribuída dada por la función delta de Dirac(fuente puntual)

(5)

Nuevamente, por la ley de sonservación del ‡ujo (b) (a) = b Z a f (x) dx + b Z a f (x x3) dx recordando que:

f (x) : parte suave y continua de la fuente f (x x3) : fuente puntual

Tomando límites en ambos miembros:

lim; b!x+ (b) lim; a!x (a) = lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x) dx 1 A + lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x x3) dx 1 A se tiene que: lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x) dx 1 A = 0 lim; b!x+ a!x 0 @ b Z a f (x x3) dx 1 A = f por lo tanto: (x) = f

Esta última indica que en este caso se tiene un salto no homogeneo en el ‡ujo. Además, lim; b!x+ a!x b R a f (x x3) dx !

es independiente de los límites, por lo tanto @ (x)@x x=x

3 no está

de…nida lo que impide de…nir al ecuación diferencial en ese punto.

Discontinuidad producida por la presencia de un borde del dominio

Hasta ahora no hemos analizado a las condiciones de borde como una discontinuidad, pero de hecho lo son, y surgen cuando se de…ne la interacción del sistema que se esta estudiando con el medio que lo rodea, especi…cando en los bordes el valor de la variable de estado o del ‡ujo.

(6)

En los segmentos de extremo tambien se cumple la ley de conservación, en consecuancia: (b) (0) = b Z 0 f (x) dx

tomando limites, cuando b ! 0 se tiene que (0) ! 0, y cuando a ! L que (L) ! L. Por la ley

constitutiva, entonces: 0 = k (0) @u (0) @x (7) L = k (L) @u (L) @x

lo cual lleva a que estas condiciones estan …jando el valor de la derivada de la variable de estado en los extremos. Las expresiones anteriores presentan al forma general de expresar las condiciones naturales.

En otras situaciones (como en el caso de transferencia de calor por convección, referido a la ecuación de calor) se supone que el ‡ujo es proporcional a la diferencia entre el valor de la variable de estado en el borde u (0) o u (L) y su valor de referencia en el medio circundante u1 (conocida como temperatura de la fuente in…nita). Este tipo de condición se escribe matemáticamente como:

0 = K0[u (0) u1] L = KL[u (L) u1]

donde Koen general es una constante que depende del módulo que corresponde al material del medio

circuandante. Si se reemplaza la anterior en (7):

k (0)@u (0)

@x = K0[u (0) u1] k (L)@u (L)

@x = KL[u (L) u1]

estas expresiones también son condiciones de contorno de tipo natural (por el hecho de estar involu-crada la derivada de la variable de estado u).

En el caso de problemas donde se especi…can solo condiciones de tipo natural en el borde, deberá satisfacerse una condición global de conservación dada por:

0+ L= L

Z

0

f (x) dx (8)

(Nota: en este último caso, la expresion (8) garantiza la existencia de la solución, no garantiza la unicidad.)

IMPORTANTE: las discontinuidades condicionan la discretización, esto se debe a que las funciones de forma no podrán acomodarse a las discontinuidades. En otras palabras, en el momento de particionar el dominio en elementos se colocará un nodo en los puntos donde se produzca algún tipo de dicontinuidad en los datos. Los términos que involucran a las discontinuidades no pertenecerán a la descripción local característica de la descripción con elementos, apareciendo cuando se suman las contribuciones de todos los elementos a la matriz de rigidez (matriz de coe…cientes) y al término de carga (vector de términos independientes).

Funciones de forma (o de interpolación o aproximantes). Polinomios de Lagrange.

Cuando se utilizan como funciones de interpolación a polinomios de Lagrange se obtiene la formulación de un elemento de tipo Lagrangeano. Los polinomios se de…nen en el sistema local del elemento 2 [ 1; 1]

(7)

Ni j =

1 si i = j 0 si i 6= j

que muestra que las m + 1 funciones Ni( ) forman un conjunto linealmente independiente,

confor-mando una base para cualquier polinomio de grado m o menor. Esta propiedad se traslada alas funciones globales por tramo que se obtienen a partir de estos polinomios que forman la base. Recordando la de…nición de los polinomios de Lagrange de orden m:

Pm( ) = fi m+1Y j=1 j6=i j i j

y su orden de error de truncamiento asociado es: E / O hm+1

siendo h la separación entre nodos vecinos y fi= 1 para el caso de las funciones de forma, con lo cual

la expresión general para un polinomio de orden m (que involucrará a m + 1 puntos o nodos) será: Ni( ) = m+1Y j=1 j6=i j i j

La condición de completitud para los polinomios d eLagrange deviene de la condición impuesta a la familia de funciones con las cuales se “arma” la solución aproximada que decía que esta debía tener la posibilidad de representar cualquier variación de la función incógnita en el dominio. Esta condi-ción es muy importante, por ejemplo si faltara el término proporcional a x1 estando presentes los que

son proporcionales a x0; x2; x3; :::; xm esto tendrá como consecuencia inmediata que E / O (h) y no a

E / O hm+1 . Si el término faltante fuera el proporcional a x0 puede suceder que las funciones de

interpolación no tengan ninguna convergencia. Otra implicancia es que, si la función incógnita tiene derivadas hasta orden s, con s m, no importará cuanto aumentemos el grado m del polinomio en la función aproximante ya que solo los primeros s términos servirán paraa aproximar a la función, estando el error dado por E / O (hs), por lo tanto si se quiere mejorar la convergencia lo que se debe hacer es disminuir el tamaño de los elementos (subdominios).

Condiciones de borde

Se presentan a continuación los tres casos principales que se obtienen a partir de la expersión general (presentada para dominio unidimensional):

0 @u (0) @x + 0u (0) = 0 en x = x0 L @u (l) @x + Lu (L) = L en x = xL

Una vez sumadas las contribuciones elementales, el sistema global tiene la forma: 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 k111 k112 0 ::: 0 0 k121 k221 + k211 k212 ::: 0 0 0 k2 21 k222 + k113 ::: 0 0 0 0 k3 21 ::: 0 0 .. . ... ... . .. ... ... 0 0 0 ::: km 122 + km 11 k12m 0 0 0 ::: km 21 k22m 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 u1 u2 u3 u4 .. . um 1 um 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 f11+ (0) f21+ f12 f2 2 + f13 f3 2 + f14 .. . f1m 1+ fm 1 fm 2 + (L) 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 ( (0) y (L) si correspondieren)

Condición esencial o de Dirichlet

(8)

u0= u (0) = 0 0

y uL= u (L) = L L

(9) Esto produce que el número de incógnitas se reduce en dos, lo que permite reducir el sistema de ecuaciones en dos (no hay residuo en los bordes)

2 6 6 6 6 6 4 k1 22+ k211 k122 ::: 0 0 k2 21 k222+ k311 ::: 0 0 0 k3 21 ::: 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 ::: k22m 1+ km 11 km12 3 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 4 u2 u3 u4 .. . um 1 3 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 4 f1 2+ f12 k121u0 f2 2+ f13 f3 2+ f14 .. . f1m 1+ fm 1 k12muL 3 7 7 7 7 7 5 Condiciones naturales generales

Corresponden al caso que en el contorno se especi…ca una combinaciónlineal de la variable de estado y del ‡ujo. @u (0) @x = 0 0u (0) 0 (10) @u (L) @x = L Lu (L) L u0 = u (0) uL = u (L)

Haciendo uso de la relacion constitutiva (1) resulta:

0 = k (0) @u (0) @x = k (0) 0 0u (0) 0 L = k (L) @u (L) @x = k (L) L Lu (L) L

(Observación: @u(0)@x tiene signo ( ) y @u(L)@x tiene signo (+)) que al ser reemplazadas en el sitema global queda:

2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 k1 11 k(0) 0 0 k 1 12 0 ::: 0 0 k1 21 k122+ k211 k122 ::: 0 0 0 k2 21 k222 + k311 ::: 0 0 0 0 k3 21 ::: 0 0 .. . ... ... . .. ... ... 0 0 0 ::: km 122 + km 11 km12 0 0 0 ::: km 21 k22m+ k(L) L L 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 u1 u2 u3 u4 .. . um 1 um 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 f1 1 k(0) 0 0 f1 2 + f12 f2 2 + f13 f3 2 + f14 .. . f2m 1+ fm 1 fm 2 + k(L) L L 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 Sistema que puede ser resuelto para las m incógnitas.

Condición natural de Newman

En este caso se especi…ca el valor de la derivada en los extremos. @u (0) @x = 0 0 y @u (L) @x = L L (11) Este tipo de condición requiere se tengan ciertas consideraciones, en realción al tipo de ecuación que se está resolviendo. La ecuación general de gobierno:

a0(x)

@

k (x)@u (x) + a1(x)

@u (x)

(9)

a0(x) @ @x k (x) @u (x) @x = f (x) (12) @ @x k (x) @u (x) @x = f (x) a0(x)

Si u es solución de (12) con las condiciones (11), entonces u + C0 (C0 una constante arbitraria)

tambien es solución del mismo problema. Esto signi…ca que la matriz de rigidez es singular (sistema compatible indeterminado).

Las cosntantes que de…nen las condiciones (11) no pueden ser arbitrarias, ya que debe satisfacerse la condición de conservación global del ‡ujo (que establece que se debe sonservar el ‡ujo en todo el dominio). Para el caso más general la forma débil del problema tendrá la forma:

L Z 0 k (x)@W @x @Nm @x dx = L Z 0 W f (x) dx + f W (x) k (0) 0 0 + k (L) L L

válido para cualquier función W . Si una solución del problema es u = Colo cual hace que: L Z 0 k (x)@W @x @Nm @x dx = 0 por lo cual: L Z 0 W f (x) dx + f W (x) k (0) 0 0 + k (L) L L = 0 (13)

La expresión (13) es una condición de compatibilidad, y constituye una condición necesaria para que exista la solución. Para determinar la solución es imprescindible especi…car o asignar un valor al parámetro uj (correspondiente a un nodo j de la discretización).

(Suele asociarse a este problema con un problema de mécanica del sólido, donde C0 representa un

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