Unidad 2: Métodos de análisis.
Unidad 2: Métodos de análisis.
NÁLISIS
Introducción
Existen dos métodos fundamentales para analizar circuitos:
• Análisis nodal.
• Análisis de mallas.
Estas técnicas se basan en la aplicación sistemática de las leyes de
Kirchhoff: LCK y LVK, respectivamente.
Lo que se obtiene al aplicar cada procedimiento, es un conjunto de
ecuaciones lineales algebraicas.
Las variables del conjunto de ecuaciones lineales son:
• Los voltajes de nodo, para el método de análisis nodal.
• Las corrientes de lazo, para el método de análisis de mallas.
El conjunto de ecuaciones lineales puede resolverse por cualquier
Análisis Nodal
Se basa en la ley de corrientes de Kichhoff y en la ley de Ohm
para determinar los voltajes nodales de un circuito.
Voltajes nodales:
•
Suponga que un circuito posee n nodos.
•
Uno de ellos se elige como el nodo de referencia: poseerá
un potencial de 0 Volts.
•
Definimos como
voltajes nodales del circuito a la
diferencia de tensión que existe entre cada uno de los n-1
nodos y el nodo de referencia.
Voltajes de nodo
En referencia al circuito de la
figura:
• Posee 5 nodos, uno de referencia (el
cual posee una tensión de 0Volts).
• Los demás nodos tendrán una
tensión de V1, V2, V3 y V4,
respectivamente, con respecto al nodo de referencia.
Si estamos interesados en conocer
un voltaje de rama del circuito, por ejemplo Vr (por LVK):
Todas las demás variables del
circuito se determinarán a partir de los voltajes nodales.
V20 V10 V40 V30 Nodo de referencia 2 1 0 2 0 1 20 10 ( ) ( ) V V V V V V V V V r
Análisis Nodal (continúa)
Abordaremos el tema dividiendo al análisis nodal
en tres casos:
1. Análisis nodal sin fuentes de tensión (dependientes
o independientes). Las fuentes de excitación son
solo de corriente.
2. Análisis nodal con fuentes de tensión con una de
sus terminales conectada al nodo de referencia.
3. Análisis nodal con fuentes de tensión conectadas
1) Análisis nodal sin fuentes de
tensión
Procedimiento:
1. Seleccione un nodo como nodo de referencia. Los símbolos comunes para indicar el nodo de referencia
son:
2. Asigne las tensiones V1, V2, … , Vn-1 (aun desconocidas) a los n-1 nodos restantes del circuito,
considerando que éste posee n nodos.
Ejemplo:
Paso 1 Paso 2
… Procedimiento (continúa)
3. Aplique la LCK a cada uno de los n-1 nodos de
no referencia.
Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en
términos de los voltajes de nodo.
Detalle del paso 3
Identifique la corriente de cada resistor con una etiqueta, por
ejemplo: i1 , i2 ,…, i M , donde M es el número de resistores del
circuito.
La asignación de etiquetas a las corrientes de los resistores no es
necesaria cuando ya se ha adquirido suficiente experiencia en
el uso del método. i1
i2
i3
La dirección que se asigne es
indistinta.
Detalle del paso 3
Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en términos de los voltajes de nodo.
Para el resistor de 1W : Su corriente de rama
es i1, su voltaje de rama en términos de los voltajes de nodo es V1- V2 (de acuerdo a la ley pasiva de los signos), por lo tanto, por la ley de Ohm:
Para el resistor de 2W : Su corriente y voltaje
de rama son i1, y V2-0, respectivamente, por lo tanto, por la ley de Ohm:
W 1 2 1 1 V V i W 4 2 3 3 V V i
Para el resistor de 4W : Su corriente y voltaje de
rama son i1, y V2-0, respectivamente, por lo tanto, por la ley de Ohm:
W 2 0 2 2 V i
Detalle del paso 3
Aplique la LCK a cada uno de los n-1 nodos de no referencia.
Para el nodo 1:
Para el nodo 2:
Para el nodo 1:
Sustituyendo las ecuaciones para i1 , i2 e i3: 1 5 i 2 3 1 i i i 3 4 i W W W W 4 2 0 4 1 1 5 2 3 2 2 3 2 1 2 1 V V V V V V V V V
… Procedimiento (continúa)
4. Resuelva las ecuaciones
simultáneas resultantes para obtener las tensiones de nodo desconocidos.
Para evitar las fracciones en los
coeficientes, multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones: 4 . . . 4 4 4 . . . 2 0 4 1 1 . . . 1 5 2 3 2 2 3 2 1 2 1 W W W W W m c m V V m c m V V V V V m c m V V 16 0 7 4 5 3 2 3 2 1 2 1 V V V V V V V Volts 34 Volts 18 Volts 23 3 2 1 V V V ) ( 16 2 ) ( ) ( 4 ) ( 5 2 3 2 2 3 2 1 2 1 V V V V V V V V V
2) Análisis nodal con fuentes de tensión
con una de sus terminales conectada al
nodo de referencia
Si una fuente de tensión
(independiente o dependiente)
está conectada entre el nodo de
referencia y cualquier otro
nodo, el voltaje nodal de este
último será igual a la tensión
de la fuente (con signo
dependiendo de la polaridad de
la fuente).
Esto reduce la cantidad de
ecuaciones del circuito, pues ya
no se debe aplicar la LCK a este
nodo.
Ejemplo:
En este circuito, v1=30V. Para
determinar v2 y v3 se utiliza el
análisis nodal.
Ejercicio: Aplique el análisis
nodal para determinar v2 y v3.
v
1
v
3) Análisis nodal con fuentes de tensión
conectadas entre dos nodos de no
referencia
Si una fuente de tensión (dependiente o independiente) está
conectada entre dos nodos de no referencia se denomina fuente
“flotada”.
Los dos nodos de la fuente forman un
supernodo o nodo generalizado:
Un supernodo es una superficie cerrada que incluye a una fuente
de tensión flotada y a cualesquiera elementos (
R, L,C)
conectados en paralelo con ella.
Cabe destacar que un supernodo puede incluir dos nodos o más. Para el análisis nodal, se aplica la LCK al supernodo; además se
aplica la LVK, con la cual se obtiene la ecuación de restricción del supernodo. Habrán tantas ecuaciones de restricción como fuentes dentro del supernodo.
… continúa
Ejemplo:
En este circuito tenemos una
fuente de tensión conectada al nodo de referencia, por lo tanto, v =10V.
Además, tenemos un supernodo
formado por los nodos 2 y 3. Aplicando la LCK al supernodo, tenemos:
Usando la ley de Ohm,
O sea: 3 2 4 1 i i i i 6 0 8 0 4 2 3 3 2 2 3 1 4 2 1 1 v i v i v v i v v i 6 0 8 0 4 2 3 2 3 1 2 1 v v v v v v Supernodo
… continúa
Simplificando:
Sustituyendo v1=10V :
Falta una ecuación: La obtenemos
de la ecuación de restricción del supernodo.
Redibujamos el circuito de la
siguiente forma:
Aplicando LVK,
Esta se conoce como la ecuación
de restricción del supernodo. Un circuito tiene tantas ecuaciones de restricción como la cantidad de fuentes “flotadas” o supernodos.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, v2=12.1V y v3=7.1V. 0 10 9 18 3 2 1 v v v 180 10 9 3 2 v v 5 0 5 3 2 3 2 v v v v
