3.1.- Análisis Nodal Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Corriente. Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente. Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de

UNIDAD 3

3.1.- Análisis Nodal



_{Circuitos que contienen solo fuentes independientes de}

Corriente.



Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.

Circuitos que contienen solo fuentes independientes de

Voltaje.



_{Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.}

3.2.- Análisis de Malla.



Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.

Circuitos que contienen solo fuentes independientes de

Voltaje.

Análisis Nodal

Debemos considerar los siguientes aspectos:

1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los nodos.

2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el circuito.

3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico.

4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con respecto al nodo de referencia.

5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens (conductancia).

6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por

7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial:

  

 

  

  

    

 

    

 

   

 

corriente de

fuentes las

de

Columna Vector

mètodo del

Variables Columna Vector cia

Conduc Matriz

_

_ _

_ _

_ tan

I

GV



Ejemplo # 1:

a I

1

I I3

b I

2

I

1

N

1

V N2

2

V

1

G G₃

2

G

# de ecuaciones que se encuentran:

n – 1=3-1, donde n es el número de nodos en total.

n – 1 =2

En cada ecuación debemos usar LCK, LVK LCK N1:

2 1 I I I_a  

Ohm :

1 1 1

3 1 1

1 ( )

V G I

V V G I

GV I



 



2 2 1

2 2

2 1

2

2 ( )

V G V

G I

V V

G I

 

 



)

(

)

(

1

2 2 1

2 1

1

G

V

G

G

V

I

V

G

V

G

V

G

I

a a













CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE

3

V

1

LCK N2:

2 3

3 2

I I I

I I I

b b

  

 

Ohm :

2 3 3

3 2

3

3 ( )

V G I

V V

G I

GV I



 



) (

)

( _{2 2 2 3}

1

2 2 1 2 2 3

G G V G

V I

V G V G V G I

b b

 

  

 

 

                 

 

 

 

b a

I I V

V G G G

G G

G

2 1

3 2 2

2 2

1



Ejemplo # 2:

0

2I



k

6 1



k

12 1



k

3

1 _2mA

0

2I



k

6



k

12 _3k 2mA

1

I

2

I

Ohm:

2 1 0

2 1 0

2

0 2

I I I

I I I

 

   LCK N1:

2 0

2 1

2

1 1

3

6 6

12

V I

V V

I

V I



 



1

V N1 N2 V₂

3

V

3

N

0

I

0

I

CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE

1

N

2

2 1

2 2

1

2 1

1 2

12 18

0

6 6

18 0

6 6

12 ) 3 ( 2

V V

V V

V

V V

V V

 

 



 



LCK N2:

2 0

0 2

2 2

I I

I I

 

 

2 1

2 1

2

9 ) 6 ( 2

6 6

3 2

V V

V V

V

  

 





                

 





2 0 9

6

12 18

2 1

V V 1

Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis

nodal.

Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del nodo de referencia de la siguiente forma:

1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente (independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el signo a aquellas que se estén alejando del nodo.

2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos:

a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva signo positivo.

3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones para resolverlo.

a) Ecuación del súper nodo

b) Ecuación Auxiliar

Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir

cortocircuitándola y luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este procedimiento.

2

V

3 V

4 V

5 V V

10 3VX

3 2

10 V V ( _ _var _ )

3 _{4 5}

método del

iables las

de f V

V V V

X X

 

 

2

V

3 V V

10

4 V

5 V

X

V

Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con signo positivo).

4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación del súper nodo.

2

V V5

V

10 V₂ 10V 3VX 3VX V5

V_X=f(variables del método)

Ejemplo # 1:

Nodo 1:

)

(

)

(

1

G

G

V

G

V

I







Término propio

Término Neutro

)

(

)

(

1

G

G

V

G

V

Nodo 2:

) (

) (

) ( ) (

0

3 2 2 2

1

2 1 3

2 2

G G V G

V I

G V G

G V I

b b

 

  

 

 

Del Ejemplo # 2:

Nodo 1:

2 1

2 1

2

2 0

2 1

0

12 18

0

6 18

) 3 ( 2

3 :

) 6 ( )

12 6

( 2

V V

V V

V

V I

pero

k V k

k V I

 

 



 

   

Nodo 2:

) 9 ( )

6 ( 2

) 6 ( )

3 6 ( 2

2 1

1 2

V V

V V

  

Ejemplo # 3.



1 ₃1

 2 1 

1

A

20

A

30 

4 1 

3 1

a) Exprese la respuesta en forma matricial

a) Matriz Conductancia

Ejemplo # 3.



1 ₃1

 2 1 

1

A

20

A

30 

4 1 

3 1



1 3

 2 

1

A

20

A

30 

4 

3 1

N

1

V

2

N V₂

4

N

4

V

3

N V3

3 1

3 1

4 20

) 1 ( )

3 1 ( 20

V V

V V

 



  



Nodo 1

Nodo 2

4 2

4 2

3 4

20

) 3 ( )

1 3 ( 20

V V

V V

 

Nodo 3 1 3 1 3 3 30 ) 1 ( ) 1 2 ( 30 V V V V      Nodo 4 2 4 2 4 3 7 30 ) 3 ( ) 4 3 ( 30 V V V V                                                   30 30 20 20 7 0 3 0 0 3 0 1 3 0 4 0 0 1 0 4 4 3 2 1 V V V V Matriz Conductancia

Al resolver la matriz anterior nos queda:

b) Potencia en las fuentes independientes.

W P

P

A A

16 . 107

) 20 ( 358 . 5

20 20

 

V

V

V

V

V

V

V

V

f f f

247

.

12

)

157

.

3

(

090

.

9

2 2

4 3

2













W P

P

A A

41 . 367

) 30 ( 247 . 12

30 30

 

V

V

V

V

V

V

f f f

358

.

5

)

727

.

2

(

631

.

2

1 1

1 2

1













Suministra

Ejemplo # 4.

V

6



k

2 2k

V

12



k

2



k

1

1

k



V

12

0

I

Determinar I₀=?

V

6



k

2 2k

V

12



k

2

 k

1 1k V

12

0

I

1 V

2

V V₃

V

SN1





Nodo 1 y Nodo 3



3 1

12 V V

Ecuación del SN 1

Ecuación Auxiliar

4 3

2 1

4 2

3 1

3 4

3 4

0

) 1 2 ( )

1 2 ( )

2 1 1 ( )

2 2 ( 0

V V

V V

V V

V V

 

 

 

 

  

 

1)

2)

V2

V1

V3

Nodo 2



V

V





6

Nodo 4



V

V



12

   

 

   

 

    

 

   

 

   

 

   

 



 



12 6 0 12

1 0

0 0

0 0

1 0

3 4

3 4

0 1

0 1

4 3 2 1

V V V

V Al resolver la matriz nos queda:







mA I

I

V I

V I

5 . 7

75 . 3 2

2

) 0 (

2

0 0

3 0

3 0

 

 



 

Ejemplo # 5.

V

10



2 2

2

3V

A

6



3



3 1

2V



2

 

1 V

 

2 V

Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR a) V₁ , V₂

b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o consume.

Nota: Respete los nodos marcados.

Vb

Va Vc

V

10



2 2

2

3V

A

6 3

 3 1 2V  2   1 V   2 V b I a I f

I

V

V

V

V

Nodo B y Nodo D SN1

0

3

0

_

3















V

V

V

V

V

pero

V

V

V

Ecuación del SN 1

Nodo C SN2

V

V_C 10 4)

                                          10 6 0 0 0 1 0 0 5 4 4 2 1 0 1 3 2 2 2 5 D C B A V V V V V V V V V V V V D C B A 93 . 7 10 48 . 2 81 . 1    



LCK Nodo C:

b a

f

I

I

I





D C D C b B C B C a V V V V I V V V V I 2 2 ) ( 2 2 2 ) ( 2         D B C

f V V V

X

V

2



2



4 3



3

X

I

2



4 _25A



3

I

A

30



5

Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes controladas.

 

X V

X V 2  2 

4 3



3 2IX



4 25A



3

I

A 30  5 A V A

I

I

I

I

I

I

Nodo B y Nodo E

Ecuación del SN 1

Nodo C y Tierra SN2

X

C I

V  2

LCK Nodo A

)

(

2

2Vx

V

I

P



LCK Nodo B

2 1 1

I

I

I





pero:

A B

C B

V V

I

V V

I

3 3

4 4

2 1

 

 



C A

B

f

V

V

V

I



7



3



4

) 4 7

3 )( (

2

2Vx VD VA VA VB VC

P     

)

(

2

2Ix

I

I

P



LCK Nodo C

25

3

5

12

4

4

4

)

5

5

(

)

3

3

(

25

24

25

2 2

1 4 3 2

4 3 1

2











































E D

C B

f

C B

D C

E C

f f f

V

V

V

V

I

V

V

V

V

V

V

I

I

I

I

I

I

I

I

I

) 25 3

5 12

4 )( 30 2

( 2

2Ix   VA   VB  VC  VD  VE 

Análisis de Malla

Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito.

Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito.

Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor se cruce con otro conductor.

1

V

1

R

V

4

R

3

R

5

R

2

R

2 I 1

Malla 1 LVK: 3 2 1 1 3 2 1 1 0 R R R R R R V V V V V V V V        Ohm: 3 2 1 3 3 2 1 2 1 1 1 ) (I I R IR V R I V R I V R R R      ) ( )

( _{1 2 3 2 3}

1 1 3 2 3 1 2 1 1 1 1 R I R R R I V R I R I R I R I V         1) Malla 2 LVK: 0 2 3 5

4    

V_R V_R V_R V

Ohm: 5 2 5 4 2 4 R I V R I V R R   3 1 5 4 3 2 2 3 2 3 1 3 2 4 2 2 2 3 5 4 ) ( 0 R I R R R I V R I R I R I R I V V V V

V_{R R R}

En forma matricial:

  

 

Matriz

Resistencia Vector Columna de las variables del método

Vector Columna de las fuentes de voltaje





















































2 1

2 1

5 4

3 3

3 3

2 1

V

V

I

I

R

R

R

R

R

R

R

R

En forma Directa

Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla:

1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a

positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo.

2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos:

a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo positivo.

b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos

Del problema anterior:

) ( )

(

) ( )

(

3 1 5

4 3

2 2

3 2 3

2 1

1 1

R I R

R R

I V

R I R

R R I V

 

 



 

 

   

 

           

 

  

 



2 1 2

1 5 4 3 3

3 3

2 1

V V I

I R R R R

R R

R R

Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver.

1.- Ecuación de la súper malla

Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente de corriente.

2.- Ecuación Auxiliar

Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en la regla anterior.

Ejemplo # 6:

1

I

I

1

R

3

R

R

2

R

A

30

5

R

2

V

Ecuación de súper malla

1 2

30  I  I

Ecuación Auxiliar

) (

)

( _{1 2 3 2 4 5 6}

1

2 I R R R I R R R

V      

A

3

2

R R₁ V₁

4

R R5

Ejemplo # 7:

1

I

I

Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la ecuación de la súper malla

Ecuación de súper malla I₁  3A

V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5) MALLA 2















































1 2

1

5 4

1 4

0

0

3

V

I

I

R

R

R

Ejm:

V

160



2 5



3



2



4

A

20

V

100

Malla 1

3 2

1

3 2

1

2 4

9 100

) 2 ( ) 4 ( ) 2 3 4 ( 100

I I

I

I I

I

 

 

 

  



1)

Malla 2 y Malla 3

2 3

20  I  I

Súper Malla 1

Ecuación de SM1

Ecuación Auxiliar

3 2

1

1 3

2

7 6

6 160

) 4 2 ( )

2 5 ( )

4 2 ( 160

I I

I

I I

I

 

 

 

 

 

2)

3)

1

I

2

I 3

a) Matriz Resistencia                                    160 20 100 7 6 6 1 1 0 2 4 9 3 2 1 I I I

b) Potencia en los elementos activos OJO REEMPLAZO INCORRECTO

consume

W

P

P

P

I

P

320

320

)

2

(

160

160













W

P

P

I

V

P

800

)

8

(

100

)

)(

100

(









20 V A

P _A  _f

LVK: 2 1 1 1 2 1 2 6 4 160 0 ) ( 4 2 160 I I V I I V I f f        

W

P

P

I

I

P

2800

3200

)

2

(

120

)

8

(

80

3200

120

80



















SOLUCION Ejercicio 19:

Ejm:

A

20

V

140



2 4

V

80



3



4

 5

X I

2 _2

X V

2



3

1

I I3

2

I I₄ I₅

Respetando las corrientes de mallas asignadas. Determinar:

a) Potencias asociadas con las fuentes controladas. b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios.

Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios. Ix

+ Vx

Malla 1, Malla 3 y Malla 4 SM1 0 4 5 4 4 2 2 : 2 5 3 1 1 3 3 5 3 5 1 3           I I I I I I I I I V pero I I V X X 1)

Ecuaciones de SM1

0 2 : 2 4 3 1 1 3 4        I I I I I pero I I I X X 2) Ecuación Auxiliar 5 4 3 2 1 5 2 4 3 1 6 9 6 8 5 60 ) 4 2 ( ) 5 3 ( ) 4 5 ( ) 2 4 ( ) 3 2 ( 80 140 I I I I I I I I I I                 3)

Malla 2 SM2

A I₂  20 4)

Malla 5

5 4

3 4 9

2

0   I  I  I 5) 

                                                       0 20 60 0 0 9 4 2 0 0 0 0 0 1 0 6 9 6 8 5 0 1 1 0 2 4 0 5 0 1 5 4 3 2 1 I I I I I

) 2 (

1

2Vx Vf VX

P 

LVK:

2 1 1

2 1 1 1

3 5 140

0 3

3 2

140

I I V

I I V

I f

f

  

    

W I I

I I

P_2Vx  (1405 ₁  3 ₂)(4 ₅  4 ₃) R//

) 2 (

2

2Ix Vf IX

P 

LVK:

5 4

2 2

5 4

4 2

2

5 4 2

4 2

4 9

5

4 4

5 5

0 ) (

4 )

( 5

I I

I V

I I

I I

V

I I V

I I

f f

f

 

 

 

  

  

 

W I I

I I

P_2Ix  (5 ₂  9 ₄  4 ₅)(2 ₁) R//

) 5 ( )

( 2

4 2

2

2 2

I I

P

R I P

 



 