APLICACIONES DE LA DERIVADA

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Dpto. Matemáticas

María de la Rosa Sánchez Página 1

APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. MONOTONÍA (CRECIMIENTO O DECRECIMIENTO)

Si una función es derivable en un punto x = a, podemos determinar su crecimiento o decrecimiento en ese punto a partir del signo de la derivada.

Si f '(a)>0⇒f es estrictamente creciente en x = a Si f '(a)<0⇒f es estrictamente decreciente en x = a

Para determinar los intervalos de monotonía de una función, seguimos los siguientes pasos:

• Determinamos el dominio de la función f(x).

• Resolvemos la ecuación f '(x)=0. Las soluciones serán los posibles máximos o mínimos.

• Estudiamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos determinados por las soluciones de la ecuación anterior en el dominio de la función.

Ejemplo.-Determina los intervalos de monotonía (crecimiento o decrecimiento) de la función f(x)=x3−x2−8x+8.

- El dominio es ℝpor ser polinómica.

- f '(x)=3x2−2x−8 y resolvemos la ecuación f’(x) = 0. 2 4 3x 2x 8 0 x y x 2 3 − − − = ⇒ = =

- Se consideran los intervalos , 4 3 −   −∞    , 4 ,2 3 −      y

(

2,+∞

)

. En ellos estudiamos el signo de la derivada: Intervalos , 4 3 −   −∞     4 ,2 3 −      

(

2,+∞

)

Signo de f’ + - +

Monotonía Creciente Decreciente Creciente

Ejercicio.- Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones: 1.- f(x)=x3−3x2 + +x 1 2.- g(x) ₂x x 1 = + 3.- h(x)=x3−3x2−9x+1 4.- i(x) x 1 2x 1 − = +

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2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Si una función f(x) presenta un máximo o un mínimo en x = a, entonces f’(a) = 0. Los máximos y mínimos de una función se llaman extremos relativos.

Para hallar los máximos y mínimos de una función seguiremos los siguientes pasos:

1.- Hallamos f’(x).

2.- Resolvemos la ecuación f’(x) = 0. Las soluciones de esta ecuación son los posibles máximos o mínimos. Si la función presenta máximos o mínimos los alcanzará en los valores obtenidos en la resolución de la ecuación anterior.

3.- Determinamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

4.- Analizamos la monotonía de la función a la izquierda y derecha de los posibles máximos y mínimos.

Ejemplo.- Determina los máximos y mínimos de la función f(x)=2x3+3x2−36x. Resolvemos la ecuación f’(x) = 0:

2

6x +6x 36− =0⇒x=2, x=-3.

Determinamos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento:

Intervalos

(

−∞ −, 3

)

(

−3,2

)

(

2,+∞

)

Signo de f’ + - +

Monotonía Creciente Decreciente Creciente

A la izquierda de x = -3 la función crece y a la derecha decrece, por lo que en x = -3 presenta un máximo.

A la izquierda de x = 2 decrece y a la derecha crece, por lo que en x = 2 presenta un mínimo.

Por tanto, P(-3, 81) es un punto máximo y Q(2, -44) es un mínimo.

• La primera coordenada del punto P indica dónde se alcanza el máximo y la segunda coordenada, f(-3), el valor de dicho máximo.

Ejercicio.- Determina los máximos y mínimos de las siguientes funciones: a) 2 2 x 1 f(x) x 1 − = + b) 3 x g(x) x 1 = +

*Observación.- Para decidir si un punto crítico es máximo o mínimo, podemos utilizar la segunda derivada:

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- Si f’(a) = 0 y f’’(a) > 0, entonces f presenta un mínimo en x = a. - Si f’(a) = 0 y f’’(a) < 0, entonces f presenta un máximo en x = a. Ejemplo.- Determina los máximos y mínimos de

2 x 2 f(x)

x

−

= con la derivada segunda.

Primero, hallamos la derivada de f. f '(x) x₃ 4 x

− + =

Segundo, resolvemos la ecuación f’(x) = 0 para hallar los posibles máximos o mínimos de la función: 3 x 4 f '(x) 0 0 x 4 x − + = ⇒ ₌ ⇒ ₌

Tercero, calculamos la derivada segunda de f(x):

4 2(x 6) f ''(x) x − =

Cuarto, estudiamos el signo de la derivada en los puntos hallados: 1

f ''(4) f ''(4) 0 x 4 64

−

= ⇒ _< ⇒ ₌ es máximo

Ejercicio.-Determina los máximos y mínimos de estas funciones utilizando la segunda derivada: a) 2 3 x 1 f(x) x −

= Sol: En x= − 3presenta un mínimo y en x= 3un máximo.

b) 2 6 x f(x) x 2 =

+ Sol: En x=0presenta un mínimo, en x = -1 un máximo y en x = 1 un máximo.

c) f(x) ₃ x ₂3

x x 6x

+ =

+ − Sol: Enx = 1 un máximo.

3. CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Una función f(x) es cóncava en x= a

( )

∩ si la recta tangente a la curva en x = a está por encima de la gráfica de la función.

Una función f(x) es convexa en x = a

( )

∪ si la recta tangente a la curva en x = a está por debajo de la gráfica de la función.

• Si una función es dos veces derivable en x = a, podemos determinar su curvatura (concavidad o convexidad) a partir del signo de la segunda derivada:

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- Si f ''(a)>0⇒f(x) es convexa en x = a - Si f ''(a)<0⇒f(x) es cóncava en x = a

Para determinar la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1.- Determinamos el dominio de la función. 2.- Calculamos f ’’(x).

3.- Estudiamos el signo de f’’ en los intervalos determinados en el dominio de la función por las soluciones de la ecuación f ’’(x) =0.

Ejemplo.- Determina la curvatura de la función f(x)=x3−3x2 + +x 1.

El dominio de la función es ℝ. Por tanto, trabajaremos sobre todo el conjunto de los números reales.

Calculamos f ''(x)=6x−6y resolvemos la ecuación f ''(x)=0⇒6x− =6 0⇒x=1.

Intervalos

(

−∞,1

)

(

1,+∞

)

Signo de f’’ - +

Curvatura Cóncava Convexa

Ejercicio.- Determina los intervalos de curvatura de la función f(x)=x4 −2x3 Sol:

Intervalos (−∞,0) ( )0,1 (1,+∞)

Signo de f’’ + - +

Monotonía Convexa Cóncava Convexa

Ejercicios.-

1. Determina los intervalos de concavidad y convexidad de las siguientes funciones: a) f(x)=7x3 −x2− +x 2Sol: En ,1 21   −∞    Cóncava y en 1 , 21   +∞    convexa. b) 3 2 x f(x) x 1 =

+ Sol: En

(

−∞ −, 3

)

y

( )

0, 3 convexa. En

(

− 3,0

)

y

(

3,+∞

)

Cóncava 4. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Una función f(x) presenta un punto de inflexión en x = a si en ese punto hay un cambio de curvatura (la función pasa de cóncava a convexa o viceversa)

- Si una función presenta un punto de inflexión en x = a, se cumple que f ’’(a) = 0. Ejemplo.- Determina los puntos de inflexión de la función f(x)=2x3+3x2−36x.

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Determinamos los intervalos de concavidad y convexidad, teniéndose que: En , 1 2 −   −∞    es cóncava y en 1 , 2   − +∞  

 convexa. Por tanto, en

1 x

2

= − hay un punto de inflexión.

Ejercicio.- Determina los puntos de inflexión de las siguientes funciones: a) f(x)=x3+3x2 Sol: En x = -1 hay un punto de inflexión.

b) g(x) ₂x 1 x 7x

− =

+ Sol: En x = 7 hay un punto de inflexión.

c) h(x)=4x3−8x+7 Sol: En x = 0 hay un punto de inflexión.

d) 3 2 x 2 i(x) x − +

= Sol: No hay puntos de inflexión

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Para la representación gráfica de funciones, seguiremos los siguientes pasos: 1. Determinamos el dominio.

2. Puntos de corte con los ejes. 3. Regiones.

4. Asíntotas y ramas infinitas.

En la gráfica de una función loos tramos en los que x toma valores muy grandes o muy pequeños se llaman ramas infinitas de la función.

Cuando una rama infinita se acerca indefinidamente a una recta, esa recta se llama asíntota, y la rama infinita, rama asintótica.

- Asíntotas verticales: la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si x a

lím f(x)

→ = ∞.

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas y las funciones racionales tienen asíntotas verticales en los valores para los que se anula el denominador. - Asíntotas horizontales: la recta y = b es una asíntota horizontal de la función

f(x) si x

lím f(x) b

→∞ = .

- Asíntotas oblicuas: la recta y = mx + n es una asíntota oblicua de la función f(x) si

[

]

x x f(x) lím m 0 x lím f(x) mx n →∞ →∞ = ≠ − = .

Una función f tiene ramas infinitas si

xlím f(x)→±∞ = ∞y no se aproxima a ninguna recta.

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6. Intervalos de curvatura. Puntos de inflexión 7. Representación gráfica.

Ejemplo.- Representa gráficamente la función f(x)=x3−3x−2

• Dominio ℝ, por ser polinómica.

• Puntos de corte:

o Eje 0X: y = 0 ⇒x3−3x− =2 0⇒x= −1, x=2. Corta al eje 0X en los puntos (-1,0), (2,0).

o Eje 0Y: x = 0 ⇒y= −2. Corta al eje 0Y en el punto (0,-2).

• Regiones: Estudiamos el signo de f en las regiones determinadas por los cortes con el eje 0X:

Intervalos

(

−∞ −, 1

)

-1

(

−1,2

)

2

(

2,+∞

)

Signo de f - 0 - 0 +

• Asíntotas: Por tratarse de una función polinómica, no hay asíntotas. Sin embargo, como al tender x hacia ±∞, la gráfica de la función empieza y termina con ramas infinitas.

• Intervalos de monotonía: 2

f '(x)=3x −3; f '(x)=0⇒3x2− =3 0⇒x= ±1. Como el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales, tenemos los siguientes intervalos para estudiar la monotonía:

Intervalos

(

−∞ −, 1

)

( )

−1,1

(

1,+∞

)

Signo de f ’ + - +

Monotonía Creciente Decreciente Creciente

En x = -1 la función tiene un máximo relativo de coordenadas (-1,0) y en x = 1 un mínimo relativo de coordenadas (1,-4).

• Intervalos de curvatura:

f’’(x) = 6x; f ''(x)=0⇒6x=0⇒x=0

Intervalos

(

−∞,0

)

(

0,+∞

)

Signo de f ’’ - +

Curvatura Cóncava Convexa

En x = 0 hay un punto de inflexión, de coordenadas (0,-2). La representación gráfica es:

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-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x y

Ejemplo.- Representa gráficamente la función

(

)

2 x 2 f(x) x 1 + = + • Dominio ℝ− −

{ }

1

• Cortes con los ejes: Corta al eje 0X en (-2,0) y al eje 0Y en (0,4).

• Regiones: Estudiamos el signo de f en las regiones determinadas por los cortes con el eje 0X:

Intervalos

(

−∞ −, 2

)

-2

(

− −2, 1

)

-1

(

− +∞1,

)

Signo de f - 0 - No existe +

• Asíntotas y ramas infinitas

o A.V. La recta x = -1 es una asíntota vertical, teniéndose la posición de la curva respecto a la asíntota:

xlím f(x)→−1− = −∞ y xlím f(x)→−1+ = +∞.

o A.H. No tiene ya que x lím f(x) →∞ = ∞. o A.O.

(

)

2 x x x 2 f(x) m lím lím 1 x x(x 1) →∞ →∞ + = = = +

[

]

(

)

2 x x x 2 n lím f(x) mx lím x 3 x 1 →∞ →∞  ₊    = − = − = +    

Por tanto, y = x + 3 es una asíntota oblícua.

• Intervalos de monotonía:

(

)

2 2 x 2x f '(x) x 1 + = + ;

(

)

2 2 x 2x f '(x) 0 0 x 2, x 0 x 1 + = ⇒ ₌ ⇒ _{= −} ₌ + . Teniendo en cuenta el

dominio de la función, tenemos los siguientes intervalos para estudiar la monotonía:

Intervalos

(

−∞ −, 2

)

(

− −2, 1

)

(

−1,0

)

(

0,+∞

)

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Monotonía Creciente Decreciente Decreciente Creciente

En x = -2 la función tiene un máximo relativo de coordenadas (-2,0) y en x = 0 un mínimo relativo de coordenadas (0,4).

• Intervalos de curvatura: f’’(x) =

(

)

3 2 x+1 ;

(

)

3 2 f ''(x) 0 0 x 1 = ⇒ ₌ ⇒ + No tiene solución Intervalos

(

−∞ −, 1

)

(

− +∞1,

)

Signo de f ’’ - +

Curvatura Cóncava Convexa

La representación gráfica es:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y

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EJERCICIOS

1. Identifica los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x3_{– 15x}2 _{+ 36x}

Sol: f crece en (−∞,2) (∪ 3,+∞)y decrece en (2, 3). Tiene un máximo relativo en el punto A(2,

f(2)), es decir, en A(2, 28), y un mínimo relativo en el punto B(3, f(3)), es decir, en B(3, 27).

b) f(x) = x – ln(1 + x)

Sol:f decrece en (–1, 0) y crece en (0,+∞) . Tiene un mínimo relativo en A(0, f(0)) = A(0, 0).

2. El producto de dos números positivos es 36. Calcúlalos para que su suma sea lo más pequeña posible. Sol: Los números son 6 y 6.

3. ¿Tiene algún punto de inflexión la función f(x) = x4_{+ 6x}2_{– x + 3?}

Sol: No tiene puntos de inflexión, ya que la ecuación f’’(x) = 0 no tiene solución.

4. Encuentra el máximo y mínimo relativo de f(x) = 2x4_{– 4x}2_{+ 1.}

Sol:La función tiene mínimos relativos en los puntos A(–1, f(–1)) = A(–1, –1) y B(1, f(1)) = B(1, – 1), y un máximo relativo en el punto C(0, f(0)) = C(0, 1).

5. Estudia la monotonía y halla los extremos relativos de las funciones: a) f(x) x 1

x 1

− =

+

Sol: La función es creciente en su dominio y, por tanto, no tiene extremos relativos ( máximos ni mínimos)

b) f(x) 2x 1 2x

= +

Sol: la función es creciente en , 1 1,

2 2 −     −∞ ∪ +∞        y decreciente en 1 1 ,0 0, 2 2 −     ∪        . Tiene un máximo en el punto A 1, 2 2 −   −     y un mínimo en 1 B ,2 2      .

6. Determina los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = 3x4_{– 6x}2_.

Sol: La función tiene mínimos relativos, que también son absolutos en los puntos A(–1, –3) y B(1, –3), y tiene un máximo relativo en el punto C(0, 0).

7. Determina dónde se alcanza el mínimo de la función f(x) = 3x2 – 6x + a. Calcula el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5. Sol: a = 8.

8. Halla las dimensiones de una ventana rectangular de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie posible y, así, produzca la máxima luminosidad.

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9. Halla dos números cuya suma sea 20 sabiendo que su producto es máximo.

Sol: los números son 10 y 10 y su producto máximo 100.

10. Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máxima.

Sol: 1/2 es el número buscado.

11. Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m2_{. El metro} lineal de tramos horizontal cuesta 2,50 euros, mientras que el metro lineal de tramos vertical cuesta 5 euros. Determina las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio de dicho marco.

Sol: Las dimensiones de la ventana de coste mínimo son 4 metros el tramo horizontal y 2 metros el tramo vertical. El coste mínimo es de 40 euros.

12. Queremos escribir un texto de 96 cm2_{y tal que haya 2 cm de margen en cada} lateral de la hoja en la que está escrito, así como 3 cm arriba y abajo. Calcula las dimensiones de la hoja más pequeña posible.

Sol: La hoja debe tener 12 cm de ancho y 18 cm de alto.

13. La capacidad de concentración de una saltadora de altura, en una competición de atletismo de tres horas de duración, viene dada por la función:

f(t)=300t(3−t)

Donde t mide el tiempo en horas. ¿Cuál es el mejor momento, en términos de su capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca?.

Sol: El mejor momento para que la saltadora pueda batir su propia marca es cuando ha transcurrió 1 hora y media

14. Halla dos números reales positivos, sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

Sol: Los números que buscamos son 5 y 5.

15. Entre todos los rectángulos de área 3 m2_{, encuentra las dimensiones del que} tiene mínimo el producto de sus diagonales.

Sol: Se trata de un cuadrado de lado 3 m.

16. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible?

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17. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) 2 x

−

= en el punto de abscisa x = 2. Sol: 1/2.

18. Dada la función f(x)=x3+3x2−4 calcula la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = -1. Sol: La pendiente es -3.

19. Dada la función 2 2 16 x si 2 x 2 f(x) x si 2 x 3  ₋ _{− ≤ <}  = ≤ ≤  calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = 1. Sol: La pendiente es -2

20. Dada la función f(x) x x 2

=

− , ¿existe algún punto de la gráfica en el que la recta

tangente tenga pendiente positiva? Justifica tu respuesta.

Sol: No existe ningún punto en el que la recta tangente tenga pendiente positiva.

21. Dada la función 2 (x 1)(x 2) f(x) x − −

= , calcula la ecuación de la recta tangente a la curva en x = -3. Sol: y 13x 11

27 3

= + .

22. Determina en qué puntos de la gráfica de la función _y₌_x3₋_3x2_{+ +}_x ₁_{, la recta}

tangente a la misma es paralela a la recta y = x + 8.Sol: (0,1) y (2, -1)

23. Halla los valores de a, b y c para que las gráficas de las funciones 2

f(x)=x +ax+b y g(x)=x3+c pasen por el punto (1,2) y en ese punto tengan la misma tangente. Sol: a = 1 y b = 0

24. Halla el punto de la curva y= x en el que la recta tangente es paralela a la recta y 1x 2 = .Sol: El punto es (1,1) 25. Dada la función f(x) 3 2x x − =

a) Halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente es paralela a la recta 3x+4y+ =5 0. Sol: x = 2 y x = -2.

b) Calcula las ecuaciones de dichas tangentes. Sol:

3 x 2 y x 1 4 3 x 2 y x 5 4 − = → = + − = − → = −

26. Determina los intervalos de monotonía y los extremos relativos de las siguientes funciones:

a) f(x)=x (x2 +1)

En x 2 3 −

= se alcanza un máximo y en x = 0 un mínimo.

b) f(x)= − +x4 3x2−2x

En x 1 3

2 − −

= y en x = 1 se alcanzan dos máximos y en Intervalos , 2 3 −   −∞     2 ,0 3 −       (0,+∞) Signo de f’ + - +

Monotonía Creciente Decreciente Creciente

Intervalos , 1 3 2  _{− −}  −∞       1 3 1 3 , 2 2 _{− −} _{− +}        1 3 ,1 2 _{− +}        (1,+∞) Signo de f’ + - + -

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1 3 x 2 − + = un mínimo. c) 2 x 2x 2 f(x) x 1 − + = − En x = 0 se alcanza un máximo y en x = 2 un mínimo. d) 3 x f(x) x 5 = − En x 15 2 = se alcanza un máximo

27. Determina los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

a) y=x3−24x−6Sol: En x= 8 se alcanza un mínimo y en x= − 8 se alcanza un máximo.

b)

(

)

2 2 x 1 y x 1 − =

+ Sol: En x = 1 se alcanza un mínimo y en x = -1 se alcanza un máximo.

c) y=L x

(

2+1

)

Sol: En x = 0 se alcanza un mínimo.

d) 3 2 x 8 y x −

= Sol: En _x_{= −}3₁₆_{se alcanza un máximo.}

28. Una empresa de compra y venta de automóviles ha realizado un estudio sobre sus beneficios y pérdidas, en miles de euros, a lo largo de los últimos 10 años y ha comprobado que se ajustan a la función:

3 2

F(t)= −t 18t +81t−3 si 0≤ ≤t 10 Se pide, justificando la respuesta:

a) ¿En qué años se producen los valores máximo y mínimo de dicha función?

Sol: El valor máximo de la función se alcanza a los 3 años y el mínimo a los 9 años.

b) Determina sus períodos de crecimiento y de decrecimiento. Sol: Los períodos de crecimiento son ( ) (0,3 ∪ 9,10) y período de decrecimiento ( )3,9 .

c) ¿Cuáles son sus beneficios máximos? Sol: El beneficio asciende a 105.000 €.

d) ¿Qué resultados obtuvo la empresa en el último año del estudio? Sol: Obtuvo un beneficio de 7.000 €. 29. Se considera la función 2 3x ax f(x) x 2 − =

+ . Calcula el valor de a para que la función f

tenga un mínimo relativo en x = 2. Sol: a = 18. Intervalos (−∞,0) ( )0,1 ( )1,2 (2,+∞)

Signo de f’ + - - +

Monotonía Creciente Decreciente Decreciente Creciente

Intervalos (−∞,0) ( )0,5 5,15 2       15 , 2   +∞     Signo de f’ - - - +

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30. Halla los valores de a y b para que la función f(x)=ax3 +bx2+ +x 1 tenga un máximo en el punto x = 1 y un mínimo en el punto x = 2. Sol: a 1,b 3

6 4

−

= = .

31. La distancia, en millas, entre un barco pesquero que salió a faenar durante un período de 10 días y su puerto base viene dada por la función:

(

)

(

)

2 36 2t 6 si 0 t 5 M(t) 4 10 t si 5 t 10  ₋ ₋ _{≤ ≤}  = − < ≤ 

Donde t es el tiempo transcurrido, en días, desde su salida del puerto base.

a) ¿Después de cuántos días es máxima la distancia del pesquero a su puerto base?¿A cuántas millas se encontraba? Sol: La distancia del barco pesquero al puerto base e máxima a los 3 días, encontrándose a 36 millas.

b) ¿Durante qué períodos aumentaba la distancia a su puerto base?¿En qué períodos disminuía? Sol: La distancia la puerto base aumentaba en el período (0,3) y disminuía en los períodos (3,5) y (5,10).

c) ¿A partir de qué día, después de alcanzar la distancia máxima, se encontraba a menos de 12 millas del puerto base? Sol: A partir del día 7 se encontrará siempre a menos de 12 millas de distancia del puerto base.

32. Queremos añadir a una casa una nueva habitación rectangular de 12 m2_de superficie. ¿Qué longitud debemos dar a sus paredes para que el perímetro sea mínimo y sea mínima también la cantidad de ladrillos utilizados?

Sol las dimensiones de la habitación son x= 6 m y de y=2 6m.

33. Se desea delimitar una parcela rectangular, que linda con la pared de una nave. Si se dispone de 200 m de tela metálica para cercarla, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela que tiene la mayor superficie? Sol: Las dimensiones de la parcela son 50 y 100 m.

34. Una fábrica de televisores vende cada aparato a 300 €. Los gastos derivados de fabricar x televisores son D(x)=200x+x2, donde 0≤ ≤x 80.

a) Suponiendo que se venden todos los televisores que se fabrican, halla la función de los beneficios que se obtienen después de fabricar y vender x televisores. Sol: _B(x)₌_100x₋_x2_{, con 0}_{≤ ≤}_x ₈₀

b) Determine el número de aparatos que conviene fabricar para obtener el beneficio máximo, así como dicho beneficio máximo. Sol: Para obtener el máximo beneficio se han de fabricar 50 televisores, siendo el beneficio de 2.500 €.

35. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

Sol: El número buscado en x = 5 y el mínimo es 10.

36. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. Sol: Los catetos miden 5 cm cada uno y el área máxima de 12,5 cm2_.

37. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Sol: El cilindro tendrá de radio 1 dm y de altura 2 dm.

38. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = x4_{– 8x}2_{+ 7}

(14)

Dpto. Matemáticas

-3 -2 -1 1 2 3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y b) y = 3x4_{+ 4x}3_{– 36x}2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -200 -150 -100 -50 50 100 150 200 x y c) y = x3_{– 3x} -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y d) 3 2 x y 1 x = −

(15)

Dpto. Matemáticas

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y e) 2 x 2x 8 y x − − = -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x y f) 2 2 x 9 y x 4 − = − -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y g) 2 1 y x 1 = −

(16)

Dpto. Matemáticas

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y h) 2 x y x 1 = − -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y i) 2 x y 1 x = + -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x y

1. Se desea fabricar una papelera cilíndrica, sin tapa, de 10 dm3_{de capacidad.} ¿Qué dimensiones deberá tener para que en su fabricación se utilice la menor cantidad de material?

2. Al disparar una flecha hacia arriba su altura sobre el suelo, medida en metros, cuando han transcurrido t segundos desde el disparo, viene dada por la fórmula:h(t)=40t−5t2. Calcular:

(17)

Dpto. Matemáticas

b) El tiempo que tardará en caer al suelo.

3. Calcular la longitud de las dos partes en que habrá que cortar un trozo de alambre de 16 metros, si con cada una de ellas se va a construir un cuadrado y se desea que la suma de las áreas de esos dos cuadrados sea mínima.

4. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función: f(x)=2x2 −12x+23, donde

) (x

f indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles

de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada:

a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo. c) Dichos consumos.

5. Encontrar dos números cuya suma sea 100 y el producto sea máximo.

6. De todos los rectángulos de 100 m2_{de área, hallar las dimensiones del que} tiene perímetro mínimo.

7. De la función: f(x) = x + ax + bx + c3 2 se sabe que tiene un mínimo en

x = 1, un máximo en x = -1

3 y que pasa por el punto (0,1). Hallar a, b y c. 8. Hallar los valores de a, b y c, de forma que la función:f(x) = x + ax + bx + c3 2

pase por el origen de coordenadas y tenga extremos relativos en x = -4 y

x = 2.¿Qué tipo de extremos resultan?.

9. Hallar un número positivo tal que la suma de dicho número y el inverso de su cuadrado sea mínima.

10. Se desea construir el marco para una ventana de 6 m2_{de superficie. El metro} lineal de tramo horizontal cuesta 12 euros y el metro de tramo horizontal 18 euros. Calcular las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínima.

11. Con una lámina rectangular de 2 x 3 m se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcular el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. 12. La evolución de la población de un país viene dada por la función siguiente:

( )

2 18 t - 1 P(t) = + 32 2 + t - 1 t≥0

Calcular cuándo se alcanzará la población máxima.

13. La cotización en euros de las acciones de una empresa a lo largo del año 2010 siguió la función siguiente:

2 C(t) = 2,5 + 0,24 t - 0,02 t

(18)

Dpto. Matemáticas

donde t es el tiempo en meses. Calcular cuándo se produjeron las cotizaciones máxima y mínima del año.

14. Hallar a y b para la función: f(x) = x + ax + b2 tenga un mínimo en (3, -1). 15. Hallar a, b, c y d para que la función:f(x) = ax + bx + cx + d3 2 tenga un

máximo relativo en (-2, 4) y un mínimo en (-1, 6).

16. Representa gráficamente las siguientes funciones, analizando previamente su dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía, curvatura, máximos y mínimos: a) f(x)=x3 −4x2 − +x 4 b) g(x)=x3 −6x2 +12x+4 c) h(x)=x3+3x d) i(x)=x4−8x2 +7 e) j(x) x 1₂ x − = f) k(x) x 2 x 3 − = − g) 2 x l(x) x 1 = + h) 2 2 3x x 3 m(x) x 1 + + = + EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dada la función f(x)=2x3 +bx2 +ax−5, determina los valores de a y b para que f tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2. Representa gráficamente la función.

Para que la función tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 2, ha de verificarse que f '(1)=f '(2)=0. 2 f '(x) 6x 2bx a 2b a 6 b 9 f '(1) 6 2b a 0 4b a 24 a 12 f '(2) 24 4b a 0 = + + + = −  = − = + + = ⇒ _⇒ + = −  = = + + =

La función queda f(x)=2x3−9x2+12x−5. Estudiamos la función para representarla gráficamente.

• Dominio: ℝ

• Cortes con los ejes:

o Eje x : y 0 2x3 9x2 12x 5 0 x 5 y x 1 2

= ⇒ ₋ ₊ _{− =} ⇒ ₌ ₌

o Eje y: x=0⇒y= −5.

• Asíntotas: No tiene por ser polinómica.

(19)

Dpto. Matemáticas

2

f '(x)=6x −18x+12. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación: 2

6x −18x+12=0⇒x=2 y x=1. Tenemos, por tanto, los siguientes intervalos de monotonía:

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

,1 f '(x) 0 f(x) es creciente

1 , 2 f '(x) 0 f(x) es decreciente P 1,0 MÁXIMO y Q 2, 1 MÍNIMO 2 , f '(x) 0 f(x) es creciente

−∞ > ⇒

< ⇒ ⇒ −

+∞ > ⇒

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y

2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3

y=x + +x 2 en su punto de inflexión.

Calculamos la segunda derivada y la igualamos a 0 para hallar los posibles puntos de inflexión.

y ''=6x, por lo que en x = 0 hay un punto de inflexión, ya que en dicho punto la función tiene un cambio de curvatura de cóncava a convexa.

La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y= +x 2.

3. Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función

3 2

f(x)=x −9x +24x−20.

Derivamos e igualamos a 0: 2

f '(x)=3x −18x+24=0⇒x=4 y x=2. Tenemos los siguientes intervalos de monotonía:

(20)

Dpto. Matemáticas

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

,2 f '(x) 0 f(x) es creciente

2 , 4 f '(x) 0 f(x) es decreciente P 2,0 MÁXIMO y Q 4, 4 MÍNIMO 4 , f '(x) 0 f(x) es creciente

−∞ > ⇒

< ⇒ ⇒ ₋

+∞ > ⇒

4. Se quiere construir el marco para una ventana rectangular de 8 m2_{. El metro} del tramo horizontal cuesta a 2,5 € y el de tramo vertical a 5 euros. Determina:

a) Las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo.

b) ¿Cuánto cuesta el marco?

Se ha de hacer mínimo el coste: y

2,5x+5y+2,5x+5y=5x+10y x

Como la superficie de la ventana es de 8 m2_{, se tiene que:} 8

x·y 8 y x

= ⇒ ₌ . Esta relación nos permite expresar la función a minimizar mediante una sola variable, teniéndose que:

2 80 5x 80 f(x) 5x

x x

+

= + = es la función coste en la que hay que buscar un mínimo.

2 2 2 5x 80 f '(x) 0 5x 80 0 x 4 x − = = ⇒ ₋ ₌ ⇒ ₌ .

Se puede comprobar que para ese valor se alcanza un mínimo de la función.

Por tanto, la ventana debe medir su tramo horizontal 4 metros y el vertical 2 metros, siendo el coste del marco 40 €.

5. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)= −0,0002x2+0,8x−5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) ¿Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad?

b) ¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible?

(21)

Dpto. Matemáticas

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece. La derivada es R '(x)= −0,004x+0,8. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación se tiene que x = 200.

Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200).

La derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada, por lo que en 200 hay un máximo local.

b) Teniendo en cuenta el apartado anterior debemos invertir 200 euros. c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)2_{+0,8.200-5=75 euros}

6. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)=40 15t - 9t+ 2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t = 0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero. 2

V '(t)=3t −18t+15. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación se tiene como soluciones t = 5 y t = 1. Se comprueba que la máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V '(t)=3t2−18t+15.

[

)

(

)

(

]

0, 1 V '(t) 0 V(t) es creciente 1 , 5 V '(t) 0 V(t) es decreciente 5, 6 V '(t) 0 V(t) es creciente > ⇒ < ⇒ > ⇒

7. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2 - x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en qué momento del intervalo

[ ]

0,2 circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En qué periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

Nos piden que estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.

Utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece. También sabemos que la función tiene un

(22)

Dpto. Matemáticas

máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia la monotonía (es decir pasa de crecer a decrecer)

La derivada es: x

v '(x)= −(1 x)·e . Al igualar a 0 y resolviendo la ecuación (se debe tener en cuenta que ex_{no se anula nunca), se tiene x = 1.}

Estudiamos v en los alrededores de 1.

v’ + 1 - 2

V Creciente Decreciente

Por lo tanto en x = 1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:

x v(x)= (2 - x).e

v(1) = (2-1) · e = e (aquí el máximo como justificamos antes) v(0) = (2-0) · 1 = 2

v(2) = (2-2) · 1 = 0 , que como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

8. La cantidad de agua recogida en 2009 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión: 2 10 f(t) 0 t 12 (t 6) 1 = ≤ ≤ − + Se pide:

a) ¿En qué periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida? b) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?

c) ¿Cual fue esa cantidad máxima?

a) Derivamos:

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 10· t 6 1 ·2(t 6) _20(t ₆₎ f '(t) t 6 1 t 6 1   − _ − + _ − ₋ ₋ = = − +  ₋ ₊   

(23)

Dpto. Matemáticas

Estudiamos el signo de la derivada:

f’ 0 + 6 - 12

f Creciente Decreciente

Se tiene que la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6 (primer semestre) b) En t =6 (en Junio)

c) f(6)=10/1=10 millones de litros

9. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que:

a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequeña posible b) La suma de sus raíces cuadradas sea lo mas grande posible.

Sean x e y dichos números.

a) Se pretende minimizar la expresión x2+y2. Buscamos alguna relación en el enunciado para expresar dicha expresión mediante una sola variable.

Como x + y = 36, despejando y = 36 – x. Sustituimos en nuestra expresión y definimos la función f(x)=x2+

(

36−x

)

2. Por tanto, el problema se traduce en buscar un mínimo de f(x).

f '(x)=2x+2·(36−x)·( 1)− =4x−72. Igualando a 0 y resolviendo la ecuación, tenemos que x = 18. Comprobamos si para este valor se alcanza el mínimo:

f’ - 18 +

f decreciente Creciente

Los números buscados son x = 18 e y = 18.

b) En este caso se quiere que la expresión x + y sea lo máximo posible.

Como x + y = 36, despejando y = 36 – x. Sustituimos en nuestra expresión y definimos la función f(x)= x+ 36−x. Por tanto, el problema se traduce en buscar un máximo de f(x).

1 1

f '(x)

2 x 2 36 x

= −

− . Igualando a 0 y resolviendo la ecuación, tenemos que x = 18.

Comprobamos si para este valor se alcanza el máximo:

(24)

Dpto. Matemáticas

f Creciente Decreciente

Los números buscados son x = 18 e y = 18.

10. El coste de fabricación, en euros, de x unidades de un artículo viene dado por la función f(x)= −x 2 x+20.

a) ¿Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario?. b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario?¿Cuánto vale

éste? Justifica tu respuesta.

a) Si f(x)= −x 2 x+20 es el coste de fabricación de x unidades, para hallar el coste de fabricación unitario dividimos entre x:

f(x) 2 x 20 2 20

g(x) 1 1

x x x x x

= = − + = − + es la función que determina el coste de fabricación por unidad.

b) Para hallar el mínimo coste unitario derivamos e igualamos a 0:

2 2 2 1 20 1 20 g'(x) 0 x 20x x x x x x x x = − = ⇒ = ⇒ = Elevando al cuadrado: 4 3 4 3 3 x 0 x 400x x 400x 0 x (x 400) 0 x 400 = = ⇒ ₋ ₌ ⇒ ₋ ₌ ⇒ =

Para determinar el mínimo estudiamos los intervalos de monotonía:

g’ 0 - 400 +

+∞

g Decreciente Creciente

En x = 400 se alcanza un mínimo. El coste mínimo por unidad se obtiene produciendo 400 unidades y asciende a 19

20 euros por unidad.

11. El número de plazas ocupadas de un aparcamiento a lo largo de las 24 horas de un día, viene expresado por la función:

2 2 1680 20t si 0 t 8 N(t) 10t 260t 400 si 8 t 16 10t 360t 1200 si 16 t 24 + ≤ <   = − + + ≤ < ₋ ₊ ₋ _{≤ ≤} 

(25)

Dpto. Matemáticas

a) ¿A qué hora del día presenta el aparcamiento una ocupación máxima?¿Cuántos coches hay a esa hora?

b) ¿Entre qué horas la ocupación del aparcamiento es igual o superior a 2000 plazas?

a) N(t) es una función continua, porque:

t 8 t 8 t 16 t 16 lím N(t) 1840 lím N(t) y lím N(t) 2000 lím N(t) − + − + → = = → → = = → Derivando: 20 si 0 t 8 N'(t) -20t 260 si 8 t 16 -20t 360 si 16 t 24 < <   = + < <  ₊ _{< <} 

Para hallar los máximos relativos de N(t), igualamos a 0 la primera derivada: 20t 260 0 t 13

Como N''(13) N''(18) 20 0 20t 360 0 t 18

− + = ⇒ =

⇒ = = − <

− + = ⇒ ₌ , los dos son máximos

relativos. Veamos cuál es mayor:

N(13)=2090; N(18)=2040

La ocupación máxima se logra a las del aparcamiento es igual o superior a 2000 plazas entre las 10 y 20 horas.

b) 10t2 260t 400 0 t2 26t 160 0 t 16 t 10 = − + + = ⇒− + − = ⇒ = 2 2 t 20 10t 360t 1200 2000 t 36t 320 0 t 16 = − + − = ⇒_{− +} ₋ ₌ ⇒ =

La ocupación del aparcamiento es igual o superior a 2000 plazas entre las 10 y 20 horas.

12. De todos los rectángulos de perímetro 48 m, calcula las dimensiones del que tiene la diagonal más pequeña.

y d Se ha de hacer mínima la diagonal: x2+y2

x

(26)

Dpto. Matemáticas

2x+2y=48⇒x+ =y 24⇒y=24−x. Esta relación nos permite expresar la función a minimizar mediante una sola variable, teniéndose que:

2 2 2

f(x)= x +(24−x) = 2x −48x+576 es la función en la que hay que buscar un mínimo. 2 2 4x 48 2x 24 f '(x) 0 2x 24 0 x 12 2 2x 48x 576 2x 48x 576 − − = = = ⇒ − = ⇒ = − + − + .

Se puede comprobar que para ese valor se alcanza un mínimo de la función.

f’ - 12 +

f Decreciente Creciente

Para x = 12 e y = 12, la función f presenta un mínimo. Por tanto, de todos los rectángulos de perímetro 48 m, el que tiene diagonal más pequeña es un cuadrado de lado 12 m.

13. Dada la función f(x) 2ax b 36 x

= + + , calcula a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto (3,10) y tenga tangente horizontal en ese punto.

Que la gráfica de f pase por el punto (3, 10), quiere decir que: f(3)=10⇒6a+ +b 12=10⇒ 6a+ + =b 2 0

Para que en dicho punto tenga tangente horizontal, la pendiente de la recta tangente ha de ser 0. Es decir, f’(3) = 0. 2 36 f '(x) 2a x 36 f '(3) 2a 0 2a 4 a 2 9 = − = − = ⇒ ₌ ⇒ ₌

Sustituyendo este valor en la ecuación anterior se tiene que: 36

6·2 b 2 0 b 14 f(x) 4x 14 x

+ + = ⇒ _{= −} ⇒ ₌ ₋ ₊

14. Un artículo de consumo estuvo a la venta durante 8 años, y su precio P(t) (en miles de euros) varió con el tiempo t (en años) que llevaba en el mercado, según la función: 2 4t 4 si 0 t 2 P(t) ₅ t 25 si 2 t 8 2  ₊ _{≤ ≤}  = + < ≤  

Averigua en qué momentos se alcanzaron los precios máximo y mínimo y cuáles fueron esos precios.

(27)

Dpto. Matemáticas

P(t) no es una función continua en t = 2. Sin embargo, cada trozo es creciente, ya que la derivada en cada uno de ellos es positiva.

2 _{8t si 0} _t ₂ 4t 4 si 0 t 2 P(t) ₅ P '(t) ₅ si 2 t 8 t 25 si 2 t 8 2 2  ₊ _{≤ ≤}  _{< <}   = ⇒ = < < + < ≤  _  P(0)=4; P(2)=20; P(8)=45

Por tanto, el máximo se alcanza en t = 8 y su precio es de 45.000 €. El mínimo se alcanza en t = 0, siendo el valor de éste 4.000 €

15. En la construcción de un túnel, el porcentaje de roca fragmentada o de mala calidad viene dado por el siguiente modelo matemático. R(x) representa dicho porcentaje cuando la distancia a la boca del túnel es x (en kilómetros). Si en algún tramo de la perforación el porcentaje supera el 40 %, se deberían reforzar las medidas de sostenimiento y seguridad de la estructura.

3 2 x R(x) 4,5x 18x 15 0 x 7 3 = − + + ≤ ≤

a) Indica en qué tramos de la perforación el porcentaje crece y en cuáles decrece.

b) Dibuja la gráfica de la función. ¿Será necesario reforzar las medidas mencionadas?

c) Señala los máximos y mínimos (absolutos y relativos), así como los puntos de inflexión de la curva.

a) 2 x 6 R '(x) x 9x 18 0 x 3 = = − + = ⇒ = R’ 0 + 3 - 6 + 7

R Creciente Decreciente Creciente

En el tramo (0,3)∪(6,7) el porcentaje crece y en el intervalo (3,6) el porcentaje decrece.

(28)

Dpto. Matemáticas

-1 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 x y

No será necesario reforzar las medidas ya que el porcentaje máximo que se alcanza es 37,5 % y no supera el 40 %.

c) El máximo absoluto se alcanza en (3,37.5). El mínimo absoluto se alcanza en (0,15) y el mínimo relativo en (6,33).

Utilizamos la segunda derivada para calcular los puntos de inflexión: 9

R ''(x) 2x 9 0 x 4,5 2

= − = ⇒ = =

Hay un punto de inflexión en (4.5, 35.37).

16. En una región, un río tiene la forma de la curva y 1x3 x2 x 4

= − + y es cortada por un camino según el eje OX.

Realiza un esquema de la posición del río y del camino, calculando para la curva el corte con los ejes coordenados, extremos relativos e intervalos de crecimiento.

• Dominio: ℝ

• Cortes con los ejes:

o Eje x : y 0 1x3 x2 x 0 x 0 y x 2 4

= ⇒ − + = ⇒ = =

o Eje y: x=0⇒y=0.

• Asíntotas: No tiene por ser polinómica.

• Monotonía: 2

3

f '(x) x 2x 1 4

(29)

Dpto. Matemáticas

2

3 2

x 2x 1 0 x 2 y x

4 − + = ⇒ = =3. Tenemos, por tanto, los siguientes intervalos de monotonía:

(

)

( )

2 , f '(x) 0 f(x) es creciente 3 2 2 8

, 2 f '(x) 0 f(x) es decreciente P , MÁXIMO y Q 2,0 MÍNIMO

3 3 27 2 , f '(x) 0 f(x) es creciente   −∞ > ⇒         < ⇒ ⇒         +∞ > ⇒

-2 -1 1 2 -1 1 x y 17. Dada la curva y x 1 x 1 − = + , calcula:

a) Los puntos de corte con los ejes coordenados. b) Las asíntotas.

c) Realiza una representación gráfica de la misma.

a)

– Eje x : y=0⇒x=1 - Eje y : x=0⇒y= −1

b) Asíntota vertical en x = -1 y asíntota horizontal en y = 1. c)

(30)

Dpto. Matemáticas

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y 18. Dada la función 2 x x 2 f(x) x 0 x + + = ≠

a) Determina las asíntotas de la función.

b) Calcula los máximos y mínimos relativos y determina sus intervalos de crecimiento.

a) Asíntota vertical en x = 0 No tiene asíntotas horizontales ya que

2 x x x 2 lím x →∞ + + = ∞ Asíntotas oblicuas: y = mx + n 2 2 2 x x x f(x) x x 2 x x 2 m lím lím : x lím 1 x x x →∞ →∞ →∞  _{+ +}  _{+ +} = =  = =  

(

)

(

)

2 x x x x x x 2 x 2 n lím f(x)-mx lím f(x)-x lím x lím 1 x x →∞ →∞ →∞ →∞  _{+ +}  ₊ = = =  − = =  

Por tanto, hay una asíntota oblicua en y = x + 1.

b) Para determinar los extremos relativos (máximos y mínimos), derivamos e igualamos a 0: 2 2 2 x 2 f '(x) 0 x 2 0 x 2 x − = = ⇒ _{− =} ⇒ _{= ±}

(31)

Dpto. Matemáticas

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

, 2 f '(x) 0 f(x) es creciente - 2 , 0 f '(x) 0 f(x) es decreciente P 2,1' 8 MÁXIMO y Q 2,3 ' 8 MÍNIMO 0 , 2 f '(x) 0 f(x) es decreciente 2 , f '(x) 0 f(x) es creciente −∞ − > ⇒ < ⇒ ⇒ − < ⇒ +∞ > ⇒ 19. La función 2 2 t t 1 f(t) t 1 − + =

+ representa la concentración de oxígeno en un

estanque contaminado por residuos orgánicos en un tiempo t (medido en semanas).

a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(t) para t≥0 así como los instantes donde la concentración de oxígeno es máxima y mínima.

b) De forma razonada, y conforme a los datos anteriores, representa gráficamente la función para t≥0, estudiando con todo detalle sus asíntotas. a) 2 2 2 t 1 f '(t) 0 t 1 (t 1) − = = ⇒ _{= ±}

+ . Tomamos solo la solución t = 1, ya que t

ha de ser positivo.

f’ 0 - 1 +

f Decreciente Creciente

La concentración de oxígeno es mínima para t = 1. Como 2 2 t t t 1 f(0) 1 y lím 1 t 1 →+∞ − + = =

+ , la función alcanza el máximo absoluto

para t = 0.

b) Como el denominador nunca se anula, la función no tiene asíntotas verticales.

tlím f(t)→+∞ =1

(32)

Dpto. Matemáticas

1 2 3

1

t y

20. Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, G(x) (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, x en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La expresión de G(x) es:

2x 3 si 0 x 15 15 G(x) 6x 60 si x 15 x 15  − + ≤ ≤  = −  _>  ₊ 

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo?

c) ¿Alcanza la función algún máximo o mínimo? Razona la respuesta. _______________________________________________________________ a) 2 2 si 0 x 15 15 G '(x) 150 si x 15 (x 15) −  < <  =  _>  ₊ 

Para 0 < x < 15, la derivada es negativa, luego la función decrece. Para x > 15 la derivada es positiva, luego la función es creciente.

b) x x 6x 60 lím G(x) lím 6 x 15 →+∞ →+∞ − = =

+ . A medida que transcurre el tiempo los

gastos de mantenimiento se acercan a 6.000 €.

c) x 15 x 15 x 15 x 15 x 15 2x lím G(x) lím 3 1 15 lím G(x) 1 G(15) 6x 60 lím G(x) lím 1 x 15 − − + + → → → → →    = − + = _   _⇒_∃ _{= =}  −  = = _ + 

(33)

Dpto. Matemáticas

G(x) es continua en x = 15 y en ese punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo tanto, tiene un mínimo relativo en el punto P(15,1).

21. El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho producto se puso en venta. La función que relaciona x y P es: 2 x P(x) 20x 375 3 − = + +

a) Determina si la función tiene máximo. Razona tu respuesta.

b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto?

c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función.

a) P '(x) 2x 20 0 2x 20 x 30

3 3

−

= + = ⇒ ₌ ⇒ ₌

Para determinar si es un máximo o un mínimo, utilizamos la derivada segunda:

2

P ''(x) 0 MÁXIMO 3

= − < →

La función tiene un máximo en el punto P(30,675).

b) Igualando a 0 la función y resolviendo la ecuación resultante, se obtienen como soluciones x = -15 (no válida) y x = 75. Por tanto, el precio es nulo transcurridos 75 días desde que el producto se puso a la venta.

c) El signo de la derivada nos da la monotonía:

P’ + 30 -

P Creciente Decreciente

La función crece en el intervalo

(

−∞

,30

)

y decrece en

(

30,+∞

)

.

22. Un canal privado de televisión ha comprobado que durante los 75 minutos que duró la retransmisión de un partido de tenis, el índice de audiencia fue variando según la función I(t)=At2+Bt+C, 0≤ ≤t 75.

Sabiendo que al inicio de la retransmisión el índice de audiencia era de 6 puntos y que a los 30 minutos se alcanzó el índice de audiencia mínimo con 3 puntos:

a) Determina las constantes A, B y C. Justifica tu respuesta. b) Representa la función.

(34)

Dpto. Matemáticas

a) I(0)= =C 6⇒ C=6

I'(t) 2At B 0 I'(30) 0 60A B 0 I(30) 900A 30B 6 3



= + = → = ⇒ _{+ =} _



= + + = 

Resolviendo el sistema, se tiene que A 1 300 = y B 1 5 − = b) La función es I(t) 1 t2 1t 6 0 t 75 300 5 = − + ≤ ≤ 10 20 30 40 50 60 70 80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y 23. Dada la función 2 2 x f(x) 4 x = − , determina:

a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos relativos.

e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.

a) Dominio es ℝ−

{

2, 2−

}

. Cortes: - Eje x: 2 2 2 x y 0 0 x 0 x 0 4 x = ⇒ ₌ ⇒ ₌ ⇒ ₌ − - Eje y: x = 0, y = 0 b) Como 2 2 2 2 x 2 x 2 x x lím lím 4 x 4 x

→ − = →− − = ∞, hay una asíntota vertical en x = 2

(35)

Dpto. Matemáticas

Al ser 2 2 x x lím 1 4 x

→∞ − = − , hay una asíntota horizontal en y = -1.

c)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2x·(4 x ) x ·( 2x) 8x f '(x) 0 x 0 4 x 4 x − − − = = = ⇒ ₌ − −

(

)

(

)

( )

(

)

, 2 f '(x) 0 f(x) es decreciente 2,0 f '(x) 0 f(x) es decreciente 0,2 f '(x) 0 f(x) es creciente 2, f '(x) 0 f(x) es creciente −∞ − < ⇒ − < ⇒ > ⇒ +∞ > ⇒

d) Con la información anterior tenemos que la función tiene un mínimo relativo en el punto P(0,0). e) La gráfica es: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

24. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos, de la función f(x)=x ·e2 −x.

x 2 x x 2

f '(x)=2x·e− +x ·e− =e ·(2x− +x )

Igualando a 0 y resolviendo la ecuación, se tienen las soluciones x = 0 y x = -2.

Para resolver la ecuación anterior hay que tener en cuenta que la función exponencial nunca se anula.

Los intervalos de monotonía son:

(

)

(

)

(

)

, 2 f '(x) 0 f(x) es creciente P( 2,59 '1) MÁXIMO 2,0 f '(x) 0 f(x) es decreciente Q(0,0) MÍNIMO 0, f '(x) 0 f(x) es creciente −∞ − > ⇒ − − < ⇒ ⇒ +∞ > ⇒

(36)

Dpto. Matemáticas

25. Dada la función f(x)=3x3−x2−2x, se pide hallar: a) El dominio.

b) Los puntos de corte con el eje OX.

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores de x para los cuales se alcanza un máximo o un mínimo.

d) Curvatura y puntos de inflexión.

e) Con los datos anteriores, representa gráficamente la función.

a) ℝ b) Resolvemos la ecuación: 3 2 2 3x x 2x 0 x 0, x 1 y x 3 −

− − = ⇒ ₌ ₌ ₌ . Los puntos de corte tienen de coordenadas (0,0), (1,0) y (-2/3,0). c) Derivamos e igualamos a 0: 2 f '(x)=9x −2x− =2 0⇒Aproximadamente x=0,6 y x= −0,12

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

, 0 '12 f '(x) 0 f(x) es creciente -0 '12 , 0 ' 6 f '(x) 0 f(x) es decreciente 0 ' 6 , f '(x) 0 f(x) es creciente P 0 '12,0 ' 22 MÁXIMO y Q 0 ' 6, 0 ' 91 MÍNIMO −∞ − > ⇒ < ⇒ ⇒ +∞ > ⇒ ⇒ ₋ ₋ d) f ''(x) 18x 2 0 x 2 1 18 9

= − = ⇒ ₌ ₌ . Veamos si es punto de inflexión estudiando si en él se produce un cambio de curvatura.

1 , f ''(x) 0 CÓNCAVA 9 1 56 P , PUNTO DE INFLEXIÓN 9 243 1 , f ''(x) 0 CONVEXA 9   −∞ < ⇒   −     ⇒       +∞ > ⇒     e) La gráfica es:

(37)

Dpto. Matemáticas

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y

26. Entre todos los rectángulos de área de 3 m2_{, encuentra las dimensiones del} que tiene mínimo el producto de sus diagonales.

Si llamamos x a la base del rectángulo e y a su altura, se trata de hacer mínima la expresión:

2 2 2 2 2 2

x +y · x +y =x +y Como el área son 3 m2_{, se tiene que:}

3 x·y 3 y

x

= ⇒ ₌

Sustituyendo en la expresión anterior, el problema se traduce a buscar el mínimo de la función: 2 4 2 2 2 2 3 9 x 9 f(x) x x x x x +   = +  = + =   Derivamos e igualamos a 0: 5 5 4 2x 18x f '(x) 0 2x 18x 0 x 0, x 3 y x 3 x − = = ⇒ − = ⇒ = = = −

De todas las soluciones que han salido sólo nos interesa x= 3, ya que la base del rectángulo ha de ser positiva.

Estudiando el signo de la derivada a la izquierda y derecha, se concluye que en x= 3 se alcanza un mínimo y para este valor y 3 3

3

= = .

27. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes, colocando las alambradas de

(38)

Dpto. Matemáticas

las divisiones paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que el área sea la mayor posible?

Si llamamos x a la base del rectángulo e y a su altura, se trata de hacer máxima x · y.

Como se dispone 160 m de alambre, se tiene que 2x + 4y = 160, que simplificada es x + 2y = 80.

En este caso despejamos x, ya que si despejamos y nos saldrán fracciones: x = 80 – 2y

Sustituyendo en la expresión que queremos maximizar, se tiene la función f(y) = y · (80 – 2y) = 80y – 2y2_.

Derivando e igualando a 0:

f '(y)=80−4y=0⇒y=20

Estudiando el signo de la derivada a la izquierda y derecha de 20 se concluye que para y = 20 se alcanza un máximo y para este valor x = 40.

28. Dada la función f(x) ax b 3 x

= + + , calcula a y b de manera que la gráfica de f pase por el punto (3,4) y tenga tangente horizontal en ese punto.

Que f pase por el punto (3,4) implica que f(3) = 4. Por otro lado que tenga tangente horizontal en dicho punto implica que f’(3) = 0.

f(3) 3a b 1 4 3a b 3 3 1 f '(3) a 0 a 9 3 = + + = ⇒ _{+ =} = − = ⇒ ₌

Sustituyendo en la expresión anterior y resolviendo la ecuación b = 2.

29. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) 2 x

−

= en

x = 2.

_______________________________________________________________ La pendiente de la recta tangente a la curva en x = 2 es f’(2).

2 2 2 1 f '(x) f '(2) 4 2 x = ⇒ _{= =} 30. Dada la función 2 2 16 x si 2 x 2 f(x) x si 2 x 3  ₋ _{− ≤ <}  = ≤ ≤  calcula la pendiente

(39)

Dpto. Matemáticas

La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función en el punto en el que se calcula la tangente.

En este caso nos pide f’(1) = -2 · 1 = -2. 31. Dada la función 2 x f(x) 1 x =

− , halla la ecuación de la recta tangente en x = 0.

La ecuación de la recta tangente es: y - f(0) = f'(0)(x - 0) Calculamos f(0) y f’(0).

(

)

2 2 2 f(0) 0 1 x f '(x) f '(0) 1 1 x = + = ⇒ ₌ − Por tanto: - Recta tangente: y = x

32. Determina las ecuaciones de la recta tangente a la gráfica de la función y = Lx en el punto de abscisa x = 1.

La ecuación de la recta tangente es: y - f(1) = f'(1)(x - 1)

Calculamos f(1) y f’(1). f(1) 0 1 f '(x) f '(1) 1 x = = ⇒ ₌ Por tanto: - Recta tangente: y = x - 1

33. Determina en qué puntos de la gráfica de la función y=x3−3x2 + +x 1, la recta tangente a la misma es paralela a la recta y= +x 7.

Escribe las ecuaciones de la recta tangente en los puntos obtenidos. __________________________________________________________ Para que sea paralela las pendientes han de ser iguales. Por tanto:

2 2

(40)

Dpto. Matemáticas

Ecuación de la recta tangente en x = 0: y – 1 = x Ecuación de la recta tangente en x = 2: y + 1 = x – 2

34. Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de la función 2

f(x)= −ax +5x−4, en el punto de abscisa 3, corte al eje X en el punto x = 5. ¿Cuál es la ecuación de la recta normal?

La ecuación de la recta a tangente en x = 3 es: y - f(3) f '(3)(x - 3) f(3) 9a 11 y ( 9a 11) ( 6a 5)(x 3) f '(3) 6a 5 = = − + _⇒ − − + = − + − = − +

Para que corte al eje x , y ha de ser 0 y como ha de ser en x = 5, sustituyendo: 9a 11 ( 6a− = − +5)·2⇒ a=1

35. Dada la función f(x)= − +x2 bx+c, calcula los valores de b y c si esa función pasa por el punto (1,4) y en ese punto la ecuación de la recta tangente es y = 4.

Que la función pase por el punto de coordenadas (1,4) implica que f(1) = 4 y que la recta tangente en dicho punto sea una recta horizontal implica que f’(1) = 0 (pendiente 0). Por tanto: f(1) 4 1 b c 4 c 3 f '(1) 0 2 b 0 b 2 = ⇒_{− + + =} ⇒ ₌ = ⇒_{− + =} ⇒ ₌

36. Halla los puntos de la gráfica de f(x)=x3−3x2+x en los cuales la recta tangente es paralela a la recta y = x.

Para que la recta tangente sea paralela ha de tener la misma pendiente. Por tanto, hay que resolver la ecuación f’(x) = 1.

2 2

3x −6x+ =1 1⇒3x −6x=0⇒x=0 y x=2

37. Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento así como los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

a) f(x)=x ·(x2 +1) b) g(x)= − +x4 3x2−2x c) h(x)= − +x3 x2−1 d) 2 x 2x 2 i(x) x 1 − + = − e) j(x) ₂x x 2 = +

(41)

Dpto. Matemáticas

a) f(x) x ·(x2 1) x3 x2 f '(x) 3x2 2x 0 x 0 y x -2 3 = + = + ⇒ ₌ ₊ ₌ ⇒ ₌ ₌

(

)

( )

2 , f '(x) 0 f(x) es creciente 3 2 2 4

,0 f '(x) 0 f(x) es decreciente P , MÁXIMO y Q 0,0 MÍNIMO

3 3 27 0, f '(x) 0 f(x) es creciente −   −∞ > ⇒     − −     < ⇒ ⇒         +∞ > ⇒ b) g(x)= − +x4 3x2−2x⇒g'(x)= −4x3+6x− =2 0⇒x=1, x=-1' 37, x=0,37

(

)

(

)

(

)

(

)

, 1' 37 f '(x) 0 f(x) es creciente 1' 37,0 ' 37 f '(x) 0 f(x) es decreciente 0 ' 37,1 f '(x) 0 f(x) es creciente 1, f '(x) 0 f(x) es decreciente −∞ − > ⇒ − < ⇒ > ⇒ +∞ < ⇒

P(-1’37, 4’85) MÁXIMO; Q(0’37, -0,35) MÍNIMO; R(1, 0) MÁXIMO c) h(x) x3 x2 1 h '(x) 3x2 2x 0 x 0 y x 2 3 = − + − ⇒ _{= −} ₊ ₌ ⇒ ₌ ₌

(

)

(

)

,0 f '(x) 0 f(x) es decreciente 2 0 , f '(x) 0 f(x) es creciente 3 2 , f '(x) 0 f(x) es decreciente 3 2 P , 0 ' 85 MÁXIMO y Q 0, 1 MÍNIMO 3 −∞ < ⇒   < ⇒ ⇒       +∞ < ⇒       ⇒ _ ₋ _ ₋   d)

(

)

2 2 2 x 2x 2 x 2x i(x) i '(x) 0 x 0 y x 2 x 1 _{x 1} − + − = ⇒ ₌ ₌ ⇒ ₌ ₌ − ₋

(

)

( )

(

)

,0 f '(x) 0 f(x) es creciente 0,1 f '(x) 0 f(x) es decreciente P(0, 2) MÁXIMO 0,2 f '(x) 0 f(x) es decreciente Q(2,2) MÍNIMO 2, f '(x) 0 f(x) es creciente −∞ > ⇒ < ⇒ ₋ ⇒ < ⇒ +∞ > ⇒ e)

(

)

2 2 ₂ 2 x x 2 j(x) j '(x) 0 x 2 x 2 _x ₂ − + = ⇒ ₌ ₌ ⇒ _{= ±} + ₊

(42)

Dpto. Matemáticas

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

, 2 f '(x) 0 f(x) es decreciente

- 2 , 2 f '(x) 0 f(x) es creciente P 2,0 ' 35 MÁXIMO y Q 2, 0 ' 35 MÍNIMO 2 , f '(x) 0 f(x) es decreciente −∞ − < ⇒ > ⇒ ⇒ ₋ ₋ +∞ < ⇒ 38. Dada la función 2 3x ax f(x) x 2 − =

+ , calcula el valor de a para que f(x) tenga un

mínimo relativo en x = 2.

Para que f tenga un mínimo relativo en x = 2, ha de verificarse que f’(2) = 0. 2 2 3x 12x 2a 36 2a f '(x) 0 f '(2) 0 a 18 16 (x 2) + − − = = ⇒ ₌ ₌ ⇒ ₌ +

39. Determina los intervalos de concavidad y convexidad así como los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) y=x3−3x2+2x+4 b) y=x4 +2x3−3 _______________________________________________________________ a) y ''=6x− =6 0⇒x=1

(

)

(

)

( )

,1 f ''(x) 0 CÓNCAVA P 1, 4 PUNTO DE INFLEXIÓN 1, f ''(x) 0 CONVEXA −∞ < ⇒ ⇒ +∞ > ⇒ b) y ''=12x2+12x=0⇒x=0 y x = - 1

(

)

(

)

(

)

(

)

, 1 f ''(x) 0 CONVEXA

1,0 f ''(x) 0 CÓNCAVA P 1, 4 y Q(0, -3) PUNTOS DE INFLEXIÓN 0, f ''(x) 0 CONVEXA

−∞ − > ⇒

− < ⇒ ⇒ − −

+∞ > ⇒

40. Halla dos números cuya suma sea 20 sabiendo que su producto es máximo.

Hay que maximizar el producto x · y. Como x + y = 20, de esta relación formamos la función f(x) = x · (20 - x). Derivando y resolviendo la ecuación que se obtiene al igualar la derivada a 0, se obtiene que un posible máximo se alcanza para x = 10. Se comprueba que efectivamente es un máximo y se concluye diciendo que los números son x = 10 e y = 10.