Modelo de Thomson. Este modelo del átomo es estable bajo fuerzas eléctricas. Figura 1.

Modelo de Thomson

El modelo atómico de Thomson es una teoría sobre la estructura atómica propuesta en 1904 por Joseph John Thomson, quien descubrió el electrón en 1898.

El átomo está compuesto por electrones de carga negativa en un átomo positivo, embebidos en éste al igual que las pasas de un budín.

Figura 1.

Scattering Rutherford

Figura 2.

Partículas α emitidas por una fuente radiactiva inciden sobre una placa de oro delgada. Las partículas α producen un destello pequeño pero visible cuando chocan con la pantalla fluorescente. Sorprendentemente las partículas α se deflectaron fuertemente y algunas se devolvieron.

Este experimento muestra que las cargas positivas del átomo están concentradas en un volumen extraordinariamente pequeño, el núcleo.

Consideremos una partícula de masa m que se acerca desde infinito hacia el origen en presencia de un potencial central V(r). Queremos encontrar la sección eficaz diferencial para este proceso. Como el potencial es central, se conserva el momentum angular de la partícula, l. Se tiene que:l=mr2φ˙ E= 1 2m r˙ 2₊ l2 2mr2 +V (r) dr dφ = r˙ φ˙ = r2 2mE − l2 2m r2 −V(r) r l χ=|π −2φ₀| Figura 4.

Notar que la trayectoria de la partícula es simétrico alrededor de rmin(radio mínimo).ρ es el

φ₀=l Z rmin ∞ dr r2 _{2mE −} l2 2m r2 −V (r) r E = 1 2mv∞ 2 _{, l=mρv} ∞, φ0=ρ R rmin ∞ d r r2 ₁− ρ 2 r2 −2V(r) m v∞2 r

Consideremos un haz de partículas incidentes con velocidad v∞. Dado que tienen ρ diferentes,

serán dispersadas en ángulos distintos. Se define la sección eficaz diferencial por:dσ= d N_n

dN: número de partículas dispersadas por unidad de tiempo entre los ángulos χ y χ+dχ.

n: número de partículas incidentes, por unidad de tiempo, por unidad de área transversal del haz. Se supone una densidad transversal uniforme.

Supongamos que la relación entre ρ y χ es uno a uno. dN =n2πρdρ, dσ= 2πρdρ= 2πρ(χ) d ρ d χ dχ

Usando el elemento de ángulo sólido dΩ = 2π sen _{χdχ, dσ=}ρ(χ)

senχ d ρ d χ dΩ

Scattering Rutherford: V(r) = α_r, φ0=ρR _rmin

∞ d r r2 ₁− ρ 2 r2 −2 α m v∞2 r r , u= 1 r φ0=ρR ₀ umin d u 1−ρ2u2−2 α m v∞2 u q ,1−ρ 2_u2₋₂ α m v∞ 2 u= 1 + α m v∞ 2 _{ρ 2} −ρ2 u+ α m v∞ 2 _ρ2 ₂ ρu+ α m v∞ 2 _ρ2 = 1 + α m v∞ 2 _{ρ 2} r cos_α,1−ρ2_u2₋₂ α m v∞ 2 u= 1 + α mv∞ 2 _{ρ 2} sen2_α, αmin= 0,φ₀=α(u= 0) =arccos    α m v∞2 ρ 1 + α m v∞2 ρ ₂ s   

ρ2= α2 m2_v ∞ 4 tan2 φ0= α2 m2_v ∞ 4 cotan2 χ 2 , ρ= α m v∞ 2 cotan χ 2 (1) dσ= 2πρ(χ) dρ dχ dχ =2π α 2 m2v∞ 4 cotan χ 2 cosec2 χ 2 dχ= π α 2 m2v∞ 4 cos χ 2 dχ sen χ 2 ₃ dσ dΩ = α2 2m2_v ∞ 4 cos χ 2 sen χ 2 ₃ sen_(χ) = α 2mv∞ 2 ₂ cosec4 χ 2 (1)

Esta es la fórmula de Rutherford. Para un núcleo de carga Ze, α= 2kZe2, k= _4πε1

Figura 7. Dos partículas α con iguales energías cinéticas se aproximan a un núcleo de carga Q₌Ze_.

con parámetros de impacto ρ₁₌b₁, ρ₂₌b₂, con b₂> b₁. De acuerdo a la ecuación (1), χ₁₌θ₁> χ₂₌θ₂. En general, todas las partículas α con parámetro de impacto menor a ρ tendrán un ángulo de dispersión χ

Figura 8. Número total de átomos en la capa delgada en el área cubierta por el haz es n A t donde n es el número de átomos por unidad de volumen, A es el área cubierta por el haz y t es el grosor de la película.

• n=núcleos por unidad de volumen=ρ

_g cm3 NA(átomos/mol) M(g/mol₎ = ρNA M átomos/cm 3 • I0=número de α/(área*tiempo)

• I₀πb2=número de α/(tiempo) con ángulo de dispersión χ mayor o igual al de la ecuación (1).

• I0πb2/I0=πb2= sección eficaz para ángulo de dispersión χ mayor o igual al de la ecuación

(1).

• f =fracción de partículas α para ángulo de dispersión χ mayor o igual al de la ecuación (1), dispersadas por todos los núcleos de la muestra=πb2tn

Ejemplo 1

Fracción dispersada f:Calcular la fracción de un haz incidente de partículas α de energía cinética K= 5Mev que Geiger y Marsden esperaban encontrar con θ>90◦

después de chocar con una capa de Oro(Z=79) de grosor 10−6

m.

Para el Oro: ρ = 19.3_g/cm3_{,NA =} 6.02 _× 1023_{átomos/mol(número de Avogadro),M =} 197_{g/mol(masa molar del oro).}

1. ρNA M =5.9×10 22_átomos /cm3 2. b= α m v∞ 2 cotan _θ 2 ,α= 2kZe2, k= _4πε1 0,b= α m v∞ 2 = 2k Z e2 2K =2.28×10 −14 m 3. f =πb2tn=9.6_×10−5 ≃10−4

Mostrar que el número de partículas α detectadas por ángulo sólido dΩ es ∆N = I0A n t r2 k Z e2 2K ₂ 1 sen4 _θ 2

(2), A es el área del detector, I0 es la intensidad del haz de

partículas α, t es el grosor de la lámina. r es la distancia entre la lámina y el detector.K es la energía cinética de las partículas α.

1. _dΩdσ = α 2m v∞ 2 ₂ cosec4 θ 2 2. df =dσtn

3. dN =I0dσtn=número de partículas/tiempo que salen con ángulo sólido dΩ. Después del

choque las partículas se mueven en línea recta.

4. A una distancia r de la lámina, el número de partículas que atraviesa un área transversal es _r2N_dΩ 5. ∆N = _rd N_2d ΩA= I₀t n r2 dσ dΩ = I₀t n A r2 _α 2m v∞ 2 ₂ cosec4 _θ 2 = I0t n A r2 _α 2m v∞ 2 ₂ 1 sen4θ 2

Figura 9. Datos de Geiger y Marsden para dispersión desde Oro y Plata.

Gráfico es log-log. El ángulo de dispersión decrece hacia abajo en el eje vertical.

Figura 10. Geiger y Marsden midieron la dependencia de _∆N en t

Tamaño del núcleo

Figura 11. (a)Si la partícula α no penetra el núcleo, éste se describe como una carga puntual situada en el origen

(b) Si la partícula α entra al interior del núcleo, la ley de dispersión de Rutherford deja de ser válida.

• El núcleo no es puntual. Tiene radio rn. Este se puede determinar calculando la distancia

de mínima aproximación de la partícula α en un choque frontal:

• La energía total se conserva: E =K+U, K:Energía cinética, U: Energía potencial,

U = 2Ze_r2k

• Evaluando en r=∞, E=Ki. Evaluando en rd(distancia de aproximación mínima), K= 0

U = 2Ze_r 2k

• rd= 2

Ze2k K_i ,

• Para Ki =7.7M e v, Z =79, se obtiene rd = 3×10

−14

m. El radio del núcleo de oro no supera rd.

Figura 12. Datos obtenidos por el grupo

de Rutherford para dispersión en ángulos grandes fijos, como función de rd.