Maximización del espacio de trabajo en un robot manipulador paralelo tipo Delta con actuadores lineales

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Maximizaci´on del espacio de trabajo en un robot manipulador paralelo

tipo Delta con actuadores lineales

Gilberto Reynoso

, Antonio Favela

Programa de Graduados ITESM, greynosom@exatec.itesm.mx

Departamento de Mecatr´onica y Automatizaci´on ITESM Campus Monterrey, antonio.favela@itesm.mx

Resumen— En ´este trabajo se presentan resultados pre-liminares de la influencia que tiene la distancia angular que sostienen entre s´ı los brazos de un manipulador Delta con actuadores lineales en su espacio de trabajo te´orico. Los resultados obtenidos muestran diferentes alternativas a considerar en aplicaciones diversas basadas en arreglos diferentes para incrementar el espacio de trabajo en este tipo de manipuladores.

Palabras Clave— Manipulador paralelo, Robot Delta, espacio de trabajo.

I. INTRODUCCION´

Un robot manipulador de arquitectura paralela es considerado como aqu´el en donde su actuador final se encuentra conectado a la base del mismo por medio de varias cadenas cinem´aticas independientes ([10]). Dicha topolog´ıa conlleva una serie de ventajas y desventajas cuando se les compara con los manipuladores de arqui-tectura serial ([1], [2], [3], [9], [10], [6]), ampliamente conocidos en el sector industrial y acad´emico.

Una de las principales desventajas es que para cumplir con la cobertura de un espacio de trabajo dado, se requieren manipuladores paralelos de mayores dimen-siones a las que requerir´ıa un manipulador serial. Se dice entonces que los manipuladores paralelos presentan una raz´on sistema/espacio-de-trabajo menor al de los manipuladores seriales.

El manipulador Delta pertenece a la familia de mani-puladores paralelos y representa tal vez el mayor caso de ´exito de los mismos. Fue concebido y dise˜nado por R.Clavel en 1988 y se describe en la patente 4,976,582 del gobierno estadounidense (vid. figura 1). Se le ha empleado principalmente para operaciones conocidas como “Pick-and-Place”, aunque existen referencias de su aplicaci´on en m´aquinas-herramientas ([1], [7]).

Siendo el robot Delta un manipulador paralelo, sufre tambi´en de la desventaja de presentar un disminuido espacio de trabajo en relaci´on a su tama˜no. En [12] se presenta una alternativa para la maximizaci´on del espacio de trabajo del Delta que se logra al orientar los actuadores del robot en planos distintos en lugar

Fig. 1. Esquema del Manipulador Delta.[4]

de disponerlos coplanares. Con una idea similar, se expondr´an resultados preliminares para lograr una mayor cobertura para el manipulador Delta.

El siguiente trabajo se organiza como sigue: en la secci´on II se describen las diferentes configuraciones para un manipulador Delta, en la secci´on III se presenta la forma usual del espacio de trabajo de los manipu-ladores Delta. En la secci´on IV se expone el arreglo propuesto para la maximizaci´on del espacio de trabajo te´orico en un manipulador Delta con actuadores lineales y se expondr´an resultados preliminares para este caso particular.

II. CONFIGURACIONES DEL MANIPULADORDELTA En su contexto m´as general, el manipulador Delta consta de una plataforma fija, una plataforma m´ovil y de tres cadenas cinem´aticas que unen a los mismos. Cada cadena cinem´atica est´a compuesta por un brazo y un antebrazo. El primero de ellos est´a conectado a la base fija y es qui´en transmite el movimiento de los actuadores; el segundo va conectado a la plataforma

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m´ovil. ´Esta ´ultima consta de dos eslabones que en todo momento forman un paralelogramo, evitando as´ı que el actuador final cambie su orientaci´on ([8]).

Tres son las principales configuraciones del manipu-lador Delta:

Delta con actuadores rotacionales: el

manipula-dor que dise˜nara en primera instancia R. Clavel (vid. figura 1). En dicho arreglo, la plataforma m´ovil se mantiene siempre paralela a la plataforma fija.

Delta con actuadores lineales: un manipulador

Delta el cual, en vez de utilizar actuadores rota-cionales, emplea actuadores lineales para llevar a cabo el movimiento de la base m´ovil del mismo (vid. figura 2). La base m´ovil siempre se encuentra en un plano ortogonal a las gu´ıas del robot.

Delta Lineal: un manipulador Delta que emplea

tambi´en actuadores lineales, sin embargo, la base m´ovil se desplaza en planos siempre paralelos a las gu´ıas del robot (vid. figura 3)

Para motivos de este trabajo s´olo son de inter´es las primeras dos arquitecturas del manipulador Delta.

Fig. 2. Esquema del Manipulador Delta con actuadores lineales [5].

Fig. 3. Esquema del Manipulador Delta lineal [11].

III. CARACTERIZACION DEL ESPACIO DE TRABAJO´ DELDELTA

En t´erminos generales, es posible decir que el espacio de trabajo del manipulador Delta se basa en la inter-secci´on de las esferas que, te´oricamente, describen el lugar geom´etrico de puntos donde se unen los antebrazos del robot con la plataforma en movimiento.

Fig. 4. Parametrizaci´on del Delta con actuadores rotacionales. En el caso del Delta con actuadores rotacionales, se observa que dicha esfera tiene como radio la longitud del antebrazo|BC|y centro enB(vid. figura 4). La parame-trizaci´on de tal esfera se muestra en la ecuaci´on 1, donde

Bxi, Byi, Bzirepresentan las coordenadas cartesianas de B. (X−Bxi) 2+ (Y B yi) 2+ (ZB zi) 2=|BC|2 (1)

El punto B se encuentra sujeto al movimiento del actuador situado en A, por lo que su ubicaci´on en el espacio se describe por la ecuaci´on 2, donde αi es

el movimiento angular generado por el actudor con respecto a la horizontal, ya=|AiBi|.

B= [BxiByiBzi]

T

= [0 −acosαiasinαi]T (2)

El mismo planteamiento matem´atico es v´alido para todos los brazos del manipulador. Basta con definir una rotaci´on en los mismos. Sea tal matriz de rotaci´on la descrita es la ecuaci´on 3, dondeθi representa el ´angulo

que debe rotarse para obtener lograr parametrizar a los restantes brazos. Los valores usuales paraθi son de0o, 120oy240oparai= 1,2,3respectivamente. Para lograr

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determinar la cobertura de cada uno de los brazos y determinar el espacio que tienen en com´un.

Ri =   cosθi −sinθi 0 sinθi cosθi 0 0 0 0   (3)

Fig. 5. Parametrizaci´on del Delta con actuadores lineales. En el caso del Delta con actuadores lineales, el procedimiento es muy similar. Se puede hablar de la misma esfera con radio|BC|y centro enB (vid. figura 5), pero ahora el puntoB describe una l´ınea recta como lugar geom´etrico. Se logran las mismas ecuaciones 1 y 3 que en el modelo anterior, y cambia la ecuaci´on 2 que en este caso tiene la forma de la ecuaci´on 4, dondedi est´a

en funci´on de los actuadores lineales del manipulador.

B = [BxiByiBzi]

T = [0 0d

i]T (4)

Cabe mencionar que, en funci´on de ciertos par´ametros de forma, estos espacios de trabajo pueden ser no con-tinuos, queriendo con ello decir que albergan regiones no alcanzables para el manipulador.

• Para el manipulador con actuadores rotacionales, se sabe que las condiciones necesarias para evitar singularidades dentro del espacio de trabajo son ([8]):

||OAAB||>0.484

||BCAB||>1.75

• En el caso del manipulador con actuadores lineales,

la condici´on ´unica para evitar singularidades es que la carrera m´axima de los actuadores lineales sea mayor a2|BC|([5]).

Una propuesta de maximizaci´on del espacio de trabajo se presenta en [12], la cual consiste en una reevaluaci´on

de la orientaci´on de los tres actuadores rotacionales del manipulador Delta, los cuales usualmente, se encuentran compartiendo el mismo plano. En ese caso, la maxi-mizaci´on vari´o dos par´ametros, ´angulos en este caso, de manera que se evalu´o el impacto de tener a los actuadores en orientaciones distintas y dejando as´ı de ser coplanares (vid. figura 6). Los resultados pueden ser revisados en la misma referencia, y basta decir que se logr´o un incremento aproximado al 9% del volumen de trabajo. Es de inter´es para los autores de este art´ıculo el generar un incremento mayor en el espacio de trabajo del manipulador.

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Fig. 6. Proyecto Nuwar para la optimizaci´on del espacio de trabajo de manipuladores Delta.

IV. MAXIMIZACION DEL ESPACIO DE TRABAJO DEL´ MANIPULADORDELTA CON ACTUADORES LINEALES Para el caso del manipulador Delta con actuadores lineales y rotacionales, se aprecia que el concepto de mantener equidistante la variaci´on angular entre los tres brazos siempre se sostiene. En otras palabras, los valores para θi en la ecuaci´on 3 suelen ser 0o,120o,240o o

sus equivalentes. La maximizaci´on que aqu´ı se propone consiste en la variaci´on de la distancia angular que sostienen los tres actuadores del manipulador entre s´ı, es decir, considerar valores diferentes paraθi.

Dicho cambio apenas modifica los algoritmos cono-cidos para el desarrollo de la cinem´atica y din´amica del manipualdor Delta empleados en el Control del mismo, ya que solo implica el cambio en la matriz de rotaci´on de la ecuaci´on 3 y no en los par´ametros de forma del robot.

Para mostrar la conveniencia de variar dicha distancia angular, se analiza tal variaci´on en un manipulador delta con actuadores lineales. Se emplear´an los mis-mos par´ametros de forma detallados en [5]: |BC| = 1000,|OA|= 811.

Las configuraciones analizadas mantienen constante la distancia al centro de la plataforma fija, de modo que la regi´on de configuraciones para explorar consiste en ubicar los brazos del robot sobre una circunferencia. Se mantendr´a fijo uno de los actuadores del manipulador y se variar´a la distancia angular de los dos restantes.

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Cada reconfiguraci´on ser´a identificada por el par orde-nado (φ1, φ2)que representan la distancia angular con

respecto al brazo fijo de los dos restantes, el primero en sentido antihorario, el segundo en sentido horario. De tal forma, el arreglo usual (los tres actuadores equidistantes entre s´ı) se identificar´a como(120,120)(vid. figura 5). Por tratarse de un trabajo preliminar, se eligieron valores paraφidentro del conjunto60o,90o,120o,150o

de manera que se desarroll´o un total de 16 evalua-ciones, contenida entre ellas la (120,120). En la tabla IV se muestran los resultados de tales evaluaciones, presentando en la misma el cociente resultante de

V olumen(φ1,φ2)/V olumen(120,120).

TABLA I

INCREMENTO EN EL VOLUMEN DE TRABAJO DEL MANIPULADOR DELTA CON ACTUADORES LINEALES CON BASE EN EL(120,120).

φ1 60o 90o 120o 150o 60o 3.35 1.98 1.41 1.25 φ2 90o 1.98 1.32 1.08 1.08 120o 1.41 1.08 1.00 1.08 150o 1.25 1.08 1.08 1.25

Se observa que todos los valores en la tabla son mayores a 1.00. Lo anterior es debido a que, en realidad, la disposici´on equidistante de los actuadores es la que minimiza el espacio de trabajo te´orico del manipulador Delta. El mismo se ir´a incrementando conforme(φ1, φ2)

se aproxime a(0,0). En la figura 7 se muestra el espacio de trabajo para la configuraci´on (60,120), que es la mayor obtenida que no entra en conflicto con la gu´ıa del actuador fijo, ya que otras envolventes cubren regiones por detr´as de la misma, lo cual es una reestricci´on espacial en la configuraci´on.

El arreglo no sim´etrico de las distancias angulares de los brazos del robot, aunque conduce a espacios de trabajos no sim´etricos, logra una maximizaci´on en los mismos, que puede ser conveniente en aplicaciones particulares y espec´ıficas.

V. CONCLUSIONES

Se ha presentado una altervativa para maximizar el es-pacio de trabajo en robots manipuladores tipo Delta que funcionan con actuadores lineales mediante la variaci´on de las distancias angulares de los brazos del mismo. Dicha maximizaci´on conduce a espacios de trabajo no sim´etricos, sin embargo, para aplicaciones espec´ıficas, donde sea requerido, puede ser conveniente considerar-los desde la etapa de dise˜no.

REFERENCIAS

[1] Ilian Bonev. What is going on with paralell robots. Robotics Online. Disponible en http://www.roboticsonline.com. [2] Ilian Bonev. Delta parallel robot: the story of success. The

parallel mechanisms information center, Mayo 2001. Disponible en http://www.parallemic.org.

[3] Bennett Brumson. Parallel kinematic robots. Robotics Online. Disponible en http://www.roboticsonline.com.

[4] Reymond Clavel. Device for the movement and positioning of an element in space. U.S. Patent 4,976,582, Diciembre 1990. [5] Xin-Jun Liu et. al. A new approach to the design of a delta robot

with a desired workspace. Journal of Intelligent and Robotic

Systems, (39):209–225, 2004.

[6] H.K. Tonshoff & H.Grendel. A systematic comparison of parallel kinematics. Advanced Manufacturing Series:295–312, 1999. [7] Gloria J. Weins Irene Fassi. Multiaxis machining: Pkms and

tra-ditional machining centers. Journal of Manufacturing Processes, 2(1), 2000.

[8] R. Clavel L. Rey. The delta parallel robot. Advanced Manufac-turing Series:401–417, 1999.

[9] Jean-Pierre Merlet. Parallel robots: open problems. Disponible en http://www.inria.fr/coprin/equipe/merlet.

[10] Jean-Pierre Merlet. Parallel Robots. Kluwer Academic Publish-ers, 2000.

[11] Karol Miller Michael Stock. Optimal kinematics design of spatial parallel manipulators: application to linear delta robot.

Transactions of the ASME, 125, 2003.

[12] Karol Miller. Maximization of workspace volume of 3-dof spatial parallel manipulators. Journal of Mechanical Design, 124, 2002.

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Fig. 7. Forma del espacio de trabajo para la configuraci´on (60,120): isom´etrica (a) y superior (b).

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Fig. 8. Forma del espacio de trabajo para la configuraci´on (120,120): isom´etrica (a) y superior (b).

Figure

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