Modelación de un robot manipulador tipo delta y diseño de un controlador supervisorio difuso para el control de posición

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(1)INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. Modelación de un robot manipulador tipo Delta y diseño de un controlador supervisorio difuso para el control de posición. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:. MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACIÓN. POR: GILBERTO REYNOSO MEZA. MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO , DICIEMBRE 2005.

(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA. Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Gilberto Reynoso Meza sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado académico de:. Maestro en ciencias con Especialidad en Automatización. Comité de Tesis:. ————————————————– Dr. Antonio Favela Contreras Asesor. ————————————————– Ing. Manuel Cabrera Sinodal. ————————————————– Dr. José de Jesús Rodrı́guez Sinodal. Aprobado:. ————————————————– Dr. Federico Viramontes Brown Director del Programa de Graduados en Ingenierı́a Diciembre, 2005.

(3) DEDICATORIA. A MIS PADRES Por todo el cariño y disciplina con que me criaron: es lo que me mantiene siempre a flote.. A MI HERMANO Por todo el apoyo que siempre me ha brindado en cada proyecto emprendido. A TÍA Y ABUELITA Por creer tanto en mı́. A DIOS Que a pesar de ser quien soy, me sigue dando oportunidades.

(4) AGRADECIMIENTOS. Deseo expresar mi agradecimiento a quienes apoyaron el desarrollo de éste trabajo, ası́ como a aquellos que continuarán contribuyendo a la lı́nea de investigación que se abre con ésta tesis: Al Dr. Antonio Favela, por su apoyo como asesor en éste proyecto. Al Dr. José de Jesús Rodrı́guez y al Ing. Manuel Cabrera por su valiosa participación como sinodales. A los participantes en el desarrollo del prototipo del manipulador Delta Black Widow : Adrián, Alfonso, Cristóbal, Héctor, Joel, Johnatan, Manuel y Rebeca A Pedro y Joel que continuarán trabajando con el manipulador y aportarán valiosos resultados sobre el mismo. A la MAT, que sin su apoyo por medio del grupo de tesistas no hubiese ordenado muchas de las ideas aquı́ expuestas. Al honorable equipo de instructores SIM-ASM por desafiar mis apuestas. A todos aquellos que siempre mantuvieron subjetivas a mis abstracciones..

(5) Abstracto Los manipuladores tipo Delta [6] pertenecen a la familia de manipuladores paralelos o de cadena cinemática cerrada, los cuáles presentan la singular ventaja de alcanzar altas aceleraciones al compararse con su contraparte, los robots manipuladores seriales o de cadena cinemática abierta. Lo anterior se debe a que en un manipulador paralelo disminuye el número de masas en movimiento. Las altas aceleraciones conllevan a diseños de arquitecturas de control diferente, que puedan lidiar con las velocidades con las que se espera se desempeñen tales manipuladores, logrando una alta repetibilidad en las posiciones requeridas, con el menor tiempo y sin sobreimpulso. En el siguiente documento se presenta la modelación de un manipulador tipo Delta con actuadores rotacionales y se propone el diseño de un control supervisorio difuso para posición para el mismo. Con dicho control supervisorio se mejoró el desempeño de un lazo de control PID existente que trabaja sobre la posición articular del manipulador. El esquema de control supervisorio trabaja con el error y el cambio en el mismo, y mediante su esquema de inferencia difusa produce como salida una ganancia proporcional variante en el tiempo que modifica el error que procesa el controlador convencional.. i.

(6) Índice general Abstracto Índice . . Listado de Listado de. . . . . . . . . . . figuras . tablas .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . i . ii . v . vii. 1. Introducción 1.1. Definición del problema 1.2. Hipótesis . . . . . . . . 1.3. Metodologı́a . . . . . . . 1.4. Objetivos generales . . . 1.5. Objetivos especı́ficos . . 1.6. Alcances . . . . . . . . . 1.7. Estructura del escrito .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 1 2 2 2 3 3 3 3. 2. Robótica y esquemas de control 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Definición y clasificación de los robots . . . . . . 2.2.1. Clasificación por el espacio alcanzable . . 2.2.2. Clasificación por la estructura cinemática 2.3. Esquemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Modelación dinámica . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Control de manipuladores . . . . . . . . . 2.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 4 4 4 5 7 9 9 10 13. 3. Manipulador Delta 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Antecedentes históricos del manipulador Delta 3.2.1. Patentes asociadas al manipulador . . . 3.2.2. Aplicaciones del manipulador Delta . . 3.3. Modelos Cinemáticos . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Planteamiento general . . . . . . . . . . 3.3.2. Problema cinemático directo . . . . . . 3.3.3. Problema cinemático inverso . . . . . . 3.4. Modelos Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 14 14 15 17 17 20 20 23 24 24. ii. . . . . . . . . ..

(7) 3.5. 3.6. 3.7. 3.8.. 3.4.1. Planteamiento general . . . . . . . . Espacio alcanzable del manipulador . . . . . 3.5.1. Maximización del espacio de trabajo Desarrollo del prototipo manipulador delta Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 4. Diseño del esquema de control para el manipulador delta 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Antecedentes control difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Lógica difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Control difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Proceso de Fuzificación . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Mecanismo de Inferencia Difusa . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Proceso de Defuzificación . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Estrategia de control propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Sintonización del lazo de control convencional . . . . 4.4.2. Sintonización del control supervisorio difuso . . . . . 4.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Pruebas y Resultados 5.1. Introducción . . . . . . . 5.2. Resultados . . . . . . . . 5.2.1. Prueba I.A . . . 5.2.2. Prueba I.B . . . 5.2.3. Prueba II . . . . 5.3. Discusión de resultados. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 25 26 27 30 33 33. . . . . . . . . . . . .. 35 35 35 35 36 36 37 40 41 42 43 45 47. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 48 48 48 48 52 55 55. 6. Conclusiones y trabajo a futuro 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Modelación matemática del manipulador Delta . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Propuesta de controlador supervisorio difuso . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Implementación del control supervisorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Impacto de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Diseño para el control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Diseño de supervisores difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3. Control de posición, trayectoria y velocidad del manipulador delta. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 57 57 57 58 58 58 59 59 59 59. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. A. Programación del controlador difuso supervisorio 63 A.1. Control difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. iii.

(8) B. Programación de modelos matemáticos 72 B.1. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 B.2. Espacio alcanzable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 C. Modelación Digital 78 C.1. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Vita. 94. iv.

(9) Índice de figuras 2.1. Sistema robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Manipulador del tipo cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Manipulador del tipo cilı́ndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Manipulador esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Manipulador tipo scara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Manipulador tipo articulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Manipulador ECA (a) y ECC (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Esquema de control PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Esquema de control por antealimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10. Lazo de control por par computado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Lazo de control general para un manipulador con referencia articular en la posición. . . . . 2.12. Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial en la posición. . . . . . 2.13. Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial tanto en posición como en velocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 3.1. Robot Delta, US Patent number 4,976,582 [6] . . . . . . . . . . . . . 3.2. Esquemas del manipulador Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Patentes con referencia al Manipulador Delta . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplicaciones industrial del manipulador Delta . . . . . . . . . . . . . 3.5. Aplicaciones metal-mecánicas del manipulador Delta . . . . . . . . . 3.6. Parametrización del manipulador Delta . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Detalle del ángulo alpha en los brazos de control . . . . . . . . . . . 3.8. Sistema de referencia para la modelación . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Espacio alcanzable tı́pico de un manipulador Delta (vistas isométrica 3.10. Casos del espacio de trabajo de un brazo del manipulador . . . . . . 3.11. Comportamiento del espacio alcanzable del manipulador . . . . . . . 3.12. Estructura del manipulador delta prototipo . . . . . . . . . . . . . . 3.13. Prototipo Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14. Espacio alcanzable prototipo manipulador Delta . . . . . . . . . . . 3.15. Esquema general de la electrónica del manipulador delta prototipo .. 15 16 18 18 19 21 22 23 26 28 29 30 31 32 33. . . . . . . . . y . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . superior) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 5 6 6 7 7 8 9 11 11 12 12 13. 4.1. Lazo de control de un controlador difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2. Etapas del control difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3. Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. v.

(10) 4.4. Función L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Función Triangular Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Función Trapezoidal Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Regla de defuzificación por singletons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Esquema general del control supervisorio automático en un lazo de control 4.9. Esquema de control supervisorio propuesto para el manipulador Delta . . 4.10. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Conjuntos difusos de entrada: error (a) y cambio en el error (b,c) . . . . . 4.12. Acción de control del supervisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 38 39 39 42 42 43 44 46 47. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 49 50 53 54 56 56. Prueba Prueba Prueba Prueba Prueba Prueba. I.A con carga de 1.5 kilogramos I.A con carga de 1.5 kilogramos I.B con carga de 2.0 kilogramos I.B con carga de 2.0 kilogramos II.B con carga de 2.0 kilogramos II.B con carga de 2.0 kilogramos. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 6.1. Propuesta de implementación del esquema de control prototipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Propuesta de implementación del esquema de control prototipo con esquema de cómputo de torque. . . . .. vi. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. supervisorio en . . . . . . . . . supervisorio en . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. el manipulador . . . . . . . . . el manipulador . . . . . . . . .. delta . . . . 60 delta . . . . 60.

(11) Índice de tablas 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.. Patentes americanas asociadas al manipulador DELTA . . . . Caracterśticas del manipulador ABB flexpicker . . . . . . . . Caracterśticas del cortador de madera Pegasus . . . . . . . . Caracterśticas del torno de control numérico Index V110 . . . Espacio alcanzable del manipulador delta al variar la posición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . angular de sus brazos.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 17 18 19 19 27. 4.1. Tabla implicaciones difusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Tabla implicaciones difusas para el supervisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.. Índices Índices Índices Índices Índices. de de de de de. desempeño desempeño desempeño desempeño desempeño. Prueba Prueba Prueba Prueba Prueba. I, 1.5 kilogramos I, 1.5 kilogramos I, 2.0 kilogramos I, 2.0 kilogramos II, 2.0 kilogramos. vii. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 51 51 52 52 55.

(12) 1. Introducción El empleo de robots manipuladores se ha consolidado en diversos sectores industriales gracias a las conveniencias que brindan en la realización de numerosas tareas. Se les puede emplear en ambientes de alto riesgo para el operador humano, en tareas de alta precisión, repetitivas o que es necesario realizar de forma contı́nua y constante. Para poder llevar a cabo tales tareas, es necesario programar las mismas, por lo que es necesario dentro del ambiente industrial enseñar al manipulador las posiciones requeridas y programar la actividad que desempeñará. Una vez hecho esto, y almacenada la información en el controlador del manipulador, éste debe ser capaz de reproducir las tareas que le son requeridas de forma autónoma bajo las condiciones establecidas de operación como pueden ser trayectoria, velocidad y aceleración. Para garantizar lo anterior, es necesario un buen diseño del esquema de control para el manipulador. Como consecuencia de los efectos de la gravedad, la fricción, de las masas inerciales en movimiento y la variabilidad en la carga a desplazar por el manipulador, éste se convierte en un sistema dinámico no lineal, de manera que los esquemas de control, para lograr un buen desempeño, deben ser propuestos para trabajar alrededor de un punto de operación, o ser lo suficientemente robustos y/o adaptables para lidiar con dichas no linealidades. Los manipuladores de cadena cinemática cerrada o paralelos, son una clasificación de robots que son capaces de alcanzar grandes aceleraciones, ya que por su configuración, se reducen significativamente las masas en movimiento. Sin embargo, lo anterior demanda tomar en cuenta consideraciones diferentes a las de los manipuladores conocidos como seriales para el establecimiento de un esquema de control. El manipulador Delta pertenece a la familia de los robots de estructura cinemática cerrada, siendo posiblemente el manipulador más simple de dicha clasificación capaz de operar en el espacio. Su topologı́a le permite realizar tareas similares a las de los robots cartesiano y SCARA que operan en el espacio sin cambiar la orientación de su efector final dentro de su espacio de trabajo. El manipulador Delta es capaz de alcanzar aceleraciones varias veces la de la gravedad, al coste de tener un espacio de trabajo más limitado y difı́cil de modelar. Esquemas de control convencionales han sido documentados en tal manipulador con buenos resultados [16], sin embargo, expertos concuerdan con que es necesario aún llevar a cabo investigación en el empleo de estrategias de control avanzadas como son el control difuso, adaptivo experto o deslizante [14, 15, 13]. El lazo de control difuso es un esquema de control que procesa información de forma cualitativa para tomar una decisión en la acción de control que llevará a cabo. Es un esquema tal que permite emular la 1.

(13) experiencia de operadores y expertos en el control de procesos, lo cual puede permitirle tener un buen desempeño en zonas altamente no lineales [7]. El control supervisorio es un esquema que, observando el desempeño del lazo de control en un proceso, tomará decisiones en el ajuste de parámetros del mismo, con objeto de mejorar su respuesta. El objeto del presente trabajo es diseñar una estrategia de control no convencional como lo es la lógica difusa dentro de un esquema de control supervisorio para mejorar el control de posición que ofrece un controlador PID, cuando la operación del sistema se encuentre en regiones fuera del rango de linealización. Dicho esquema supervisorio tomará sus decisiones a partir del error y la referencia articular en cada uno de los actuadores del manipulador.. 1.1.. Definición del problema. Se identifica un área de oportunidad en el control de posición y velocidad en manipuladores paralelos tipo Delta con actuadores rotacionales. No se tienen reportadas estructuras de control no convencionales ni avanzadas en el manipulador tipo Delta. Se opta por la plataforma tipo Delta por que proporciona las ventajas de la familia de los manipuladores de estructura cinemática cerrada siendo la plataforma más sencilla de implementar.. 1.2.. Hipótesis. La arquitectura de control supervisorio difuso en un manipulador Delta con actuadores rotacionales es justificable por mejorar el desempeño en el control de posición de un controlador convencional PID.. 1.3.. Metodologı́a. Con el objetivo de probar la Hipótesis de éste trabajo se siguió la siguiente metodologı́a: 1. Deducir los modelos matemáticos que gobiernan al manipulador, como lo son el modelo cinemático y dinámico. 2. Desarrollar un modelo digital del manipulador con base a los modelos matemáticos deducidos. 3. Determinar los parámetros fı́sicos y geométricos para la simulación del manipulador. 4. Seleccionar una región del manipulador para realizar una linealización 5. Sintonizar un controlador PID convencional en el área definida en el punto anterior. 6. Diseñar el controlador difuso supervisorio. 7. Definir las pruebas para comparar el desempeño del lazo de control PID convencional con el esquema propuesto. 8. Realizar las pruebas de simulación. 9. Analizar los resultados obtenidos de las pruebas. 10. Elaborar conclusiones con base a los resultados del punto anterior. 2.

(14) 1.4.. Objetivos generales. Objetivo tecnológico: diseñar y construir un manipulador tipo Delta que sirva como banco de pruebas para nuevos esquemas de control. Objetivo cientı́fico: implementar arquitecturas de control difuso en el manipulador Delta con actuadores rotacionales, demostrando la factibilidad de su empleo y la mejora en el lazo de control convencional.. 1.5.. Objetivos especı́ficos. Diseñar e implementar un banco de pruebas para algoritmos de control de manipuladores tipo Delta con actuadores rotacionales. Diseñar e implementar un simulador digital del manipulador Delta con actuadores rotacionales. Diseñar de la arquitectura del controlador difuso supervisorio. Implementar el esquema de control propuesto en el simulador desarrollado.. 1.6.. Alcances. El alcance de la presente tesis abarcará la modelación del manipulador Delta con actuadores rotacionales, el diseño de un control supervisorio difuso para el mismo y su implementación en simulación.. 1.7.. Estructura del escrito. La estructura del escrito es la siguiente: en el capı́tulo dos se describen de una forma general los diferentes tipos de robots industriales y los esquemas de control empleados en ellos. En el tercer capı́tulo se introduce al manipulador Delta a la vez que se presentan los modelos cinemáticos y dinámicos del mismo, necesarios para el establecimiento del esquema de control, ası́ como la descripción del modelo digital a emplear. En el capı́tulo cuarto se describe la estrategia de control supervisorio que se propone con éste desarrollo de Tesis. Los resultados de las pruebas de control en simulación son expuestos y discutidos en el quinto capı́tulo, mientras que en el capı́tulo sexto se finaliza el presente trabajo de Tesis con las conclusiones, perspectivas y lı́neas futuras de trabajo en el manipulador.. 3.

(15) 2. Robótica y esquemas de control 2.1.. Introducción. El uso de robots industriales se ha consolidado en numerosos procesos de manufactura. Se les emplea cuando las tareas representan un riesgo en la seguridad del operador, cuando es necesario realizar tareas de gran precisión, cuando se requiere disminuir desperdicio o producto rechazado en un proceso o cuando es necesario llevar a cabo tareas repetitivas de forma rápida y precisa durante extensos perı́odos de tiempo [20]. Para poder llevar a cabo las tareas que demandan los procesos industriales, son necesarias arquitecturas y esquemas de control que permitan a los robots cumplir con los movimientos, trayectorias, tiempos y velocidades que son requeridas. En el presente capı́tulo se dará una introducción a la robótica industrial de manera que se expondrá su clasificación, sus caracterı́sticas generales, ventajas y desventajes. Ası́ mismo, se presentarán los esquemas de control que han sido empleados en este campo con objeto de cumplir con los requerimientos que demanda la industria para incorporar a los robots dentro de sus procesos.. 2.2.. Definición y clasificación de los robots. El Instituto de Robótica de América define a un robot como ”‘un manipulador reprogramable y multifuncional diseñado para mover materiales, partes, herramientas o artefactos especializados a través de variables movimientos programados para el desempeño de una variedad de tareas”’. En general un sistema robótico (figura 2.1) consiste de un manipulador mecánico, un efector final, un controlador, una computadora, y en ocasiones, de un sistema de visión [24]. El primero de ellos, el manipulador mecánico, está compuesto por eslabones conectados por articulaciones. El efector final es el elemento por medio del cual el sistema manipula su ambiente. El controlador puede ser desde lo más simple, como lo es un control PD, o alguna estrategia más avanzada. Finalmente, la computadora, es el elemento por medio del cual se puede llevar a cabo velozmente cómputo en tiempo real para la implementación de acciones de control complejas. Las articulaciones que unen a los eslabones del robot se les divide en dos grandes grupos: prismáticas (o lineales) y de revolución[24]. Para que un manipulador sea capaz de movilizar y orientar un objeto. 4.

(16) Figura 2.1: Sistema robótico en el espacio, debe contar con al menos seis articulaciones o grados de libertad [21]. La inclusión de otras articulaciones dará como resultado un robot más flexible para movilizarse en su espacio de trabajo (evitando, por ejemplo, obstáculos). Ası́ mismo los primeros tres grados de libertad de un robot ayudarán para situarlo en el espacio, mientras que los restantes le ayudarán a orientarse en el mismo. En tal caso, la configuración de esos tres grados de libertad determinará el tipo de espacio alcanzable del manipulador. La clasificación de un sistema robótico puede llevarse a cabo desde varias perspectivas [24]. Citando las más relevantes para este documento, se tienen la clasificación por su espacio alcanzable y por su estructura cinemática.. 2.2.1.. Clasificación por el espacio alcanzable. El espacio alcanzable de un manipulador son los puntos en el espacio donde le es posible situar a su efector final. El espacio de trabajo de un manipulador lo constituye un subconjunto del espacio alcanzable y es el espacio que el fabricante define en las especificaciones del robot sin tomar en cuenta el efector final que se usará. El espacio alcanzable está en función del tipo de articulaciones del robot. Dependiendo de la configuración de las mismas, los manipuladores pueden ser del tipo cartesiano, cilı́ndrico, esférico, scara o articulado. La anterior clasificación se encuentra bien definida para manipuladores seriales, mas no ası́ para los manipuladores paralelos (descritos en la sección 2.2.2). Cartesiano. Un robot será de configuración cartesiana (figura 2.2) si el espacio de trabajo donde se desempeña tiene una forma prismática de base rectangular. Tales manipuladores constan de tres articulaciones prismáticas para resolver el problema de posición. Cilı́ndrico. El espacio alcanzable de un manipulador de este tipo puede ser descrito en coordenadas cilı́ndricas. Es un manipulador similar al cartesiano, donde una de las articulaciones prismáticas es reemplazada por una de revolución (figura 2.3). Esférico. Éstos son los manipuladores cuyo espacio alcanzable es una esfera. Es un manipulador donde 5.

(17) Figura 2.2: Manipulador del tipo cartesiano.. Figura 2.3: Manipulador del tipo cilı́ndrico. 6.

(18) sus dos primeras articulaciones son de revolución con ejes que se intersectan en un solo punto, mientras que su tercera articulación es prismática (figura 2.4).. Figura 2.4: Manipulador esférico SCARA. El manipulador scara (figura 2.5) es similar al manipulador esférico, pero a diferencia mismo, sus ejes son paralelos entre sı́.. Figura 2.5: Manipulador tipo scara Articulado. Un manipulador será reconocido como articulado si sus tres articulaciones son de revolución (figura 2.6). En tal caso, el espacio alcanzable no tiene una forma primitiva, sino que es la composición de varias de ellas.. 2.2.2.. Clasificación por la estructura cinemática. De acuerdo a su estructura cinemática, un sistema robótico puede identificarse como del tipo serial (estructura cinemática abierta, ECA) o del tipo paralelo (estructura cinemática cerrada, ECC).. 7.

(19) Figura 2.6: Manipulador tipo articulado Un manipulador con ECA (figura 2.7a) es aquél donde el efector final se encuentra conectado a la base del mismo por una única cadena de eslabones articulados, mientras que un robot manipulador de ECC (figura 2.7b) es considerado como aquél en donde su muñón (lugar donde es montado el efector final) se encuentra conectado a la base del mismo por medio de varias cadenas cinemáticas [17]. Dicha topologı́a conlleva una serie de ventajas y desventajas cuando se les compara con los manipuladores de arquitectura serial, ampliamente conocidos en el sector industrial y académico. Las ventajas y desventajas en el empleo de los manipuladores de ECC son bien conocidas y se encuentran documentadas en diversos trabajos [1, 3, 17, 12]. A saber, entre las ventajas se encuentran: Modularidad: una vez diseñadas, la construcción de las partes mecánicas es sencilla, pues el mismo tipo de estructura es utilizada en todos los brazos del manipulador. Baja inercia: dada la topologı́a de estos manipuladores, el número de masas en movimiento disminuye. Rigidez: los elementos del manipulador soportan cargas a tensión y compresión en vez de flexión. Precisión: los manipuladores paralelos son más precisos que su contraparte serial, debido a que los errores en cada articulación no se acumulan como en lo segundos, sino que se dividen. mientras que entre las desventajas se listan: Movimiento espacial: algunas arquitecturas de los manipuladores paralelos pueden conllevar a la existencia de singularidades dentro de su espacio alcanzable, es decir, que su volumen de trabajo no es contı́nuo, sino que presenta regiones imposibles de alcanzar. Volumen de trabajo: Los manipuladores paralelos tienden a tener un espacio de trabajo más reducido que los manipuladores seriales. Modelo Cinemático: La modelación matemática de los manipuladores paralelos suele ser mucho más compleja que la de los robots seriales. Esquema de control: El punto anterior, aunado a la complejidad del modelado dinámico, dificulta la elaboración de esquemas eficientes de control para posición, trayectoria y velocidad.. 8.

(20) Figura 2.7: Manipulador ECA (a) y ECC (b). 2.3. 2.3.1.. Esquemas de control Modelación dinámica. Tal y como se comentó en el prefacio de éste documento, el sistema dinámico que constituye un sistema robótico es altamente no lineal, consecuencia de acciones gravitacionales sobre el robot (las cuales dependen de la posición o trayectoria a seguir), efectos friccionales en las articulaciones del robot (de los cuales es conocido son variantes en el tiempo) y variaciones en la carga del manipulador. Como consecuencia de lo anterior, el modelo dinámico de un manipulador robótico es complicado de determinar, y a la vez, el sistema de control difı́cil de establecer (si se desea un desempeño óptimo del sistema). Es bien conocido que la dinámica de un manipulador puede ser representada como lo describen las ecuaciones 2.1, 2.2. La primera de ellas es un modelo dinámico general, donde θ ∈ <n representa el vector de las variables articulares del manipulador, τ ∈ <n el vector de fuerzas externas aplicadas al manipulador, N una matriz que contiene los términos gravitacionales y otras fuerzas que actúan sobre las articulaciones del manipulador, C la matriz de Coriolis y M la matriz de inercia del manipulador. La ecuación 2.2 representa la dinámica del manipulador en espacio de estados, donde el vector θ1 representa las posiciones articulares del manipulador y θ2 las velocidades articulares, f [θ(t)] la aceleración angular del manipulador y B[θ(t)] la matriz inercial [21]. M (θ)θ̈ + C(θ, θ̇)θ̇ + N (θ, θ̇) = τ ". θ̇1 θ̇2. #. " =. θ2 (t) f [θ(t)]. #. " +. 0 B[θ(t)]. (2.1). # τ (t). (2.2). Los modelos dinámicos descritos por las ecuaciones 2.1 y 2.2 pueden ser deducidas por planteamientos como son el principio de trabajo virtual, la formulación de Lagrange o la de Newton Euler.. 9.

(21) Trabajo virtual [22] El principio de trabajo virtual, o principio de D’Alambert, declara que la suma vectorial de todas las fuerzas externas e inerciales (F) actuando sobre un cuerpo rı́gido son cero; la suma vectorial de todos los momentos externos y los pares inerciales (M) en un cuerpo rı́gido son cero (ecuación 2.3). X. F =0. P. M =0. (2.3). Formulación de Lagrange[22] Se basa en la formulación lagrangiana para sistemas mecánicos (ecuación 2.4)que enuncia que la derivada con respecto al tiempo de la parcial del Lagrangiano con respecto a la velocidad ( δδL q̇i ) menos la parcial δL del lagrangiano con respecto a la posición ( δqi ) es igual a la fuerza externa (τi )aplicada en las articulaciones del manipulador. Esto es: d δL δL − = τi (2.4) dt δ q̇i δqi El lagrangiano (vid. ecuación 2.5) está definido por la energı́a potencial del sistema (T) y su enegı́a cinética (V). L(q, q̇) = T (q, q̇) − V (q). (2.5). Formulación Newton-Euler [22] La formulación Newton-Euler incorpora todas las fuerzas que actúan en cada uno de los eslabones del manipulador, de aquı́ que las ecuaciones dinámicas resultantes incluyen todas las fuerzas que actúan cobre cada articulación del manipulador, y con ello, es posible llevar a cabo un buen análisis para el diseño de los componentes mecánicos adecuados para el buen desempeño del manipulador.. 2.3.2.. Control de manipuladores. Los diseños de los esquemas de control se basan en los anteriores modelos dinámicos representados por las ecuaciones 2.1 y 2.2. Entre los principales, se encuentran el control proporcional-derivativo, control proporcional-derivativo con antealimentación y control por par computado. Control proporcional derivativo (PD) El esquema de control proporcional-derivativo (figura 2.8)es el más sencillo y consta de un término proporcional al error e y uno derivativo al mismo, como lo muestra la ecuación 2.6. τ = −Kv ė − Kp e.. (2.6). dode Kv y Kp son matrices positivas y bien definidas, θd la posición angular requerida y e = θ − θd . La adición de un término Integral en la ley de control anterior agrega complicaciones al esquema de control, ya que deben tomarse precauciones para mantener la estabilidad en el sistema y evitar sobresaturaciones. A excepción de los cálculos de las matrices Kp y Kv , el esquema de control prescinde del modelo dinámico del manipulador. 10.

(22) Figura 2.8: Esquema de control PD Antealimentación de par requerido El control por antealimentación (figura 2.9), a diferencia del control PD, requiere de un modelo dinámico para calcular la manipulación (torque) para movilizar al manipulador. El esquema se gobierna por la ecuación 2.7.. Figura 2.9: Esquema de control por antealimentación. τ = M (θ)θ̈d + C(θ, θ̇)θ̇d + N (θ, θ̇d ) − Kv ė − Kp e. (2.7). El desempeño de la anterior regla de control se encuentra en función de que tan buen modelo ha sido identificado para el manipulador. Par computado Al igual que el esquema de control por antealimentación, requiere del modelo dinámico del sistema. Se rige por las ecuaciones de control equivalentes 2.8, 2.9:. 11.

(23) τ = M (θ)[θ¨d − Kv ė − Kp e] + C(θ, θ̇)θ̇ + N (θ, θ̇). (2.8). τ = M (θ)θ̈d + C θ̇ + N + M (θ)(−Kv ė − Kp e) | {z } | {z }. (2.9). τaa. τra. Es importante notar que acorde con la figura 2.10, en la ecuación 2.9 τaa representa el torque por antealimentación y τra representa el torque por retroalimentación.. Figura 2.10: Lazo de control por par computado Los esquemas anteriores de control retroalimentan sobre la posición articular de cada actuador en el manipulador (vid. figura 2.11). Si el control fuese necesario considerarlo en la posición espacial del manipulador (figura 2.12) la modelación cinemática del robot es necesaria para obtener un modelo directo (que relaciona posición articular con posición espacial) y uno inverso (que relaciona posición espacial con articular). Si además es necesario controlar la velocidad espacial, es necesario el planteamiento de la matriz Jacobiana (J) en el manipulador, que relaciona velocidad articular con velocidad espacial, i.e. Ẋ = J θ̇ (figura 2.13). Lo anterior con objeto de transformar la velocidad espacial en velocidad articular para ser procesada dentro del lazo de control.. Figura 2.11: Lazo de control general para un manipulador con referencia articular en la posición.. 12.

(24) Figura 2.12: Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial en la posición.. Figura 2.13: Lazo de control general para un manipulador con referencia espacial tanto en posición como en velocidad.. 2.4.. Resumen. En ésta sección se ha expuesto la definición y clasificación de los robost industriales, a la par que se han presentado los esquemas de control convencionales en los sistemas robóticos. Los anteriores esquemas deben cambiar y hacer consideraciones adicionales cuando el sistema robótico emplea a un manipulador de tipo paralelo. La siguiente sección describirá al manipulador bajo estudio, el manipulador Delta con actuadores rotacionales, a la vez que se desarrollarán los modelos matemáticos que gobiernan el comportamiento del robot.. 13.

(25) 3. Manipulador Delta 3.1.. Introducción. Aunque es difı́cil definir algunos aspectos en la historia de los manipuladores de estructura cinemática cerrada (ECC), trabajos como los de Fassi [13] y Bonev [2] concuerdan en que a lo largo de la misma, ha existido una falla en la comunicación entre académicos e industriales. Es posible decir que la historia de los manipuladores de ECC moderna da inicio con tres personajes: Eric Gough, D. Stewart y Klaus Cappel. Cada uno de ellos, por su cuenta, desarrolló conceptos de aplicación de los mecanimos de cinemática paralela. La máquina de pruebas de Eric Gough: Hacia 1947, la compañı́a Dunlop requerı́a de un artefacto que le permitiera someter a pruebas los neumáticos empleados en aterrizajes. El mismo debı́a de ser capaz de someter a los neumáticos a cargas combinadas para poder determinar ası́ sus propiedades. Para responder a tal necesidad, el Dr. Eric Gough construyó el primer hexápodo octaédrico, que se volvió operacional hasta 1954. El simulador de vuelo de D. Stewart: En 1965 aparece un artı́culo bajo la autorı́a de D. Stewart donde describe una plataforma de seis grados de libertad para emplearse como simulador de vuelo. El simulador de movimiento de Klaus Cappel: Basándose en los mismos mecanismos que el Dr. Gough, Klaus Cappel diseñó en 1962 el mismo hexápodo octaédrico, sin el conocimiento de los trabajos del mismo Gough o de Stewart. Este mecanismo fue patentado como un ”simulador de movimiento”por el gobierno americano en 1964. Dentro de la familia de Robots Manipuladores Paralelos, el Robot Delta es el más sencillo que es capaz de trabajar en <3 . El robot Delta fue diseñado y patentado por Reymond Clavel en 1991 dada la necesidad de diseñar un autómata capaz de empaquetar productos alimenticios para cumplir con estrictas normas sanitarias en el manejo de los mismos. Por pertenecer a la familia de Robots Manipuladores Paralelos, el Robot Delta cuenta con las mismas ventajas y desventajas de los mismos. En lo particular, es un Manipulador de 3 grados de libertad que cubre su espacio de trabajo en una única orientación. En la siguiente sección se expondrá una breve reseña histórica del manipulador delta y una descripción del mismo. Posteriormente, se desarrollarán los modelos cinemáticos y dinámicos del manipulador Delta. 14.

(26) con objeto de implementar simulaciones del mismo que serán de utilidad para el diseño de esquemas de control, ası́ como la modelación del espacio de trabajo del manipulador. Finalmente, se describirá el prototipo de manipulador Delta que se diseñó y construyó para fines de investigación de éste trabajo y la posterior simulación del mismo.. 3.2.. Antecedentes históricos del manipulador Delta. Los orı́genes del manipulador delta se remontan a la patente 4,976,582 del gobierno estadounidense. La misma se encuentra adscrita al nombre de Reymond Clavel a quien se le reconoce como su creador. En la misma, Clavel resume su trabajo como: ”... a device for the movement and positioning of an element in space, and in particular an industrial robot of new and advantageous configuration which enables the control of the three basis degrees of freedom in parallel form actuators arranged on a fixed support, whilst preserving the parallelism of the moving member with respect to the fixed support, and which is particular adapted to the transfer of light pieces at very high rates. None of the known devices offers such characteristics”[6].. Figura 3.1: Robot Delta, US Patent number 4,976,582 [6] El Delta consta principalmente de las siguientes partes (vid. figura 3.1): 15.

(27) Una base fija (1). Tres brazos de control (4). Seis eslabones de movimiento libre (5a,5b). Una base móvil (8). Un actuador final (9,10). Tres actuadores para el movimiento (13). Éste tipo de manipuladores tiene principalmente tres configuraciones: Delta con actuadores rotacionales, Delta con actuadores lineales y Delta lineal. Delta con actuadores rotacionales: el manipulador que diseñara en primera instancia R. Clavel (vid. figura 3.1). En dicho arreglo, la plataforma móvil se mantiene siempre paralela a la plataforma fija. Delta con actuadores lineales: un manipulador Delta el cual, en vez de utilizar actuadores rotacionales, emplea actuadores lineales para llevar a cabo el movimiento de la base móvil del mismo (vid. figura 3.2a). La base móvil siempre se encuentra en un plano ortogonal a las guı́as del robot. Delta Lineal: un manipulador Delta que emplea también actuadores lineales, sin embargo, la base móvil se desplaza en planos siempre paralelos a las guı́as del robot (vid. figura 3.2b). (a). (b). Figura 3.2: Esquema del Manipulador Delta con actuadores lineales (a) [9] y Delta lineal (b) [18]. 16.

(28) 3.2.1.. Patentes asociadas al manipulador. Hasta enero de 2005, el gobierno estadounidense cuenta con 45 patentes que citan al manipulador de Clavel. En la tabla 3.1 se clasifican y se listan las mismas, identificándose los siguientes grupos: Grupo I: patentes que proponen algún tipo de mejora al manipulador Delta. Grupo II: patentes de manipuladores basados en el Delta. Grupo III: articulaciones o mecanismos. Grupo IV: máquinas herramienta con tecnologı́a de manipuladores paralelos. I 4,976,582 5,847,528 6,419,211 6,516,681 6,543,987 6,577,093. II 5,279,176 5,301,566 5,333,514 5,585,707 5,813,287 5,816,105 5,987,726 6,047,610 6,193,226 6,378,190 6,418,811 6,557,432 6,729,202. III 5,129,279 5,156,062 5,217,344 5,263,382 5,541,134 5,673,595 5,699,695 5,738,308 5,823,906 5,908,181 6,095,011 6,145,405 6,290,196. 6,301,988 6,336,374 6,336,375 6,412,363 6,425,303 6,453,566 6,467,762 6,540,471 6,766,711 6,841,964. IV 5,715,729 6,397,485 6,575,676 6,835,033. Tabla 3.1: Patentes americanas asociadas al manipulador DELTA. En la figura 3.3 se muestra un gráfico de la proporción de patentes producidas ralacionadas al manipulador Delta hasta enero del 2005.. 3.2.2.. Aplicaciones del manipulador Delta. Aplicaciones industriales En el ámbito industrial, el manipulador Delta ha sido principalmente empleado para lo que fue conceptualizado por su diseñador: para el traslado de objetos en el espacio (i.e. operaciones conocidas como ”pick-and-place”). En este sentido, Demaurex1 ofrece soluciones completas de automatización, no limitándose a la venta solamente de robots, sino de celdas completas para el traslado y empaquetamiento (figura 3.4b). Adicionalmente, ABB2 incursionó en los sectores alimenticios, farmacéuticos y electrónicos con el desarrollo de manipuladores Delta (figura 3.4a). 1 Demaurex. es una empresa de origen suizo establecida en 1983, adquirida por el grupo SIG en 1999. Dicha empresa consiguió una licencia para trabajar con manipuladores Delta en 1987 limitados en la longitud de sus extremidades (Brazo de control + articulación libre menores a 800 mm) para en 1996 adquirir la patente. 2 ABB es un empresa.establecida en 1988 tras la fusión de las compañı́as Asea y BBC.En 1999 adquirió la licencia para comercializar al robot delta con extremidades mayores a los 800 mm.. 17.

(29) Figura 3.3: Patentes con referencia al Manipulador Delta. (a). (b). Figura 3.4: Aplicaciones industriales del manipulador Delta: soluciones ofrecidas para operaciones ”Pickand-Place”por ABB (a) y el Grupo SIG-Doboy (b) Modelo RB 340i RB 340i/2. Carga 1 Kg 2 Kg. Velocidad 10 m/s 10 m/s. Aceleración 100 m/s2 60 m/s2. Tabla 3.2: Caracterśticas del manipulador ABB flexpicker. 18.

(30) Aplicaciones metal-mecánicas El interés en aplicaciones metal-mecánicas fue renovado en el IMTS de 1994 en Chicago, cuando las compañı́as Ingersoll, Giddings and Lewis y la Corporación Hexel presentaron los primeros prototipos de máquinas CNC con variantes de la plataforma Stewart, otro tipo de manipulador de ECC [11, 14, 13]. Entre las tecnologı́as de máquinas-herramienta empleando alguna variante del manipulador delta encontramos al cortador de Madera Pegasus (figura 3.5a)que emplea el esquema del manipulador delta lineal (vid. tabla 3.3) y el torno de control numérico Index V110 (figura 3.5b)que usa la arrquitectura del manipulador delta con actuadores lineales (vid. tabla 3.4). Pegasus Avance Aceleración Espacio de trabajo Dimensiones. 120 m/min 10 m/s2 5000 x 1400 x 250 mm 11000 x 2400 x 3000 mm. Tabla 3.3: Caracterśticas del cortador de madera Pegasus. Index V110 Husillo Avance Aceleración Espacio de trabajo Dimensiones. 10000 rpm 60 m/min 9.8 m/s2 250 x 250 x 150 mm 2100 x 2100 x 2300 mm. Tabla 3.4: Caracterśticas del torno de control numérico Index V110. (a). (b). Figura 3.5: Aplicaciones Industriales del Manipulador Delta: soluciones ofrecidas para operaciones metalmecánicas. 19.

(31) 3.3.. Modelos Cinemáticos. Dentro de la rama de la robótica el establecimiento del modelo cinemático de un manipulador es de suma importancia trátese de su simulación digital o como herramienta para el diseño del esquema de control del mismo. Se reconocen dos modelos a plantear: el de la cinemática directa y el de la cinemática inversa del manipulador. El primero de ellos consiste en determinar la posición del efector final con base al movimiento que ha tenido lugar en cada una de sus articulaciones y el segundo de ellos en determinar cómo deben moverse sus articulaciones para alcanzar una posición en particular. Para el caso de robots seriales existen herramientas que han resultado eficaces y robustas para el planteamiento de ambos modelos, donde se ha observado que el desarrollo de la cinemática directa resulta más simple que la cinemática inversa. Para los robots paralelos, usualmente se intercambian grados de dificultad en la deducción de dichos modelos. En el caso del manipulador Delta al tratarse del manipulador paralelo espacial más sencillo, ambos problemas pueden establecerse de forma que resultan económicos desde el ámbito computacional. A continuación se elaboran ambos modelos desde un acercamiento geométrico y vectorial. Los diagramas de flujo y programas desarrollados para la implementación digital de los mismos se encuentran en el apéndice B.1. 3.3.1.. Planteamiento general. Acorde a la figura 3.6 sean: OR : El centro de la plataforma fija del manipulador. Representará el punto de referencia del sistema coordenado del robot. Ai : El punto pivote del brazo i de control del manipulador con la plataforma móvil. Bi : El punto pivote del antebrazo i de movimiento libre con el brazo de control del manipulador. Ci : El punto pivote del antebrazo i de movimiento libre con la plataforma móvil del manipulador. OEF : El punto central de la base móvil del manipulador. Representa el muñón del robot donde va instalado su efector final. αi : La distancia angular que separa al punto Ai con el punto de control A1 (vid. figura 3.7). θi : El movimiento articular del brazo i del robot. ~ Ci |. Se establece que |OEF ~ C1 | = |OEF ~ C2 | REF : La distancia entre los puntos OEF y Ci , es decir, |OEF ~ = |OEF C3 |. RR : La distancia entre los puntos OR y Ai , es decir, |OR~Ai |. Se establece que |OR~A1 | = |OR~A2 | = |OR~A3 |. a: |Ai~Bi |. Se establece que |A1~B1 | = |A2~B2 | = |A3~B3 |. b: |B~i Ci |.Se establece que |B1~C1 | = |B2~C2 | = |B3~C3 |.. 20.

(32) Figura 3.6: Parametrización del manipulador Delta Dado lo anterior, se logra el planteamiento vectorial siguiente: ~ Ci OR~Ai + Ai~Bi + B~i Ci = OR ~OEF + OEF. (3.1). Los puntos Ai del manipulador son coplanares y equidistantes de OR y se encuentran sobre la circunferencia de radio RR Bajo el sistema de referencia definido (figura 3.8), se deduce que la posición para cada Ai es . cosαi  ~ OR Ai =  sinαi 0. −sinαi cosαi 0.   0 0   0   −RR  1 0. (3.2). la posición para Bi : . cosαi  ~ Ai Bi =  sinαi 0. −sinαi cosαi 0.  0 1 0  0   0 cosθi 1 0 sinθi. Se definen las componentes para OEF como:. 21.   0 0   −sinθi   −a  cosθi 0. (3.3).

(33) Figura 3.7: Detalle ángulo α que separa a los brazos de control. El brazo de control I se define como fijo y sirve de referencia de los brazos II y III.. . OR OEF.  OEFX   =  OEFY  OEFZ. (3.4). la posición de Ci a partir de OEF . cosαi ~ Ci =  OEF  sinαi 0. −sinαi cosαi 0.   0 0   0   −REF  0 1. Por tanto, el planteamiento vectorial inicial puede expresarse como:        0 0 1 0 0 cosαi −sinαi 0         sinαi cosαi 0   −RR  +  0 cosθi −sinθi   −a  + Bi Ci = 0 0 0 sinθi cosθi 0 0 1      OEFX cosαi −sinαi 0 0       OEFY  +  sinαi cosαi 0   −REF  OEFZ 0 0 1 0. (3.5). (3.6). A partir de ahora, será necesario elaborar un planteamiento geométrico para determinar el modelo, ya que resulta más sencillo que aplicar herramientas de uso común en los manipuladores seriales como son matrices de transformación de Denavit - Hartemberg, tornillos infinitesimales, entre otros [17]. Se usará el hecho de que se cuentan con brazos de movimiento libre, los cuáles pueden describir como lugar geométrico una esfera (vid. ecuación 3.7) sea centrada en Bi . Dicha esfera tendrá radio b. (X − u)2 + (Y − v)2 + (Z − w)2 = b2. (3.7). En la ecuación 3.7, el centro de la esfera está representado por (u, v, w) = Bi . Para el problema cinemático directo, se debe resolver un sistema de ecuaciones 3x3, dado que para cada brazo, se debe. 22.

(34) Figura 3.8: Sistema de referencia empleado en la modelación del manipulador. El eje Z + se sitúa hacia arriba del manipulador determinar la posición Ci . En el problema cinemático inverso, se resuelven tres ecuaciones, ya que en conocimiento del punto Ci , solo debe determinarse el ángulo α para cada brazo.. 3.3.2.. Problema cinemático directo. El sistema de ecuaciones que plantea el modelo cinemático directo corresponde al conjunto solución de la intersección de las tres esferas del manipulador, i.e. se trata de un sistema cuadrático (vid. 3.8). El anterior puede ser reducido al sistema lineal 3.9 o su equivalente simplificado 3.10, que busca el conjunto solución de la intersección de tres planos en el espacio. Lo anterior se logra restando la ecuación correspondiente al brazo II del brazo I, y la del brazo III al brazo II. (X − Bx1 )2 + (Y − By1 )2 + (Z − Bz1 )2 = b2 (X − Bx2 )2 + (Y − By2 )2 + (Z − Bz2 )2 = b2 (X − Bx3 )2 + (Y − By3 )2 + (Z − Bz3 )2 = b2 2(−Bx1 + Bx2 )X + 2(−By1 + By2 )Y + 2(−Bz1 + Bz2 )Z = Bx21 − Bx22 + By21 − By22 + Bz21 − Bz22 2(−Bx2 + Bx3 )X + 2(−By2 + By3 )Y + 2(−Bz2 + Bz3 )Z = Bx22 − Bx23 + By22 − By23 + Bz22 − Bz23 a11 X + a12 Y + a13 Z = a10 a21 X + a22 Y + a23 Z = a20. (3.8). (3.9). (3.10). En la ecuación simplificada 3.10 se tiene que ai1 = −Bxi + Bxi+1 , ai2 = −Byi + Byi+1 , ai3 = −Bzi + Bzi+1 y ai0 la suma de los términos independientes. Lo anterior es válido si se considera que C1 = C2 = C3 , i.e. , el muñón del manipulador es puntual. De no considerarse ası́, se usa el hecho de que Ci se encuentra en función de OEF , ya que se conoce la geometrı́a de la base móvil. De la intersección de los dos planos definidos en el sistema simplificado 3.10 resulta la recta paramétrica:. Z. = t. (3.11) 23.

(35) Y X. a10 a21 − a11 a20 a13 a21 − a11 a23 − t a12 a21 − a11 a22 a12 a21 − a11 a22 a10 a12 a10 a21 − a11 a20 a12 a13 a21 − a11 a23 a13 = − + − t a11 a11 a12 a21 − a11 a22 a11 a12 a21 − a11 a22 a11 =. donde por simplicidad en la notación Z = t, Y = y(t) y X = x(t). Basta ahora con utilizar las ecuaciones de la recta paramétrica en 3.11 para alguna de las ecuaciones de 3.8 para resolver una ecuación de segundo grado en una incógnita t. Sin perdida de generalidad, se emplea la ecuación para el brazo I (ecuación 3.12). (x(t) − Bx1 )2 + (y(t) − By1 )2 + (t − Bz1 )2 = b2. (3.12). Expandiendo los binomios al cuadrado y reagrupando para t, se logra una ecuación de segfundo grado, que puede ser resuelta sin problema alguno. Posteriormente, sustituyendo t en las ecuaciones 3.11 se logra la posición del muñón para el efector final del manipulador. El anterior modelo de la cinemática directa hará posible la implementación de un modelo dinámico digital del manipulador.. 3.3.3.. Problema cinemático inverso. Para dar solución al modelo cinemático inverso, es necesario resolver analı́ticamente una ecuación para cada brazo, con el conocimiento del punto Ci requerido para situar al efector final en OEF . Es posible determinar la solución de la ecuación mediante la implementación de un método numérico tan sencillo como lo es el método de Newton-Rhampson. La ecuación 3.7 puede reescribirse como: (Cxi − (RR + acos(θi ))sin(αi ))2 + (Cyi − (−(RR + acos(θi ))cos(αi )))2 + (Czi − (−asin(θi )))2 − b2 = 0. (3.13). tomando la primer derivada con respecto a θi : 2(Cxi − (RR + acos(θi ))sin(αi ))(−asin(αi )sin(θi )+ 2(Cyi − (−(RR + acos(θi ))cos(αi )))(acos(αi )sin(θi ))+ 2(Czi − (−asin(θi )))(−acos(θi )) = 0. (3.14). La iteración de Newton-Raphsom para ecuaciones de una sola incógnita queda como: (θi )n = (θi )n−1 −. F ((θi )n−1 ) F 0 ((θi )n−1 ). (3.15). donde F (θi ) y F 0 (θi ) están dadas por las ecuaciones 3.13 y 3.14 respectivamente, y a su vez es necesaria una aproximación inicial para (θi )0 = 0. Con este modelo de la cinemática inversa del manipulador Delta será posible definir trayectorias a seguir por el mismo dentro de su espacio de trabajo.. 3.4.. Modelos Dinámicos. El plantemiento del modelo dinámico en un manipulador es importante si se desea llevar a cabo un buen diseño en el esquema del control del mismo. Al igual que en el problema cinemático, se reconocen. 24.

(36) dos problemas: el problema dinámico inverso y el problema dinámico directo. El primero de ellos, en términos de control, podrá ser empleado para el diseño de un esquema de antealimentación, al conocerse las necesidades que tendrá el sistema para lograr una referencia determinada. El segundo problema, es de ayuda si se desea implementar un modelo virtual del manipulador para efectuar pruebas vı́a simulación digital. A continuación se deducen ambos modelos. Los programas desarrollados para la implementación digital de los mismos se encuentran en el apéndice C.1. 3.4.1.. Planteamiento general. Dado el principo de trabajo virtual enunciado en 2.3, es posible plantear la formulación dinámica del manipulador como: Γ + J T Gn + ΓG = Ib θ̈ + J T Fn. (3.16). donde Γ es el vector de pares externos (manipulación) que es aplicado en los actuadores. Gn la acción de la aceleración gravitacional sobre la base móvil del manipulador. ΓG es el torque producido por la fuerza gravitacional de los tres brazos del manipulador. Ib es la matriz de inercia del manipulador. Fn la aceleración espacial de la base móvil. J la matriz Jacobiana del manipulador: −1  sT1 sT1 L1  T   J = −  s2   0 sT3 0 . 0 sT2 L2 0.  0  0  sT3 L3. (3.17). donde por simplicidad en la notación se hace Bi Ci = si y Li =R[0 asin(θi ) acos(θi )]T , donde R es la matriz de rotación en la plataforma fija del manipulador determinada por αi . A partir de la ecuación 3.16, puede plantearse la ecuación 3.18 que puede ser empelada en un esquema de antealimentación o de par computado paa llevar el control. Ası́ mismo, puede formularse la ecuación 3.19 para llevar a cabo la simulación digital del sistema. Γ = Ib θ̈ + J T Fn − J T Gn − ΓG. (3.18). Γ + J T Gn + ΓG = Ib θ̈ + mJ T (J θ̈ + J˙θ̇). (3.19). 25.

(37) 3.5.. Espacio alcanzable del manipulador. Basado en las ecuaciones 3.13 y 3.14 para el manipulador delta en la sección correspondiente a la cinemática del manipulador, los puntos alcanzables describen una esfera de radio el antebrazo del robot, cuyo centro se encuentra en B, el codo del robot. El mismo tiene como lugar geométrico la circunferencia con centro A y radio el brazo del robot. Al combinar ambos lugares, se logra que el lugar geométrico de puntos alcanzables para uno de los brazos del robot se constituye por un toro en el espacio. De lo anterior, se deduce entonces que el espacio alcanzable por el efector final es la intersección de tres toros. Formas tı́picas del espacio de trabajo de un manipulador delta se observan en 3.9. El espacio de trabajo se encuentra en función de los parámetros de forma del manipulador y de las reestricciones mecánicas en el mismo.. (a). (b). Figura 3.9: Espacio alcanzable tı́pico de un manipulador Delta (vistas isométrica y superior) Por pertenecer a la familia de manipuladores de ACC, el delta sufre de la desventaja de tener un espacio de trabajo relativamente pequeño con respecto a sus dimensiones. Trabajos como el de Miller [19] han sido orientados a maximizar el espacio de trabajo del manipulador vı́a la reorientación en el espacio de los actuadores del manipulador. Un acercamiento más sencillo de implementar y con mejores resultados lo constituye [23] donde se establece una matriz de rotación diferente a la de la ecuación 3.2 que sitúa al punto Ai sobre la base fija del manipulador. Tal trabajo fue orientado al manipulador delta con actuadores lineales, pero puede ser extendido al manipulador delta que trata este documento. Tal extensión se describe a continuación. El espacio de trabajo de un manipulador se encuentra determinado por todos los puntos alcanzables por el manipulador en <3 . El mismo es determinante en la selección de un manipulador para una tarea especı́fica, por lo que constituye un componente importante a considerar en el diseño de los mismos. 26.

(38) 3.5.1.. Maximización del espacio de trabajo. Dado que el interés de determinar el espacio de trabajo del manipulador consiste en conocer los puntos alcanzables por el efector final, se partirá de la ecuación 3.7. La anterior ecuación puede como la ecuación 3.20. (X − c1i cos(θi ))2 + (Z − c2i cosθi )2 + (Z − C3i sin(θi )) = b2. (3.20). Llevando cortes con planos paralelos a XY (la base fija del manipulador), se observa que para un valor determinado de Z, Z0 se logra la ecuación 3.21, i.e. (X − c1i cos(θi ))2 + (Z − c2i cosθi )2 = b2 − (Z0 − C3i sin(θi )). (3.21). donde los puntos alcanzables por el muñón para el efector final en un valor Z0 lo constituyen los puntos x, y sobre una circunferencia de radio b2 − (Z0 − C3i sin(θi )) y centro en (c1i cos(θi ), c2i cosθi ). Al graficar los puntos de tales centros, se observarı́a que se encuentran en lı́nea recta hacia el eje z del manipulador. Lo anterior es fácilmente identificable al observar que los puntos Bi se encuentran el el plano descrito por la circunferencia que se obtiene al rotar el brazo sobre Ai , y solo se les encuentra proyectándose al plano de corte. La intersección de tales áreas de trabajo de los tres brazos para un valor de Z0 constituyen la región alcanzable en dicho corte. La región alcanzable es el resultado de restar el área de la circunferencia C2 de la C1 (figura 3.10. Con el anterior análisis, es posible plantear una aproximación de diseño para manipuladores tipo delta similar a la documentada en [9], que busca determinar la circunferencia de radio máximo que puede inscribirse en cada plano de corte, suavizando ası́ el espacio alcanzable del manipulador y logrando que sea más sencillo inscribir el espacio de trabajo deseado para el mismo. El cambio en la matriz de rotación para la posición Ai de los brazos del manipulador impacta de forma directa en el espacio de trabajo. Es posible incluso deducir que el arreglo convencional es el que minimiza el espacio alcanzable del manipulador. En las gráficas 3.11 se presentan los espacios resultantes de variar la matriz de rotación para algunas configuraciones y el volúmen de trabajo resultante (tabla 3.5). Configuración 0,120,-120 0,150,-150 0,90,-90 0,60,-60. Volumen espacio Alcanzable 27,803,000 mm3 33,524,000 mm3 32,131,000 mm3 41,704,000 mm3. Tabla 3.5: Espacio alcanzable del manipulador delta al variar la posición angular de sus brazos.. Al lograrse la maximización en cada corte, se logra una maximización total del espacio alcanzable por el manipulador. Los anteriores cambios en el espacio de trabajo repercuten fuertemente en el control y desempeño del manipulador, si son conocidas de antemano no solo el espacio de trabajo requerido, sino también el tipo de trayectorias a efectuar. Con lo anterior, se puede pensar en el concepto de un manipulador delta con un espacio de trabajo reconfigurable, si el diseño del manipulador permite cambiar las posiciones de sus brazos durante la operación. 27.

(39) (a). (b). (c). Figura 3.10: Casos del espacio de trabajo de un brazo del manipulador: intersección de tres circunferencias (superior izquierda); intersección de tres medias luna (superior derecha); espacio delimitado por las circunferencias interiores (inferior). La región alcanzable es el área sombreada en los tres casos.. 28.

(40) (a). (b). (c). (d). (e). (f). (g). (h). Figura 3.11: Comportamiento del espacio alcanzable del manipulador. Configuraciones de (θ1 , θ2 , θ3 ) = {(0, 120, −120), (0, 150, −150), (0, 90, −90), (0, 60, −60)} frontal y superior respectivamente.. 29.

(41) Figura 3.12: Estructura del manipulador delta prototipo De tal forma, se plantea el problema de encontrar una configuración para determinar las mejores condiciones para el control de los actuadores e función de los desplazamientos angulares que deben lograr. El cambio en el volumen de trabajo repercute directamente en dichos desplazamientos, y con ello, determinar las mejores condiciones en el conocimiento de la matriz inercial del manipulador. El anterior análisis no se encuentra definido por los alcances de este desarrollo de tesis. Se propone llevar a cabo un análisis exhaustivo de la Jacobiana del manipulador para estas reconfiguraciones, similar al llevado a cabo por [8].. 3.6.. Desarrollo del prototipo manipulador delta. Se ha coordinado el desarrollo de un prototipo de manipulador Delta con actuadores rotacionales en el que podrán ser evaluadas estrategias de control avanzado como serán control difuso, control experto, control adaptivo, control adaptivo-experto, control por espacio de estados, entre otros. Para el caso de este trabajo, se planteará la implementación de la estrategia de control que se propone en el capı́tulo 4. En la imagen 3.12 se aprecia el prototipo del manipulador delta desarrollado en el departamento de Mecatrónica y Automatización del ITESM Campus Monterrey. Tiene una distancia del actuador al centro de la base fija de 150mm, una longitud del antebrazo de 200mm, una longitud de brazo de 400mm y una distancia del brazo al centro de la base móvil de 25mm. El espacio alcanzable del manipulador tiene un volumen de aproximadamente 27, 803, 000mm3 donde se. 30.

(42) (a). (b). (c). (d). Figura 3.13: Detalles del manipulador delta prototipo: base móvil (a), base fija (b), actuadores del manipulador (c) y codo del brazo (b).. 31.

(43) define un espacio de trabajo de forma cilı́ndrica de dimensiones 200 y radio 200 donde el centro de la base de dicho espacio se encuentra en (x, y, z) = (0, 0, −500) mm del centro de la base móvil del manipulador prototipo.. (a). (b). (c). Figura 3.14: Espacio alcanzable del manipulador delta prototipo: frontal (a), lateral (b) e isométrico (c) Cada brazo del manipulador prototipo es controlado por medio del integrado LM-629 que permite llevar a cabo el control de posición de los actuadores en cada brazo del robot (vid. figura 3.15). Sus actuadores son tres motores de corriente directa de 24 VC, acoplados a los brazos del manipulador por banda y un tren de reducción 200 : 1. Se han desarrollado dos interfaces hombre máquina para interactuar con el manipulador prototipo desde una computadora a través de la conexión RS232. La primera se lleva a cabo por medio de la plataforma LabView de National Instruments (NI), y la segunda por medio de LabWindows (de NI también).. 32.

(44) Figura 3.15: Esquema general de la electrónica del manipulador delta prototipo. 3.7.. Simulaciones. La simulación digital del manipulador delta se ha implementado a partir de la ecuación en espacio de estado 2.2. Las simulaciones digitales se emplearon por medio de iteraciones recursivas a partir del cálculo de la aceleración del manipulador resultado de las fuerzas externas τ , manipulación del torque sobre las articulaciones del mismo. θ2 [(k + 1)T ] = θ2 (kT ) + [f [θ(kT )] + B[θkT ]τ (kT )]T. (3.22). θ1 [(k + 1)T ] = θ1 (kT ) + [θ2 [(k + 1)T ] + θ2 (kT )]T /2. (3.23). donde T representa el tiempo de muestreo. Los parámetros geométricos de forma (longitudes brazos, antebrazos, matriz de rotación para Ai , entre otros) y los parámetros de forma (masas y aceleraciones) empleados en el simulador digital son consistentes con el prototipo expuesto con anterioridad. Por simplicidad numérica para la simulación se ha considerado que: 1. Las inercias rotacionales de los antebrazos se desprecian. 2. Las masas de los antebrazos son separadas en sus dos extremidades, de forma que en la junta Bi se concentran 2/3 de su masa, y en la junta Ci el tercio restante. 3. Los efectos de elasticidad son despreciables. 4. La distancia r en la base fija es 0, es decir, C1 , C2 , C3 son coincidentes.. 3.8.. Resumen. Se han desarrollado los modelos matemáticos que gobiernan al manipulador Delta con actuadores rotacionales: el cinemético, el dinámico y la caracterización de su espacio de trabajo. Se ha expuesto en 33.

(45) términos generales el diseño del manipulador prototipo desarrollado para los fines de investigación de ésta tesis, que adicionalmente ha servido para desarrollo del simulador digital. Lo anterior completa la descripción del sistema robótico bajo estudio. En la sección siguiente se expondrá el diseño del controlador supervisorio difuso que trabajará sobre el lazo de control PID convenncional del manipulador Delta.. 34.

(46) 4. Diseño del esquema de control para el manipulador delta 4.1.. Introducción. Se propone un esquema de control supervisorio para mejorar el desempeño del controlador primario de la posición del efector final del manipulador. Tal esquema supervisorio utilizará un controlador difuso para mejorar el desempeño del controlador convencional en regiones de no-linealidad, donde la sintonización del controlador ha dejado de ser óptima. En éste capı́tulo se expondrá la estrategia de control y su estructuración. Para ello, será necesario exponer algunos antecedentes en lógica difusa y control difuso, para después definir el control supervisorio y la forma en que el mismo será diseñado a partir de la respuesta en lazo cerrado del sistema trabajando solamente su controlador convencional.. 4.2. 4.2.1.. Antecedentes control difuso Conjuntos difusos. En la Teorı́a de Conjuntos Clásica se tiene que, dado un conjunto bien definido, un elemento pertenece o no pertenece al mismo, de forma que es posible asignar a cualquier elemento un valor entre {0, 1} para poder indicar si pertenece a determinado conjunto o no. En el caso de Conjuntos Difusos, el valor que se le asigna a un elemento se encuentra entre [0, 1], es decir, un intervalo en < (Números Reales), de manera que ahora se habla de la posibilidad de pertenencia de un elemento en un conjunto determinado. Dado lo anterior, mientras que un conjunto en la teorı́a clásica se representaba con la simple enumeración o caracterización de sus elementos, un conjunto en la teorı́a difusa se representa como el conjunto de pares ordenados de elementos con su correspondiente valor de posibilidad de pertenencia al conjunto, es decir, siendo F un conjunto difuso, éste se define como F = {(u, µF (u))|uU }. El valor de posibilidad de pertenencia a un conjunto se conoce como grado de membresı́a µi (j), la cual es una función que asigna a un elemento j un real en el intervalo [0, 1] que define la posibilidad de pertenencia al conjunto i. En otras palabras, µF : U → [0, 1].. 35.