Control visual de un robot móvil Khepera II

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INSTITUTO POLIT´ ECNICO NACIONAL

Centro de Investigaci´ on en Computaci´ on Laboratorio de Reconocimiento de Patrones

Control visual de un robot m´ ovil Khepera II.

T E S I S

Que para obtener el grado de:

Maestro en Ciencias de la Computaci´on

P R E S E N T A:

Alberto El´ıas Petrilli Barcel´ o

Bajo la direcci´on de:

Dr. Juan Humberto Sossa Azuela Dr. Ricardo Barr´on Fern´andez

M´exico D.F., Junio de 2007.

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Resumen

en esta tesis se describe una metodolog´ıa para el control visual basado en imagen para un robot móvil diferencial, usando una cofiguración de camára fija. El objetivo particular de esta tesis es lograr que el robot intercepte una pelota que se encuentra en movimiento dentro del area de trabajo del robot. La pelota sólo se encuentra sujeta a fuerzas de fricción. En particular se probó el sistema con un robot móvil Khepera II. El sistema desarrollado localiza al robot y a la pelota usando técnicas de segmentación por color. Después de esto se detecta el movimiento de la pelota y se calcula su trayectoria.

Una vez que se conoce la trayectoria se deriva el punto de intersección y se mueve el robot hasta ese punto. Para esto se utiliza un control en lazo cerrado. El desempeño de la metodolog´ıa propuesta es probado al situar al robot como portero lanzándole la pelota a un lado y al otro, y verificando si dicho robot logra interceptar o no.

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Abstract

In this thesis we describe a methodology for the visual servoing image-based of differential mobile robot under a fixed-camera configuration. The particular goal of this thesis is guide the robot to intercept a ball moving inside the working space of the robot. The ball is just subjected to the friction forces. The system has been tested with a Khepera II mobile robot. The developed system localizes the ball and the robot by mean of segmentation color techniques. Once the system detects the motion of the ball, it computes the trajectory of the ball. Once the trajectory has been calculated, the system computes the intersection point and then the robot is moved to that point. For this purpose a closed loop control is used. The performance of the propose methology is tested by placing the robot as a goalkeeper, then by throwing it the ball to one side and the other, and then by verifing the robot is able or not to intercepts the ball.

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´Indice general

´Indice general III

´Indice de figuras V

´Indice de tablas VI

1. Introducci´on 1

1.1. Los primeros robots m´oviles . . . 1

1.2. El problema a resolver . . . 4

1.3. Objetivo . . . 4

1.4. Consideraciones generales . . . 4

1.5. Aportaciones . . . 4

1.6. Organizaci´on de la tesis . . . 4

2. Conceptos b´asicos y definiciones 6 2.1. Sistemas de control . . . 6

2.2. Control visual . . . 7

2.3. Espacios de color . . . 7

2.3.1. Espacio de color RGB . . . 8

2.3.2. Espacio de color HSI . . . 8

2.3.3. RGB normalizado . . . 9

2.4. Segmentaci´on por color . . . 10

2.5. Manejo diferencial . . . 11

2.6. Regresi´on lineal . . . 13

2.7. Resumen . . . 14

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´INDICE GENERAL IV

3. La metodolog´ıa propuesta 15

3.1. Condiciones iniciales . . . 15

3.2. Etapa de adquisici´on . . . 16

3.3. Etapa de detecci´on . . . 16

3.4. Etapa de c´alculo de trayectoria . . . 17

3.5. Etapa de c´alculo intersecci´on . . . 17

3.6. M´odulo de c´alculo de velocidad . . . 18

3.7. Resumen . . . 20

4. Resultados experimentales 22 4.1. Dispositivo experimental . . . 22

4.2. Velocidad promedio alcanzada . . . 24

4.2.1. Experimento 1 . . . 25

4.2.2. Experimento 2 . . . 36

4.3. Efectividad . . . 47

4.3.1. Experimento 1 . . . 48

4.3.2. Experimento 2 . . . 49

4.4. An´alisis de resultados . . . 50

4.5. Resumen . . . 52

5. Conclusiones y trabajos futuros 53 5.1. Conclusiones . . . 53

5.2. Trabajos futuros . . . 54

Bibliograf´ıa 55

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´Indice de figuras

2.1. Representaci´on del espacio de color RGB. . . 8

2.2. Representaci´on del espacio de color HSI. . . 9

2.3. a) Una esfera s´olida que representa la distancia euclidiana. b) Una elipsoide que representa la distancia de Mahalanobis. c) Un cubo s´olido que representa la distancia infinito. . . 11

2.4. Esquema de un robot de manejo diferencial . . . 11

2.5. Los errores a minimizar son las cantidades e²_i = (y − ˆy_i)² . . . 13

3.1. Imagen que se recibe de la c´amara . . . 16

3.2. Imagen del robot y la pelota segmentados por color. . . 17

3.3. Error de orientaci´on. . . 18

3.4. Funci´on para el control de la velocidad traslacional. . . 19

3.5. Funci´on para el control de la velocidad angular. . . 20

3.6. Funciones para el control de las velocidades en las ruedas. . . 20

4.1. Esquema de la cancha. . . 23

4.2. Plataforma de lanzamiento de la pelota. . . 23

4.3. Angulo Robot Pelota.^´ . . . 24

4.4. a) Tiro a la izquierda. b) Tiro a la derecha. . . 50

4.5. Tiros a la izquierda y derecha. . . 51

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´Indice de tablas

4.1. ´Angulo 25^o, d = 60 cm, experimento 1. . . 25

4.2. ´Angulo 12.5^o, d = 60 cm, experimento 1. . . 26

4.3. ´Angulo 0^o, d =60 cm, experimento 1. . . 27

4.4. ´Angulo -12.5^o, d = 60 cm, experimento 1. . . 28

4.5. ´Angulo -25^o, d = 60 cm, experimento 1. . . 29

4.11. Promedio generales para d = 60 cm, experimento 1. . . 35

4.12. Promedios generales para d = 80 cm, experimento 1. . . 35

4.23. Promedio generales para d = 60 cm, experimento 2. . . 46

4.24. Promedios generales para d = 80 cm, experimento 2. . . 46

4.25. Desempe˜no del robot a una distancia de 60 cm, experimento 1 . . . 48

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´INDICE DE TABLAS VII

4.26. Desempeño del robot a una distancia de 80 cm, experimento 1 . . . 48 4.27. Desempeño del robot a una distancia de 60 cm, experimento 2 . . . 49 4.28. Desempeño del robot a una distancia de 80 cm, experimento 2 . . . 49

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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

Los robots actuales son fruto de la tecnolog´ıa moderna que involucra el concurso de una variedad de áreas del conocimiento como las ingenier´ıas mecánica, eléctrica, control automático y las ciencias computacionales.

Entre los elementos sensoriales más atractivos para incrementar la autonom´ıa en robótica destacan los sistemas de visión. Estos dispositivos proporcionan información relevante sobre el estado del robot y su entorno f´ısico inmediato. La importancia de contar con información visual resalta en aplicaciones con ambientes inestructurados o cambiantes. Aunque los primeros intentos de incorporar sistemas de visión en robótica se remontan a tres décadas, no ha sido sino hasta hace pocos años que los avances tecnológicos que se han logrado en la fabricación de cámaras de alta velocidad as´ı como en equipo de cómputo, han permitido incorporarlos al ámbito industrial. La temática en común entre los sistemas de visión y control de robots ha dado lugar al control visual (visual servoing) o control en espacio de visión (Hutchinson et al. (1996)).

1.1. Los primeros robots m´ oviles

La inteligencia artificial y la robótica móvil siempre han estado ligadas. Aún antes de los d´ıas de la conferencia de 1956 en el Dartmouth College, en la cual el término inteligencia artificial fue acuñado, era bien sabido que la robótica móvil pod´ıa ser uti- lizada para realizar tareas interesantes as´ı como para aprendizaje. William Grey Walter construyó un par de robots móviles a principios de los anõs 50 del siglo pasado [1]. Es- tos artefactos eran capaces de aprender tareas tales como la evasión de obstáculos y

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1.1. Los primeros robots m´oviles 2

fototaxis al variar las cargas en el capacitor del robot, el cual controlaba el comportamiento del robot. A finales de los 50’s pioneros de la inteligencia artificial, como Marvin Minsky y John McCarthy, empezaron a interesarse en la robótica poco después de la Conferencia de Dartmouth en 1956. Al final de los años 50 Minsky, junto con Richard Greenblood y William Gosper, intentaron construir un robot capaz de jugar ping-pong. Debido a dificultades técnicas con el hardware de la máquina, eventual- mente se construyó un robot que atrapar´ıa una pelota usando una canasta en lugar de un dispositivo prensil.

En Stanford, Nils Nilson desarrolló el robot móvil SHAKEY[2] en 1969. Este robot dispon´ıa de un buscador visual de rango, una cámara y sensores táctiles binarios. Este robot estaba conectado a una computadora DEC PDP 10 a través de radio frecuencia.

Las tareas de SHAKEY inclu´ıan la evasión de obstáculos y el desplazamiento de objetos en un entorno altamente estructurado.Todos los obstáculos eran bloques coloreados de manera uniforme y apilados. SHAKEY ten´ıa almacenada una lista de fórmulas que representaban los objetos de su entorno y, usando una versión del sistema de demostración de teoremas llamado ”STRIPS”, determinaba los planes de las acciones que iban a ser ejecutadas.

De nuevo, aunque el sistema de razonamiento trabajaba adecuadamente, SHAKEY a menudo ten´ıa problemas para generar, a partir de los datos crudos obtenidos del sensor, la informaci´on simb´olica necesaria para el planeador. El hardware era la parte que dificultaba el proyecto. Hans Moravec, entonces un estudiante de Stanford, dec´ıa:

“Una corrida entera de SHAKEY pod´ıa involucrar al robot dentro en un cuarto, buscar un bloque, solicitar mover el bloque hacia lo m´as alto de una plataforma, em- pujarlo por un extremo hacia la plataforma, arrastrarlo a la rampa, y subirlo hasta la parte m´as alta. SHAKEY nunca hizo esto en una secuencia completa. Lo hizo en varios intentos diferentes, de los cuales en cada uno ten´ıa una alta probabilidad de fallar.

Se pudieran poner todas las piezas juntas en una pel´ıcula, pero ser´ıa realmente poco fiable.”

También en Stanford, John McCarthy empezó un proyecto a principios de 1970 para construir un robot el cual pudiera ensamblar un kit de televisión de color. Nuevamente el hardware del robot - el acto f´ısico de insertar componentes en tarjetas de circuitos impresos con suficiente precisión - demostró ser la parte dif´ıcil del problema. Muchos investigadores en los primeros d´ıas de la inteligencia artificial que estaban interesados,

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1.1. Los primeros robots m´oviles 3

dejaron el aspecto de hardware de la rob´otica a un lado concentrandose nuevamente en el software y los componentes de razonamiento del sistema de control.

El problema de diseño de un robot durante mucho tiempo recayó en la estructura del control del sistema. Una vez que los componentes necesarios de hardware fueran capaces de ayudar al elemento de razonamiento inteligente del controlador, el comportamiento inteligente ser´ıa inevitable y mucha de la investigación fue, por tanto, enfocada en los paradigmas de control. Más aún, un número influyente de proyectos en robótica fueron realizados durante la década de 1970.

El JPL Rover, desarrollado durante la década de 1970 en el Jet Propulsion Lab- oratory en Pasadena, fue diseñado para la exploración planetaria. Valiéndose de una cámara de TV, un buscador tipo láser de rango y sensores táctiles, el robot catagoriz- aba su entorno como “recorrible”, “irrecorrible” y “desconocido”. La navegación fue realizada mediante odometr´ıa usando un compás inercial.

En Stanford, Hans Moravec desarrolló a CART a finales de la década de 1970. La tarea de este robot fue la evasión de obstáculos mediante un cámara como captor.

El robot tomaba nueve fotos en una ubicaci´on espec´ıfica para crear un modelo del mundo bidimensional; entonces se mov´ıa un metro hacia adelante y repet´ıa el proceso.

El procesar las nueve imágenes le tomaba 15 minutos: 5 minutos para digitalizar las 9 fotos; 5 minutos para realizar una reducción de bajo nivel de la imagen, en las cuales los obstáculos aran representados como c´ırculos; y 5 minutos para el modelado del mundo y la planeación de la trayectoria. CART evad´ıa obstáculos con éxito, no obstante, era muy lento. El robot ten´ıa, sin embargo, problemas para calcular correctamente su propia posición y para ver obstáculos con poco contraste.

En Europa, a finales de la década de 1970, HILARE fue desarrollado en el LAAS de Toulouse; se trataba de uno de los primeros proyectos europeos en robótica móvil.

HILARE usaba visión por computadora, buscadores tipo láser de rango y sensores ultrasónicos para navegar en su entorno. Un lento proceso de análisis de escenas, que realizaba cada 10 segundos, y un rápido proceso de visión dinámico, que realizaba cada 20 cent´ımetros de movimiento, eran los principios subyacentes de control. Los obstáculos cercanos eran evadidos mediante los sensores ultrasónicos. La navegación y la planeación de trayectorias eran almacenadas mediante pol´ıgonos bidimensionales, para la representación del espacio también se usaba un sistema coordenado global.

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1.2. El problema a resolver 4

1.2. El problema a resolver

Dada la posición de un robot móvil tipo diferencial sobre el espacio de trabajo y dada la posición temporal de una pelota en movimiento, calcular las consignas de control para llevar al robot a interceptar con la trayectoria de la pelota.

1.3. Objetivo

Poner en operaci´on una metodolg´ıa de control que resuelva el problema descrito en la secci´on anterior, tomando en cuenta las siguientes consideraciones:

1.4. Consideraciones generales

1. La posición del robot y la pelota se obtendrán a partir de una vista aérea de estos, mediante una cámara localizada en la parte de arriba.

2. Se supondrá que el robot y la pelota se localizarán durante todo el tiempo en una superficie lisa y perpendicular al plano de la cámara.

3. Se utiliza una cámara de color conectada a tarjeta digitalizadora que permi- tirá captar imágenes en colores de 24bits con una resolución de 640x480px.

4. La c´amara se encontrar´a a una altura fija.

5. El robot tendrá dos marcas de diferente color para su localización, mientras que la pelota será de un solo color y diferente a los colores utilizados para los robot.

Todos los colores ser´an contrastantes con el fondo que es de un color homog´eneo.

6. La pelota se supondrá sujeta únicamente a fuerzas de fricción.

1.5. Aportaciones

1.6. Organizaci´ on de la tesis

Esta tesis se encuentra organizada en cinco cap´ıtulos. En el presente cap´ıtulo se dio una introducci´on as´ı como una descripci´on y planteamiento del problema a resolver.

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1.6. Organizaci´on de la tesis 5

En el segundo cap´ıtulo se da una breve descripción de la teor´ıa necesaria para resolver el problema, mientras que el cap´ıtulo tercero se ve más a fondo la implementación de esta teor´ıa. Los resultados experimentales son presentados en el cap´ıtulo cuarto. En el cap´ıtulo quinto se presentan las conclusiones y los posibles trabajos futuros.

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Cap´ıtulo 2

Conceptos b´ asicos y definiciones

2.1. Sistemas de control

Los sistemas de control se dividen en dos tipos:

Sistemas de control en lazo cerrado Un sistema que mantiene una relación determinada entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como medio de control, se denomina sistema de control en lazo cerrado. Un ejemplo ser´ıa el sistema de control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la de referencia (temperatura deseada), el ter- mostato activa o desactiva el equipo de calefacción o enfriamiento para asegurar que la temperatura de la habitación se mantiene en un nivel confortable independientemente de las condiciones externas.

Sistemas de control en lazo abierto. Los sistemas en los cuales la salida no tiene efecto sobre la acci´on de control se denominan sistema de control en lazo abierto.

En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Un ejemplo práctico es una lavadora. El remojo, el lavado y el centrifugado en la lavadora operan con una base de tiempo. La máquina no mide la senãl de salida, que es la limpieza de la ropa.

En cualquier sistema de control de lazo abierto la salida no se compara con la entrada de referencia. As´ı a cada entrada de referencia le corresponde una condición de operación fija; como resultado de ello la precisión del sistema depende de la calibración.

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2.2. Control visual 7

Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica el control de lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida, y si no hay perturbaciones internas ni externas.

2.2. Control visual

El termino control visual se refiere al uso de datos provenientes de un elemento de captación para el control del movimiento de un robot. Los datos de visión pueden ser adquiridos a través de una cámara montada directamente sobre un robot manipulador o sobre un robot móvil. En cada caso el movimiento del robot induce un movimiento en la cámara. La cámara puede estar fija en el espacio de trabajo, de este modo el movimiento del robot puede ser observado desde una configuración fija. Otras config- uraciones pueden ser consideradas tales como, por ejemplo, varias cámaras montadas en cabezas de tipo “pan-tilt” observando el robot en movimiento.

El control visual resulta de la fusión de resultados de varias tareas elementales, que incluyen el procesamiento de imágenes a alta velocidad, la cinemática, la dinámica, la teor´ıa de control y el cómputo en tiempo real.

T´ıpicamente los sistemas de control se clasifican en aquellos basados en posici´on y los basados en imagen [3].

Parta el control basado en posición, se utilizan conjuntamente caracter´ısticas que son extra´ıdas de la imagen con un modelo geométrico de entorno para determinar la posición de objetivo con respecto a la cámara [6], [7], [9].

En el caso del control basado en imagen no se utiliza el modelo geom´etrico. El control se realiza al usar directamente las coordenadas [9], [8] del plano de la imagen.

2.3. Espacios de color

Cuando se trabaja con imágenes en color existen diferentes formas de representación del color. A estas múltiples formas de representación de color se les conoce como espacios de color. A continuación se muestran las representaciones del color mas importantes y que fueron utilizadas en el presente trabajo.

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2.3. Espacios de color 8

2.3.1. Espacio de color RGB

El espacio de color RGB (del ingl´es red, green, blue)se puede visualizar como un cubo tridimensional donde el rojo, verde y azul son los ejes coordenados (ver figura 2.1). El segmento de l´ınea que une los puntos (0,0,0) y (1,1,1) es la diagonal principal del cubo y representa todos los niveles de gris que van desde el negro hasta el blanco.

Es com´un el normalizar los colores RGB entre 0 y 1 cuando se usan operaciones de punto flotante o utilizar una representaci´on en bytes de 0 a 255 cuando se trabajan con operaciones enteras.

Figura 2.1: Representaci´on del espacio de color RGB.

En este espacio de color, un color es determinado por el valor de sus componentes roja, verde y azul. La principal desventaja de este espacio de color es que el matiz del color no es independiente de la saturaci´on e intensidad del color.

La Luminosidad L en el espacio de color RGB se define como la suma de las 3 componentes:

L = R + G + B

Por lo tanto la Luminosidad depende de las tres componentes R, G, y B.

2.3.2. Espacio de color HSI

El espacio de color HSI es un cono para el cual el eje medio representa la luminosidad, el ´angulo de fase representa el matiz del color, y la distancia radial representa la saturaci´on. El siguiente conjunto de transformaciones lleva del espacio RGB al espacio

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2.3. Espacios de color 9

HSI:

H = cos⁻¹

1

2[(R − G) + (R − B)]

£(R − G)²+ (R − B) (G − B)²¤ (2.1)

S = 1 − 3

R + G + Bmin (R, G, B) (2.2)

I = 1

3(R + G + B) (2.3)

La ventaja de este espacio de color es que la información sobre el color y la intensidad están no correlacionadas. El valor en la escala de grises está representado por una intensidad, saturación nula y una tonalidad arbitraria. As´ı se puede diferenciar fácilmente entre p´ıxeles cromáticos (con color) y acromáticos (en escala de grises), con solo usar el valor de saturación.

Figura 2.2: Representaci´on del espacio de color HSI.

2.3.3. RGB normalizado

En general los sensores de las cámaras de captura de imágenes devuelven un p´ıxel en formato RGB. Convertir todos los p´ıxeles de una imagen de RGB a HSI puede tomar mucho tiempo de cálculo para una computadora. Por lo mencionado anteriormente en este trabajo se hace uso del espacio de color RBG normalizado [4], el cual es una alternativa rápida en términos de cálculos con propiedades similares a las del espacio HSI. Este espacio es más robusto ante condiciones de cambios de iluminación[5] que el espacio RGB. El espacio de color RGB normalizado se define como:

r = R

R + G + B g = G

R + G + B b = B

R + G + B (2.4)

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2.4. Segmentaci´on por color 10

Esta normalizaci´on del espacio de color RGB nos permite describir con cierta in- dependencia el color de la luminosidad. Esto se debe a que la luminosidad RGB es siempre igual a uno.

r + g + b = 1 ∀ (r, g, b)

2.4. Segmentaci´ on por color

El objetivo de este proceso consiste en clasificar cada p´ıxel de una imagen dada b´asicamente en dos clases, un formada en por aquellos p´ıxeles con valor dentro de un rango y otra formada por aquellos con valor fuera de ese rango. Supongamos que el color del objeto a segmentar se encuentra en un rango de color dado en el espacio RGB.

Dado un conjunto de p´ıxeles de muestra de la región a segmentar se calcula el promedio del color de éstos. Denotemos este promedio con el vector RGB a. Sea z un punto en el espacio RGB, entonces z se encuentra en la región de interés si:

(z, a) = kz − ak ≤ D₀ (2.5)

Donde D0 es un valor de umbral. Se pueden utilizar diferentes medidas de distancia dependiendo del problema en cuesti´on. Entre las medidas de distancia m´as utilizadas se encuentran la euclidiana, la distancia infinito y la distancia de Mahalanobis. Para la distancia euclidiana se tiene que:

d2(z, a) = kz − ak =£

(zr− ar)²+ (zg− ag)²+ (zb − ab)²¤¹₂

(2.6) donde los sub´ındices r, g y b se refieren a las coordenadas R, G y B de los vectores. La ecuación anterior representa una esfera sólida de radio D con centro en a (ver figura 2.3a). Todos los puntos que pertenecen a esta esfera pertenecen al objeto de interés.

Para la distancia de Mahalanobis:

d_m(z, a) = kz − ak = (z − a) C⁻¹(z − a) (2.7) donde C es la matriz de covarianza de la muestra. Esta ecuaci´on representa un elipsoide s´olido con centro en a y cuyos ejes principales son los eigenvectores de la matriz de covarianza (ver figura 2.3b).

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2.5. Manejo diferencial 11

Para el caso de la distancia infinito se tiene que:

d (z, a) = kz − ak = max {z_r− a_r, z_g− a_g, z_b− a_b} (2.8) esta ecuaci´on representa un cubo s´olido con centro en a de lados 2D₀ (ver figura 2.3c).

a) b) c)

Figura 2.3: a) Una esfera s´olida que representa la distancia euclidiana. b) Una elipsoide que representa la distancia de Mahalanobis. c) Un cubo s´olido que representa la distancia infinito.

2.5. Manejo diferencial

El manejo diferencial es posiblemente la manera más sencilla para manejar un robot móvil. En el diseño de un control tipo manejo diferencial para un robot se tienen dos ruedas montadas en posiciones fijas al lado izquierdo y derecho del robot, las cuales se encuentran controladas por motores independientes.

Figura 2.4: Esquema de un robot de manejo diferencial

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2.5. Manejo diferencial 12

El control de las velocidades de las ruedas determina la trayectoria que seguirá el robot. En el manejo diferencial, las ruedas tienen un punto fijo de rotación en común, el cual encuentra alineado con el eje que las une (ver figura 2.4). A este punto de rotación se le conoce como el centro de curvatura instantáneo (CCI). Al variar la velocidad de las ruedas el CCI var´ıa y se pueden generar diferentes trayectorias. Debido a que en cada instante de tiempo la rueda izquierda y derecha están rotando alrededor de un mismo punto que se encuentra sobre el eje que las une, éstas rotan a la misma velocidad angular. Entonces, si ω es la velocidad angular y si l es la distancia entre las ruedas, de la cinemática de la rotación tenemos:

vr = ω¡

R + ₂^l¢ v_l = ω¡

R − ₂^l¢ )

si vl < vr

vl = ω¡

R + ₂^l¢ v_r = ω¡

R − ₂^l¢ )

si vl > vr (2.9) donde R es la distancia del CCI al punto medio del segmento que une ambas ruedas.

Ahora despejando a R y ω de las ecuaciones anteriores:

R = l 2

vr+ vl

v_r− v_l ω = v_r− v_l

l





 si v_l < v_r R = l 2

vr+ vl

v_l− v_r ω = v_l− v_r

l





 si v_l> v_r (2.10) De las ecuaciones anteriores se derivan 3 casos interesantes:

1. Si v_r = v_l entonces el radio es infinito y se tiene un avance en l´ınea recta.

2. Si v_r = −v_l entonces el radio es cero y se tiene una rotaci´on alrededor del punto medio entre las ruedas.

3. Si v_r = 0 entonces se tiene una rotaci´on alrededor de la rueda izquierda. similar- mente ocurrir´a para el caso en que v_l= 0.

Nótese que mediante el manejo diferencial no se puede manejar al robot en la direc- ción del eje que une a las ruedas (esto es una singularidad). En el manejo diferencial los veh´ıculos son muy sensibles a pequeñas variaciones en la velocidad de las ruedas.

Pequeños errores en la diferencia de velocidades relativas entre las ruedas pueden afec- tar en la trayectoria del robot. Por último cabe mencionar que la velocidad traslacional del robot está dada por:

v = v_l+ v_r

2 (2.11)

(23)

2.6. Regresi´on lineal 13

2.6. Regresi´ on lineal

En el contexto de esta tesis se supone que que la trayectoria que describe la pelota es una l´ınea recta, el problema ahora es, dados n puntos de la trayectoria que describe la pelota, ¿Cu´al es la recta que mejor aproxima estos n puntos?. Dadas las variables x y y definimos ˆy como:

ˆ

y = a + bx (2.12)

a continuaci´on se mide el error que se comete al aproximar y mediante ˆy, al calcular la suma de los cuadrados (para que los sumandos sean positivos y no se compensen los errores) de las diferencias entre los valores medidos y los aproximados:

Xn i=1

(y_i− ˆy (x_i))² = Xn

i=1

(y_i− ˆy_i)² = Xn

i=1

e²_i (2.13)

Se puede definir una aproximaci´on ˆy = a + bx de y, a partir de las cantidades a y a. Se van a calcular aquellas a y b tales que minimicen la siguiente funci´on de error:

Error(a, b) = Xn

i=1

(y1− ˆyi)² = Xn

i=1

(y − a − bxi)² (2.14)

Figura 2.5: Los errores a minimizar son las cantidades e²_i = (y − ˆy_i)²

Una vez que se ha definido el error de aproximaci´on mediante la relaci´on 2.14, las cantidades que lo minimizan se calculan al derivar con respecto a ambas e igualando a cero (procedimiento de los m´ınimos cuadrados):

(24)

2.7. Resumen 14

∂E_rror

∂a (a, b) = 0 ⇒ −2 Xn

i=1

(y_i− a − bx_i) = 0 (2.15)

∂Error

∂b (a, b) = 0 ⇒ −2b Xn

i=1

(y_i− a − bx_i) x_i = 0 (2.16) Reescribiendo 2.16:

Xn i=1

yi− an − b Xn

i=1

xi = 0 (2.17)

⇒ a = y − bx (2.18)

Y multiplicando 2.16 por nx:

Xn i=1

y_ix_i− a Xn

i=1

x_i − b Xn

i=1

x²_i = 0 (2.19)

al sustituir a:

1 n

Xn i=1

y_ix_i− x (y − bx) − b1 n

Xn i=1

x²_i = 0 (2.20)

⇒ Xn

i=1

x_iy_i− b Xn

i=1

x²_i = 0 (2.21)

por lo que los valores a y b que dan la recta que mejor aproximan los puntos son:

a = y − bx (2.22)

b = P_n

i=1x_iy_i P_n

i=1x²_i (2.23)

2.7. Resumen

En este cap´ıtulo se dieron los conceptos b´asicos y las definiciones que son base de la metodolog´ıa propuesta en esta tesis para lograr llegar al objetivo planteado en el primer cap´ıtulo. En el siguiente cap´ıtulo se describen cada una de las etapas que componen la metodolog´ıa propuesta.

(25)

Cap´ıtulo 3

La metodolog´ıa propuesta

En este cap´ıtulo se describen todas y cada una de las etapas realizadas para llevar a un robot m´ovil tipo diferencial a interceptar la trayectoria de una pelota movi´endose en linea recta dentro del espacio de trabajo del robot.

Por medio de una cámara CCD se captura una imagen en color, la cual es seg- mentada por colores usando las técnicas descritas en el cap´ıtulo 2. Posteriormente se hace un seguimiento de la trayectoria que describe la pelota y se calcula la ecuación de la trayectoria. Después se encuentra el punto más cercano y se manda al robot a ese punto. Este proceso se repite hasta que el robot intercepta la trayectoria de la pelota.

3.1. Condiciones iniciales

Antes de proceder a explicar las etapas que componen la metodolog´ıa propuesta, es necesario establecer las condiciones iniciales:

La pelota empieza con una energ´ıa inicial fija para todos los experimentos.

Los colores del robot y de la pelota son fijos y diferentes.

El color de la cancha es fijo y homog´eneo.

La iluminaci´on es fija y homog´enea.

(26)

3.2. Etapa de adquisici´on 16

3.2. Etapa de adquisici´ on

Se tiene una cámara CCD de color analógica la cual está conectada a una tarjeta de adquisición de imágenes DT3153 que se encarga de digitalizar la señal de la cámara.

Mediante esta tarjeta son captadas im´agenes en color de 24 bits, las cuales tienen un tama˜no de 640x480 p´ıxeles.

3.3. Etapa de detecci´ on

Durante esta etapa se obtiene la dirección y posición del robot, as´ı como la posi- ción de la pelota. El robot tiene dos marcas de colores diferentes. La primera marca sirve para identificarlo y conocer su posición. La segunda marca ayuda a conocer su orientación. La pelota tiene un solo color, el cual permite identificarla y conocer su posición. En la figura 3.1 se muestran al robot con marcas en azul y rosa, y la pelota en naranja.

Figura 3.1: Imagen que se recibe de la c´amara .

Usando las ténicas de segmentación descritas en la sección 2.4 se segmenta la imagen por color. Una vez segmentadas las regiones de interés se calcula el centro de masa que permite conocer el centro de cada una de estas regiones. En la figura 3.2 se muestran al robot y la pelota ya segmentados.

(27)

3.4. Etapa de c´alculo de trayectoria 17

Figura 3.2: Imagen del robot y la pelota segmentados por color.

3.4. Etapa de c´ alculo de trayectoria

Para que el robot pueda realizar la intercepción de la pelota se necesita conocer la ecuación de la trayectoria que describe la pelota en cada instante. Para ello se espera a que la pelota empiece a moverse mediante la condición:

kx_pt− x_pt−1k ≤ 1 (3.1)

donde x_pt es la última medición de la posición de la pelota.

Una vez que se ha empezado a mover la pelota se obtienen cuatro mediciones.

Estas cuatro mediciones son usadas para calcular la trayectoria ed la pelota. Como se sabe que la trayectoria que la pelota va a describir es una l´ınea recta, entonces se usa regresión lineal (ver sección 2.6) para encontrar la recta que mejor aproxima los cuatro puntos. A partir de este momento, para cada nueva medición, se vuelve a calcular la trayectoria tomando como base las últimas cuatro mediciones.

3.5. Etapa de c´ alculo intersecci´ on

Una vez que se conoce la recta que describe la pelota, as´ı como la posici´on en la que se encuentra el robot, se requiere calcular el punto al cual tiene que llegar el robot para

(28)

3.6. M´odulo de c´alculo de velocidad 18

interceptar la pelota. Para esto se calcula el punto m´as cercano al robot sobre la recta.

Para poder encontrar el punto m´as cercano, primero se calcula la recta perpendicular a la trayectoria de la pelota que pase por donde se encuentra el robot mediante la ecuaci´on:

y − yrt = −1

b_t(x − xrt) (3.2)

donde xrt y yrt son la última medición de las coordenadas del robot y bt la pendiente de la recta que describe la pelota. Por último se calcula la intersección de esta recta con la que describe la trayectoria de la pelota.

3.6. M´ odulo de c´ alculo de velocidad

Como se hab´ıa mencionado anteriormente, el robot Khepera II es un robot de tipo diferencial. Para poder llevarlo de un punto a otro hay que variar la diferencia de velocidad entre sus ruedas.

Para determinar la velocidad a la que se va a mover el robot se usa como parámetro el error de orientación θ. El error de orientación θ es el ángulo de orientación del robot con respecto al punto al cual se desea llegar (ver figura 3.3). Se desea construir una función que para cada ángulo devuelva una velocidad para cada rueda del robot, es decir f : [−π, π] → [−vmax, vmax] × [−vmax, vmax]. Donde vmax es la velocidad máxima que pueden alcanzar las ruedas del robot.

Figura 3.3: Error de orientaci´on.

Dadas las condiciones del problema a resolver, se puede ver que la funci´on que se busca debe cumplir las siguientes caracter´ısticas:

(29)

3.6. M´odulo de c´alculo de velocidad 19

1. Para ángulos pequeños la velocidad de traslación debe de ser grande. Particular- mente para θ = 0^◦, la velocidad de traslación debe de ser máxima.

2. Para θ peque˜nos la velocidad angular debe de ser peque˜na. Particularmente para θ = 0^◦, la velocidad angular debe ser cero.

3. Para ´angulos grandes la velocidad de rotaci´on debe de ser grande.

4. vl y vr no pueden ser ambas negativas, pues de lo contrario el robot se mover´ıa en reversa.

Notese que de las ecuaciones 2.10 y 2.11:

v_r = v + ₂^lω vl= v − ₂^lω

)

si v_l < v_r v_r= v − ₂^lω vl = v + ₂^lω

)

si v_l > v_r (3.3)

Notese que si v_l < v_r, el giro de robot va a ser hacia el lado izquierdo, y si v_l > v_r, el giro ser´a hacia el lado derecho. Entonces usando la convenci´on de la mano derecha para el signo de ω se llega a:

v_r = v + ₂^lω

v_l = v −₂^lω (3.4)

Tomando en cuenta las ecuaciones 3.4 se propone la siguiente funci´on Gaussiana para la velocidad de traslaci´on:

v = vmaxe⁻^2σ2^θ2 (3.5)

la cual para θ = 0 alcanza el valor m´aximo v_max, como se requiere en el punto 1.

Como una gaussiana siempre es positiva también satisface el punto 4. En la figura 3.4 se muestra la gráfica de la función dada por 3.6.

Figura 3.4: Funci´on para el control de la velocidad traslacional.

(30)

3.7. Resumen 20

Para ω se propone la siguiente funci´on sigmoidal:

ω = ω_max

µ 2

1 + e⁻^σω^θ − 1

¶

(3.6) La cual vale cero para θ igual a cero y conforme θ crece ω crece hasta llegar a ω_max. Este cumple con los puntos 2 y 3. En la figura 3.5 se muestra la gr´afica de la funci´on.

Figura 3.5: Funci´on para el control de la velocidad angular.

Con estas funciones se tiene entonces que las velocidades v_r y v_l quedan como sigue:

v_r = v_maxe⁻^2σ2^θ2 + ₂^lω_max

µ 2

1 + e⁻^σω^θ − 1

¶

v_l= v_maxe⁻^2σ2^θ2 − ₂^lω_max

µ 2

1 + e⁻^σω^θ − 1

¶ (3.7)

Figura 3.6: Funciones para el control de las velocidades en las ruedas.

3.7. Resumen

Es este cap´ıtulo se describieron cada una de las etapas de la metodolog´ıa para llevar un robot m´ovil tipo diferencial a interceptar la trayectoria de una pelota movi´endose en

(31)

3.7. Resumen 21

linea recta dentro del plano de trabajo del robot. En el siguiente cap´ıtulo se presentara una serie de de experimentos a trav´es de los cuales se presenta el desempe˜no de la metodolog´ıa descrita en el presente cap´ıtulo.

(32)

Cap´ıtulo 4

Resultados experimentales

En este cap´ıtulo se prueba el desempe˜no de la metodolog´ıa descrita en el cap´ıtulo 4. Para esto se lanza la pelota en una cierta direcci´on y se procede entonces a llevar el robot a interceptar la trayectoria seguida por la pelota. Para cada disparo se calculan las velocidades promedio del robot, as´ı como la distancia recorrida en su intento por interceptar la pelota.

4.1. Dispositivo experimental

Se coloca el robot en el centro de una porter´ıa de 50 cm de ancho y se le tiran tiros a ángulos de 25, 12.5, 0, -12.5 y -25 grados respecto a la posición del robot y a distancias de 60 y 80 cm respectivamente, con una velocidad fija (ver figura 4.1). Para cada posición de disparo se le lanzan 20 tiros al poste izquierdo y 20 tiros al poste derecho.

Para poder mantener fija la velocidad de la pelota se utiliza una pequenã plataforma con una inclinación de 30ô y una altura de 11cm desde donde es soltada la pelota (ver figura 4.2).

Se llevaron a cabo dos tipos de pruebas, una en la cual se tomaba la posición actual del robot y se calculaba el punto más cercano a la recta que describ´ıa la trayectoria de la pelota (experimento 1). En la siguiente prueba se tomaba el punto de partida del robot y de ah´ı en adelante se calculaba el punto más cercano a la recta que describ´ıa la trayectoria de la pelota (experimento 2).

(33)

4.1. Dispositivo experimental 23

Figura 4.1: Esquema de la cancha.

En las próximas secciones se muestran respectivamente los datos para cada uno de los tiros realizados (4.2), los resultados obtenidos del robot deteniendo disparos (4.3), y el análisis de los resultados obtenidos (4.4). En todos los casos, los datos son sintetizados en forma de tabla para facilitar la explicación.

Figura 4.2: Plataforma de lanzamiento de la pelota.

(34)

4.2. Velocidad promedio alcanzada 24

4.2. Velocidad promedio alcanzada

En esta secci´on se muestran los datos para cada uno de los lanzamientos realizados, donde:

Distancia recorrida: Es la distancia recorrida por el robot en su intento por detener el tiro.

Velocidad promedio: Es la velocidad promedio del robot durante su intento por detener el tiro.

Angulo RP: Es la diferencia que hay entre el ´angulo del punto de disparo al robot´ y el de la recta que describe la trayectoria de la pelota (ver figura 4.3).

Figura 4.3: ´Angulo Robot Pelota.

(35)

4.2.1. Experimento 1

Poste izquierdo Poste derecho

Distancia Velocidad Angulo Distancia Velocidad´ Angulo´ n recorrida promedio RP recorrida promedio RP

(cm) (cm/seg) (cm) (cm/seg)

1 19.16 24.19 22.25 8.63 15.38 -13.39

2 21.06 24.55 23.51 8.00 15.14 -12.02

3 20.11 24.38 22.70 7.47 14.14 -11.96

4 21.33 24.86 25.59 7.66 14.50 -12.04

5 21.73 25.33 24.05 6.48 14.02 -12.24

6 21.01 24.48 23.29 5.53 12.90 -10.31

7 21.06 24.55 22.75 10.81 17.24 -13.67

8 21.61 25.19 25.04 10.87 17.34 -14.31

9 21.03 24.51 23.50 10.98 17.52 -15.01

10 22.86 25.65 22.00 8.22 15.57 -12.20

11 22.29 25.01 23.32 5.91 12.79 -10.22

12 22.05 24.74 25.08 10.77 17.17 -14.19

13 20.98 24.45 23.56 7.16 14.47 -12.40

14 21.54 25.10 24.30 11.98 18.15 -15.38

15 23.18 26.01 23.63 8.45 15.06 -13.05

16 22.49 25.24 24.19 7.51 14.23 -12.08

17 22.70 25.48 25.98 7.57 14.33 -11.35

18 20.33 23.69 23.99 8.47 15.10 -12.70

19 20.78 24.22 23.30 10.75 17.14 -15.58

20 20.05 24.30 21.85 6.66 13.46 -11.85

Tabla 4.1: ´Angulo 25^o, d = 60 cm, experimento 1.

(36)

1 23.19 26.03 27.33 12.36 18.72 -16.67

2 22.58 25.35 25.53 11.16 16.91 -14.95

3 21.82 25.44 21.47 11.55 17.51 -15.36

4 22.63 25.40 23.74 12.85 18.54 -16.76

5 21.45 25.01 22.69 10.56 15.99 -14.24

6 21.39 24.93 22.75 11.22 17.01 -14.01

7 22.27 25.00 25.59 13.05 17.98 -15.04

8 22.86 25.65 24.95 10.44 16.66 -13.62

9 23.70 25.65 26.57 13.86 19.09 -17.57

10 46.98 30.95 26.73 13.90 19.15 -17.01

11 21.42 24.97 22.25 10.39 16.58 -14.56

12 23.43 26.30 26.19 11.52 17.46 -16.26

13 24.37 26.38 26.10 11.37 17.23 -14.60

14 24.65 26.67 26.48 14.69 19.36 -18.48

15 26.73 27.93 27.55 10.33 15.64 -13.92

16 20.88 24.34 22.70 11.65 17.64 -14.82

17 22.80 25.59 25.96 12.23 17.65 -16.57

18 21.73 25.33 25.18 11.42 17.31 -15.58

19 17.31 22.80 21.16 12.57 18.14 -15.99

20 21.19 24.70 22.93 13.24 18.24 -16.42

Tabla 4.2: ´Angulo 12.5^o, d = 60 cm, experimento 1.

(37)

1 17.05 22.47 18.87 13.72 19.80 -19.11

2 17.67 23.28 18.48 13.08 19.81 -17.53

3 20.34 24.66 21.21 17.49 23.04 -20.17

4 18.24 23.03 20.73 13.63 20.65 -18.49

5 16.96 22.35 17.83 13.00 19.70 -17.29

6 17.71 23.33 18.86 15.93 21.94 -20.31

7 17.75 23.38 19.84 14.81 21.37 -20.53

8 19.80 24.00 21.17 14.95 20.60 -19.76

9 20.12 24.39 19.88 12.36 18.73 -18.20

10 20.89 24.34 22.09 16.42 21.63 -19.82

11 22.00 25.64 22.23 17.34 22.85 -21.73

12 21.30 24.83 23.78 13.24 20.06 -16.49

13 20.27 24.57 22.07 14.08 20.32 -18.41

14 19.70 23.88 22.13 16.38 21.58 -20.47

15 19.05 23.09 19.56 14.22 20.52 -20.39

16 22.53 25.28 25.02 15.96 21.98 -20.14

17 19.28 23.37 21.93 18.96 23.94 -22.15

18 22.27 24.99 23.97 13.07 19.80 -16.71

19 21.72 24.37 24.21 15.71 21.64 -19.27

20 19.16 23.22 20.28 13.75 19.84 -18.32

Tabla 4.3: ´Angulo 0^o, d =60 cm, experimento 1.

(38)

1 11.82 19.91 12.02 17.12 21.62 -23.74

2 12.40 19.78 13.39 18.85 22.85 -23.77

3 14.19 21.49 15.38 20.26 23.61 -25.58

4 13.61 20.61 15.51 19.33 23.43 -24.94

5 14.88 21.47 15.68 18.08 22.83 -23.08

6 14.20 21.52 14.67 18.09 22.85 -23.32

7 17.47 24.06 18.26 16.68 21.06 -21.75

8 12.77 20.37 13.70 14.57 19.20 -18.99

9 15.56 22.46 16.77 15.85 20.88 -20.76

10 17.23 23.73 17.04 16.16 21.29 -19.84

11 14.67 22.22 14.83 14.57 20.07 -19.08

12 16.67 22.96 18.04 16.27 21.44 -21.24

13 14.21 21.54 16.00 14.28 20.60 -18.21

14 17.10 23.55 16.99 14.45 19.90 -19.13

15 14.67 21.17 15.88 15.78 20.79 -21.00

16 10.46 18.65 12.50 16.86 22.22 -19.97

17 15.49 22.36 14.95 13.16 18.99 -19.10

18 11.06 18.62 12.13 15.83 20.86 -19.54

19 12.75 20.33 14.08 15.07 20.76 -17.44

20 13.54 20.51 14.00 16.68 21.06 -20.78

Tabla 4.4: ´Angulo -12.5^o, d = 60 cm, experimento 1.

(39)

1 8.76 17.70 9.57 12.65 18.26 -18.05

2 8.25 16.66 10.59 15.26 20.10 -20.50

3 5.61 14.16 9.05 17.38 21.06 -22.94

4 9.04 17.12 11.61 16.22 20.48 -21.26

5 8.69 17.56 10.76 15.72 19.84 -19.97

6 8.25 17.86 10.35 16.07 20.30 -21.87

7 5.84 14.76 10.56 18.28 21.31 -23.01

8 9.31 17.64 11.77 15.09 19.88 -20.47

9 7.36 17.15 8.79 15.20 20.03 -20.05

10 5.39 13.60 9.07 16.17 20.42 -20.52

11 7.46 16.16 10.06 17.42 21.11 -20.97

12 10.55 19.99 12.01 14.49 19.08 -18.82

13 9.70 18.37 11.74 17.92 22.63 -22.77

14 6.81 15.87 10.80 17.29 20.95 -20.96

15 12.21 20.55 13.28 17.27 20.93 -24.13

16 8.15 17.65 10.72 13.77 18.96 -18.84

17 10.07 19.07 12.52 15.33 20.20 -21.52

18 11.41 19.20 12.68 17.31 21.85 -21.31

19 10.89 20.63 11.73 14.33 18.88 -19.53

20 11.13 18.74 12.18 15.70 20.69 -20.52

Tabla 4.5: ´Angulo -25^o, d = 60 cm, experimento 1.

(40)

1 29.16 27.61 20.08 13.05 19.77 -12.53

2 24.53 27.53 20.34 6.12 13.24 -9.07

3 23.74 26.64 17.89 6.01 14.00 -6.87

4 25.11 27.17 20.87 8.48 16.06 -9.86

5 24.52 27.52 19.41 11.85 18.89 -11.11

6 25.12 27.18 18.04 5.61 12.15 -8.24

7 25.59 27.70 19.42 6.14 13.28 -9.14

8 26.87 29.08 21.79 4.48 11.32 -7.31

9 22.03 25.67 20.12 8.59 15.30 -10.30

10 28.49 28.78 20.28 5.24 12.23 -10.19

11 24.15 26.14 20.47 4.77 12.05 -8.11

12 26.75 28.95 19.26 9.98 16.80 -10.52

13 24.59 26.62 19.28 7.98 15.12 -10.12

14 22.95 26.75 18.77 8.91 15.89 -9.67

15 27.62 27.90 23.07 7.20 13.65 -9.28

16 26.58 26.85 18.71 8.22 15.58 -9.43

17 26.07 27.24 21.83 14.41 20.79 -13.48

18 25.44 28.56 20.24 10.93 17.43 -10.37

19 25.55 26.70 18.63 13.02 18.79 -11.92

20 25.72 27.84 21.21 7.91 14.98 -9.47

(41)

1 20.71 25.10 17.03 13.94 19.21 -12.40

2 25.20 27.27 19.35 15.66 20.64 -14.19

3 20.38 24.70 16.62 14.52 20.00 -13.45

4 26.26 27.44 20.97 15.73 20.72 -15.07

5 25.48 27.58 19.49 13.11 18.91 -12.83

6 21.97 25.61 18.30 15.87 20.90 -14.42

7 25.34 27.43 19.02 11.97 18.13 -12.08

8 22.05 25.70 18.25 18.57 22.51 -15.45

9 22.05 25.70 17.65 12.89 18.61 -12.76

10 23.70 26.60 18.62 12.72 18.35 -13.41

11 23.03 26.84 18.08 12.37 18.74 -12.61

12 24.32 27.29 19.32 12.85 18.54 -13.40

13 22.23 25.91 18.89 10.46 16.68 -12.06

14 19.76 24.95 16.79 15.82 20.84 -16.20

15 23.39 27.26 18.69 17.44 21.14 -15.09

16 19.02 24.02 16.46 14.20 19.56 -12.85

17 25.14 28.21 19.62 15.80 20.81 -13.97

18 21.39 25.92 18.42 16.65 21.93 -15.04

19 21.81 26.43 18.27 14.09 19.41 -13.68

20 24.30 27.27 18.84 12.09 18.31 -12.61

(42)

1 19.19 24.23 15.41 12.93 18.65 -12.48

2 15.19 21.92 13.63 16.93 21.38 -15.40

3 21.04 25.51 16.24 13.64 18.79 -13.16

4 17.42 22.95 14.63 14.94 19.68 -14.62

5 17.59 23.17 14.72 15.52 20.45 -14.08

6 20.86 25.28 16.24 12.63 18.23 -12.63

7 20.86 25.29 16.40 15.79 20.81 -14.77

8 16.94 23.34 13.80 14.79 19.49 -14.44

9 22.40 26.10 17.17 17.34 21.02 -14.71

10 20.27 24.57 15.98 16.43 20.75 -14.89

11 16.82 22.16 14.55 15.51 20.44 -14.45

12 19.84 24.05 16.27 14.24 18.76 -14.32

13 23.53 26.41 18.42 11.29 17.10 -12.69

14 21.10 24.59 16.36 12.37 17.85 -13.30

15 21.72 25.31 17.41 14.53 19.14 -15.26

16 18.24 23.03 15.91 9.91 15.80 -11.73

17 23.42 26.29 18.08 14.63 20.15 -13.82

18 24.68 26.71 20.31 16.92 20.51 -16.06

19 20.32 24.63 16.16 13.58 18.71 -14.71

20 20.32 24.63 16.29 14.00 19.28 -14.36

(43)

1 16.10 22.18 13.41 14.28 18.82 -15.62

2 13.10 19.85 10.56 14.86 19.58 -15.67

3 16.21 23.39 11.88 18.23 21.25 -18.14

4 16.43 22.63 12.38 16.41 20.72 -18.99

5 15.84 22.86 11.88 19.85 22.28 -18.39

6 17.14 22.58 14.23 18.18 21.19 -17.99

7 16.69 22.99 12.73 16.48 20.81 -17.34

8 17.82 23.47 13.70 14.93 19.67 -15.05

9 14.01 20.21 11.94 19.38 21.75 -19.87

10 14.97 20.62 11.72 15.12 19.92 -16.21

11 17.22 22.69 12.36 16.43 20.75 -16.36

12 18.27 23.07 12.97 15.13 19.93 -15.76

13 17.07 22.48 13.68 18.63 20.91 -16.84

14 14.45 20.85 10.90 14.58 19.21 -16.22

15 18.00 22.73 13.03 16.51 20.85 -16.95

16 15.49 21.34 12.32 15.66 19.77 -16.39

17 16.36 22.53 11.48 16.72 20.26 -17.43

18 14.34 20.70 10.91 16.15 19.58 -16.40

19 17.25 22.73 12.99 14.72 19.40 -16.19

20 15.48 21.33 12.82 12.89 17.76 -14.08

(44)

11 13.73 20.81 11.46 18.30 21.32 -18.20

2 14.94 21.55 12.16 16.88 20.46 -17.15

3 13.51 21.54 10.72 20.43 22.11 -19.41

4 14.08 21.33 11.93 20.62 22.32 -19.81

5 12.84 20.48 10.71 21.91 22.13 -20.23

6 12.21 19.48 10.17 19.67 21.28 -18.09

7 14.99 21.63 11.64 21.56 22.52 -19.78

8 14.03 22.37 11.25 18.83 21.13 -18.42

9 15.98 22.01 12.48 17.15 19.99 -18.09

10 14.09 21.35 12.05 17.62 20.53 -17.85

11 16.08 22.15 13.44 15.95 19.34 -17.31

12 15.18 21.91 12.55 19.27 20.85 -19.36

13 15.16 21.87 11.66 21.40 22.36 -19.78

14 13.84 20.96 12.11 20.63 21.55 -18.90

15 19.19 24.23 13.15 24.98 23.65 -21.46

16 13.98 21.19 10.93 21.12 22.06 -20.70

17 17.54 23.11 14.44 20.81 21.74 -18.75

18 15.48 22.34 12.55 18.28 20.52 -17.78

19 12.19 20.52 10.25 18.72 21.01 -17.38

20 11.00 19.61 10.35 19.77 21.40 -17.57

(45)

Angulo Distancia Velocidad´ Angulo Distancia Velocidad´ Angulo´ de recorrida promedio RP recorrida promedio RP

disparo (cm) (cm/seg) (cm) (cm/seg)

25 21.37 24.80 23.69 8.49 15.28 -12.80

12.5 23.67 25.72 24.69 12.02 17.64 -15.62

0 19.69 23.92 21.21 14.91 20.99 -19.26

-12.5 14.24 21.37 15.09 16.40 21.32 -21.06

-25 8.74 17.52 10.99 15.94 20.35 -20.90

Tabla 4.11: Promedio generales para d = 60 cm, experimento 1.

Angulo Distancia Velocidad´ Angulo Distancia Velocidad´ Angulo´ de recorrida promedio RP recorrida promedio RP

disparo (cm) (cm/seg) (cm) (cm/seg)

25 25.53 27.42 19.98 8.45 15.37 -9.85

12.5 22.88 26.36 18.43 14.34 19.70 -13.68

0 20.09 24.51 16.20 14.40 19.35 -14.09

-12.5 16.11 22.06 12.39 16.26 20.22 -16.79

-25 14.50 21.52 11.80 19.69 21.41 -18.80

Tabla 4.12: Promedios generales para d = 80 cm, experimento 1.

(46)

4.2.2. Experimento 2

]

1 22.59 26.33 25.44 12.09 17.44 -15.92

2 20.50 23.89 25.32 7.91 14.11 -11.92

3 20.23 23.58 25.36 9.23 15.53 -13.47

4 20.71 24.13 27.56 11.25 17.05 -15.57

5 21.10 24.60 25.94 10.01 15.96 -13.18

6 22.48 25.23 25.09 11.06 17.65 -14.93

7 20.84 24.28 26.52 9.61 16.18 -13.65

8 18.86 22.87 26.10 9.16 15.41 -14.21

9 20.63 24.05 26.75 8.27 14.73 -13.54

10 20.04 24.29 30.01 8.67 15.46 -12.48

11 20.22 23.57 25.72 10.71 16.23 -15.34

12 20.55 23.95 27.54 11.42 17.30 -15.63

13 21.84 24.51 26.17 11.95 18.10 -16.49

14 21.32 24.85 26.35 9.21 15.51 -14.55

15 21.88 25.50 26.68 10.02 15.97 -14.84

16 20.81 24.25 25.12 7.94 15.04 -12.53

17 20.91 24.37 25.85 10.06 16.94 -13.33

18 21.28 24.80 26.82 9.53 16.05 -13.67

19 21.27 24.79 26.01 10.11 16.12 -14.33

20 21.15 24.66 26.72 10.36 16.52 -13.57

(47)

1 19.55 23.70 23.50 7.73 13.77 -12.70

2 21.73 25.32 21.78 10.85 17.30 -14.70

3 23.42 26.29 24.25 8.07 13.59 -13.05

4 21.73 25.33 23.08 9.45 15.07 -13.85

5 23.02 25.83 24.93 8.78 14.78 -12.59

6 22.30 25.99 23.98 11.46 17.37 -14.88

7 18.66 23.56 21.80 7.26 12.94 -11.28

8 22.64 25.41 26.35 9.79 15.62 -13.40

9 20.59 24.00 22.62 8.84 14.88 -12.93

10 19.96 24.19 21.82 9.02 15.19 -12.38

11 19.92 24.15 21.96 7.76 13.84 -12.38

12 21.47 25.02 24.06 10.06 16.05 -13.49

13 23.16 26.00 26.11 10.67 17.01 -13.78

14 22.84 25.63 24.57 10.02 15.98 -13.70

15 20.59 24.96 22.55 9.69 15.45 -14.09

16 22.26 24.99 25.52 10.67 17.02 -14.93

17 22.16 25.83 24.96 8.69 14.62 -11.60

18 23.07 25.89 25.58 7.17 13.58 -10.89

19 22.52 25.27 25.27 7.80 13.91 -11.28

20 19.70 23.88 22.43 8.40 14.97 -12.90

(48)

1 20.19 26.60 21.25 14.99 20.65 -19.44

2 19.07 25.13 23.07 16.39 20.69 -19.32

3 22.44 27.20 23.94 15.21 20.04 -18.55

4 20.41 25.78 25.00 13.17 18.14 -18.52

5 20.31 25.64 22.46 15.42 20.32 -20.43

6 18.54 24.43 20.98 18.74 22.71 -21.33

7 19.93 25.17 22.78 14.06 19.36 -17.97

8 20.64 26.06 23.42 16.22 20.47 -20.88

9 21.89 26.53 23.21 17.12 21.62 -21.37

10 20.24 25.55 20.91 17.45 21.15 -22.66

11 21.53 26.09 22.17 16.80 21.21 -20.20

12 22.70 27.51 24.87 16.35 20.65 -21.94

13 18.96 24.98 20.38 17.67 21.42 -22.63

14 21.83 27.57 23.51 16.97 21.43 -21.95

15 19.44 24.54 22.00 14.72 19.40 -18.82

16 21.17 25.66 22.57 16.10 20.33 -19.29

17 19.85 25.06 22.20 15.10 19.90 -19.57

18 19.09 24.10 22.42 16.93 21.38 -20.36

19 19.73 24.92 21.15 18.06 21.89 -22.38

20 20.27 25.59 21.01 16.98 21.44 -20.42

(49)

1 13.35 20.22 13.24 16.93 21.37 -20.95

2 12.92 19.58 12.94 18.17 22.02 -22.01

3 14.12 21.39 14.76 18.08 21.91 -21.11

4 14.07 20.31 16.29 16.15 20.40 -19.67

5 14.22 20.51 14.19 19.71 22.97 -24.27

6 15.27 22.04 16.36 16.82 21.24 -21.17

7 16.15 22.25 17.04 19.38 22.59 -22.19

8 17.72 23.34 18.11 17.36 21.92 -21.92

9 17.71 23.33 14.87 16.74 21.14 -21.04

10 15.10 20.79 18.06 16.27 20.54 -20.22

11 15.89 21.88 16.65 19.49 22.72 -22.82

12 13.10 19.85 15.25 16.75 21.15 -21.92

13 16.16 22.26 18.39 17.62 21.36 -21.43

14 16.03 22.08 17.07 18.65 21.74 -22.82

15 16.44 22.65 16.61 18.08 21.92 -23.28

16 13.12 19.87 14.03 18.89 22.02 -22.84

17 16.08 22.15 16.96 16.22 20.48 -20.58

18 14.94 21.56 16.09 15.78 20.79 -19.89

19 14.13 20.39 15.03 17.37 21.93 -21.82

20 15.01 21.66 16.54 17.47 21.17 -23.71

(50)

1 15.65 19.76 -22.67 12.07 19.25 13.95

2 17.67 20.60 -22.90 14.42 20.80 14.30

3 19.64 22.05 -25.29 11.71 18.68 13.54

4 17.11 19.94 -19.57 11.87 18.93 13.13

5 20.63 22.33 -23.03 13.44 20.36 14.31

6 18.77 21.06 -21.28 9.68 17.25 12.69

7 23.05 21.82 -14.71 9.88 17.61 12.23

8 18.45 20.70 -24.41 11.87 18.92 12.58

9 17.87 20.83 -20.59 10.81 18.20 10.88

10 16.59 19.33 -22.53 10.38 17.47 12.30

11 16.95 19.75 -23.33 9.88 18.72 10.07

12 16.71 19.48 -23.13 11.80 18.83 12.88

13 18.31 21.34 -22.08 8.83 16.72 10.15

14 18.74 21.03 -23.73 10.19 17.15 12.39

15 18.64 20.92 -22.67 11.15 17.79 12.64

16 17.67 19.83 -23.19 11.67 18.61 14.04

17 18.69 20.98 -25.52 8.76 16.59 11.61

18 16.18 19.61 -21.49 12.78 19.37 13.77

19 17.95 20.15 -22.86 10.52 17.72 11.42

20 19.01 21.33 -22.85 13.22 19.08 13.91

(51)

1 20.08 23.41 17.48 10.04 16.02 -9.69

2 22.06 24.76 18.31 8.43 15.03 -9.04

3 20.52 23.92 16.68 9.02 15.18 -9.99

4 20.87 23.43 17.90 7.63 13.60 -9.66

5 16.03 21.12 13.96 5.85 11.81 -7.81

6 19.96 23.27 16.23 6.71 12.70 -9.34

7 17.90 22.60 14.40 14.56 19.18 -11.90

8 20.41 22.90 18.12 14.92 18.84 -14.34

9 19.26 23.35 15.78 10.35 15.68 -10.82

10 15.69 20.67 14.32 10.48 16.71 -10.01

11 19.06 23.11 15.04 11.19 16.15 -11.52

12 16.23 21.38 13.59 8.82 14.85 -10.43

13 18.89 22.90 16.53 10.27 15.55 -11.38

14 19.15 23.21 16.67 8.07 14.39 -9.89

15 20.64 24.05 17.20 10.68 16.18 -11.68

16 18.26 23.06 15.68 12.10 17.46 -11.53

17 18.20 22.98 15.84 6.29 11.91 -9.36

18 17.69 22.34 14.99 11.30 16.31 -11.68

19 18.97 22.99 15.29 13.50 18.59 -12.76

20 16.93 22.31 14.47 9.56 15.24 -12.20

(52)

11 18.82 23.76 16.46 15.46 18.75 -14.04

2 19.60 23.76 16.13 14.99 18.18 -13.95

3 15.68 20.66 15.02 16.11 18.77 -14.35

4 17.21 21.72 15.92 12.45 16.41 -13.10

5 18.15 22.92 15.35 14.60 18.43 -14.35

6 17.33 21.88 15.53 19.15 20.73 -16.86

7 14.27 19.65 14.46 13.36 17.60 -12.96

8 18.54 22.47 16.34 10.62 15.32 -12.11

9 19.43 23.55 17.61 18.20 19.69 -16.18

10 18.88 22.88 16.53 17.57 20.48 -15.43

11 15.77 20.78 14.19 18.75 20.29 -15.86

12 19.06 23.10 16.66 14.82 18.71 -13.34

13 17.96 21.77 16.53 13.61 17.93 -13.26

14 19.65 22.90 17.26 16.79 19.57 -14.94

15 20.21 23.56 17.30 14.40 18.18 -14.27

16 18.90 22.91 18.08 17.61 19.76 -15.35

17 17.44 22.03 15.83 11.65 16.05 -11.88

18 18.88 22.88 17.24 16.43 18.43 -14.92

19 18.68 22.64 16.47 0.00 0.00 -14.57

20 18.36 23.18 16.18 18.32 24.14 -16.63

(53)

1 19.19 24.23 15.41 12.93 18.65 -12.48

2 15.19 21.92 13.63 16.93 21.38 -15.40

3 21.04 25.51 16.24 13.64 18.79 -13.16

4 17.42 22.95 14.63 14.94 19.68 -14.62

5 17.59 23.17 14.72 15.52 20.45 -14.08

6 20.86 25.28 16.24 12.63 18.23 -12.63

7 20.86 25.29 16.40 15.79 20.81 -14.77

8 16.94 23.34 13.80 14.79 19.49 -14.44

9 22.40 26.10 17.17 17.34 21.02 -14.71

10 20.27 24.57 15.98 16.43 20.75 -14.89

11 16.82 22.16 14.55 15.51 20.44 -14.45

12 19.84 24.05 16.27 14.24 18.76 -14.32

13 23.53 26.41 18.42 11.29 17.10 -12.69

14 21.10 24.59 16.36 12.37 17.85 -13.30

15 21.72 25.31 17.41 14.53 19.14 -15.26

16 18.24 23.03 15.91 9.91 15.80 -11.73

17 23.42 26.29 18.08 14.63 20.15 -13.82

18 24.68 26.71 20.31 16.92 20.51 -16.06

19 20.32 24.63 16.16 13.58 18.71 -14.71

20 20.32 24.63 16.29 14.00 19.28 -14.36