MANUAL DIDACTICO DE ECONOMIA MATEMATICA EA-210

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL DEL LITORAL ATLANTICO

CARRERA DE ECONOMIA AGRICOLA

MANUAL DIDACTICO DE

ECONOMIA MATEMATICA EA-210

ELABORADO POR:

LIC. GERMAN R. SAMIENTO ANTUNEZ

LA CEIBA, ATLANTIDA HONDURAS C.A.

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Tabla de Contenido.

Aplicaciones de las Funciones a la Economía...1

Introducción a la Economía Matemática...2

Apuntes sobre Funciones Lineales...2

Aplicaciones de las Funciones Lineales...3

Leyes de La Oferta y La Demanda...3

Modelo de Costo Lineal...7

Equilibrio de Mercado...8

Equilibrio del Productor...9

Depreciación Lineal...10

Anotaciones sobre Funciones Cuadráticas...11

Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas...12

Curva de Demanda y Oferta Cuadrática...12

Curva de Transformación de Producto...14

Repaso sobre Derivadas...16

Notación de Incrementos...16

Razón Promedio de Cambio...17

La Derivada...19

Aplicaciones de la Derivada a la Economía...20

Álgebra Matricial y Aplicaciones...33

Vectores... 34

Matrices... 39

Algunos Tipos de Matrices...39

Operaciones con Matrices...41

Determinante de una Matriz...44

Otro Método para Obtener el Determinante de una Matriz de Tamaño 3x3...45

Matriz Inversa...46

Matriz Inversa (otro método)...50

Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales...51

Método Gauss-Jordan...51

Regla de Cramer...53

Progresiones e Introducción a la Programación Lineal y sus Aplicaciones...61

Progresiones Aritméticas...62

Progresión Geométrica. ( PG)...66

Ejercicios Propuestos... 68

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Segunda Unidad...78

Tercer Unidad...86

Respuestas de Ejercicios Propuestos...89

Primer Unidad...90

Segunda Unidad...91

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I UNIDAD

Aplicaciones de las Funciones a la Economía

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Introducción a la Economía Matemática.

Es una rama de la ciencia económica que utiliza la lógica matemática y sus herramientas para estudiar y analizar hechos económicos.

Importancia de la Economía Matemática.

Las matemáticas y la economía son disciplinas complementarias dado que la mayoría de las ramas de la economía moderna utilizan matemáticas, y algunas partes importantes de la investigación matemática han sido motivadas por problemas económicos. A tal grado que muchos economistas han comprobado que las matemáticas les permiten mejorar su productividad y a su vez , muchos matemáticos han descubierto que la economía les proporciona áreas de interés para la aplicación de sus conocimientos.

Un gran economista tiene que llegar a mucho en diversas direcciones y debe combinar facultades naturales que no siempre se encuentran reunidas en un mismo individuo: debe ser matemático, historiador , conocedor de la política y la filosofía ,debe dominar el lenguaje científico , expresarse y hacerse entender en lo vulgar (es decir lenguaje común) , contemplar lo particular en términos de lo general y tocar lo abstracto y concreto con la misma altura.

Apuntes sobre Funciones Lineales.

En geometría y álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

f(x) = mx + b ó y = mx + b

Donde “m” y “b” son constantes reales y “x” es una variable real. La constante “m” es la pendiente de la recta, y “b” es el punto de corte de la recta con el eje “y” (también conocido como intercepto en y).

Si se modifica “m” entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica “b”, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo (del eje “y”) en el plano cartesiano.

Algunos datos adicionales sobre Funciones Lineales:

• Su dominio son todos los números reales, y su rango también todos los números reales.

• Su gráfica en el plano cartesiano es una linea recta.

• Si m ≠ 0, la gráfica presentara dos interceptos (uno en “x” y otro en “y”).

• Si m = 0, la gráfica será un recta paralela al eje “x”, cruzando al eje “y” en b.

• Si se conoce “m” y “b”, es muy fácil inferir la función y/o la gráfica.

• También es posible encontrar la función y/o la gráfica si se conoce “m” y un punto cualquiera de la gráfica.

• Adicionalmente, se puede formular la función y/o elaborar la gráfica, si solo se conocen dos puntos cualesquiera de la gráfica.

La pendiente (m), también se puede calcular en base a dos puntos de la recta. Como se muestra a continuación:

Pendiente de una Recta.

La pendiente (m) de una recta y =f(x) es una razón promedio de cambio de “y” respecto a un cambio en

“x”. Así:

(6)

m=Δ y

Δ x=y₂−y₁ x₂−x₁

Una vez calculada la pendiente, se puede utilizar la siguiente formula para inferir la ecuación de la recta: p− p1=m(x −x₁)

Sistema Lineal de Dos Ecuaciones con Dos Incógnitas.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra.

Las tres posibles soluciones de este tipo de sistemas son: Que el sistema tenga una única respuesta (un punto del plano cartesiano, representado por dos valores uno de “x” y otro de “y”), que el sistema no tenga respuesta (las rectas no se cruzan) y que existan infinitas soluciones.

Métodos de resolución.

Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas se despeja el valor de “x” y luego el de “y” del sistema. Si el sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen a una solución del sistema. Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y mediante la Matriz invertible (o matriz inversa), entre otros.

Aplicaciones de las Funciones Lineales.

Leyes de La Oferta y La Demanda.

Oferta:

Se define como aquella cantidad de bienes o servicios que los productores están dispuestos a vender a los distintos precios del mercado.

Una relación de Oferta lineal es de la forma : p = mx + b

Donde: “p” es el precio del producto; “x” la cantidad ofrecida; “b” precio al que no se ofrece el producto y “m” cambio del precio respecto a un cambio en la cantidad ofrecida.

Características.

– m > 0

– Es una relación directa es decir que un aumento de precio provoca un aumento en la cantidad ofrecida y viceversa.

– La gráfica se llama curva de Oferta.

Ej: 1.) Dada la ecuación lineal de oferta: 5p – 4x = 20 Se pide:

a.) Determinar el precio cuando se ofrecen 5 unidades

b.) Determinar el cambio del precio respecto a la cantidad ofrecida

(7)

c.) ¿Qué cantidad se ofrecería a un precio de L. 12.00?

d.) ¿A qué precio no se ofrecería el producto?

e.) Graficar la curva Solución:

a.) 5p - 4(5 ) = 20 5p = 20 + 20 p = L. 8.00 b.) 5p = 4x + 20

p=4

5 x +4 y por tanto m=4 5 c.) 5 ( 12 ) – 20 = 4x

4x = 60 -20 x = 10 unid.

d.) Si x = 0 5p – 4(0) = 20 p = L. 4.00 e.)

2.) La función 5p - 6x = 50 representa la oferta de un artículo determinado a.) Obtener el precio si la cantidad ofrecida es: 5 y 10 unidades respectivamente.

b.) Obtener la cantidad ofrecida si el precio es: L. 16.00 y L. 28.00 c.) ¿A qué precio no se ofrece el producto?

d.) Graficar la curva.

Demanda.

Se define como la cantidad de bienes y servicios que pueden ser adquiridos a diferentes precios del mercado.

Una relación lineal de demanda es de la forma:

p = mx + b

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Donde: “p” es el precio del bien, “x” es la cantidad demandada, “m” es el cambio del precio respecto a un cambio en la cantidad demandada. En tanto que “b” es el precio al que no se demandaría el

producto.

Características.

- m < 0

- Es una relación inversa ya que a menor precio se demanda mayor cantidad y viceversa.

- La gráfica se llama curva de demanda.

Ej. 1 ) La ecuación de demanda de un producto es: 3p + 2x = 60 Se pide determinar:

a.) ¿A qué precio se demandan 10 unidades?

b.) ¿A qué precio no se compra el producto?

c.) ¿Qué cantidad se demandaría si el producto fuese gratis?

d.) Graficar la curva.

Solución:

a.) 3p + 2(10) = 60 3p = 60 - 20 p = L. 13.33 b.) Si x = 0

3p + 2 (0) = 60 p = L. 20 c.) Si p = 0

3 ( 0) + 2x = 60 x = 30

d.)

2.) La función: 4p = -3x + 72 representa la demanda de un artículo, encontrar:

a.) El precio, si la cantidad demandada es: 8 y 12

b.) La cantidad demandada, si el precio es: L. 6.00 y L. 9.00 c.) ¿Qué cantidad se demandaría si el articulo fuese gratis?

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d.) ¿A qué precio no se demandaría el producto?

e.) Graficar la curva.

Algunos apuntes finales sobre Oferta y Demanda.

• Solo los segmentos que están en el primer cuadrante del plano cartesiano tienen sentido económico ya que no hay precio ni cantidad negativa.

• Una posible interpretación a un precio negativo sería que hay que pagarle a los compradores para que se lleven el producto.

• De manera similar, una oferta negativa podría indicar que los bienes no se hallan en el mercado ya sea porque no se producen o porque son retenidos hasta encontrar un precio más favorable.

• En tanto que una demanda negativa indicaría que los precios son tan altos que se impide toda actividad del mercado.

Ej. 1.) Determinar qué relación lineal representa cada una de las siguientes curvas: Oferta, demanda o ninguna (para contestar se requiere expresar la función en su forma: y = mx + b).

1.) 6x + 5p = 60 2.) 7x + 2p + 10 = 0 3.) 8x - 4p = 120

Ej. 2.) Si 20 unidades de un artículo se demandan a L. 15.00. Y 40 unidades se demandan a L. 10.00.

Hallar la razón promedio de cambio (pendiente) del precio respecto a la cantidad demandada.

m=Δ p

Δ x=p₂−p₁

x₂−x₁=10−15 40−20=−1

4

Y la ecuación lineal de Demanda se logra por la formula:

p− p₁=m( x−x₁)

Dónde:

(

^x1, p₁

)

es un punto de la curva.

Ej. 3.) Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas a un precio de L. 25.00 cada una, pero puede vender 30 rasuradoras a un precio de L. 21.00 cada una.

Hallar la ecuación lineal de demanda y graficar la curva.

m=25−21 20−30= 4

−10=−2 5 Luego, p− p1=m( x−x1) p−21=−2

5(x−30) p=−2

5 x+12+21 p=−2

5 x+33

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Trate de realizar usted solo los siguientes ejercicios:

1.) Una compaña ha analizado sus ventas y ha encontrado que sus clientes compran un 20% más de su producto por cada 2 Lempiras de reducción en el precio unitario. Cuando el precio es de L. 12.00 la compañía vende 500 unidades. Determinar la ecuación lineal de demanda y graficar la curva.

2.) A un precio de L. 800.00, un productor ofrece 200 quintales de frijoles a la semana; mientras que a un precio de L. 850.00, ofrece 300 quintales. Encontrar la ecuación lineal de oferta y graficar la curva.

Modelo de Costo Lineal.

En la producción de cualquier bien o servicio por una empresa, intervienen dos tipos de costos.

1.) Costos fijos: Son aquellos costos en que incurre la empresa sin importar el nivel al que se produce.

2.) Costos variables: Son aquellos costos que cambian por cada unidad producida.

Por tanto:

Costo total = costos fijos + costos variables C(x) = CF + CV ó Yc=mx+b Donde:

Y_c : Costo total

x: Número de unidades producidas b: Costos fijos

m: Cambio en el costo generado por un cambio en las unidades producidas.

Ej: 1.) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es 50 centavos y los costos fijos por día son de L. 300.00.

Encontrar :

a.) La función de costo total

b.) ¿Cuanto costara procesar 1,000 kilos de café por día?

c.) Graficar la curva de costo.

Solución:

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a.) Yc=0.50 x +300 b.) Y_c(1000)=0.50 (1000)+300 Y_c(1000)=L .800.00

2.) El costo total para producir 2,600 bloques es de L. 800.00. En tanto que el costo para producir 8,000 bloques es de L. 1,400.00. Hallar:

a.) La función lineal de costo

b.) ¿Cuantos bloques se producirían con L. 1,000.00?

c.) Graficar la curva de costo.

Equilibrio de Mercado.

El punto de equilibrio para un artículo ocurre en un precio cuando la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada. Este punto es la intersección de la curva de oferta con la curva de demanda.

Ej: 1.) Las ecuaciones de oferta y demanda de un artículo están dadas por: p = 3x+5 y p = 25 - 2x Encontrar:

a.) El precio y la cantidad de equilibrio de mercado b.) Graficar las curvas.

Solución:

a.) Oferta = Demanda 3x + 5 = 25 - 2x 5x = 20

x = 4 p = 3(4 ) + 5 p = 12 + 5 p = 17

PE = ( 4 , 17 )

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b.)

2.) Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto están dadas por : p=15

7 x +28 y 7 p +6 x=490 Hallar algebraicamente el precio y la cantidad de equilibrio de mercado y graficar las curvas.

Equilibrio del Productor.

Para un productor el punto de equilibrio ocurre cuando el ingreso total es igual al costo total. Es decir el punto donde no pierde ni gana. La ganancia se da cuando el ingreso es mayor que el costo y la pérdida se da cuando el costo es mayor que el ingreso.

Ej. 1) Una fábrica de aceite produce 30 toneladas de aceite a un costo de L. 1,400.00 y produce 70 toneladas a un costo de L. 2,500.00. Se pide:

a.) Encontrar la función lineal de costo

b.) Si cada tonelada se vende a L. 40.00. Hallar la función de ingreso c.) Determinar el punto de equilibrio de la fábrica.

d.) Graficar ambas curvas.

Solución:

a.) m=y₂−y₁

x₂−x₁=2500−1400

70−30 =1100

40 =27.5 Luego. y− y1=m(x −x₁)

y−1400=27.5 (x −30) C( x)=27.5 x +575 b.)

I(x) = 40x c.) I(x) = C(x)

40x = 27.5 x + 575 x = 46 toneladas.

PE = ( 46 , 1840 )

Comprobación: I(46 ) = C (46) ⇔ 40 (46 ) = 27.5(46) + 575 = L.1,840.00

(13)

d.)

2.) Para un agricultor los costos fijos son de L. 5,000.00 al mes y los costos variables son de L. 21.00 por unidad. Se pide:

a.) Determinar la función de costo.

b.) Si cada unidad de su producto se vende a L. 46.00. Cuántas unidades debe producir y vender para estar en equilibrio.

c.) Si se sabe que al menos venderá 180 unidades al mes cual deberá ser el precio de venta para no tener perdida.

Solución:

a.) C ( x )=CF+CV C( x)=5000+21 x b.) I(x)= 46x

I(x) = C(x) 46 x=5000+21 x 25x = 5000 x = 200 unidades.

c.) Px = 5000+21x

p (180 ) = 5000 + 21 ( 180 ) p ( 180 ) = 8,780

p = L. 48.78

3.) Para un fabricante de relojes el costo de mano de obra y materiales es de L. 15.00 y los costos fijos son de L. 2,000.00 al día.

a.) Si vende cada reloj a L. 20.00, cuantos relojes deberá producir y vender cada día para no tener perdida.

b.) Si se sabe que al menos se venderán 300 relojes por día que precio deberá fijarse para garantizar que no hay perdida.

Depreciación Lineal.

Es la reducción constante del valor de un activo hasta un valor de desecho al final del tiempo de vida

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útil estimado del activo.

Tasa de Depreciación (T.D.).

Es el valor que pierde el activo cada año de su vida útil.

T . D .=Valor inicial−valor de desecho tiempode vidautil(años )

Ej. 1.) Una empresa compro maquinaria por L. 150,000.00. Y se espera que la vida útil de la maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero.

Determinar:

a.) El monto de depreciación anual ( T. D. )

b.) La función que relaciona el valor depreciado después de “x” años.

c.) El valor de la maquinaria después del cuarto año.

Solución:

a.) T . D .=V_I−V_D T

T . D .=150.000−0 12

T . D .=12,500Lempiras

año

b.) V (x )=150,000−12,500 x c.) V (4 )=150,000−12,500 (4) V (4 )=L .100,000

2.) Una persona compro una computadora por L. 18,000.00. Con una vida útil de 5 años y un valor de rescate de L. 2,000.00. Obtener :

a.) La tasa de depreciación anual

b.) La función que relaciona el valor de la computadora a través del tiempo.

c.) El valor de la computadora después del tercer año.

Anotaciones sobre Funciones Cuadráticas.

Una función cuadrática es aquella en la que la incógnita (variable independiente) aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x²). Por ejemplo: f(x) = 3x² - 3x – 1. Por tanto su forma general es:

f(x)=

ax

²+

bx

+

c

Donde: a, b, c y son números reales siempre y cuando a ≠ 0.

Algunos datos adicionales sobre funciones cuadráticas:

• Su dominio son todos los números reales, y su rango también todos los números reales.

• Su gráfica en el plano cartesiano es una parábola. La concavidad de la gráfica depende del signo de “a”, así: si a < 0 =>  y si a > 0 => .

• Los interceptos en X están dados por la formula:

x= −b± √ ^b

²

⁻ ^{4 ac}

2 a

• El intercepto en Y es: Iy =

c

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• Vértice:

(

^−b_{2 a , f}(^−b_{2 a})

)

Solución a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (lineales y/o cuadráticas).

Para sistemas de dos incógnitas, una manera de encontrar la solución es mediante el método gráfico. Es decir, trazar las gráficas y observar en que punto o puntos se interceptan. Sin embargo, se pierde precisión al señalar los puntos de intercepción. Por tanto, se prefieren métodos algebraicos. Por suerte los métodos previamente mencionados de sustitución, reducción e igualación, también se pueden utilizar para obtener la respuesta a este tipo de sistemas. Con las siguientes consideraciones:

• Si las ecuaciones del sistema son solo lineales, puede haber una solución, no solución, o un número infinito de soluciones (para un sistema de dos ecuaciones lineales).

• Si el sistema esta formado por una función lineal y una cuadrática, las posibilidades son: Que el sistema tenga una única solución, que el sistema no tenga solución, y que el sistema tenga dos soluciones.

• Ahora si el sistema esta formado por dos ecuaciones cuadráticas, las posibilidades son: Que el sistema tenga una solución, que el sistema tenga dos soluciones, que el sistema no tenga solución, o que el sistema tenga infinitas soluciones.

Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas.

Curva de Demanda y Oferta Cuadrática.

Ej. 1.) Dadas las ecuaciones P=2+ 1 5x +x²

20; P=30−x

4 Determinar:

a.) ¿Cual representa una curva de demanda y cual una de oferta?

b.) Hallar algebraicamente el punto de equilibrio de mercado.

c.) Graficar ambas curvas.

Solución:

a.) Oferta: P=2+ 1 5x +x²

20 y Demanda: P=30−x 4 b.) Oferta = Demanda

⁹²⁻4 (3 )(−32)

2(3) p=−9 ±21.56

6 p=2.09

x=10 (2.09)+4 (2.09)² x=38.37

P.E. = ( 38.37 , 2.09)

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3.) ( x+5)( x +6 )=80 ; p=x 3+3

Curva de Transformación de Producto.

Una curva de transformación de producto es aquella que muestra las distintas cantidades de dos artículos que pueden producirse con los mismos recursos.

Ej. 1.) La curva y=60−x−1

2x² es una curva de transformación de producto. Hallar las mayores cantidades del articulo “x” y del articulo “y” que se pueden producir y graficar la curva.

Solución:

La mayor cantidad del articulo “y” que se puede producir es no produciendo “x” es decir si x = 0 por tanto:

y = 60

Del mismo modo la mayor cantidad del articulo “x” que se puede producir es no produciendo “y” es decir si y = 0 por tanto:

0=60−x−1 2x² x²+2 x−120=0 (x+12)( x−10 )=0 x=10

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Ej. 2.) La curva ( x – 20 )( y – 15) = 120 es una curva de transformación de producto, se pide:

a.) Obtener las mayores cantidades del producto “x” y “y” que se pueden producir.

b.) Si x = 2y que cantidades se pueden producir.

c.) Graficar la curva.

( x -20 )( y – 15 ) = 120 x = 2y

x y x y

0 9 8.7 4.35

12 0

Si x = 0 si y = 0 si x = 2y

(0 – 20)(y – 15) = 120 ( x – 20 )( 0 – 15 ) = 120 ( 2y – 20 )( y – 15 ) = 120 y = - 6 + 15 x = - 8 + 20 y²−25 y +90=0

y = 9 x = 12 y=−(−25)±

√

^{(−25 )}²^{−4 (1)(90)}

2(1)

y=25 ±16.3 2 y = 4.35 x = 2(4.35) x = 8.70

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3.) Una Industria de bicicletas produce dos tipos de bicicletas llamadas CORONADO (x ) y

ESTRELLA ( y ). Las cantidades posibles que puede producir al año en miles están relacionadas por la ecuación. _x²+y²+13 x +2 y−48=0 Se Pide:

a.) Hallar las mayores cantidades de bicicletas tipo “x” y tipo “y” que se pueden producir.

b.) Si la demanda de bicicleta tipo “x” es la de “y” más uno, que cantidades se deben producir.

Solución:

x = y + 1

x y x y

0 6 1,672 1,671

3 0

Si x = 0 si y = 0 si x = y + 1 y²+2 y −48=0 x²+13 x−48=0 (y +1)²+y²+13 ( y +1)+2 y−48=0

( y + 8 )( y – 6 ) = 0 ( x +16 )(x – 3 ) = 0 _{2 y}²+17 y −34=0 y = 6 x = 3 y = 1,671

x = 1,672

4.) El propietario de un huerto produce dos tipos de naranja, para mesa (x) y para fermentación (y). Las cantidades posibles en kilogramos que puede producir están relacionadas por la ecuación:

( x – 50 )(y -40 ) = 1000 se pide:

a.) Hallar las mayores cantidades de los dos tipos de naranjas que puede producir b.) Si la demanda del tipo de naranja para mesa es el doble que la demanda de la

naranja para fermentación que cantidades se deben producir.

Repaso sobre Derivadas.

La derivada de una función en un punto “x” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “x”.

Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor máximo o mínimo; es por esto que, como veremos posteriormente, la derivación tiene muchas aplicaciones en la economía.

Notación de Incrementos.

El símbolo matemático para denotar un cambio o incremento en “x” es: ∆ x que se lee “delta equis”. De modo que ∆ x=valor final – valor inicial

Ej: 1.) Hallar el ∆ x cuando “x” cambia de : a.) 40 a 60

∆ x=60−40

∆ x=20

b.) 100 a 85

∆ x=85−100

∆ x=−15

(20)

Del mismo modo el símbolo matemático para denotar un cambio o incremento en “y” es: ∆ y que se lee “delta y”. De modo que ∆ y=valor final – valor inicial

Ej: 2.) Sea y=20 x−0.4 x² hallar el ∆ x , ∆ y cuando x cambia de:

a.) 30 a 40 b.) 80 a 60

Solución:

a)

∆ x x y ∆ y

10 30 240 -80

40 160

b.)

∆ x x y ∆ y

-20 80 -960 720

60 -240

3.) Si y = 10 hallar el ∆ x , ∆ y cuando x cambia de 35 a 50

∆ x x y ∆ y

15 35 10 0

50 10

Esto muestra que los cambios o incrementos pueden ser: positivos, negativos o cero.

4.) Sea f ( x )=4+7 x +0.5 x² hallar el ∆ x , ∆ y cuando:

a.) x cambia de 5 a 12 b.) cuando x cambia de 140 a 210

5.) Un fabricante de un producto descubre que el costo de producir x artículos esta dado por la ecuación: C ( x )=0.001 x³−0.3 x²+40 x +1000

Determinar el incremento en el costo cuando las unidades producidas se incrementan de 50 a 60.

Razón Promedio de Cambio.

El cociente ∆ y

∆ x se conoce como la razón promedio de cambio de “y” respecto a “x”.

Ej: 1.) El ingreso semanal en Lempiras por la venta de x unidades de cierto articulo está dado por I(_x)_{=500 x−2 x}²

Determinar la tasa promedio de cambio del ingreso cuando las unidades vendidas se incrementan de 100 a 120 unidades.

∆ x x I(x) ∆ I

20 100 30000 1200

120 31200

(21)

I(100) = 500 (100)−2 (100)² I (120)=500(120 )−2 (120 )² I(100) = 30,000 I(120) = 31,200

∆ x=120−100=20 ∆ I=31,200−30,000=1,200

∆ I

∆ x=1,200

20 =60 Lempiras

Ej: 2.) El número de libras de duraznos (p) de buena calidad producidas por un árbol promedio en cierto huerto depende del número de libras de insecticida (x) con el cual el árbol fue rociado de acuerdo con la siguiente fórmula :

P=300− 100 1−x

Calcular la razón promedio de incremento del número de libras de duraznos cuando el número de libras de insecticida cambia de 0 a 3.

El ∆ x se puede definir de la siguiente manera: ∆ x=

(

^x1+∆ x

)

⁻^x1

y el ∆ y se puede definir de la siguiente manera: ∆ y=

(

^y1+∆ y

)

⁻^y1

de modo que ∆ y

∆ x=f

(

^x1+∆ x

)

^{−f (x}1)

∆ x es un cociente de dos incrementos que se conoce como la razón promedio de “y” respecto a “x” cuando “x” cambia de “x” a x1+∆ x .

Ej. 3.) Para un productor la función de costo para la producción de su producto esta dada por:

C ( x )=10+3 x +0.1 x² obtener:

a.) La razón promedio de cambio del costo cuando el número de unidades producidas cambia de x a x₁+∆ x

b.) La razón promedio de cambio del costo cuando el número de unidades producidas cambia de 100 a 150.

Solución:

a.) ∆ C

∆ x=C

(

^x1+∆ x

)

^{−C (x}1)

∆ x

∆ C

∆ x

∆ C

∆ x=10+3 x1+3 ∆ x+0.1 x12

+0.2 x1∆ x +0.1 ∆ x²−10−3 x−0.1 x²

∆ x

∆ C

∆ x=3 ∆ x +0.2 x1∆ x +0.1 ∆ x²

∆ x

∆ C

∆ x=3+0.2 x₁+0.1 ∆ x

b.) Aquí x1=100 ;∆ x=50 por tanto:

^{∆ C}

∆ x=3+0.2(₁₀₀)+0.1(50)

(22)

∆ C

∆ x=28 Lempiras

4.) La función de ingreso por la venta de x unidades de un artículo en Lempiras esta dada por:

I ( x )=30 x−0.02 x² Obtener:

a.) La tasa promedio de cambio del ingreso cuando las unidades vendidas cambian de x a x₁+∆ x

b.) La tasa promedio de cambio del ingreso cuando las unidades vendidas cambian de 60 a 80 5.) Una empresa tiene utilidades en la producción y venta de un producto según la ecuación:

U ( x )=−25+ 3 x −0.03 x² Obtener:

a.) La razón promedio de la utilidad respecto al número de unidades producidas y vendidas cuando estas cambian de x a x₁+∆ x

b.) La razón promedio de cambio de la utilidad cuando las unidades producidas y vendidas cambian de 50 a 60.

La Derivada.

La primera derivada de “y” respecto a “x” es el límite de la razón promedio de cambio de “y” respecto a “x” cuando ese cambio se hace muy pequeño. La primera derivada de “y” respecto a “x” se denota por alguna de las siguientes formas:

dy

dx;f¹(x ); D_xy etc . De modo que: dy

dx=lim

∆ x → 0

Δ y Δ x=lim

∆ x→ 0

f ( x+∆ x )−f (x)

∆ x Reglas para la Derivación.

1.) Si y = k donde “k” es una constante, => dy dx=0 2.) y=xⁿ para n R =>∈ dy

dx=n xⁿ⁻¹

3.) y=u+v donde u=f ( x ); v=g(x ) => ^dy dx=du

dx+dv dx 4.) y=u⋅v donde u=f ( x ) ; v =f (x ) => dy

dx=udv dx+vdu

dx

5.) y=u

v donde u=f(x); v=f (x) => ^dy dx=

vdu dx−udv

dx v²

6.) y=uⁿ donde u=f (x ) => dy

dx=nuⁿ⁻¹du dx 7.) y=log_au donde u=f (x ) => dy

dx=log_ae u .du

dx

(23)

8.) y=lnu donde u=f (x ) => dy dx=1

u.du dx 9.) y=a^u donde u=f (x ) => dy

dx=a^uln a .du dx 10.) y=e^u donde u=f (x ) => ^dy

dx=e^u.du dx Nota: Pendiente agregar algo sobre derivación implícita.

Obtener la primer derivada de “y” respecto a “x”de las Siguientes Funciones.

a.) y=x³

3−5 x²+3 x−4 R: dy

dx=x²−10 x +3 b.) y=−10+40 x−0.03 x² R: dy

dx=40−0.06 x c.) y=

√

³^{6 x−5}

d.) y=log₂(4 x−3)⁴ e.) y=ln

(

^{x −3}x+2

)

⁵

f.) y=e^x³ g.) x=

√

^{2−5 y}

h.) 3 x+ y²= 6 x + y

Aplicaciones de la Derivada a la Economía.

La Derivada tiene muchas aplicaciones en la Economía y Administración en lo que se refiere a la construcción de tasas marginales. La palabra marginal significa una tasa promedio de cambio que es la derivada.

Costo Marginal.

Se define como el incremento en el costo total por cada unidad adicional que se produce.

Matemáticamente se denota:

CMg= lim

∆x → 0

∆ C

∆ x CMg= lim

∆ x → 0

C (x +∆ x )−C( x)

∆ x CMg=dc

dx

Ej: 1.) Dada la función de costo total C(_x)_{=0.001 x}³_{−0.3 x}²₊_{40 x +1000} Determinar:

a.) La función de costo marginal

b.) El costo marginal cuando se producen: 50, 100, 150 unidades.

(24)

c.) La función de costo promedio Solución:

a.) CMg=0.003 x²−0.6 x+40

b.) Si x = 50 => CMg (50)=0.003 (50 )²−0.6 (50)+40 => CMg (50)=17.50 Si x=100 => CMg (100)=0.003 (100 )²−0.6 (100)+40 => CMg (100)=10 Si x = 150 => CMg (150)=0.003 (150 )²−0.6 (150)+40 => CMg (150)=17.50 Observaciones / Conclusiones:

Las siguientes observaciones asumen que el análisis se efectúa en el corto plazo.

- El costo marginal decrece cuando la producción se incrementa de 50 a 100 unidades. Esto es frecuente cuando la producción aumenta a partir de valores pequeños. Es decir baja el costo promedio por el pequeño incremento en la producción.

- Después de cierto punto el costo marginal se incrementa (cuando la producción aumenta de 100 a 150 unidades). Este fenómeno se da cuando la producción se hace grande y la capacidad de las unidades de producción fijas es insuficiente en relación las unidades de producción

variables. Entonces la empresa tiene que invertir en nuevo equipo, maquinaria, horas extras etc.

Así que el costo marginal primero decrece y después aumenta.

- El costo marginal de 17.50 significa que cuando se producen 50 unidades el costo total se incrementa en 17.50 por unidad adicional. Lo que informalmente se puede decir que el costo de producir la unidad 51 es 17.50

c.) Costo Promedio= CostoTotal

numerode unidades producidas.

CP=CT

x =0.001 x³−0.3 x²+40 x +1000 x

CP=0.001 x²−0.3 x+40+1000 x

2.) La función de costo total para un fabricante de un producto es:

C ( x )=0.03 x²+7 x+60 Encontrar:

a.) La función de costo marginal.

b.) El costo marginal cuando se producen 130 unidades.

c.) El costo real al producir la unidad 131.

Solución:

a.) CMg=0.06 x+7

b) CMg (130)=0.06 (130)+7 => CMg (130)=14.80 c) CReal (131) = CReal (131) - CReal (130)

C (131)=

[

^0.03(131)²⁺^{7 (131)+60}

]

⁻

[

^{0.03 (130)}²⁺^{7 (130)+60}

]

C (131)=14.83

(25)

3.) Para una empresa el costo total en la fabricación de un producto está dado por la función : C ( x )=20 x−0.06 x²+0.0002 x³ Determinar:

a.) La función de costo promedio

b.) El número de unidades que debe fabricar para minimizar el costo promedio c.) El costo promedio mínimo

Solución:

a.) CP=C(x )

x =20 x−0.06 x²+0.0002 x³ x

CP=20−0.06 x+0.0002 x² b.) CP¹=−0.06+0.0004 x=0

x=150

c.) CP_min=20−0.06(150)+0.0002(150)² CPmin=15.50

4.) Una empresa tiene costo total en la producción de un producto según la ecuación C ( x )=x³−6 x²+14 x+5 Hallar:

a.) La función de costo marginal

b.) El costo marginal cuando se producen 70 unidades c.) El costo real al producir la unidad 71

Ingreso Marginal.

El ingreso marginal es el incremento en el ingreso total por cada unidad adicional que que se vende.

Dicho de otra manera es la tasa con la que crece el ingreso con respecto al incremento en el volumen de ventas.

Cuando el ingreso marginal es igual a cero el ingreso total es máximo.

IMg= lim

∆ x →0

∆ I

∆ x IMg= lim

∆ x →0

I ( x +∆ x )−I (x )

∆ x IMg=dI

dx

Ej: 1.) El ingreso en Lempiras por la venta de x artículos de una empresa esta dado por la ecuación:

I(_x)=10 x−0.01 x² Determinar:

a.) El número de unidades que se deben vender para obtener un ingreso máximo b.) El ingreso máximo

c.) El ingreso marginal cuando se venden 200 unidades d.) El ingreso real al vender la unidad 201

Solución:

(26)

a.) IMg=10−0.02 x=0

b.) I (500)=10 (500 )−0.01 (500)² I(500)=2,500

c.) IMg(200 )=6

d.) IReal(201 )=I (201)−I (200)

IReal=

[

¹⁰⁽²⁰¹⁾⁻^0.01⁽²⁰¹⁾²

]

⁻

[

¹⁰⁽²⁰⁰⁾^−0.01⁽²⁰⁰⁾²

]

IReal=1,605.99−1,600.00 IReal=5.99

La función de ingreso puede escribirse de la siguiente manera: I(x) = P · X donde: “P” es el precio del producto y “x” es el número de unidades vendidas.

Esto muestra que existe una relación entre el precio y la cantidad que se llama demanda cuanto más bajo sea el precio del producto, más unidades pueden venderse y cuanto mas alto sea el precio, menor será el volumen de ventas.

2.) La función de demanda de un artículo está dada por: x = 1000 – 100 P Determinar:

a.) El ingreso marginal al vender 300 unidades b.) El ingreso real al vender la unidad 301 Solución:

a.) I( x)=P⋅X Demanda : x=1000−100 P 100 P=1000−X

P=10−0.1 X I(x) = X( 10 – 0.01X)

I ( x )=10 x−0.01 x² IMg=10−0.02 x

IMg(300 )=4 significa que cuando se venden 300 unidades cualquier incremento en las ventas provoca un aumento en el ingreso de 4 Lempiras por unidad.

b.) IReal(301 )=

[

10 (301)−0.01 (301)²

]

⁻

[

10 (300)−0.01 (300 )²

]

IReal=3.99

3.) El ingreso mensual por la venta de “x” artículos en cierta empresa está dada por:

I ( x)=12 x−0.03 x² Determinar:

a.) El número de unidades que maximizan el ingreso b.) El ingreso máximo

c.) El ingreso marginal al vender 180 unidades y analice el resultado.

Utilidad Marginal.

La utilidad que una empresa obtiene está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos.

U(x)=I(x)−C (x) y la UMg=dU dx

(27)

La utilidad marginal representa la utilidad adicional por articulo cuando la producción y venta sufre un pequeño incremento.

Ej: 1.) La ecuación de demanda de cierto artículo es P + 0.1x = 80 y la ecuación de costo de producir dicho artículo es: C(x) = 5000 + 20 x Obtener:

a.) La función de Utilidad.

b.) La utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades.

c.) El número de unidades que se deben producir y vender para maximizar la utilidad d.) La utilidad máxima

e.) La utilidad marginal cuando se producen y venden 400 unidades.

Solución:

a.) I ( x )=x (80−0.1 x ) Demanda: p=80−0.1 x I ( x )=80 x−0.1 x²

U ( x)=

(

80 x−0.1 x²

)

−(5000+20 x ) U(_x)_{=−0.1 x}²_{+60 x−5000} b.) UMg=−0.2 x+60

UMg (150)=−0.2 (150)+60

UMg (150)=30 Significa que cuando se producen y venden 150 artículos cualquier aumento en la producción y venta provoca una utilidad de 30 Lempiras.

c.) −0.2 x +60=0 => x=−60

−0.2 => x=300

d.) U (300)=−0.1 (300)²+60 (300)−5000 => U (300)=4000 Lempiras.

e.) UMg (400)=−0.2 ( 400)+60 => UMg (400)=−20 Significa que después de las 400 unidades la empresa pierde 20 Lempiras por cada unidad extra que produzca y venda.

2.) Para cierto articulo la función de demanda es P = 5 – 0.001x y la función de costo es:

C(x)= 2800 + x Determinar:

a.) El número de unidades que hay que producir y vender para maximizar la utilidad. R/. 2000

b.) La utilidad máxima R/. 1200

c.) A qué precio ocurre la máxima utilidad. R/. 3 lps

3.) Una empresa tiene costos mensuales fijos de 2,000 Lempiras y el costo variable de su producto es de 25 Lempiras por unidad. Si el ingreso obtenido por vender “x” unidades es: I ( x )=60 x−0.01 x² Determinar:

a.) La función de utilidad

b.) El volumen de producción que maximiza la utilidad.

c.) La utilidad máxima.

(28)

Problemas de Extremos Absolutos.

1.) El costo de producir “x” artículos por semana es: C ( x )=1000+6 x−0.003 x²+10⁻⁶x³ pero no mas de 3000 artículos pueden producirse por semana . si la ecuación de demanda es P = 12 - 0.0015x Hallar:

a) El nivel de producción que maximiza el ingreso R/. 3000 b) El nivel de producción que maximiza la utilidad R/. 2000

2.) La ecuación de demanda del producto de una compañía es P = 200 – 1.5 x en donde x unidades pueden venderse a un precio de p Lempiras cada una. Si le cuesta a la compañía C(x) = 500 + 65 x producir x unidades por semana, ¿Cuántas unidades deberá producir y vender por semana con el objeto de maximizar la utilidad? Si la capacidad de producción es a lo mas:

a.) 60 unidades b.) 40 unidades Tasas Relacionadas.

Si y = f(x) y supóngase que “x” varia como una función del tiempo, así dado que “y” es una función de “x” entonces “y” también variara con el tiempo. De ahí que: dy

dt=dy dx.dx

dt muestra una relación directa entre las dos tasas dy

dt ydx dt

Ej: 1.) Una empresa tiene la función de costo C ( x )=10+8 x−1

5x² donde “x” es el nivel de

producción. Si este nivel de producción es 12 unidades actualmente y está creciendo a una tasa de 0.3 por año. Obtener la tasa en que los costos de producción se están elevando.

dc dt=dc

dx.dx

dt sabemos que: x=12 y dx dt =0.3 ^dc

dt=

(

⁸⁻²5x

)

⁽^0.3⁾^dcdx=

(

⁸⁻²5 x

)

dc

dt=

(

⁸⁻²5(12)

)

⁽^0.3)

dc

dt=0.96 Lempiras por año

2.) Un fabricante de cierto producto tiene una función de ingreso I ( x )=20 x−0.03 x²

Si las ventas son actualmente 150 unidades y están creciendo a una tasa de 5 unidades por mes. Hallar la tasa a la que está creciendo el ingreso.

dI dt=dI

dx.dx

dt sabemos que: x=150 y dx dt=5 dI

dx=(20−0.06 x )

(29)

dI

dt=(20−0.06 x ) (5) ^dI_dt=(20−0.06(₁₅₀))⁽5) dI

dt=55 Lempiras por mes

3.) La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2 P + x = 300 en donde “x” unidades pueden venderse a un precio de “P” Lempiras. Si los costos de la compañía son: C ( x )=225+60 x para producir “x” unidades cuando la demanda alcanza las 40 unidades y la demanda se incrementa a una tasa de 2 unidades por año. Determinar la tasa a la que está cambiando la utilidad. R/

dU

dt =100 Lempiras por año Ingreso Per Cápita.

El ingreso per cápita (y) de un país es igual al producto nacional bruto(s) sobre el tamaño de la población (p).

y=s p

Ej: 1.) El producto nacional bruto está aumentando con el tiempo según la formula s=100+t en miles de millones de Lempiras. La población en el instante “t” es: p=75+2 t (millones). Hallar la tasa de cambio del ingreso per cápita en el instante “t”.

y=S P y=100+t

75+2 t

tasa de cambio= y¹=(75+2 t) (1)−(100+t ) (2) (75+2 t )²

tasa de cambio=− 125 (75+2 t )² Derivadas Parciales.

Sea Z = f ( x , y ) La derivada de Z respecto a “x” se denota: Zx;dz

dx; fx(_{x , y}) Cuando

evaluamos la derivada de Zx las demás variables se mantienen constantes. Así mismo la derivada de Z respecto a “y” se denota: Zy;dZ

dy;f_y(x , y ) Cuando evaluamos la derivada Zy las demás variables se mantienen constantes.

Ej: Evaluar en cada función Zx; Z_y 1.) Z =x²+xy + y²

Z_x=2 x+ y

(30)

Z_y=x+2 y

2.) Z =x⁴+y⁴+3 x²y² Z_x=4 x³+6 x y² Z_y=4 y³+6 x² y 3.) Z =(2 x +3 y )⁷

Z_x=7 (2 x +3 y )⁶(2) Z_x=14 (2 x+3 y )⁶ Z_y=21(2 x +3 y )⁶ 4.) Z =ln

(

x²+y²

)

Z_x= 1

x²+y². (2 x ) Zx= 2 x

x²+y² Zy= 2 y

x²+y² Productividad Marginal.

La producción total del producto de una empresa depende de un gran número de factores los cuales la empresa a menudo tiene flexibilidad de modificar. Dos de los dos factores más importantes son:

- La cantidad de mano de obra empleada por la empresa y - El monto del capital invertido en edificios y maquinaria.

Si L representa el número de unidades de mano de obra empleada por la empresa (digamos horas- hombre) por año o Lempiras gastados por año en salarios). Y sea K el monto del capital invertido en la planta productiva de la empresa; entonces la producción (P) por mes de la empresa es una función de L y K. Así: P = f( L , k ) esta función se conoce como función de producción de la empresa y “L” y “K”

son insumos de producción, es decir variables que afectan la producción.

La derivada parcial dP

dL se conoce como la productividad marginal de la mano de obra y mide el incremento en la producción generado por un incremento unitario en la mano de obra cuando el capital se mantiene fijo.

Y la derivada parcial dP

dK se conoce como la productividad marginal del capital; y en forma análoga mide el incremento en la producción generado por el incremento unitario en el capital invertido cuando la mano de obra se mantiene constante.

Ej: La función de producción de cierta empresa está dada por: P=5 L+2 L²+3 LK +8 K +3 K² donde L es la mano de obra empleada en miles de horas – hombre por semana. K el monto del capital invertido medido en miles de Lempiras por semana y P la producción semanal en miles de artículos.

(31)

Determinar:

Las productividades marginales cuando L= 5 y K = 12 P_L=5+4 L+3 K

P_L(5,12 )=5+4 (5)+3 (12) P_L(5,12 )=61

P_K=3 L+8+6 K

P_K(5,12)=3 (5 )+8+6 (12) P_k(5,12)=95

Conclusiones:

- La producción se incrementa en 61,000 artículos semanales por cada 1,000 horas-hombre adicionales de mano de obra empleada cuando el capital se mantiene constante.

- La producción se incrementa en 95,000 artículos por semana por cada 1,000 Lempiras

adicionales de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando la mano de obra se mantiene constante.

Extremos Locales de una Función.

Se refiere a los valores “x”, “y” que dan un máximo o un mínimo de una función.

Procedimiento para obtener los Extremos Locales de una Función.

1.) Obtener Zx, Z_y

2.) Hacer Zx=0 , Z_y=0

3.) Resolver simultáneamente para x , y 4.) Decidir el extremo local ( x , y ) Optimización de Derivadas Parciales.

un punto critico de la función f( x , y ) para lo cual

f_x

(

^x0, y₀

)

^=fy

(

^x0, y₀

)

=0 entonces ∆(x , y)=f_xx(x , y). f_yy(x , y)−

[

^fxy(x , y)

]

mínimo.

b.) Si ∆

(

^x0, y₀

)

>0 entonces f_xxy f_yy tienen el mismo signo en

(

^x0, y₀

)

Ej: Sea f ( x , y )=x²+2 xy +2 y²+2 x−2 y hallar el extremo local ( x , y ) f_x=2 x+2 y +2

x+ y=−1 x=−1− y x=−3

f _y=2 x +4 y−2 x+2 y =1 −1− y +2 y=1 y=2

P.C.=( -3, 2 ) f_xx=2>0 f _yy=4>0 f_xy=2>0

∆

(

^x0, y₀

)

^=fxx. f_yy−

(

^fxy

)

²

∆ (−3,2 )=(2) (4 )−(2)²

∆ (−3 , 2)=4 >0 por tanto f( x , y ) tiene un mínimo local en ( -3, 2 )

Mínimo local:

f (−3 , 2)=(−3)²+2(−3) (2)+2 (2)²+2 (−3)−2(2) f (−3 , 2)=−5

Problema:

Una empresa utiliza dos tipos de materia prima A, B en su producto usando “x” unidades de A y “y”

unidades de B. La empresa puede elaborar “P” unidades del producto con:

P=0.52 x +0.48 y +0.12 xy−0.07 x²−0.06 y² si el costo de cada unidad de A es 5.10 Lempiras. Y el costo de cada unidad de B es 1.80 Lempiras. Y la empresa puede vender cada una de las unidades que produce a 15 Lempiras. ¿Qué cantidades de A , B deberá utilizar la empresa para maximizar la utilidad?

Solución:

I ( x , y )=precio x cantidad

(33)

I ( x , y )=15

(

0.52 x +0.48 y +0.12 xy−0.07 x²−0.06 y²

)

I ( x , y )=7.8 x+7.2 y +1.8 xy−1.05 x²−0.90 y² ; C ( x , y )=5.10 x+1.80 y U(x , y)=I(x , y)−C (x , y )

U ( x , y )=7.8 x +7.2 y+1.8 xy −1.05 x²−0.90 y²−5.10 x−1.80 y U(_{x , y})=2.7 x +5.4 y +1.8 xy −1.05 x²−0.90 y²

U_x=2.7+1.8 y−2.1 x 1.8 y−2.1 x=−2.7 1.8 y=2.1 x−2.7 U_y=5.4 +1.8 x−1.8 y −1.8 y +1.8 x=−5.4 1.8 y=1.8 x+5.4 2.1 x −2.7=1.8 x +5.4 x=27 ; y=30

Extremos Locales con Restricción.

Ej: sea f ( x , y )=3 x+2 y sujeta a la restricción x²+y²=13 hallar los extremos locales.

Planteamos f ( x , y , δ )=f ( x , y )+δg(x , y ) f ( x , y , δ )=3 x+2 y+δ(x²+y²−13) f_x=3+2 δx

3+2 δx=0 x=−3

2 δ f _y=2+2 δy 2+2 δy=0 y=−1

δ

f_δ=x²+y²−13 x²+y²=13

(

⁻³2 δ

)

²⁺

(

⁻¹δ

)

²⁼¹³

9 4 δ²+ 1

δ²=13 9+4=52δ² δ²=1

4

)

Una compañía destina su planta en la elaboración de dos tipos de productos A, B y obtiene una utilidad de 4 Lempiras por unidad de A y 6 Lempiras por unidad de B. Las unidades producidas de los dos tipos de productos están restringidas por la ecuación de transformación de producto :

x²+y²+2 x +4 y−4=0

Donde “x” unidades de A y “y” unidades de B se producen en miles por semana.

Hallar las cantidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la utilidad y la utilidad máxima.

Solución:

U ( x , y )=4 x +6 y ; g ( x)=x²+y²+2 x+4 y −4 U ( x , y , δ)=4 x +6 y – δ(x²+y²+2 x +4 y−4) U ( x, y , δ)=4 x+6 y−δ x²−δ y²−2 δx−4 δy+4 δ

U_x=4−2 δx−2 δ=0 2 δx+2 δ=4

2 δ[x+1]=4 δ= 2

x +1 U_y=6−2 δy−4 δ=0 2 δy+4 δ=6

(35)

2 δ[y +2]=6 δ= 3

y+2 Entonces: 2

x +1= 3 y+2 y=3 x−1

2 y Uδ=−x²−y²−2 x−4 y +4=0 Por tanto: x²+

(

^{3 x −1}2

)

²⁺^{2 x +4}

(

^{3 x−1}2

)

⁻⁴⁼⁰

Reduciendo a: 13 x²+26 x−23=0

Aplicando formula cuadrática: x=−26 ±

√

⁽²⁶⁾²−4 (13)(−23) 2(13)

x=−26 ±

√

1872 26 x=−26 ± 43.27

26 x=0.664 y=3 (0.664 )−1

2 y=0.496 y=0.496 x 1000 x=0.664 x 1000

x= 664 unidades y y= 496 unidades.

U (664,496)=4 (664 )+6(496)

U_{max .}=5,632 Lempiras

(36)

II UNIDAD

Álgebra Matricial y Aplicaciones

(37)

Vectores.

Se define un vector como un conjunto ordenado ya sea en forma de renglón o de columna Vector Renglón de N Componentes o N-Dimensional.

Es un conjunto ordenada de “n” números escritos de la siguiente forma:

(

^x1, x₂, x₃,… . , x_n

)

donde:

x1: es la primera componente x2: es la segunda componente x3: es la tercera componente xn: es la enésima componente

Ej: (30 ,10 ,28 ) es un vector renglón de 3 componentes.

(

¹2, 0 , 3.28 ,−4

)

es un vector renglón de 4 componentes.

Vector Columna de N Componentes o N-Dimensional.

Es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente forma :

(

^x^x^x^x^⋮¹²³n

)

donde:

x₁: primera componente x₂: segundacomponente x₃:tercera componente x_n:enesima componente

Ej:

[

²⁴⁵⁰⁸⁶

]

es un vector columna de 3 componentes

[

⁻²⁴⁵⁵⁸⁰

]

es un vector columna de 4 componentes.

Cualquier vector con todas sus componentes igual a cero se llama vector cero.

Ej:

[

0, 0, 0, 0

]

es un vector renglón cero de 4 componentes.

Notación de Vectores.

Los vectores se denotan con letras minúsculas, con fuerte sombreado así:

a, b, c, …, u, v, w etc.

El vector cero se denota con 0

Ej: El administrador de una planta manufacturera compro: 10 unidades de acero , 30 unidades de aluminio, 50 unidades de aceite y 15 unidades de papel. Se pide ordenar estas compras con un vector renglón y un vector columna.

(38)

Vector columna Vector renglón

acero aluminio

aceite

2 x=3 ;−5 y=−15 x=−6 ; y=3

b.)

[

^{2 x}^y¹²²

]

⁼

^[

^{3 z −12}²³^{4 y}^{x +4}

^]

2 x =2

3x+ 4 ; y²=4 y ;1

2=3 z−12 ⁴

3 x=4 ; y²−4 y =0 ;−3 z=−25 2 x=3 ; y={0 , 4}; z=25

6 Suma de Vectores.

Dos vectores se pueden sumar si son vector renglón o vector columna y además si tienen el mismo número de componentes.

Así: Sean los vectores

MANUAL DIDACTICO DE ECONOMIA MATEMATICA EA-210

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL DEL LITORAL ATLANTICO

CARRERA DE ECONOMIA AGRICOLA