EC 2322 Diagrama de Smith pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. 3.5. EL DIAGRAMA DE SMITH. 3.5.1 Definición y construcción del diagrama de Smith El diagrama de Smith es un sistema de coordenadas y escalas auxiliares que permite, entre otras cosas, presentar simultáneamente en el plano complejo el coeficiente de reflexión y la impedancia normalizada zˆ = Zˆ / Z 0 . El diagrama de Smith se construye en base a los lugares geométricos de Γˆ = ρ 0 (cte) para 0 ≤ ρ 0 ≤ 1 , arg(Γˆ ) = φ 0 (cte) para − 180 ≤ φ 0 ≤ 180° , Re( zˆ ) = r0 (cte) para 0 ≤ r0 < ∞ e Im( zˆ ) = x0 (cte) para − ∞ < x0 < ∞ en el plano complejo de Γ̂ . Puede demostrarse que los lugares geométricos de Re( zˆ ) = r0 (cte) en el plano de Γ̂ son circunferencias de radio (1 + r0 )−1 y centro en el punto. (r0 / (1 + r0 ), 0 ) . Por su parte, los lugares geométricos de. Im( zˆ ) = x0 (cte) en el. plano de Γ̂ son circunferencias de radio 1 / x0 y centro en el punto (1, 1 / x0 ). En la figura 3.12 se muestran los principales lugares geométricos específicos del diagrama de Smith ( r0 = 0 , r0 = 1, x0 = 0 , x0 = 1 y x0 = −1 ) así como algunos lugares geométricos no específicos. Los principales lugares geométricos específicos dividen al diagrama de Smith en ocho regiones: cuatro por encima del eje real, correspondientes a impedancias inductivas, y cuatro por debajo del eje real, correspondientes a impedancias capacitivas. Cabe destacar que el infinito queda ubicado en el punto (1, 0).. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 1.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Fig. 3.12: Algunos lugares geométricos del diagrama de Smith Una de las características del Diagrama de Smith que debe tenerse en cuenta es que su resolución no es constante, pudiéndose apreciar con más precisión los valores de impedancia que están entre las circunferencias r0 = 0 y r0 = 1 que los que están dentro de ésta última. En el Diagrama de Smith no se representan todos lugares geométricos correspondientes. a. Γˆ = ρ 0 (cte). (circunferencias. concéntricas). ni. a. arg(Γˆ ) = φ 0 (cte) (líneas radiales), ya que su presencia contribuiría a complicar el diagrama. Sólo se representan los valores de ρ 0 y de φ0 de interés para el usuario, utilizando para ello escalas auxiliares del diagrama, como se explica en la siguiente sección.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 2.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. 3.5.2 Uso del diagrama de Smith El diagrama de Smith puede usarse para las siguientes aplicaciones. && = ρ 0 ∠φ0 , hallar la a) Dado el coeficiente de reflexión en forma polar Γ. impedancia normalizada correspondiente. Para esto primero se procede a ubicar el valor ρ 0 en la escala “Magnitude of reflection coefficient” ubicada en la parte inferior izquierda del diagrama. Luego se mide con un compás la distancia entre el punto ρ 0 y el punto identificado como “center” (esta distancia es el radio de la circunferencia Γˆ = ρ 0 ) y se traza sobre el diagrama una circunferencia con centro en el centro del diagrama. Después se ubica el valor de φ0 en la escala circular “Angle of reflection coefficient” ubicada en el borde del diagrama, y se traza un segmento de recta desde ese punto hasta el centro del diagrama. La intersección del segmento de recta con la circunferencia trazada && = ρ 0 ∠φ0 en el plano previamente es el coeficiente de reflexión Γ. complejo. Es posible que sea necesario aproximar o interpolar la ubicación de ρ 0 ó de φ0 en el diagrama de Smith, por la resolución de éste. En la figura 3.13 de la siguiente página se muestra la representación de && = 0,5∠60° . Γ. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 3.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES 90 120. 60. Escala Angle of reflection coefficient. Γ. 150. φ 0=60°. 30. ρ0=0,5 +180 -180. 0. -150. -30. -120. -60 -90. 1.0. Escala Reflection coefficient. 0.5 CENTER. && = 0,5∠60° en el diagrama de Smith. Fig. 3.13: Representación de Γ b) Representar una impedancia dada. Supóngase que se desea representar a la impedancia Zˆ = 30 − j 40 Ω en una línea de transmisión de 50 Ω de impedancia característica. En primer. lugar,. se. debe. calcular. la. impedancia. normalizada:. zˆ = (30 − j 40 Ω ) / 50 Ω = 0,6 − j 0,8 . Luego hay que buscar los arcos de circunferencia correspondientes a r0=0,6 y a x0=−0,8. Los distintos valores de r0 pueden leerse en el eje real, mientras que los valores de x0 se leen en el borde del diagrama. Una vez ubicados los arcos de circunferencia, se busca el punto de intersección, que corresponde a zˆ = 0,6 − j 0,8 , como se muestra en la figura 3.14 de la próxima página. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 4.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Fig. 3.14: Representación de la impedancia normalizada zˆ = 0,6 − j 0,8 . c) Dada la impedancia normalizada, hallar el coeficiente de reflexión correspondiente. Supóngase que se desea obtener el coeficiente de reflexión correspondiente a la impedancia del ejemplo anterior, en el que zˆ = 0,6 − j 0,8 . Una vez representada la impedancia normalizada, se traza un segmento de recta que parta del centro del diagrama, pase por el punto de la impedancia y llegue hasta la escala de ángulo del coeficiente de reflexión. Allí se lee el ángulo del coeficiente de reflexión, que en este caso es –90°. Se traza con el compás una circunferencia que pase por el. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 5.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. punto de la impedancia, se traslada el radio a la escala de amplitud del coeficiente de reflexión y se determina el módulo del coeficiente de reflexión, que en este caso es 0,5. Entonces el coeficiente de reflexión correspondiente a zˆ = 0,6 − j 0,8 es && = 0,5∠ − 90° , como puede verse en la figura 3.15. Γ. Fig. 3.15: Coeficiente de reflexión correspondiente a zˆ = 0,6 − j 0,8 d) Dada la impedancia normalizada, hallar la admitancia normalizada (y viceversa). La admitancia normalizada es el inverso de la impedancia normalizada:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 6.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. ˆ  z + λ  1 + Γ Z λ 1 1 − Γˆ ( z ) 1 + Γˆ ( z ) e 4   = 0 = = = yˆ ( z ) = = zˆ z +  λ  zˆ( z ) Zˆ ( z ) 1 + Γˆ ( z ) 1 − Γˆ ( z ) e j180° 4  1 − Γˆ  z +  4  j180°. De acuerdo con este resultado, la admitancia normalizada es la impedancia. normalizada. rotada. 180°. (λ/4). sobre. la. misma. circunferencia de coeficiente de reflexión. De la misma manera, la impedancia normalizada es la impedancia normalizada rotada 180° (λ/4) sobre la misma circunferencia de coeficiente de reflexión. Por lo anterior, la impedancia normalizada y la admitancia normalizada quedan diametralmente opuestos sobre la circunferencia de coeficiente de reflexión, por lo que para obtener uno a partir del otro basta con trazar la circunferencia de coeficiente de reflexión que pasa por el punto que se tiene como dato y trazar un segmento de recta que pase por el punto conocido y por el centro hasta que corte de nuevo a la circunferencia. El nuevo punto de corte es la admitancia o impedancia normalizada buscada, según el caso. Es importante mencionar que para hallar la admitancia absoluta es necesario dividir el valor de la admitancia normalizada por Z0. De la misma manera, la admitancia normalizada es la admitancia absoluta multiplicada por Z0.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 7.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. e) Dada la impedancia normalizada, la admitancia normalizada o el coeficiente de reflexión en un sitio dentro de una LTU, hallar la impedancia normalizada, la admitancia normalizada o el coeficiente de reflexión en otro sitio dentro de la misma LTU. El procedimiento a aplicar se basa en trasladar el coeficiente de reflexión de un sitio a otro dentro de un segmento de LTU. Por lo tanto, el primer paso es hallar el coeficiente de reflexión del punto inicial. Cabe mencionar que si el dato es la admitancia, el coeficiente de reflexión debe leerse donde está la impedancia normalizada correspondiente. Una vez que se tiene ubicado el coeficiente de reflexión del punto inicial, se traza la circunferencia correspondiente (si ésta no fue trazada como parte del paso anterior). Se debe tener claro si el punto final se encuentra hacia la carga o hacia el generador con respecto al punto inicial, porque esto determina cuál de las escalas de longitud de onda va a utilizarse (longitudes de onda hacia el generador o longitudes de onda hacia la carga). A continuación y a manera de ejemplo, se halla el coeficiente de reflexión que se obtiene al trasladar el punto de impedancia normalizada zˆ = 0,6 − j 0,8 una distancia de λ/6 hacia el generador en una línea sin pérdidas. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 8.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. En primer lugar, se traza un segmento de recta que parta del centro del diagrama y pase por el punto de la impedancia hasta que corte la escala “wavelenghts toward generator”, la cual es concéntrica con la de ángulo de coeficiente de reflexión. Allí se lee el valor de longitud de onda que corresponde al punto inicial: λinicial=0,375λ. Al valor obtenido de λinicial se le suma la distancia que separa al punto inicial del punto final (d=λ/6=0,167λ), obteniéndose λfinal=0,542λ, que equivale a 0,042λ (como el resultado dio mayor que 0,5λ hay que restarle esta cantidad). Este punto se ubica sobre la escala “wavelenghts toward generator” y se traza un segmento de recta que parta de allí hasta el centro del diagrama de Smith, donde el segmento de recta corta con la circunferencia del coeficiente de reflexión está el coeficiente de reflexión. final,. que. para. el. ejemplo. en. cuestión. es. Γˆ (−0,167λ ) = 0,5∠150° , como se muestra en la figura 3.16 de la siguiente página. El procedimiento es similar si la traslación se hace hacia la carga, con la diferencia de que las lecturas de longitud de onda se hacen sobre la escala. “wavelenghts. toward. load”.. Nótese. que. cuando. el. desplazamiento es hacia el generador, la rotación se hace en sentido horario, mientras que cuando el desplazamiento es hacia la carga, la rotación se hace en sentido antihorario. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 9.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. Fig. 3.16: Coeficiente de reflexión correspondiente a zˆ = 0,6 − j 0,8 trasladado una distancia de λ/6 hacia el generador. f) Dada la impedancia normalizada, la admitancia normalizada o el coeficiente de reflexión, hallar la ROE. Para hallar la ROE, se obtiene la magnitud del coeficiente de reflexión y se mide el radio de la circunferencia con el compás. Este radio se traslada a la escala “SWR”, la cual es paralela a la de amplitud del coeficiente de reflexión, en dicha escala se lee directamente el valor de la ROE. También hay una escala paralela para leer la ROE en dB. Dado que las dos escalas de SWR del diagrama de Smith no son lineales, se obtienen mejores resultados usando una calculadora. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 10.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. g) Soporte gráfico para mostrar las características de coeficiente de reflexión y/o impedancia compleja de un dispositivo de microondas. h) Resolución gráfica de problemas. Un ejemplo de resolución gráfica de problemas con el Diagrama de Smith es diseñar acopladores de impedancia. Esta aplicación se considera con detalle en la sección 3.5.3. Otro ejemplo es la determinación de impedancias incógnita a partir de datos del patrón de onda estacionaria, como se muestra con el siguiente ejemplo. En una línea de transmisión ranurada de 50 Ω conectada a una antena se obtuvo una ROE de 3 y que el primer mínimo del patrón de onda estacionaria está a 0,325λ de la carga. Determínese la impedancia de la antena. Solución En primer lugar, se mide en la escala “SWR” el radio de la circunferencia de coeficiente de reflexión correspondiente a ROE=3 y se traza dicha circunferencia en el diagrama (mostrada en amarillo en la figura 3.19 de la siguiente página). Sobre dicha circunferencia se ubica la posición del mínimo, la misma corresponde a una lectura de 0 en la escala de longitudes de onda hacia la carga (de hecho, las escalas de longitud de onda del diagrama de Smith están calibradas con relación a. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 11.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. los mínimos). Luego se ubica la lectura de 0,325λ en la escala de longitudes de onda hacia la carga, y se traza desde allí hacia el centro del diagrama un segmento de recta (mostrado en verde en la figura 3.17). Donde dicho segmento intersecta a la circunferencia de coeficiente de reflexión se obtiene el valor de impedancia normalizada de la antena, en este caso zˆ = 1,15 + j1,25 . Nótese que tanto para ubicar 0,325λ en la escala de longitudes de onda como para leer el valor de ẑ fue necesario interpolar.. Fig. 3.17: Determinación de una impedancia incógnita con datos del patrón de onda estacionaria.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 12.

(13) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. La impedancia de la antena se obtiene desnormalizando el valor de impedancia. obtenido. con. el. diagrama. de. Smith:. Zˆ = zˆ × 50 Ω = 57,5 + j62,5 Ω . i) Otras: obtención del coeficiente de transmisión complejo, obtención del coeficiente de reflexión de potencia y obtención de las pérdidas por retorno. Aunque existen escalas en el diagrama de Smith para cada uno de estos parámetros, se obtienen mejores resultados usando una calculadora.. 3.5.3 Acoplamiento de impedancias con un elemento reactivo Con frecuencia debe hacerse acoplamiento de impedancias en circunstancias en que la impedancia de carga no es resistiva pura, por lo cual la utilización de un transformador de ¼ de longitud de onda se descarta. La otra manera de lograr el acoplamiento de impedancias es insertando un circuito o elemento pasivo entre la línea de transmisión y la carga. Dicho circuito o elemento debe ser reactivo para evitar que consuma parte de la potencia que se desea transmitir a la carga. En la figura 3.18 de la siguiente página se muestra el esquema más simple de acoplamiento de impedancias, que consiste en colocar un elemento reactivo en paralelo a una distancia apropiada de la carga. Aunque también se puede colocar a dicho elemento en serie, es mucho más sencillo hacer la conexión en paralelo entre líneas de transmisión y entre éstas y otros Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 13.

(14) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. elementos. También existen esquemas de acoplamiento de impedancia más complejos con dos y tres elementos reactivos, pero su estudio queda fuera del alcance de este texto. d. Zg + Vg. (Z0 ). Ya. (Z0 ). ZL. Yin. Fig. 3.18: Acoplamiento de impedancias con un elemento reactivo. En el circuito de la figura 3.18, para que exista máxima transferencia de potencia hacia la carga debe lograrse que Y0 = Yˆin = Yˆa + YˆL (− d ) . Trabajando con admitancias normalizadas, se tiene: 1 = yˆ a + yˆ L (−d ). (3.33). de donde, separando las partes real e imaginaria, se obtienen las siguientes ecuaciones: 1 = Re{yˆ L (−d )}. (3.34). yˆ a = − j Im{yˆ L (−d )}. (3.35). La ecuación 3.34 establece que la distancia d debe ser tal que la admitancia de carga normalizada reflejada hacia el generador tenga parte real igual a la unidad. La ecuación 3.35 establece el valor de la suceptancia de acoplamiento que debe colocarse una vez que se encontró la distancia d. La solución analítica de la ecuación 3.34 es sumamente complicada, ya que la incógnita se encuentra en el argumento de funciones exponenciales. La Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 14.

(15) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. solución gráfica, en cambio, implica la intersección en el diagrama de Smith de la circunferencia de conductancia normalizada unitaria (g0=1) con la circunferencia del coeficiente de reflexión. La figura 3.19 muestra las dos intersecciones (A y B) entre la circunferencia de conductancia unitaria (en rojo) y la circunferencia del coeficiente de reflexión de la carga (en azul).. Fig. 3.19: Determinación gráfica de la distancia d a la que debe colocarse el elemento de acoplamiento. Para la solución A, la distancia d es la resta de las lecturas. l(−d A ) − l(0) obtenidas en la escala de longitudes de onda hacia el Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 15.

(16) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. generador, y se obtiene yˆ L (− d A ) = 1 + jb , por lo que el elemento de acoplamiento debe ser inductivo, con yˆ a = − jb . Como se sabe, los inductores reales tienen una resistencia interna, por lo que casi siempre se evita usarlos como elementos de acoplamiento. Para la solución B, la distancia d es la resta de las lecturas. l(−d B ) − l(0) , y se obtiene yˆ L (− d B ) = 1 − jb , por lo que el elemento de acoplamiento debe ser capacitivo, con yˆ a = + jb . A frecuencias de operación muy elevadas, los capacitores e inductores no se comportan como tales, y además puede ser imposible conseguir un dispositivo de valor comercial que tenga la suceptancia requerida. Existe entonces la opción de simular la reactancia requerida con un trozo de línea de transmisión de longitud apropiada da terminado en un corto circuito o un circuito abierto, llamada comúnmente stub (varilla de trombón). Se prefiere utilizar los corto circuitos, ya que los circuitos abiertos irradian una pequeña cantidad de energía al espacio, por lo que el coeficiente de reflexión real no es unitario como en un circuito abierto ideal. En la figura 3.20 de la siguiente página se muestra el circuito de acoplamiento de impedancias con un stub terminado en corto circuito y conectado en paralelo.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 16.

(17) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES d. Zg + Vg. (Z0 ). (Z0 ). ZL. Yin. (Z0 ) Ya. da. Fig. 3.20: Circuito para acoplamiento con un stub cortocircuitado en paralelo. La longitud da del stub se obtiene reflejando la admitancia infinita del circuito abierto hasta obtener sobre el borde del diagrama de Smith la admitancia de acoplamiento requerida yˆ a = ± jb . En la figura 3.21 se muestra la obtención de da para los dos casos.. Fig. 3.21: Obtención de la longitud del stub con el diagrama de Smith. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 17.

(18) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 3: LÍNEAS DE TRANSMISIÓN UNIFORMES. La longitud del stub para el caso yˆ a = − jb correspondiente a la solución A es la resta. (d a ) A = l( yˆ a ) A − 0,25λ .. Para el caso yˆ a = jb. correspondiente a la solución B, la longitud del stub es la resta. (d a )B = l( yˆ a ) B − 0,25λ ,. a la cual hay que sumarle 0,5λ porque. l( yˆ a ) B < 0,25λ , quedando (d a )B = l( yˆ a ) B + 0,25λ . Como puede verse en la figura 3.21, siempre (d a ) A < (d a )B . En el caso de acoplamiento con un stub, frecuentemente se utiliza como criterio para la elección de una solución la minimización de la suma de las longitudes de la línea de transmisión conectada a la carga más la del stub, d total = d + d a . Otro criterio usado con frecuencia es la minimización de la longitud de la línea de transmisión conectada a la carga solamente.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 18.

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