Ayudas de cálculo para columnas de hormigón armado bajo flexión compuesta biaxial

Texto completo

(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Construcciones Departamento de Ingeniería Civil. TRABAJO DE DIPLOMA Ayudas de cálculo para columnas de hormigón armado bajo Flexión Compuesta Biaxial.. Autor: Claudia Sotolongo Pérez. Tutor: Dr. Ing. Juan José Hernández Santana. Santa Clara 2016 "Año 57 de la Revolución". 0.

(2) PENSAMIENTO. 1.

(3) DEDICATORIA. A mi madre, mi padre y mi hermano que han estado siempre conmigo a cada paso del camino brindándome su apoyo incondicional. A mi nueva familia en especial a Iris y Yixi las cuales a pesar de conocerme desde hace tan poco tiempo me han acogido como una más de ellos. A mi novio Javier que ha estado junto a mí con amor y paciencia en todas las noches de desvelo. A todos mis amigos a los cuales voy a llevar siempre en mi corazón. Les dedico este trabajo.. 2.

(4) AGRADECIMIENTOS. A mi familia y la de mi novio sin los cuales no creo que haya sido capaz de concluir este trabajo. A mi novio que antepuso siempre mis necesidades antes las suyas siendo mi amigo, mi consejero y mi compañero en la vida. A mi tutor que aunque no haya estado junto a mi físicamente en la etapa más ardua supo impulsarme hacia adelante desde lejos. A mi oponente que aunque hayamos estado en lugares opuestos del ring siempre estuvo de mi lado. Al resto del claustro de mi facultad en especial al profesor Ernesto Chagoyén que aunque no nos ataban lazos oficiales siempre tuvo tiempo para mí.. 3.

(5) RESUMEN En el presente trabajo se pretende obtener un conjunto de ayudas de cálculo en Mathcad para el diseño y revisión de columnas rectangulares sometidas a solicitacio nes de flexocompresión biaxial. Con la realización de este análisis se generarán resultados más refinados y adaptados a la realidad lo cual se podrá traducir en un incremento de eficie nc ia en cuanto a costos, en aquellos casos en los cuales el efecto biaxial sea considerable. Las hojas de Mathcad (DI-FCB y DI-FCBj) tendrán como objetivo fundamental la realizac ió n de diagramas de interacción con los cuales es posible desarrollar tanto el diseño como la comprobación de secciones sometidas a este tipo de solicitación. Las metodologías empleadas en las ayudas señaladas anteriormente se basan tanto en la literatura clásica como en las investigaciones más recientes acerca de esta problemática las cuales serán exhaustivamente detalladas durante la revisión bibliográfica y el estudio del estado actual del conocimiento. Con el propósito de demostrar la forma de uso y la utilidad de las ayudas se dedicará un capítulo a la solución de ejemplos prácticos realizando un análisis comparativo con los resultados obtenidos mediante programas computacionales tales como el MIDAS set, validando así las formulaciones plasmadas en las hojas de cálculo.. 4.

(6) ABSTRACT In the present work it is to obtain an aid package Mathcad calculation for the design and review of rectangular columns under solicitations of flexo-compression biaxial. With the completion of this analysis more refined results will be generated and adapted to the reality which can translate into increased efficiency in terms of costs, in cases in which the biaxial effect is considerable. Mathcad leaves (DI-DI-FCB and FCBj) will have as main objective the realization of interaction diagrams with which it is possible to develop both the design and checking sections subjected to this type of solicitation. The methodologies used in aid outlined above are based on both classical literature and the most recent research on this issue which will be fully detailed in the literature review and study of the current state of knowledge. In order to demonstrate how to use and usefulness of aid a chapter is devoted to the solution of practical examples making a comparative analysis with the results obtained using computer programs such as MIDAS set, thus validating the formulations embodied in the leaves calculation.. 5.

(7) TABLA DE CONTENIDOS PENSAMIENTO............................................................................................................. 1 DEDICATORIA ............................................................................................................. 2 AGRADECIMIENTOS.................................................................................................. 3 RESUMEN ...................................................................................................................... 4 ABSTRACT..................................................................................................................... 5 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 10 Proble ma Científico ...................................................................................................... 11 Planteamiento del problema ........................................................................................ 11 Objeto de estudio .......................................................................................................... 11 Campo de acción ........................................................................................................... 11 Objetivo general ............................................................................................................ 11 Objetivos específicos ..................................................................................................... 11 Hipótesis......................................................................................................................... 12 Tareas científicas .......................................................................................................... 12 Novedad científica......................................................................................................... 12 Valor metodológico ....................................................................................................... 13 Valor práctico................................................................................................................ 13 Relevancia social ........................................................................................................... 13 Organización del trabajo de diploma ......................................................................... 13 CAPÍTULO I: Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del diseño y revisión de columnas rectangulares bajo cargas de flexo-compresión biaxial y su imple mentación computacional. .................................................................................. 14 1.. Introducción ........................................................................................................... 14. 1.1.1 Generalidades sobre la FCB. .............................................................................. 15 1.1.2 Hipótesis básicas. Método de los Estados Límites. ........................................... 17 1.2. Métodos de análisis a emplear en el diseño de columnas sometidas a FCB. 20 6.

(8) 1.2.1 Métodos numéricos .............................................................................................. 20 1.2.2. Métodos analíticos .......................................................................................... 21. 1.2.2.1. Método de las Cargas Recíprocas. ............................................................ 21. 1.2.2.2. Método del Contorno de las Cargas de Bresler. ...................................... 22. 1.2.2.3. Método del Contorno de las Cargas del PCA. ......................................... 24. 1.2.2.4. Crítica a los métodos analíticos ................................................................. 28. 1.2.3. Métodos gráficos ............................................................................................ 29. 1.2.3.1 Ábacos adime nsionales en roseta. ................................................................... 30 1.2.3.2 Ábacos de interacción (previa reducción a flexión recta) ............................. 30 1.2.3.3. Método de superposición ........................................................................... 30. 1.2.3.4 Diagramas de Interacción y Superficies de Contorno. .................................. 31 1.2.3.5 Crítica a los métodos gráficos .......................................................................... 33 1.2.4 1.3. Método de Ehsani........................................................................................... 34 Flexo-compresión biaxial en columnas cortas rectangulares de hormigón. armado ........................................................................................................................... 35 1.4 Programas computacionales a emplear. ............................................................... 37 1.4.1 Mathcad. Hojas de Cálculo. ..................................................................................... 38 1.4.3. MIDAS set........................................................................................................ 41. Conclusiones parciales del capítulo............................................................................. 41 Referencias .................................................................................................................... 42 Capítulo II: “Hojas de cálculo para el diseño y comprobación de columnas rectangulares a FCB.” .................................................................................................. 44 Generalidades................................................................................................................ 44 2.1 Hojas de cálculo para el diseño y comprobación de columnas sometidas a flexocompresión biaxial. ....................................................................................................... 45 2.1.1 Entrada de datos. ................................................................................................. 45 2.1.2 Formulación inicial. (DI-FCB y DI-FCBj) ........................................................ 47. 7.

(9) 2.1.3 Chequeo de separación mínima entre las barras, de carga máxima resistente y de cuantías de refue rzo máximas y mínimas.............................................................. 51 2.1.3.1 Comprobación de la carga axial máxima resistente. ..................................... 52 2.1.3.2 Comprobación de la separación entre las barras. ......................................... 52 2.1.3.3 Comprobación de las áreas de refuerzo máximas y mínimas....................... 54 2.1.4 Puntos del diagrama de interacción. .................................................................. 55 2.1.5 Aporte del hormigón............................................................................................ 60 2.1.6. Aporte del acero. ................................................................................................. 64 2.1.6.1 Cálculo de tensiones y deformaciones unitarias. ........................................... 64 2.1.6.2 Cálculo de la sumatoria de tensiones axiales y respecto a ambos ejes. ........ 67 2.1.7 Valores interme dios. ............................................................................................ 71 2.1.8 Tracción axial. ...................................................................................................... 75 2.1.9 Compresión axial. ................................................................................................ 76 2.1.10 Excentricidad mínima. ...................................................................................... 77 2.1.11. Tabulación de resultados............................................................................... 78. 2.2 MIDAS set. .............................................................................................................. 82 2.2.1.1 Introducción y extracción de los resultados. .................................................. 83 2.3 Validación de las hojas de cálculo. ........................................................................ 85 Conclusiones parciales del capítulo............................................................................ 89 Capítulo III: Eje mplos prácticos y análisis comparativos ........................................ 91 Introducción .................................................................................................................. 91 3.1 Ejemplos resueltos .................................................................................................. 93 3.1.1 DI-FCB.................................................................................................................. 93 Ejercicio 3.1 ................................................................................................................... 93 Ejercicio 3.2 .................................................................................................................... 96 3.2 DI-FCBj ................................................................................................................... 99. 8.

(10) Ejemplo 3.3 .................................................................................................................... 99 Ejemplo 3.4 .................................................................................................................. 100 Conclusiones ................................................................................................................ 102 Recomendaciones ........................................................................................................ 103 Bibliografía ................................................................................................................... 105 Anexos .......................................................................................................................... 106. 9.

(11) INTRODUCCIÓN Las columnas son uno de los elementos estructurales más complejos en cuanto a su diseño se refiere ya que por lo general se encuentran sometidas a más de un tipo de solicitac ió n lo cual trae consigo una densificación considerable en su análisis. De aquí se desprende la diferencia respecto a otros tipos de elementos estructurales o de casos más particulares dentro de las mismas como son los tensores o de elementos sometidos solamente a compresión con momento igual a cero producto de la falta de excentricidad en las cargas. Una dimensión más amplia de los casos señalados anteriormente es la Flexión Compuesta la cual incluye tanto la acción de cargas axiales de compresión o de tracción como de momentos flectores. La unión de solicitaciones mencionada nombra el tipo de flexión a la que está sometido el elemento ya que puede ser Flexo Compresión o Flexo Tracción en dependencia de la carga axial actuante. Otro caso más complejo que constituye el objeto de estudio fundamental de este trabajo es aquel en el cual el momento flector actúa simultáneamente en más de una dirección al cual denominaremos Flexión Combinada Biaxial o Esviada, el caso regular o más general es la Flexión Combinada Recta o Uniaxial. Como ejemplos de sistemas estructurales o componentes de los mismos sometidos a Flexión Combinada Biaxial o Esviada podemos señalar las columnas de naves industriales, las esquineras de edificios donde las vigas principales y las secundarias llegan hasta esas columnas en las direcciones de los muros y transfieren sus momentos extremos en dos planos perpendiculares o en las interiores si la planta de columna es irregular. También se puede identificar en pilas de puentes ya que estos sufren la acción de fuerzas longitudinales o transversales. (Santana, 2013) El conjunto de variables que incluye el análisis y diseño de elementos a Flexión Combinada Biaxial transforma el trabajo del ingeniero en un proceso extenso y con características iterativas demasiado complejo para ser realizado de forma manual. Por ello se obtendrán herramientas computacionales que faciliten el trabajo del proyectista cuando se presente en la práctica ingenieril problemas de esta índole. También se podrán utilizar las hojas de cálculo formuladas para el uso en la docencia tanto de pregrado como de posgrado para introducir o profundizar a los estudiantes en el fenómeno de la Flexión Combinada Biaxial. 10.

(12) Problema Científico En nuestro país no está difundido dentro de la comunidad de proyectistas el empleo de ayudas de cálculo para el diseño y revisión de columnas rectangulares sometidas a cargas de flexo-compresión biaxial. Esto ha causado que aun cuando el diseño de la columna analizada lo requiere esta se trate como un caso de diseño a flexo-compresión recta dando como resultado diseños inexactos y poco ajustados a la realidad de las solicitaciones. Planteamiento del problema ¿Cómo integrar de forma efectiva, transparente y confiable los conocimientos adquiridos sobre el diseño y revisión de columnas sometidas a flexo-compresión biaxial en hojas de cálculo en Mathcad? Objeto de estudio Columnas de hormigón armado a flexo-compresión biaxial. Campo de acción Diseño de ayudas de cálculo en Mathcad para columnas de flexo-compresión biaxial. Objetivo general Crear un conjunto de hojas de cálculo en Mathcad para el diseño y revisión de columnas rectangulares de hormigón armado sometidas a flexo-compresión biaxial. Objetivos específicos . Analizar el estado actual del conocimiento sobre el diseño y revisión de columnas rectangulares. bajo cargas de flexo-compresión. biaxial,. además de los. procedimientos y metodologías existentes para el trabajo con diversos softwares para la formulación y validación de dichas ayudas. . Algoritmizar e implementar la metodología estudiadas en el capítulo anterior en las hojas de cálculo en Mathcad 15 y Mathcad Prime 3.1.. . Validar las ayudas de cálculo confeccionadas mediante software profesiona les como el MIDAS set.. . Enunciar y solucionar un conjunto de problemas típicos sobre la temática objeto de estudio en la cual se pueda demostrar la forma de empleo de las hojas de cálculo confeccionadas y los beneficios que estas traen consigo.. 11.

(13) Hipótesis Es posible la implementación de ayudas de cálculo para el diseño y la comprobación de secciones rectangulares a flexo-compresión biaxial que contribuyan a una preparación más especializada de los estudiantes de ingeniería civil tanto en pregrado como en posgrado así como la obtención en las empresa de proyecto cubanas de un diseño más racional y ajustado a los parámetros reales de estructura analizada. Tareas científicas 1. Presentación del marco teórico que incluya la metodología de investigac ió n conjuntamente con la aprobación del tema. 2. Realizar una búsqueda bibliográfica para establecer el nivel actual de conocimie ntos sobre el tema tratado, realizando una síntesis de los aspectos esenciales. 3. Redacción del Capítulo I: “Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del diseño y revisión de columnas rectangulares bajo cargas de flexo-compresión biaxial y del desarrollo de soluciones automatizadas en este campo”. 4. Algoritmizar e Implementar los procedimientos de diseño y comprobación del problema objeto de estudio en las hojas de cálculo de Mathcad. 5. Validación de las ayudas confeccionadas en MIDAS set. 6. Redacción del Capítulo II: “Hojas de cálculo para el diseño de secciones a FCB”. 7. Ejecución y corrida de la programación elaborada previamente implementándola a casos típicos. 8. Redacción del capítulo III: “Ejemplos prácticos y análisis comparativo”. 9. Formular y redactar las “Conclusiones” y “Recomendaciones”. Novedad científica Con este trabajo se logrará crear una herramienta de interfaz sencilla y asequible que englobe todo el sistema de variables y conocimientos teóricos para el diseño y revisión de columnas rectangulares de hormigón armado sometidas a cargas de flexo-compres ió n biaxial. Estas ayudas además de estar validadas por software profesionales tendrán insertadas dentro de su programación especificaciones pertenecientes a normativas cubanas. También presentarán alto nivel de especialización en el tema en comparación con otros softwares profesionales por lo que ofrecerán numerosos resultados que serán muy útiles para su empleo tanto por parte de los estudiantes de posgrado como para los ingenieros de empresas de proyecto.. 12.

(14) Valor metodológico Se elaborará un conjunto de ayudas integradas por las hojas de cálculo conjuntamente con un grupo de conceptos y formulaciones relevantes acerca del diseño y revisión de columnas sometidas a esfuerzos de flexo-compresión biaxial. Todo esto de forma tal que los usuarios obtengan toda la información teórica y demás elementos necesarios para dominar la temática a todos los niveles por ellos demandados. Valor práctico Las ayudas confeccionadas constituyen un producto terminado que brindará tanto a los estudiantes de posgrado como a los ingenieros que laboran en las empresas de proyecto la posibilidad de obtener diseños de forma rápida y efectiva que les permitan realizar análisis comparativos donde se puedan evaluar las variables más influyentes en el diseño y sopesar las diversas invariantes que modificándolas den como resultado secciones óptimas. Todo esto se podrá traducir en una disminución considerable del tiempo dedicado al diseño. Relevancia social La implementación de esta herramienta permite la obtención de un diseño racional y adaptado a la realidad lo cual conjuntamente con el raciocinio de los ingenieros pueden lograr la identificación de las variables más sensibles a la hora de concebir el diseño lo cual se traduce en un incremento de la eficiencia en cuanto a costos de materia les, maquinarias y facilidad de ejecución se refiere aspecto este tan necesario para la sociedad cubana. Organización del trabajo de diploma La estructura general del trabajo de diploma es: Resumen Introducción Capítulo I: Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del diseño y revisión de columnas rectangulares bajo cargas de flexo-compresión biaxial y su implementac ió n computacional. Capítulo II: “Hojas de cálculo en Mathcad para columnas rectangulares a FCB”. Capítulo III: “Ejemplos prácticos y análisis comparativos”. 13.

(15) Conclusiones y Recomendaciones Bibliografía Anexos. CAPÍTULO I: Estado del conocimiento sobre las tendencias actuales del diseño y revisión de columnas rectangulares bajo cargas de flexo-compresión biaxial y su implementación computacional. 1. Introducción A lo largo de este capítulo se llevará a cabo un análisis del estado actual del conocimie nto sobre el diseño y revisión de columnas cortas rectangulares de hormigón armado sometidas a solicitaciones de flexo-compresión biaxial (FCB). Para ello se pretende primeramente hacer un recorrido por la evolución histórica de la diversidad de teorías desarrolladas por los ingenieros para darle solución a la problemática de la FCB caracterizando los métodos analíticos y gráficos en los cuales se clasifican dichas teorías con sus ventajas y deficiencias. También se brindará un panorama general acerca de las particularidades de los programas computacionales que emplearemos en el siguie nte capítulo tales como el Mathcad 15, Mathcad Prime 3.1 y MIDAS set. Las columnas son los miembros verticales de los marcos estructurales sometidos a compresión y a momentos flectores en uno o dos ejes de la sección transversal (FCB), que sirven para apoyar a las vigas cargadas. Transmite las cargas de los pisos superiores hasta la planta baja y después al suelo, a través de la cimentación. Puesto que las columnas son elementos a compresión, la falla de una columna en un lugar crítico puede causar el colapso total último de la estructura completa. (Nawy, 1986) En términos económicos y de pérdidas humanas, la falla estructural de una columna es un evento de principal importancia. Es por esto que se debe tener un cuidado extremo en el diseño de las columnas, que deben tener una reserva de resistencia más alta que las vigas o que cualquier otro elemento estructural horizontal, especialmente porque las fallas de compresión proporcionan muy poca advertencia visual. Por ello el reglamento del ACI requiere que en el diseño de miembros a compresión se utilicen factores de reducción de. 14.

(16) la resistencia φ, considerablemente menores que los factores φ para la flexión, el cortante o la torsión. (Nawy, 1986) Las columnas que serán objeto de estudio en esta tesis estarán sometidas a la acción de la Flexión Compuesta. En esta se combinan las acciones de cargas axiales (a compresión ó tracción) con momentos flectores, a estas combinaciones se les llama Flexo Compresión o Flexo Tracción en función del tipo de carga axial actuante. Esto los diferencia de la flexión pura en una viga donde solo exista momento flector, o de columnas o tensores solo con carga axial y momento flector cero, casos que se convierten en particulares de la Flexión Compuesta. Si la acción de la flexión combinada se presenta en un solo eje se le llamará Flexión Combinada Recta o Uniaxial; si se presenta en los dos ejes entonces se le denominará como Flexión Combinada Biaxial o Esviada. (Hernández Santana, 2013) En este trabajo se muestra el procedimiento para llegar a determinar los diagramas de interacción de secciones de hormigón armado sometidas a flexo-compresión basado en el código ACI 318S-02 del American Concrete Institute de los Estados Unidos ya que este es el código empleado por la versión del MIDAS set con la que se pretende comparar los resultados. 1.1.1 Generalidades sobre la FCB. Existen situaciones, de ninguna manera excepcionales, en las cuales la compresión axial está acompañada por flexión simultánea con respecto a los dos ejes principa les de la sección. Este estado se presenta en los siguientes casos:  En aquellas secciones que, por su forma, no presenten un plano de simetría, como las secciones “T” de lados desiguales; a)  En aquellas secciones que, siendo simétricas en cuanto a la forma, están armadas asimétricamente respecto a su plano de simetría, b) y  En aquellas secciones que, siendo simétricas por su forma y armaduras, están sometidas a una solicitación que no está contenida en el plano de simetría, c). Este último caso es el más frecuente y será el objeto de estudio fundamental del presente trabajo.. 15.

(17) Figura.1.1. Posibles causas de la flexo-compresión biaxial. Fuente: (Jiménez Montoya, 2000) La combinación de carga axial y momento flector del último caso mencionado puede presentarse en dos variantes: 1. Acción de la carga axial con excentricidades físicas.  La existencia de ménsulas o de cargas desplazadas en los apoyos.  Posibles inexactitudes en la construcción. 2. Acción de la carga axial y el momento flector provocados por el mismo efecto o por efectos diferentes.  Algunas vigas, que pueden estar sometidas a cargas laterales (viento, empuje de tierras en muros y cimientos, empuje de agua en depósitos, empuje del material almacenado en silos, etc.), (Jiménez Montoya, 2000)  La mayoría de los pilares, pues aunque formen parte de pórticos planos, la acción del viento o del sismo puede producir flexiones secundarias, que con frecuencia se desprecian, lo mismo que las que resultarían de una consideración rigurosa del pandeo, con las consiguientes excentricidades situadas fuera del plano principal de flexión. Un caso específico sería las pilas de los puentes las cuales usualmente están sometidas a esfuerzos transversales y longitudinales. Poner fotos. (Jiménez Montoya, 2000)  Las columnas esquineras de edificios donde las vigas principales y las secundarias llegan hasta estas columnas en las direcciones de los dos muros y transfieren sus momentos extremos a la columna en dos planos perpendiculares. Situaciones similares de carga pueden ocurrir en columnas interiores (Fig. 1.2), en particular si la planta de columna es irregular. (Nilson, 1999). 16.

(18) Figura . 1.2. Momentos actuantes que llegan a la columna producto de la irregularidad de la planta. Fuente: (Alfonso, 2013) 1.1.2 Hipótesis básicas. Método de los Estados Límites. Toda estructura debe reunir las condiciones adecuadas de seguridad, funcionabilidad y durabilidad con el objetivo de que pueda cumplir satisfactoriamente el servicio para el que ha sido proyectada. En este trabajo el diseño y revisión de los elementos columnas sometidos a cargas de FCB será realizado mediante el Método de los Estados Límites Últimos. Para determinar la resistencia de un elemento sometido a carga axial y momento flector mediante el Método de los Estados Límites (MEL) o de Diseño por resistencia como también se le denomina, el código ACI 318S-02, exige que se satisfagan tres condiciones básicas: a) Equilibrio Estático. A continuación se presentan las ecuaciones correspondientes. ∑𝐹 = 0 𝑃𝑛 = 𝐶𝑐 + 𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ 𝑆𝑛 = 0 Ecuación 1.1 ∑ 𝑀𝑛𝑦 = 0 (respecto al eje y) 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 𝑀𝑛𝑦 = 𝐶𝑐 ( − 𝑧𝑥 ) + 𝑆1 ( − 𝑑𝑜 ) + 𝑆2 ( − 𝑑𝑜 ) + ⋯ 𝑆𝑛 ( − 𝑑𝑜 ) 2 2 2 2 Ecuación 1.2 ∑ 𝑀𝑛𝑥 = 0 (respecto al eje x) ℎ ℎ ℎ ℎ 𝑀𝑛𝑥 = 𝐶𝑐 ( − 𝑧𝑦 ) + 𝑆1 ( − 𝑑 ΄ ) + 𝑆2 ( − 𝑑 ΄ ) + ⋯ 𝑆𝑛 ( − 𝑑 ΄ ) 2 2 2 2 Ecuación 1.3 17.

(19) Donde zx y zy son las proyecciones sobre los ejes del brazo en la resultante del hormigó n Cc. b) Compatibilidad de las Deformaciones. A continuación se presentan las ecuaciones correspondientes al caso más sencillo de 4 barras en las esquinas. 𝜀𝑐 ΄ 𝜀𝑠1 𝜀𝑠2 𝜀𝑠3 𝜀𝑠4 = = = = 𝑐𝑦 𝑧1 𝑧2 𝑧3 𝑧4 Ecuación 1.4. Figura 1.3. Diagrama de deformaciones. Fuente: (Hernández Santana, 2013) c) Ecuaciones físicas. 𝐸𝑠 =. 𝑓𝑠 𝜀𝑠. Ecuación 1.5 La primera condición exige que las fuerzas de compresión y tracción que actúan en la sección transversal para la resistencia "última" estén en equilibrio, mientras que la segunda condición. exige que también se satisfaga la compatibilidad. entre las. deformaciones del hormigón y de la armadura bajo condiciones "últimas" dentro de las hipótesis de diseño permitidas por el código. Método de los Estados Límites El Método de los Estados Límites (MEL) se fundamenta en la obtención de un diseño donde las cargas y las tensiones a las que está sometido el material que se emplee en el elemento a diseñar, así como las deformaciones y desplazamientos que en ella se origina n,. 18.

(20) tanto en el período de construcción como durante su vida útil, estén cerca de los límites permisibles para cada caso, sin llegar a sobrepasarlos. Se denominan Estados Límites Aquellas situaciones tales que, al ser rebasadas, colocan a la estructura fuera de servicio. Los estados límites pueden clasificarse en: . Estados límites últimos: Estado en que se diseña para lograr la resistencia y estabilidad de la estructura, con los valores de cálculo de todas las variables que intervienen (cargas y resistencias).. . Estados límites de utilización: Estado que garantiza el servicio y utilización de la estructura, comprobándose variables como la deformación y la fisuración para los valores característicos, tanto de las cargas como de las resistencias de los materiales.. Coeficientes de mayoración para las cargas. (NC 53-38-1985). El ACI introduce el Método de Estados Límites pasado un tiempo después de que se diera a conocer, pero lo hizo bajo el nombre de Diseño por Resistencia, en un inicio como método alternativo dentro del Reglamento. La forma en que introduce la SEGURIDAD AL AGOTAMIENTO se fundamenta en la siguiente base de diseño: 𝑆𝑢 ≤ 𝜙 ∗ (𝑅𝑛 ) Su: Resistencia mínima requerida evaluada a partir de los factores de carga que deben emplearse. Rn: Resistencia nominal evaluada a partir de los valores de resistencia característica de los materiales. ϕ: Factor de reducción de la resistencia. El factor de reducción de la resistencia ϕ toma en cuenta la probabilidad de que la resistencia de un elemento sea menor que la supuesta debido a las variaciones en la resistencia de los materiales, de sus dimensiones, de las imprecisiones de las ecuaciones de diseño, del grado de ductilidad y la confiabilidad requerida del elemento cargado, y la importancia que tenga el elemento dentro de la estructura. 19.

(21) La resistencia nominal de un elemento o sección transversal se determina usando las hipótesis y ecuaciones de resistencia del Método de Diseño por Resistencia, antes de aplicar cualquier factor de reducción de la resistencia. La resistencia mínima requerida o solicitación de cálculo se determina al mayorar las cargas o solicitaciones de servicio, aplicando los factores de carga tabulados anteriormente. Los factores de carga incrementan la magnitud de las cargas normalizadas para considerar la probable variación de sus magnitudes respecto de sus valores característicos o de servicio. Las solicitaciones de Servicio obtienen a partir de las cargas especificadas por el código de construcción correspondiente. (Hernández Santana, 2011). 1.2 Métodos de análisis a emplear en el diseño de columnas sometidas a FCB. Los métodos de cálculo de secciones en flexo-compresión son los procedimientos a través de los cuales se puede obtener una respuesta tenso-deformacional de la sección frente a las solicitaciones de este tipo. Es decir, dados unos esfuerzos de flexo-compresión se trata de obtener las tensiones y deformaciones en todas las fibras o viceversa. La comprobación de una sección de forma cualquiera, con cualquier número y distribución de armaduras, sometida a una solicitación normal (N, Mx , My ), o, lo que es lo mismo, a una resultante normal N actuando con excentricidades e x =My /N, ey =Mx /N, referidas a los ejes de la sección, exige determinar la posición del eje neutro y la deformación máxima de la sección. Para ello se usarán las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Estas ecuaciones no pueden expresarse de forma simple en función de las incógnitas del problema, por lo que este no admite solución analítica exacta y hay que recurrir a métodos aproximados. Tales métodos, tanto si son numéricos como si son gráficos, exigen el tanteo de distintas posiciones del eje neutro, siendo el cálculo laborioso resultado conveniente, por ello, su tratamiento mediante ordenador. (Jiménez Montoya, 2000) 1.2.1 Métodos numéricos Consiste en encontrar por tanteo una posición del eje neutro tal que, con ella, la carga de agotamiento Nu de la sección tenga excentricidades ex , ey iguales a las de la solicitac ió n mayorada o de cálculo N d. En la obtención de Nu se utilizan los valores minorados o de cálculo de las resistencias de los materiales. Si se verifica N d ≤ N u la sección está en buenas condiciones de seguridad. La precisión y rapidez de estos programas es más que satisfactoria. No obstante suelen presentar limitaciones en la disposición de la armadura. 20.

(22) lo que impide usarlos para optimizar el resultado. Así, existen programas para disposiciones prefijadas de armado. (Jiménez Montoya, 2000) 1.2.2 Métodos analíticos Los diversos métodos analíticos planteados a continuación surgieron ante la necesidad de simplificación de los métodos numéricos existentes para el diseño de columnas sometidas a FCB debido a la complejidad de estos y a la falta de instrumentos capaces de afrontar los requerimientos computacionales exigidos para las iteraciones de dichos métodos. Los procedimientos analíticos tienen como elemento común que todos son aproximacio nes desde diversos puntos de vista del perfil de la superficie de interacción de la que se pueden calcular las resistencias a flexión biaxial, conocidas las resistencias uniaxiales. Entre estos métodos podemos encontrar: 1.2.2.1 Método de las Cargas Recíprocas. 1.2.2.2 Método del Contorno de las Cargas de Bresler. 1.2.2.3 Método del Contorno de las Cargas del PCA. 1.2.2.1 Método de las Cargas Recíprocas. Un método de diseño simple y aproximado, desarrollado por Bresler, se verificó satisfactoriamente mediante comparación con resultados de gran cantidad de ensayos y cálculos precisos. El Método de las Cargas Recíprocas de Bresler se base en la conformación de una superficie de falla real que denominaremos S2 (Figura 1.4b) la cual es función de la carga axial inversa y de las excentricidades en ambos ejes. Esta superficie se puede simplificar ampliamente mediante aproximación si se consideran tres puntos fundamenta les quedando una superficie plana aproximada S΄2 (Figura 1.4b). Los tres puntos que definirán la misma serán: Punto A: ey=0. Existiendo una carga axial Pnyo (correspondiente al Mnyo). Punto B: ex=0. Existiendo una carga axial Pnxo (correspondiente al Mnxo). Punto C: ex=ey=0. Corresponde al inverso de la capacidad de la columna si esta se cargará concéntricamente.Po. Pn =valor aproximado de la carga última en flexión biaxial con excentricidades ex y ey distintas de cero.. 21.

(23) Figura 1.4. Superficies de interacción para el método de la carga inversa. Fuente: (Nilson, 1999) Los valores Pnxo y Pnyo se determinarán para excentricidades conocidas de la carga aplicada a determinada columna, utilizando métodos simples establecidos para la flexió n. Para cualquier combinación de ex y ey o punto de la superficie S2 existe un plano correspondiente S΄2. Por lo que la aproximación realizada incluye una cantidad infinita de planos S΄2 determinados mediante pares de valores particulares de ex y ey traducidos en los puntos A, B y C. 1 1 1 1 = + − 𝜙𝑃𝑛 𝜙𝑃𝑛𝑥𝑜 𝜙𝑃𝑛𝑦𝑜 𝜙𝑃𝑜 Ecuación 1.6 Para una situación común de diseño en que se dan las dimensiones y el refuerzo y las excentricidades de la carga, las cargas últimas ϕPnxo, ϕPnyo y ϕPo, pueden encontrarse mediante cálculos o a partir de gráficos de diseño. Entonces es posible calcular 1/ϕPn a partir de la ecuación (1.6), y de allí se puede obtener ϕPn. El requisito de diseño consiste en que la carga mayorada Pu, no debe exceder ϕPn. (Nilson, 1999) 1.2.2.2 Método del Contorno de las Cargas de Bresler. El método del contorno de la carga se basa en la representación de la superficie de falla de los diagramas de interacción tridimensionales que serán detallados más adelante, mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de Pn. La forma general de estas curvas puede aproximarse mediante una ecuación de interacció n adimensional: 22.

(24) 𝜙𝑀𝑛𝑥 𝛼1 𝜙𝑀𝑛𝑦 𝛼2 ( ) +( ) = 1.0 𝜙𝑀𝑛𝑥𝑜 𝜙𝑀𝑛𝑦𝑜 Ecuación 1.6 Mnx=Pn*ey Mnxo=Mnx cuando Mny=0 Mny=Pn*ex Mnyo=Mny cuando Mnx=0 α1 y α2 son exponentes que dependen de las dimensiones de la columna, de la cantidad y distribución del acero de refuerzo, de las características esfuerzo-deformación unitaria del acero y del concreto, del recubrimiento de concreto y del tamaño de los cercos o espirales. Cuando las características mencionadas anteriormente son simétricas respecto a los dos ejes α1=α2=α y las formas de los contornos quedan como los de la figura 1.5. 𝜙𝑀𝑛𝑥 𝛼 𝜙𝑀𝑛𝑦 𝛼 ( ) +( ) = 1.0 𝜙𝑀𝑛𝑥𝑜 𝜙𝑀𝑛𝑦𝑜 Ecuación 1.7. Figura 1.5. Contornos de interacción para valores constantes de Pn y diferentes valores de α. Fuente: (Nilson, 1999) Los coeficientes ϕ del código ACI para reducir los componentes de la ecuación 1.6 a resistencias de diseño contribuyen a conformar una nueva superficie de falla, similar a la original pero dentro de ésta. (Hernández Santana, 2013). 23.

(25) En la práctica se conocen los valores de Pu, Mux y Muy a partir del análisis de la estructura. Para una sección de columna tentativa, los valores de ϕMnxo y ϕMnyo correspondientes a la carga Pu pueden encontrase fácilmente mediante los métodos usuales para flexión uniaxial. Luego, remplazando a ϕMnx con ϕMux y a ϕMny con ϕMuy en la ecuación (1.6) o, como alternativa, dibujando Mux y Muy en la figura 1.5, se puede confirmar que una combinación particular de momentos mayorados cae dentro del contorno de carga (diseño seguro) o por fuera del contorno (falla) y es posible entonces modificar el diseño si es necesario. (Nilson, 1999) 1.2.2.3 Método del Contorno de las Cargas del PCA. El enfoque de la PCA descrito a continuación fue desarrollado como una extensión o ampliación del Método del Contorno de las Cargas de Bresler. Se eligió la ecuación de interacción de Bresler [Ecuación (1.7)] como el método más viable en términos de exactitud, practicidad y potencial de simplificación. Entre los aportes de este método está el establecimiento de un punto en el contorno de la carga en el cual las resistencias nominales al momento biaxial Mnx y Mny tienen la misma relación que las resistencias al momento uniaxial Mnox y Mnoy y a su vez son iguales a β (Figura 1.8). (Juan Alfonso, 2013) 𝛽=. 𝑀𝑛𝑥 𝑀𝑛𝑦 = 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑦. Ecuación 1.8 Tal y como se realiza en el Método del Contorno de la Carga en este caso también se grafica en términos de parámetros adimensionales por lo que la intersección formada por los planos de Pn/Po constante y la superficie tridimensional se puede considerar simétrica respecto al plano vertical que bisecta los dos planos coordenados para propósitos de diseño. (Juan Alfonso, 2013) Se plantea que el coeficiente α caracterizado durante el epígrafe de Método del Contorno de la Carga oscila entre 1.15 y 1.55 y que α=1.5 es un valor apropiado para secciones rectangulares o cuadradas con refuerzo distribuido. (Hernández Santana, 2005) Al generarse múltiples contornos de cargas adimensionales para Pn /Po entre 0 y 1 se crea una superficie de falla que representa con claridad la connotación del término β, que depende únicamente de la relación Pn /Po . La PCA propone ábacos para obtener los 24.

(26) valores de β, que dependen de las dimensiones de la sección, la cuantía mecánica y la resistencia del acero. En la figura 1.6 se exponen algunos de estos gráficos. Además puede demostrarse entonces que: 𝛼=. log 0,5 log 𝛽. Ecuación 1.9 Por lo que la ecuación 1.7 para la comprobación de la resistencia quedará como: 𝑀𝑛𝑥. (𝑀. 𝑛𝑜𝑥. ). log 0,5 log 𝛽. 𝑀𝑛𝑦. + (𝑀. 𝑛𝑜𝑦. ). log 0,5 log 𝛽. ≤1. Ecuación 1.10. Figura 1.6. Constante β para secciones a flexo-compresión biaxial. (Hernández Santana, 2005) Para simplificar el diseño, en la Figura 1.7 se grafican las curvas generadas por la Ecuación (1.10) para nueve valores de β. Observar que cuando β = 0,5 (su límite inferior), la Ecuación (1.10) es una recta que une los puntos en los cuales los momentos relativos son iguales a 1,0 a lo largo de los planos coordenados. Cuando β = 1,0 (su límite superior),. 25.

(27) la Ecuación (1.10) toma la forma de dos rectas, cada una de ellas paralela a uno de los planos coordenados.. Figura 1.7-Relación de resistencia de momento biaxial y uniaxial. Fuente: (Juan Alfonso, 2013). Figura 1.8- Aproximación bilineal de un contorno de carga adimensional. Fuente: (Alfonso, 2013) Por simples consideraciones geométricas se puede demostrar que la ecuación de la recta superior es: 𝑀𝑛𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥. ∗(. 1−𝛽 𝛽. )+. 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑦. = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎. 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥. >. 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑥. Ecuación 1.11 Que por conveniencia se puede escribir como: 26.

(28) 𝑀𝑛𝑥 ∗ (. 𝑀𝑛𝑜𝑦 1−𝛽 )∗( ) + 𝑀𝑛𝑦 = 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑥 𝛽. Ecuación 1.12 Las ecuaciones de la recta inferior son: 𝑀𝑛𝑥 𝑀𝑛𝑜𝑥. 𝑀. + 𝑀 𝑛𝑦 ∗ (. 1−𝛽. 𝑛𝑜𝑦. 𝛽. ) = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎. 𝑀𝑛𝑦 𝑀𝑛𝑥. <. 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑀𝑛𝑜𝑥. Ecuación 1.13 𝑀. ó 𝑀𝑛𝑥 + 𝑀𝑛𝑦 (𝑀𝑛𝑜𝑥 ) ∗ ( 𝑛𝑜𝑦. 1−𝛽 𝛽. ) = 𝑀𝑛𝑜𝑥. Ecuación 1.14 Según PARME para las secciones rectangulares con armadura simétrica en todas sus caras: 𝑀𝑛𝑜𝑦 𝑏 ≈ 𝑀𝑛𝑜𝑥 ℎ Por lo que las ecuaciones 1.11 y 1.13 se pueden escribir de la siguiente forma respectivamente: 𝑀𝑛𝑥 ∗. 𝑏 1−𝛽 𝑏 1 −𝛽 ∗( ) + 𝑀𝑛𝑦 ≈ 𝑀𝑛𝑜𝑦 ; 𝑀𝑛𝑥 + 𝑀𝑛𝑦 ∗ ∗ ( ) = 𝑀𝑛𝑜𝑥 ℎ 𝛽 ℎ 𝛽. Ecuación 1.15 En las ecuaciones de diseño (1.11) y (1.13), se debe seleccionar la relación b/h ó h/b y se debe suponer el valor de β. Para las columnas poco cargadas β generalmente variará entre 0,55 y alrededor de 0,70. Por lo tanto, en general una buena opción para iniciar un anális is de flexión biaxial consiste en tomar un valor de β igual a 0,65. (Alfonso, 2013) El proceso de cálculo, comprobación de la resistencia para las cargas y momentos de cálculo (Pu , Mux y Muy), consistirá entonces en: 1. Establecer la sección de la columna. 2. Calcular los valores de Po , Mnox, Mnoy y β. Obtenidos considerando flexo-compres ió n recta. 3. Comprobar para la combinación de cargas actuante el cumplimiento de la ecuación 8.. 27.

(29) En la aplicación de este procedimiento uno de los aspectos más complicados está en la estimación del coeficiente de seguridad  , que permita establecer las relaciones: Pu = Pn Mux = Mnx Muy = Mny Antes de las modificaciones impuestas por la versión del código del ACI 318 en el 2002, el problema se resolvía con sencillez pues era posible plantear que: log 0,5. log 0,5. 𝜙𝑀𝑛𝑥 log 𝛽 𝜙𝑀𝑛𝑦 log 𝛽 ( ) +( ) ≤1 𝜙𝑀𝑛𝑜𝑥 𝜙𝑀𝑛𝑜𝑦 Y como  era prácticamente constante en toda la sección entonces la expresión se simplificaba a lo establecido en la ecuación 1.10. Como, a partir de ACI 318-2002,  es variable en función de la deformación del acero más traccionado, surge una dificultad, ya que para cargas menores que la balanceada la simplificación expuesta no puede aplicarse pues este coeficiente es diferente para la sección bajo flexo-compresión recta, cuando actúan Muox y Muoy, a cuando se presenta la flexo-compresión esviada y actúan Mux y Muy. Sin embargo en los Manuales del ACI para el diseño de columnas, SP-17-09-07 (Everard 2007) se sugiere que “Para el diseño, si cada término de la ecuación (1.7) se multip lica por  la ecuación no cambiará. Entonces Mux, Muy, Muox y Muoy pueden hacerse corresponder a  Mnx,  Mny,  Mnox y  Mnoy respectivamente y puede ser empleados preferiblemente en la expresión original”. Esta afirmación conduce a una respuesta semejante a la aplicada antes del 2002, lo que puede generar confusión, pues se ha demostrado que subestimar la variación del coeficiente  para la ocurrencia de momentos biaxiales provoca soluciones inseguras. (Hernández Santana, 2005) 1.2.2.4 Crítica a los métodos analíticos Existe una serie de métodos simplificados que permiten el trabajo manual como los que hemos caracterizado anteriormente con los cuales se puede realizar el diseño y revisión 28.

(30) de columnas sometidas a cargas de FCB. A pesar de que las metodologías expuestas en estos son sencillas, presentan limitaciones importantes que pueden afectar la seguridad del diseño estructural como las que se presentan a continuación: 1. Con el método de contorno de carga, la selección del valor apropiado para el exponente α se hace difícil por varios factores relacionados con la forma de la columna y con la distribución de las barras. En muchos casos la premisa usual α 1 = α2 es una aproximac ió n bastante pobre. Hay ayudas de diseño disponibles, pero estas introducen mayores aproximaciones, como la utilización de una representación bilineal para el contorno de la carga como hemos explicado anteriormente. El método de la carga inversa es muy sencillo de utilizar, pero la representación de la superficie de falla curva mediante una aproximación plana no es confiable en el intervalo de las excentric idades grandes, donde la falla se inicia por fluencia del acero. 2. En todas las metodologías de carácter analítico mencionadas anteriormente existe un conflicto con la consideración del coeficiente ϕ ya que para que las ecuaciones planteadas en los tres métodos sean factible dependen de que ϕ sea constante. Esta suposición antagoniza con otras investigaciones realizadas por el ACI en las cuales ha quedado probado irrefutablemente que dicho coeficiente varía con la deformación del acero más traccionado, por lo que para cargas menores que la balanceada no se podrán emplear estos métodos analíticos. (Hernández Santana, 2005) Con la amplia disponibilidad de computadoras personales es posible el empleo de metodologías más complejas y laboriosas que usualmente ofrecen resultados más precisos y dotan al ingeniero de los instrumentos necesarios para conformar diseños confiables y económicos. 1.2.3 Métodos gráficos Los métodos gráficos no son más que la materialización en forma de curvas equirresistentes, ábacos, diagramas de interacción o similares de los resultados de métodos numéricos utilizados de forma sistemática. Tienen la ventaja de que facilitan al proyectista su uso, sin necesidad de disponer de los programas informáticos que los generan, aunque padecen de la limitación propia de que solo pueden utilizarse para secciones con las características de geometría y distribución de armaduras para las que fueron creados. Entre algunos de estos métodos destacaremos los siguientes: 29.

(31) 1.2.3.1 Ábacos adimensionales en roseta. 1.2.3.2 Ábacos de interacción (previa reducción a flexión recta) 1.2.3.3 Método de superposición. 1.2.3.4 Diagramas de Interacción y Superficies de Contorno. 1.2.3.1 Ábacos adimensionales en roseta. Son el equivalente, en flexión esviada, a los diagramas de interacción adimensionales en flexión recta. Del mismo modo que allí, al variar la cuantía, se obtenía para cada sección un conjunto de diagramas de interacción (N, M), aquí se obtiene un conjunto de superficies de interacción (N, Mx , My ). Estas superficies pueden representarse mediante las curvas que resultan al cortarlas por planos N=cte. Generalmente se agrupan 4 u 8 de estos gráficos, aprovechando las simetrías. Si además se preparan en forma adimensio na l, llevando en los ejes los esfuerzos reducidos (ν, μx, μy), son válidos para una sección rectangular, cualesquiera que sean sus dimensiones y la resistencia del hormigón. El dimensionamiento de una sección es inmediato si disponemos de una roseta preparada para la misma disposición de armaduras, recubrimientos relativos y límite elástico de acero. (Jiménez Montoya, 2000) 1.2.3.2 Ábacos de interacción (previa reducción a flexión recta) En la mayoría de los casos las armaduras se disponen no sólo simétricamente, sino además con el mismo número de barras en cada cara. Resulta útil en estos casos el empleo de la fórmula simplificada de Jiménez Montoya, reduciendo el problema de flexión esviada a otro equivalente de flexión recta. Este procedimiento se realiza reduciendo primerame nte a los momentos en ambas direcciones a un estado adimensional tal y como se desarrolla en el caso de los ábacos adimensionales e roseta y posteriormente llevándolo a la flexió n recta mediante una ecuación que incluye un coeficiente β que está en función del axil reducido ν=Nd *U c, el cual se encuentra tabulado, y afecta al menor de los momentos (μ= μ1 +β*μ2 ). Existen también otros métodos similares a este que varían en cuanto a la forma de obtención del coeficiente β los cuales reducen las dimensiones de los errores medios en los resultados obtenidos hasta un 1%. (Jiménez Montoya, 2000) 1.2.3.3 Método de superposición Consiste en considerar por separado dos solicitaciones de flexión recta, la (N, M x ) y la (N, My ), sumando luego las armaduras resultantes. El empleo de este método es. 30.

(32) desaconsejable, ya que, aparte de carecer de fundamento teórico, puede conducir a errores importantes del lado de la inseguridad. (Jiménez Montoya, 2000) 1.2.3.4 Diagramas de Interacción y Superficies de Contorno. Los Diagramas de Interacción son ábacos que relacionan los pares de esfuerzos (axial y momento) que agotan la sección, para una geometría, cuantía, y disposición de armaduras conocidas. Si como es común en el estudio del comportamiento de secciones de hormigón armado se construyen curvas de M vs ϕ para diversas combinaciones de M y P sería necesario construir una curva para cada valor de axial en las combinaciones analizadas. De ahí que no sea factible realizar este procedimiento para un análisis del comportamiento de las columnas. Las mismas consecuencias traerá si se realizan curvas de P vs Δ ó P vs ε ,c donde se deberá realizar una curva para cada excentricidad e 0 . Debido a lo anteriormente expuesto para el análisis de comportamiento de columnas que están sometidas a un conjunto de combinaciones se emplean los denominados Diagramas de Interacción (DI). En estos se reflejan las diversas etapas que atraviesan las secciones: fisuración, fluencias y agotamiento. Donde sí las combinaciones reales están dentro de cada diagrama, no se provoca un estado que sobrepase lo establecido y la sección resulta apropiada. En las siguientes figuras se ilustran diagramas de interacción para secciones con refuerzo simétrico. En el caso de refuerzo diferente en las caras opuestas el diagrama no será simétrico y la carga axial máxima no estará en M=0, sino desplazado para una excentricidad conocida como excentricidad del Baricentro Plástico. (Hernández Santana, 2013). 31.

(33) Figura 1.9. Diagrama de interacción con refuerzo simétrico. Fuente: (Hernández Santana, 2012) Como se puede ver en la figura 1.9 se puede generar un "diagrama de interacción de las resistencias" graficando la resistencia a la carga axial de diseño ϕPn en función de la correspondiente resistencia al momento de diseño ϕMn; este diagrama define la resistencia "utilizable" de una sección para diferentes excentricidades de la carga. En la Figura 1.9 se ilustra un típico diagrama de interacción de las resistencias a la carga axial y al momento de diseño, que muestra los diferentes segmentos de la curva de resistencia que se permiten para el diseño. El segmento "plano" de la curva de resistencia de diseño define la resistencia a la carga axial de diseño limitante Pn(max). Como se ilustra en la figura 12, a medida que disminuye la resistencia a la carga axial de diseño φPn, se produce una transición entre el límite correspondiente a secciones controladas por compresión y el límite correspondiente a secciones controladas por tracción. Lo anteriormente expuesto correspondería a la flexo-compresión recta (FCR) como caso particular de la FCB. El DI obtenido para la FCB deberá ser tridimensional ya que está combinación de carga incluye momento no en una dirección como es el caso de la FCR sino en dos. El diagrama obtenido para el este caso recoge todas las combinaciones de carga y momentos flectores en ambos ejes que limitan la resistencia de la sección. También existe otra forma de plantearse las zonas de resistencia de la sección que son las Superficies de Contorno que se obtienen fijando una carga axial sobre el diagrama tridimensional por lo que estarán en función de los momentos en ambas direcciones. Sobre este tema se abarcará más ampliamente en capítulos posteriores.. 32.

(34) Figura 1.10 .Diagrama de interacción tridimensional para columnas sometidas a flexocompresión biaxial. Fuente: (Alfonso, 2013) Estos diagramas toman en consideración específicamente los efectos de la flexo compresión, no se considera los efectos de la fluencia lenta y el pandeo. El empleo de los diagramas resulta de utilidad para el dimensionamiento de columnas de hormigón armado u otros elementos estructurales, utilizados tanto en el ámbito académic o como profesional. Para el efecto se elige una de las secciones más frecuentes utilizadas en el campo profesional, las secciones rectangulares con armadura simétrica, aunque las mismas bases de diseño sirven para la resolución de otros casos de forma de sección o de disposición de la armadura. 1.2.3.5 Crítica a los métodos gráficos En este tópico hemos tratado una serie de métodos gráficos los cuales presentan la ventaja de ser muy simples una vez que se cuenta con los ábacos correspondientes a cada uno . Esta fortaleza se convierte en una debilidad cuando se analiza de que la mayoría de estos ábacos se confeccionan bajo condiciones estándares de disposiciones de armaduras, recubrimientos relativos, límite elástico del acero, número y diámetro de las barras, dimensiones de la sección de hormigón, etc. Como se puede apreciar, estos métodos a pesar de su simplicidad dificultan la labor proyectista a la hora del diseño ya que no le permiten alterar fácilmente las características de las secciones con el propósito de obtener diseños más económicos y eficientes ya que para ello se debe contar con un número considerable de ábacos a su disposición, además de convertirse en un trabajo engorroso debido al número de materiales que se deben emplear simultáneamente. Estas dificultades desaparecen en el caso de los diagramas de interacción y superficies de contorno obtenidos por computador. La ventaja principal de estos son la sencillez de utilización y la precisión, ya que la operación de comprobar o dimensionar se hace de forma directa y estos diagramas. se obtienen. utilizando. hipótesis. precisas de. comportamiento de los materiales respecto a la realidad que de forma manual sería un proceso complejo y extenuante. Este método gráfico con algunas modificaciones de carácter numérico debido a la complejidad del problema que presenta la FCB será el seleccionado para emplear en el presente trabajo.. 33.

(35) 1.2.4 Método de Ehsani A continuación ilustraremos de forma general la metodología a seguir en la confección de las hojas de cálculo. Esta se basa principalmente en los métodos gráficos mencionados anteriormente ya que el objetivo fundamental de las hojas de Mathcad es la obtención de los Diagramas de Interacción y de las Superficies de Contorno como simplificaciones de los DI tridimensionales. Pero la metodología empleada va más allá que el simple método gráfico ya que tanto el diseño como la comprobación de secciones de columnas sometidas a FCB requiere la determinación de la posición del eje neutro empleando para ello las ecuaciones de compatibilidad y equilibrio. Como estas ecuaciones no pueden expresarse analíticamente tomando como variables parámetros que fijen la posición de la fibra neutra, el problema no admite solución analítica exacta, debiendo recurrirse al tanteo de distintas posiciones del eje neutro, siendo de cálculo laborioso y por ello adecuados para su resolución mediante ordenador. El método de Ehsani establece una línea de interacción para la resistencia de la columna de prueba, en forma exactamente análoga a la curva para carga axial más flexión uniaxia l. Sin embargo, la curva se genera para el valor particular del ángulo de excentricidad que es aplicable, determinado por la relación de Muy/Mux a partir del análisis estructural del pórtico. Esto se lleva a cabo seleccionando valores sucesivos para la distancia hasta el eje neutro, medida en este caso a lo largo de una de las caras de la columna a partir de la esquina sometida a mayor compresión, desde un valor muy pequeño (excentric idad grande) hasta uno muy grande (excentricidad pequeña), para luego calcular la fuerza axial Pn y los momentos Mnx y Mny. Para cada distancia seleccionada del eje neutro se realiza una iteración con valores sucesivos del ángulo de orientación θ, hasta que λ coincida con el valor de λ resultante del análisis estructural del pórtico. De esta manera, se establece un punto en la curva c de la figura 1.11d. Luego se repite esta secuencia de cálculos: se hace otra selección de la distancia al eje neutro, se escoge un nuevo valor de θ, se calculan los valores de la fuerza axial y de los momentos, se determina λ y se itera con los valores de θ hasta obtener el valor correcto de λ. En consecuencia, se establece un nuevo punto y se continúa así hasta obtener la curva de interacción de resistencia completa para ese valor particular de λ. Las disposiciones de seguridad del Código ACI pueden entonces de imponerse de la manera usual y así es posible verificar si el diseño propuesto es idóneo para las cargas y momentos conocidos, utilizando como base la curva de resistencia de diseño en la columna de prueba. (Ehsani, 1986) 34.

(36) Obviamente, este método no es práctico para cálculos manuales, pero los pasos iterativos pueden llevarse a cabo en forma fácil y rápida con computadoras personales que también permiten una presentación gráfica de los resultados. 1.3 Flexo-compresión biaxial en columnas cortas rectangulares de hormigón armado La situación con respecto a la resistencia de columnas cargadas biaxialmente se ilustra en la figura 1.11. Sean X y Y las direcciones de los ejes principales de la sección transversal. En la figura 1.11a, la sección se somete a flexión solo con respecto al eje Y, con una excentricidad de la carga ex , medida en la dirección de X. La curva correspondiente de interacción de resistencias aparece como Caso (a) en el esquema tridimensional de la figura 1.11d y se delinea en el plano definido por los ejes P n y Mny . Esta curva puede determinarse con los métodos corrientes para flexión uniaxial. De modo similar, la figura 1.11d muestra la flexión con respecto al eje X únicamente, con una excentricidad ey medida en la dirección Y. La curva de interacción correspondiente es el Caso (b) en el plano Pn y Mnx en la figura 1.11d. Para el Caso (c), que combina los ejes de flexión X y Y, la orientación de la excentricidad resultante se define mediante el ángulo λ: (Nilson, 1999) 𝜆 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛. 𝑒𝑥 𝑀 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑛𝑦 𝑒𝑦 𝑀𝑛𝑥. 35.

(37) Figura 1.11. Diagrama de interacción para compresión y flexión biaxial: (a) flexió n uniaxial con respecto al eje Y; (b) flexión uniaxial con respecto al eje X; (c) flexión biaxial con respecto a un eje diagonal; (d) superficie de interacción. Fuente: (Nilson, 1999) Para este caso, la flexión es con respecto a un eje definido mediante el ángulo θ con respecto al eje X. El ángulo θ depende de la interacción de los momentos flexiona ntes con respecto a ambos ejes y de la magnitud de la carga Pu. El área en compresión de la sección de la columna, por la aplicación de la carga Pu excéntrica, puede tener cualquiera de las formas que se muestran en la figura 1.12 y son la base del cálculo de este tipo de problemas.. Figura 1.12. Formas que adopta el área de compresión en columnas sometidas a flexo compresión biaxial. Fuente: (Hernández Santana, 2013) El ángulo λ de la figura 1.11c define un plano en la figura 1.11d, que pasa a través del eje vertical Pn conformando un ángulo λ con el eje Mnx, como se indica. En este plano, la resistencia de la columna se define mediante la curva de interacción marcada como Caso (c). Para otros valores de λ se obtienen curvas similares para definir la superficie de falla para una situación de carga axial más flexión biaxial, como la de la figura 1.11d. La superficie es exactamente análoga a la línea de falla para carga axial más flexión uniaxia l. Cualquier combinación de Pu, Mux y Muy que caiga dentro de la superficie puede aplicarse sobre la columna de forma segura, pero cualquier punto que este por fuera de la superficie representaría la falla. Observe que la superficie de falla puede describirse bien sea mediante un conjunto de curvas definidas por planos radiales que pasan a través del eje Pn, como lo señala el Caso (c), o por un conjunto de curvas definidas por intersecciones de planos horizontales, cada uno para una carga constante Pn definie ndo así los contornos de carga. La construcción de una superficie de interacción para determinada columna parecería ser una extensión obvia del análisis de flexión uniaxial. En la figura 1.11c podrían seleccionarse opciones sucesivas de la distancia c al eje neutro para un valor seleccionado 36.

(38) de θ. Para cada una de estas, utilizando la compatibilidad de deformaciones y las relaciones esfuerzo-deformación para establecer las fuerzas en las barras y la resultante de compresión en el concreto, utilizando luego las ecuaciones de equilibrio para encontrar Pn, Mnx y Mny, se podría determinar un solo punto en la superficie de interacció n. Cálculos repetitivos, fácilmente realizados mediante computador, pueden establecer entonces una cantidad suficiente de puntos que definen la superficie. La zona de compresión de forma triangular o trapezoidal como en la figura 1.11c, es una complicación y, por lo general, la deformación en cada barra de refuerzo será diferente, pero estas características pueden incorporarse en el análisis. Sin embargo, la principal dificultad es que el eje neutro no va a ser, en general, perpendicular a la excentricidad resultante dibujada desde el centro de la columna hasta el punto de aplicación de la carga Pn. Para cada selección sucesiva del eje neutro, existen valores únicos de Pn, Mnx y Mny y, solo para casos especiales, la relación Mny/Mnx será tal que la excentricidad resulte perpendicular al eje neutro seleccionado para los cálculos. El resultado es que, para selecciones sucesivas de c para determinado θ, el valor de λ en las figuras 1.11c y 1.11d variará. Los puntos en las superficies de falla establecidos de esta manera se desviarán de dicha superficie para valores crecientes de Pn y no representarán un plano de intersección, como en el Caso (c) de la figura 1.11d. En la práctica, la carga mayorada Pu y los momentos mayorados Mux y Muy, que deben ser resistidos, se determinan mediante el análisis del pórtico de la estructura. Por consiguiente se establece el valor real de λ=arctan(Muy/Mux) y se necesita únicame nte la curva del Caso (c), figura 1.11d, para verificar si la columna de prueba es adecuada. (Nilson, 1999) 1.4 Programas computacionales a emplear. En el siguiente trabajo se pretende lograr un diseño confiable de columnas cortas rectangulares de hormigón armado sometidas a solicitaciones de FCB. Para ello se confeccionarán hojas de cálculo en Mathcad 15 y Mathcad Prime 3.1 las cuales serán comprobadas mediante la aplicación de otros programas computacionales tales como el MIDAS set. En el siguiente epígrafe realizaremos una caracterización general de dichos programas.. 37.

(39) 1.4.1 Mathcad. Hojas de Cálculo. Ambas versiones son muy similares ya que la base de programación de ambas es la misma pero debido a que el Mathcad Prime pertenece a una nueva línea de desarrollo de la compañía PTC presenta algunas diferencias respecto a las versiones convencionales de Mathcad las cuales se pueden traducir tanto en ventajas como deficiencias en comparación con las versiones más antiguas. El Mathcad constituye. una aplicación. computacional ideal para representar el. conocimiento adquirido, involucrarse en pensamiento crítico, servir de andamiaje a diferentes formas de razonamiento, exige que los estudiantes y especialistas aborden las problemáticas desde puntos de vista novedosos y exige un análisis profundo de las temáticas tratadas para poder realizar las programaciones que contemplen todas las posibilidades del caso analizado. Este se ha integrado rápidamente en la ciencia de la ingeniería; la velocidad de esta integración es un claro indicador de su utilidad. ¿Por qué la inmediata integración? Es fácil usar, no tiene la interface de una “spreadsheet”, no hay filas y columnas visib les, solamente emplea una interface como una pizarra y esto es conveniente a los ingenieros y estudiantes. A continuación se presentan un conjunto de características generales comunes a ambas versiones, posteriormente se detallarán las diferencias existentes entre ellas y se arribarán a conclusiones. En el Manual de Usuario (MATHCAD), los productores del software, exponen sus bondades: . Mathcad proporciona todas las capacidades resolutivas, la funcionalidad y la solidez necesarias para el cálculo, la manipulación de datos y el diseño industr ia l. La estandarización y reutilización de los cálculos mediante Mathcad asegura el cumplimiento de los estándares. Al combinar cálculos, gráficos, texto e imágenes en un documento, permite la captación y publicación de conocimiento, lo que posibilita la gestión de grandes proyectos. Mathcad le permite documentar los cálculos. en lenguaje. matemático,. ya que combina. un potente motor. computacional, al que se accede mediante una notación matemática convencio na l, con un procesador de texto completo y herramientas de gráficos. . Puede escribir ecuaciones como suele verlas escritas en el papel. Simpleme nte escriba las ecuaciones y aparecerán con un resultado inmediato, junto con la 38.