El Teorema de la variedad central y los modelos del Universo
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(2) A Carlos y Martica; A Daniel Alejandro, Luis Daniel y Luke Sebastian.
(3) Indice Agradecimientos. III. Lista de Publicaciones. V. Sı́ntesis. VII. Introducción. 1. 1 Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. 11. 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 1.2. Ecuaciones dinámicas y variables normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 1.3. Puntos crı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 1.4. Dinámica de la variedad central de P5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. 1.5. Dinámica de la variedad central de la curva P1 . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 1.6. Simulación numérica: potencial exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 1.7. Resultados y discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 1.8. Conclusiones del capı́tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 2 Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica Bianchi I. 29. 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 2.2. Ecuaciones dinámicas y variables normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 30. 2.3. Puntos Crı́ticos y análisis de espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. 2.4. Dinámica de la variedad central de las soluciones de de Sitter . . . . . . . . 34 I.
(4) II. Indice 2.5. Un modelo ilustrativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.6. El efecto de un término de radiación oscura negativo . . . . . . . . . . . . 36. 2.7. Resultados y discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. 2.8. Conclusiones del capı́tulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 3 Modelo de Gas de Chaplygin Generalizado. 43. 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 3.2. Ecuaciones del modelo cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. 3.3. Caso del potencial exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 3.4. Análisis de espacio de fase sin la especificación del potencial . . . . . . . . 56. 3.5. Conclusiones del capı́tulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Conclusiones Generales. 69. Anexos. 73. 4 Anexo A: Ilustraciones gráficas sobre la simulación numérica. 75. 5 Anexo B: El Teorema de la Variedad Central: Conceptos Básicos. 85. Referencias. 115.
(5) Agradecimientos A mis hijos, Martica y Carlos, que soportaron, tanto material como espiritualmente, de manera decisiva, mi trabajo A todos los compañeros y amigos del Departamento de Fı́sica y del Departamento de Matemáticas que contribuyeron con su ayuda y estı́mulo A todos los compañeros y amigos del Laboratorio de Ciencias Planetarias por su ayuda inestimable Al Dr. Rolando Cárdenas Ortiz por sus crı́ticas, por su apoyo, y por la confianza que ha tenido en mi trabajo Al Dr. Mariano Rodrı́guez Ricard por sus indicaciones oportunas, por su apoyo, y por el entusiasmo que me ha trasmitido para la realización mi trabajo Al Dr. Genly Leon Torres porque ésta es también su tesis, de hecho, esta investigación se realizó esencialmente durante un perı́odo de estrecha colaboración entre el autor de esta tesis y el colega Genly Al Dr. Yoelsy Leiva Nodal por sus indicaciones oportunas precisas, por su apoyo, y por su colaboración A la Dra. Lucia Aguelles por sus indicaciones oportunas precisas, por su apoyo, y por su colaboración A mi amigo y hermano, José Monteagudo Fortún, que tanto contribuyó, de muchas formas, a mi trabajo. III.
(6) IV. Agradecimientos.
(7) Lista de Publicaciones 1. Carlos R Fadragas and Genly Leon, Some remarks about non-minimally coupled scalar field models, Class. Quantum Grav. 31 (2014) 195011 (39pp). Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1405.2465v2 [gr-qc] 12 Oct 2014. 2. Carlos R Fadragas, Genly Leon and Emmanuel N Saridakis, Dynamical analysis of anisotropic scalar-field cosmologies for a wide range of potentials, Class. Quantum Grav. 31 (2014) 075018 (38pp). Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1308.1658v2 [gr-qc] 17 Mar 2014. 3. Sergio del Campo, Carlos R. Fadragas,Ramón Herrera,Carlos Leiva, Genly Leon,and Joel Saavedra1, Thawing models in the presence of a generalized Chaplygin gas, PHYSICAL REVIEW D 88, 023532 (2013). Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1303.5779v3 [astroph.CO] 30 Oct 2013. 4. Dagoberto Escobar, Carlos R. Fadragas, Genly Leon, and Yoelsy Leyva, Asymptotic behavior of a scalar field with an arbitrary potential trapped on a Randall-Sundrums braneworld: the effect of a negative dark radiation term on a Bianchi I brane, Astrophys Space Sci, DOI 10.1007/s10509-013-1650-8. Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1301.2570v2 [gr-qc] 30 Oct 2013. 5. Dagoberto Escobar, Carlos R Fadragas, Genly Leon, and Yoelsy Leyva, Phase space analysis of quintessence fields trapped in a RandallSundrum braneworld: anisotropic Bianchi I brane with a positive dark radiation term, Class. Quantum Grav. 29 (2012) 175006 (21pp). Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1201.5672v2 [gr-qc] 26 Oct 2012. 6. Dagoberto Escobar, Carlos R Fadragas, Genly Leon, and Yoelsy Leyva, Phase space analysis of quintessence fields trapped in a RandallSundrum braneworld: a refined study, Class. Quantum Grav. 29 (2012) 175005 (17pp). Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1110.1736v3 [gr-qc] 9 Aug 2012. V.
(8) VI. Publicaciones 7. Genly Leon and Carlos R. Fadragas, COSMOLOGICAL DYNAMICAL SYSTEMS, 321pp, arXiv:1412.5701v1 [gr-qc] 18 Dec 2014. 8. Genly Leon, Pavel Silveira and Carlos R. Fadragas, Chapter 9: PHASE-SPACE OF FLAT FRW MODELS WITH BOTH A SCALAR FIELD COUPLED TO MATTER AND RADIATION, In: Classical and Quantum Gravity, Editor: Vincent R. Frignanni, pp. 1-74, ISBN 978-1-61122-957-8. 2010 Nova Science Publishers, Inc. Una versión de esta publicación está disponible en el archivo de Los Alamos con el código: arXiv:1009.0689v1 [gr-qc] 3 Sep 2010. 9. Carlos R. Fadragas, Qualitative analysis of Kantowski-Sachs metrics in generic f(R) scenarios, 19 de julio de 2012, Latino American Workshop on HEP: Particles and Strings, Havana, Cuba.. 10. Genly Leon and Carlos R. Fadragas, Cosmological Dynamical Systems and their application, LAP, Lambert Academic Publishing, 416 pp. 11. Carlos R. Fadragas, Rolando Cardenas, Mariano Rodriguez Ricard, Detailed Qualitative Dynamical Analysis of a Cosmological Higgs Field, Simposium Sociedad Cuabana de Fisica, Habana, 2014..
(9) Sı́ntesis En este trabajo se aborda el problema del estudio de la estabilidad dinámica de los modelos matemáticos del Universo, en particular, aquellos modelos que exhiben mayor complejidad cuando se describe su dinámica en su espacio de fase. El propio desarrollo de la Cosmologı́a Moderna exige cada vez la toma en consideración de modelos dinámicos más elaborados en correspondencia con el grupo de problemas propios que aún tiene que explicar esta disciplina y que están relacionados con la evolución del Universo. O sea, la complejidad matemática surge como una necesidad cientı́fica. Se hace una revisión exhaustiva de los métodos conocidos para el análisis de la estabilidad de un sistema dinámico y nos encontramos con el problema de que utilizando los métodos tradicionales, como el análisis de estabilidad lineal, no se logra caracterizar correctamente las soluciones de equilibro no hiperbólicas. Y para resolverlas se decide utilizar herramientas matemáticas más poderosas como son los casos del teorema de la variedad central y del teorema de las formas normales. Después de profundizar en las ventajas y desventajas de ambos métodos para resolver problemas de igual complejidad, se elige el teorema de la variedad central. Y como ilustración se decide aplicar este método a problemas matemáticos que se derivan de problemas cosmológicos de interés actual para la comunidad cientı́fica. El nuestro es un aporte a la cosmologı́a desde la matemática. La contribución, esencialmente, no es a la matemática perse. Los resultados obtenidos se corresponden con lo esperado, corroborando las posibilidades de la aplicación del teorema de la Variedad Central en la caracterización del comportamiento dinámico de los modelos cosmológicos modernos más complejos, tales como los modelos del tipo mundo brana 5D de Randall-Sundrum II, el de gas de Chaplygin generalizado, e incluyendo métricas anisotrópicas. El trabajo sistemático en este sentido puede contribuir a consolidar a corto plazo la aplicación de una técnica actual y poderosa, que puede ser extrapolada hacia otras ramas del trabajo cientı́fico y de las aplicaciones tecnológicas.. VII.
(10) Introducción Generalidades En este trabajo se aborda el problema del estudio de la estabilidad dinámica de los modelos fı́sico-matemáticos del Universo, en particular, aquellos modelos que exhiben mayor complejidad cuando se describe su dinámica en su espacio de fase. El propio desarrollo de la Cosmologı́a Moderna exige cada vez la toma en consideración de modelos dinámicos más elaborados en correspondencia con el grupo de problemas propios que aún tiene que explicar esta disciplina y que están relacionados con la evolución del Universo. O sea, la complejidad matemática surge como una necesidad cientı́fica. Las investigaciones en Gravitación y Cosmologı́a pretenden dar respuesta a las razones por la cuales el Universo actual tiene las propiedades que se observan. A pesar de disponer de un marco teórico bien establecido, como lo es la teorı́a de la gravedad de Einstein (TGR), que es válido en un amplisimo rango de energı́as y que ha respondido satisfactoriamente a numerosas comprobaciones empı́ricas, quedan numerosas e intrigantes preguntas carentes de respuesta. • Es la energı́a oscura la causa de la aceleración de la expansión?. Cuál es su ecuación de estado hoy dia? • Por qué las densidades de masa de la materia y de la energı́a oscura son del mismo orden de magnitud hoy dia? • Será la aceleración de la expansión una indicación de que la acción de EinsteinHilbert debe ser modificada? • Puede alcanzarse el grado de isotropı́a que se observa hoy dia en el universo independientemente del grado inicial de anisotropı́a? Para responderlas el consenso dice que hace falta progresar en la modelación teórica y/o fenomenológica del Universo en base a un creciente número de datos observacionales 1.
(11) 2. Introducción. que nos informan de como es la cinemática del Universo a grandes escalas, y por otro lado, en la profundización en el entendimiento de la teorı́a fundamental que describe la interacción gravitatoria. Las recientes observaciones astrofı́sicas (incluyendo mediciones de distancia-luminosidad de supernovas, de aglomeraciones de galaxias y del fondo cósmico de microondas, WMAP-7, entre otros) nos plantean que el Universo observable es homogéneo e isotrópico con gran exactitud y esta actualmente expandiéndose aceleradamente [1, 2, 106]. Para resolver el problema de la homogeneidad y la isotropı́a la gran mayorı́a de los autores parten de geometrı́as homogéneas e isótropas denominada métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), para luego examinar la evolución de las perturbaciones cosmológicas, sin embargo, un tratamiento más riguroso del problema es comenzar con una métrica arbitraria y mostrar que la geometrı́a del universo evoluciona en forma natural a la métrica FRW, de acuerdo con las observaciones actuales. Por otra parte, para explicar el fenómeno de la expansión acelerada del Universo se han desarrollado una serie de modelos cosmológicos. Uno de los primeros modelos que tratan de explicar esta expansión acelerada de nuestro Universo consistió en considerar la existencia de una componente dominante en el Universo con presión negativa denominada Energia Oscura (EO) responsable de la aceleracion actual. Actualmente este estudio presenta un gran desarrollo cientı́fico y tecnológico a nivel mundial, debido a la importancia de comprender la evolución del Universo [4]. En general la EO puede ser descrita a través de una densidad de energı́a asociada a campos escalares, vectoriales, espinoriales, entre otros. En particular, una gran importancia ha adquirido la densidad de energı́a caracterizada por el campo escalar de quintaesencia. Otra posibilidad para describir la aceleración del Universo actual es la descrita por los campos fantasma. La introducción de este tipo de campos estuvo motivada, basado en la evidencia observacional, en la existencia de una región con w < −1 (si tal fase en la evolución del Universo en verdad ocurre), donde w es el parametro de ecuación de estado de la EO. Este resultado abrió un conjunto de preguntas fundamentales. Por ejemplo, la entropı́a del tal universo es negativa (o las temperaturas caracterı́sticas serı́an negativas). La condición dominante de energı́a (DEC, de sus siglas en inglés) es violada por regla. El universo dominado por el campo fantasma terminarı́a en una singularidad futura en un tiempo finito llamada Big Rip o Cosmic Doomsday, ver, por ej. las referencias [5, 6]. Esta última propiedad ha atraido mucha atención y elevó el número de especulaciones hasta el cálculo explı́cito del tiempo de vida restante de nuestro universo. A su vez, tal estudio ha motivado la investigación matemática de las singularidades cuando la DEC o la condición de energı́a fuerte (SEC) es violada. Sin embargo, la singularidad Big Rip se caracteriza por el crecimiento de los invariantes de energı́a y la curvatura con un factor de escala divergente en el momento del tiempo de big-rip. La escala de energı́a puede crecer hasta la escala de Planck, dando lugar a una segunda era de la Gravedad Cuántica. Finalmente, los efectos cuánticos se vuelven importantes cerca de la singularidad en los que pueden moderar o incluso prevenir la singularidad [6, 9]. En otras palabras, el campo fantasma.
(12) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 3. puede padecer de singularidad cuántica. Sin embargo, una energı́a oscura compuesta por dos densidades quintaesencia y campo fantasma (cosmologı́a quintasma o quintom) no presenta este problema de inestabilidad y tiene la ventaja de proporcionar una ecuación de estado para la energı́a oscura la cual está de acuerdo con los datos observaciones proveniente de WMAP-7 [106], ver también referencias [10, 118] y que permite el cruce de la barrera w = −1. Por otro lado, para tratar de explicar la aceleración de la expansión del Universo han sido consideradas modificaciones de la teorı́a de la gravedad misma. Los modelos más investigados son los llamados modelos de gravedad modificada f (R) (ver [12, 13] y las referencias allı́ citadas). En estos se explica la aceleración de la expansión a partir de considerar modificaciones/extensiones en la acción de Einstein-Hilbert (reemplazando el escalar de Ricci, R, por funciones de éste) las cuales conducen a modificaciones del tensor de momentoenergı́a de caracter puramente geométrico. Otra alternativa son los modelos basados en teorı́as extra-dimensionales, por ejemplo, los mundos branas de Randall-Sundrum tipo II (RSII). En este modelo los campos de norma se confinan a una subvariedad de dimension menor (3-brana) empotrada en el espacio 5D tipo Anti de Sitter (AdS5). Sólo la gravedad escapa en la dirección extra. Pueden considerarse, por ejemplo, branas homogéneas FRW y branas de Bianchi tipo I con un campo escalar confinado en ésta. En este último caso pueden tenerse en cuenta los efectos del tensor de Weyl 5D en la dinámica de la brana. Otro modelo alternativo a la TGR lo constituye, por ejemplo, la cosmologı́a HoravaLifshitz. Como se puede apreciar, existe una clase muy amplia de modelos basados en diferentes marcos teóricos, los cuales de una manera u otra persiguen explicar la expansión de la aceleración que experimenta hoy dia el universo de acuerdo a la evidencia observacional que se tiene, evidencia que ha sido recogida a partir de 1998 usando los métodos de trabajo cientı́fico y los recursos tecnológicos más sofisticados. Es importante señalar que, independientemente la corriente que se siga en la modelación del Universo, la manera sistemática de examinar todos los posibles comportamientos cosmologı́cos de un modelo particular parece el uso de herramientas matemáticas de la teorı́a de los Sistemas Dinámicos. Tal acercamiento permite pasar por encima de las no linealidades y alto orden de las ecuaciones cosmologı́cas (particularmente en los modelos f (R) las ecuaciones son de cuarto orden en la formulación métrica) las cuales previenen del tratamiento completo, obteniéndose una descripción cualitativa de la dinámica global de estos modelos. En esta área de investigación, nuestro equipo de trabajo tiene una buena experiencia, destacándose varios aportes nuestros al estado del arte. Dentro del estado del arte se destacan nuestros resultados publicados en [117]. En dicha referencia investigamos modelos con campo escalar de quintaesencia acoplado a la materia. Los principales resultados obtenidos en este contexto son: (a) Demostración rigurosa de la no acotación del campo escalar en el futuro, salvo conjuntos de medida de Lebesgue cero, asumiendo funciones.
(13) 4. Introducción. de acoplamiento y potencial arbitrarias con buenas propiedades de diferenciabilidad; (b) Presentación de expansiones asintóticas para las soluciones cosmológicas en una vecindad de la singularidad inicial, extendiéndose resultados previos de otros investigadores. En [15] investigamos un modelo del universo basado en Teorı́as Escalares-Tensoriales (y por tanto se trata de un modelo relacionado mediante transformaciones conformes con teorı́as f (R)) incluyendo un campo escalar acoplado a la materia e incluyendo además radiación. Se probó que los puntos de equilibrio correspondientes a los mı́nimos locales no negativos del potencial (asociados con soluciones cosmológicas tipo de Sitter) son asintóticamente estables. Al igual que en [117], se probó la no acotación del campo escalar en el pasado. Se diseñó un sistema dinámico apropiado para la descripción del sistema hacia el pasado, obteniéndose: soluciones cosmológicas dominadas por radiación; soluciones inflacionarias con ley de potencias dominadas por el campo escalar; soluciones escalantes materia-energı́a cinética-radiación; soluciones escalantes materia-potencial-radiación. Usando el aparato matemático desarrollado en dicha referencia se investigaron los importantes ejemplos de teorás de la gravedad modificada f (R) = R + αR2 (gravedad cuadrática) y f (R) = Rn . En el caso de la gravedad cuadrática se demostró, mediante el cálculo explı́cito de la variedad central correspondiente, que el punto de equilibrio correspondiente a la fase de de Sitter (con campo escalar no acotado) es localmente asintóticamente inestable (punto de ensilladura). También, hemos investigado los modelos quintom (basados en dos campos: quintaesencia y campo fantasma). Con este propósito realizamos un levantamiento bibliográfico que nos condujo a las referencias [16, 17] en las cuales fueron investigados modelos quintom con potenciales exponenciales y geometrRW plana en presencia de fluido sin presión. En [13] se probó que en ausencia de interacción entre los campos, la solución dominada por el campo fantasma era el atractor del sistema y que dicho comportamiento no cambiaba en presencia de interacciones. En nuestra referencia , demostramos que este resultado sólo es cierto si la existencia de la fase fantasma excluye la existencia de soluciones escalantes. De este modo el comportamiento fantasma no es genérico en las cosmologı́as quintom. En [115] investigamos bajo que condiciones sobre el potencial se garantiza la existencia de fases escalantes, probándose que este régimen está asociado con el lı́mite donde ambos campos escalares divergen. Los resultados presentados en las referencias [117, 18, 115], condujeron en 2010 a la defensa de una Tesis de Doctorado en Ciencias Matemáticas [20]. Posterior a esto, en la referencia [118], presentamos una revisión exhaustiva el estado del arte del paradigma quintom. Otra clase de modelos cosmológicos que han sido investigadas por nosotros, y sobre los cuales hemos obtenido varios resultados importantes, se encuentran los modelos basados en Branas. En este contexto nos plateamos como problema de investigación determinar condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondientes a soluciones isótropas en expansión acelerada para diferentes modelos cosmológicos basados en.
(14) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 5. generalizaciones de los modelos de Randall-Sundrum tipo II (RSII). Esta generalización consistió en considerar modelos de brana Friedman-Robertson Walker (FRW) y brana con anisotropı́a del tipo Bianchi I, conteniendo como contenido material una mezcla de fluido perfecto y un campo escalar atrapados en la brana, para una clase general de potenciales de auto-interacción. En [23] investigamos branas con métrica FRW, obteniéndose como resultado que las contribuciones de la dimensión extra eran importantes con relación a la estabilidad la solución de Sitter. En este caso se obtuvo una tasa de expansión que difiere del valor predicho por la TGR. Debido al interés que suponı́a desde el punto de vista fı́sico el análisis de la estabilidad de dicha solución, se procedió al cálculo explı́cito de su variedad central y de la dinámica sobre ésta, determinándose que dicha solución es localmente asintóticamente inestable (tipo silla), por lo que dicha solución puede describir apropiadamente la inflación primordial. La condición suficiente para la inestabilidad local asintótica de la solución de Sitter obtenida es que las funciones f (s) asociadas a los potenciales de auto-interacciń del campo escalar no presenten una singularidad en s = 0 ó que f (0) > 0. Se demostró que para un campo escalar con potencial (donde Λ es una constante cosmológica positiva) atrapado en la brana, el universo tardı́o experimenta una fase de expansión acelerada (atractor tardı́o de de Sitter). Esta clase de potenciales contiene al potencial exponencial puro (Λ = 0) estudiado previamente en [21]. A partir de los resultados analı́ticos y numéricos pudimos conjeturar que la solución asociada a la singularidad de Big-Bang es la fuente local y que las trayectorias en el espacio de fase emergen de la vecindad de este punto. Este resultado concuerda con el resultado obtenido en [22]. En [24] investigamos desde la perspectiva de los sistemas dinámicos, la evolución de un campo escalar con potencial arbitrario atrapado en una brana de Randall-Sundrum de tipo 2 (RS2). Consideramos una métrica homogenea pero anisótropa de tipo Bianchi I (BI) para la geometrı́a de la brana provista además de un fluido perfecto. También se consideró el efecto en la 3-brana de la proyección del tensor de Weyl en la forma de un término radiación oscura positiva. Utilizando la Teorı́a de la Variedad Central obtuvimos condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución de de Sitter con el comportamiento estandar 4D. También se probó que las soluciones de de Sitter con modificaciones 5D son siempre de tipo silla. Este hecho se correlaciona con una inflación primordial transitoria. Se presentaron condiciones suficientes sobre el potencial para la estabilidad de la solucion escalante campo escalar-materia, para la solución dominada por el campo escalar y para la solución escalante campo escalar- radiacion oscura. Ilustramos nuestros resultados analı́ticos utilizando una función auxiliar f (s) simple. Nuestros resultados se verifican para una amplia región en el espacio de los parámetros libres del modelo. Además, se comprobó que determinados modelos evolucionan hacia soluciones isótropas independientemente de los valores iniciales de anisotropı́a del modelo. Todos estos resultados son generalizaciones de nuestros resultados previos obtenidos para branas FRW. En [25]presentamos un análisis del espacio de fase de un campo de quintaesencia y un fluido perfecto atrapado en una brana RS2 para una brana BI. Además, se consideró el efecto en la 3-brana de la proyección del tensor de Weyl en cinco dimensiones.
(15) 6. Introducción. en la forma de un término radiación oscura negativo. Para el tratamiento del potencial se utiliza el método de los ”f-devisers” que permite investigar los potenciales arbitrarios en un espacio de fase. Se presentaron las condiciones generales en el potencial a fin de obtener la estabilidad de las soluciones de de Sitter 4D estandar y no estandar 5D, y se proporcionaron las condiciones de estabilidad tanto para solución escalante campo escalarmateria, soluciones escalantes campo escalar-radiación oscura y soluciones dominadas por el campo escalar. Como resultados principales en dicha referencia reportamos que las soluciones dominadas por cizalla son inestables (en particular, las solusiones dominada por cizalla en contracción son de tipo silla de montar). Como principal diferencia con nuestro trabajo anterior, los modelos tradicionalmente en expansión potencialmente podrı́an volver a colapsar debido a la negatividad de la radiación oscura. Además, nuestro sistema admitió una amplia clase de soluciones estáticas que son de tipo silla de montar. Este tipo de soluciones son importantes en una fase intermedia en la evolución del universo, ya que permiten la transición de los modelos en contracción a modelos en expansión y viceversa. Las nuevas caracterı́sticas de nuestro escenario son la existencia de un rebote y un cambio de tendencia, lo que conduce a un comportamiento cı́clico, que no están permitidos en las branas Bianchi I con término positivo de radiación oscura. Finalmente, como ejemplos especificos consideramos un tipo particular del potencial que tiene f (s) simples. En el contexto de cosmologı́as anisótropas cabe destacar nuestros resultados en [26]. En dicha referencia investigamos teoriás Rn con geometrı́as anisótropas Kantowski-Sachs (KS). En este caso se determinó que el universo futuro puede resultar en un estado de expansión acelerada, y adicionalmente, para el rango 2 < n < 3, puede exhibir comportamiento fantasma. Además, la isotropización pudo alcanzarse independientemente del grado inicial de anisotropı́a. Se determinó que el universo futuro puede ser representado con alta probabilidad por una solución cosmológica en contracción. Finalmente se obtuvo también la realización de un universo cı́clico. Estos hallazgos indican que las geometrı́as anisótropas en gravedad modificada presentan comportamientos cosmológicos radicalmente diferentes cuando se compara con los escenarios isotrópicos. Ahora, en el contexto de modelos de gravedad modificada cabe destacar nuestros resultados en [27]. En dicha referencia investigamos la cosmologı́a Horava-Lifshitz desde la perspectiva de los sistemas dinámicos. De nuestro análisis se concluyó que, bajo la condición de balance detallado, puede obtenerse la realización de un universo cı́clico en el futuro en el cual la energı́a oscura, en la forma de una constante cosmológica, es dominante. Se determinó que cuando se relaja la condición de balance detallado el universo futuro puede representarse mediante una solución cosmológica dominada por energı́a oscura que se expande por siempre (universo de de Sitter) donde el estado oscilatorio preserva una menor probabilidad. Aunque nuestro análisis indica que la cosmologı́a Horava-Lifshitz puede ser compatible con las observaciones astrofı́sicas actuales no se pretendió enriquecer la discusión sobre sus posibles problemas conceptuales y teóricos..
(16) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 7. En [28] investigamos una clase de modelos en los cuales el campo de energı́a oscura (de tipo fantasma) provee de masa a la materia oscura. Imponiendo, como es usual, potenciales exponenciales o con ley de potencias, y dependencia de masa exponenciales o con ley de potencias, se concluyo, luego de un análisis de estabilidad detallado, que el problema de la coincidencia no puede ser resuelto. Por tanto, de acuerdo a nuestro estudio, si la energı́a oscura se atribuye a un campo fantasma, estos modelos de materia oscura con masa variable no pueden satisfacer los requerimientos básicos que motivaron su construcción. También en el contexto de los modelos de gravedad modificada debe destacarse el trabajo en [29]. En dicha referencia se llevaron a cabo un detallado análisis dinámico del escenario de energı́a oscura teleparalela. Esta comologı́a se basa en el equivalente teleparalelo de la Relatividad General, en el que se añnade un campo escalar canónico, lo que permite también un acoplamiento no minimal con la gravedad. De acuerdo a estos resultados, el universo puede tener soluciones de tiempo tardı́o del tipo quintaesencia, puede ser una solución dominada por la energı́a oscura, de manera similar a quintaesencia estandar. Sin embargo, el modelo de energı́a oscura teleparalela posee una solución de futuro atractora, en la que la energı́a oscura se comporta como una constante cosmológica, independientemente de los valores especı́ficos de los parámetros del modelo. Finalmente, durante la evolución, el parámetro de la ecuación de estado de la energı́a oscura puede estar por encima o por debajo de −1. Esto ofrece una buena descripción de su comportamiento dinámico observado y su estabilización cerca del valor del parámetro de la ecuación de estado para la constante cosmológica. Finalmente en [30] se hizo el análisis detallado de la cosmologı́a Galileon generalizada (una clase muy general de teorı́as escalares-tensoriales basada en la introducción de derivadas de orden superior en la acción con el requerimiento de que las ecuaciones de movimiento permanezcan de segundo orden), incorporando también los requerimientos de ausencia de estadosfantasmasy de inestabilidades cuánticas. Se halló que no hay nuevas soluciones para el universo tardı́o aparte de las soluciones estandares de quintaesencia. Además, dependiendo de los parámetros del modelo, el campo Galileon puede sobrevivir o diluirse completamente con el tiempo. Los parámetros observables correspondientes son siempre independientes de las derivadas de orden superior, y son determinados sólo por los términos usuales en la acción. Luego, a pesar de que los Galileonespueden jugar un rol importante en tiempos recientes o para la inflacitemprana, en el futuro, cuando el universo alcance asintóticamente su estado estable esto no afecta su evolucion. La compilación de los resultados obtenidos durante los últimos cinco añaos por nuestro equipo de trabajo nos permitió obtener el diploma del Premio Anual que otorga la Academia de Ciencias de Cuba en reconocimiento al resultado de la investigación cientı́fica con el trabajo: Modelación teórica y/ o fenomenológica del Universo, (2012). http : //resultados.redciencia.cu/premios/nacc ....
(17) 8. Introducción. ... /resumen.php?year = 2011idtrabajo = 2030idpremio = 9 De acuerdo a todo lo expuesto, el trabajo de tesis de Carlos de la Caridad Rodrı́guez Fadragas tiene las siguientes particularidades:. El Problema Cientı́fico Utilizando el método tradicional ordinario del análisis de estabilidad lineal no se logra caracterizar completamente las soluciones de equilibro de tipo no hiperbólicas, y se pierde la gran riqueza de comportamiento fı́sico que reflejan las soluciones de tipo hiperbólicas.. Objeto de estudio La insuficiencia del método dinámico ordinario, que se aplica para el estudio de la estabilidad, en el caso de un punto singular del espacio de fase del tipo no hiperbólico, donde el teorema de Hartman-Grobman no permite determinar la caracterı́stica del comportamiento dinámico. Se particulariza el objeto sobre los siguientes tópicos concretos: Cosmolgı́as de brana homog, tanto isótropas como anisótropas, y cosmologı́a conteniendo campos escalares, en particular, un modelo de Gas de Chaplygin Generalizado.. Hipótesis La aplicación del método del teorema de la variedad central permite detectar y describir cualitativamente caracterı́sticas especı́ficas del comportamiento dinámico de ciertos modelos cosmológicos complejos. Es posible caracterizar completamente las soluciones de equilibro de tipo no hiperbólicas aplicando el teorema de la variedad central, ampliando las posibilidades para la interpretación fı́sica de los resultados.. Objetivo general Profundizar en el conocimiento del origen y la naturaleza de la expansión acelerada del universo en el contexto de los modelos de mundos branas y de campos escalares incluyendo fluidos cosmológicos, desarrollando modificaciones de la acción de Einstein-Hilbert-Lagrange con el fin de obtener una teorı́a de la gravedad coherente a partir de la cual se pueda recuperar la Relatividad General en un lı́mite determinado, desarrollando aplicaciones de la.
(18) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 9. teorı́a de los sistemas dinámicos, particularizando con la aplicación del teorema de la variedad central cuando se trate de puntos crı́ticos no hiperbólicos, describiendo eficazmente la inflación y las épocas de energı́a oscura.. Objetivos especı́ficos • Estudiar la viabilidad de los modelos basados en branas de tipo Randall-Sundrum II, utilizando métricas homogéneas, tanto isótropas tipo FRW, como anisótropas tipo Bianchi I, para la descripción de la aceleración de la expansión del Universo de acuerdo al paradigma observacional moderno. • Estudiar las posibilidades de un modelo basado en un contenido de campo escalar y de un Gas de Chaplygin Generalizado utilizando una métrica de FRW, para la descripcion del sector oscuro del universo, en correspondencia con las observaciones actuales. • Analizar del espacio de fase asociado a un modelo cosmológico de branas RandallSundrum II FRW con fluido perfecto y con un campo escalar atrapado en la brana para una clase general de potencial de auto-interacció. • Analizar del espacio de fase asociado a un modelo cosmológico de branas RandallSundrum II con anisotropı́a del tipo Bianchi I conteniendo fluido perfecto y con un campo escalar atrapado en la brana para una clase general de potencial de autointeracción. • Analizar del espacio de fase asociado a un modelo cosmológico de un campo escalar y un Gas de Chaplygin Generalizado con métria isótropa de FRW, para una clase general de potencial de auto-interacción. • Formular condiciones suficientes para la existencia de atractores del futuro correspondientes a soluciones isótropas en expansión acelerada, independientemente del grado inicial de anisotropı́a, tomando en cuenta la caracterización de la estructura asintótica del futuro para el flujo en los espacios de fase de los modelos anteriores..
(19) 10. Introducción.
(20) Capı́tulo 1 Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW Este capı́tulo está dedicado al estudio del espacio de fase de un modelo tipo mundo brana Randall-Sundrum II con la métrica homogénea e isótropa de Friedman-Robertson-Walker. El contenido material del modelo consiste de un fluido perfecto y de un campo escalar con potencial de autointeracción arbitrario. El teorema de la variedad central es empleado para obtener condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución de de Sitter. Alguna simulación numérica es mostrada para un tipo particular de potencial.. 1.1. Introducción. El modelo de brana Randall-Sundrum de tipo II (RS2), introducido originalmente como un mecanismo alternativo a las compactificaciones de Kaluza-Klein [88], ha sido intensivamente estudiado en los últimos años, entre otra razones, por su apreciable impacto cosmológico en el escenario inflacionario [89, 90, 91]. El establecimiento del modelo comienza con las partı́culas del modelo estandard confinadas en una 4D hipersuperficie con tension positiva embebida en un 5D bulk con constante cosmológica negativa. Las ecuaciones sobre la brana son distintas a aquellas del modelo estandard 4D [92, 93, 94]. En [95, 96] se muestra que el modelo de potencial ley de potencia inversa permite amplias condiciones para un escenario de quintaesencia exitoso en contraste con los modelos de potencial exponencial y k-ensencia los cuales no presentan escenarios favorables. La estabilidad de soluciones escalante para el caso del modelo de ley de potencia en presencia de fluido perfecto con ı́ndice barotrópico γ fue desarrollado por [97]. Este estudio fue extendido por [98] a un fondo (background) generalizado H 2 ∝ ρnT para un n arbitrario (RS2 con n = 2). Otro interesante aspecto de este escenario es que el destino de la expansión cósmica puede ser modificada si la densidad de energı́a de algún componente de la materia crece a medida 11.
(21) 12. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. que la expansión toma lugar [99].. 1. Diversas observaciones astrofı́sica tales como Supernovae tipo Ia [100, 101, 102], Estructura de gran escala [103] y Fondo Cósmico de Microondas (CMB)[104, 105, 106] firmente confirman que nuestro Universo actualmente experimenta una fase de expanción acelerada. Varios modelos basados en marcos RS2 han sido propuestos. Otro enfoque para la expansión acelerada es el modelo de Gas Modificado de Chaplygin [107]. Otro enfoque interesante consiste en agregar un campo escalar auto-interactuante al contenido de materia del modelo en la brana [108, 95, 109, 110, 111]. Los campos escalares surge de manera natural en la Fı́sica de Partı́culas y pueden actuar como un fuerte candidato para la Energı́a Oscura (DE) [112]. El comportamiento dinámico del campo escalar acoplado con un fluido barotrópico en un Universo plano FRW ha sido estudiado por varios autores [113, 114, 115, 260, 117, 118, 288]. Una generalización natural de [113], es incluir coportamiento de dimensionalidad superior (RS2 escenario). Esto fue realizado en [120] donde se encontró los correspondientes campo escalares los cuales llavan a la solución escalante de atractor para varias modificaciones de la desndiad de energı́a a la ecuación de Friedmann; para el marco RS2 el potencial V ∝ cosech2 (Aϕ) fue encontrado 2 . La dinamica de un campo escalar con potenciales constante y exponencial fue investigado en [121]. Estos resultados fueron extendidos hacia una clase amplia de potencial de auto-interacción en [122] utilizando un método propuesto por [260]. En este trabajo nosotros damos un paso hacia adelante con respecto a trabajo previos mediante la exploración más detallada de la dinámica en el espacio de fase asociada a estos escenarios alrededor tanto de puntos singulares hiperbólicos como de puntos singuales no hiperbólicos. Este aspecto no puede ser tomado en consideración sólo con la utilización de la herramienta que aporta el análisis lineal, y se requiere de la Teorı́a de la Variedad Central para abordar completamente este estudio. De hecho, nosotros consideramos que la más interesante solución son los puntos crı́ticos no hiperbólicos, en particular, los puntos crı́ticos de de Sitter. En este trabajo nosotros utilizamos la Teorı́a de la Variedad Central para obtener condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución de de Sitter y para probar que aquı́ no existen atractores de tiempo tardı́o con 5D modificaciones. Esto está en acuerdo con una inflación primordial transciente. Otras ciertas condiciones más son determinadas mediante esta técnica. 1. Este tipo demodificación no aparece si la densidad de energ´ı̀a de tal componente en la brana se diluye con la expansión cósmica, como ocurre con las fuentes ordinarias: campo escalar de qquintaesencia, radiación, polvo, etc. 2 En tiempo tempranos, donde domina el término cuadrático de la energı́a, tal potencial se comporta con tipo ley de potencia siendo consistente con [95, 96]..
(22) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 1.2. 13. Ecuaciones dinámicas y variables normalizadas. En este apartado se realiza el análisis de la dinámica del modelo considerado. Las ecuaciones de campo para este caso son [123, 124, 125, 126]: 1 ( ρT ) 2U H = ρT 1 + + 3 2λ λ 4U ρT 2 2Ḣ = −(1 + )(ϕ̇ + γρm ) − λ λ ρ̇m = −3γHρm 2. ϕ̈ + ∂ϕ V = −3H ϕ̇. (1.1) (1.2) (1.3) (1.4). donde se considera el caso en que es posible despreciar la constante cosmológica(Λ4 = 0). ρT = ρϕ + ρm , λ es la tensión en la brana, γ es el ı́ndice barotrópico del fluido de fondo, V es el potencial de auto-interaccidel campo escalar. El término de la radiación oscura C U(t) = a(t) 4 surge de un tensor no nnulo de Weyl en el bulk y siendo C un parámetro constante relacionado con la masa del hueo negro preente en el modelo, si el bulk es tipo AdS−Schwarzschild entonces C ̸= 0 [124]. Cuando la masa del hueco negro se anula, la geometrı́a del bulk se reduce al caso AdS, y C = 0 [94, 126], el cual será el enfoque para lo que sigue. Aquı́ corresponde la aplicación de las herramientas que aporta la teorás de los sistemas dinámicos, en este caso, al modelo cosmológico anterior. 3 Para ello el sistema de acuaciones (1.1)-(1.4) debe ser modificado para resolver el modelo. Esto implica aplicar el método de la normalización de las variables (Hubble) ϕ̇ x= √ 6H la nueva variable temporal es τ = s, dada por. y= ∫. V 3H 2. Ωλ =. ρ2T , 6λH 2. (1.5). Hdt, y la variable dinámica adicional (no compacta), s = −∂ϕ ln V (ϕ).. (1.6). la cual es una función del campo escalar. Para el tratamiento del potencial nosotros seguimos la referencia [260]. Sea definida la función escalar ′′. f = Γ − 1,. V V Γ = ′2 . V. (1.7). Como Γ es una función del campo escalar Γ(ϕ) (ver definición (1.7)), también lo es la variable s = S(ϕ). Asumiendo que la inversa de S existe, tenemos ϕ = S −1 (s). Ası́, se 3. Ver, por ejemplo, los trabajos de [113], y [127, 295]..
(23) 14. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. Table 1.1: Formas explı́citas de f (s) para algunos potenciales de auto-interacción. Para homogeneizar las notaciones utlizamos unidades en las cuales κ2 ≡ 8πG = 1. Label. Potential. f (s). (a). V = V0 sinh−α χϕ. (b) V = V0 [cosh(χϕ) − 1]α (c) (d) (e) (f ). V =. 1 α. V0. 1 β. β. χϕ2. αχ2 s2. 1 − 2α +. (η+e−αϕ ) V = V0 e−χϕ + Λ V = V0 eϕm [ ] V = V0 eαϕ + eβϕ. −. +. αχ2 2s2 α s. −1 − χs √. s2 +8mχ+s s2 +8mχ 2ms2 (s+α)(s+β) − s2. Reference [129, 130] [131] [132] [289] [134, 135] [136]. puede obtener la relación Γ = Γ(S −1 (s)) y finalmente el potencial del campo escalar puede ser parametrizado por una función f (s). Ası́, en general, es posible el tratamiento de casos generales de potenciales mediante la utilización de un ”f -deviser”, lo cual permite asociar al potencial una función auxiliar f (s). En la table 1.1 son mostrados las funciones f (s) para algunos potenciales usuales de quintaesencia. Los casos (a)-(c) han sido estudiados en branas RS2 en [122]. Utilizando las variables (1.5)-(1.6) se deduce 4 el sistema dinámico autónomo representado por el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden siguiente √. 3 3(Ωλ + 1)(γ − 2) 3 3γ(Ωλ + 1)(y + Ωλ − 1) sy − 3x + x + x 2 2(Ωλ − 1) 2(Ωλ − 1) ] √ 3y(Ωλ + 1) [ y′ = (γ − 2) x2 + γ (Ωλ + y − 1) − 6xys (Ωλ − 1) [ ] ′ Ωλ = 3Ωλ (γ − 2) x2 + γ (Ωλ + y − 1) √ s′ = − 6xs2 f (s), ′. x =. (1.8) (1.9) (1.10) (1.11). donde la coma denota derivada con respecto a τ. De la ecuación de Friedmann (1.1) sigue la relación Ωm = 1 − x2 − y − Ωλ 4. (1.12). Aquı́ juega un papel decisivo para la realización segura y rápida de todo el proceso, la utilización del paquete de programas Mathematica.
(24) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 15. Utilizando (1.12), la condición de energı́a 0 ≤ Ωm ≤ 1 puede ser escrita como 0 ≤ x2 + y + Ωλ ≤ 1.. (1.13). De la definición (1.5) y de la restricción (1.13), es de interés investigar el flujo de (1.8)(1.11) definido en el espacio de fase. Ψ = {(x, y, Ωλ ) : 0 ≤ x2 + y + Ωλ ≤ 1, −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ Ωλ ≤ 1} × {s ∈ R} .. (1.14). Algunos parámetros cosmológico como el parámetro de la ecuación de)estado de la materia ( pϕ Ḣ escalar ωϕ = ρϕ , y el parámetro de desaceleración q = − 1 + H 2 pueden expresados como función de las nuevas variables x2 − y ωϕ = 2 , Ωϕ = x2 + y x +y ( )[ ] ) 1 + Ωλ 3γ ( 2 2 q= 3x + 1 − x − y − Ωλ − 1 1 − Ωλ 2. 1.3. (1.15). (1.16). Puntos crı́ticos. El sistema de ecuaciones (1.8)-(1.11), admite las curvas de puntos crı́ticos P1 , P2 , P3 ; los puntos crı́ticos P4± y P5 ; y las clases de puntos crı́ticos P6± , P7 y P8 parametrizados mediante s∗ satisfaciendo f (s∗ ) = 0. En la tabla 1.2 son moestrados la localización, las condiciones de existencia y algunos observables básicos de estos puntos crı́ticos 5 . Los puntos crı́ticos desde P1 hasta P6± siempre existen; el punto P7 existe ara s∗2 ≥ 3γ, como quiera que, P8 existe para s∗2 ≤ 6 with f (s∗ ) = 0. Seguidamente vamos a hacer algunos comentarios sobre la estabilidad de las perturbaciones de primer orden del sistema (1.8)-(1.11) en los entornos de los puntos crı́ticos mostrados en la tabla 1.2. ASı́ como comentaremos brevemente sobre su interpretación fı́sica. La lı́nea de puntos crı́ticos y = 1 − Ωλ llamada P1 representa soluciones con correcciones 5D, ya que, en general, Ωλ ̸= 0. De la relación entre y and Ωλ sigue que esta solución es Estrictamente hablando el sistema admite una curva más de puntos crı́ticos con coordenadas x ∈ 2 , Ωλ = 1, s = 0, pero como la condición de energı́a (??) no es satisfecha, los omitimos [−1, 1] , y = − x (γ−2) γ de este análisis. 5.
(25) 16. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. Table 1.2: Localización, condiciones de existencia y algunos observables para los puntos crı́ticos del sistema de ecuaciones(1.8)-(1.11).. Pi. x. y. Ωλ. s. Existence. ωϕ. Ωϕ. q. P1. 0. 1 − Ωλ. Ωλ ∈ [ 0, 1 [. 0. Always. −1. 1 − Ωλ. −1. P2. 0. 0. 0. s∈R. ”. undefined. 0. P3. 0. 0. 1. s∈R. ”. undefined. 0. undefined. P4±. ±1. 0. 0. 0. ”. 1. 1. 2. P5. 0. 1. 0. 0. ”. −1. 1. −1. P6±. ±1 √3. 0. 0. s∗. ”. 1. 1. 2. − 3(γ−2)γ 2(s∗ )2. 0. s∗. s∗2 ≥ 3γ. γ−1. 3γ s∗2. 3γ 2. −1. 0. s∗. s∗2 ≤ 6. 1. s∗2 2. −1. P7 P8. 2. γ. s∗. s∗ √ 6. 1−. (s∗ )2 6. 1 3. (s∗2 − 3). 3γ 2. −1. dominada por la energı́a potencial del campo escalar ρT = V (ϕ); esto es, es una solución tipo de Sitter (ωϕ = −1). En este caso la ecuación de Friedmann puede ser expresada como ( ) V 2 3H = V 1 + (1.17) 2λ En el universo temprano, donde λ ≪ V, el ritmo de expansión del universo para el modelo RS difiere de las predicciones de la relatividad general HRS = HGR. √. V 2λ. (1.18). P1 admite una variedad estable 2D, M2 . Debido a la importancia de soluciones tipo de de Sitter en el contexto cosmológico, en próxima sección 1.5 vamos a calcular explı́citamente su variedad central para probar que este punto crı́tico es localmente asintóticamente inestable. El punto P2 representa una solución por materia dominada (matter-dominated solution) (Ωm = 1). Este es un punto no hiperbólico, y se comporta como una punto de ensilladura en el espacio de fase del modelo RS2, ya que tiene una variedad no vacı’a estable y otra inestable (ver la tabla 1.3) 6 . 6. Estrictamente hablando, el concepto de punto de ensilladura no es aplicable al punto crı́tico no hiperbólico..
(26) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 17. El punto crı́tico P3 está localizado en el contorno Ωλ = 1 de la región del espacio de fase (1.14). Desde el punto de vista fı́sico, esta solución representa la singularidad del Big Bang (ρT → ∞). Los autovalores para P3 son mostrados en la tabla 1.3. Ellos fueron calculados para órbitas contenidas completamente en el conjunyo invariante x = y = 0 y mediante la toma del lı́mite a medida que Ωλ → 1. Para órbitas fuera del conjunto invariante anterior no podemos hacer el proceso de lı́mite ya que el sistema no es de clase C 1 en Ωλ = 1. Sin embargo, varias integraciones numéricas sugieren que esta solución es, no obstante, el attractor del pasado. Los puntos crı́ticos P4± son soluciones dominadas por la energı́a cinética del campo escalar y ellos representan soluciones con un comportamiento estandard (Ωλ = 0). Estos puntos crt́icos son no hiperbólicos. Sin embargo, ellos se comportan como puntos tipo ensilladura en el espacio de fse debido a la inestabilidad en la eigendirección asociada con un eigenvalor positivo y la estabilidad de una eigendirección asociada a un eigenvalor negativo. El punto crı́tico P5 es un caso particular de P1 cuando (Ωλ = 0). Elos representan una solución dominada por la energı́a potencial del campo escalar. Sin embargo, este es un atractor tardı́o de de Sitter en el supuesto que f (0) > 0. 7 El análisis de estabilidad de los puntos crı́ticos P6± , P7 y P8 es una tarea un poco más complicated ya que los eigenautovalores de la matriz de linealización sı́ dependen de la función f (s), sus ceros, s = s∗ , y del valor de la primera derivada en s = s∗ . Los puntos crı́ticos P6± son soluciones dominadas por la energı́a cinética del campo escalar y representan estados transcientes (puntos de ensilladura en el espacio de fase) en la evolución del universo para γ < 2. For γ = 2, el punto P6+ es no hiperbólico; la variedad estable es 3D en el supuesto que √ s∗ > 6 (1.19) y f ′ (s∗ ) > 0; en otro caso, la variedad estable de de menor dimensión que 3. Similarmente, para γ = 2, el punto P6− es no hiperbólico; y su variedad estable es 3D en el supuesto de que √ s∗ < − 6 (1.20) y f ′ (s∗ ) < 0; en otro caso, la variedad estable es de dimensión menor que 3. { √ √ } Los puntos crı́ticos P7 son no hiperbólico para s∗ ∈ − 3γ, 3γ or s∗ f ′ (s∗ ) = 0 o γ = 2. Los puntos P8 representan soluciones dominadas por el campo escalar (scalarfield-dominated solutions) (Ωϕ = 1) las cuales son no hiperbólicas en el supuesto de que s∗ 2 ∈ {0, 3γ, 6} or f ′ (s∗ ) = 0. Habiendo presentado los autovalores de la matriz Jacobian para los puntos crı́ticos P7 y P8 en la tabla 1.3, estalecemos los siguientes resultados de forma directa: 7. hemos arribado a esta conclusión mediante el análisis de estabilidad de su variedad central..
(27) 18. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. Table 1.3: Eigenvalores para ecuaciones (1.8)-(1.11). Se √ crı́ticos( del sistema de)) ( los puntos 24γ 2 utiliza la notación β± = 34 γ − 2 ± (2 − γ) (s . ∗ )2 − 9γ + 2 Pi. λ1. λ2. λ3. P1. 0. 0. −3. P2. 0. −3γ. 3γ. P3. 0. 3(γ − 1). 3γ. 6γ. P4±. 0. −6. 6. 6 − 3γ. P5. 0. 0. P6±. −6. 6 − 3γ. −3 √ 6 ∓ 6s∗. ∓ 6(s∗ )2 f ′ (s∗ ). β−. β+. −3γs∗ f ′ (s∗ ). s∗2 − 3γ. −s∗2. −s∗3 f ′ (s∗ ). P7 P8. ( 1 2. −3γ s∗2 − 6. ). λ4 −3γ 3 2 (γ. √. − 2). −3γ. Las condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución escalante campo escalar-materia (matter-scalar-field scaling solution) (P7 ) son √ i) 0 ≤ γ < 2, s∗ < − 3γ and f ′ (s∗ ) < 0, o ii) 0 ≤ γ ≤ 2, s∗ >. √. 3γ and f ′ (s∗ ) > 0.. Las condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solución dominada por el campo escalar (scalar-field-dominated solution) (P8 ) son una de las que sigue √ iii) 0 ≤ γ < 2, − 3γ < s∗ < 0 y f ′ (s∗ ) < 0, or iv) 0 ≤ γ ≤ 2, 0 < s∗ <. 1.4. √. 3γ and f ′ (s∗ ) > 0.. Dinámica de la variedad central de P5. La solución P5 es un caso particular de P1 , el cual puede ser un candidato para ser un atractor de de Sitter de tiempo tardı́o sin correcciones 5D (Ωλ = 0). Para analizar su estabilidad realizamos un detallado estudio de su variedad central utilizando la Teorı́a de la Variedad Central [288]..
(28) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 19. Introduciendo las nuevas variables s x1 = s, x2 = Ωλ , y1 = x − √ , y2 = y + Ωλ − 1, 6. (1.21). y realizando la expansión en serie de Taylor de las ecuaciones de evolución para las nuevas variables (1.21), se obtiene el campo vectorial ( √ ) x′1 = −x21 x1 + 6y1 f (0) + O(4), (1.22) ) √ 1 ( x′2 = x2 x21 + 2 6y1 x1 + 6y12 (γ − 2) + 3x2 y2 γ + O(4), 2. (1.23). ) 1( √ y1′ = −3y1 + − 6x1 (2x2 + y2 (γ − 2)) − 6y1 y2 γ + 4 1 (√ + 6(−γ + 4f (0) + 2)x31 + 6y1 (−3γ + 4f (0) + 6)x21 + 24 √ ( ) −6 6 3(γ − 2)y12 + 2x2 y2 γ x1 + ( )) −36 (γ − 2)y13 + 2x2 y2 γy1 + O(4),. (1.24). γx21 ( y2 γ ) 2 √ x1 − 6y1 (γ − 1)x1 =− + x2 − 2 2 √ + 6y1 (x2 + y2 − y2 γ)x1 − 3y2 γ+ ( ) − 3y2 (γ − 2)y12 + 2x2 y2 γ + ( ) − 3 (γ − 2)y12 + y22 γ + O(4),. (1.25). y y2′. donde O(4) denota términos de error de cuarto orden en la norma del vector. De acuerdo al Teorema de la Variedad Central, la variedad central local del origen para el campo vectorial (1.22)-(1.25) está dado por el gráfico c Wloc (0) = {(x1 , x2 , y1 , y2 ) : y1 = F (x1 , x2 ), } y2 = G(x1 , x2 ), x21 + x22 < δ. (1.26). donde δ > 0 es un valor real lo suficientmente pequeño. Derivando cada una de las funciones en (1.26) con respecto a τ se puede obtener el sistema de ecuaciones parciales cuasilineales siguiente y1′ −. ∂F ′ ∂F ′ x1 − x =0 ∂x1 ∂x2 2. (1.27).
(29) 20. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. ∂G ′ ∂G ′ x1 − x = 0. (1.28) ∂x1 ∂x2 2 Como hemos utilizado expansiones en serie de Taylor hasta el tercer orden para obtener el sistema (1.22)-(1.25) tenemos que buscar una solución para (1.27)-(1.28) en la siguiente forma (ver [127, 295, 288]): y2′ −. F (x1 , x2 ) = a1 x31 + a2 x21 + a3 x21 + a4 x1 x22 + a5 x1 x2 + + a6 x32 + a7 x22 + O(4). (1.29). G(x1 , x2 ) = b1 x31 + b2 x21 + b3 x21 + b4 x1 x22 + b5 x1 x2 + + b6 x32 + b7 x22 + O(4),. (1.30). as xi → 0 donde O(4) es un término de cuarto orden en la norma del vector. Substituyendo las expresiones (1.29) y (1.30) en las ecuaciones (1.27)-(1.28), y comparando los términos de igual potencia, se obtiene que los coeficientes no nulos en las expresiones anteriores (1.29) y (1.30) son f (0) a1 = √ , 3 6. 1 a5 = − √ , 6. 1 b2 = − , 6. 1 b3 = , 3. (1.31). i.e., x1 x2 x3 f (0) y1 = F (x1 , x2 ) = − √ + 1 √ + O(4), 6 3 6 2 x2 x2 x y2 = G(x1 , x2 ) = − 1 + 1 + O(4) 6 3. (1.32). Thus, the dynamics on the center manifold, is given by x′1 = −x31 f (0) + O(4) x′2 = −x21 x2 + O(4).. (1.33) (1.34). Despreciando los términos de error, e introduciendo la transformación de coordinates u1 = x21 , el sistema (1.33)-(1.34) se reduce a la forma msimple u′1 = −2u21 f (0) x′2 = −u1 x2 ,. (1.35) (1.36). donde la región de interés fı́sico es u1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Observe que la dinámica sobre la ariedad central, gobernada por (1.35)-(1.36), depende del valor de f (0). Si tanto f (0) = 0 o f es singular en el origen, el sistema (1.35)-(1.36) no representa correctamente la dinámica de la variedad central. En tal caso, tenemos.
(30) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 21. que incorporar términos de orden superior en el esquema, pero aunmentando entonces la complexidad del problema. Ası́, se tiene que asumir que f (0) es un número real tal que f (0) ̸= 0. De acuerdo al Teorema de la Variedad Central, el análisis de la estabilidad de P5 es reducida al análisis de la estabilidad del origen del sistema eqrefequ1s2a-(1.36). Para este análisis se refiere la investigación numérica. En la figura 4.8 son mostradas varias órbitas contenidas en la región fı́sica u1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Observe que los ejes son conjuntos invariantes. Para f (0) > 0 (vere el panel (a) en la figura 4.8), existe un conjunto abierto de órbitas que convergen hacia el origen a medida que el tiempo avanza; ası́, el origen es asintóticamente estable para condiciones iniciales en una vecindad del origen siempre y cuando f (0) > 0. De la estabilidad asintótica del origen de 1.33)-(1.34) sigue que, para f (0) > 0, la variedad central de P5 es localmente asintóticamente estable, y de aquı́, la solución P5 del sistema (1.8)-(1.11) también lo es. De aquı́ que, P5 con f (0) > 0 corresponde a un atractor de de Sitter de tiempo tardı́o. Este resultado obtenido para la cosmologı́a de brana RS2 está en comleto acuerdo con los resultados estandares 4D de la Teorı́a General de la Relatividad.. 1.5. Dinámica de la variedad central de la curva P1. En esta sección se investiga la estabilidad de la curva de puntos crı́ticos P1 para 0 < Ωλ < 1. A esta curva pertenece como caso particular el punto critico P5 . Para realizar esta tarea se aplica un procedimiento similar a aquel aplicado para el análisis de la estabilidad del punto P5 . Los detalles del procedimiento para el caso de la lı́nea P1 están en el artı́culo de referencia para este capı́tulo. Lo importante de este caso es que correponde una expansión de de Sitter con correcciones 5D. De acuerdo al modelo RS2 esta solución no puede comportarse como atractor de tiempo tardı́o ya que las correccciones 5D son tde las altas energ‘ı́as (universo temprano). Si se puede probar que esta solución es de tipo ensilladura, podemos correlacionar este comportamiento con una etapa transitoria inflacionaria para el universo. Esto puede definirse con la aplicación del Teorema de la Variedad Central. Para hacer esto es conveniente introducir las coordenadas de un punto arbitrario perteneciente a la curva P1 . (x = 0, y = 1 − uc , Ωλ = uc , s = 0) located at P1 . Para preparar el sistema 1.8)-(1.11) se introduce el cambio de coordenadas s(uc − 1) √ , u2 = −Ωλ − uc (y + Ωλ − 2), 6 s(uc − 1) √ v1 = (uc + 1)(y + Ωλ − 1), v2 = + x. 6 u1 = −. (1.37). Entonces se hace la expansión ens serie de Taylor del sistema u′1 , u′2 , v1′ , v2′ en un entorno del origen con error del order O(4). El resto del procedimiento es similar como se dijo a.
(31) 22. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. (a). (b) Figure 1.1: Espacio de fase del sistema (1.35)(1.36) for: (a) f (0) = 1 and (b) f (0) = −0.1..
(32) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 23. aquel rrealizado para el punto P5 .. Entonces, la dinámica sobre la variedad central está dada por 6u31 f (0) + O(4) uc − 1 6u2 (1 − 3uc )u21 u′2 = 6uc u21 + + O(4). uc − 1 u′1 =. (1.38) (1.39). En la misma forma como para P5 , la dinámica del sistema (1.38)-(1.39) depende de los valores de f (0). Se asume que f (0) ∈ R \ {0}. En otros caso se requiere incluir términos de orden superior, pero se incrementa la complejidad. En la figura (1.2) son mostradas algunas órbitas en el espacio de fase del sistema (1.38)-(1.39) para los casos: (a) f (0) = 2 y uc = 0.5 y (b) f (0) = −2 y uc = 0.5. El resultado es que el origen de coordenadas (??) es localmente asintóticalmente instable (de tipo ensilladura) independientemente del signo de f (0). Entonces, la variedad central de P1 es localmente asintóticamente inestable para f (0) ̸= 0; también lo es la curva solución P1 . La interpretación de este resultado es que no existen atractores de tiempo tardı́o con modificaciones 5D. Este tipo de correcciones son caracterı́sticos del universo temprano. De esta manera, la solución cosmológica asociada con la curva solución P1 se correlaciona con la inflación primordial.. 1.6. Simulación numérica: potencial exponential. Resulta de interés realizar simulaciones numéricas para algún caso concreto de una forma funcional explı́cita del potencial de auto-interacción. Esto permite ilustrar las posibilidades del método general aplicado aquı́. En este caso se toma el potencial exponencial más la constante cosmológica V (ϕ) = V0 e−χϕ + Λ. (1.40) Este potencial ha sido ampliamente investigado en la literatura. Este fue estudiado para modelos de quintaesencia en [289]. Aquı́ vamos a asumir Λ ≥ 0, para evitar chocar con valores negativos de la variable y. Otras situaciones fueron consideradas antes en [137]. Las propiedades de un modelo cosmológico con campo escalar exponencial han sido investigadas en el contexto de la Relatividad General por [260, 113], y en el contexto de los mundos branas RS por [138, 121]. En ambos casos el potencial exponencial puro fue estudiado. Potenciales de orden exponencial en el infinito fueron estudiados en el contexto de teorı́as escalar-tensoriales y teorı́as conformes F (R) por [117, 288]. Comentamos que el procedimiento introducido en las secciones previas es completamente general y puede ser aplicado a otros tipos de potenciales distintos a aquellos mostrados en la tabla 1.1. Elegimos el potencial exponencial por simpicidad, además, se consideró un fondo sin.
(33) 24. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. (a). (b) Figure 1.2: Espacio de fase del sistema (1.38)-(1.39) para los casos (a) f (0) = 2 y uc = 0.5 (b) f (0) = −2 y uc = 0.5. Observe que el eje u1 es una lı́nea de puntos crı́ticos asintóticos inestables en ambos casos para condiciones iniciales en una vecindad del origen. El origen se comporta como un punto ensilladura..
(34) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 25. presión (polvo cosmológico), i.e., γ = 1. La función f (s) correspondiente al potencial (1.40) está dada por χ (1.41) f (s) = −1 − . s El cero de esta función es s∗ = −χ. f ′ (s∗ ) =. χ 1 = . ∗2 s χ. (1.42). Se observa que para el potencial (1.40) s∗ f ′ (s∗ ) < 0. Ası́, el único atractor de tiempo tardı́o relevante debe ser la solución de de Sitter. En efecto, los puntos crı́ticos P7 de la tabla 1.2 son reducidos al punto simple ( √ ) 31 3 P7 = − , − 2 , 0, χ , (1.43) 2χ 2χ el cual representa un punto de ensilladura en el espacio de fase. Los puntos crı́ticos P8 son reducidos a ( ) χ χ2 P8 = − √ , 1 − , 0, −χ . (1.44) 6 6 Esto representa una solución dominada por el campo escalar (Ωϕ = 1). Es un punto de ensilladura en el espacio de fase. Observe que todos las trayectorias en el espacio de fase emergen desde el punto (x, y, Ωλ ) = (0, 0, 1). En la figura 1.3, se presentan diferentes situaciones de la simulación numérica. Allı́ se sugiere que P5 es un atractor de de Sitter de tiempo tardı́o con un comportamiento 4D (Ωλ = 0). Sin embargo, esto debe ser probado mediante el teorema de la variedad central. Los detalles pueden consultarse en el artı́culo referido.. 1.7. Resultados y discusión. Los resultados principales de este catı́tulo pueden indicarse: El punto crı́tico P3 = (0, 0, 1) representa una singularidad de Big Bang. De acuerdo a las integraciones numéricas en las figuras 1.3, se observa que todas las trayectorias en el espacio de fase emergen desde la vecindad de este punto. En el caso particular de un campo escalar con potencial exponencial atrapado en la brana hemos probado que para χ < 0 la solución de de Sitter (P5 ) es asintóticamente estable. Sin embargo, para χ > 0 el origen, i.e., P5 es inestable (de tipo silla) y la solución de tiempo tardı́o esto ’a gobernada por la configuración asintótica x = 0, y = 1, Ωλ = 0, ϕ → −∞. En el caso general, para potenciales que satisfacen f (0) ∈ R, se tiene, mediante la computación explı́cita de la variedad central de P1 y de P5 que.
(35) 26. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW • P1 es localmente asintóticamente inestable, de tipo ensilladura, independientemente del signo de f(0)∈ R \ {0}. (Ver figuras 1.2). • P5 es localmente asintóticamente estable para f (0) > 0 e inestable, de tipo ensilladura, para for f (0) < 0. Esto se aprecia en las figura 4.8.. Las soluciones dominadas por la energı́a cinética del campo escalar P4± y P6± se comportan como soluciones tipo ensilladura. Esto es una diferencia principal con respecto a la teorı́a estandard 4D donde este tipo de soluciones son siempre atractores del pasado. En este caso general, los posibles atractores de tiempo tardı́o son: • la solución estandard 4D de de Sitter P5 (ωϕ = −1) siempre que f (0) > 0; • la solución escalante materia-campo escalar P7√(Ωϕ ∼ Ωm ). Las condiciones sufi√ cientes para su estabilidad asintótica son s∗ < − 3γ, f ′ (s∗ ) < 0 ó s∗ > 3γ, f ′ (s∗ ) > 0; y • la solución dominada por el campo escalar√P8 (Ωϕ = 1). Las condiciones suficientes para su estabilidad asintótica son − 3γ < s∗ < 0, f ′ (s∗ ) < 0 ó 0 < s∗ < √ ′ 3γ, f (s∗ ) > 0.. 1.8. Conclusiones del capı́tulo 1. En este capı́tulo hemos investigado el espacio de fase de un modelo RS2 con un campo escalar arbitrario atrapado en la brana con potencial arbitrario. De nuestros resultados numéricos se deduce que P3 está asociado con la singularidad tipo Big Bang. La investigacón numérica sugiere que es siempre el atractor del pasado en el espacio de fase en este modelo. Utilizando la teorı́a de la variedad central hemos obtenido condiciones suficientes para la estabilidad asintótica de la solucioón tipo de Sitter. Hemos obtenido condiciones sobre el potencial para la estabilidad de soluciones escalantes ası́ como para la estabilidad de la solución dominada por el campo escalar. Hemos probado, utilizando la teorı́a de la variedad central y la investigación numérica, que no existen atractores de tiempo tardı́o con modificaciones 5D ya que ellos siempre son tipo ensilladura. Esto se relaciona con la inflación primordial transcientte. En el caso particular de campo escalar con el potencial tipo V = V0 e−χϕ + Λ hemos obtenido que para χ < 0 la solución de de Sitter es inestable, de tipo ensilladura..
(36) El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo. 27. Debe destacarse que con el estudio de estabilidad de este modelo, aplicando las herramientas de la teorı́a de los sistemas dinḿicos, ha sido posible extender los resultados anteriores al considerar nuevos potenciales en nuevos contextos y que esto al final ha sido posible por la aplicaión de la teorı́a de la variedad central. La riqueza del comportamiento de la dinámica en el espacio de fase del modelo considerado, y sus implicaciones fı́sicas, se muestra ampliamente al ser aplicadas las herramientas adecuadas..
(37) 28. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica FRW. y 0.5. 1.0. 0.0 0.0. W0.5. 1.0 0.4. 0.2. 0.0 x -0.2 -0.4. (a) 1.0. y 0.5 0.0 0.0. W0.5. 1.0 0.4 0.2 x. 0.0. (a). Figure 1.3: Algunas órbits en la proyección (x, y, Ωλ ) del espacio de fase para (1.8)-(1.11)) y el potencial V (ϕ) = V0 e−χϕ +Λ para los casos (a) (γ, χ) = (1, 0.5), y (b) (γ, χ) = (1, 100)..
(38) Capı́tulo 2 Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica Bianchi I En este capı́tulo se muestran algunos resultados relacionados con un modelo de mundobrana (braneworld) de tipo Randall-Sundrum II considerando una métrica de tipo homogénea pero anisótropa tipo Bianchhi I, que es la extensión más simple de la métrica de FRW. En este modelo debe considerarse el efecto de la proyección del tensor de Weyl sobre la 3-brana el cual aparece en las ecuaciones de campo como un término radiativo oscuro, asociado a su vez con la masa del hueco negro que aparece en el bulk. Utilizando la teorá de los sistemas dinámicos en general y en particular el teorrema de la variedad central se aborda el estudio de la estabilidad dinámica del modelo considerado, en este caso, de mucha más comlejidad que el referido en el capı́tulo 1. La base de este capı́tulo 2 está en las publicaciones 4 y 5 de la lista de publicaciones. Los detalles de todo el análisis pueden verse allı́.. 2.1. Introducción. Los mundos brana RS fueron inicialmente propuestos en [88]. El modelo RS2 es una alternativa al mecanismo de compactificaciones de Kaluza-Klein y han sido estudiado intensivamente en los últimos años, entre otras por su impacto en el escenario inflacionario [89, 90, 91]. El modelo se establece con las partı́culas del modelo estandard confinadas en una hipersuperficie 4D con tensión positiva, inmersa en un ”bulk” 5D con la constante cosmológica negativa. Existen diferencias en las ecuaciones sobre la brana respecto a la cosmologı́a estandard 4D [93, 92, 94]. El asunto surge porque el universo observable es homogéneo e isótropo con gran seguridad [106], por lo que la mayorı́a de los trabajos se enfocan en este tipo de geometrı́as. Sin embargo, el enfoque más robusto sobre el asunto debe comenzar con una métrica arbitraria y mostrar que la inflación toma lugar y que el universo evoluciona hacia una geometrı́a tipo FRW, en acuerdo con la observación actual. 29.
(39) 30. Cosmologı́a de Randall-Sundrum II con métrica Bianchi I. Pero la estructura compleja de tal enfoque limita el análisis a la descripción numérica en muchos casos [142], y entonces para extraer alguna solución analı́tica muchos autores recurren a simplificaciones notables en los modelos. De todas formas este campo de investigación resulta de interés y es estudiado actualmente [142], y pueden exhibir interesantes comportamiento cosmológicos ya sea inflacionarios o post inflacionarios [142]. Finalmente, se hace observar que tales geometrı́as pueden ser relevante en la descripción de la dinámica en el interior de un hueco negro. La mejor estudiada de las geometrı́as homogéneas y anisótropas son las tipo Bianchi (ver [34] and references therein) y Kantowski-Sachs [34]. Por simplicidad muchos autores consideran las métricas de Bianchi I, de Bianchi III, y de Kantowski-Sachs [34]. Las branas Friedmann-Robertson-Walker con un campo escalar atrapado en ellas han sido ampliamente reportadas en la literatura [95, 108, 109, 110, 111]. Aquı́ se da un paso adelante al considerar la natural generalización de FRW, i.e., la cosmologı́a de Bianchi I.. 2.2. Ecuaciones dinámicas y variables normalizadas. Los detalles de este análisis pueden consultarse en los trabajos referidos. Aquı́ se mostrarán sólo los resultados más relevantes. Para el modelo de mundo brana RS2 considerado y con la métrica homogénea y anisótropa de Bianchi I, las ecuaciones efectivas de Einstein son 1 2 ( ρT ) 1 2 2U H = κ ρT 1 + + σ + 3 2λ 3 λ ( ) ( ) 1 ρT 4U Ḣ = − 1 + ϕ̇2 + γρm − − σ2 2 λ λ σ̇ = −3Hσ 2. (2.1) (2.2) (2.3). ρ̇m + 3H(ρm + pm ) = 0. (2.4). ϕ̈ + 3H ϕ̇ + ∂ϕ V = 0,. (2.5). donde σ es el término de cizalladura que no aparece en el caso de FRW. El término de C radiación oscura en (2.1-2.2) evoluciona como U(t) = a(t) 4 [126], donde C es un parámetro constante, el cual pudiera tener cualquier signo. Sin embargo, desde el punto de vista del espacio tiempo del ”bulk” C puede identificarse con la masa de un hueco negro en el ), y utilizar esto para restringir el signo (positivo) [126]. Para modelos ”bulk” (µ = 2C λ anisótropos tal restricción no existe y por tanto U, puede tener cualquier signo [138]. Aquı́ nuevamente se investiga el modelo cosmológico (2.1)-(2.5) desde el punto de vista de los sistemas dinámicos. Entonces las ecuaciones deben escribirse como un sistema.
Figure
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