En este cap´ıtulo hemos dado los resultados de la investigaci´on del espacio de fase del modelo tipo muno brana de Randall-Sundrum II con un campo escalar de interacci´on atrapado en una brana tipo Bianchi I con potencial arbitrario.
42 Cosmolog´ıa de Randall-Sundrum II con m´etrica Bianchi I
De nuestros resultados en los experimentos num´ericos concluimos que P11 est´a asociado con la singularidad tipo Big Bang. Las investigaciones num´ericas desarrolladas en este trabajo sugieren que es en general el atractor del pasado en el espacio de fase del modelo cosmol´ogico de Randall-Sundrum II con m´etrica Bianchi I.
Utlizando la teor´ıa de la variedad central hemos obtenido condiciones suficientes para la estabilidad asint´otica de la soluci´on tipo de de Sitter con el comportamiento estandard 4D. Hemos probado, utilizando la teor´ıa de la variedad central, que no existen atractores de de Sitter de tiempo tard´ıo con modificaciones 5D ya que ellos siempre se comportan como ensilladura en el espacio de fase. Este hecho correlaciona perfectamente con una inflaci´on primordial transitoria.
Hemos obtenido condiciones suficientes sobre el potencial para la estabilidad de la sol- cuci´on escalante materia-campo escalar, la soluci´on dominada por el campo escalar, y la soluci´on escalante radiaci´on oscura-campo escalar. Nosotros ilustramos nuestros resulta- dos anal´ıticos utilizando un simple ejemplo delf-deviser como un modelo juguete. Todos estos resultados son generalizaciones de nuestros resultados previos obtenidos para branas homog´enes e is´otrpas tipo FRW en [23].
Aqu´ı tambi´en debe destacarse que con el estudio de estabilidad de este modelo, aplicando las herramientas de la teor´ıa de los sistemas din ´micos, ha sido posible extender los resul- tados anteriores al considerar nuevos potenciales en nuevos contextos y que esto al final ha sido posible por la aplicai´on de la teor´ıa de la variedad central, complementando el an´alisis. La riqueza del comportamiento de la din´amica en el espacio de fase del mod- elo considerado, y sus implicaciones f´ısicas, se muestra ampliamente al ser aplicadas las herramientas adecuadas.
Cap´ıtulo 3
Modelo de Gas de Chaplygin
Generalizado
En este cap´ıtulo estamos considerando un modelo cosmol´ogico cuyas componentes prin- cipales son un campo escalar y un Gas de Chaplygin Generalizado (GCG). Se obtiene una soluci´on exacta para un potencial plano arbitrario. Se utiliza la teor´ıa de los sis- temas din´amicos para describir la evoluci´on cosmol´ogica de la mezcla para un potencial exponencial de auto-interacci´on de campo escalar. Estudiamos el campo escalar con un potencial de auto-interacci´o arbitrario utilizando el m´etodo del ”f-deviser”. Nuestros re- sultados son ilustrados para el caso especial de un potencial cosh-like. Encontramos que las soluciones usuales dominadas por el campo escalar y el escalamiento no pueden ser atractores de tiempo tard´ıo en la presencia del GCG, conα >0.Los resultados estandard de la TGR se recuperan en el l´ımite de polvo (A→ 0.). En particular, para el potencial exponencial, el atractor de tiempo tard´ıo es una soluci´o pura de Chaplygin imitando una constante cosmol´ogica efectiva. En el caso de potenciales arbitrarios, los atractores de tiempo tardson soluciones de de Sitter en la forma de una constante cosmol´ogica, una soluci´on pura de Chaplygin o un continuo de soluciones, cuando las densidades del campo escalar y del GCG son del mismo orden de magnitud. Las situaciones diferentes dependen de la elecci´on de los par´ametro.
3.1
Introducci´on
Es de conocimiento general que la expansi´on del universo est´a actualmente pasando a trav´es de una fase acelerada [139, 140]. Todas los datos observacionales desde estas referencias inciales hasta las medidas actuales de corrimiento al rojo y de las relaciones de luminosidad-distancia de la Supernova tipo Ia (SNe) [141] est´an en acuerdo con esta etapa acelerada. Estas observaciones son indicativas de la presencia de una energ´ıa de vac´ıo, la bien conocida constante cosmol´ogica [142, 143, 144]. Otra posible descripci´on es
44 Modelo de Gas de Chaplygin Generalizado
la existencia del campo escalar que est´a evolucionando en un universo descrito por una geometr´ıa de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), el modelo de quintaesencia. Aqu´ı debo decir que existe un idea muy fuerte en cuanto a su inclusi´ıon en los modelos del universo y es la relacionada con la existencia de un campo escalar cosm´ogico de Higgs pero que tiene naturaleza compleja (parte real+j∗parte imaginaria), como la funci´on de onda en la Mec´anica Cu´antica. Este campo complejo est´a asociado con la F´ısica de Part´ıculas y se dice que est´a cuantizado, siendo la part´ıcula el muy nombrado bos´on de Higgs, responsable de la masa de la materia bari´onica. Este es un asunto, evidentemente, de mucha atracci´on en el plano cient´ıfico. La aceleraci´on actual del universo es uno de los problemas importantes de la cosmolog´ıa moderna, y pudiera estar relacionado con el tema del campo cosmol´ogico de Higgs. Este problema de la aceleraci´on aparece en la relatividad general de A. Einstein, y uno de las propuestas es considerar una componente ex´otica en el contenido de la materia del universo, la energ´ıa oscura [145]). Que de ser cierta la idea del mecanismo de Higss, deb´ıa existir alguna relaci´on con esta componente ex´otica. Ahora, se centra la atenci´on en considerar la energ´ıa oscura (EO, or Dark Energy, DE) descrita por un campo escalar homog´eneo (ϕ(t)) [146]. Para describir la din´amica de la EO, a trav´es de un campo de Quinaesencia (QuintEssence, QE) el par´ametro de la ecuaci´on de estado (EoS), ωϕ ≡ pϕ/ρϕ juega un papel crucial. Su valor actual es cerca
de−1. De aqu´ı que la evoluci´on c´osmica de la EO a trav´es del campo escalar es descrita por el par´ametro barotr´opico ωϕ. En [147], fueron distinguidos entre dos categor´ıas, el
modelo congelante (dωϕ/dϕ <0) y el modelo descongelante (dωϕ/dϕ >0). Estos modelos
de QE est´an caracterizados por un potencial de campo escalar que va asint´oticamente a cero [148]. Existen varias referencias sobre esta clase de modelo cosmol´ogico [149]. Por otro lado, el modelo de gas de Chaplygin ha sido ampliamente investigado en la literatura [150, 162]. El Gas de Chaplygin Generalizado (GCG) ha sido investigado desde el punto de vista de los sistemas din´amicos [165, 166, 167, 168, 169].
En este trabajo nos gustar´ıa extender el an´alis en [148] mediante la consideraci´on de un componente material m´as general, que es un GCG y un campo escalar caracterizado por su potencial escalar de auto-interacci´on. Obtuvimos una soluci´on exacta para un potencia plano arbitrario, que tiene el l´ımite de polvo, de lado derecho, cuando el parde Chaplygin A→0 [148]. Para motivar el an´alisis para un potencial arbitrario general, primeramente consideramos el caso simple de un potencial exponencial de la forma V(ϕ) = V0e−λϕ [293, 171, 292, 173, 174, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 278, 236, 175, 188, 189, 263]. Entonces, estudiammos un potencial de campo escalar de auto-interacc´on arbitrario. En esta caso utilizamos el M´etodo de la “f-devisers” presentado en [194]. Este m´etodo permite hacer el an´alisis de espacio de fase sin necesidad de dar expl´ıcitamente la forma funcional del potencial del campo escalar, pero introduciendo una func´on asociada f(s) ad initium, y entonces se sustituye para la forma deseada del potencial, en ve¡z de repetir completamente el procedimiento general para potencial distinto. Este m´etodo es un refinamiento de un m´etodo que ha sido aplicado a escenarios isotr´opicos tipo FRW [263, 260, 261, 237, 262, 264], y ha sido generalizado a diversos contextos cosmol´ogicos, inlcuyendo otros trabajos nuestros [239, 238, 265, 266].
El Teorema de la Variedad Central y Los Modelos del Universo 45
Seguidamente abordamos los detalles del modelo cosmol´ogico y de las ecuaciones corre- spondientes al modelo aut´onomo.