Esquema de control por modelo dinámico inverso simplificado para simulador de conducción de dos grados de libertad

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA. Esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso Simplificado para Simulador de Conducción de Dos Grados de Libertad Autor: Julio Javier Avalos García Tutor: M.Sc. Eduardo Izaguirre Castellanos Consultante: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez. Santa Clara 2010 "Año 52 de la revolución".

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA Esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso Simplificado para Simulador de Conducción de Dos Grados de Libertad Autor: Julio Javier Avalos García Tutor: M.Sc. Eduardo Izaguirre Castellanos Profesor Auxiliar. Dpto. Automática. FIE E-mail: [email protected]. Consultante: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez Profesor Titular. Dpto. Mecánica Aplicada. FIM E-mail: [email protected] Santa Clara 2010 "Año 52 de la revolución".

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Tutor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. Tú has dado al hombre inteligencia..

(5) ii. DEDICATORIA. A mi Abuela, ella merece más..

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. Agradezco de todo corazón a Jesús. Agradezco a mi Familia Pequeña (hermano, mamá, papá, tío, tía, padrastro, madrastra). Agradezco a mi Familia Grande (amigos y hermanos; ellos saben quienes son). Agradezco a mi Tutor: Gracias Profe; y a Luis Hernández. Y a una Mujer de 60 años que se llama Amparo Gallo..

(7) iv. TAREA TÉCNICA. 1. Revisión bibliográfica del tema de Robots Paralelos y aplicaciones en Plataformas de Simulación, los métodos de obtención de la Ecuación Dinámica de robots paralelos y los esquemas de Control por Modelo Dinámico Inverso.. 2. Diseño del Control por Modelo Dinámico Inverso en el espacio cartesiano para la plataforma de simulación de dos grados de libertad.. 3. Simulación de los resultados.. 4. Redacción del informe final.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. El desarrollo de robots paralelos en disímiles aplicaciones se ha generalizado en la actualidad, las ventajas que presentan en el manejo de grandes pesos, la exactitud en el posicionamiento del elemento final y la rigidez de las arquitecturas paralelas las han convertido en una alternativa a tener en cuenta en la industria, la medicina, etc. La Plataforma de Conducción de sello SIMPRO es una arquitectura paralela con dos grados de libertad dados por rotaciones alrededor de los ejes (x, y), representados por los ángulos de ladeo y cabeceo respectivamente. El control por modelo dinámico inverso es considerado uno de los esquemas de control más efectivos para gobernar robots paralelos. En este trabajo se persigue implementar un esquema de control por modelo dinámico inverso en el espacio de tareas, que a diferencia de su variante en el espacio articular, es más sencillo de implementar desde el punto de vista computacional. En el mismo son presentados algunos de los principales métodos de obtención de la ecuación dinámica del sistema, así como esquemas de control por modelo dinámico inverso en el espacio cartesiano. La simulación del control se realiza con el software MATLAB donde se muestra el diagrama de bloques y la respuesta del sistema controlado ante seguimiento de trayectoria..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. PENSAMIENTO .....................................................................................................................i DEDICATORIA .................................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................ iii TAREA TÉCNICA................................................................................................................iv RESUMEN .............................................................................................................................v INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1 Organización del informe. ..................................................................................................4 CAPÍTULO 1. 1.1. La Dinámica de Robots Paralelos y su Importancia. ..............................................6. 1.1.1 1.2. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. .......................................6. La dinámica directa e inversa .......................................................................10. Formulaciones clásicas del problema dinámico ...................................................11. 1.2.1. Método de Newton-Euler..............................................................................12. 1.2.2. Método de Euler-Lagrange ...........................................................................15. 1.2.3. Método de Ecuaciones de Gibbs-Appell ......................................................17. 1.2.4. Principio del Trabajo Virtual ........................................................................19. CAPÍTULO 2.. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO. ............................22. 2.1. Introducción al Control por Modelo Dinámico Inverso. Ventajas y desventajas. 22. 2.2. Esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso. ...........................................24.

(10) vii 2.3. Espacio cartesiano vs. Espacio articular. ..............................................................26. 2.4. Modelo Dinámico Inverso en el Espacio Cartesiano............................................27. 2.5. Control por Modelo Dinámico Inverso Aplicado a Robot Paralelo. ....................31. CAPÍTULO 3.. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. ...34. 3.1. Descripción de la plataforma ................................................................................34. 3.2. Modelo dinámico de la plataforma .......................................................................36. 3.2.1. Dinámica aproximada de la plataforma de 2 GDL .......................................37. 3.2.2. Análisis desacoplado.....................................................................................37. 3.2.3. Análisis acoplado..........................................................................................38. 3.3. Diseño del Control ................................................................................................41. 3.4. Simulación ............................................................................................................43. 3.5. Análisis económico...............................................................................................46. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................47 Conclusiones.....................................................................................................................47 Recomendaciones .............................................................................................................48 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................49 ANEXOS ..............................................................................................................................51 Anexo I. Gráfico de la diferencia en el punto de mayor magnitud de la señal............51. Anexo II. Gráfico del error............................................................................................52.

(11) INTRODUCCIÓN. 1. INTRODUCCIÓN. La robótica le debe mucho a la literatura de ficción, tanto así que le debe el nombre. Fue hacia 1920 que, por primera vez, entró en el ambiente de ficción el término “Robot” referido a máquinas que trabajaban independientes al hombre. Desde entonces el término ha inundado progresivamente la literatura, el teatro, el cine y la misma ciencia. El inmenso desarrollo tecnológico alcanzado en la última mitad de siglo vivida por la humanidad, nos impulsa a ser crédulos con respecto a la aparición de robots androides que trabajen a nuestra voluntad, tal como la ficción ha adelantado. La robótica es aun un campo abierto para el estudio. La ciencia se ha vertido en su desarrollo y aunque hemos avanzado, es más el camino que nos queda por recorrer.. Figura 1.1. (Merlet 2006) Robot paralelo usado en la medicina..

(12) INTRODUCCIÓN. 2. ¿Por qué nos interesa la robótica? Esa es una pregunta que nos lleva de inmediato a sus aplicaciones. Pues bien, son múltiples las aplicaciones de esas máquinas llamadas robots. Ellas intervienen en la medicina, en la industria, en la minería; se usan como simuladores de vuelo para el entrenamiento de pilotos, también con fines recreativos…; ocupan el papel del hombre en lugares imposibles para este y además son usadas, tristemente, con fines bélicos Los estudiosos de la rama clasifican a los robots en tres grupos atendiendo a la estructura de la cadena cinemática del robot: Robots serie, Robots paralelos y Robots Híbridos. Los Robots Paralelos, a su vez, se clasifican en Simétricos si cumplen las siguientes condiciones: 1. El número de extremidades o miembros es igual a la cantidad de grados de libertad de la plataforma móvil. 2. El tipo y número de articulaciones en todas las extremidades están dispuestos en un patrón idéntico.. 3. El número y la posición de las articulaciones accionadas en todas las extremidades son el mismo.. Cuando estas condiciones no son satisfechas, el robot es paralelo del tipo Asimétrico (Tsai 1999). La mayoría de los robots utilizados en la industria son brazos mecánicos con estructura serie, no obstante en los últimos años se ha incrementado el uso de los robots paralelos. Son los robots paralelos los que por su forma permiten el manejo de mayor masa, una velocidad de operación elevada y como si fuese poco una altísima exactitud en el posicionamiento del elemento final. También es cierto que el análisis dinámico de estos robots es más complicado, el espacio de trabajo más pequeño y nada sencillo de calcular. Las plataformas de simulación están basadas en la estructura de robot paralelo. El movimiento de estas plataformas está dado por los grados de libertad con que consta. Los grados de libertad son de uno a seis, desde una simple traslación o rotación en un eje hasta traslación y rotación en cada uno de los tres ejes (x, y, z). La plataforma de dos grados de.

(13) INTRODUCCIÓN. 3. libertad, que es objeto de estudio, es capaz de desarrollar rotaciones alrededor de los ejes (x, y), siendo así apropiada para la simulación de conducción.. Figura 1.2. Grados de Libertad de la Plataforma de Simulación. Uno de los aspectos sobresalientes del diseño de un robot paralelo es la obtención del modelo dinámico, para así poder efectuar las técnicas de control requeridas. Algunos se han preguntado: ¿necesitamos realmente el modelo dinámico del robot, para llevar a cabo los propósitos de control? Es cierto que existen numerosos obstáculos en la obtención del modelo, debido a la aparición de parámetros, en las relaciones dinámicas, que se hacen difíciles de estimar. Basándose en esto, dejan de considerar el sistema completo argumentando que cada actuador puede ser controlado independientemente con alguna ley de control más robusta que un simple PID (Merlet 2006). No obstante, la dinámica juega un papel importante en el control de los robots paralelos. Influye en la rapidez de movilidad del elemento final en robots que manejen grandes pesos como los simuladores de vuelo, en el ancho de banda de la respuesta del robot como en el caso de aplicaciones que necesiten ejercer vibraciones asegurando la rigidez de las articulaciones (Merlet 2006). El control del robot es la espina dorsal de la robótica. Consiste en hacer que un manipulador robótico haga lo que se desea que haga de forma automática, por lo tanto, consiste en diseñar controladores para el robot. Típicamente estos toman la forma de una ecuación o algoritmo realizado por programas especializados de computadora. Entonces, los controladores forman parte del así llamado sistema de control del robot, el cual está físicamente constituido por una computadora, una unidad de adquisición de datos, actuadores, el mismo robot y alguna electrónica extra. El más simple controlador para manipuladores robóticos en la industria es el PID. Mientras que estos controladores son.

(14) INTRODUCCIÓN. 4. ampliamente usados en manipuladores industriales, dependiendo de la tarea a desarrollar, ellos no siempre resultan la mejor opción. Para obtener mejores resultados es práctica corriente diseñar los así llamados controladores basados en modelos, los cuales requieren un conocimiento preciso del modelo dinámico incluyendo los valores de los parámetros físicos envueltos en el asunto (R. Kelly 2005). Para lograr que la plataforma SIMPRO describa un seguimiento de trayectoria con alta exactitud y precisión, se hace necesario diseñar el control por Modelo Dinámico Inverso, debido a las no linealidades existentes en el modelo dinámico del mecanismo. Para lograr esta finalidad se plantea el siguiente objetivo general: x Implementar esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso para Simulador de Conducción de Dos Grados de Libertad, evaluando el comportamiento del sistema ante seguimiento de trayectoria. Para conseguir este objetivo general se plantean los siguientes objetivos específicos: x Realizar una investigación sobre el estado del arte del modelado dinámico de robots paralelos y su control. x Elegir el esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso apropiado para el sistema. x Diseñar el controlador de acuerdo al criterio acertado. x Simular el comportamiento del sistema ante seguimiento de trayectoria.. Organización del informe. El presente Trabajo de Diploma tiene como objetivo implementar el esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso para Simulador de Conducción de dos grados de libertad, evaluando el comportamiento del sistema ante seguimiento de trayectoria. Persiguiendo este objetivo se ha estructurado el texto en tres capítulos. El primero de ellos, dedicado a la Dinámica de Robots Paralelos, será un acercamiento a los aspectos teóricos relacionados con el modelo dinámico en estos robots, observando las formas de modelado con sus.

(15) INTRODUCCIÓN. 5. ventajas y desventajas. El segundo capítulo, Esquemas de Control por Modelo Dinámico, además de introducir la teoría relacionada al tema, esclarecerá sus ventajas y desventajas al aplicarlo al control de robots paralelos; también se ejemplificará haciendo hincapié en plataformas de dos grados de libertad. El tercer capítulo estará abocado al Diseño del esquema de control para plataforma de dos grados de libertad teniendo entre sus puntos principales la descripción de la plataforma; el modelo dinámico de la plataforma basado en el método Newton-Euler; el Control por modelo dinámico inverso en el espacio de tareas; y la Simulación del Sistema, en el cual se mostrarán resultados obtenidos en MATLAB..

(16) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 6. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS.. 1.1. La Dinámica de Robots Paralelos y su Importancia.. El uso de los robots es creciente en todas sus aplicaciones. Ello nos enfrenta al reto de lograr un control seguro y exacto. Para esto es imprescindible un modelo dinámico lo más cercano posible al comportamiento del sistema mecánico, dado por su realidad física. Modelo dinámico que además sea posible de implementar, simular y basado en el cual se pueda diseñar usando una estrategia de control adecuada. La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objetivo conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo (Antonio Barrientos 1997). El desarrollo del modelo dinámico es importante por dos razones fundamentales. Primero, un modelo dinámico puede ser usado para la simulación computacional del sistema robótico. Al examinar el comportamiento del modelo bajo varias condiciones de operación, es posible predecir cómo se comportará el sistema cuando sea construido. Segundo, puede ser usado para implementar la estrategia de control apropiada (Tsai 1999). Para diseñar el controlador se necesita un modelo dinámico que represente esa relación entre fuerzas y movimiento de manera muy cercana a la realidad. A mayor exactitud del modelo se optimiza el trabajo del sistema a grandes velocidades de operación. La relación antes mencionada tiene que involucrar matemáticamente los siguientes aspectos (Antonio Barrientos 1997): 1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración..

(17) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 7. 2. Las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot). 3. Los parámetros dimensionales del robot como longitud, masas e inercias y sus elementos. El análisis dinámico de robots paralelos es muy complicado debido a la existencia de múltiples cadenas de lazo cerrado (Tsai 2000). No es tan complicado si se trata de un robot de uno o dos grados de libertad pero, a medida que aumentan estos, aumenta considerablemente la complejidad para hallar el modelo. La obtención del modelo dinámico de un robot se basa fundamentalmente en la segunda ley de Newton la cual se refiere al equilibrio de fuerzas, o su equivalente para movimientos rotacionales, la denominada ley de Euler. Las formulaciones matemáticas de ambas leyes son respectivamente:. ¦F. m. ¦T. I. dv dt. (1.1). dZ Z u I Z dt. (1.2). Siendo: I: momento de inercia.. Z velocidad angular. m: masa del cuerpo. T: torque aplicado. F: fuerza aplicada. Así, siguiendo un ejemplo simple de Barrientos (Antonio Barrientos 1997), tenemos que para un robot monoarticular (ver figura 1.1), en donde se ha supuesto que toda la masa está concentrada en el centro de gravedad del elemento, que no existe rozamiento y que no manipula carga alguna, el equilibrio de fuerzas-pares sería la siguiente ecuación:. W. I. d 2T MgL cos T dt 2. ML2. d 2T MgL cos T dt 2. (1.3).

(18) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 8. Donde:. T: coordenada articular. M: matriz de inercia.. Wvector de fuerzas y pares aplicados en las qi . Por lo que sería fácil llegar a la expresión de T (t) y sus derivadas (1ra y 2da), haciéndose posible de esta manera conocer la evolución de la coordenada articular del mecanismo, de su velocidad y de su aceleración. Desarrollar este método en robots de cinco o seis grados de libertad es mucho más complejo que lo mostrado en el ejemplo anterior, además produce un gran número de ecuaciones de altas exigencias computacionales (Tsai 1999). Debe tenerse en cuenta que junto a las fuerzas de inercia y gravedad aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los diversos elementos, así como de fuerzas Centrífugas que dependen de la configuración instantánea del manipulador (Antonio Barrientos 1997). Los métodos geométricos o basados en vectores (e.g. la formulación de Newton-Euler) no serán de gran ayuda en estos casos. Entonces la obtención del modelo dinámico descansa en alguna otra estrategia. Los métodos basados en el equilibrio de energía (e.g. La dinámica Lagrangiana o método Lagrange-Euler) son también de gran ayuda. El método de Lagrange-Euler es comúnmente usado en la robótica para obtener las ecuaciones de movimiento de manipuladores robóticos dentro de un espacio de configuración definido en términos de las variables relativas a la articulación. Veamos el ejemplo expuesto anteriormente desarrollado ahora por el modelo energético.. Figura 1.1 (Antonio Barrientos 1997) Modelo de eslabón con masa concentrada..

(19) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 9. La formulación Lagrangiana plantea la siguiente ecuación: d GL GL dt Gq i Gqi. L. W. k U. (1.4) (1.5). donde qi : coordenadas generalizadas (en este caso las articulaciones) k: energía cinética L: Función Lagrangiana U: energía potencial Empleando este método al ejemplo de la figura 1.1 obtenemos el siguiente desarrollo: k. 1 § dT · I¨ ¸ 2 © dt ¹. I. ML2. U. Mgh. L. k U. 2. (1.6). donde (1.7). y con MgLsen T. 1 ML2 ș 2 MgLsenș 2. aplicando (1.4) wL wT. MgL cos T. wL wT. ML2T. d wL dt wT. ML2T. (1.8) (1.9).

(20) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 10. se llega a:. W. ML2. d 2T MgL cos T dt 2. Esta expresión es análoga a la ecuación (1.3) obtenida por el método de Newton-Euler. Aunque parece más tediosa la formulación Lagrangiana, sus ventajas son notables a medida que aumenta el número de grados de libertad del sistema.. 1.1.1. La dinámica directa e inversa. Si nuestro interés consiste en conocer la coordenada, la velocidad y la aceleración de la articulación, dada una determinada fuerza, con la ecuación obtenida podemos lograrlo y estaremos ante el problema dinámico directo. De forma inversa si se pretende conocer la fuerza o par necesario para que T t evolucione según una determinada función del tiempo, estaremos ante el problema dinámico inverso. La dinámica directa consiste en obtener la respuesta del robot correspondiente a algún torque y/o fuerza aplicado Fi ,W i . Esto es, dado un vector de torques o fuerzas en la articulación, esperamos conocer el movimiento resultante del manipulador en función del tiempo (Tsai 1999). La dinámica inversa, a su vez, consiste en encontrar los torques y/o fuerzas requeridos para generar una trayectoria deseada qi , q i , qi del manipulador (Tsai 1999). La dinámica inversa es usada principalmente para establecer esquemas de control, mientras que la dinámica directa para lo que se utiliza generalmente es para la simulación del sistema mecánico.. Figura 1.2 Representación de las relaciones entre la dinámica inversa y directa..

(21) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 1.2. 11. Formulaciones clásicas del problema dinámico. No son pocas las formulaciones que clásicamente se usan para la realización del modelo dinámico. Algunas de las más sobresalientes son: . Método de Newton-Euler.. . Método de Lagrange-Euler.. . Método de Ecuaciones de Gibbs-Appell.. . Principio del Trabajo Virtual.. El más común de los métodos basados en vectores es la aproximación de Newton-Euler, donde cada cuerpo rígido de un sistema mecánico es cortado libre y las ecuaciones dinámicas son derivadas al solucionar balances de fuerzas y torques. Para robots de tipo serie su formulación recursiva es muy efectiva, pero en el caso de los robots paralelos la formulación no-recursiva del método de Newton-Euler es más apropiada (Tsai 1999). Una ventaja importante del método Newton-Euler es la forma lineal de los parámetros del sistema dinámico de modo que permite el uso de estimadores lineales en el proceso de identificación (Jens Kroneis 2008). La formulación Lagrangiana es también muy usada por las ventajas que ofrece. Ella, en un principio elimina las fuerzas de restricción. No obstante, estas fuerzas de restricción deben ser repuestas algún tiempo después si serán usadas con propósitos de diseño. Recientemente, ha habido un creciente interés en el desarrollo de programas computacionales de propósitos generales para el análisis de sistemas mecánicos. Por ejemplo los siguientes programas han sido desarrollados usando la formulación Lagrangiana (Tsai 1999): x. ADAMS: desarrollado por Chace de la Universidad de Michigan y sacado al mercado por Mechanical Dynamics, Inc. (1981).. x. DADS: desarrollado por Haug de la Universidad de Iowa y sacado al mercado por Computer Aided Design Software, Inc. (1995).. x. DYMAC: desarrollado en la Universidad de Pennsylvania..

(22) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 12. A pesar de que el nivel de complejidad computacional del algoritmo de Lagrange-Euler, es de O(n 4 ), es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia de cuatro del número de grados de libertad, sin embargo conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento (inercia, Coriolis, gravedad) (Antonio Barrientos 1997). Otro de estos métodos es el denominado Principio de Trabajo Virtual, el cual constituye uno de los más eficientes métodos de análisis (Tsai 1999) desde el punto de vista computacional. Este principio fue utilizado por primera vez en el siglo XVIII por el matemático suizo Jean Bernoulli. El mismo establece que si una partícula, o un cuerpo rígido, o en general un sistema de cuerpos rígidos unidos, los cuales están en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas, se les aplica un desplazamiento arbitrario a partir de la posición de equilibrio, el trabajo realizado por las fuerzas externas durante el desplazamiento será cero. Este principio es muy efectivo cuando se aplica a la solución de problemas relacionados con el equilibrio de máquinas y/o mecanismos que están constituidos por varios elementos conectados entre sí. A continuación se explican brevemente cada una de las formulaciones anteriormente mencionadas.. 1.2.1. Método de Newton-Euler. En la formulación de Newton-Euler, las fuerzas y torques de reacción entre todas las partes móviles, incluyendo las demandas de los actuadores pueden ser fácilmente calculadas, proveyendo un modelo excelente para análisis y estudios de la estructura mecánica. Aunque debido al alto número de ecuaciones y su gran complejidad, la eficiencia computacional del modelo es considerada pobre, haciéndolo difícil de aplicar en control de tiempo real (Cabral 2006). La formulación Newton-Euler incorpora todas las fuerzas que actúan en las articulaciones individuales del brazo robótico. Por lo tanto las ecuaciones dinámicas resultantes incluyen todas las fuerzas de restricción entre dos uniones adyacentes. Estas fuerzas de restricción son útiles para dimensionar las articulaciones y uniones durante el estado de diseño (Tsai 1999)..

(23) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 13. El método Newton-Euler puede ser encontrado en dos variantes: Newton-Euler Recursivo, el cual suele usarse en robots del tipo serie. Newton-Euler No Recursivo, que es más efectivo para modelar robots paralelos. Las cuestiones referentes a la mecánica Newtoniana (Mark W. Spong 2004), que son pertinentes al presente trabajo, pueden ser expresadas en los siguientes postulados: 1. Cada acción tiene una reacción igual y opuesta. Por tanto, si un cuerpo 1 aplica una fuerza f y un torque W ҏ a un cuerpo 2, entonces el cuerpo 2 aplica una fuerza -f y un torque - W al cuerpo 1. 2. La razón de cambio del momento lineal corresponde a la fuerza total aplicada al cuerpo. 3. La razón de cambio del momento angular corresponde al torque total aplicado al cuerpo. Entonces aplicando el segundo postulado expresado anteriormente se tiene que d mv dt. (1.10). f. donde m es la masa del cuerpo, v es la velocidad de su centro de masa, y f es la suma de fuerzas externas aplicadas al cuerpo (Mark W. Spong 2004). Esto puede ser simplificado a la siguiente ecuación donde a es v , es decir, la aceleración del centro de masa: ma. (1.11). f. Aplicando el tercer postulado al movimiento angular del cuerpo se tiene que:. d I 0Z 0 dt. W0. (1.12). donde I 0 es el momento de inercia del cuerpo con respecto al marco de inercia cuyo origen se encuentra en el centro de masa, Z 0 es la velocidad angular del cuerpo, y W 0 es la suma de torques aplicados al mismo. La matriz I 0 se obtiene por I0. RIR T. (1.13).

(24) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 14. donde R es la matriz de rotación que transforma las coordenadas del sistema coordenado adjunto al cuerpo en relación sistema coordenado referencial global. Por tanto no existe razón para esperar que I 0 sea constante en función del tiempo. Una forma de evitar esta dificultad es expresar las ecuaciones del movimiento angular en términos de un marco rígido local al cuerpo o articulación, lo cual lleva a:. IZ Z u IZ. W. (1.14). donde todos los términos están expresados con respecto al marco local del cuerpo (Mark W. Spong 2004). Un adecuado desarrollo de las ecuaciones (1.11) y (1.14) conduce a una formulación recursiva en la que se obtienen la posición, la velocidad y aceleración del eslabón i (Antonio Barrientos 1997). En las expresiones anteriores se puede observar las variables involucradas en el problema dinámico: las fuerzas o pares necesarios para que el sistema se desplace por una trayectoria prescrita y las variables cinemáticas de posición, velocidad y aceleración (Díaz-Rodríguez M. 2007). El corazón de la formulación Newton-Euler consiste en encontrar los vectores (fuerza y torque) f 1 ,...., f n y W 1 ,....,W n correspondientes a un grupo dado de vectores articulares q , q , q . En otras palabras, hallar las fuerzas y torques en el manipulador que corresponda al. conjunto de coordenadas generalizadas del robot dado y a su primera y segundas derivadas (Mark W. Spong 2004). Entonces podemos plantearnos las siguientes ecuaciones: fi. Wi. Rii 1 f i 1 mi a c ,i mi g i. (1.15). Rii 1W i 1 f i u ri ,ci Rii 1 f i 1 u ri 1,ci D i Zi u I i Zi. (1.16). donde r es el vector de radio desde el punto en que se aplica la fuerza hasta el punto en el cual calculamos el momento; g i es el vector de gravedad; a c ,i es la aceleración del centro de masa del eslabón i; Z i es la velocidad angular del eslabón y D i su aceleración angular; Rii 1 es la matriz de rotación del eslabón i+1 al i; f i y W i son la fuerza y el torque ejercidos. por el eslabón i -1 al i; ri ,ci es el vector de radio desde la articulación i al centro de masa del.

(25) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 15. eslabón i; ri 1,ci es el vector de radio desde la articulación posterior a i al centro de masa del eslabón i (Mark W. Spong 2004). En resumen el método de Newton-Euler constituye uno de los métodos vectoriales más comunes para desarrollar el modelo dinámico. Este tiene la ventaja de tener forma lineal en los parámetros del sistema dinámico, lo cual permite el uso de estimadores lineales en el proceso de identificación (Jens Kroneis 2008). El método del Newton Euler observa los aspectos instantáneos o infinitesimales del movimiento, es diferencial por naturaleza (Bruyninckx 2005). Sin embargo resulta relativamente complejo, debido al alto número de ecuaciones, lo que hace su eficiencia computacional pobre, siendo así difícil de aplicar en control de tiempo real (Yen P-L 2008).. 1.2.2. Método de Euler-Lagrange. La formulación Lagrangiana es un método muy atractivo para la derivación de la dinámica inversa de un manipulador. Provee de una muy analítica y ordenada estructura, que la hace muy conveniente para los propósitos de control. Esta formulación tiene varias propiedades muy importantes que pueden ser explotadas al diseñar y analizar algoritmos de control. Entre estas propiedades se consideran. las. relacionadas con las fronteras de la matriz de inercia, la linealidad en los parámetros inerciales, y la conocidas propiedades de pasividad y antisimetría (Mark W. Spong 2004). Para manipuladores paralelos las variables del actuador no son independientes debido a las restricciones cinemáticas. Desde muy temprano se descubrió que este método no es aplicable a manipuladores paralelos de seis grados de libertad. El cálculo viene a ser confuso y la obtención del modelo casi imposible. Aun en mecanismos paralelos de menor movilidad (n<5), la implementación ha demostrado las inconveniencias computacionales de las formulaciones Lagrangianas. Debido a las dificultades mencionadas, al usar el formalismo Lagrangiano en robots paralelos, otros principios de mecánica fueron propiciados para derivar la forma cerrada de la dinámica inversa de tales mecanismos (Houssem Abdellatif 2008)..

(26) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 16. La Función Lagrangiana se define como la diferencia entre las energías cinética y potencial:. L. K U. (1.17). Las ecuaciones de Lagrange se formulan en términos de la Función Lagrangiana como (Goldstein 1980):. d § wL ¨ dt ¨© wq i. · wL ¸¸ ¹ wqi. Qi ,. para i. ^1, 2,...,n`. (1.18). Qi (fuerza generalizada correspondiente a la iésima coordenada generalizada) representa todas las fuerzas no conservativas ni inerciales que son consistentes con las restricciones mecánicas del sistema, y que no representan reacciones de contacto, pudiendo así englobar tanto a una fuerza F como a un torque Ĳ, según la correspondiente coordenada generalizada sobre la que actúa (Tsai 2000). Las coordenadas generalizadas son un conjunto de n parámetros qi que sirven para determinar de manera unívoca la configuración del sistema. Estos parámetros pueden ser cualesquiera, sin necesitar ser homogéneos en cuanto a sus dimensiones. Para un robot estas coordenadas corresponden a las variables articulares activas (Limón 2006). La energía cinética, desde una vista simple, responde a la siguiente ecuación, donde m es la masa y v la velocidad del cuerpo: k. 1 2 mv 2. (1.19). Sabiendo que la velocidad es la derivada de la posición (el vector q) y que el cuadrado de vectores se logra por el producto del vector por su transpuesta, llegamos a: K. 1 T q mq 2. (1.20). Dado que se trabaja con matrices y en el campo de la física euleriana (movimientos rotacionales, torques,…) se sustituye la masa del cuerpo por la matriz de inercia (M). K. 1 T q Mq 2. (1.21).

(27) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 17. La energía potencial U almacenada en el eslabón i se define como la cantidad de trabajo requerido para elevar el centro de masa del eslabón i desde un plano de referencia horizontal a una posición actual bajo la influencia de la gravedad. Siendo el resultado de la siguiente ecuación donde p ci es la posición del centro de gravedad de cada eslabón (Tsai 1999). n. U. ¦ mi g T p ci. (1.22). i 1. Sustituyendo (1.21) y (1.22) en (1.17) se tiene: L. n 1 T q Mq ¦ mi g T p ci 2 i 1. (1.23). Luego de un complicado trabajo algebraico con matrices, aplicando (1.18) se obtiene la llamada forma general de las ecuaciones dinámicas por Euler-Lagrange: Mq V G. Q. (1.24). Donde G es el vector de fuerzas gravitacionales y V es el vector que representa las fuerzas centrífugas y de Coriolis (Tsai 1999). En resumen el método de Euler-Lagrange tiene las ventajas de presentar una analítica y ordenada estructura, que la hace muy conveniente para los propósitos de control. El método de Euler-Lagrange considera las condiciones del sistema durante un espacio de tiempo finito, es un método integral (Bruyninckx 2005). No obstante, aunque se ha aplicado para la obtención del modelo dinámico en robots paralelos, es difícil generalizar el mismo para todas las formas de arquitecturas paralelas (Yen P-L 2008).. 1.2.3. Método de Ecuaciones de Gibbs-Appell. Existen las ecuaciones de Gibbs-Appell Clásicas y las Explícitas. De las ecuaciones de Gibbs-Appell clásicas y el principio de mínima acción, surgen las ecuaciones de GibbsAppell Explícitas, las cuales presentan como ventaja principal, que el modelo dinámico está conformado por ecuaciones diferenciales ordinarias. Además permiten que su obtención pueda ser realizada de forma sistemática, empleando inclusive algoritmos recursivos..

(28) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 18. El fundamento de las ecuaciones de Gibbs-Appell se sustenta en la transformación de un sistema restringido, de n+m ecuaciones diferenciales (n es el número de coordenadas generalizadas y m el de ecuaciones de restricción), en un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias. El sistema de n+m ecuaciones se obtiene al separar el sistema mecánico restringido para obtener un conjunto de varias cadenas abiertas. De esta forma se obtienen un número de n ecuaciones que definen el modelo dinámico de las cadenas abiertas.. & & D q J. (1.25). siendo D. ª Dee «D ¬ ie. Dei º & , q Dii »¼. ªq&e º & « & », J ¬« qi ¼». & ªJ e º «J& » ¬ i¼. (1.26). Donde D es la matriz de masas y se agrupa en varias submatrices: una asociada a las coordenadas independientes Dii, una correspondiente a las coordenadas dependientes Dee y una asociada a las coordenadas dependientes e independientes Die. El vector qr denota las coordenadas generalizadas y Ȗr es el vector que contiene los términos de las fuerzas & centrifugas, Coriolis, gravedad y externas ( W ). Al sistema de ecuaciones presentado en la expresión (1.25) es necesario adicionar las m ecuaciones de restricción:. >ĳ e. & ĳ i @q. & b. (1.27). & Siendo b el vector que contiene términos dependientes de las velocidades generalizadas, y ĳ el jacobiano de restricciones cinemáticas. Aplicando el principio de mínima acción de. Gauss al sistema constituido por las ecuaciones (1.25) y (1.27), se obtiene las ecuaciones G:. ªĳ e «0 ¬. & º ªqe º T & Dii X T Dee X Die X X T Die »¼ «¬ qi »¼. Donde. X. ĳi. & ª º b «& 1 & » T & T ¬J i X J e X Dee Die ĳ e b ¼. (1.28). ĳ e1ĳ i. Una de las principales razones del uso no extendido de las ecuaciones Gibbs-Appell radica en la dificultad para la obtención, de manera sistemática, de las submatrices independiente y dependiente de la matriz de masas..

(29) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 1.2.4. 19. Principio del Trabajo Virtual. El principio del Trabajo Virtual es uno de los métodos de análisis dinámico mejor recomendado en la literatura, por tener una muy buena relación costo/beneficio y permitirnos conocer la información principal del modelo sin un alto costo computacional (Cabral 2006). Este engloba el concepto del Trabajo Virtual y el principio de D’Alembert, mediante los cuales se formulan directamente las ecuaciones dinámicas de manera conjunta para todo el sistema, y no partícula a partícula (Limón 2006). Ahora bien, el principio del Trabajo Virtual aplicado a una partícula establece que, “si una partícula está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre la partícula es cero para cualquier desplazamiento virtual de la partícula”. Entonces si la partícula está en equilibrio la resultante (Q) de las fuerzas es cero. Extendiendo este mismo análisis para el caso de un cuerpo rígido, el principio del trabajo virtual plantea que “si el cuerpo rígido está en equilibrio el trabajo virtual de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo es cero para cualquier desplazamiento virtual del cuerpo”. Esta condición necesaria establece que si el cuerpo está en equilibrio, todas las partículas que lo forman también lo están y el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre la partícula debe ser cero. Como el trabajo total de las fuerzas internas es cero, por tanto el trabajo total de las fuerzas externas también debe ser cero (Beer 2005). Existe un término que debe ser explicado antes de plantear las formulaciones; este es el denominado desplazamiento virtual (įr). Los desplazamientos virtuales son un concepto abstracto que sirve para formular el Principio del Trabajo Virtual; se trata de desplazamientos ficticios, que tienen lugar en un instante “congelado” de tiempo. Por el contrario, los desplazamientos infinitesimales reales dr se producen en el movimiento real, durante un intervalo de tiempo dt, y se pueden expresar como un diferencial en funciones que definen el movimiento (Limón 2006). Además tenemos los vectores de fuerzas generalizadas (Qi). Para un sistema en equilibrio, el Principio de D’Alembert se reduce a la condición de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero; entonces el concepto de trabajo virtual (įU) podría expresarse matemáticamente como:.

(30) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. GU GU. Q1 G r Q2 G r ... Qn G r. GU. ¦Q. Q1 Q2 ... Qn G r i. G ri. 20. (1.29). 0. i. Por estas ecuaciones se puede analizar el sistema de manera estática; sin embargo, es posible extender dicho concepto al análisis dinámico si se consideran las ecuaciones de las fuerzas y momentos inerciales. Así, si dichas fuerzas y/o momentos inerciales son agrupados como fuerzas generalizadas inerciales Qi* , el principio de D’Alembert puede escribirse de la siguiente manera:. ¦Q. i. Qi. *. 0. (1.30). Mientras que el trabajo virtual para desarrollar un análisis dinámico quedaría como:. GU. ¦Q. *. i. Qi G ri. (1.31). i. Por conveniencia se introduce un vector de inercia Fi, que combina las fuerzas netas f i y momentos netos ni , que actúa sobre el centro de masa del eslabón i. * i. F. ª f *i º « * » ¬n i ¼. (1.32). Similarmente se introduce otro vector pero este combinará las fuerzas y momentos que actúan sobre el centro de masa de la plataforma. F p*. ª f p* º « *» ¬« n p ¼». (1.33). Entonces el principio del trabajo virtual para el robot paralelo puede ser descrito como (Tsai 1999):. Gq T W Gx Tp F p* ¦ GxiT Fi*. 0. (1.34). i. Aquí, el desplazamiento virtual de cada articulación i se denota como Gxi y el del plataforma móvil como Gx p , mientras que el de las coordenadas generalizadas o variables articulares activas se denota como Gq. G >q1 q 2 q n @ . El desplazamiento de las.

(31) CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE LOS ROBOTS PARALELOS. 21. coordenadas generalizadas se relaciona con el desplazamiento de la plataforma mediante la matriz jacobiana J p de la siguiente manera:. Gq. J p Gx p. (1.35). También se relaciona el desplazamiento virtual de la articulación i ( Gxi ) con el de la plataforma mediante la matriz jacobiana J i , quedando (Tsai 1999):. Gxi. J i Gx p. (1.36). Sustituyendo (1.35) y (1.36) en (1.34) se obtiene §. ·. Gx Tp ¨ J Tp W F p* ¦ J iT Fi* ¸ 0 ©. i. (1.37). ¹. Ya que la ecuación anterior es válida para cualquier desplazamiento virtual Gx p , sigue que: J Tp W F p* ¦ J iT Fi*. 0. (1.38). i. La ecuación (1.38) describe la dinámica de un robot paralelo. Si el número de actuadores es igual al de los grados de libertad (como en el caso que nos ocupa), entonces J p será una matriz cuadrada. Por lo tanto, W puede ser determinado únicamente por (Tsai 1999):. W. § · J pT ¨ F p* ¦ J iT Fi* ¸ i © ¹. (1.39).

(32) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 22. CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 2.1. Introducción al Control por Modelo Dinámico Inverso. Ventajas y desventajas.. A un robot se le exigen, por lo general, elevadas prestaciones en velocidad y precisión de movimiento. Este objetivo ha marcado en gran medida las investigaciones y avances tecnológicos realizados en el campo de la robótica. La utilización de materiales más ligeros, de sistemas de transmisión sin holgura y con baja inercia, de actuadores rápidos y precisos o de sensores de elevada resolución, han permitido mejorar de manera notable la calidad del movimiento del robot. Del mismo modo, los algoritmos de control del robot tienen por objetivo mejorar al máximo las características de velocidad y precisión. El control cinemático selecciona trayectorias que idealmente deberá seguir el robot para, teniendo en cuenta sus limitaciones, ajustarse lo mejor posible a las especificaciones del movimiento dadas por el usuario. En la práctica, este ajuste del movimiento del robot a las especificaciones del usuario no será del todo posible, pues las características dinámicas del robot (inercias, rozamiento, holguras, etc.) muchas veces desconocidas, impiden en general una coincidencia entre la trayectoria deseada q d t y la real q t (Antonio Barrientos 1997). El control dinámico tiene por misión procurar que las trayectorias realmente seguidas por el robot q t sean lo más parecidas posibles a las propuestas por el control cinemático q d t . Para ello hace uso del conocimiento del modelo dinámico del robot y de las herramientas de análisis y diseño aportadas por la teoría del control (Antonio Barrientos 1997). Hasta la fecha, la mayoría de las investigaciones se han desarrollado en asuntos de cinemática en robots paralelos, mientras que relativamente pocas se refieren al control.

(33) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 23. dinámico de estos mecanismos. Normalmente, existen dos problemas en la dinámica de mecanismos de estructura paralela. El primero de ellos es cuando se hallan las fuerzas de activación de los actuadores una vez que las trayectorias (ya sea en el espacio articular o en el espacio de tarea) son planeadas, y el otro es el que obtiene el movimiento resultante en el robot cuando las fuerzas de activación son dadas; esto es lo que ya se describió como dinámica inversa y dinámica directa, respectivamente. La dinámica inversa puede ser usada para el diseño de controladores dinámicos, mientras que la dinámica directa suele ser adoptada al efectuar simulaciones dinámicas del mecanismo, para lo cual también se puede recurrir a efectivos paquetes de software tales como ADAMS, DADS, etc. (Yangmin Li 2008). El conocimiento acerca de los robots paralelos viene directamente de los robots series. Por ello, son controlados principalmente con las mismas estrategias de control que los mecanismos series. Los dos métodos más usados en la literatura para controlar robots series son el denominado control simple o control PID y el torque computado o control por modelo dinámico inverso, ambos en el espacio articular (Flavien Paccot 2009). El control simple o PID es el más usado en la industria, puesto que es el más simple y convencional al controlar un sistema. Puede ser usado en mecanismos tanto series como paralelos. No obstante se sabe que es insuficiente con manipuladores series rápidos pues no asegura una compensación debida de las no linealidades, conduciendo así a una pobre precisión dinámica. Por lo tanto, en mecanismos paralelos, los cuales presentan muchas no linealidades debido a las interacciones entre las cadenas cinemáticas, se hace muy impreciso el uso de este tipo de control. Existen formas de arreglar los problemas que resultan al usar el control simple, no obstante no es recomendado en la literatura para el tipo de robot que nos concierne (Flavien Paccot 2009). Ya se han visto en el capítulo anterior algunos de los métodos principales para la obtención del modelo dinámico, en este caso la dinámica inversa. Con respecto al control en tiempo real de mecanismos paralelos, el objetivo del modelo dinámico es establecer un modelo dinámico inverso como estrategia de control, el cual sea simple pero lo suficientemente preciso para representar el comportamiento dinámico del sistema robótico. En general, una vez que el mecanismo es diseñado y desarrollado, su exactitud de manipulación puede ser.

(34) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 24. garantizada diseñando su propio controlador. El control por dinámica inversa puede producir un buen desempeño del sistema, mejor aun cuando el modelo completo del sistema es usado con gran exactitud en los parámetros. No obstante siempre existirán incertidumbres no consideradas en el modelo dinámico debido a la dificultad de identificar con precisión los parámetros del modelo, o por naturales simplificaciones cometidas al modelar. Por lo tanto, el desempeño ideal del método de control por dinámica inversa queda degradado. Para resolver este problema se hace necesario introducir otra estrategia de control que trabaje a la par (Yangmin Li 2008).. 2.2. Esquema de Control por Modelo Dinámico Inverso.. Sea la ecuación (2.1), la formulación dinámica en forma matricial de cualquier robot de n articulaciones.. M q q C q , q q G q. W. (2.1). El control por modelo dinámico inverso en el espacio articular se daría por:. W. M q a q C q , q q G q. (2.2). Donde a q está por el momento indeterminada. Por ser la matriz de inercia M q invertible para toda q, el sistema de lazo cerrado se reduce al sistema desacoplado de integrador doble (Kurfess 2005): q a q. (2.3). El término a q , el cual tiene las unidades de aceleración, es ahora la entrada de control al sistema de integrador doble. Este término a q será referido como lazo externo de control, mientras que W lo será como el lazo interno de control. Esta arquitectura, de lazo interno/lazo externo, mostrada en la figura 2.1, es importante por varias razones. Una de ellas es que el lazo externo de control puede ser modificado con el fin de lograr otros objetivos tales como el seguimiento de trayectorias en el espacio de tareas en lugar del.

(35) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 25. espacio articular. Así esta arquitectura unifica algunas de las estrategias de control de robots que aparecen en la literatura. Se asume que la trayectoria deseada en el espacio articular q d t es, al menos dos veces, continuamente derivable y que q d t y sus derivadas q d t y qd t son definidas (Kurfess 2005).. Figura 2.1. Arquitectura de Lazo interno/Lazo externo (Kurfess 2005).. Figura 2.2. Ejemplo de Esquema de Control en el Espacio Articular (Yangmin Li 2007). La figura 2.2 muestra un ejemplo de esquema de control en el espacio articular. Ciertamente, en robots series el diseño en el espacio articular es eficaz, en contraste, en robots paralelos como la plataforma donde el diseño del control se desarrolla con mejor efectividad en el espacio cartesiano. Existen varias razones para explicar esto..

(36) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 2.3. 26. Espacio cartesiano vs. Espacio articular.. El espacio de tarea, es el espacio que abarca todas las colocaciones y todas las orientaciones (las llamadas poses) que el elemento final (en este caso la plataforma móvil) puede tomar (Levine 1999). El control en el espacio de tareas, o espacio cartesiano, es particularmente aplicable a los mecanismos paralelos. Teóricamente, dado que la pose del elemento final es el estado del mecanismo, el control cartesiano asegura un control retroalimentado de dicho estado con una mejor precisión que el control articular. Más aun, al usar un modelo dinámico en el espacio cartesiano, se requiere un uso mínimo de transformaciones numéricas lo cual conduce a un rápido, estable y preciso control, siempre que se haya usado un buen modelo y desarrollado una buena identificación de los parámetros dinámicos, lo cual puede considerarse un reto a resolver en el caso de las estructuras paralelas. Además, algunas ventajas adicionales pueden ser advertidas cuando una medida rápida y precisa de la pose del elemento final puede estar disponible (Flavien Paccot 2009). En este caso se considera que existe un sistema sensorial que pueda brindar la información necesaria de la pose del robot. Primeramente, en el control por modelo dinámico inverso desarrollado en el espacio cartesiano, el error regulado es el error entre la medida y la trayectoria deseada del elemento final. Así asegura un control directo de tarea y puede ser más preciso que su semejante en el espacio articular, puesto que allí el error regulado es el error entre la trayectoria deseada transformada y una medida no reflejando la pose real del elemento final (Flavien Paccot 2009). En segundo lugar, puesto que el modelo cinemático inverso no se usa para computar el camino articular de referencia, las restricciones en identificación cinemática podrían despreciarse. Ciertamente, sin identificación cinemática, el control cartesiano realiza un posicionamiento preciso del elemento final, cuando se desea una tarea punto a punto, puesto que la trayectoria de referencia no está influenciada por los errores del modelo cinemático inverso. Además, la identificación dinámica, la cual es lineal, es más fácil de ajustar que la cinemática, que es no lineal (Flavien Paccot 2009)..

(37) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 27. En tercer lugar, un control cartesiano de espacio es más interesante en la vecindad de singularidades. Por cierto, una configuración de variable articular conduce a varias posturas del elemento final. En el peor de los casos, un disturbio en la trayectoria articular puede cambiar la pose del elemento final sin cambiar la configuración articular. Este cambio de la pose del elemento final no es observado por el control en el espacio articular mientras que el control en el espacio cartesiano es capaz de hacerlo. Consecuentemente, el control en espacio cartesiano trata de llevar la pose a su referencia. Por el contrario, el control articular no puede decir si el seguimiento de referencia cartesiana falla o no (Flavien Paccot 2009). Por último, aun en el camino planeado teniendo en cuenta restricciones cinemáticas y dinámicas, los errores de posicionamiento articular son independientes unos de otros al usar un control en el espacio articular. Por lo tanto, las restricciones cinemáticas no pueden ser aseguradas y pueden aparecer dos tipos de afectaciones: movimientos parásitos incontrolables del elemento final o torques internos si estos movimientos son imposibles, afectando las articulaciones pasivas. El control en el espacio cartesiano puede minimizar, o cancelar en el mejor de los casos, los torques internos. Por supuesto, los errores regulados, los cuales son errores en la pose, son naturalmente compatibles con los movimientos del elemento final (Flavien Paccot 2009). Por lo antes expresado, son indudables los avances del control cartesiano sobre el control articular. Por tanto, parece perfectamente aplicable a los mecanismos paralelos. Ahora bien, esto es asumiendo que se tiene una medición precisa y rápida de la pose del elemento final. Este punto permanece como un asunto principal, haciendo el uso del control en el espacio cartesiano ocasional. Ciertamente, la medida de la pose del elemento final no es una tarea fácil (Flavien Paccot 2009).. 2.4. Modelo Dinámico Inverso en el Espacio Cartesiano.. En nuestro caso se hace necesario tener el modelo dinámico expresado como una relación entre la trayectoria del elemento final y las fuerzas y/o pares que en él se aplican, referidos todos a un sistema de coordenadas cartesianos fijo del entorno de trabajo. Cuando los datos.

(38) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 28. (trayectorias, fuerzas, pares, etc.) se dan en éstas coordenadas, se sabe que se trabaja en el espacio de tareas. La forma generalizada para representar el modelo dinámico de un robot, se muestra a continuación (Antonio Barrientos 1997; Chuang and Chien 2006; Reinoso, Aracil et al. 2006): Rescribiendo la ecuación (2.1) tenemos: W. M q q C q , q q G q. (2.1). donde: Ĳ: Vector de fuerzas o pares que se aplican en cada articulación. M: Matriz de inercia (nxn). C: Fuerzas de Coriolis y Centrífugas (nx1). G: Fuerzas gravitacionales (nx1). La ecuación correspondiente a la Jacobiana del robot es: q. Jx. (2.4). x. J 1q. (2.5). Derivando (2.5) respecto al tiempo: x J 1q J 1q. (2.6). tenemos: Despejando q q. Jx JJ 1 q. (2.7). Las expresiones (2.7) y (2.8) relacionan las aceleraciones cartesianas y articulares de manera directa e inversa..

(39) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 29. El teorema del trabajo-energía establece que el cambio en la energía cinética del robot es igual al trabajo neto (W) efectuado por el mismo. Dado que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre el robot modifica su energía cinética y como el trabajo es el producto punto del vector fuerza (o torque) por el vector desplazamiento lineal (o angular), se cumple la igualdad:. GW. F Gx W GT. (2.8). Partiendo del hecho de que la potencia consumida por el robot debe ser la misma tanto si se evalúa en el espacio cartesiano como en el articular, se puede escribir:. Potencia. T Fx x W T q. (2.9). Donde FxT es el vector de fuerzas y/o pares (espaciales) ejercidos en el extremo del robot expresado en el sistema de coordenadas de la base y ĲT es el vector de fuerzas y/o pares ejercidos en las articulaciones. Sustituyendo (2.5) en (2.9) se obtiene (Massimo Callegari 2006): T. Fx J 1q W T q T. (2.10). Fx J 1 W T. (2.11). Fx J T. (2.12). W. La expresión anterior es de destacable utilidad, ya que relaciona las fuerzas y/o pares generalizados ejercidos en el extremo del robot con los ejercidos en cada una de las articulaciones. Sustituyendo (2.7) y (2.12) en la ecuación del modelo dinámico (2.1) se obtiene:. Fx J T Fx. M ( q )Jx M ( q )JJ 1q C( q ,q )q G( q ). J T M ( q ) Jx J T M ( q ) JJ 1q J T C( q , q )q J T G( q ). (2.12) (2.13).

(40) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. >. 30. @. Fx. J T M ( q ) Jx J T C( q ,q ) M ( q ) JJ 1 q J T G( q ). Fx. J T M ( q ) Jx J T C( q , q ) M ( q ) JJ 1 Jx J T G( q ). (2.15). Fx. M x ( x )x C x ( x , x )x G x ( x ). (2.16). >. @. (2.14). donde:. M x( x ) J T M ( q ) J. C x ( x , x ) Gx ( x ). >. (2.17). @. J T C ( q ,q ) M ( q ) JJ 1 J. (2.18). J T G( q ). (2.19). La expresión (2.16) define el modelo dinámico del robot en coordenadas cartesianas conocido también como modelo dinámico en el espacio de tareas (Yangmin Li 2008). Si se considera el efecto de las fuerzas externas sobre el sistema robótico, la misma puede escribirse como:. Fx. M x ( x ) x C x ( x , x ) x G x ( x ) Fext. Fx. (2.20). donde: M x (x) : Matriz inercia del sistema.. C x ( x, x ) : Matriz de fuerzas de Centrífugas y de Coriolis. G x ( x) : Vector de las fuerzas gravitacionales. Fext: Fuerzas externas. Obsérvese que dicha formulación parte del modelo dinámico en el espacio articular y de la ecuación que define a la matriz Jacobiana del robot (R. Kelly 2005), también denominada matriz Jacobiana del manipulador (Kurfess 2005)..

(41) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 31. La forma de las matrices M, C y G sería la siguiente para un robot de dos grados de libertad:. M x( x ). ª M 11 ( x ) M 12 ( x )º 2u 2 « M ( x ) M ( x )» R 22 ¬ 21 ¼. Cx( x ). ª C11 ( x , x ) C12 ( x , x )º 2u 2 «C ( x , x ) C ( x , x )» R 22 ¬ 21 ¼. ª G ( x )º 2u1 G x ( x ) « 11 »R G ( x ) ¬ 21 ¼. En los robots paralelos la dinámica de los actuadores debe ser tomada en cuenta en el modelo del robot, siempre que no sea lo suficientemente despreciable con respecto a la del sistema total, y más específicamente cuando el robot alcanzará altas precisiones en sus tareas (R. Kelly 2005).. 2.5. Control por Modelo Dinámico Inverso Aplicado a Robot Paralelo.. El esquema de control empleado, que se muestra en la figura 2.3, está implementado en correspondencia con la ecuación:. Fx. M x ( x) u Cx ( x, x ) x Gx ( x). (2.21). La señal de mando u será:. u. X d K d ex K p ex. (2.22). u. X d K d ( X d X m ) K p ( X d X m ). (2.23). Siendo Kp y Kd las matrices de ganancia y Xd la posición deseada de la plataforma móvil en el espacio de tareas..

(42) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 32. Las acciones de control fundamentadas por las expresiones (2.21) y (2.23) tienen en consideración el modelo dinámico del sistema (2.16), y nos conducen a la siguiente ecuación de segundo orden que describe la dinámica del error:. ex K d e x K p e x. 0. (2.24). donde: Vector de error de posición en el espacio de tareas:. ex. Xd Xm. (2.25). Vector de error de velocidad en el espacio de tareas:. e x. X d X m. (2.26). Vector de error de aceleración en el espacio de tareas:. ex. X d X m. (2.27). Las matrices de ganancia (Kp, Kd) son simétricas positivas y diagonales de orden 3x3, donde:. Kp. 2. 2. 2. 2. diag [ Z1 , Z 2 , Z 3 ] 2. 2. diag [ Z n ] 2. 2. Kd diag[ 2]1Z1 , 2] 2Z2 , 2] 3Z3 ] diag[ 2] nZn ]. n 1....3. (2.28). n 1....3. (2.29). Donde Zn y ]n corresponden a la frecuencia natural de lazo cerrado y amortiguamiento critico del sistema respectivamente de los actuadores lineales.. Figura 2.3. Esquema de Control PD para seguimiento de trayectoria basado en Modelo Dinámico en el Espacio de Tareas empleando un sistema sensorial para la medición de la pose..

(43) CAPÍTULO 2. CONTROL POR MODELO DINÁMICO INVERSO.. 33. Xd X d : Valores de Posición, Velocidad y Aceleración en el espacio de tareas. X d. Kp. K d : Matrices Diagonales (nxn).. y. De manera similar para la variante PID tenemos: Señal de mando:. u. X d K d ( X d X m ) K p ( X d X m ) K i ³ ( X d X m ). (2.30). u. X d K d ex K p ex K i ³ ex. (2.31). K p , K d , K i : Matrices Diagonales (nxn). Figura 2.4. Esquema de Control PID para seguimiento de trayectoria basado en Modelo Dinámico en el Espacio de Tareas empleando sistema sensorial para la medición de la pose..

(44) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. 34. CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO.. 3.1. Descripción de la plataforma. El simulador de conducción de sello SIMPRO producido por CIDSIM es ampliamente utilizado en el entrenamiento de personal. Está compuesto por una cabina de conducción con los mandos reales que simulan el comportamiento al cual se enfrenta el chofer del vehículo y un monitor que le brinda la simulación virtual del entorno con el que interacciona. Puede ser usado para simular un vehículo ligero o pesado. Esta plataforma de simulación presenta una estructura mecánica paralela, con cinco uniones universales y dos articulaciones prismáticas actuadas por pistones neumáticos.. Figura 3.1. Imagen de la plataforma de conducción SIMPRO..

(45) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. 35. La cabina pivotea sobre una columna central mediante una articulación pasiva en cuyo extremo superior se encuentra una unión universal. Los movimientos de la plataforma móvil se logran mediante la acción de los dos cilindros neumáticos (actuadores) que constituyen articulaciones actuadas prismáticas cuyos desplazamientos lineales le imprimen al efector final rotaciones sobre dos ejes perpendiculares entre sí (ejes x y y para nuestro caso). Estas rotaciones simulan las pendientes del mundo virtual las cuales son visualizadas en el monitor ubicado en el interior de la cabina (Domínguez 2007). En ambos extremos de las articulaciones prismáticas, se encuentran uniones universales que le permiten los grados de movilidad necesarios para lograr las orientaciones de la plataforma móvil superior. Ver figura 3.2 Dicha plataforma de simulación SIMPRO constituye un robot paralelo de dos grados de libertad, donde la acción de cada uno de los actuadores tiene efecto sobre una sola articulación lo que permite que esta se comporte de forma desacoplada.. Figura 3.2. Arquitectura de la Plataforma de simulación SIMPRO.

(46) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. 3.2. 36. Modelo dinámico de la plataforma. La ecuación en el espacio articular es como sigue:. f. M q q C q , q q g q. (3.1). Donde:. f. ª F1 º « F » : Fuerza aplicada por los cilindros neumáticos. ¬ 2¼. q. ª d1 º «d » : Desplazamiento de los cilindros neumáticos. ¬ 2¼. En el espacio de tareas la ecuación es: fx. M x x x C x x , x x G x. (3.2). Donde:. fx. x. ªW 1 º «W » : Momento producido por cada cilindro. ¬ 2¼ ªD º «V » : Desplazamiento angular producido por cada cilindro. ¬ ¼. Se considerará que la velocidad de desplazamiento del sistema es baja, por tanto: C x x , x. C q , q. 0. Para valores pequeños de D y V se cumplirá:. d1. lD y d 2. lV ;. por tanto la matriz Jacobiana del sistema queda: J. ª l 0º «0 l » ¬ ¼. (3.3).

(47) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. 3.2.1. 37. Dinámica aproximada de la plataforma de 2 GDL. La aproximación dinámica se obtendrá mediante el empleo del método Newton-Euler. Considerando toda la masa de 500Kg, contenida en el centro de masa, sobre el pedestal, a 50cm del punto de giro. La gravedad (g) aquí será 10 m / s 2 . CM: Distancia del punto de giro al centro de masa del sistema. l: Longitud del punto de giro al punto en que se ejerce la fuerza.. 3.2.2. Análisis desacoplado. Figura 3.3. Vista perpendicular al Plano. Figura 3.4. Vista perpendicular al Plano. B con masa concentrada en el centro de. B girada con ángulo V. masa.. Figura 3.5. Diagrama de Fuerzas de la figura anterior..

(48) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. 38. l1 : Distancia del punto de giro al punto en que se ejerce la fuerza de gravedad. F2 : Fuerza ejercida por el pistón 2. Fa : Fuerza del sistema sobre el apoyo. Fg : Fuerza de gravedad.. l1. CM tan V. Fa F2 cos V. (3.4) mg cos V. mgl1 cos V F2 l cos V mgl1 F2 l. 3.2.3. 0. 0. (3.5) (3.6) (3.7). F2. mgCM tan V l. (3.8). W2. mgCM tan V. (3.9). F1. mgCM tan D l. (3.10). W1. mgCM tan D. (3.11). Análisis acoplado. 1. Con D. V. 0 , W1. W2. 0. No hay giro en ninguno de los planos..

(49) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO. 39. 2. Girando D , sin ejercer fuerza en “b”.. Figura 3.6. Vista perpendicular al Plano. Figura 3.7. Vista perpendicular al Plano B. A con ángulo D. con ángulo D. 3. Con D girado se gira V. Figura 3.8. Vista perpendicular al Plano B girados los ángulos V y D De acuerdo a las ecuaciones desacopladas: F2. mgCM cos D tan V l. (3.12). Por tanto W 2 queda definido por:. W2. mgCM cos D tan V. (3.13).

(50) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO.. 40. Por simetría: F1. mgCM cos V tan D l. (3.14). W1. mgCM cos V tan D. (3.15). La fuerza aplicada en “a” hace girar el sistema en la línea “ob”, por tanto el término de aceleración por D sería: I 0bD , donde I 0b es el momento de inercia del sistema alrededor del eje “ob”. I ob. mCM 2. (3.16). Por simetría el término de aceleración por V sería: I oaV , entonces: I oa. mCM 2. (3.17). Sobre esta base la ecuación dinámica del sistema queda:. ªW 1 º «W » ¬ 2¼. ªmCM 2 « ¬ 0. 0 º ªDº ªmg cos V tan D º »« » « » mCM 2 ¼ ¬V¼ ¬mg cos D tan V ¼. (3.18). Para valores pequeños de D y V donde senD | D con cos D | 1 y senV | V con. cos V | 1 , el sistema linealizado queda: ªW 1 º «W » ¬ 2¼. ªmCM 2 « ¬ 0. 0 º ªDº ªmg º ªD º »« » « »« » mCM 2 ¼ ¬V¼ ¬mg ¼ ¬V ¼. (3.19).

(51) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO.. 3.3. 41. Diseño del Control. El control dinámico en el espacio de tareas utilizando el método de Control por Modelo Dinámico Inverso, para la plataforma de dos grados de libertad se describe a continuación. Primeramente sería útil reescribir la ecuación del modelo dinámico en el espacio de tareas como se presenta en (3.2):. W. M x x x C x x , x x G x. Puesto que se desprecian las fuerzas Centrípetas y de Coriolis, las cuales conforman la matriz C x , la ecuación del modelo ahora queda:. W. M x x x G x x. (3.20). Esta ecuación a su vez puede ser escrita de la siguiente forma:. W. M x x u Gx x. (3.21). donde u es el vector de entrada al lazo interno de control (teniendo en cuenta que el esquema presenta la forma lazo interno/lazo externo) y tiene unidades de aceleración. Se asume que no existen disturbios, fuerzas externas que afecten el desempeño del sistema. Esto nos lleva a un esquema de control como el que se muestra en la figura 3.9.. x u. (3.22). Entonces la señal de referencia (r) se define por: r. xd K D x d K P x d. (3.23). donde x d es la trayectoria deseada para la plataforma móvil, K P y K D ganancias del controlador. De esta forma el vector de entrada al lazo interno de control será: u. xd K D x d x K P x d x. siendo x la trayectoria real seguida por la plataforma móvil.. (3.24).

(52) CAPÍTULO 3. CONTROL DINÁMICO APLICADO A PLATAFORMA SIMPRO.. 42. Sustituyendo (3.24) en (3.22) se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden del error:. e K D e K P e. 0. (3.25). donde e. xd x. (3.26). es el error de desplazamiento en la trayectoria.. Figura 3.9. Diagrama en bloques del esquema de control por Modelo Dinámico Inverso.. En el diagrama anterior se muestra claramente que el método de Control por Modelo Dinámico Inverso se encuentra acompañado de un controlador Proporcional-Derivativo (PD) cuyas ganancias K P y K D deben ser sintonizadas considerando que: KP. diag K P. diag wn2. (3.27). KD. diag K D. diag 2]wn. (3.28). Dado que el control se diseña para una estructura mecánica es conveniente hacer la respuesta críticamente amortiguada, para lo cual se fija la razón de amortiguamiento ]. 1,. eliminando así sobrecrestas indeseadas. Más aun, para evitar que el sistema caiga en resonancia y oscilaciones estructurales existe el criterio de definir la frecuencia natural.