Puntos de máxima deflexión en una placa empotrada

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(1)Puntos de máxima deflexión en una placa empotrada Andrés Mauricio Salazar. Universidad del Valle Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Santiago de Cali 2011.

(2) Puntos de máxima deflexión en una placa empotrada Andrés Mauricio Salazar. Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar por el tı́tulo de Magister en Ciencias Matemáticas.. Director: Jaime Arango, Dr.rer.nat.. Universidad del Valle Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Santiago de Cali 2011.

(3) Universidad del Valle Facultad de Ciencias Andrés Mauricio Salazar. Puntos de máxima deflexión en una placa empotrada. Palabras claves: Deformación de placas elásticas, puntos crı́ticos, membranas elásticas, principio del máximo, existencia y unicidad de soluciones, ecuaciones en derivadas parciales, operadores elı́pticos, operador biarmónico, solución débil, función semi-Morse..

(4) Nota de aprobación: El trabajo de investigación titulado Puntos de máxima deflexión en una placa empotrada presentado por el estudiante Andrés Mauricio Salazar, para optar por el tı́tulo de Magister en Matemática, fue revisado por el jurado y calificado como aprobado.. Director. Jurado. Jurado.

(5) I. Resumen En este trabajo describimos el conjunto de puntos críticos de la deexión de una placa circular sobre la que se hace actuar una fuerza positiva. Con este propósito el documento se ha divido en tres capítulos. En el primer capítulo se mencionan algunos resultados empleados en el estudio de la deexión de membranas como son: el principio del máximo, el Teorema de Makar-Limanov y resultados relativos al estudio de los puntos críticos. Se hace énfasis en que estos resultados no tienen por el momento un equivalente en el estudio de la deexión de placas. En el segundo capítulo se demuestra la existencia y unicidad del problema que modela la deexión de placas. En el tercer capítulo se presenta un resultado de Soranzo, según el cual la deexión radial de una placa circular sobre la que se hace actuar una fuerza positiva, siempre es decreciente en la dirección de la frontera. En este último capítulo se demuestra el resultado de los profesores Grunau y Sweers que nos habla sobre la no existencia de mínimos locales en una placa circular que se ha deectado por la acción de una fuerza positiva. Como aporte nal en este capítulo se demuestra que todos los puntos críticos presentes en la deexión de una placa circular sometida a una fuerza positiva tienen laplaciano negativo. Más aún, se demuestra que siempre hay un número nito de ellos en cualquier subconjunto compacto del disco unitario y se construye un ejemplo que presenta una deexión de una placa circular con dos máximos locales y un punto de silla..

(6) Introducción Una placa empotrada es una estructura plana de metal u otro material, rígida, poco gruesa en relación a su longitud, que esta sujeta solamente por su frontera a un medio indeformable. Si se hace actuar sobre la placa una fuerza f , la placa experimenta una deexión u, que se entiende como la altura de cada punto de la placa con respecto de la posición inicial, la placa sin deformarse. La deexión se puede modelar mediante:  2  ∆ u = f en Ω, (1)  u = 0 = ∂u sobre ∂Ω, ∂n donde ∂4 ∂4 ∂4 ∆2 ≡ + 2 + , (2) ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42 es un operador elíptico de cuarto orden conocido como el operador biarmóni∂u co, Ω ⊂ R2 es la forma de la placa, ∂Ω es su frontera y ∂n denota la derivada de la función u en la dirección de la normal exterior a la curva ∂Ω. Note que ∆2 u = ∆(∆u), donde ∆ es el operador de Laplace. La deducción del modelo (1) puede consultarse en [5], capítulo 1. El problema de existencia, unicidad y regularidad de soluciones del problema (1) está resuelto. No obstante existen aún preguntas abiertas pese a ser un tema estudiado desde principios del siglo XIX. Por ejemplo, alrededor de 1908 Boggio y Hadamard plantearon en relación con el problema (1) esta conjetura:. Si Ω es un dominio planar convexo, entonces la solución de (1) preserva el signo, esto es, f ≥ 0 implica u ≥ 0. Sin embargo casi cuarenta años después se encontraron numerosos contraejemplos. Uno de los más interesantes fue propuesto por Garabedian [6], que ii.

(7) III. en 1951 probó por el método de las funciones de Green, que para una elipse sucientemente excéntrica Ω existe una función f ≥ 0 tal que la solución correspondiente de (1) tiene también valores negativos y por lo tanto un mínimo negativo local o global en Ω. Este resultado se vericó con un ejemplo explícito propuesto por el profesor Shapiro en 1994 [11]. En este mismo año el profesor Soranzo [12] demostró que si u es una solución radial del problema (1), con f ≥ 0 y. Ω = B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + x22 < 1}, el disco unitario, entonces u no podría tener mínimos locales en B . Soranzo demuestra su resultado para operadores del tipo ∆k de los cuales el biarmónico es un caso particular. En el año 2001 Grunau y Sweers demostran la no existencia de mínimos locales en la solución general de la placa circular empotrada sobre la que actúa una fuerza positiva [7]. En este trabajo se revisan los resultados de Soranzo, Shapiro, Grunau y Sweers, sobre el problema (1). Además se amplía el resultado de Soranzo para operadores poliarmónicos ∆k en el caso k = 2 obteniendo estimativos adicionales para el laplaciano de las soluciones radiales de (1) en el origen del disco. La ampliación del resultado de Soranzo es clave para obtener el principal aporte del trabajo, cual es identicar la naturaleza de los puntos críticos interiores de la solución u de (1). En concreto se prueba que todo punto crítico interior es semi-Morse. Más aún se demuestra que en todo subdominio compacto D de B , u tiene un número nito de puntos críticos. Vale la pena mencionar que el trabajo presenta ejemplos inéditos en un tema, en donde precisamente, los ejemplos son escasos..

(8) Índice general Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. Motivación del problema. 1.1. Deexión de estructuras elásticas 1.1.1. Placa empotrada . . . . . 1.2. Principio del máximo . . . . . . . 1.3. Puntos críticos . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 2. Existencia y unicidad de soluciones. ii. 1. 1 3 5 6. 8. 2.1. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Existencia y unicidad de soluciones débiles . . . . . . . . . . . 13. 3. Resultados principales. 3.1. Teorema de Boggio . . . . . . . . . . 3.2. Teorema de Soranzo . . . . . . . . . 3.3. Teorema de GrunauSweers . . . . . 3.3.1. Transformación de Moebius . 3.3.2. Notación compleja . . . . . . 3.4. Puntos críticos en una placa circular. 4. Conclusiones y perspectivas. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 16 16 17 20 20 22 25. 34. iv.

(9) Capítulo 1 Motivación del problema En este capítulo se presentan algunos ejemplos de la deexión de placas empotradas. También se verica gracias al trabajo de S. Shapiro que el operador biarmónico no satisface el principio del máximo, resultado esencial en la prueba de la unicidad de soluciones para los problemas modelados con el operador de Laplace, como por ejemplo, la deexión de una membrana elástica. El nal del capítulo hace una corta comparación entre los resultados que se tienen en el estudio de puntos críticos para problemas elípticos lineales o semilineales modelados con el operador de Laplace, que no tienen hasta el momento un equivalente para el operador biarmónico.. 1.1.. Deexión de estructuras elásticas. La deexión de estructuras en equilibrio es un problema que ha interesado a la matemática por muchos años y que es modelado por operadores de tipo elíptico. De estos problemas, uno de los más sencillos de estudiar, y sobre el que podemos encontrar una abundante literatura, es aquel que describe la deexión de una membrana isotrópica sujeta por su frontera. A continuación describiremos brevemente este problema. Supongamos que tenemos una película de jabón, ésta hace un buen papel como membrana, que se ha formado en un alambre que describe una curva cerrada, y que de alguna forma podemos aplicar una fuerza hasta conseguir una posición de equilibrio sin romper la película de jabón. Este problema se. 1.

(10) 1.1. DEFLEXIÓN DE ESTRUCTURAS ELÁSTICAS. puede modelar por la ecuación ( −∆u = f en Ω, u = 0 sobre ∂Ω,. 2. (1.1). aquí Ω ⊂ R2 es la forma de la membrana en su conguración inicial, la membrana sin deformarse, ∂Ω es la frontera de la membrana y f es la fuerza que actúa sobre esta. Para cierto tipo de regiones Ω ⊂ R2 la solución de (1.1) es bien conocida, por ejemplo:. Ejemplo 1.1.. Para Ω = B y f (x1 , x2 ) = 1 en B , la solución de (1.1) es. 1 u(x1 , x2 ) = (1 − x21 − x22 ), 4 función que modela la deexión de una membrana sobre la que actúa una fuerza positiva igual a la unidad.. Figura 1.1: u(x1 , x2 ) = 14 (1 − x21 − x22 ).. Ejemplo 1.2. semiejes h1 y de (1.1) es. 1 k. Para Ω = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |h2 x21 + k 2 x22 < 1}, una elipse con en x1 y x2 respectivamente y f (x1 , x2 ) = 1 en Ω. La solución. 1 2 2 2 2 − k x . 1 − h x 1 2 2h2 + 2k 2 Observe que si h = k = 1 esta solución es igual a la del primer ejemplo. u(x1 , x2 ) =.

(11) 1.1. DEFLEXIÓN DE ESTRUCTURAS ELÁSTICAS. 1.1.1.. 3. Placa empotrada. Nos interesa por ahora presentar algunos ejemplos de la deexión de una placa empotrada, o simplemente placa como escribiremos en el resto del documento. Supongamos que Q = Q(x1 , x2 ) es una solución de (1.1). Es claro que Q satisface Q = 0 en ∂Ω, por consiguiente la función. u(x1 , x2 ) = Q(x1 , x2 )2 , satisface u = 0 = ∂u en ∂Ω ya que Q aparece elevado al cuadrado. Podemos ∂η decir en general que. u(x1 , x2 ) = g(x1 , x2 )Q(x1 , x2 )2 ,. (1.2). con g ∈ C 4 (Ω) ∩ C 1 (Ω), es una solución de (1). En este caso la fuerza que actúa sobre la placa viene dada por. f = ∆2 (g Q2 ).. Ejemplo 1.3.. Si Ω = B y f (x1 , x2 ) = 1 en B , la solución de (1) es:. u(x1 , x2 ) =. 1 (1 − x21 − x22 )2 , 64. función que modela la deexión de una placa circular sobre la que actúa una fuerza positiva igual a la unidad.. Figura 1.2: u(x1 , x2 ) =. 1 (1 64. − x21 − x22 )2 ..

(12) 1.1. DEFLEXIÓN DE ESTRUCTURAS ELÁSTICAS. 4. El lector puede vericar que en el ejemplo 1.1 no se aprecia ningún cambio de curvatura, mientras que en el ejemplo 1.3 el cambio de curvatura es evidente.. Ejemplo 1.4.. La función que modela la deexión de una placa elíptica, de semiejes y en x1 y x2 respectivamente, sobre la que actúa una fuerza positiva igual a la unidad, viene dada por la expresión: 1 h. 1 k. u(x1 , x2 ) =. 1 24(h2. +. k 2 )2. − 32h2 k 2. (1 − h2 x21 − k 2 x22 )2 .. Aquí Ω es como en el ejemplo 1.2. Observe que si h = k = 1 esta solución es igual a la del ejemplo 1.3.. Ejemplo 1.5.. es. La solución del problema  2  ∆ u = x1 en B,  u = 0 = ∂u sobre ∂B, ∂n. 1 x1 (1 − x21 − x22 )2 , 192 función que modela la deexión de una placa circular sobre la que se hace actuar una fuerza igual a f (x1 , x2 ) = x1 , es claro que esta fuerza cambia de signo en B . u(x1 , x2 ) =. Figura 1.3: u(x1 , x2 ) =. 1 x (1 192 1. − x21 − x22 )2 ..

(13) 1.2. PRINCIPIO DEL MÁXIMO. 1.2.. 5. Principio del máximo. Si aplicamos una fuerza f positiva a una membrana sujeta por su frontera, se podría esperar que la deexión que experimenta la membrana sea positiva, y negativa en el caso en que f sea negativa. Lo anterior es válido y se debe al principio del máximo.. Teorema 1.1 (Principio del máximo). C(Ω). Si ∆u ≥ 0 (∆u ≤ 0) entonces sup u = sup u Ω. ∂Ω. Sean Ω ⊂ R2 acotado y u ∈ C 2 (Ω) ∩. ı́nf u = ı́nf u . Ω. ∂Ω. Demostración. La demostración de este Teorema se puede consultar en [3]. La unicidad del problema (1.1) se sigue del principio del máximo. En efecto, si u1 , u2 ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) satisfacen ∆u1 = ∆u2 en Ω y u1 = u2 sobre ∂Ω. Entonces v = u1 − u2 es solución del problema ( ∆u = 0 en Ω, u = 0 sobre ∂Ω, y por el principio del máximo se tiene que v = 0 en Ω. Nos gustaría tener un resultado similar al principio del máximo para el operador biarmónico, sin embargo, el hecho de que se aplique una fuerza positiva o negativa a una placa no garantiza que la deexión de la misma sea positiva o negativa, aún si la placa tiene forma convexa.. Ejemplo 1.6.. Este ejemplo elaborado por Shapiro muestra de manera explícita que la deexión de una placa elíptica, lo sucientemente excéntrica, puede tomar valores negativos aunque la fuerza que se aplica sobre la placa sea positiva. Invamos al lector a consultar los detalles de este ejemplo en [11]. Shapiro considera. Ω = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + 25x22 < 1}, y las funciones. g(x1 ) = (1 − x1 )2 (4 − 3x1 ), Q(x1 , x2 ) = (1 − x21 − 25x22 )..

(14) 1.3. PUNTOS CRÍTICOS. 6. Empleando herramientas del cálculo diferencial y de la computación, Shapiro muestra que u(x1 , x2 ) = (g(x1 ) − )Q(x1 , x2 )2 , (1.3). cambia de signo en Ω cuando > 0 es pequeño, mientras que la función f = ∆2 [(g − )Q2 ], la fuerza que actúa sobre la placa, permanece positiva en Ω. En las guras 1.4 y 1.5 se muestra el gráco de la función u = u(x1 , 0) para x1 ∈ [−1, 1] y x1 ∈ [0,988, 1] respectivamente. Observe que en la gura 1.4 el cambio de signo de u es casi imperceptible. Sin embargo en la gura 1.5 se puede comprobar el resultado de Shapiro.. Figura 1.4: Gráco de u(x1 , 0) con x1 ∈ [−1, 1].. Figura 1.5: Gráco de u(x1 , 0) con x1 ∈ [0,988, 1].. Como se pudo apreciar el operador biarmónico no satisface el principio del máximo, por este motivo el problema de existencia y unicidad del problema (1) requiere el uso de otro tipo de técnicas, éstas se discutirán en el siguiente capítulo.. 1.3.. Puntos críticos. Un tema importante en matemática aplicada es el de determinar el conjunto de puntos críticos de una función de valor real, pero esto puede ser una tarea complicada si no se tiene suciente información de dicha función. Con respecto al problema (1.1) existen algunos resultados interesantes, por ejemplo, en 1971 Makar-Limanov [10] demostró que si se aplica una fuerza positiva igual a la unidad a una membrana convexa, entonces la deexión de la misma es.

(15) 1.3. PUNTOS CRÍTICOS. 7. positiva y esta presenta un único punto de máxima deexión. Otro resultado interesante se obtuvo en el 2009 por los profesores J Arango y A Gomez, ellos demostraron que el conjunto de puntos críticos de una solución del problema similinear elíptico ( ∆u = f (u) con Ω, (1.4) u = 0 sobre ∂Ω con Ω un dominio conexo suave de R2 y f una función analítica, es nito [1]. Estos resultados como otros que se pueden encontrar en la literatura sobre el operador de Laplace, no tienen hasta el momento un equivalente en la deexión de placas, ni siquiera para placas circulares y mucho menos para placas con una forma convexa arbitraria. Este será el propósito de este trabajo de investigación, nos interesa describir el conjunto de puntos críticos en la deexión de una placa circular sobre la que hace actuar una fuerza positiva..

(16) Capítulo 2 Existencia y unicidad de soluciones En el capítulo anterior se comprobó que el operador biarmónico no satisface el principio del máximo, por lo tanto este principio no se puede emplear para garantizar la unicidad de soluciones de (1). En este capítulo se desarrollarán algunas técnias que permitan garantizar la existencia y unicidad de otro tipo de soluciones de (1) conocidas como soluciones débiles. Este es un tratamiento clásico en el estudio de las ecuaciones parciales. El lector pueden consultar una información mucho mas detallada sobre estos temas en [3] y [4].. 2.1.. Espacios de funciones. En esta sección nos pondremos de acuerdo con la notación empleada en el documento y mencionaremos algunos espacios de funciones necesarios en el estudio de las ecuaciones diferenciales. En el documento entenderemos que Ω es un dominio acotado de R2 . Las notaciones ∂Ω y Ω se reeren a la frontera y a la clausura de Ω respectivamente. Denotaremos por C m (Ω) al conjunto de todas las funciones reales con m derivadas continuas en Ω, por C ∞ (Ω) al conjunto de funciones innitamente diferenciables en Ω. Ccm (Ω) y Cc∞ (Ω) representarán los conjuntos de funciones con derivadas continuas hasta de orden m en Ω e innitamente diferenciables en Ω con soporte compacto en Ω respectivamente. Escribiremos u ∈ C m (Ω) si u ∈ C m (Ω) y cada una de sus derivadas se puede extender continuamente a Ω. 8.

(17) 2.1. ESPACIOS DE FUNCIONES. 9. Denotaremos por L2 (Ω) al espacio de funciones de valor real cuadrado Integrables en Ω. Recordemos que este espacio es una espacio de Hilbert equipado con el producto escalar ˆ (u, v)L2 = u(x)v(x) dx. Ω. En el desarrollo de este documento escribiremos k·kL2 al referirnos a la norma ˆ 1/2 2 kukL2 = u(x) dx con u ∈ L2 (Ω). Ω. Denamos sobre C m (Ω) la norma  1/2 ˆ X kukH m =  |Dα u|2 dx ,. (2.1). Ω |α|≤m. aquí α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Nn , |α| = α1 + · · · + αn , y. Dα =. ∂ |α| , ∂xα11 ∂xα22 · · · ∂xαnn. por convención D0 u = u. Denamos el espacio. H m (Ω) ≡ {u ∈ C m (Ω)|kukH m < ∞}, esto es, la extensión completa de C m (Ω) respecto a la norma k · km . Este espacio dotado con el producto escalar ˆ X (u, v)H m = Dα u · Dα v dx (2.2) Ω |α|≤m. es un espacio de Hilbert. En lo que sigue vamos a necesitar funciones que se anulen en la frontera ∂Ω de Ω, por este motivo se hace necesario introducir el siguiente subespacio de H m (Ω):. H0m (Ω) ≡ La clausura de Cc∞ (Ω) con respecto a la norma (2.1). Equipado con el producto escalar (2.2) y la norma (2.1) se puede mostrar que H0m (Ω) es un espacio de Hilbert..

(18) 2.2. SOLUCIONES DÉBILES. 2.2.. 10. Soluciones débiles. Entenderemos que una solución clásica del problema (1) es una función de C 4 (Ω)∩C 1 (Ω) que satisface tanto la ecuación diferencial como las condiciones de frontera. En el capítulo anterior los ejemplos de la subsección 1.1.1 y el ejemplo 1.6 ilustran soluciones clásicas de (1). En general podemos encontrar soluciones clásicas y radiales de (1) con Ω = B para una fuerza radial, continua e integrable en B . Entendiendo que una función f : Ω → R con Ω ⊂ R2 , es radial p si su valor en cada punto (x1 , x2 ) ∈ Ω depende únicamente del radio r = x21 + x22 . Podemos vericar lo descrito anteriormente si escribimos el problema (1) en coordenadas polares, esto es: 1 d d 1 d du r r = f (r) con r ∈ (0, 1), (2.3) r dr dr r dr dr con las condiciones de borde. 0. 0. 000. u(1) = u (1) = u (0) = u (0) = 0.. (2.4). La solución de (2.3) con las condiciones (2.4) se puede calcular por integración, esta viene dada por: ˆ 1 ˆ 1 ˆ t 1 s h(s) ds dt, (2.5) s h(s) ds − t u(r) = − t 0 0 r donde. ˆ r ˆ t 1 h(r) = s f (s) ds dt. t 0 0 En la ecuación (2.5) se verica que u ≡ u(r) es una función radial u(1) = 0. Las cuatro primeras derivadas de u vienen dadas por: ˆ ˆ 1 1 r 0 u (r) = s h(s) ds − r s h(s) ds, r 0 0 ˆ ˆ 1 1 r 00 u (r) = − 2 s h(s) ds + h(r) − s h(s) ds, r 0 0 ˆ r ˆ r 2 1 1 000 u (r) = 3 s h(s) ds − h(r) + s f (s) ds, r 0 r r 0 ˆ r ˆ r 6 1 2 uiv (r) = − 4 s h(s) ds + 2 h(r) − s f (s) ds + f (r). r 0 r r 0. y que. (2.6) (2.7) (2.8) (2.9).

(19) 2.2. SOLUCIONES DÉBILES. 11 0. En la ecuación (2.6) podemos comprobar que u (1) = 0. Si f es continua e integrable en [0, 1) podemos vericar por regla de L'Hospital 0 00 000 que u , u , u y uiv son funciones continuas en [0, 1), y que (2.5) es entonces una solución clásica de (1). A continuación presentamos una solución de (1) que no es clásica en el sentido en que se ha descrito.. Ejemplo 2.1.. Supongamos por un momento que queremos resolver el problema (1) en el disco B con una fuerza f dada por. f (x1 , x2 ) =. (. f0 f0 , si (x1 , x2 ) ∈ B ∗ , 0, si (x1 , x2 ) ∈ B \ B∗ ,. donde. B∗. B. B ∗ = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 +x22 ≤ r02 }, r0 < 1. Aquí f0 es constante. Como (2.5) tiene sentido cuando f es una función integrable, podemos calcular explícitamente la solución del problema, esta es:. u(r) = u1 (r) + u2 (r) donde. u1 (r) =. y. (2.10).  f0 r02 f0 4  4 2 2  r − r + 1 − r + 2 + r ln r , 0 ≤ r ≤ r0 ,  0 0 0 0  16  64   2    f0 r0 (1 − r2 )(1 + 2 ln r0 ) + (r2 + 2r2 ) ln r , 0 16. r0 < r ≤ 1,. f0 r02 2 r0 − 4 ln r0 (1 − r2 ). 32 Se puede vericar que las tres primeras derivadas de u son continuas para todo r ∈ [0, 1), sin embargo la cuarta derivada no lo es en r = r0 ,  3f0   , 0 ≤ r ≤ r0 ,  8 iv u (r) = 1 3r02  2  + , r0 < r ≤ 1.  − f 0 r0 4r2 8r4 u2 (r) =.

(20) 2.2. SOLUCIONES DÉBILES. 12. Esto quiere decir, que en este caso u no es una solución clásica de (1).. Figura 2.1: Gráco de (2.10) con f0 =. 1 y r0 = 10−10 . πr02. Este tipo de problemas, con fuerzas discontinuas, se presentan a menudo en las aplicaciones, por eso se hace necesario ampliar el concepto de solución.. Denición 2.1.. Para f ∈ L2 (Ω), diremos que u ∈ H02 (Ω) es una solución débil del problema (1) si u satisface la ecuación ˆ ˆ ∆u∆v dx = f v dx para todo v ∈ H02 (Ω), (2.11) Ω. Ω. Se puede comprobar que toda solución clásica de (1) es también una solución débil. En efecto, al multiplicar (1) por v ∈ H02 (Ω) e integrar en todo Ω se tiene ˆ ˆ f v dx en Ω, ∆(∆u)v dx = Ω. Ω. integrando dos veces por partes, teniendo en cuenta que. u=v= obtenemos. ˆ. Ω. ∂u ∂v = = 0 sobre ∂Ω, ∂η ∂η. ∆u∆v dx =. ˆ. Ω. f v dx con v ∈ H02 (Ω).. Podemos comprobar que la solución del ejemplo 2.11 también es una solución débil. En efecto, por propiedades elementales del cálculo integral tenemos que ˆ ˆ ˆ ∆u∆v dx = ∆u∆v dx + ∆u∆v dx. B. B∗. B\B∗.

(21) 2.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES DÉBILES. Empleando la fórmula de Green podemos vericar que ˆ ˆ ˆ ∂∆u ∂v 2 −v ds. ∆u∆v dx = ∆ u v dx + ∆u ∂η ∂η B∗ B∗ ∂B∗ Igualmente para ˆ ˆ ∆u∆v dx =. 13. (2.12). ∂v ∂∆u ∆ u v dx + ∆u −v ds, ∂η ∂η B\B∗ ∂(B\B∗ ). B\B∗. ˆ. 2. aquí se tiene que. ˆ. ∆2 u v dx = 0,. B\B∗. ya que ∆2 u = 0 en B \ B ∗ . Como la región B \ B ∗ presenta dos fronteras, ∂B y ∂B ∗ , entonces ˆ ˆ ∂∆u ∂∆u ∂v ∂v −v −v ds = ds ∆u ∆u ∂η ∂η ∂η ∂η ∂(B\B∗ ) ∂B ˆ ∂v ∂∆u − ∆u −v ds, ∂η ∂η ∂B∗ pero. ∂∆u ∂v −v ∆u ds = 0, ∂η ∂η ∂B. ˆ ya que v =. ∂v ∂η. = 0 en ∂B , entonces. ∂v ∂∆u ∆u ∆u∆v dx = − −v ds. ∂η ∂η ∂B∗ B\B∗ ˆ. ˆ. (2.13). Al sumar (2.12) y (2.13) obtenemos ˆ ˆ ∆u∆v dx = f v dx. B. 2.3.. B. Existencia y unicidad de soluciones débiles. En esta sección vamos a demostrar que el problema (1) admite un única solución débil, con este propósito enunciaremos algunos resultados..

(22) 2.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES DÉBILES. Teorema 2.1.. 14. Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado. Entonces ˆ (u, v)H02 := ∆u∆v dx, Ω. dene un producto escalar en H02 (Ω), más aún la norma inducida por este producto escalar es equivalente a la norma k · kH 2 . Demostración. La demostración de este Teorema se puede consultar en [5]. Denición 2.2.. Si H es un espacio de Hilbert real, denotaremos por H ∗ al conjunto de las formas lineales continuas sobre H , este conjunto es llamado el dual de H . Para ilustrar la denición anterior denotemos con (·, ·)H al producto escalar en H . Sea u ∈ H , la transformación. v −→ (u, v)H , es un elemento de H ∗ .. Teorema 2.2. (Representación de Riesz). Para cualquier f ∈ H ∗ existe un único u ∈ H tal que. (u, v)H = f (v) para todo v ∈ H Demostración. La demostración de este Teorema se puede consultar en [3]. El siguiente resultado es clásico y en él demostramos que (1) admite una única solución débil. El lector puede consultar una demostración análoga en [3] sección 15.3.. Teorema 2.3. (Existencia y unicidad de soluciones débiles). Sean Ω un dominio acotado de R2 y f ∈ L2 (Ω), entonces existe una única solución u de ˆ ˆ  ∆u∆v dx = f v dx para todo v ∈ H02 (Ω), (2.14) Ω Ω  2 u ∈ H0 (Ω)..

(23) 2.3. EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES DÉBILES. 15. Demostración. Por el Teorema 2.1 el producto escalar sobre H02 (Ω) se puede escoger para que sea ˆ. ∆u∆v dx.. Ω. Por otro lado tenemos que ˆ ˆ f v dx ≤ |f ||v| dx ≤ kf kL2 kvkL2 Ω. Ω. ≤ kf kL2 kvkH02 para todo v ∈ H02 (Ω), luego. v −→. ˆ. f v dx,. Ω. es una forma lineal continua en H02 (Ω). Entonces por el Teorema de representación de Riesz existe una única solución débil u de (1). En el problema (1), si Ω = B y f es una función C ∞ (B), su solución es C ∞ (B). Más aún, si f es real analítica, la solución también es real analítica. Invitamos al lector a consultar estos detalles en [5]..

(24) Capítulo 3 Resultados principales En el desarrollo de este capítulo se presenta inicialmente el resultado de Boggio que nos permite determinar explícitamente el signo de la solución del problema (1) con f ≥ 0 y Ω = B . Después se demuestran y extienden los resultados de Soranzo, Grunau y Sweers. Se prueba también que los puntos críticos de la solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B tienen laplaciano negativo y que existe un número nito de ellos en cualquier subconjunto compacto de B . Como un aporte adicional se presenta un ejemplo en donde se puede apreciar la existencia de puntos de silla en una placa circular sobre la que se hace actuar una fuerza positiva.. 3.1.. Teorema de Boggio. Supongamos que hacemos actuar sobre una placa circular una fuerza positiva. Sabemos por el ejemplo 1.3 que la deexión es positiva si la fuerza se toma igual a cualquier constante positiva, pero qué podríamos decir de una fuerza positiva arbitraria? Esta pregunta obtuvo su respuesta gracias al trabajo de T. Boggio, él enunció en 1904 el siguiente Teorema:. Teorema 3.1 (Boggio 1904).. En el problema (1) con Ω = B , el hecho de que f ≥ 0 (f ≤ 0) implica que u ≥ 0 (u ≤ 0). Demostración. La demostración de este Teorema se puede consultar en [2]. Sin embargo haremos una pequeña discusión del razonamiento seguido por Boggio.. 16.

(25) 3.2. TEOREMA DE SORANZO. 17. Boggio calcula la función de Green del problema (1) con Ω = B . Esta función viene dada por ˆ θ(x,y) 2 v −1 1 2 |x − y| dv, G(x, y) = 8π v 1 donde. θ(x, y) =. s. 1+. (1 − |x|2 )(1 − |y|2 ) . |x − y|2. Note que la función de Green es positiva en B . Como la solución del problema (1) con Ω = B y f ∈ L2 (Ω) se puede escribir como ˆ G(x, y)f (y) dy con x ∈ B. u(x) = B. Es claro entonces que el signo de u va a estar determinado por el signo de f . Es necesario mencionar que la función de Green para el problema (1) no es fácil de determinar para dominios Ω arbitrarios. Como se puede apreciar en el ejemplo 1.6, el resultado de Boggio no se puede extender a placas con una forma convexa arbitraria.. 3.2.. Teorema de Soranzo. En 1994 Soranzo demostró el Teorema que se enuncia a continuación. El lector interesado puede consultar la demostración de este Teorema en [12]. Aquí el conjunto B(0, R) va a denotar la bola de Rn con centro en 0 y radio R.. Teorema 3.2 (Soranzo). Sea w ∈ C 2k (B(0, R)) una solución radial no trivial. del problema. (. (−∆)k w ≥ 0 en B(0, R) ⊂ Rn ,. u = Du = · · · = Dk−1 u = 0 sobre ∂B(0, R).. (3.1). Entonces w es estrictamente positiva en B(0, R) y decrece radialmente a la largo de |x| = r ∈ (0, R). Presentamos a continuación un resultado cuya demostración toma su espíritu en la prueba de Soranzo para k = 2..

(26) 3.2. TEOREMA DE SORANZO. 18. Teorema 3.3.. Sea f una función radial, continua, no negativa, no nula e integrable en B . Entonces el problema  2  ∆ w = f en B, (3.2) ∂w w = 0 = sobre ∂B, ∂η tiene una única solución, no trivial, w ∈ C 4 (B)∩C 1 (B). Más aún, w es radial, estrictamente positiva en B , decrece estrictamente en la dirección radial y. ∆w(0) < 0. Demostración. Como f ∈ L2 (B) sabemos por el Teorema 2.3 que existe una única solución débil de (3.2). De otro lado por los resultados de la sección 2.2 del capítulo anterior, podemos escribir w como en (2.5), de lo que se desprende que w es la única solución clásica, no nula y radial de (3.2). Por el Teorema de Boggio sabemos que w ≥ 0 en B , entonces será suciente 0 demostrar que w (r) < 0 con r ∈ (0, 1) para probar que w es estrictamente positiva en B y estrictamente decreciente en la dirección radial. Para ello escribamos (3.2) en coordenadas polares como en (2.3). Al integrar (2.3) obtenemos ˆ r dw d 1 d r = s f (s) ds + C0 , (3.3) r dr r dr dr 0 donde C0 es una constante de integración. Tomando límites, y teniendo en cuenta la condición de borde w0 (0) = 0, se tiene que lı́mr→0+ C0 = 0. Con C0 = 0, dividiendo (3.3) por r, he integrando nuevamente obtenemos ˆ r ˆ s 1 1 0 0 rw = t f (t) dt ds + C1 ≡ h(r) + C1 , (3.4) r s 0 0 00. con C1 constante. Por regla de L'Hospital tenemos C21 = lı́mr→0+ w (r). Multiplicando (3.4) por r, he intregrando de nuevo obtenemos ˆ r r2 0 rw (r) = s h(s) ds + C1 , (3.5) 2 0 0. aquí C1 se puede determinar empleando la condición de borde w (1) = 0, es decir ˆ 1 r2 0= s h(s) ds + C1 , 2 0.

(27) 3.2. TEOREMA DE SORANZO. luego C1 = −2. ´1 0. 19. s h(s) ds. Por lo tanto (3.5) se puede escribir como ˆ 1 ˆ r 0 2 s h(s) ds. s h(s) ds − r rw (r) =. (3.6). 0. 0. Haciendo 0. G(r) = rw (r) y F (r) =. ˆ. r. sh(s) ds,. 0. podemos escribir (3.6) de la siguiente manera (3.7). G(r) = F (r) − r2 F (1).. Se puede vericar que F (1) es una constante positiva y que h es una función creciente, no nula y no negativa en (0, 1). La derivada de G ≡ G(r) viene dada por 0. G (r) = r(h(r) − 2F (1)). En (3.7) podemos vericar que G(0) = 0 = G(1), entonces por el Teorema de Rolle existe un conjunto 0. A = {r ∈ (0, 1)|G (r) = 0}. Sea r0 = ı́nf A y como h(0) = 0 entonces 0. G (r) < 0 en r ∈ (0, r0 ). De existir algún otro rk ∈ A es claro que h(r) = 2F (1) para todo r ∈ [r0 , rk ], recordemos que h es creciente en (0, 1), y como G(1) = 0 entonces 0. G (r) > 0 en r ∈ (r1 , 1],. donde. r1 = sup A.. 0. Esto quiere decir que G(r) = rw (r) < 0 para todo r ∈ (0, 1), es decir 0 w (r) < 0 para todo r ∈ (0, 1). 00 Probaremos ahora que w (0) < 0, para ello argumentaremos por contradicción. Supongamos que en (3.4) C1 = 0. Multiplicando (3.4) por r e integrando obtenemos ˆ r 0 rw = s h(s) ds. 0. ´1 0 Al evaluar esta última ecuación en r = 1 tenemos, w (1) = 0 s h(s) ds = 0, lo que contradice que h es no negativa, continua y no nula en (0, 1). Por lo.

(28) 3.3. TEOREMA DE GRUNAU–SWEERS. 20. tanto C1 6= 0 lo que implica que w00 (0) es no nulo, y como w alcanza un 00 máximo local en 0, se tiene que w (0) < 0. El coordenadas polares el laplaciano de w se puede escribir como. 1 0 00 ∆w ≡ w + w , r 00 0 tomando lı́mr→0+ ∆w = lı́mr→0+ w + 1r w y al aplicar regla de L'Hospital se verica que 00 0 > 2w (0) = ∆w(0).. 3.3.. Teorema de GrunauSweers. Grunau y Sweers demostraron en 2001 que la solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 no presenta mínimos locales en B . La siquiente sección se dedica completamente a ilustrar su resultado y presenta algunos ejemplos explícitos sobre las técnicas que ellos emplearon en su artículo. Invitamos al lector a consultar la referencia [7]. 3.3.1.. Transformación de Moebius. Una de las herramientas comúnmente empleadas en el estudio de las ecuaciones diferenciales son las transformaciones de Moebius. En este documento centraremos nuestra atención en la siguiente:. h : B −→ B,. h(x) =. a−x con a ∈ B. 1 − ax. (3.8). Algunos resultados sobre h que se pueden vericar son:. h(0) = a, h(a) = 0, h−1 = h,. y. ∂h a−x ∂h = 0, = 0, donde h(x) = , ∂x ∂x 1 − ax |a|2 − 1 1 1 − 2ha, xi + |a|2 |x|2 0 h (x) = , = , (1 − ax)2 |h0 (x)| 1 − |a|2 |h(x)|2 =. |a|2 − 2ha, xi + |x|2 , 1 − 2ha, xi + |a|2 |x|2. (3.9) (3.10).

(29) 3.3. TEOREMA DE GRUNAU–SWEERS. 21. aquí ha, xi = a1 x1 + a2 x2 . Con (3.10) podemos comprobar que. h(B) = B,. h(∂B) = ∂B.. Ejemplo 3.1.. Para a = (1/2, 1/2) el siguiente gráco ilustra como son enviados algunos círculos con centro en el origen de coordenadas y radio menor que la unidad, en círculos en B .. x21. +. x22. 1 = 16. ←→. x21 + x22 =. 1 4. ←→. x21 + x22 =. 9 16. ←→. Figura 3.1: Círculos concéntricos. 2 2 15 15 16 x1 − + x2 − = , 31 31 961 2 2 3 3 4 x1 − + x2 − = , 7 7 49 2 2 7 7 144 x1 − . + x2 − = 23 23 529. Figura 3.2: Círculos transformados. Observe que mientras mas pequeño es el radio del círculo a transformar más cerca esta el centro del círculo transformado al punto a. Nos interesan algunas propiedades del operador biarmónico en composición con esta transformación, sin embargo los cálculos explícitos pueden ser muy engorrosos, por ese motivo cuando sea conveniente emplearemos la siguiente notación..

(30) 3.3. TEOREMA DE GRUNAU–SWEERS. 3.3.2.. 22. Notación compleja. Sean Ω un subconjunto abierto de R2 y v ≡ v(x1 , x2 ) una función de C 4 (Ω, R). Consideremos las variables complejas. x = x1 + ix2 ,. x = x1 − ix2 ,. y escribamos la función v en estas nuevas variables. Las derivadas de v respecto a las variables x y x son:. vx =. 1 (vx1 − ivx2 ) , 2. vx =. 1 (vx1 + ivx2 ) . 2. Diferenciando vx respecto con x o vx respecto con x, se obtiene 1 1 i vxx = (vx1 x1 + ivx1 x2 ) − (vx1 x2 + ivx2 x2 ) 2 2 2 1 = (vx1 x2 + vx2 x2 ) , 4 es decir. 1 (3.11) vxx = ∆v(x1 , x2 ). 4 Otro resultado que se puede vericar de forma similar, cuyo cálculo podría resultar un poco extenso es vxxxx =. 1 2 ∆ v(x1 , x2 ). 16. (3.12). Con esta notación se puede probar fácilmente que el operador de Laplace es invariante, excepto por un rescalamiento, bajo la transformación h. En efecto sea u ∈ C 2 (B, R) y denamos para algún a ∈ B la función. v(x) = u(h(x)), con x ∈ B.. (3.13). Si en lugar de las variables reales x1 , x2 usamos las variables complejas x, x y z = h(x), z = h(x), podemos escribir (3.13) como. v(x, x) = u(h(x), h(x)), donde. 0. vx (x, x) = uz (h(x), h(x))h (x),.

(31) 3.3. TEOREMA DE GRUNAU–SWEERS. y. 23. 0. vxx (x, x) = uzz (h(x), h(x))h (x)h0 (x).. Empleando la identidad (3.11) se verica que 0. ∆v(x) = |h (x)|2 ∆u(h(x)). Algunos resultados sobre el operador biarmónico en composición con ciertas transformaciones conformes se encuentran en [9]. En referencia a esto, Grunau y Sweers demuestran en [7] el siguiente resultado.. Lema 3.1.. Sea u ∈ C 4 (B, R). Para algún a ∈ B consideremos la transformación de Moebius h de (3.8). Para la función v ∈ C 4 (B, R) denida por. v(x) = se verica. 1 u(h(x)), x ∈ B, |h (x)| 0. (3.14). 0. ∆2 v(x) = |h (x)|3 ∆2 u(h(x)).. Demostración. Al escribir (3.14) con las variables complejas x, x y z = h(x), z = h(x), se obtiene. (1 − |a|2 )v(x, x) = (1 − ax)(1 − ax)u(h(x), h(x)).. (3.15). Derivando dos veces con respecto a x obtenemos. . 2 (1 − |a| )vxx (x, x) = (1 − ax)(1 − ax) h (x) uzz (h(x), h(x)), 2. 0. y derivando ahora dos veces respecto a x obtendríamos 0. (1 − |a|2 )vxxxx (x, x) = (1 − |a|2 )|h (x)|3 uzzzz . Empleando la identidad (3.12) se verica que 0. ∆2 v(x) = |h (x)|3 ∆2 u(h(x)). A continuación el resultado central del artículo de Grunau y Sweers. Debido su importancia se transcribe su demostración..

(32) 3.3. TEOREMA DE GRUNAU–SWEERS. 24. Teorema 3.4. (GrunauSweers (2001)). Sea Ω = B ⊂ R2 . Si u ∈ C 4 (B) ∩ C 1 (B) es una solución de (1) con f ≥ 0, entonces u no tiene mínimos locales en B .. Demostración. Supongamos que u, solución del problema (1) con f ≥ 0, presenta un mínimo local en un punto a ∈ B . Denamos v como en (3.14), se puede vericar que esta función satisface  2 0  ∆ v = |h |3 (f ◦ h) en B, (3.16)  v = 0 = ∂v sobre ∂B, ∂n 0. aquí |h |3 (f ◦ h) ≥ 0. Aunque u tiene un punto crítico en a ∈ B , v no lo tiene necesariamente en el origen de coordenadas, para apreciar esto calculemos las derivadas de v : 1 1 D (u(h(x))). u(h(x))) + 0 D v(x) = D 0 |h (x)| |h (x)|. Observe que si x = 0 el último término de la igualdad es cero, pero no podemos armar lo mismo para el primer término. Esto nos dice que si p0 ∈ B es un punto crítico de u, el punto h(p0 ) no lo es necesariamente de v . Sin embargo podemos construir una función que tenga un punto crítico, en particular un mínimo local en x = 0. Denamos la función w ≡ w(r) como el promedio de v sobre los círculos de radio r con r ∈ (0, 1) y centro en el origen de coordenadas, es decir. w(r) = donde. ffl. ∂B. v(rz) ds,. v(x) ds = ∂B(0,r). (3.17). ∂B(0,1). v ds es el promedio de v sobre ∂B denido como ˆ 1 v ds = v ds, |∂B| ∂B ∂B. aquí |∂B| denota la medida de ∂B . Ahora bien, como el operador de Laplace conmuta con este promedio, el problema (3.16) se puede escribir como  2  ∆ w = g en B, (3.18)  w = 0 = ∂w sobre ∂B, ∂n.

(33) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 25. donde 0. g(r) = ∂B(0,1). (|h |3 (f ◦ h))(rz) ds ≥ 0.. Observe que (3.18) es la radialización de (3.16). Vamos a probar que w, la solución radial del problema, presenta un mínimo local en el origen de coordenadas, que de acuerdo con el Teorema de Soranzo es imposible. Notemos que. w(r) =. v(rz) ds = ∂B(0,1). ∂B(0,1). = ∂B(0,1). 1 u(h(rz)) ds |h (rz)| 0. 1 − 2rha, zi + r2 |a|2 u(h(rz)) ds. 1 − |a|2. Como u tiene un mínimo local en a, entonces para valores pequeños de r se tiene que 1 − 2rha, zi + r2 |a|2 w(r) ≥ u(a) ds 1 − |a|2 ∂B(0,1) 1 + r2 |a|2 2r = u(a) − ha, zi ds . 1 − |a|2 1 − |a|2 ∂B(0,1) Para a ≡ (a1 , a2 ) ∈ B se verica. 1 ha, zi ds = 2π ∂B(0,1). ˆ. 2π. (a1 cos θ + a2 sin θ) dθ = 0,. 0. entonces. w(r) = u(a). 1 + r2 |a|2 1 1 ≥ u(a) = 0 u(h(0)) = w(0), 2 2 1 − |a| 1 − |a| |h (0)|. Esto signica que w tiene un mínimo local en x = 0, esto es una contradicción con el Teorema de Soranzo, por lo tanto, u solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0, no presenta mínimos locales en B .. 3.4.. Puntos críticos en una placa circular. En esta sección se demostrará que los puntos críticos de u ∈ C 4 (B) ∩ C 1 (B) solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B , son puntos de laplaciano negativo y.

(34) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 26. además que existe un número nito de ellos en cualquier subconjunto compacto de B . Esto es un intento por generalizar, para el operador biarmónico, los resultados que J. Arango y A. Gomez tienen para el operador de laplace [1].. Teorema 3.5.. Sea u ∈ C 4 (B) ∩ C 1 (B) una solución de (1) con Ω = B y. f ≥ 0 en B . Si. v(x) =. 1 u(h(x)), con x ∈ B y a ∈ B, |h (x)| 0. entonces. ∆v(0) < 0. Demostración. Sea w ≡ w(r) como en (3.17), entonces 00. w (r) = ∂B(0,1). z T · Hv (rz) · z ds,. donde Hv corresponde a la matriz Hessiana de v . Por el Teorema de Grunau Sweers y el Teorema 3.3 es claro que w alcanza un máximo local en r = 0, por lo tanto 00. 0 > lı́m+ w (r) = lı́m+ r→0. r→0. ∂B(0,1) 2π. z T · Hv (rz) · z ds,. 1 vx1 x1 (0) cos2 θ + vx2 x2 (0) sin2 θ dθ 2π 0 1 = ∆v(0). 2 =. ˆ. A continuación se demuestra que el valor del laplaciano en todo punto crítico del problema de la deexión de una placa circular, sobre la que se hace actuar una fuerza positiva, es estrictamente negativo.. Teorema 3.6.. Sea u ∈ C 4 (B) ∩ C 1 (B) una solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B . Si a ∈ B es un punto crítico de u, entonces. ∆u(a) < 0..

(35) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 27. Demostración. Sea v como en (3.14). Si en lugar de las variables reales x1 , x2 consideremos las variables complejas x, x y z = h(x), z = h(x) obtendríamos la ecuación (3.15). Al derivar v con respecto a x y x se llega a. (1 − |a|2 )vxx (x, x) = |a|2 u(h(x), h(x)) 0 − a(1 − ax)uz h(x), h(x) h (x) − a(1 − ax)uz h(x), h(x) h0 (x) 0 + (1 − ax)(1 − ax)uzz h(x), h(x) |h (x)|2 .. Evaluando en x = 0 = x se tiene que. (1 − |a|2 )vxx (0) = |a|2 u(a) + (1 − |a|2 )2 uzz (a). Despejando vxx (0) y empleando la identidad para el laplaciano como en (3.11), obtenemos nalmente. |a|2 (1 − |a|2 ) 1 ∆v(0) = u(a) + ∆u(a). 4 1 − |a|2 4. Por el Teorema de Boggio y por el Teorema 3.5 se verica que u ≥ 0 en B y que ∆v(0) < 0 respectivamente, por lo tanto ∆u(a) < 0. Por un momento pensemos en dos cimas distintas de una cadena montañosa. Intuitivamente notaríamos que entre estas dos cimas se encuentra algún punto de silla. Esto es conocido en matemática como el Teorema del paso de montaña en dimensión nita. Este Teorema se enuncia a continuación para mínimos, su analogía para máximos es inmediata.. Teorema 3.7.. Sea u ∈ C 1 (Rn , R) una función coerciva que posee dos mínimos estrictos relativos p1 y p2 . Entonces u posee un tercer punto crítico p3 distinto de p1 y p2 , caracterizado por. u(p3 ) = ı́nf máx u(x), Σ∈Λ x∈Σ. donde. Λ = {Σ ⊂ Rn |Σ es compacto, conexo y p1 , p2 ∈ Σ}.. Más aún, p3 no es un minimizador relativo. Esto es, que para cada vecindad de p3 , existe un punto p tal que u(p) < u(p3 )..

(36) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 28. Demostración. La demostración de este Teorema se puede consultar en [8]. Como el valor del laplaciano evaluado en los puntos críticos de la solución u de (1), con Ω = B y f ≥ 0 en B , es negativo, podríamos pensar por el resultado anterior, que si u carece de puntos de silla entonces la placa tendría un único punto de máxima deexión. Sin embargo veamos que los puntos de silla existen.. Ejemplo 3.2.. La solución del ejemplo 1.3 se puede escribir como. u(x) = Denamos para esta función. v(x) =. 2 1 1 − |x|2 con x ∈ B. 64. 1 u(h(x)) con x ∈ B y algún a ∈ B, |h (x)| 0. claramente v es solución del problema  2 0  ∆ v = |h (x)|3 en B,  v = 0 = ∂v sobre ∂B. ∂n. Observe que en este caso ∆2 v ≥ 0 en B . Un cálculo explícito empleando las ecuaciones (3.9) y (3.10) nos muestra que 1 (1 − |a|2 )(1 − |x|2 )2 v(x) = . 64 1 − 2ha, xi + |a|2 |x|2 9 En el caso en que a = 10 , 0 obtenemos la solución. 19(1 − x21 − x22 )2 , 64(100 − 180x1 + 81x21 + 81x22 ) 9 y en el caso en que a = − 10 , 0 obtenemos v1 (x1 , x2 ) =. v2 (x1 , x2 ) =. 19(1 − x21 − x22 )2 . 64(100 + 180x1 + 81x21 + 81x22 ). La función. w(x1 , x2 ) = v1 (x1 , x2 ) + v2 (x1 , x2 ),. (3.19). (3.20).

(37) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 29. en ∂B . satisface ∆2 w ≥ 0 en B y w = 0 = ∂w ∂η Se puede comprobar que w tiene tres puntos críticos en el interior de B , estos son s   s  √ √ 73 3076  73 3076  − , 0 , p2 = − − ,0 p0 = (0, 0), p1 =  54 162 54 162 donde. ∆w(p0 ) = −0,02826, ∆w(p1 ) = −0,08083, ∆w(p2 ) = −0,08083, det Hw (p0 ) = −0,00017, det Hw (p1 ) = 0,00092, det Hw (p2 ) = 0,00092, aquí det Hw denota el determinante de la matriz Hessiana de w. Esto muestra que w presenta dos máximos locales y un punto de silla en p0 = (0, 0).. Figura 3.3: w(x1 , x2 ) = v1 (x1 , x2 ) + v2 (x1 , x2 ) Demostremos ahora que la solución u de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B , presenta un número nito de puntos críticos en el interior de B .. Denición 3.1.. Un punto crítico p0 de una función u ∈ C 2 (Ω) se llama semiMorse si la matriz Hessiana de u evaluada en p0 es no nula. Diremos que u es semiMorse si la matriz Hessiana de u es no nula en sus puntos críticos. La importancia de que una función sea semiMorse se consigna en el siguiente Teorema..

(38) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 30. Teorema 3.8.. Sea u ∈ C 2 (Ω) una función semiMorse. El conjunto de puntos críticos de u es la unión nita de puntos críticos aislados y curvas de Jordan de puntos críticos. Demostración. La demostración de este Teorema se puede consultar en [1].. Lema 3.2.. Si D es cualquier subdominio compacto de B y u es la solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B , entonces u es semiMorse en D. Demostración. Este resultado se desprende del Teorema 3.6.. Teorema 3.9.. Sea u ∈ C 4 (B) ∩ C 1 (B) una solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B . Si Γ ⊂ B es una curva de Jordan de puntos críticos de u, entonces Γ es de clase C 2 . Demostración. Supongamos que existe una curva Γ de puntos críticos. Sea p0 ∈ Γ. Por el Teorema 3.6 sabemos que Hu (p0 ) es una matriz no nula, entonces existe α = (α1 , α2 ) ∈ R2 con α12 + α22 = 1, tal que Γ está localmente parametrizada por la ecuación diferencial ordinaria 0. x = J Hu (x) α, donde J es la matriz de Poisson. J=. . x(0) = p0 ,. 0 1 −1 0. . (3.21). ,. (ver [1] ecuación (3) y siguientes). Es conocido de las ecuaciones ordinarias que la curva Γ es de clase C 2 teniendo en cuenta que las entradas de Hu son de clase C 2 , esto por las hipótesis del Teorema.. Teorema 3.10.. Sea u ∈ C 4 (B) ∩ C 1 (B) una solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B , entonces u no presenta curvas de Jordan de puntos críticos en el interior de B . Demostración. Por el Teorema 3.9 cualquier curva Γ de puntos críticos es C 2 . Probaremos que si tal curva existe, es una curva de puntos máximos. En efecto, sea p0 un punto de Γ y θ1 una dirección tangente a Γ en p0 . Como ∇u(p) = 0 para todo p ∈ Γ, entonces. Dθ1 ∇u|p=p0 = 0,.

(39) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 31. en donde Dθ1 es la derivada en la dirección θ1 . Por consiguiente. ∂ 2u (p0 ) = 0. ∂θ12 Ahora bien, de existir un punto de silla en p0 entonces en la dirección θ2 , la dirección ortogonal a la curva Γ en p0 , la supercie presentaría un cambio de curvatura. Así ∂ 2u (p0 ) = 0, ∂θ22 y como el laplaciano es invariante ante cualquier cambio de coordenadas ortonormales, entonces ∆u(p0 ) = 0, lo que sería una contradicción con el Teorema 3.6. Es claro que una curva de puntos mínimos no puede existir de acuerdo al teorema de GrunauSweers, por lo tanto de existir una curva de puntos críticos esta sería de puntos máximos. En el caso de que exista una curva Γ de puntos máximos, existe en el interior de la región que encierra esta curva, un conjunto Ω∗ ⊂ B en donde u alcanzaría un mínimo local en B , lo que sería de nuevo una contradicción con el Teorema de GrunauSweers. Por lo tanto u no presenta curvas de Jordan de puntos críticos en el interior de B .. Ω∗ Γ B. Teorema 3.11.. Si D es cualquier subdominio compacto de B y u es la solución de (1) con Ω = B y f ≥ 0 en B , entonces u presenta un número nito de puntos críticos en D..

(40) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 32. Demostración. Este resultado se desprende del Teorema 3.8, el Lema 3.2 y el Teorema 3.10. Hemos demostrado que la solución u de (1) con Ω = B y f ≥ 0 admite un número nito de puntos críticos en cualquier subconjunto compacto de B . Sin embargo pueden existir puntos en ∂B que no sean semiMorse. Supongamos que toda solución u de la placa circular se puede escribir como (1.2) con Q(x1 , x2 ) = 1 − x21 − x22 . El laplaciano de u viene dado por. ∆u(x1 , x2 ) = (gx1 x1 + gx2 x2 ) Q2 + 8(x1 gx1 + x2 gx2 )Q + 8gQ + 8(x21 + x22 )g, y si permitimos que g sea lo sucientemente regular en B , se verica además que ∆u|∂B = 8g(x1 , x2 ). Si suponemos que u es una función positiva en B , se tiene que g(x1 , x2 ) ≥ 0 en ∂B , por lo tanto ∆u|∂B ≥ 0. Esto quiere decir que pueden existir puntos en ∂B donde el laplaciano sea cero, y más aún, pueden existir regiones, en las que el laplaciano es negativo, que tocan a ∂B en un punto.. Ejemplo 3.3.. Sean Q(x1 , x2 ) = 1 − x21 − x22 , y. g(x1 , x2 ) = (x1 − 1)2 +. 19 (x1 − 1)x2 + x22 . 10. La función u(x1 , x2 ) = g(x1 , x2 )Q(x1 , x2 )2 , es la solución del problema (1) con Ω = B y f = ∆2 (gQ2 ). Se puede comprobar que u satisface ∇u(1, 0) = ∆u(1, 0) = det Hu (1, 0) = 0. En la gura 3.4 se muestra las regiones en donde el laplaciano de u es negativo.. Figura 3.4: Regiones en donde ∆u < 0..

(41) 3.4. PUNTOS CRÍTICOS EN UNA PLACA CIRCULAR. 33. Observe que a la derecha se encuentra una región en forma de lágrima. En este tipo de regiones en particular, los puntos críticos se pueden acumular hacia la frontera de B . Es necesario mencionar que este ejemplo no es del todo satisfactorio pues la fuerza f cambia de signo en B , aunque en este caso se conoce que f es estrictamente positiva en la región antes señalada..

(42) Capítulo 4 Conclusiones y perspectivas En este trabajo se demostró la existencia y unicidad de soluciones débiles del problema (1). También se demostró que los puntos críticos presentes en la deexión de una placa circular sobre la que actúa una fuerza positiva, tienen laplaciano estrictamente negativo y se probó además que existe un número nito de ellos en cualquier subconjunto compacto en el interior del disco. En este trabajo se encontró un ejemplo explícito donde se puede apreciar dos máximos y un punto de silla en la deexión de una placa circular. Se trata de una investigación en curso y quedan aún muchos detalles por aclarar y desarrollar que podrían servir para futuras investigaciones. Uno de estos sería encontrar el número de puntos críticos de la solución del problema  2  ∆ u = 1 en Ω, ∂u u = 0 = sobre ∂Ω, ∂η. siendo Ω un dominio planar convexo de R2 . La experimentación numérica revela hasta el momento que la solución de este problema es positiva, sin embargo no se conoce aún una demostración analítica de este hecho. En la gura 4.1 se ilustra una placa rectangular sobre la que hace actuar una fuerza igual a la unidad. Este experimento fue elaborado por el profesor Jairo Duque Robles, Dr. rer. nat. Él implementó un método de elementos nitos conforme con elementos de clase C 1 , concretamente escribió un programa en C + + con el elemento de BognerFoxSchmidt. Es bien conocido en el campo de elementos nitos que el método de elementos nitos converge con este elemento. 34.

(43) 35. Figura 4.1: Deexión placa rectangular con f (x1 , x2 ) = 1. Otro resultado que sería interesante discutir es si los puntos críticos presentes en la deexión de una placa circular sobre la que actúa una fuerza positiva se acumulan o no en la frontera..

(44) Bibliografía [1] J. Arango and A. Gómez. Critical points of solutions to elliptic problems in planar domains. Commun. Pure Appl. Anal., 10(1):327338, 2011. [2] T. Boggio. Sulle funzioni di green d'ordine m. Rend. Circ. Mat. Palermo, 20:97135, 1905. [3] Michael Chipot. Elliptic equations: An introductory course. Birkhàuser Advanced Text, 2009. [4] Lawrence C. Evans. Partial Diferential Equations. American Mathematical Society, 1998. [5] Filippo Gazzola, Hans-Christoph Grunau and Guido Sweers. Polyharmonic Boundary Value Problems: Positivity Preserving and Nonlinear Higher Order Elliptic Equations in Bounded Domains. Springer, 1 edition, 2010. [6] P. Garadebian. Partial diferential equations. Jhon Wiley & Sons, INC, 1964. [7] H.-Ch. Grunau and G. Sweers. Nonexistence of local minima of supersolutions for the circular clamped plate. Pacic J. Math., 198:437442, 2001. [8] Y. Jabri. The Mountain Pass Theorem, Variants, Generalizations and Some Applications. Cambridge University Press, 2003. [9] Ch. Loewner. On generation of solutions of the biharmonic equation in the plane by conformal mappgings. Pacic J. Math, 3:417436, 1953.. 36.

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