Sistemas de ecuaciones lineales 2

(1)

Sistemas de ecuaciones lineales

2^◦Bachillerato Ciencias Sociales

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Sistemas Curso 2015/16 1 / 33

(2)

Índice

1

Definición y clasificación Definición

Clasificación

2

Solución. Método de Gauss Método de Gauss

Ejemplos y clasificación según Gauss

3

Solución. Expresión matricial Expresión matricial de un sistema Ejemplo

4

Soluciones. Teorema de Rouché-Fröbenius Teorema de Rouché-Fröbenius

5

Solución. Regla de Cramer Regla de Cramer

6

Sistemas homogéneos

Sistemas homogéneos. Solución

7

Sistemas con parámetros

Sistemas con parámetros. Discusión

8

Problemas Propuestos

9

Personajes en la Historia Cramer y Fröbenius

10

Bibliografía

11

Créditos

(3)

Definición y clasificación

Ir a Índice

1| Deni ión y

lasi a ión

(4)

Definición y clasificación Definición

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

(5)

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

Coeficientes de las incógnitas a los números reales a

ij

.

(6)

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

Coeficientes de las incógnitas a los números reales a

ij

.

Términos independientes a los números reales b

i

.

(7)

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

Coeficientes de las incógnitas a los números reales a

ij

. Términos independientes a los números reales b

i

. Incógnitas a las x

i

, que deben ser determinadas.

(8)

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

Coeficientes de las incógnitas a los números reales a

ij

. Términos independientes a los números reales b

i

. Incógnitas a las x

i

, que deben ser determinadas.

Solución a cualquier conjunto de n valores, x

i

= c

i

∈ R, que cumplen todas la ecuaciones del

sistema.

(9)

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

Coeficientes de las incógnitas a los números reales a

ij

. Términos independientes a los números reales b

i

. Incógnitas a las x

i

, que deben ser determinadas.

Solución a cualquier conjunto de n valores, x

i

= c

i

∈ R, que cumplen todas la ecuaciones del sistema.

(10)

Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones lineales con las misma n incógnitas en todas ellas. Lo representamos como

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







y llamamos:

Coeficientes de las incógnitas a los números reales a

ij

. Términos independientes a los números reales b

i

. Incógnitas a las x

i

, que deben ser determinadas.

Solución a cualquier conjunto de n valores, x

i

= c

i

∈ R, que cumplen todas la ecuaciones del sistema.

NOTA: es conveniente comprobar las soluciones en todas las ecuaciones.

(11)

Definición y clasificación Clasificación

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

(12)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







(13)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







No homogéneos, cuando alguno de los términos independientes es distinto de cero.

(14)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







No homogéneos, cuando alguno de los términos independientes es distinto de cero.

(15)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







No homogéneos, cuando alguno de los términos independientes es distinto de cero.

Por el tipo de soluciones

Incompatibles, cuando no tiene solución.

(16)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







No homogéneos, cuando alguno de los términos independientes es distinto de cero.

Por el tipo de soluciones

Incompatibles, cuando no tiene solución.

Compatibles, cuando tienen solución. Pueden ser:

(17)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







No homogéneos, cuando alguno de los términos independientes es distinto de cero.

Por el tipo de soluciones

Incompatibles, cuando no tiene solución.

Compatibles, cuando tienen solución. Pueden ser:

Determinados, cuando tienen una sola solución.

(18)

Los sistemas de ecuaciones se clasifican, bien por el valor de los términos independientes, bien por el tipo de soluciones.

Por el término independiente

Homogéneos, cuando todos los términos independientes son cero.

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ a

13

x

3

+ · · · + a

1n

x

n

= 0 a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ a

23

x

3

+ · · · + a

2n

x

n

= 0

· · · + · · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ a

m3

x

3

+ · · · + a

mn

x

n

= 0







No homogéneos, cuando alguno de los términos independientes es distinto de cero.

Por el tipo de soluciones

Incompatibles, cuando no tiene solución.

Compatibles, cuando tienen solución. Pueden ser:

Determinados, cuando tienen una sola solución.

Indeterminados, cuando tienen infinitas soluciones.

(19)

Solución. Método de Gauss

Ir a Índice

2| Solu ión.

Método de

Gauss

(20)

Solución. Método de Gauss Método de Gauss

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

.

(21)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

(22)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

Vimos también que podíamos realizar sobre las ecuaciones ( y por tanto sobre las matrices) las

siguientes transformaciones elementales:

(23)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

Vimos también que podíamos realizar sobre las ecuaciones ( y por tanto sobre las matrices) las siguientes transformaciones elementales:

Multiplicar o dividir una fila de la matriz por un mismo número.

(24)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

Vimos también que podíamos realizar sobre las ecuaciones ( y por tanto sobre las matrices) las siguientes transformaciones elementales:

Multiplicar o dividir una fila de la matriz por un mismo número.

Cambiar una fila de la matriz por la suma de esta más otra u otras (Esto se llama

combinación lineal).

(25)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

Vimos también que podíamos realizar sobre las ecuaciones ( y por tanto sobre las matrices) las siguientes transformaciones elementales:

Multiplicar o dividir una fila de la matriz por un mismo número.

Cambiar una fila de la matriz por la suma de esta más otra u otras (Esto se llama combinación lineal).

Cambiar el orden de las filas.

(26)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

Vimos también que podíamos realizar sobre las ecuaciones ( y por tanto sobre las matrices) las siguientes transformaciones elementales:

Multiplicar o dividir una fila de la matriz por un mismo número.

Cambiar una fila de la matriz por la suma de esta más otra u otras (Esto se llama combinación lineal).

Cambiar el orden de las filas.

(27)

Vimos en el curso pasado que la solución de un sistema de ecuaciones quedaba determinado por sus coeficientes, y agrupábamos estos en forma de matriz

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

b

1

b

2

· · · b

m

é

Esta matriz (con los términos independientes) se llama matriz ampliada y se representa como A

^∗

. La matriz sin los términos independientes se llama matriz de los coeficientes, A; es decir

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

Vimos también que podíamos realizar sobre las ecuaciones ( y por tanto sobre las matrices) las siguientes transformaciones elementales:

Multiplicar o dividir una fila de la matriz por un mismo número.

Cambiar una fila de la matriz por la suma de esta más otra u otras (Esto se llama combinación lineal).

Cambiar el orden de las filas.

El método de Gauss, que es una generalización del método de reducción, consiste en hacer cero todos los elementos de la matriz que se encuentran debajo de los elementos de la forma a

ii

mediante transformaciones elementales.

En las siguientes diapositivas vemos un ejemplo de cada caso posible.

(28)

Solución. Método de Gauss Ejemplos y clasificación según Gauss

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

(29)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Conviene que en la primera ecuación el coeficiente de la incógnita a reducir sea 1, −1 o divisor de de los demás coeficientes de incógnita a reducir.

Por ese motivo cambiamos la segunda ecuación por la primera

(30)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Escribimos como matriz

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

Pivote

(31)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

(32)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

F2 =1 3 F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 10 9 28

å

(33)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

F2 =1 3 F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 10 9 28

å

F3 = F3 − 10F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 0 −1 −2

å

(34)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

F2 =1 3 F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 10 9 28

å

F3 = F3 − 10F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 0 −1 −2

å

Escribimoscomo ecuación

x − 2y − 2z = −6

y + z = 3

−z = −2

´

(35)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

F2 =1 3 F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 10 9 28

å

F3 = F3 − 10F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 0 −1 −2

å

x − 2y − 2z = −6

y + z = 3

−z = −2

´

z = 2

(36)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

F2 =1 3 F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 10 9 28

å

F3 = F3 − 10F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 0 −1 −2

å

x − 2y − 2z = −6

y + z = 3

−z = −2

´

z = 2

y = 1

(37)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 2x − y − z = −3

x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

E2 ←→ E1

x − 2y − 2z = −6

2x − y − z = −3 4x + 2y + z = 4

´

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

2 −1 −1 −3

4 2 1 4

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 3 3 9

0 10 9 28

å

F2 =1 3 F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 10 9 28

å

F3 = F3 − 10F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 1 1 3

0 0 −1 −2

å

x − 2y − 2z = −6

y + z = 3

−z = −2

´

z = 2 y = 1 x = 0

(38)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

(39)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Pivote

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

(40)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

å

(41)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

å

F3 = F3 − F2

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

0 0 0 0

å

(42)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

å

F3 = F3 − F2

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

0 0 0 0

å

Atención:Dividimos la segunda ecuación entre 7 x + 2y − 3z = 5

−y + z = −1

o

(43)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

å

F3 = F3 − F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 −7 7 −7

0 0 0 0

å

x + 2y − 3z = 5

−y + z = −1

o

z = λ ∈ IR

Escribimos las soluciones en función de z = λ ∈ IR

(44)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

å

F3 = F3 − F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 −7 7 −7

0 0 0 0

å

x + 2y − 3z = 5

−y + z = −1

o

z = λ ∈ IR

y = λ + 1 Infinitas soluciones

(45)

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO x + 2y − 3z = 5

2x − 3y + z = 3 4x + y − 5z = 13

´

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

2 −3 1 3

4 1 −5 13

å

F2 = F2 − 2F1 F3 = F3 − 4F1

Ç ₁ ₂ ₋₃ ₅

0 −7 7 −7

å

F3 = F3 − F2

Ç ₁ ₋₂ ₋₂ ₋₆

0 −7 7 −7

0 0 0 0

å

x + 2y − 3z = 5

−y + z = −1

o

z = λ ∈ IR y = λ + 1 x = λ + 3

Infinitas soluciones

(46)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

(47)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

Pivote

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

−3 −1 −1 −4

3 0 6 −4

å

(48)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

−3 −1 −1 −4

3 0 6 −4

å

F2 = 2F2 + 3F1 F3 = 2F3 − 3F1

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 −3 15 −8

å

(49)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

−3 −1 −1 −4

3 0 6 −4

å

F2 = 2F2 + 3F1 F3 = 2F3 − 3F1

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 −3 15 −8

å

F3 = F3 + 3F2

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 0 0 −32

å

(50)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

−3 −1 −1 −4

3 0 6 −4

å

F2 = 2F2 + 3F1 F3 = 2F3 − 3F1

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 −3 15 −8

å

F3 = F3 + 3F2

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 0 0 −32

å

2x + y − z = 0

y − 5z = −8

0x + 0y + 0z = −32

´

(51)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

−3 −1 −1 −4

3 0 6 −4

å

F2 = 2F2 + 3F1 F3 = 2F3 − 3F1

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 −3 15 −8

å

F3 = F3 + 3F2

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 0 0 −32

å

2x + y − z = 0

y − 5z = −8

0x + 0y + 0z = −32

´

0 = −32, lo que es absurdo.

nos dice que La última ecuación

(52)

SISTEMA INCOMPATIBLE 2x + y − z = 0

−3x − y − z = −4

3x + 6z = −4

´

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

−3 −1 −1 −4

3 0 6 −4

å

F2 = 2F2 + 3F1 F3 = 2F3 − 3F1

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 −3 15 −8

å

F3 = F3 + 3F2

Ç ₂ ₁ ₋₁ ₀

0 1 −5 −8

0 0 0 −32

å

2x + y − z = 0

y − 5z = −8

0x + 0y + 0z = −32

´

Sistema Incompatible 0 = −32, lo que es absurdo.

nos dice que

La última ecuación

(53)

Solución. Expresión matricial

Ir a Índice

3| Solu ión.

Expresión

matri ial

(54)

Solución. Expresión matricial Expresión matricial de un sistema

El sistema de ecuaciones lineales

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







lo podemos escribir en forma matricial como

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

· Ñ _x

1

x

2

· · · x

n

é

=

Ñ _b

1

b

2

· · · b

m

é

⇒ A · X = B

(55)

El sistema de ecuaciones lineales

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







lo podemos escribir en forma matricial como

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

· Ñ _x

1

x

2

· · · x

n

é

=

Ñ _b

1

b

2

· · · b

m

é

⇒ A · X = B

Si existe A

⁻¹

, se puede despejar la X y la solución será X = A

⁻¹

· B

(56)

El sistema de ecuaciones lineales

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ · · · + a

mn

x

n

= b

m







lo podemos escribir en forma matricial como

Ñ _a

11

a

12

· · · a

1n

a

21

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

m1

a

m2

· · · a

mn

é

· Ñ _x

1

x

2

· · · x

n

é

=

Ñ _b

1

b

2

· · · b

m

é

⇒ A · X = B

Si existe A

⁻¹

, se puede despejar la X y la solución será

X = A

⁻¹

· B

En la siguiente diapositiva vemos un ejemplo.

(57)

Solución. Expresión matricial Ejemplo

Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

. Antes lo hemos resuelto por el método de Gauss.

(58)

Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

. Antes lo hemos resuelto por el método de Gauss.

Ahora lo resolvemos como una ecuación matricial. Tenemos

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

å

· Ç _x

y z

å

=

Ç ₋₃

−6 4

å

⇒ A · X = B

(59)

Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

. Antes lo hemos resuelto por el método de Gauss.

Ahora lo resolvemos como una ecuación matricial. Tenemos

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

å

· Ç _x

y z

å

=

Ç ₋₃

−6 4

å

⇒ A · X = B

Como el determinante de la matriz de los coeficientes es distinta de cero, |A| 6= 0, existe la inversa A

⁻¹

. Es fácil ver que

A

⁻¹

=

Ç _2/3 _−1/3 ₀

−3 2 1

10/3 −8/3 −1

å

(60)

Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

. Antes lo hemos resuelto por el método de Gauss.

Ahora lo resolvemos como una ecuación matricial. Tenemos

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

å

· Ç _x

y z

å

=

Ç ₋₃

−6 4

å

⇒ A · X = B

Como el determinante de la matriz de los coeficientes es distinta de cero, |A| 6= 0, existe la inversa A

⁻¹

. Es fácil ver que

A

⁻¹

=

Ç _2/3 _−1/3 ₀

−3 2 1

10/3 −8/3 −1

å

y por tanto

X = A

⁻¹

· B =

Ç _2/3 _−1/3 ₀

−3 2 1

10/3 −8/3 −1

å

· Ç ₋₃

−6 4

å

=

Ç ₀

1 2

å

=

Ç _x

y z

å

(61)

Soluciones. Teorema de Rouché-Fröbenius

Ir a Índice

4| Solu iones.

Teorema de

Rou hé-

Fröbenius

(62)

Soluciones. Teorema de Rouché-Fröbenius Teorema de Rouché-Fröbenius

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

(63)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

(64)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

(65)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

1

Si r = n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

(66)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

1

Si r = n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

2

Si r < n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

(67)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

1

Si r = n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

2

Si r < n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

(68)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

1

Si r = n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

2

Si r < n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Ejemplo.- Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

resuelto anteriormente.

(69)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

1

Si r = n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

2

Si r < n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Ejemplo.- Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

resuelto anteriormente. Tenemos

Rg(A) =

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

å

= 3 y Rg(A

^∗

) =

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

−3

−6 4

å

= 3

(70)

Cuando el número de ecuaciones e incógnitas es grande es conveniente tener algún criterio que nos permita saber si un sistema tiene solución (compatible) o no tiene solución (incompatible).

Este criterio nos lo proporciona del teorema de Rouché-Fröbenius.

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales AX = B tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes, A, sea el mismo que el rango de la matriz ampliada, A

^∗

. Se tiene:

1

Si Rango(A) 6= Rango(A), el sistema es incompatible.

2

Si Rango(A) = Rango(A) = r , el sistema es compatible. Además:

1

Si r = n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

2

Si r < n

^◦

de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Ejemplo.- Sea el sistema

2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

resuelto anteriormente. Tenemos

Rg(A) =

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

å

= 3 y Rg(A

^∗

) =

Ç ₂ ₋₁ ₋₁

1 −2 −2

4 2 1

−3

−6 4

å

= 3

Sistema compatible determinado (una sola solución)

(71)

Solución. Regla de Cramer

Ir a Índice

5| Solu ión.

Regla de

Cramer

(72)

Solución. Regla de Cramer Regla de Cramer

La regla de Cramer es un método que nos permite obtener las soluciones de un sistema de

ecuaciones lineales que sea compatible determinado.

(73)

La regla de Cramer es un método que nos permite obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales que sea compatible determinado.

Regla de Cramer

Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

n1

x

1

+ a

n2

x

2

+ · · · + a

nn

x

n

= b

n







(74)

La regla de Cramer es un método que nos permite obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales que sea compatible determinado.

Regla de Cramer

Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

n1

x

1

+ a

n2

x

2

+ · · · + a

nn

x

n

= b

n







Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, |A| 6= 0, entonces el sistema es compatible determinado, y sus soluciones son

x

i

= |A

x_i

|

|A|

donde |A

x_i

| es el determinante que se obtiene al sustituir en la matriz de los coeficientes, A, la

columna de los coeficientes de x

i

por la columna de los términos independientes.

(75)

La regla de Cramer es un método que nos permite obtener las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales que sea compatible determinado.

Regla de Cramer

Sea el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ · · · + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ · · · + a

2n

x

n

= b

2

· · · + · · · + · · · + · · · = · · · a

n1

x

1

+ a

n2

x

2

+ · · · + a

nn

x

n

= b

n







Si el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, |A| 6= 0, entonces el sistema es compatible determinado, y sus soluciones son

x

i

= |A

x_i

|

|A|

donde |A

x_i

| es el determinante que se obtiene al sustituir en la matriz de los coeficientes, A, la columna de los coeficientes de x

i

por la columna de los términos independientes. Es decir

|A

x₁

| =

b

1

a

12

· · · a

1n

b

2

a

22

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · b

n

a

n2

· · · a

nn

, |A

x₂

| =

a

11

b

1

· · · a

1n

a

21

b

2

· · · a

2n

· · · · · · · · · · · · a

n1

b

n

· · · a

nn

, etc.

(76)

Ejemplo.- Sea el sistema 2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4

´

.

(77)

Ejemplo.- Sea el sistema 2x − y − z = −3 x − 2y − 2z = −6 4x + 2y + z = 4