Experiencias en la Aplicación de Técnicas de Control H

(1)

Experiencias en la Aplicación de Experiencias en la Aplicación de

Técnicas de Control H Técnicas de Control H

_∞_∞

M.GM.G. Ortega, C. Vivas, . Ortega, C. Vivas, F.RF.R. Rubio. Rubio

Depto

Depto. Ingeniería de Sistemas y Automática. Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla

Universidad de Sevilla

Escuela Superior de INGENIEROS DE SEVILLA UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Jornadas Red Temática de Jornadas Red Temática de

“Ingeniería de Control” sobre Control Robusto

(2)

Índice Índice

❑- Introducción

❑- El problema de control H_∞ lineal

❑- Experiencias con controladores H_∞lineales

❑- El problema de control H_∞ no lineal

❑- Experiencias con controladores H_∞ no lineales

❑- Desarrollos futuros.

❑- Introducción

❑- El problema de control H_∞ lineal

❑- Experiencias con controladores H_∞lineales

(3)

Introducción Introducción

◆ Gran auge desde los ochenta hasta la actualidad.

◆ No optimiza para ninguna distribución en particular de las señales.

◆ Sólo presupone energía de señales acotada.

◆ Teoría normalmente asociada al “Control Robusto”.

(4)

Ì- Introducción

➨- El problema de control H_∞ lineal

❑- Experiencias con controladores H_∞ lineales

Ì- Introducción

➨- El problema de control H_∞ lineal

❑- Experiencias con controladores H_∞ lineales

(5)

El Problema de Control H

El Problema de Control H_∞_∞ Lineal Lineal

◆ Formulación general del problema de control (Doyle).

◆ Objetivo:

K(s)

z v u

ω P(s)

• P(s) : planta generalizada

• K(s) : controlador

“Calcular un controlador K(s) que atenúe la relación entre la energía del vector objetivo, z , y la del vector de

perturbaciones, ω^{, siendo}γ la atenuación conseguida”

(6)

◆ Síntesis de controladores (subóptimo):

• Descripción interna (Doyle)

• Descripción polinomial (Kwakernaak, Grimble)

• LMIs (Iwasaki, Gahinet)

◆ Iteración con el valor de relación de atenuación γ.

◆ Desde el punto de vista práctico, los resultados son similares.

◆ El controlador dependerá exclusivamente de la planta generalizada, P(s), la cual está compuesta por:

• Sistema nominal

• Matrices de ponderación (de incertidumbres y comportamiento).

(7)

◆ Casos particulares:

¾ Moldeo de la función de lazo (Loop Shaping):

(8)

G

W₁ W₂

F₀

K ^y _r

u +

+

Estructura de Control Estructura de Control

B_m

A_m

K₂

B

A

C K₁ H

y

r + u

+

+ +

+ + +

+ -

Modelo Referencia

Estimador Estado

s 1

Loop shaping

Obención de K₁, K₂ y H a partir de 2 ecuaciones de Riccati

(9)

◆ Casos particulares:

¾ Moldeo de funciones de sensibilidad (Sensibilidad Mixta):

(10)

◆ Ejemplo: Problema de sensibilidad mixta S/KS/T

G(s)

W_S(s) W_U(s)

e

u

y

z₁ z₂ ω = r

- +

v

P(s)

z

W_T(s) z₃

K(s)

ω < γ

















=

∞

) ( ) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

(

s T s W

s S s K s W

s S s W s

T

o T

o U

o S

z

Diseño de P(s):

• Elección de Sistema Nominal

• Diseño de matrices de ponderación.

(11)

Ì- Introducción

Ì- El problema de control H_∞ lineal

➨- Experiencias con controladores H_∞ lineales

Ì- Introducción

➨- Experiencias con controladores H_∞ lineales

(12)

Experiencias con Controladores H

Experiencias con Controladores H_∞_∞ Lineales Lineales

◆ Diseño sistemático de matrices de ponderación:

◆ Elección de sistema nominal (de bajo orden).

◆ Estimar incertidumbres multiplicativa a la salida respecto al modelo nominal elegido:

◆ Diseño de matriz de ponderación W_T(s):

W_Tdiag(s) estable, de fase mínima, y tal que:

(

⁽ ⁾ ⁽ ⁾

)

⁽ ⁾ ^, ¹^,²^, ^K

)

( ^* ¹

, s = G s −G s G s ⁻ i =

E_o _i _i

q q Tdiag

T s W s I

W ( ) = ( ) _×

(

^E ^j

)

ⁱ

j

W_Tdiag ( ω) ≥σ _o_,_i( ω) ∀ω, ∀ Sensibilidad Mixta

(13)

◆ Diseño sistemático de matrices de ponderación:

◆ Diseño de matriz de ponderación W_S(s):

◆ Diseño de matriz de ponderación W_U(s):

En proceso de estudio

{

⁽ ⁾^, ^, ⁽ ⁾^, ^, ⁽ ⁾

}

)

(s diag W ₁₁ s W s W s

W_S = _S K _Sii K _Sqq















≈











 +

= +

−

ajuste de

parámetro :

es integrador nº

:

) ( corte

Frec.

: 10

5 . 0

10 ) 10

(

4

) 1 (

i

Tdiag T

i i N

N T i N T

i Sii

N

s s W

s s

W i

i

κ ω

β α ω

β

ω α

κ κ

Sensibilidad Mixta

(14)

◆ Aplicaciones monovariables:

Planta solar

Irr

Qac Te

Tsal

tanque colectores

bomba

Sistema no lineal

Tsal salida

Qac señal de mando Te e Irr perturbaciones

Campo de colectores ACUREX en Tabernas

(Almería)

(15)

Planta solar

• Resultados experimentales:

(16)

Sistema de seguimiento visual

Incertidumbres:

¾ Distorsión de la lente

¾ Velocidad de la cámara

¾ Dinámica del brazo

• Robot PUMA

• Cámara CCD Pulnix TM-520

• DSP principal TMS320 C40

(17)

Sistema de seguimiento visual

(18)

◆ Aplicaciones multivariables:

Planta piloto

Incertidumbres:

¾ Eficiencia del intercambiador

¾ No linealidades

¾ Dinámicas no modeladas

(19)

5 0

4 = _TT =

TT κ

κ κ_TT₄ =¹^.³ κ_TT₅ = ⁰^.²

Planta piloto

(20)

Secadero de arena

FEEDING ZONE ROTARY DRUM ZONE OUTPUT ZONE

Combustible

Air

Hot Air

Wet product Exhaust air

Dried product

water water water

motor

Air filter

Variables controladas:

•Humedad producto

•T^ra aire salida

Variables de control:

• Flujo producto

•Flujo combustible

(21)

= 2 κTo

Secadero de arena

0 4000 8000 12000 16000

30 35 40 45 50 55

0 4000 8000 12000 16000

0.8 1 1.2 1.4 1.6

Tiempo (s) T_o (^oC)

H_o (%) κ_Ho = 3.5

(22)

Sistema Doble Rotor

• Aplicado junto a linealización por realimentación.

• Incertidumbres respecto a linealización perfecta.

(23)

Sistema Doble Rotor

• Resultados simulados:

= 2

= _orient

elev κ κ

(24)

Loop Shaping Multivariable

◆ Sistema: Rotor Rig de la Univ. de Bristol (UK) (Diam. 1.5 m, 1500 rpm)

◆ Control: Realimentación Estados mediante 2 DOF OB H_∞ Loop-Shaping

Linealización Vuelo estacionario

+

Simplificaciones

Modelo Lineal:

8 Estados:

- 4 Din. Rótor (‘Flapping Long. y Lat.”)

- 4 Cuerpo rígido (‘Roll’+ ‘Pitch’)

2 Actuadores:

- Pasos cíclicos Long. y Lat.

(‘Conicidad’ y paso colectivo descartados)

Sistema Rotor Helicóptero

◆ Diseño del control

◆ Moldeo del lazo abierto con W₁y W₂(ω_cy ganancias a alta y baja frecuencia)y calculamos G_s=W₂GW₁(Planta Moldeada)

(25)

Loop Shaping Multivariable

Sistema Rotor Helicóptero

• Resultados simulados:

(26)

◆ Comentarios generales:

Ajuste de resultados con planta real.

Necesidad de escalado.

Reducción de controladores.

Conveniente un análisis de controlabilidad de entrada- salida.

Fragilidad de controladores.

(27)

Ì- Introducción

Ì- Experiencias con controladores H_∞ lineales

➨- El problema de control H_∞ no lineal

Ì- Introducción

Ì- Experiencias con controladores H_∞ lineales

➨- El problema de control H_∞ no lineal

(28)

El Problema de Control H_∞_∞ No Lineal No Lineal

◆ Formulación:

• Enfoque como extensión del control H_∞ lineal

• Uso del concepto de H_∞ como norma-2 inducida

• Controlador a partir de la solución de dos

ecuaciones de Hamilton-Jaccobi-Bellman-Isaacs (van der Shaft)

• Solución particular para cada sistema.

(29)

◆ Caso particular

• Sistemas afines en la actuación

• Vector de estado accesible

◆ Sistema:



 



= 

+ +

=

u x z h

x k u

x g x

f x

) (

) ( )

( )

( ω

&

K(x_k,v)

z v u

ω P(x,u,ω⁾

(30)

◆ Síntesis del controlador:

Sea γ >0. Si existe una función escalar V(t,x) ≥ 0 derivable que satisfaga la ecuación:

entonces el controlador:

conseguirá que el sistema en bucle cerrado (desde ω^{hasta z)} posea una ganancia L2 menor o igual a γ^{, o sea:}

• Hamiltonianos:

0 ) ( ) 2 (

1 ) , ) (

( ) ( ) ( ) 1 (

) , ( 2

) 1 ) (

, ( )

, (

2 + =

∂

 ∂



 



 −

∂ + ∂

∂

∂ h x h x

x x t x V

g x g x k x x k

x t x V

x f x t V t

x t

V ^T ^T _T _T ^T _T

γ

∫

^t ^z ^d ^≤ 0^t ^d

2 2 2

0

2

2 ( )

)

(τ τ γ ω τ τ

distinta PDE

Ec.

0 )

( )

0 ( < ⇒

∫

^t^u ^τ ^T ^y ^τ ^d^τ

x x t x V

g t

x

u ^T

∂

− ∂

= ( , )

) ( )

,

*(

(31)

Ì- Introducción

Ì- Experiencias con controladores H_∞ lineales Ì- El problema de control H_∞ no lineal

➨- Experiencias con controladores H_∞ no lineales

Ì- Introducción

➨- Experiencias con controladores H_∞ no lineales

(32)

Experiencias con Controladores H_∞_∞ No Lineales No Lineales Robótica

Modelo del robot q d

G q

q V q

q

M ( ) &&+ ( , &) + ( ) =τ +τ

Comportamiento



 



= 

u x W h

z ( )

( ) ^^













−

=













=

∫ ∫

^t ^r^r

r

t q q d

q q

q q d

e e e x

x h

0 0

) (

τ τ

&

Vector de errores



 



=

R C

C W Q

W^T _T

Ponderación de errores

Ley de control

(^M ^q ^T ^x ^C ^q ^q ^T ^x) ^u

q G q

q V q q

M ρ ρ

τ = ⁽ ⁾ &&+ ⁽ ^, &⁾+ ⁽ ⁾− ¹ ⁽ ⁾ & + ⁽ ^, &⁾ + ¹ t ρτd

ω( ) =

Perturbaciones

(33)

Ecuación no lineal de la dinámica del error ) ( )

( )

, ( )

( )

(q T x t C q q T x t u t t

M & + & = +ω

(

^K ê ^K ê^K ê^dt

)

q M

q G q

q V q

q

M _r ⁺ ⁺ ⁻ _D ⁺ _P _I ∫

= ( ) && ( , &) ( ) ⁻¹( ) &

τ*

( ) ( ) ( )

^_^



  + +



 



 +

=



 



  + +



 



 +

+

=



 



  + +



 



 +

+

=

−

3 3 1 1 3

1

2 2 1 1 2

1 3

1 1 1 1 1

1 2

2 1 1

T C R M T

N M M

K

T C R M T

N M M

T K

T C R M T

N M M

T K

T I

T P

T D

&

ρ ρ ρ

Ley de control en forma de par calculado con PID no lineal externo

(34)

Caso particular: Matriz de ponderación diagonal

K_D, K_P y K_I no dependen del parámetro γ

O C

C C

O Q

Q Q

I R

I Q

n n u

n n I

n n P

n n D

=

×

3 2

1

12 12

12 2

2 3

2 2

2 1

ω ω ω ω



 



 +

=



 



 +

+ +

=



 



 +

+ +

=

−

I C

M K

I C

M I

K

I C

M I

K

u D

I I

u D

I D P

D I P

u D

I D P

D

2 1

2

2 1

2

1 2 1 2 1

ω ω

ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

(35)

Experiencias con Controladores H_∞_∞ No Lineales No Lineales Robot Industrial RM-10

◆ Seis grados de libertad de rotación

◆ Motores DC sin escobillas

◆ Accionamiento indirecto

◆ Tarjeta de control DS1103 en tiempo real

(36)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

time (s)

position errors (rad)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

time (s)

speed errors (rad/s)

Experiencias con Controladores H_∞_∞ No Lineales No Lineales Industrial Robot RM-10

• Resultados experimentales

Errores de posición

Errores de velocidad Señales de control

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

time (s)

Control signal (V)

Q_u = 0.4 I Q₃ = 3 I

Q₂ = I Q₁ = (1/2)² I

Weighting matrix

Esfuerzo de control adicional:

Integral de error:

Error posición:

Error velocidad:

Signal

e&

e dt

∫e u

(37)

Experiencias con Controladores H_∞_∞ No Lineales No Lineales Robótica: Control Híbrido H_∞-H₂

◆ Descripción:

) ( )

, ( )

(q q C q q q G q

M + +

= && & &

τ ^~^x^& ⁼ ^f ⁽^~^x^&^,^t⁾⁺ ^g¹⁽^~^x^&^,^t⁾ω ⁺ ^g²⁽^~^x^&^,^t⁾^u



 





−

= −

q q

q x q

r r &

&

Def. ~ ^Def. z x u h x k x u

u x k x h u

x z

~) (

~) ( )

~, (

~) (

~) ( )

~,

( ₂ ₂

2

∞

∞ = +

+

=

◆ Problema: Calcular tal que minimice_{u &}_(x^~₎ dt

u x z u

x

J ⁼ ^∞

∫

0

2 2 2

2(~&, ) (~&, )

Sujeto a (~, , ) ( (~, ) ² ( ) ²₂) 0

0

2

2 − ≤

=

∫

^∞ ^∞

∞ x u z x u t dt

J ^& γ ^& γ ω

(1)

u R u x

Q x u

x z

u R u x

Q x u

x z

T T

∞

∞ = +

+

=

2

~ 1

~ 2 ) 1

~, (

2

~ 1

~ 2 ) 1

~,

( ₂ ₂

Particularizamos 2

Costes cuadráticos

(38)

Experiencias con Controladores H_∞_∞ No Lineales No Lineales Robótica: Control Híbrido H_∞-H₂

◆ Solución:

Problema auxiliar^Η₂

~) (

~) ( )

~, ( )

~, (

~) (

~) ( )

~, (

)

~, ( 1

)

~, (

~) ( )

~, ( )

~, (

2 2

2 2 2

2 2

2

x u x k t x h u

x z

x u x k x

h t

x h

t x g t

x g

x u t x g t

x f t x f

+

=

−

=

−

=

+

=

λ λ

λ λ λ

λ λ

λ

Ec. HJB asociada

u₂_λ Estabiliza asintóticamente (1) e induce un coste J₂convexo en λ^con mínimo para λ⁼⁰

2 0 1

2

~ 2 2

1

~ 2

~ + ₂ + =

+V f_λ V g _λR⁻ g _λ V h _λ h _λ

V_t _x _x ^T _x^T ^T

) )

1 (

~) ( (

)

~,

( 2 2 ~

2

T x TV g x

u x

u _λ λ = − λ + λ +

Tomamos: ^u₂_λ^*(~^x) = ^u₂_λ (~^x,λ^*) λ

λ^* = argminλ∈^S ^S ⁼{λ ^∈^[⁻¹^,¹^] ^s^.^a ^J∞⁽^u_λ^,γ ⁾ ⁼ ⁰}









∫

^∞

0

2 2 (~, ) 2

min z x u

u _λ &

u t x g t

x g t

x f

x (~, ) (~, ) (~, )

~& = _λ & + 1_λ & ω+ 2_λ &

con

(39)

Ì- Introducción

Ì- Experiencias con controladores H_∞ no lineales

➨- Desarrollos futuros.

Ì- Introducción

Ì- Experiencias con controladores H_∞ no lineales

➨- Desarrollos futuros.

(40)

Desarrollos futuros Desarrollos futuros

◆ Combinación de control H_∞ con estructuras predictoras para sistemas multivariables con retardo.

◆ Aplicación de leyes de control H_∞ no lineal a otros sistemas (robot de 2 GDL, doble rotor, …).

◆ Robustificación de leyes de control.

◆ Formulación de otras funciones de ponderación, modificando la expresión del vector objetivo.

◆ Estudio de métodos numéricos de resolución de PDEs.

◆ Técnicas mixtas H_∞ / QFT

◆ …