El método de la fase estacionaria, funciones de Bessel y aplicaciones

ESTACIONARIA, FUNCIONES DE BESSEL Y APLICACIONES

Trabajo fin de Máster

Máster en Matemáticas y Aplicaciones

Universidad Autónoma de Madrid. Curso 2009-2010

ALEJANDRO J. CASTRO CASTILLA

Dirigido por Gustavo Garrigós Aniorte

1. INTRODUCCIÓN 5

2. COTAS SUPERIORES 7

2.1. Fase no estacionaria . . . 7

2.2. Lemas de van der Corput . . . 7

2.3. Fase no estacionaria: caso multidimensional . . . 10

3. DESARROLLO ASINTÓTICO DE UNA INTEGRAL OSCILATORIA 13 3.1. Contexto unidimensional . . . 13

3.2. Contexto multidimensional . . . 22

3.3. Análisis más fino del error . . . 28

4. APLICACIONES A LAS FUNCIONES DE BESSEL 35 4.1. Serie de potencias . . . 35

4.2. Representación integral . . . 36

4.3. Cotas superiores y desarrollos asintóticos . . . 39

4.4. Estimaciones uniformes en el parámetro ν . . . 45

4.5. Norma L^p de las funciones de Bessel . . . 53

5. APLICACIONES AL PROBLEMA DE RESTRICCIÓN DE LA TRANS- FORMADA DE FOURIER 59 5.1. Transformada de Fourier de una medida . . . 59

5.2. El Teorema de restricción de Stein (1967) . . . 60

5.3. Teoremas de restricción en R² . . . 62

1. INTRODUCCIÓN

Las integrales oscilatorias son un importante objeto de estudio dentro del análisis armónico. Fourier las estudió en sus trabajos relativos a las funciones de Bessel; Airy, Stokes y Lipschitz también se preocuparon de determinar un desarrollo asintótico de es- tas funciones. Riemann usó el método de la fase estacionaria para encontrar un desarrollo asintótico de ciertas transformadas de Fourier. Más recientemente, las integrales oscilato- rias han resultado de gran utilidad en EDP’s y en teoría de números, en particular, en el problema de la distribución de puntos con coordenadas enteras.

Una integral oscilatoria es una función I(λ), que depende del parámetro λ > 0, de la forma

I(λ) = Z b

a

e^iλφ(x)ψ(x)dx,

para ciertas funciones suficientemente suaves φ y ψ, y donde (a, b) puede ser un intervalo propio de la recta o todo R. Por razones físicas, es habitual denominar a φ función de fase y a ψ función de amplitud. La transformada de Fourier es un claro ejemplo de integral oscilatoria. Otro ejemplo que investigaremos con cierto detalle en esta memoria son las funciones de Bessel

J_m(λ) = 1 2π

Z 2π 0

e^{iλ sin x}e^−imxdx, m ∈ Z.

Un problema interesante es estudiar qué le ocurre a I(λ) cuando λ → ∞, es decir, determinar su comportamiento asintótico. Es claro que si ψ es integrable entonces |I(λ)| ≤ kψk₁. Es más, es de esperar un cierto decaimiento cuando λ es grande, debido a las cancelaciones que se producen en la integral. Así, cuando la derivada de la fase no se anula, es decir φ⁰(x) 6= 0, x ∈ R, y digamos ψ ∈ S(R), integrando sucesivamente por partes obtenemos

I(λ) = Z

R

e^iλφ(x)ψ(x)dx = O

 1 λ^N

 ,

para N tan grande como se desee. En particular, para fases lineales φ(x) = x obtenemos el decaimiento rápido de la transformada de Fourier de una función suave. Por otro lado, para fases cuadráticas un ejemplo ilustrativo viene dado por

I(λ) = Z ∞

0

e^iλx2dx = 1 λ^1/2

Z ∞ 0

e^it2dt = O

 1 λ^1/2



, λ → ∞, donde la constante R∞

0 e^it2dt (integral impropia en el sentido de Riemann) se puede cal- cular explícitamente con el teorema de los residuos. Este decaimiento es característico de las integrales oscilatorias cuando la función fase φ(x) es cuadrática.

De los ejemplos anteriores sigue que la contribución principal de una integral oscila- toria ocurre cerca de los puntos x₀ donde φ⁰(x₀) = 0, es decir puntos donde la fase φ es

“estacionaria”. Por tanto, un procedimiento para estimar integrales oscilatorias, digamos con un único punto estacionario x₀, consistiría en dividir I(λ) en dos integrales, la primera sobre un entorno suficientemente pequeño de x₀ y la segunda sobre el complementario de este intervalo. En la primera, la fase es esencialmente constante y no cabe esperar can- celación. Esta integral la mayoramos por la medida del intervalo. En la segunda integral,

aprovechamos la cancelación integrando por partes. Esta estrategia es suficiente para en- contrar buenas cotas superiores de |I(λ)| (ver sección 2). Si nuestro propósito sobre I(λ) es conocer un término principal más un término de error, la táctica a seguir requiere algo más de análisis (ver sección 3).

Este modo de abordar el problema se denomina “método de la fase estacionaria”, y es el objeto de estudio de este trabajo. Se pueden formular teoremas más o menos generales, como los recogidos en la sección 3, que ilustran la aplicabilidad del método. No obstante, en la práctica resulta más apropiado entender el método como un conjunto de técnicas que en muchas ocasiones hay que desarrollar específicamente para cada caso. Por ejem- plo, dificultades adicionales surgen cuando la integración por partes produce términos adicionales de frontera (en integrales de tipo Rb

a e^iφ(x)ψ(x)dx), o cuando la fase depende de un parámetro y buscamos estimaciones independientes del parámetro (ver sección 4.4 sobre funciones de Bessel).

Así, hemos estructurado este trabajo como sigue. En la sección 2 estudiamos el lema de van der Corput y la acotación de integrales oscilatorias con fase no estacionaria. En la tercera sección nos centramos en determinar un desarrollo asintótico cuando la fase de la integral es estacionaria, distinguiendo cuando estamos en una o varias dimensiones y prestando especial atención al comportamiento del error. A continuación, en la sección 4, introducimos las funciones de Bessel J_ν vía representación en serie e integral y les aplicamos la teoría general previamente desarrollada. Uno de los objetivos a alcanzar aquí es analizar la norma L^p de estas funciones y su dependencia del parámetro ν. Finalmente, en la quinta sección, abordamos algunas aplicaciones al problema de restricción de la transformada de Fourier.

2. COTAS SUPERIORES

2.1. Fase no estacionaria

Proposición 2.1. Sean ψ ∈ C₀^∞(a, b) y φ ∈ C^∞(R) tal que φ⁰(x) 6= 0, x ∈ [a, b]. Entonces, para cada N ∈ N se verifica

I(λ) = Z b

a

e^iλφ(x)ψ(x)dx = O

 1 λ^N



, λ → ∞. (1)

Demostración. Fijamos N ∈ N y λ > 0. Ya que φ⁰ no se anula en el intervalo [a, b], podemos considerar el operador diferencial D = _dx^d(_φ0(x)^· ). Integrando N veces por partes,

I(λ) =1 iλ

Z b a

d

dxe^iλφ(x)ψ(x)

φ⁰(x)dx = − 1 iλ

Z b a

e^iλφ(x)Dψ(x)dx

= − 1 (iλ)²

Z b a

d

dxe^iλφ(x)Dψ(x)

φ⁰(x) dx = −1 iλ

2Z b a

e^iλφ(x)D²ψ(x)dx

= · · · = −1 iλ

NZ b a

e^iλφ(x)D^Nψ(x)dx. (2)

Observar que los términos de borde no aparecen porque la función ψ se anula en un entorno de x = a, b. De la expresión anterior sigue fácilmente (1) pues la integral que se obtiene está acotada independientemente de λ.

En la Proposición 2.1 es importante que ψ se anule cerca de los extremos del intervalo [a, b]. En caso contrario el decaimiento en (1) es falso. De hecho, puede ser que I(λ) = O(1/λ), λ → ∞, como se aprecia en el siguiente ejemplo sencillo

Z b a

e^iλxdx = e^iλb− e^iλa iλ .

2.2. Lemas de van der Corput

Si el soporte de la función ψ no está contenido en el intervalo (a, b) veamos qué podemos decir de la integral oscilatoria I(λ). En la siguiente proposición, introducida por J.G. van der Corput en 1921 ([11]), estudiamos una de las situaciones más sencillas, cuando ψ ≡ 1.

Proposición 2.2. Sea φ ∈ C^∞(a, b) verificando |φ^(k)(x)| ≥ 1, x ∈ [a, b], para cierto k ∈ N. Si

(i) k = 1 y φ⁰ es monótona; ó (ii) k ≥ 2,

entonces,

Z b a

e^iλφ(x)dx    

≤ C_k

λ^1/k, λ > 0, (3)

siendo C₁ = 2 y C_k = 2^k+1− 2, k ≥ 2.

Demostración. Probamos primero (i). Fijamos λ > 0 y suponemos, sin pérdida de gene- ralidad, φ⁰ creciente y φ⁰(x) ≥ 1, x ∈ [a, b], por continuidad. Integrando por partes se tiene que

Z b a

e^iλφ(x)dx = 1 iλ

Z b a

d

dxe^iλφ(x) 1 φ⁰(x)dx

= − 1 iλ

Z b a

e^iλφ(x) d dx

1

φ⁰(x)dx + 1 iλ



e^iλφ(x) 1 φ⁰(x)

b a

. De aquí,

1 iλ



e^iλφ(x) 1 φ⁰(x)

b a

≤ 1 λ

 1

φ⁰(b) + 1 φ⁰(a)



y también,    

− 1 iλ

Z b a

e^iλφ(x) d dx

1 φ⁰(x)dx

≤1 λ

Z b a

d dx

1 φ⁰(x)

dx = 1 λ

Z b a

| − φ⁰⁰(x)|

φ⁰(x)² dx

=1 λ    

Z b a

d dx

1 φ⁰(x)dx

= 1 λ    

1

φ⁰(b) − 1 φ⁰(a)

=1 λ

 1

φ⁰(a) − 1 φ⁰(b)

 , ya que φ⁰⁰ es una función no negativa y φ⁰ es creciente. Luego,

Z b a

e^iλφ(x)dx    

≤ 2

λφ⁰(a) ≤ 2 λ.

Establecemos (ii) procediendo por inducción sobre k. Por hipótesis de inducción con- sideramos (3) cierto para toda función que verifique las hipótesis del enunciado. Sin pér- dida de generalidad, suponemos además que

φ^(k+1)(x) ≥ 1, x ∈ [a, b].

Esto nos dice que φ^(k) es una función creciente. Tomamos ξ ∈ [a, b] el único punto verifi- cando

|φ^(k)(ξ)| = m´ın

x∈[a,b]|φ^(k)(x)|.

Distinguimos dos casos.

φ^(k)(ξ) = 0. Utilizaremos el método de la fase estacionaria mencionado en la introducción.

Obsérvese que lejos de ξ se tiene

|φ^(k)(x)| ≥ δ, x /∈ (ξ − δ, ξ + δ), δ < m´ın{ξ − a, b − ξ}.

En efecto, basta aplicar el teorema del valor medio,

|φ^(k)(x)| = |φ^(k)(x)−φ^(k)(ξ)| = |x−ξ| |φ^(k+1)(η)| ≥ δ, x /∈ (ξ−δ, ξ+δ), δ < m´ın{ξ−a, b−ξ}, para un cierto η ∈ (a, b). Vemos así que φ^(k)(x)/δ ≥ 1, x ∈ (a, ξ − δ) ∪ (ξ + δ, b). Aplicando ahora la hipótesis de inducción a esta función,

Z ξ−δ a

ei(λδ)φ(x)/δdx    

≤ C_k (λδ)^1/k,

y también,

Z b ξ+δ

ei(λδ)φ(x)/δ

dx    

≤ Ck

(λδ)^1/k. Luego,

Z b a

e^iλφ(x)dx    

=    

Z ξ−δ a

+ Z ξ+δ

ξ−δ

+ Z b

ξ+δ



e^iλφ(x)dx    

≤ 2Ck

(λδ)^1/k + 2δ. (4)

La integral intermedia la hemos acotado por la longitud del intervalo.

φ^(k)(ξ) 6= 0. Por monotonía necesariamente ha de ser ξ = a ó ξ = b. Suponemos ξ = a.

Procediendo igual que antes, también es cierto

|φ^(k)(x)| ≥ |φ^(k)(x) − φ^(k)(ξ)| ≥ δ, x /∈ (a, a + δ), δ < b − a, por tanto,

Z b a

e^iλφ(x)dx    

=    

Z a+δ a

+ Z b

a+δ



e^iλφ(x)dx    

≤ C_k

(λδ)^1/k + δ. (5)

Las acotaciones en (4) y (5) se minimizan cuando δ = (λδ)^−1/k, es decir, cuando δ = λ^−1/(k+1). De esta manera probamos la situación k + 1, siendo C_k+1 = 2C_k + 2.

Recursivamente se obtiene Ck = 2^k+1− 2.

Cabe señalar que la constante del Lema de van der Corput obtenida aquí se puede mejorar, de hecho Ck= O(k) (ver [1, Lema 1], [6, Proposición 2.2] y [21, Lema 4]).

Ahora es fácil establecer un resultado para funciones ψ más generales.

Corolario 2.3. Si φ satisface las mismas hipótesis que en la Proposición 2.2 y ψ es derivable en R, se tiene que

Z b a

e^iλφ(x)ψ(x)dx    

≤ C_k λ^1/k



|ψ(b)| + Z b

a

|ψ⁰(x)|dx



, λ > 0, con C1 = 2 y Ck= 2^k+1− 2, k ≥ 2.

Demostración. Sea λ > 0. Definimos la función F (x) =

Z x a

e^iλφ(y)dy, x ∈ [a, b].

Integrando por partes es claro que Z b

a

e^iλφ(x)ψ(x)dx = Z b

a

F⁰(x)ψ(x)dx = − Z b

a

F (x)ψ⁰(x)dx + [F (x)ψ(x)]^b_a.

En virtud de la Proposición 2.2,

|F (x)| ≤ C_k

λ^1/k, x ∈ [a, b].

Luego,

Z b a

e^iλφ(x)ψ(x)dx ≤ C_k λ^1/k



|ψ(b)| + Z b

a

|ψ⁰(x)|dx

 , por ser F (a) = 0.

2.3. Fase no estacionaria: caso multidimensional

Mostramos a continuación otra técnica diferente a la empleada en dimensión 1 para obtener el decaimiento de una integral oscilatoria cuya fase no es estacionaria. Esta vez no integramos repetidas veces por partes, sino que nos apoyamos en el siguiente lema, que es una variante del teorema de la función implícita (véase [18, Teorema 3, p. 214]) Lema 2.4. Sean Ω ⊂ Rⁿ un abierto, φ : Ω −→ R una función C^∞(Ω) y x0 ∈ Ω de manera que ∇φ(x₀) 6= 0. Entonces, existen entornos U y V de 0 y x₀ respectivamente y un difeomorfismo G : U −→ V verificando G(0) = x₀ y

φ(G(y)) = φ(x₀) + y_n, y = (y₁, . . . , y_n) ∈ U.

Proposición 2.5. Sean Ω ⊂ Rⁿ un abierto, φ : Ω −→ R una función C^∞(Ω) y x₀ ∈ Ω de manera que ∇φ(x0) 6= 0. Suponemos también ψ ∈ C₀^∞(Rⁿ) con soporte en un entorno suficientemente pequeño de x₀. Entonces,

    Z

Rⁿ

e^iλφ(x)ψ(x)dx    

≤ C_N

λ^N , N ∈ N,

siendo C_N > 0 una constante que depende de N y de un número finito de derivadas de φ y ψ.

Demostración. Sean U y V los entornos que nos proporciona el Lema 2.4, y G el difeo- morfismo que existe entre ellos. Podemos suponer sop(ψ) ⊂ V . Haciendo el cambio de variables x = G(y) conseguimos

Z

Rⁿ

e^iλφ(x)ψ(x)dx = Z

V

e^iλφ(x)ψ(x)dx = Z

U

e^iλφ(G(y))ψ(G(y))|J_G(y)|dy

=e^iλφ(x0) Z

U

e^iλynψ(G(y))|JG(y)|dy

=e^iλφ(x0) Z

Rⁿ

e−2πiy·(−λ/2πen)ψ(G(y))|J_G(y)|dy

=e^iλφ(x0)ψb˜



− λ 2πe_n

 ,

siendo e_n = (0, . . . , 0, 1) y ˜ψ(y) = ψ(G(y))|J_G(y)|. Por ser ˜ψ ∈ S(Rⁿ), también b˜ψ ∈ S(Rⁿ).

Luego,     Z

Rⁿ

e^iλφ(x)ψ(x)dx    

=     b˜ ψ



− λ 2πe_n

   

= 2π λ

N    



− λ 2π

N

b˜ ψ



− λ 2πe_n

    

≤ 2π λ

N

b˜ ψ

(0,...,0,N ),0

, N ∈ N.

Aquí, k · k_α,0 denota la seminorma en la clase de Schwartz kf k_α,0 = sup

x∈Rⁿ

|x^αf (x)|, para f ∈ S(Rⁿ) y α ∈ Nⁿ.

3. DESARROLLO ASINTÓTICO DE UNA INTEGRAL OSCILATORIA

3.1. Contexto unidimensional

Teorema 3.1. Supongamos k ≥ 2, y x₀ ∈ R verificando

φ(x₀) = φ⁰(x₀) = · · · = φ^(k−1)(x₀) = 0,

con φ^(k)(x₀) 6= 0. Si ψ ∈ C₀^∞(R) tiene soporte suficientemente pequeño en un entorno de x₀, entonces

I(λ) = Z

R

e^iλφ(x)ψ(x)dx ∼

∞

X

j=0

a_j

λ^(j+1)/k, (6)

es decir, para cualesquiera N, r ∈ N se verifica

 d dλ

r"

I(λ) −

N

X

j=0

a_j λ^(j+1)/k

#

= O

 1

λ^{r+(N +2)/k}



λ → ∞. (7)

Demostración. Detallamos la situación k = 2, comenzando por el caso de fase cuadrática φ(x) = x². Dividimos la prueba en una serie de pasos. El primero de ellos es una fórmula explícita cuando ψ(x) = x^le^−x2.

PASO 1:

Z

R

e^iλx2x^le^−x2dx =

∞

X

m=0

Cm(l)

λ^m+(l+1)/2, l ∈ N (8)

Veamos como obtener (8) usando el teorema de los residuos. Observamos que si l es impar, la integral en (8) se anula. Sea entonces l ∈ N un número par. Si hacemos el cambio de variables t =√

1 − iλx conseguimos Z

R

e^iλx2x^le^−x2dx =2 Z ∞

0

e^{−(1−iλ)x2}x^ldx = 2(1 − iλ)^−(l+1)/2 Z ∞

0

e^−t2t^ldt

=Γ l + 1 2



(1 − iλ)^−(l+1)/2, (9)

donde el cambio de variables complejo se puede justificar como sigue. Para normalizar tomamos x = t/(1 + λ²)^1/4, obteniendo así

Z ∞ 0

e^{−(1−iλ)x2}x^ldx = C_λ Z ∞

0

e^−wλt2t^ldt, siendo w_λ = (1 − iλ)/√

1 + λ² un vector unitario y C_λ = 1/(1 + λ²)^(l+1)/4. También podemos escribir w_λ = e^iθλ, con −π/2 < θ_λ < 0, ya que λ > 0. Para calcular esta última integral tomamos, para cada R > 0, la curva cerrada y orientada positivamente

γ_R= γ_R¹ + γ_R² − γ_R³, donde

γ_R¹ = {z = te^iθλ/2: t ∈ [0, R]}, γ_R² = {z = Re^iθ : θ ∈ [θ_λ/2, 0]},

γ_R³ = {z = t : t ∈ [0, R]}.

Ya que F (z) = e^−z2z^l, z ∈ C, es una función entera, el teorema de los residuos nos dice que

0 = Z

γR

F (z)dz = Z

γ_R¹

F (z)dz + Z

γ_R²

F (z)dz − Z

γ_R³

F (z)dz, R > 0. (10)

Analizamos cada una de estas integrales por separado. Se tiene que Z

γ_R¹

F (z)dz = w_λ^(l+1)/2 Z R

0

e^−wλt2t^ldt −→ w^(l+1)/2_λ Z ∞

0

e^−wλt2t^ldt, R → ∞.

Por ser 0 < cos θ_λ ≤ cos 2θ, θ ∈ [θ_λ/2, 0], obtenemos 

    Z

γ²_R

F (z)dz     

≤ R^l+1 Z 0

θλ/2

e^{−R2cos 2θ}dθ ≤ π

4R^l+1e^{−R2cos θλ} −→ 0, R → ∞.

Por otro lado, Z

γ_R³

F (z)dz = Z R

0

e^−t2t^ldt −→

Z ∞ 0

e^−t2t^ldt, R → ∞.

Haciendo R → ∞ en (10) conseguimos Z

R

e^{−(1−iλ)x2}x^ldx = C_λ 1 w_λ^(l+1)/2

Z ∞ 0

e^−t2t^ldt = (1 − iλ)^−(l+1)/2 Z ∞

0

e^−t2t^ldt,

como queríamos.

Escribimos ahora

(1 − iλ)^−(l+1)/2 = λ^−(l+1)/2(1/λ − i)^−(l+1)/2. Ya que la función (z − i)^−(l+1)/2 es analítica en la bola unidad, se tiene

(z − i)^−(l+1)/2=

∞

X

m=0

c_m(l)z^m, |z| < 1,

para ciertos coeficientes

cm(l) =−(l + 1)/2 m



i^m+(l+1)/2, m ∈ N.

En definitiva, sustituyendo en (9) Z

R

e^iλx2x^le^−x2dx = Γ l + 1 2



λ^−(l+1)/2

∞

X

m=0

c_m(l) λ^m =

∞

X

m=0

C_m(l)

λ^m+(l+1)/2, λ > 1,

con convergencia uniforme en λ ≥ λ₀ > 1. En particular, se tiene la estimación del error 

∂^r

∂λ^r Z

R

e^iλx2x^le^−x2dx −

N

X

m=0

C_m(l) λ^m+(l+1)/2

!    

=     

∞

X

m=N +1

C_m(l) λm+r+(l+1)/2

≤ C_N

λN +1+r+(l+1)/2. (11)

En el segundo paso mantenemos φ(x) = x² y estudiamos el decaimiento mejorado de I(λ) cuando ψ(x) = x^lη(x) con η ∈ C₀^∞(R). Para ello usamos el método de fase estacionaria descrito en la introducción.

PASO 2:

    Z

R

e^iλx2x^lη(x)dx    

≤ A

λ^(l+1)/2, η ∈ C₀^∞(R), l ∈ N (12) Tomamos α ∈ C₀^∞(R), 0 ≤ α ≤ 1, de manera que

α(x) = 1 , |x| ≤ 1 0 , |x| ≥ 2 .

Para un cierto ε > 0 pequeño, que determinamos más adelante, dividimos usando la función de corte suave α la integral que aparece en (12) en otras dos, según estemos cerca o lejos del origen:

Z

R

e^iλx2x^lη(x)dx = Z

R

e^iλx2x^lη(x)α(x/ε)dx + Z

R

e^iλx2x^lη(x)[1 − α(x/ε)]dx

La primera integral la podemos estimar fácilmente haciendo el cambio de variables x = εz. Así,

    Z

R

e^iλx2x^lη(x)α(x/ε)dx    

≤ Z

R

|x|^l|η(x)|α(x/ε)dx

=ε^l+1 Z

R

|z|^l|η(εz)|α(z)dz

≤Aε^l+1, (13)

siendo A > 0 una constante independiente de ε. Recordar que las funciones η y α tienen soporte compacto. El estudio de la segunda integral hay que hacerlo con más cuidado.

Llamamos

f (x) = x^lη(x)[1 − α(x/ε)], x ∈ R.

Es claro que f ∈ C₀^∞(R) y sop f ⊂ B(0, M) \ B(0, ε), siempre que sop η ⊂ B(0, M).

Denotamos por D al operador diferencial Df = d/dx(f /x). Procediendo como en (2) conseguimos

Z

R

e^iλx2f (x)dx = −1 2iλ

mZ

R

e^iλx2D^mf (x)dx, m ∈ N.

Afirmamos que

D^mf (x) = 1 x^2m

m

X

j=0

c_j,mf^(j)(x)x^j, m ∈ N,

para ciertas constantes c_j,m. En efecto, si m = 1,

Df (x) = d dx

 f (x) x



= f⁰(x)x − f (x)

x² .

Procediendo por inducción suponemos cierto

D^m−1f (x) = 1 x^2(m−1)

m−1

X

j=0

c_j,m−1f^(j)(x)x^j.

Veamos qué ocurre en el siguiente paso:

D^mf (x) =D(D^m−1f (x)) = d dx

1 x^2m−1

m−1

X

j=0

c_j,m−1f^(j)(x)x^j

!

= 1

x^4m−2

" _m−1 X

j=0

c_j,m−1(f^(j+1)(x)x^j + jf^j(x)x^j−1)

! x^2m−1

−

m−1

X

j=0

c_j,m−1f^(j)(x)x^j

!

(2m − 1)x^2m−2

#

= 1 x^2m

" _m−1 X

j=0

c_j,m−1(f^(j+1)(x)x^j+ jf^j(x)x^j−1)

! x

−

m−1

X

j=0

c_j,m−1f^(j)(x)x^j

!

(2m − 1)

#

= 1 x^2m

m

X

j=0

c_j,mf^(j)(x)x^j.

Con todo lo anterior podemos concluir 

   Z

R

e^iλx2f (x)dx    

= 1

(2λ)^m     Z

R

e^iλx2D^mf (x)dx    

≤ A λ^m

Z

ε≤|x|≤M

1

|x|^2m

m

X

j=0

|f^(j)(x)x^j|dx

≤ A λ^m

Z

|x|≥ε

1

|x|^2m−ldx

≤ A λ^m

1

ε^2m−l−1, m ∈ N, m > (l + 1)/2, (14) para cierta constante A > 0 que no depende de ε. En la penúltima desigualdad hemos aplicado

|f^(j)(x)x^j| . |x|^l, ε ≤ |x| ≤ M, j ∈ N.

Para justificar esta acotación basta aplicar la regla de derivación de Leibniz

|x^jf^(j)(x)| =     

x^j

j

X

β=0

 j β



(x^l)^(j−β)(η(x)[1 − α(x/ε)])^(β)      .|x|^l

j

X

β=0

|x|^β     

β

X

γ=0

β γ



η^(β−γ)(x)[1 − α(x/ε)]^(γ)      .|x|^l

j

X

β=0

|x|^β 2 +

β

X

γ=1

χ_[ε,2ε](x)|α^(γ)(x/ε)|

ε^γ

!

.|x|^l

j

X

β=0

|x|^β 2 +

β

X

γ=1

|x|^−γ

!

.|x|^l, ε ≤ |x| ≤ M, j ∈ N.

Juntando (13) y (14), 

   Z

R

e^iλx2x^lη(x)dx    

≤ A



ε^l+1+ 1 λ^m

1 ε^2m−l−1



, m > (l + 1)/2.

Elegimos ε > 0 minimizando la expresión anterior, es decir, ε^l+1 = 1

λ^m 1 ε^2m−l−1. Esto se consigue tomando ε = λ^−1/2. Probamos así (12).

Veamos cómo obtener la expansión asintótica en el caso general.

PASO 3:

Z

R

e^iλx2ψ(x)dx ∼

∞

X

j=0

a_j λ^(j+1)/2

Sea ˜ψ ∈ C₀^∞(R) de manera que ˜ψ(x) = 1, x ∈ sop(ψ). Podemos escribir Z

R

e^iλx2ψ(x)dx = Z

R

e^iλx2e^−x2[e^x2ψ(x)] ˜ψ(x)dx.

Fijamos N ∈ N y consideramos el desarrollo de Taylor de la función e^x2ψ(x)

e^x2ψ(x) =

N

X

l=0

b_lx^l+ x^{N +1}R_N(x) = P_N(x) + x^{N +1}R_N(x), x ∈ sop(ψ).

Sustituyendo en lo anterior conseguimos Z

R

e^iλx2ψ(x)dx =

N

X

l=0

b_l Z

R

e^iλx2x^le^−x2dx + Z

R

e^iλx2P_N(x)e^−x2[ ˜ψ(x) − 1]dx

+ Z

R

e^iλx2x^{N +1}R_N(x)e^−x2ψ(x)dx˜

=I₁(λ) + I₂(λ) + I₃(λ).

Estudiamos cada una de estas integrales por separado. En virtud del PASO 1, es claro que

I₁(λ) =

N

X

l=0

b_l

N

X

m=0

C_m(l)

λ^m+(l+1)/2 + O

 1

λN +1+(l+1)/2

!

=

N

X

l=0 N

X

m=0

b_l C_m(l)

λ^m+(l+1)/2 + O

 1

λ^{(N +2)/2}



=

3N

X

j=0

a_j

λ^(j+1)/2 + O

 1

λ^{(N +2)/2}



=

N

X

j=0

a_j

λ^(j+1)/2 + O

 1

λ^{(N +2)/2}



, λ → ∞,

siendo

a_j = X

l,m=0,...,N, 2m+l=j

b_lC_m(l), j = 0, . . . , 3N.

Por ser P_N(x)e^−x2[ ˜ψ(x) − 1] una función de la clase de Schwartz que se anula en un en- torno del origen, podemos integrar por partes I₂(λ) cuantas veces deseemos (ver Proposi- ción 2.1). En particular, integrando N + 1 veces por partes se tiene

I₂(λ) = O

 1 λ^{N +1}



= O

 1

λ^{(N +2)/2}



, λ → ∞.

Por último, el PASO 2 nos dice que I₃(λ) = O

 1

λ^{(N +2)/2}



, λ → ∞,

puesto que R_N(x)e^−x2ψ(x) ∈ C˜ ₀^∞(R).

La cota del error (7) cuando r ≥ 1 se puede comprobar fácilmente usando (11) en I₁, integrando por partes N + r + 1 veces en I₂, y usando el paso 2 con l = N + 1 + 2r en I₃.

Finalmente, analizamos la situación de fase no cuadrática.

PASO 4:

Z

R

e^iλφ(x)ψ(x)dx ∼

∞

X

j=0

aj

λ^(j+1)/2

Ya que por hipótesis sabemos que φ(x₀) = φ⁰(x₀) = 0 y φ⁰⁰(x₀) 6= 0, el desarrollo de Taylor de φ en x0 nos queda

φ(x) =φ⁰⁰(x₀)

2 (x − x₀)²+ O(|x − x₀|³)

=φ⁰⁰(x₀)

2 (x − x₀)²[1 + ε(x)], x → x₀,

siendo ε(x) = O(|x − x0|), x → x0. Elegimos Ux0 un entorno de x0 lo suficientemente pequeño para que se verifique

|ε(x)| < 1, x ∈ U_x0, y φ⁰(x) 6= 0, x ∈ U_x0 \ {x₀}.

Suponemos además que sop(ψ) ⊂ U_x0. De esta manera, la aplicación x 7−→ y =

rφ⁰⁰(x₀)

2 (x − x₀)[1 + ε(x)]^1/2

es un difeomorfismo que aplica U_x0 en un entorno del origen que llamamos V₀. También es claro que φ(x) = y². Haciendo este cambio de variables obtenemos

Z

R

e^iλφ(x)ψ(x)dx = Z

U_x0

e^iλφ(x)ψ(x)dx

=2 Z

V0

e^iλy2ψ φ⁻¹ y²

y

φ⁰(φ⁻¹(y²))dy

= Z

R

e^iλy2ψ(y)dy,¯ siendo ¯ψ ∈ C₀^∞(R) la función dada por

ψ(y) = 2ψ φ¯ ⁻¹ y²

y

φ⁰(φ⁻¹(y²)), y ∈ V₀, y que se anula fuera de V0.

Los cambios de variables introducidos nos permiten pasar de la integral oscilatoria con fase φ a una integral oscilatoria cuya fase es cuadrática, que ya estudiamos en el PASO 3.

Si analizamos con detalle la prueba del Teorema 3.1 vemos que las constantes aj, j ∈ N, que aparecen en la expansión asintótica (6) dependen únicamente de un número finito de derivadas de φ y ψ en el punto x₀. En particular, si k = 2,

a₀ =Γ(1/2)b₀c₀(0) = Γ(1/2)[e^y2ψ(y)]_y=0[(z − i)^−1/2]_z=0

=

 2π

−iφ⁰⁰(x₀)

1/2

ψ(x₀), (15)

porque la regla de L’Hôpital nos dice que

y→0l´ımψ(y) =2ψ(x₀)



x→xl´ım0

φ(x) φ⁰(x)²

1/2

= 2ψ(x₀)



x→xl´ım0

φ⁰(x) 2φ⁰(x)φ⁰⁰(x)

1/2

=

 2

φ⁰⁰(x₀)

1/2

ψ(x₀).

Según comentamos en el PASO 1, también se tiene que a_j = 0, para todo j impar, pues Z

R

e^iλx2x^le^−x2dx = 0, l impar, y j = 2m + l, l, m ∈ N.

Usando técnicas similares a las empleadas en la prueba del teorema anterior estable- cemos el siguiente desarrollo asintótico que será de gran utilidad en la próxima sección.

Proposición 3.2. Sea ψ ∈ C₀^∞(R) y µ > −1. Entonces, Z ∞

0

e^iλxψ(x)x^µdx ∼

∞

X

j=0

αj

λ^j+1+µ, siendo

α_j = i^j+1+µΓ(j + 1 + µ)

j! ψ^(j)(0), j ∈ N.

Observar que esta integral oscilatoria tiene fase no estacionaria y ψ no es necesaria- mente nula en el origen. Este ejemplo sirve para ilustrar el comentario que sigue a la Proposición 2.1. También es importante resaltar que los coeficientes que se obtienen en este desarrollo son explícitos, y esto no siempre es fácil de obtener como apreciamos en el Teorema 3.1.

Demostración. Fijamos N ∈ N y ˜ψ ∈ C₀^∞(R) verificando ˜ψ(x) = 1, x ∈ sop(ψ). Suponemos cierto

(a) l´ım

ε→0⁺

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxx^νdx = i^ν+1Γ(ν + 1)

λ^ν+1 , ν > −1, (b) sup

ε>0

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxx^ν( ˜ψ(x) − 1)dx    

= O

 1 λ^M



, λ → ∞, ν > −1, M ∈ N, M > ν + 1,

(c) Z ∞

0

e^iλxx^νη(x)dx = O

 1 λ^ν+1



, λ → ∞, ν > −0, η ∈ C₀^∞(R), y escribimos el desarrollo de Taylor de la función ψ al nivel N

ψ(x) =

N

X

j=0

ψ^(j)(0)

j! x^j + x^{N +1}R_N(x), x ∈ sop(ψ).

En virtud del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, se tiene que Z ∞

0

e^iλxψ(x)x^µdx = l´ım

ε→0⁺

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxψ(x)x^µψ(x)dx˜

=

N

X

j=0

ψ^(j)(0) j!

 l´ım

ε→0⁺

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxx^µ+jdx + l´ım

ε→0⁺

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxx^µ+j[ ˜ψ(x) − 1]dx



+ Z ∞

0

e^iλxx^{µ+N +1}R_N(x) ˜ψ(x)dx

=I1(λ) + I2(λ) + I3(λ).

Haciendo uso de (a) conseguimos

I₁(λ) =

N

X

j=0

ψ^(j)(0) j!

i^j+1+µΓ(j + 1 + µ)

λ^j+1+µ =

N

X

j=0

α_j λ^j+1+µ, y por ser el límite menor o igual que el supremo, (b) nos dice que

I₂(λ) =O

 1

λ^{N +2+µ}



, λ → ∞.

Finalmente, por (c) obtenemos I₃(λ) =O

 1

λ^{N +2+µ}



, λ → ∞.

pues R_N(x) ˜ψ(x) ∈ C₀^∞(R).

En resumen, hemos visto Z ∞

0

e^iλxψ(x)x^µdx −

N

X

j=0

α_j

λ^j+1+µ = O

 1

λ^{N +2+µ}



, λ → ∞, N ∈ N,

como queríamos.

Falta por comprobar las propiedades (a), (b) y (c). Para calcular la integral que aparece en (a) podríamos proceder por residuos, igual que hicimos en el PASO 1 del Teorema 3.1.

Sin embargo, vamos a seguir un camino más directo. Sea z > 0. Es claro que Z ∞

0

e^−zxx^νdx =Γ(ν + 1)

z^ν+1 ν > −1.

Como las funciones que aparecen a ambos lados de la igualdad anterior son holomorfas cuando <z > 0, y coinciden en el semieje real positivo, aplicando el principio de prolon- gación analítica terminamos. En efecto,

l´ım

ε→0⁺

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxx^νdx = l´ım

ε→0⁺

Z ∞ 0

e^{−(ε−iλ)x}x^νdx = l´ım

ε→0⁺

Γ(ν + 1)

(ε − iλ)^ν+1 = i^ν+1Γ(ν + 1) λ^ν+1 . Veamos ahora (b). Sea ε > 0, ν > −1 y M ∈ N, con M > ν + 1. Integrando M veces por partes sigue que

Z ∞ 0

e^iλxe^−εxx^ν( ˜ψ(x) − 1)dx    

= 1

| − ε + iλ|^M    

Z ∞ 0

d^M

dx^M(e^(−ε+iλ)x)x^ν( ˜ψ(x) − 1)dx    

= 1

| − ε + iλ|^M    

Z ∞ 0

e^(−ε+iλ)x d^M

dx^M(x^ν( ˜ψ(x) − 1))dx    

. 1

(ε²+ λ²)^M/2 ≤ 1 λ^M.

Observar que no aparecen los términos de frontera al integrar por partes porque en x = ∞ se anulan por el factor e^−εxy en un entorno del origen la función ˜ψ(x)−1 es idénticamente cero. Detallamos la acotación de la última integral. Elegimos δ > 0 de manera que sop( ˜ψ − 1) ⊂ (δ, ∞). Se tiene que

Z ∞ 0

e^(−ε+iλ)x d^M

dx^M(x^ν( ˜ψ(x) − 1))dx    .

Z ∞ δ

x^ν−Mdx + Z ∞

δ M −1

X

j=0

x^ν−jψ˜^{(M −j)}(x)dx . 1,

porque M > ν + 1 y la segunda integral también es finita pues ˜ψ tiene soporte compacto.

Por último (c) es consecuencia del PASO 2 del Teorema 3.1. Tomamos ν > 0 y η ∈ C₀^∞(R). Basta hacer el cambio de variables x = y²,

Z ∞ 0

e^iλxx^νη(x)dx =2 Z ∞

0

e^iλy2y^2ν+1η(y²)dy

=2 Z

R

e^iλy2y^2ν+1η(y)dy = O˜

 1 λ^ν+1



, λ → ∞,

siendo ˜η(y) = η(y²)χ_[0,∞)(y) una función de soporte compacto, continua y con cualquier derivada continua salvo quizás en el origen, pero esto es irrelevante.

3.2. Contexto multidimensional

Nos proponemos ahora obtener un desarrollo asintótico de una integral oscilatoria con fase estacionaria en dimensión n, n > 1. En Rⁿ se puede seguir una estrategia análoga a la de la sección anterior, pero preferimos dar un método directo, con interés en sí mismo, usando el teorema de Plancherel.

En el Teorema 3.1 la clave fue determinar el comportamiento de dicha integral cuando la fase es cuadrática, esto es, φ(x) = x², x ∈ R. Estudiamos en primer lugar el análogo n-dimensional , es decir, veremos que ocurre cuando

φ(x) = hT x, xi, x ∈ Rⁿ, siendo T una matriz invertible, real y simétrica.

Si f ∈ L¹(Rⁿ) denotamos, como es habitual, bf a la transformada de Fourier de f , es decir,

f (ξ) =b Z

Rⁿ

e^−2πix·ξf (x)dx, ξ ∈ Rⁿ.

Comenzamos calculando la siguiente transformada de Fourier que necesitaremos en la prueba del Teorema 3.4.

Lema 3.3. Sea T una matriz de dimensión n×n, invertible, real, simétrica y con signatura σ. Si llamamos

G_T(x) = e^{−πihT x,xi}, x ∈ Rⁿ,

entonces la transformada de Fourier distribucional de G_T viene dada por

Gb_T = e^−πiσ/4

|det T |^1/2G_−T⁻¹.

Recordamos que la signatura σ de la matriz T es la cantidad σ = σ₊ − σ−, donde σ₊ y σ− denotan respectivamente el número de autovalores positivos y negativos de T , contados según su multiplicidad.

Demostración. Ya que |G_T(x)| = 1, x ∈ Rⁿ, es claro que G_T ∈ L/ ¹(Rⁿ). Sin embargo, se verifica

G_T ∈ L¹_loc(Rⁿ),

Z

Rⁿ

(1 + |x|)^−N|G_T(x)|dx < ∞, N > n.

Es decir, G_T es una función atemperada o de crecimiento lento. Luego, L_GT(ϕ) =

Z

Rⁿ

G_T(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rⁿ),

define una distribución atemperada. Para calcular la transformada de Fourier de G_T debemos encontrar una función, que llamamos cG_T, verificando

Z

Rⁿ

G_T(x)ϕ(x)dx =b Z

Rⁿ

Gc_T(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rⁿ). (16)

CASO n = 1

Sea t ∈ R \ {0} y σ = sgn(t). Debemos ver que Z ∞

0

e^−πitx2ϕ(x)dx =b e^−πiσ/4

|t|^1/2 Z ∞

0

e^πix2/tϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rⁿ). (17) Si llamamos z = it, se tiene que e^−πiσ/4|t|^−1/2 = z^−1/2. Luego (17) equivale a probar

Z ∞ 0

e^−πzx2ϕ(x)dx =b 1

√z Z ∞

0

e^−πx2/zϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rⁿ), (18) cuando z es un número imaginario puro. Como ambos términos en (18) son funciones holomorfas en {z ∈ C : <z > 0}, y continuas en {z ∈ C : <z ≥ 0, z 6= 0} en virtud del principio de prolongación analítica para probar que son iguales basta hacerlo en un subconjunto de esta región que tenga puntos de acumulación. Veamos entonces que (18) se verifica en el semieje real positivo.

Definimos la función f (x) = e^−πx2, x ∈ R. Es bien conocido que f = bf (véase [14, Proposición 8.24, p. 251]). Además, por ser f una función integrable, se tiene cL_f = L

fb. Esto prueba la relación (18) para z = 1.

Supongamos ahora z > 0. Definimos la función g(x) = e^−πzx2, x ∈ R. Por ser g también integrable, para demostrar (18) basta comprobar que

bg(ξ) = 1

√ze^−πξ2/z, ξ ∈ R,

y esto es inmediato a partir de las propiedades de la transformada de Fourier.

CASO n ≥ 2

Es suficiente probar (16) para matrices diagonales. En efecto, sea T una matriz real simétrica y no degenerada. Podemos escribir T = U SU⁻¹, siendo S una matriz diagonal y U ortogonal ([5, (178), p. 359]). Es claro que U⁻¹ = U^t, det U = 1, det T = det S y las signaturas de T y S coinciden. Además,

\ϕ ◦ U (ξ) = | det U |⁻¹ϕ((Ub ⁻¹)^tξ) = (ϕ ◦ U )(ξ),b ϕ ∈ S(Rⁿ).

Luego, Z

Rⁿ

G_T(x)ϕ(x)dx =b Z

Rⁿ

e^{−πihU SU−1x,xi}ϕ(x)dx =b Z

Rⁿ

e^{−πihSU−1x,U−1xi}ϕ(x)dxb

= | det U | Z

Rⁿ

e^−πihSy,yiϕ(U y)dy =b Z

Rⁿ

e^−πihSy,yi\ϕ ◦ U (y)dy

= Z

Rⁿ

G_S(y)\ϕ ◦ U (y)dy = Z

Rⁿ

Gc_S(y)ϕ(U (y))dy

= e^−πiσ/4

| det S|^1/2 Z

Rⁿ

G−S⁻¹(y)ϕ(U (y))dy

= e^−πiσ/4

| det T |^1/2 Z

Rⁿ

e^{πihS−1y,yi}ϕ(U (y))dy

= | det U⁻¹| e^−πiσ/4

| det T |^1/2 Z

Rⁿ

e^{πihS−1U−1x,U−1xi}ϕ(x)dx

= e^−πiσ/4

| det T |^1/2 Z

Rⁿ

e^{−πih−T−1x,xi}ϕ(x)dx = Z

Rⁿ

Gc_T(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rⁿ).

Supongamos entonces que T es una matriz diagonal, T = diag{t1, . . . , t_n}. Llamamos σ_j = sgn(t_j), j = 1, . . . , n. Es claro que

σ =

n

X

j=1

σ_j y det T =

n

Y

j=1

t_j.

Probamos en primer lugar (16) en un contexto más sencillo. Imponemos que ϕ(x) sea tensorial, es decir,

ϕ(x) = ϕ1(x1) · · · ϕn(xn), x = (x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ. Entonces,

Z

Rⁿ

GT(x)ϕ(x)dx =b Z

Rⁿ

e

−πi

n

P

j=1

tjx²_jZ

Rⁿ

e^−2πix·ξϕ(ξ)dξ

 dx

= Z

Rⁿ

e

−πi

n

P

j=1

tjx²_j n

Y

j=1

Z

Rⁿ

e^−2πixjξjϕ_j(ξ_j)dξ_j

! dx

= Z

Rⁿ

e

−πiPⁿ

j=1

tjx²_j n

Y

j=1

cϕ_j(x_j)dx =

n

Y

j=1

Z ∞ 0

e^−πitjx2jcϕ_j(x_j)dx_j

=

n

Y

j=1

e^−πiσj/4

|tj|^1/2 Z ∞

0

e^πix2j/tjϕ_j(x_j)dx_j = e^−πiσ/4

| det T |^1/2 Z

Rⁿ

e^{−πih−T−1x,xi}ϕ(x)dx

= Z

Rⁿ

GcT(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ S(Rⁿ).

Por último debemos estudiar qué ocurre cuando ϕ ∈ S(Rⁿ) no es tensorial. Dado ϕ ∈ S(Rⁿ) no es difícil probar que existe una sucesión {ϕ_k}_k∈N, donde para cada k ∈ N, ϕ_k es combinación lineal de funciones tensoriales de C₀^∞(Rⁿ), verificando

ϕ_k−→ ϕ, k → ∞, en S(Rⁿ),

(véase [34, Proposición 2.1’, p. 9]). Por ser la transformada de Fourier un operador continuo de S(Rⁿ) en sí mismo, también podemos escribir

ϕb_k −→ϕ,b k → ∞, en S(Rⁿ).

Además, si f es una función temperada, el funcional L_f es continuo en S(Rⁿ). Con todo esto, sigue que

L_eπihT −1·,·i(ϕ_k) −→ L_eπihT −1·,·i(ϕ), k → ∞, en S(Rⁿ).

y

L_e^{−πihT ·,·i}(ϕb_k) −→ L_e^{−πihT ·,·i}(ϕ),b k → ∞, en S(Rⁿ).

Finalmente, aplicamos que Z

Rⁿ

e^{−πihT x,xi}ϕb_k(x)dx = e^−πiσ/4

| det T |^1/2 Z

Rⁿ

e^{πihT−1x,xi}ϕb_k(x)dx, k ∈ N,

por ser ϕ_k, k ∈ N, una función tensorial. La unicidad del límite permite concluir esta prueba.

Teorema 3.4. Sea ψ ∈ S(Rⁿ) y T una matriz real, simétrica, invertible y con signatura σ. Entonces,

I(λ) = Z

Rⁿ

e^{iλhT x,xi}ψ(x)dx

= π^n/2e^πiσ/4

λ^n/2| det T |^1/2 ψ(0) +

N

X

j=1

Djψ(0) λ^j + O

 1 λ^{N +1}

!

, λ → ∞, N ∈ N,

siendo D_j, j ∈ N, un operador diferencial de orden 2j, homogéneo de coeficientes cons- tantes que depende únicamente de T ; y las demás constantes implícitas dependen sólo de T y de un número finito de seminormas de la clase de Schwartz de ψ.

Demostración. Fijamos N ∈ N. En virtud del teorema de inversión de Fourier sabemos que bˆψ(y) = ψ(−y), c.t. y ∈ Rⁿ. Además, por ser ψ ∈ S(Rⁿ), el Lema 3.3 nos permite escribir

I(λ) = Z

Rⁿ

e^{iλhT x,xi}ψ(x)dx = Z

Rⁿ

e−πih(−λ/πT )y,yi

ψ(−y)dy

= Z

Rⁿ

e−πih(−λ/πT )y,yiψ(y)dy =bˆ π^n/2e^πiσ/4 λ^n/2| det T |^1/2

Z

Rⁿ

e^{−π2/λihT−1ξ,ξi}ψ(ξ)dξ,b λ > 0.

Desarrollamos ahora la función exponencial que aparece en el integrando por Taylor,

e^{−π2/λihT−1ξ,ξi}=

N

X

j=0

(−π²ihT⁻¹ξ, ξi)^j

j!λ^j + O |hT⁻¹ξ, ξi|^{N +1} λ^{N +1}



=

N

X

j=0

(−π²ihT⁻¹ξ, ξi)^j

j!λ^j + O |ξ|^{2N +2} λ^{N +1}



, ξ ∈ Rⁿ, λ → ∞.