LECCIONES DEL
CURSO DE MODELACIÓN
MATEMÁTICA Y COMPUTACIONAL
POSGRADOS DE
CIENCIAS DE LA TIERRA Y DE
CIENCIA E INGENIERÍA DE LA COMPUTACIÓN
UNAM AUTOR:
ISMAEL HERRERA REVILLA
1
Basado en el Libro
‘‘Mathematical Modeling in Science and Engineering:
An Axiomatic Approach’’
Por
Ismael Herrera y George F. Pinder
3
John Wiley 2012
LECCIÓN 1
FORMULACIÓN AXIOMÁTICA DE
LOS MODELOS BÁSICOS
CAPÍTULO 1, SECCIÓN 1
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
5
FÍSICA MICROSCÓPICA Y
FÍSICA MACROSCÓPICA
EN ESTE CURSO VAMOS ESTUDIAR
FÍSICA MACROSCÓPICA
7
LA REALIDAD
Y
LOS MODELOS
EN ESTE CURSO VAMOS ESTUDIAR MODELOS
DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
9
MECÁNICA DE LOS MEDIOS
CONTINUOS
TEMA 1.
CINEMÁTICA DE LOS
SISTEMAS CONTINUOS MONOFÁSICOS
11
LAS PARTÍCULAS MATERIALES
13
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS MONOFÁSICOS:
Los puntos del espacio físico se denotarán por medio
de su vector de posición. Para ellos se reserva la notación Los sistemas continuos de una fase, sat
x isfacen la
siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico hay una y sólo una partícula material"
Las patículas materiales están en movimiento
¿CÓMO IDENTIFICAMOS LAS PARTÍCULAS?
15
Una forma de identificar a las partículas materiales es por medio de la posición que ocupan en algún tiempo, llamado
. A menos que se diga otra cosa, el tiempo de referencia será
tiempo de referencia
t = 0. Así, las partículas se denotarán por medio del vector , el cual corresponde al vector de posición del punto del espacio físico que ellla ocupaba en el tiempo t = 0
LA FUNCIÓN DE POSICIÓN
17
Cuando una partícula material está en movimiento describe su propia trayectoria. Es decir, su posición es función del tiempo. Dada la
partícula , escribiremos p , para el vector de la posición que elt la ocupa en el espacio físico, en el tiempo . Con la notación que hemos adoptado es claro que el punto del espacio físico está ocupado por la partícula , en el tiempo , si y sólo si,
t x
t
, (ver Fig.1.1)
Además :
, 0 x p t ----
p
1
¿DADO UN PUNTO EN EL ESPACIO, QUÉ PARTÍCULA ESTÁ AHÍ?
La partícula se encuentra en el punto del espacio físico, en el tiempo , si y sólo si,
, (ver Fig.1.2)
Aquí,
x
x t
p x t ----
1 es la función inversa de .
p p
LOS CUERPOS MATERIALES
19
Un cuerpo material es un conjunto de partículas que en cada instante ocupa un dominio del espacio físico
en el sentido matemático . Además, en cada dominio del espacío físico hay un cuerpo material
Los cuerpos materiales llenan completamente el espacio que ocupan
El conjunto de partículas materiales que forman un
cuerpo se denota por y el dominio del espacio físico que él ocupa en el tiempo , pt
B
or B . Así, con las convenciones que hemos adoptados, se tiene:
B 0 t
B
21
23
PROPIEDADES DE LAS PARTÍCULAS:
PROPIEDADES INTENSIVAS
DEFINICIÓN
Toda función , de las partículas materiales y del tiempo constituye una .
OBSERVACIÓN. En general, los valores de la función pueden ser r
t
propiedad intensiva
eales o vectores. Es decir, las pueden ser reales o
vectoriales. En lo que sigue se consideran ambos casos.
propiedades intensivas
25
Considere una , y un punto del espacio físico.
Si en el punto hay una partícula material , entonces se satisface = ,
Esta ecuación es equvale
propiedad intensiva t x
x
x p t
1
1
nte a = ,
y el valor de la propiedad intensiva en el punto del espacio físico es
, , . Definimos la de propiedad intensiva
conisdereda p
p x t
x
p x t t representación Eulereana
1
or :
, , , En conclusión : La
permite calcular el valor de esa propiedad en cada punto del espacio físico.
Por
x t p x t t
'representación Eulereana de una propiedad intensiva'
otra parte, a la función , se le llamará
y obervamos que esta última permite calcular el valor de esa propiedad en cada partícula del medio c
t 'representación Lagrangeana de la propiedad intensiva'
ontinuo.
VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS
27
DEFINICIÓN
, ,
La velocidad es una propiedad intensiva (vectorial).
Esta definición proporciona su representación Lagrangeana. Su representa
V t p t t
1ción Eulereana es :
, , , OBSERVE LA NOTACIÓN
x t V p
x t t
v
PROPIEDADES DE LOS CUERPOS:
PROPIEDADES EXTENSIVAS
PROPIEDADES DE LOS CUERPOS
29
PROPIEDADES EXTENSIVAS Una noción básica es el concepto de
:
Toda propiedad de un cuerpo, , , que se puede expresar como una integral sobre el dominio del espacio físico qu
'propiedad extensiva'
E t
B t B
e ocupa tal cuerpo, constituye una En tal caso,
, , Aquí, , es el integrando.
B t
propiedad extensiva.
E t x t d x
x t
B
Una noción básica es el concepto de
para las cuales usaremos la notación : , . Note que esta notación implica que el valor de depende del cuerpo y del tiempo
'propiedad extensiva'
E t
E B
B
. La condición para que una función , constituya una
es que se pueda expresar como una integral con respecto al volumen sobre el espacio físico ocupado por el cuerpo. La expres
t
E t propiedad
extensiva
B
ión matemática de esta condición es : E B,t
x t d x,31
RELACIONES ENTRE PROPIEDADES
INTENSIVAS Y EXTENSIVAS
, ,
E t
B t x t d xA TODA PROPIEDAD EXTENSIVA LE CORRESPONDE UNA
INTENSIVA, CUYA ES
EL INTEGRANDO DE SU EXPRESIÓN INTEGRAL. ADEMÁS, ESTA CORRESPONDENCIA ES BIUNÍVO
REPRESENTACIÓN EULEREANA
B
CA.
33
La ecuación :
, ,
establece una correspondencia entre propiedades extensivas e intensivas. Además, esa correspondencia es biunívoca y la ecuación
lim li
, 0
E t B t x t d x E
x t E t
Vol Vol
B
,m
0
nos dice que la asociada es la propiedad extensiva por unidad de volumen del espacio físico
B t y t d y
Vol Vol
propiedad intensiva
RAPIDEZ DE CAMBIO DE PROPIEDADES INTENSIVAS
LA ‘‘ DERIVADA MATERIAL’’
35
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada con respecto al tiempo) del valor de una en una partícula , cuando se usa
la es :
rapidez de cambio
propiedad intensiva representación Lagrangeana
t
,Cuando se usa la , dicha
está dada por la ' ', que se define por : +
Con mayor precisión, cuando la t
representación Eulereana rapidez de cambio derivada material
D
Dt t
deriva
v
, se evalúa en , se obtiene la de la propiedad intesiva en la partícula material que se encuentra en la posición , en el tiempo . Note que
da material D x t
Dt rapidez de cambio
x t
D x
Dt
,t
x t, +
x t,t
v
RAPIDEZ CAMBIO DE
PROPIEDADES EXTENSIVAS
DEBIDO A UN RESULTADO MATEMÁTICO
37
La ‘‘ ’’ (es decir, la derivada con respecto al tiempo) de una propiedad
extensiva,
,
Está dada por
B t
B t
rapidez de cambio
E t x t d x
dE t d x
dt t
v
LA RAPIDEZ DE CAMBIO DE UNA PROPIEDAD EXTENSIVA ES OTRA PROPIEDAD EXTENSIVA
LA PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A LA
"RAPIDEZ E CAMBIO" ES :
t
v
EJERCICIO 1
39
1 2 3
Demostrar la identidad :
, , + , ,
Aquí :
, Además
, , , , , ,
t x t x t x t
t t
x p t
x t x t x t x t
x x x
v
ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS MATERIALES:
REPRESENTACIONES LAGRANGEANA Y EULEREANA
2 2
La aceleración de las partículas se define por :
, ,
Su representación Eulereana es
, , ,
A t p t
t
a x t D x t x t
Dt t
v v
v v
EJERCICIO 2
41
2
Demostrar la identidad :
, , + , ,
Cuando
, Además
, , + 1 , , ,
2
A t x t x t x t
t
x p t
a x t x t x t x t x t
t
v v v
v v v v
SECCIÓN 2 DE LA LECCIÓN 1
ECUACIONES DE BALANCE
BALANCES ECONÓMICOS
43
¿Por qué cambia la existencia de automóviles en nuestro país?
E P I
RESPUESTA
PORQUE SE PRODUCEN EN SU INTERIOR O SE IMPORTAN POR LA
FRONTERA
AXIOMA FUNDAMENTAL DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA
45
PREGUNTA : ¿Por qué cambia el valor de una propiedad extensiva de un cuerpo?
RESPUESTA : Porque se producen en su interior o se importan por la frontera
dE P I
dt
EXPRESIÓN MATEMÁTICA DEL AXIOMA FUNDAMENTAL
, ,
B t B t
dE t g x t dx q x t dx
dt
OTRA EXPRESIÓN PARA EL FLUJO POR LA FRONTERA
47
El flujo por la frontera , , siempre admite la expresión :
, , ,
Éste es un resultado matemático.
q x t
q x t = x t n x t
APLICACIÓN DEL
TEOREMA DE GAUSS
B t
,
B t B tq x t dx ndx dx
OTRA EXPRESIÓN MATEMÁTICA DEL AXIOMA FUNDAMENTAL
49
A ECUACIÓN
SE REMPLAZA POR
L
, ,
, ,
B t B t
B t
dE t g x t dx q x t dx
dt
dE t g x t x t dx
dt
CONCLUSIÓN:
A PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A LA "RAPIDEZ DE CAMBIO" DE LA PROPIEDAD EXTENSIVA ES IGUAL A :
L
, ,
g x t x t
EXPRESIÓN DEL BALANCE
EN TÉRMINOS DE LA
PROPIEDAD INTENSIVA
51
ECUACIÓN DE BALANCE EN TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA
La ecuación de balance se satisface si y solo si :
g
t
v
EJEMPLO: FORMULACIÓN DE RESTRICCIONES EN EL
MOVIMIENTO
53
PRIMER EJEMPLO
MOVIMIENTOS QUE CONSERVAN
EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
LA CONDICIÓN ES:
LA RAPIDEZ DE CAMBIO DEL
VOLUMEN ES CERO
55
PRIMER CASO
UN FLUIDO LIBRE
57
El volumen de un cuerpo de fluido libre está dado por
1
Por lo mismo es una propiedad extensiva y la propiedad intensiva asociada es :
, 1
Vol t
B tdx
x t
LA ECUACIÓN DE BALANCE PARA EL VOLUMEN
, ,
Donde .
La conservación del volumen da : 0
B t B t
f
dE t g x t dx q x t dx
dt
E V
dVol t dt
ECUACIÓN DE BALANCE EXPRESADA EN
TÉRMINOS DE LA PROPIEDAD INTENSIVA ES
59
Para el volumen 1, 0 :
1 1 0
Es la condición de incompresibilidad para un fluido libre
t g
g
t
v
v v
SEGUNDO CASO
CONDICIÓN DE INCOMPRESIVIDAD
DE UN
FLUIDO EN UN MEDIO POROSO
61
PARA FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
(SATURADOS)
En este caso, el volumen del fluido es
,
La propiedad intensiva asociada es : , ,
En este caso : g , 0 y , 0. Y la ecuación de balance se reduce a
f B t
V t x t dx
x t x t
x t x t
SECCIÓN 3 DE LA LECCIÓN 1
MODELO GENERAL DE LOS SISTEMAS CONTINUOS
63
EL MODELO GENERAL DE LOS
SISTEMAS MULTIFÁSICOS DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
ALCANCES
El modelo general de los sistemas de la Física Macroscópica que se presenta a continuación, abarca tanto sistemas de una fase -con una o varias componentes- como sistemas de varias
‘fases’ en cada una de las cuales puede haber también más de una ‘componente’
65
¿QUÉ SON LAS FASES?
¿QUÉ SON LAS COMPONENTES?
¿QUÉ SON LAS FASES?
Cada fase se mueve con su propia velocidad
67
¿QUÉ SON LAS COMPONENTES?
Las componentes son las
sustancias disueltas. Cada
componente se mueve con la
velocidad de la fase en que está
disuelta
69
CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS MULTIFÁSICOS
Los modelos continuos multifásicos, satisfacen la
siguiente hipótesis: "En cada punto del espacio físico, hay tantas partículas materiales como fases tiene
el sistema"
Un cuerpo material es un conjunto de partículas que en cada instante ocupa un dominio en el sentido matemático del espacio físico. En cada dominio del espacío físico hay
tantos cuerpos mat
eriales como fases tiene el sistema (un cuerpo de cada fase)
Se usará la notación para el cuerpo de la fase el
cual, en el tiempo , ocupa el dominio B del espacio físico;
1,..., número de f
t t
M
B
ases
1
:
;
,..., N : ; Cada sistema multifásico está definido por
Una familia de fases M número de fases
Una familia de propiedades extensivas E E
Cada una de las propiedades extensivas está asociada a un
; a y sólo una fase y
Cada fase se mueve con su propia velocidad
FORMA DE DEFINIR LOS MODELOS DE LA
FÍSICA MACROSCÓPICA
71
EL MODELO BÁSICO DE LA FÍSICA MACROSCÓPICA
El ‘modelo matemático básico’ del sistema está
constituido por el sistema de ecuaciones
diferenciales parciales que se obtiene al aplicar
la ecuación general de balance, expresada en
términos de la propiedad intensiva asociada, a
cada uno de los miembros de la familia de
propiedades extensivas
ECUACIONES DE BALANCE PARA UNA PROPIEDAD INTENSIVA (RECORDATORIO)
g
t
v
73
RECORDATORIO
SIGNIFICADO DE g Y DE
B t
,
B tdE t g x t dx ndx
dt
MODELO MATEMÁTICO BÁSICO
ESTÁ CONSTITUIDO POR LAS
CONDICIONES DE BALANCE DE CADA UNA DE LAS PROPIEDADES INTENSIVAS
(N en total)
75
EL MODELO GENERAL DE LOS
SISTEMAS FÍSICOS MACROSCÓPICOS
, 1,...,
es número de propiedades propiedades (o
Las "ecuaciones diferenciales"
g N
t
N extensivas
inte
