ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD (g)
Es aquella aceleración con la cual caen los cuerpos.
Su valor depende íntegramente del lugar en que se tome.
En la superficie terrestre esta aceleración no es constante, esto se debe a que la tierra no es perfectamente esférica y además posee superficies accidentadas.
Sin embargo se considera como valor promedio al nivel del mar:
g = 9.8 m/s² g = 32.2 ft/s²
Es bien sabido que, en ausencia de resistencia del aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad de la Tierra. No fue sino hasta alrededor de 1600 que se aceptó esta conclusión. Antes de esta época, las enseñanzas del filósofo griego Aristóteles (384–322 a.C.) sostenían que los objetos más pesados caían más rápido que los ligeros.
El italiano Galileo Galilei (1564-1642) originó las ideas actuales acerca de los objetos que caen. Hay una leyenda de que él demostró el comportamiento de los objetos que caen al observar que dos pesos diferentes soltados simultáneamente de la Torre Inclinada de Pisa golpeaban el suelo aproximadamente al mismo tiempo. Aunque hay ciertas dudas de que llevó
INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se estudiará un caso especial del movimiento rectilíneo uniformemente variado, que llamamos caída libre y tiro vertical. Este consiste en tomas el valor de la aceleración como 9.8 m/s² o 32 ft/s², este valor representa a la aceleración de objetos que se dejan caer en el vacío en la tierra, en todos los problemas se tomarán las consideraciones de idealización que indican los objetos caen libremente sin que el aíre u otro medio externo genere cambios en el objeto.
La siguiente parte del capítulo se estudiarán otros movimientos que requieren de dividir el problema en partes, a estas la conocemos como componentes del movimiento, estas partes no son realices, sino, son simplificaciones prácticas que se realizan para dar solución a problemas. En esta parte se estudiará el movimiento horizontal y el tiro de proyectil en el cual se lanzarán objetos con un Angulo de tiro.
LÍNEA VERTICAL
Es aquella línea recta, radial a un planeta.
MOVIMIENTO VERTICAL
Cuando se suelta un cuerpo a una determinada altura, éste cae a través de la vertical, para ello ejerce un movimiento que toma el nombre mencionado.
Si el cuerpo es lanzado desde la superficie hacia “arriba” también describe una trayectoria vertical.
Competencias:
Al finalizar el presente capitulo se alcanzarán las siguientes competencias
Aplica las ecuaciones de caída libre en solución de problemas reales
Diferencia entre los movimientos de tiro vertical y los de caída libre
Resuelve problemas cuando objetos son lanzados con una velocidad inicial.
Interpreta un movimiento en dos dimensiones
Resuelve problemas de tiro horizontal aplicando los conceptos del capitulo
Hace propios los conceptos de movimentos veriticales y horizontales
Resuelve problemas de tiro de proyectil cuando existe un angulo en el tiro.
CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL
Estos movimientos se resuelven con las mismas ecuaciones de MRUV, tomando como aceleración la de la gravedad de la tierra, que en vez de "a" la llamamos "g". También es un valor vectorial y su módulo es:
𝑔 = 9.8 𝑚 𝑠⁄ 𝑔 = 32.2 𝑓𝑡 𝑠2 ⁄ 2
𝐹
𝑀 = 𝑚𝑓 = 𝑔 Su signo depende de cómo ubiquemos el sistema de referencia. Si el sistema lo ponemos creciente desde la tierra hacia arriba entonces g tiene signo negativo.
Debido a que trabajamos con sistemas coordenados, utilizamos las mismas ecuaciones para el tiro vertical que para la caída libre (que además son las mismas ecuaciones que utilizamos para todo MRUV). Tomamos positiva la aceleración cuando la velocidad aumenta en el sentido que crece el sistema de referencia y negativa en el otro caso.
Caída Libre
En física, se denomina caída libre al movimiento de un cuerpo bajo la acción exclusiva de un campo gravitatorio. Esta definición formal excluye a todas las caídas reales influenciadas en mayor o menor medida por la resistencia aerodinámica del aire, así como a cualquier otra que tenga lugar en el seno de un fluido; sin embargo es frecuente también referirse coloquialmente a éstas como caídas libres, aunque los efectos de la viscosidad del medio no sean por lo general despreciables.
El movimiento de caída libre es aquel que interviene y se debe exclusivamente a la gravedad.
Representa la caída de un objeto desde cierta altura, el cual será atraído hacia el suelo por la atracción que ejerce la tierra sobre él.
Ecuaciones de Caída Libre
Como el movimiento de caída libre es un caso particular del M.R.U.V., las fórmulas son las mismas, siendo la aceleración ya conocida (g) y la posición la identificamos por la coordenada
“y”. Así tenemos:
𝑣 = 𝑣𝑜+ 𝑔𝑡 𝑣2= (𝑣𝑜)2+ 2𝑔𝑦 𝑦 = 𝑣𝑜𝑡 +12𝑔𝑡2
𝑦 = 𝑣𝑓𝑡 +12𝑔𝑡2
𝑦 = (𝑣𝑜+ 𝑣𝑓
2 ) 𝑡
𝑣 = 𝑣𝑜+ 𝑔𝑡 𝑣2= (𝑣𝑜)2+ 2𝑔𝑦 𝑦 = 𝑣𝑜𝑡 +12𝑔𝑡2
𝑦 = 𝑣𝑓𝑡 −12𝑔𝑡2
𝑦 = (𝑣𝑜+ 𝑣𝑓
2 ) 𝑡
Nota: en ambos casos el nivel de referencia se encuentra localizado en el lugar donde se soltó y se inicia a mediar hacia abajo.
EJEMPLO:
Desde el techo de un edificio se deja caer una piedra hacia abajo y se oye el ruido del impacto contra el suelo 3 s después. Sin tomar en cuenta la resistencia del aire, ni el tiempo que demoró el sonido en llegar al oído, encuentre:
a) La altura del edificio.
b) La velocidad de la piedra al llegar al suelo.
a) Para determinar la altura utilizamos la
ecuación: 0 0 2
2 1 gt t v y
y
Sustituyendo datos:
22
3
8 . 2 9
1 s
s
y m
y 44 . 1 m
La altura del edificio es: 44.1 m
b) La velocidad se determina a partir de la ecuación:
gt v v
0
Sustituyendo datos
9 . 8
s2 3
m
v
v 29 . 4
msVelocidad con que llega la piedra al suelo es de: 29.4 m/s hacia abajo.
EJEMPLO:
Una persona deja caer una manzana desde el barandal de un puente, cuando la parte frontal de un camión pasa justo debajo de la barda del puente. Si el vehículo se mueve a 55 km/h y tiene una longitud de 12 m. ¿Cuánto debe de ser la altura de la barda respecto a la parte superior del camión, si la manzana casi toca con el extremo final de éste?
Como el tiempo que tarda la manzana es el mismo tiempo que tarda el camión en recorrer una distancia de 12m, encontraremos el tiempo que hace el camión.
El camión viaja con velocidad constante ya que no dice que se acelera, entonces se utiliza la ecuación de MRU (
x v
x t
), despejando y sustituyendo:La velocidad del camión es:
s m s
h m k
m h
m
k 15.27
3600
* 1 1
*1000
55
El tiempo que tarda el camión en pasar por el puente es: m s v
t x
x
786 . 0 27 . 15
12
ms
Después de ese tiempo la manzana se encuentra en casi tocando el extremo del camión, La altura respecto al camión y la baranda del puente se calcula utilizando la ecuación:
2 0
0
2
1
gt t v yy
22 1 gt
y
9 . 8
m 0 . 786
22 1
2 s
y
s
y 3 . 03 m
La altura de la barda respecto a la parte superior del camión debe de ser de 3.0 m N.R. Yo= 0 m
Vo = 0 m/s
}
reposog = +9.8 m/ s²
Y= ? m V = ? m/s 3 s de caída
+
EJEMPLO:
Se lanza una pelota hacia abajo desde una azotea con una rapidez de 5 m/s. La altura desde donde se lanzó es de 100 m
a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
b) ¿Con qué velocidad llega?
En este problema, lo importante es dar significado matemático a las expresiones verbales y su correcta escritura.
De esta forma, en la expresión: "Se lanza una pelota hacia abajo" están contenidos dos datos.
"Se lanza". Lo que implica que la velocidad inicial es diferente de cero.
"Hacia abajo". Lo que implica que la velocidad va dirigida hacia abajo.
"La altura es de 100 m". Como elegimos el origen en la azotea con convención de signos positivos hacia abajo, entonces la posición final es y =100m
De acuerdo a lo anterior se utiliza la ecuación: 0 0 2
2 1 gt t v y
y
, en donde t =? , y=100 m y v0=5 m/sSustituyendo datos:
100 0 5 t
21 9 . 81 t
2Ordenando valores:
0 4 . 9 t
2 5 t 100
4 . 9
2 5 100 0
b c a
t t
Resolviendo la ecuación cuadrática mediante la fórmula general:
a ac b
t b
2
2
4
4 . 9 5 9 25 . 8 1960 5 9 . 44 8 . 55
2
100 9 . 4 4 5
5
2
t
cuya soluciones son:
s
t 4 . 04
8 . 9
55 . 44
5
Yt 5 . 06 s
8 . 9
55 . 44
5
.Puesto que no existen tiempos negativos, elegimos el resultado positivo. Éste resultado nos servirá para determinar la velocidad con la que llega al suelo.
El tiempo que tarda en llegar al suelo es de: 4.04 s
b) La velocidad con la que llega al suelo se encuentra utilizado la ecuación:
v v
0 gt
, utilizando el tiempo de t = 4.04 s (obtenido en el inciso anterior)Sustituyendo datos:
s
s m s
v m
5 9 . 8
24 . 04
s v 44 . 6 m
La velocidad a la cual llega al suelo es: 44.6 m/s
N.R. Yo= 0 m
Vo = 5 m/s
g = +9.8 m/ s²
Y= 100 m V = ? m/s
+
EJEMPLO:
Un balín de plomo se deja caer a un lago desde un trampolín que está a 4.88m sobre el nivel del agua. Pega en el agua con cierta velocidad y después se hunde hasta el fondo con esa misma velocidad constante. Llega al fondo 5 s después que se soltó. (utilice g=9.81 m/s²) a) ¿Qué profundidad tiene el lago?
b) ¿Cuál es la velocidad media del balín?
La peculiaridad de este problema es que se debe de realizar por regiones, debido a que tenemos dos tipos de movimiento diferentes.
La primera región es cuando el balín va cayendo en el aire.
La segunda cuando llega al agua y se hunde hasta el fondo.
a) Encontrando la profundidad del lago.
PRIMERA REGIÓN (CAÍDA LIBRE):
determinaremos la velocidad con la que llega al
agua mediante la ecuación:
) (
2
1 02 0 2
1
v g y y
v
Despejando y sustituyendo los datos.
2 9 . 81 4 . 88 95 . 74
2
1 01
g y y
v
ms 1
9 . 78 v
Ahora el tiempo que tardó en llegar al agua se emplea la ecuación:
v
1 v
0 gt
Despejando el tiempo:
mmss2
1
81 . 9
78 .
9
g t v
s t 0 . 997
SEGUNDA REGIÓN (MRU):
El tiempo que tarda cayendo el cuerpo en el agua viene dado por:
s s
s t t
t
2
1 5 0 . 997 4 . 00
.La velocidad con la que se hunde es la misma que con la que llega:
ms
v
v
1
2 constante . 9 . 78
Por lo que la ecuación de movimiento en esta región es la del rectilíneo uniforme, y la
"distancia" que recorre viene expresada por la ecuación:
x v t
x 39 . 12 m
R//El lago tiene una profundidad de 39.12 m
b) La velocidad media determina considerando el cambio de posición (inicial y final) y el tiempo total.
Donde la posición final y2 se determinó "sumándole" los 4.88 m a la profundidad del lago.
5 0 - 44.0 s
5
0 - 4.88 39.12 t
- t
y -
0 2
0
2
y t
v y
v 8.8
msR// La velocidad media del balín es de 8.8 m/s hacia abajo.
Yo= 0 m Vo = 0 m/s
g = +9.8 m/ s²
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
N.R.
+
Y1= 4.88 m V1 = ? m/s t1= ? s
Y2= ? m V2 = ? m/s Caída Libre
Tiempo total 5s
EJERCICIOS 3.1
En los siguientes problemas utilice la gravedad como 9.8 m/s²
1) Una pelota de hule se deja caer desde el reposo. Encuentre su velocidad y la distancia que ha caido después de 3 segundos. (g= 32 ft/s²)
A) 96 ft/s y 144 ft B) 144 ft/s y 96 ft C) 29.4 ft/s y 44.1 ft D) 44.1 ft/s y 29.4 ft E) Otra
2) Un cuerpo que emplea 5 segundos en caer libremente tendrá una velocidad final y discancia de caida:
A) 39.2 m/s y 78.4 m B) 49 m/s y 122.5 m C) 78.4 m/s y 29.2 m D) 122.5 m/s y 49 m E) Otra
3) Un cuerpo que emplea 7 segundos en caer libremente, cual fue su velocidad final y desde que altura cayo.
A) 39.2 m/s y 78.4 m B) 49 m/s y 122.5 m C) 68.6 m/s y 240.1 m D) 122.5 m/s y 149 m E) Otra
4) La altura y la velocidad de un cuerpo que cae libremente, si emplea 3 segundos en caer es:
A) 96 m y 144 m/s B) 144 m y 96 m/s C) 29.4 m y 44.1 m/s D) 44.1 m y 29.4 m/s E) Otra
5) Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60m de altura sobre el suelo. Calcular el tiempo que tarda en caer y la velocidad con que choca contra el suelo.
A) t = 3.5 h, V = 34.6 m/s ↓ B) t = 3.5 s, V = 34.3 m/s↓
C) t = 3 s, V = 34 km/s↓ D) t = 4s, V = 40 m/s↓ E) Otra.
6) Un cuerpo es abandonado a partir del reposo y alcanza el suelo con una velocidad de 20m/s. El cuerpo cae de una altura de: (sugerencia: primero encuentre el tiempo) A) 2.04 m B) 20.4 m C) 4.08 m D) 40.8 m E) Otra.
7) Una piedra, que parte del reposo, cae de una altura de 25 m. Se desprecia la resistencia del aire. La velocidad de la piedra al alcanzar el suelo y el tiempo empleado en la caída, respectivamente, valen:
A) v =17.1m/s B) v =44.2m/s C) v =22.1m/s D) v =22.1m/s E) Otra t =1.75 s t =2.26 s t =4.52 s t =2.26 s
8) Un cuerpo es abandonado en caída libre de lo alto de un edificio. Despreciando la resistencia del aire, la distancia recorrida por el cuerpo durante el quinto segundo es:
A) 122.5 m B) 80 m C) 20.5 m D) 5 m E) 49 m
9) Un niño deja caer una piedra de un puente y tarda 3 s antes de golpear el agua. ¿Cuán arriba del agua estaba su mano cuando soltó la piedra? Ignore la fricción del aire.
Observe que este problema concluye en el instante justo antes de que la piedra toque el agua, ya que la piedra será un objeto en caída libre únicamente en este lapso.
A) 29 m B) 35 m C) 44.1 m D) 19.6 m E) Otra
10) Desde el techo de un edificio cae una gota de agua cada segundo. En el instante que va a caer la cuarta gota; ¿Qué distancia separa la primera de la segunda gota?
(NOTA: La 4ta gota no a inicado a caer)
A) 4.9 m B) 14.7 m C) 24.5 m D) 34.3 m E) Otra
EJEMPLO:
Los pisos de un edificio se encuentran igualmente espaciados. Cuando se deja caer una bola desde el último piso, tarda 0.10 s para caer a través de los últimos tres pisos, cada uno de los cuales tiene una altura de 2 m. ¿Qué altura tiene el edificio?
SOLUCIÓN (problema de caída libre)
Puesto que muchas de las variables se desconocen, este problema debemos de tratarlo por intervalos
Con esta información encontramos la velocidad vf con la siguiente ecuación:
2
0
2
1 gt t v y
y
f
Sustituyendo datos: como yo = 0
9 . 8 0 . 10
22 10 1 .
0
v
fy
6 0 . 10 v
f 0 . 049
6 0 . 49 0 . 10 v
fs m s
v
fm 60 . 5
1 . 0 049 .
6
(esta es la velocidad con la que choca con el suelo)Ahora para determinar la altura del edificio utilizamos la ecuación:
2 0
2 0 2
2
v 2 g y y
v
Despejando para y:
m
g v
y v 186 . 7
8 . 9 2
5 . 60 2
2 2 0 2
2
Por lo que la altura del edificio es de: 187 m N.R.
Yo= 0 m Vo = 0 m/s reposo
g = +9.8 m/s²
Y= ? m V = ? m/s t = ? s
+
Ultimos tres pisos 0.10s (cada piso: 2m) Y1= ? m;
V1 = ? m/s;
t1 = ? s
y = 6 m t = 0.1 s
+
N.R. g = +9.8 m/s²
vf = ?
Yo= 0 m Vo = 0 m/s
reposo
V = 60.5 m/s N.R.
+
g = +9.8 m/s²
EJEMPLO:
Se deja caer una piedra al agua desde un puente que está a 44 m sobre la superficie del agua. Otra piedra se arroja verticalmente hacia abajo 1 s después de soltar la primera.
Ambas piedras llegan al agua al mismo tiempo.
¿Cuál fue la velocidad inicial de la segunda piedra?
SOLUCIÓN:
En este tipo de problemas en el cual participan dos cuerpos que se mueven simultáneamente, es preciso distinguirlos:
Piedra uno:
v01 se lee: "velocidad inicial de la piedra uno”
Ecuación: 1 01 011 12
2 1 gt t
v y
y
(caída libre) De la piedra uno, el tiempo que tardó en llegar al agua, despejando para tiempo, estoes:
g
t
1 2 y
1Sustituyendo datos:
m2
1
9 . 8 44 2
s
t m
s s
t
1 8 . 98
2 2 . 996
Piedra dos:
v02 "velocidad inicial de la piedra dos"
Ecuación: 2 02 02 2 22
2 1 gt t
v y
y
(esta cae en con una velocidad inicial ya que llegan al agua al mismo tiempo)
Si a dicho tiempo le restaremos un segundo, siendo este resultado el tiempo que tardó la piedra dos, nos queda:
t
2 t
1 1 s 2 . 996 s 1 s 1 . 996 s
Despejando de la ecuación de movimiento de la segunda piedra para velocidad inicial:
2 2 2
02 02
2
2
1 gt t
v y
y
2 22 0222
1 gt v t
y
s m s
m s
s s m m
t gt y
v 12 . 26
996 . 1
48 . 24 996
. 1
996 . 1 8 . 2 9 44 1 2
1
22
2 2 2 2
02
La velocidad con la que fue lanzada la segunda piedra fue de 12.3 m/s hacia abajo.
Yo= 0 m Vo = 0 m/s reposo
g = +9.8 m/s²
Yo= 0 m Vo = ? m/s
Lanzada un segundo despues
44 m
Llegan al mismo tiempo
N.R.
+
EJERCICIOS 3.2
En los siguientes problemas utilice la gravedad como 9.8 m/s²
Un cuerpo cae libremente cuando pasa por los puntos A y B, se determina su velocidad siendo de 25 m/s y 40m/s respectivamente.
1) Determinar el tiempo que se demoró en recorrer la distancia de A a B.
A) 0.53 s B) 1.53 s C) 2.53 s D) 3.53 s E) Otra
2) Determinar la distancia de A a B.
A) 38.5 m B) 41.5 m C) 45.3 m D) 49.7 m E) Otra
3) ¿Cuál será su velocidad a los 6s después de pasar por el punto B?
A) 38.8 m/s B) 48.8 m/s C) 98.8 m/s D) 149.8 m/s E) Otra
Un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre en el último segundo una distancia de 44.1m.
4) Altura del edificio:
A) 142.5m B) 78.4m C) 122.5m D) 162.5m E) 172.5m
5) Tiempo total que tarda en caer.
A) 2 s B) 3 s C) 4 s D) 5 s E) Otra
6) En cierto planeta se observa que un cuerpo cayendo cerca de la superficie, duplica su velocidad durante un recorrido de 121.6 m en el que tarda 3 s. ¿Podría ser este planeta la Tierra?
a) No. La aceleración es muy pequeña. b) Falta más información para decidir.
c) No. La aceleración es muy grande. d) Sí, podría ser la Tierra.
e) Se necesitarán cálculos muy complicados para decidir.
g = 9.8 m/s²
VA=25m/s
N.R.
+
Punto A
Punto B
VB=40m/s y
N.R.
Yo= 0 m Vo = 0 m/s
reposo
g = +9.8 m/ s²
+
tiempo de 1 s 44.1m
