vectores problemas y teoria 2011 ENERO PRE 3,4 Y 5

1.- VECTOR

Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial como por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

Los vectores pueden presentarse de dos maneras:

(I) GRAFICAMENTE:

se le representa mediante un segmento de recta orientado, asi por ejemplo:

Elementos: 

a) Módulo:

Es la medida o longitud del vector.

b) Dirección:

Es el ángulo " " que se forma.

c) Sentido:

Representa  la flecha del vector.

d) Línea de Acción (L

₁

):

Es la línea recta donde se encuentra contenido el vector.

e) Línea Horizontal (L

₂

):

Es la línea recta que sirve para dar la dirección ( ) al vector.

(II) MATEMATICAMENTE:

se le puede representar a través de ecuaciones cartesianas (en el plano o en el espacio) y/o ecuaciones matriciales en general.

Definimos los puntos P y Q en función de sus coordenadas: 1 1 ( ; ) P  x y  Q  ( ; x y _{2 2}) PQ Q P    









2 2 1 1

( ; ) ( ; )

PQ x y

x y  

Restando: PQ x x y y   (  ₂  ₁ ; ₂  ₁ ) 

A partir de la ecuación cartesiana podemos hallar las características del vector:

Modulo: 2 2 2 1 2 1 ( )  +  ( ) PQ  x x  y y    Dirección( ) : 2 1 2 1 y y  arctg  x x   



















PROBLEMAS 1

1.-

Determinar el modulo, la dirección y el sentido del vector:

A



(12 ; 5)





2.-

Determinar el modulo, la dirección y sentido del vector: 2 A 3B    , sabiendo que:

( 2 ;5)

A

 

 ;

B 

 

( 3 ;4)



3.-

Determinar el modulo, dirección y sentido del vector: A  3B 

 

sabiendo que el modulo del vector: A B    es 25 unidades y además:

(   ;1)

A p 



 ;

B 



(3 ;8)



4.-

sabiendo que el modulo y la dirección del vector A B 

 

son 25 unidades y 53º respectivamente. Hallar el modulo, la dirección y el sentido del vector A  4B 

  , siendo:

A p 



(   ;6)

 y

B



(4 ; )



q 

 .

5.-

sabiendo que:

A



(4;8)

 ;

B 



(5 ;7)

 y

(2 ; 3)

C 







. Determinar el valor de “ K”, a partir de la siguiente expresión:

2 3 A B C K C A B  

  

 

     

2.- CLASIFICACION DE VECTORES

a) VECTORES PARALELOS:

Son los que poseen la misma dirección.

a a b  b  PARALELOS       ANTI-PARALELOS

b) VECTORES OPUESTOS:

Son dos vectores opuestos de igual magnitud, de igual dirección y sentido opuesto.

a

b



c) VECTORES COLINEALES:

Son vectores que están sobre una misma línea de acción

b



L a

d) VECTORES EQUI VALENTES:

Dos vectores son equivalentes si tienen igual dirección sentido y modulo

a

b



e) VECTORES IGUALES:

Dos vectores que tienen la misma dirección, sentido, magnitud o modulo y punto de aplicación

a

b



f) VECTOR NULO:

Es aquel vector donde todos sus componentes son cero (0) ó valen cero (0)

g) VECTORES UNITARIOS :

Es todo vector cuya magnitud es uno, i

 ; j  ; k   son un conjunto de vectores unitarios asociados con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente y orientados hacia los semiejes positivos

Z k   a a U   X i Y j 

h) VECTORES COPLANARIOS:

Son vectores que se  encuentran en un mismo plano

a

b



c

P

i) VECTORES CONCURRENTES:

Son aquellos cuyas líneas de acción se cortan (concurren) en un punto común

a

b



j)

2.- OPERACIONES CON VECTORES:

Método del Polígono:

El método consiste en graficar a los vectores dados uno a continuación del otro y el vector resultante se obtiene partiendo del origen y se dirige al extremo del último.

El orden de dibujar a los vectoresA

 ,B  y C   no interesa, pues la resultante siempre será la misma.

Polígono cerrado:

Es cuando los vectores graficados cierran la figura, los vectores deben orientarse en forma horaria o antihoraria; por lo tanto su resultante es nula.

Métodos Analíticos:

Son aquellos en los cuales para determinar la resultante es necesario hacer uso de ecuaciones matemáticas, las cuales contienen funciones trigonométricas.

A) Método del Triángulo:

Se tienen los vectoresA

 ,B  y C   Sus módulos: A, B y C Sus ángulos: α, β, γ

2



R X 



R X  2 cos_ 



R X 

Para determinar un módulo o un ángulo se puede aplicar;

La Ley de Senos:









 

A B C 

sen sen sen

B) Método del Paralelogramo:

Cuando dos vectores A

 yB  de módulos A y B a forman un ángulo " α". Es decir:    Datos:A  , B  , α Incógnita: R R A B A B

    

   El módulo de la resultante: 2 2 2 cos

_ 







R

A B

AB

cos

 

 

 









_

_







B sen

arctg

A B

CASOS PARTICULARES:

· Cuando a es igual a 0°, los vectores son paralelos y del mismo sentido.

Entonces se obtiene la resultante máxima.

 

MAX 

R A B

· Cuando α es igual a 180°, los vectores son paralelos y de sentido contrario. Entonces se obtiene la resultante mínima. El sentido del vector resultante, es el mismo que  el del vector del mayor módulo.

 

MIN 

R A B

· Cuando el ángulo es igual a 90° los vectores son perpendiculares

· Cuando dos vectores tienen igual módulo. la resultante es bisectriz.

· Cuando dos vectores tienen módulos con un divisor común “ n”

· Cuando se requiere calcular el módulo del vector diferencia D. entonces:

2 2 2 cos_ 

  

 

 

D A B A B AB 2 2





 R A B 3



R X  2 2 2 cos_ 







R n A B AB

MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN

RECTANGULAR:

Se emplea cuando se requiere determinar el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. Este método consiste en:

•         Trasladar todos los vectores a un plano cartesiano, haciéndolos concurrir en el origen de

coordenadas.

•     Descomponer todos los vectores que van a sumarse, en sus componentes rectangulares.

Para ello hay que auxiliarse de las funciones trigonométricas.

•         Sumar       algebraicamente       los componentes en cada eje separadamente,

considerando positivos los componentes que señalan hacia arriba o derecha, y negativos los que señalan hacia abajo o izquierda.

•     Conociendo



Vx y Vy se determinará el módulo de la resultante y su dirección.

PRACTICA EN CLASE

1.-

Hallar el módulo del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:

2.-

Hallar la magnitud del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:

3.-

hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

4.-

hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

5.-

hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

6.-

hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

7.-

Hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

8.-

hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

9.-

hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

10.-

hallar el modulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:

PRACTICA DOMICILIARIA

1.-

Calcular la magnitud del vector resultante del siguiente sistema de vectores:

2.-

determinar la resultante para los vectores dados:













 

20;

 

12;

 

5;

 

7

a

b

c

d

 

3.-

Dos vectores de la misma magnitud (4u) están formando un ángulo de 60º. Determinar el modulo de la suma de ambos vectores.

4.-

determinar la resultante para los vectores dados, siendo:













 

10;

 

2;

 

4;

 

3

a

b

c

d

 

5.-

hallar la resultante de:

6.-

En la figura D= 12 y C= 5 determinar su resultante:

7.-

Calcular el modulo de la resultante de los vectores mostrados:

8.-

un bote a motor se dirige hacia el este con una velocidad de 10m/s. Si la corriente marina tiene una velocidad de 4m/s. en la dirección N60ºE. ¿Cuál será el valor de la velocidad resultante del bote?

9.-

Si: _A 



_{20;     30B} 



, encontrar la resultante.

10.-

determinar el modulo de la resultante, si:

   

 

8;    4

A B C 

11.-

Calcular el modulo de la resultante, si









3;   

4

a

b 

.

12.-

en la figura D= 20 y C= 40. Determinar su resultante.

13.-

Si:





 

3;   

5

A

B 

, encontrar la resultante.

14.-

determinar el modulo de la resultante, si:

   

 

4;    8

PRACTICA EN CLASE

En los siguientes ejercicios colocar verdadero o falso (F), según corresponda:

1.-

Dados los vectores:

>   Los vectores A, b y D son paralelos (    )

>   Los vectores A y D son paralelos     (    ) >   Los vectores b y D son paralelos     (    ) >   Los vectores A y D son opuestos     (    ) >   Los vectores b y D son iguales        (    )

2.-

del siguiente conjunto de vectores:

>   Los vectores A, b y D son paralelos  (    )

>   Los vectores A y D son paralelos      (    ) >   Los vectores b y D son paralelos       (    ) >   Los vectores A y D son opuestos      (    )

>   Los vectores b y D son iguales          (    )

3.-

sabiendo que los módulos de los vectores A, b, D y E son iguales a 2cm. Y que el modulo del vector c es 1cm.

> Los vectores A y D son iguales    (     ) > Los vectores b y D son opuestos (     )

> Los vectores A y c son iguales     (     ) > Los vectores A y E son opuestos (     )

> Los vectores b y D son opuestos (     )

4.-

Se muestran dos planos con vectores.

> Los vectores

A

,

E

,

b

y

c

son coplanares. (     ) > Los vectores

A

,

E

y

b

son coplanares…   (     ) > Los vectores

A

,

E

,

b

y

x

son coplanares (     )

> Los vectores

x

,

M

y

D

son coplanares.   (     ) > Los vectores

x

y

D

no  son coplanares..  (     )

> Los vectores

M

y

D

son coplanares... (     ) > Los vectores

A

,

E

, ,

x

, y

D

son coplanares (     ) > Los vectores

A

,

E

y

c

son concurrentes... (     ) > Los vectores

x

,

M

,

D

son concurrentes.... (     ) > Los vectores

x

y

D

son paralelos... (     ) > Los vectores

A

y

c

son iguales... (     ) > Los vectores

A

y

D

son opuestos... (     )

5.-

Los vectores mostrados son:

> Paralelos       (     ) > Coplanares        (     )

> Iguales        (     ) > Opuestos       (     )

PROBLEMAS

1.-

Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 24u y al mínima es de 8u, hallar el modulo de la resultante cuando los vectores formen 120°.

a) 8 2 b)

8 3

c)

8 5

d)

4 3

e)

4 5

2.-

Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura A =  4; B = 5. a)

65

b)

3 5

c) 3 7 d) 3 e) N.A.

3.-

Hallar el ángulo "  " de manera que la resultante de los vectores mostrados sea cero.

a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°

4.-

si





  3 2 A B 30u y





  2 3 A B 25u , hallar el modulo de



  7 A 4B . a) 70u    b) 50u c) 30u    d) 15u e) N.A. PROBLEMAS DE VECTORE 

5.-

determinar el vector



X en función de los vectores A y  B . a)



  ( A B ) / 5 b)



  (2 A 3 ) / 5B  c)



  (3 A 2 ) / 5B  d)    A B  e)



  (3 A 2 ) / 5B 

6.-

Determinar la medida del ángulo  sabiendo que e! modulo de la resultante de los vectores mostrados es

103

.(AB= BD= 3 y BC= 1).

a) 30°     b) 37° c) 45°     d) 53° e) 60°

7.-

Halle el ángulo "  " para que la resultante cié los vectores mostrados sea igual a 7, si además AB= 6 y BC= 10 (M y N son puntos medios).

a) 60° b) 57° c) 45° d) 37° e) 30°

8.-

Hallar la resultante y su módulo de los vectores mostrados en la figura. (B= H= 4; D= G= 6). a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

9.-

En la figura determinar el vector suma

 C y  D , en la función de   y A B . a)



  (2 A B ) / 3 b)





  2(2 A B ) / 3 c)



  2(2 A B ) / 3 d)





  (2 A B ) / 2 e)





  (2 A B ) / 3

10.-

Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en el hexágono regular de lado 2u. a) 8u b) 12u c) 12u d) 20u e) 4u

PROBLEMAS UNI

1.-

exprese el vector  A en términos de  B y  C (la figura es un hexágono regular)

a)





   2 B C  A b)





   2 B C  A c)





   3 B C  A d)





   4 B C  A

PROBLEMA N-1    Sem. CEPRE-UNI

En el sistema de vectores sobre el hexágono de 4 m de lado mostrado en la figura, determine el módulo de la resultante.

A) 20 m        B) 16 m C) 24 m        D) 8 m E) 32 m

PROBLEMA N* 2    Sem. CEPRE-UNI

Dado el   conjunto   de   vectores   que  se muestra determinar el vector



R en términos del vector

 E . Si            R A B C D E   a)  E  b) - E  c) 2  E  d) -2  E  e)  0

PROBLEMA N

a

_{3   Sem. CEPRE-UNI}

La figura muestra un tetraedro regular de 2 m de lado, halle el módulo de la resultante de todos los vectores mostrados.

A) 2 m       B) 4 m      C) cero      D) 1 m       E) 8

PROBLEMA N

s

_{4     Sem. CEPRE-UNI}

En el sistema de vectores mostrados, de termine la magnitud de:                R A B C D E F G   si se sabe que :

 

 

   10 B E G y A G u   A) 10 u       B) 20 u C) 80 u        D) 40 u E) cero

PROBLEMA N

s

_{6     Sem. CEPRE-UNI 98-1}

Hallar el módulo del vector resultante del sistema de vectores que se muestra en la figura.  Si:   a =  3u   y e =  2u.

A) 5u  B) 7u  C) 10u  D)

13u