MODULO PARA LA ASIGNATURA MECANISMOS

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MODULO PARA LA ASIGNATURA

MECANISMOS

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MODULO DEL MECANISMO LEVA-SEGUIDOR

EDER NORBERTO FLOREZ SOLANO

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTADER OCAÑA FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA MECANICA OCAÑA

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MONOGRAFÍA DE LEVAS Y SEGUIDORES

EDER NORBERTO FLOREZ SOLANO

Leyenda del trabajo

Profesor

M. Sc. Eder Norberto Flórez Solano

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTADER OCAÑA FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA MECANICA OCAÑA

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TABLA DE CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN ...8

1. DEFINICIÓN ...10

2. TIPOS DE LEVAS Y SEGUIDORES ...12

2.1 TIPOS DE LEVAS ... 12

2.1.1 Forma geométrica. ... 12

2.1.2 Por el movimiento del seguidor ... 14

2.2 TIPOS DE SEGUIDORES... 15

2.2.1 Por la línea de acción del movimiento ... 15

2.2.2 Por la forma como hace el contacto ... 17

3. DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Y EL CONTORNO DE LA LEVA ...19

3.1 DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Y TEMPORIZACIÓN DEL SEGUIDOR. ... 19

3.2 RELACION ENTRE EL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Y EL CONTORNO DE LA LEVA. ... 20

4. CURVAS DE DESPLAZAMIENTO DE LEVAS ...22

4.1 CURVA DE MOVIMIENTO CON VELOCIDAD CONSTANTE ... 22

4.2 CURVA DE MOVIMIENTO PARABOLICO O DE ACELERACION CONSTANTE ... 24

4.3 CURVA DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE ... 28

4.4 CURVA DEL MOVIMIENTNO CICLOIDAL ... 32

4.5 CURVA DE MOVIMIENTO TRAPEZOIDAL MODIFICADA ... 36

5.1 EFECTOS DINÁMICOS ... 40

5.1.1 Derivadas del movimiento del seguidor. ... 41

5.2 COMPARACION DE LAS CARACTERISTICAS DINAMICAS DE CURVAS PARA ALTA VELOCIDAD ... 43

EJEMPLO 1 ...46

6. PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO ...49

7. MÉTODOS DE DISEÑO ...50

7.1.1 DISEÑO GRAFICO DE LEVA DE PLACA CON SEGUIDOR RADIAL Y DE RODILLO ... 50

EJEMPLO 2 ...52

EJEMPLO 3 ...54

EJEMPLO 4 ...55

7.2 DISEÑO ANALITICO DE LEVAS ... 57

7.2.1 SELECCIÓN DE LOS MOVIMIENTOS DEL SEGUIDOR... 57

EJEMPLO 9 ...57

7.2.2 DISEÑO ANALITICO DE LEVAS DE PLACA CON SEGUIDOR DE PIE PLANO ... 62

EJEMPLO 10 ...67

EJEMPLO 11 ...75

7.2.3 DISEÑO ANALITICO DE LEVA DE PLACA CON SEGUIDOR DE RODILLO ... 81

EJEMPLO 12 ... 109

EJEMPLO 13 ... 114

EJERCICIOS PROPUESTOS ... 125

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LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Leva plana. ... 10

Figura 2. Leva cilíndrica. ... 10

Figura 3. Leva de disco o plana. ... 12

Figura 4. Levas deslizantes. ... 13

Figura 5. Leva de acción positiva o Retorno asegurado. ... 14

Figura 6. Movimientos del seguidor. ... 15

Figura 7. Seguidores radiales. ... 16

Figura 8. Seguidores no radiales. ... 16

Figura 9. Seguidores pivotados. ... 17

Figura 10. Diagrama de desplazamiento. ... 20

Figura 11. Obtención del diagrama de desplazamiento a partir del perfil de la leva. ... 21

Figura 12. Movimiento de velocidad uniforme de un seguidor. ... 23

Figura 13. Movimiento parabólico o de aceleración constante del seguidor. ... 27

Figura 14. Ilustración de un movimiento armónico simple. ... 28

Figura 15. Curvas del movimiento armónico simple. ... 30

Figura 16. Curva cicloidal. ... 32

Figura 17. Curvas de movimiento cicloidal. ... 35

Figura 18. Curvas de movimiento trapezoidal modificado. ... 38

Figura 19. Comparación entre curvas básicas. ... 44

Figura 20. Leva de placa con seguidor radial y de rodillo. ... 51

Figura 11. Leva con seguidor de traslación de rodillo. ... 52

Figura 21. Leva con seguidor de traslación de rodillo oscilante. ... 53

Figura 22. Leva con seguidor de traslación de cara plana. ... 55

Figura 23. Leva para un seguidor excéntrico. ... 56

Figura 36. Diseño analítico de leva de placa de pie plano. ... 63

Figura 37. Seguidor de pie simétrico. ... 65

Figura 38. Seguidor de pie asimétrico... 66

Figura 40. Forma de la leva... 74

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Figura 43. Diseño analítico de leva de placa con seguidor de rodillo... 81

Figura 44. Método desarrollado por Kloomok y Muffley. ... 83

Figura 45. Método desarrollado por Kloomok y Muffley. ... 84

Figura 46. Curva cicloidal. ... 86

Figura 47. Curva Armónica Simple. ... 89

Figura 48. Curva Polinomio de Octavo grado. ... 92

Figura 49. Curvas Armónicas. ... 95

Figura 50. Curvas Cicloidales. ... 98

Figura 51. Curvas Armónicas Modificadas. ... 101

Figura 52. Curvas Semi-Armónicas. ... 104

Figura 53. Curvas Semi-Cicloidales. ... 107

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LISTA DE TABLAS

Pág. Tabla 1. Relaciones entre “Y”, “t” y “θ”... 25 Tabla 2. Expresiones para movimiento trapezoidal modificado. ... 39 Tabla 3. Diagramas y fórmulas para desplazamiento, velocidad y aceleración para

movimiento armónico simple. ... 44 Tabla 4. Diagramas y fórmulas para desplazamiento, velocidad y aceleración para

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8

INTRODUCCIÓN

El propósito de el Modulo del mecanismo leva-seguidor, es presentar la teoría, el análisis de forma amplia del estudio cinemático de uno de los elementos más simples de la Mecánica de Maquinas, como es el caso de las levas, que permite efectuar la transformación de un movimiento de rotación en cualquier otro tipo movimiento, reflejado en un segundo elemento que es el seguidor, además, en este documento se encontrara los diferentes tipos de levas y sus respectivos seguidores dando una explicación sobre un series de procesos para dibujar el perfil de la leva, por métodos gráfico y analítico, en donde se analiza la posición, velocidad y aceleración del seguidor con respecto a los grados de rotación de la leva

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1. DEFINICIÓN

Una leva es un elemento mecánico de contorno curvo y/o ranurado, cuya superficie de contacto origina o modifica el movimiento de un segundo elemento mecánico denominado seguidor (Figura 1 y 2).

Figura 1. Leva plana.

Autor: SolidWorks Student Edition 2010-2011.

Figura 2. Leva cilíndrica.

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2. TIPOS DE LEVAS Y SEGUIDORES

2.1 TIPOS DE LEVAS

Las levas se pueden clasificar: por la forma geométrica, y por el movimiento que comunica al seguidor.

2.1.1 Forma geométrica.

2.1.1.1 Leva de disco o plana. (Figura 3a y b) denominada también leva radial. El disco tiene contorno irregular que comunica un movimiento especifico al seguidor que puede ser de tipo alternativo (Figura 3a) u oscilante (Figura 3b), la línea de acción del seguidor se mueve en un plano perpendicular al eje de rotación de la leva y se mantiene en contacto con la leva bien sea por medio de resorte o por la gravedad. En razón a su simplicidad son de las más usadas en las aplicaciones prácticas.

Figura 3. Leva de disco o plana.

2.1.1.2 Leva cilíndrica (Figura 2) Se caracteriza por su forma ranurada alrededor de la superficie de un cilindro. El seguidor se mueva en un plano paralelo al eje del cilindro.

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2.1.1.3 Levas deslizantes Este tipo de levas pueden ser, o bien un cuerpo deslizante con un contorno irregular (Figura 4a), o bien un elemento deslizante con una ranura incorporada (Figura 4b).

Figura 4. Levas deslizantes.

2.1.1.4 Levas de acción positiva o de retorno asegurado En la (Figura 5a), seguidor encierra la leva entre dos superficies de contacto que tienen una separación constante, por tanto la leva acciona al seguidor en los dos sentidos de su movimiento. Este mecanismo es equivalente al mecanismo denominado Yugo Escocés.

Las levas mostradas en la (Figura 5b), rotan alrededor del mismo eje, el seguidor tiene dos brazos, uno en contacto con una leva y el otro con la otra leva. En este caso de levas de retorno asegurado no es necesaria la acción de la gravedad ni resortes para mantener el contacto entre leva y seguidor. Nótese que el tipo de levas usadas son levas de disco.

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Figura 5. Leva de acción positiva o Retorno asegurado.

2.1.2 Por el movimiento del seguidor En la práctica con las levas no se pretende tener una relación de velocidad determinada, sino de conseguir una serie de posiciones del seguidor propiciado por el movimiento de la leva. Este movimiento puede representarse por un diagrama Desplazamiento-Tiempo, en el cual la abscisa indica el tiempo o el movimiento angular de la leva y las ordenadas los desplazamientos del seguidor.

El tiempo en que la leva completa una revolución es el mismo en el cual el seguidor hace un ciclo de operación. Según lo anterior las levas se pueden también clasificar por el diagrama desplazamiento-tiempo del seguidor.

2.1.2.1 Leva de ascenso-retorno-ascenso (A.R.A.) (Figura 6a) Durante la primera parte del ciclo, el seguidor logra el desplazamiento máximo (ascenso) y durante la segunda parte el seguidor retorna a la posición inicial.

2.1.2.2 Leva de reposo-ascenso-retorno-reposo (R.A.R.R.) (Figura 6b) En este tipo de leva el seguidor durante el ciclo permanece en reposo, asciende, retorna a la posición inicial y permanece en reposo.

2.1.2.3 Leva de reposo-ascenso-reposo-descenso-reposo Durante el ciclo la leva desarrolla las etapas indicadas en la (Figura 6c).

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Figura 6. Movimientos del seguidor.

2.2 TIPOS DE SEGUIDORES

Se pueden clasificar: según la línea de acción del movimiento con respecto al centro de rotación de la leva, y por la forma como se efectúa el contacto.

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2.2.1.1 Seguidor radial La línea de acción del seguidor pasa por el centro de rotación de la leva (Figuras 7a, 7b, 7c y 7d).

Figura 7. Seguidores radiales.

2.2.1.2 Seguidor no radial En este tipo la línea de acción del movimiento no pasa por el centro de rotación de la leva (Figuras 8a, 8b, 8c y 8d)).

Figura 8. Seguidores no radiales.

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2.2.1.3 Seguidor pivotado En este caso el seguidor describe un arco alrededor del pivote (Figuras 9a y 9b).

Figura 9. Seguidores pivotados.

2.2.2 Por la forma como hace el contacto

2.2.2.1 Seguidor cuyo extremo es puntiagudo Esta forma es muy sensible al desgaste, por tanto su interés práctico es casi nulo. Su uso se limita para ilustrar aspectos teóricos de las levas (Figuras 7a y 8a).

2.2.2.2 Seguidor de rodillo El seguidor lleva en su extremo de contacto un rodillo, que gira al tocar la leva. Ésta disposición es muy usada debido a que el desgaste producido es mínimo (Figuras 7b y 8b).

2.2.2.3 Seguidor de pie plano La parte que hace contacto con la leva es un asiento plano (Figuras 7c, 8c y 9b).

2.2.2.4 Seguidor de superficie esférico La parte de contacto es esférico. Forma que es ventajosa porque compensa deflexiones y desalineamientos del seguidor (Figuras 7d y 8d).

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3. DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Y EL CONTORNO DE LA LEVA

3.1 DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Y TEMPORIZACIÓN DEL

SEGUIDOR.

En un sistema leva-seguidor, la leva es el elemento conductor y el seguidor el conducido. En el diagrama de desplazamiento, el movimiento del seguidor no puede ser cualquiera, sino que tendrá que ser un movimiento específico dependiendo del contorno de la leva. El movimiento del seguidor puede expresarse por un diagrama, en el que las ordenadas representen los desplazamientos del seguidor y las abscisas indiquen el movimiento angular o el tiempo. Por tanto el movimiento del seguidor puede expresarse por un diagrama desplazamiento-tiempo. Llamado comúnmente diagrama de desplazamiento y según lo anterior, el contorno de una leva queda determinado por el diagrama de desplazamiento (Figura 10). El diagrama de desplazamiento es básico para el análisis y diseño de cualquier leva.

Diagrama de temporización, las especificaciones para una leva, se muestran con frecuencia en un diagrama de temporización de tiempo, como la siguiente figura, que representa los eventos especificados en el ciclo de la máquina. Un ciclo de máquina, se define como una revolución de su eje motriz maestro. En una maquina complicada, tal como una productora de pasta dental, habrá un diagrama de temporización por cada subensambles de máquina. Las relaciones de tiempo entre los subensambles se definen por sus diagramas de temporización que se trazan sobre un eje de tiempo común. Obviamente, todas estas operaciones deben mantenerse en perfecta sincronía y fase de tiempo para que la máquina funcione.

A continuación se mostrara un ejemplo simple de m caso de posición extrema critica (CEP), porque no se especifica nada sobra las funciones a utilizar para ir de la posición de detenimiento bajo (un extremo) a la posición de detenimiento alto (otro extremo). El diseñador tiene la libertad de elegir cualquier función que realice el trabajo. Observe que estas especificaciones contienen solo información sobre la función de desplazamiento. Las derivadas superiores no están específicamente restringidas en este ejemplo.

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Figura 10. Diagrama de desplazamiento.

Fuente: El autor.

3.2 RELACION ENTRE EL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO Y EL

CONTORNO DE LA LEVA.

En la (Figura 11b), la punta del seguidor se encuentra en el punto más bajo del perfil de la leva. La leva rota a derecha a velocidad angular constante. El diagrama de desplazamiento puede obtenerse a partir del contorno de la leva siguiendo los pasos indicados o continuación.

1) Divida una vuelta de la leva en “n” partes iguales. Cada división de 30° para el ejemplo. Como la leva gira a derechas, marque los ángulos en sentido contrario. Los desplazamientos del seguidor se tienen, si se supone que la leva se mantiene fija y que el seguidor rota alrededor de ésta a izquierdas.

2) Localice la posición del rodillo del seguidor para cada incremento, que es tangente al perfil de la leva.

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3) Señale el desplazamiento del seguidor para cada incremento sobre la línea de acción de éste a partir de 0°. Por ejemplo “A” corresponde a la posición del seguidor a 120°. Con centro en “O” y radio “OA”, trace un arco que intercepte la línea de acción del seguidor en “A”. Así queda determinada la posición del seguidor para 120°. Utilice igual método para los otros puntos.

4) Trace el eje perpoendicular a “OA” y marque el ángulo de rotación de la leva a escala. Trace líneas por estos puntos, proyecte las posiciones del seguidor a partir de 0°, los puntos de intersección determinan la curva de desplazamiento total del seguidor.

El ejemplo anterior demuestra el método para obtener el diagrama de desplazamiento a partir de la levas. El contorno de la leva puede ser obtenido en consecuencia a partir del diagrama de desplazamiento siguiendo el procedimiento inverso.

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4. CURVAS DE DESPLAZAMIENTO DE LEVAS Se presentaran los movimientos adecuados aplicados al sistema leva seguidor.

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El seguidor se desplaza con velocidad constante (Figura 12), el seguidor haciendo la carrera “h” mientras la leva rota de 0°-90°; retorna a su posición inicial de 180° y 270° y se conserva en reposo de 270° y 360°.

Siguiendo la (Figura 12a), se observa que entre los puntos A-B y C-D, se mantiene a una velocidad constante finita, mientras que entre los puntos B-C y D-A se mantiene una velocidad constante de valor cero.

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Según el diagrama de velocidad (Figura 12b), el seguidor empieza a moverse con velocidad instantánea “V” cuando Y . Cuando y , la velocidad en el seguidor cae instantáneamente a cero.

Como

, la aceleración en los puntos A, B, C y D es

.

Según la teoría, una aceleración infinita causaría una fuerza infinita, aunque la elasticidad y la fricción de los elementos del mecanismo contrarrestan en parte los efectos, no obstante una fuerza muy alta causaría daño al mecanismo.

4.2 CURVA DE MOVIMIENTO PARABOLICO O DE ACELERACION

CONSTANTE

Como su nombre lo indica se trata de conseguir un movimiento que tenga una aceleración constante entre determinados puntos. En el ejemplo anterior se tiene aceleración constante entre los puntos A-B y C-D. Para que la aceleración se mantenga se debe cumplir:

Tiempo requerido para efectuar el desplazamiento “h”. Si la leva rota con “ ” constante, se tiene:

Por lo tanto la curva de aceleración constante se puede expresar por la ecuación , (“Y” función parabólica de “t”), donde “Y” es el desplazamiento del seguidor correspondiente al ángulo de rotación de la leva, y . Así el desplazamiento “Y” es proporcional al cuadrado del tiempo “t”.

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25

Tabla 1. Relaciones entre “Y”, “t” y “θ”.

Fuente: El Autor

Los incrementos de desplazamiento guardan proporción de 1, 3, 5, 7,….

En la Figura 13a se indica el procedimiento gráfico para determinar la curva de aceleración constante. Las etapas a seguir son:

1) Se divide la abscisa parte A-B en “n” partes iguales (Ejemplo: 6 partes). 2) A partir del punto A trace una línea oblicua arbitraria “L”.

3) Divida “L” en las seis partes iguales que sean respectivamente proporcionales a 1, 3, 5, 5, 3 y 1. Las tres primeras divisiones corresponden al periodo de aceleración de seguidor de - .

4) Una el punto E con B’ y por 3, 5, 5, 3, 1 se trazan paralelas a EB’ hasta cortar el eje de las coordenadas.

5) Proyecte horizontalmente los puntos hallados sobre el eje de las ordenadas hasta cortar las verticales de los puntos de división del eje de las abscisas. Los puntos obtenidos determinan la curva.

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26

El punto M de la curva es un punto de transición y aquí el seguidor posee máxima velocidad.

Las magnitudes de aceleración y desaceleración son iguales durante AM y MB (Figura 13b), por tanto la curva de velocidad entre AM y MB debe ser una recta ( ). La curva de aceleración (Figura 13c) indica una aceleración constante (+a) de AM y una desaceleración constante (-a) de MB.

La curva de aceleración constante (o parabólica) presenta menor magnitud de aceleración que cualquiera otra curva para un desplazamiento específico durante un cierto tiempo. Sin embargo, el cambio brusco en los puntos A y B DE (O-A) y en el punto de transición M de (“a+”-“a-”) puede ser muy perjudicial por las sacudidas fuertes que se presentan a causa de

.

Las sacudidas causan ruidos, vibraciones, desgastes, etc. Por tanto este tipo de movimiento no es recomendable sino para velocidades bajas.

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27

Figura 13. Movimiento parabólico o de aceleración constante del seguidor.

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28

Figura 14. Ilustración de un movimiento armónico simple.

4.3 CURVA DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Según la (Figura 14), el punto “P” describe un círculo de radio alrededor del centro “O”. La ecuación de la proyección del punto “P” sobre el eje “Y” se determina como sigue. ( ) ( )

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P según el eje Y

Constante, que la componente de la velocidad del punto “P” en dirección del eje “Y” es, función del seno de y, la componente de la aceleración del punto “P” es dirección de eje “Y”, en función de . En consecuencia la proyección del movimiento del punto “P” sobre el eje “Y” posee un movimiento armónico simple (M.A.S.).

El principio del movimiento armónico simple se utiliza ampliamente en el diseño de levas por las características que sigue el movimiento de acuerdo a las expresiones indicadas. La (Figura 15) muestra el procedimiento de elaboración de las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración. Según la (Figura 15a) “h” es la carrera del seguidor correspondiente para un ángulo de giro de la leva entre los puntos A y B.

Procedimiento:

1. Trace un semicírculo con radio igual a y divídalo en “n” partes iguales (6 divisiones

por ejemplo).

2. Divida el ángulo de rotación de la leva sobre el eje en igual número de divisiones

que el anterior.

3. Proyecte tanto las divisiones del semicírculo como las del ángulo y, por los puntos de intersección obtenidos se traza la curva del movimiento armónico simple.

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30

Figura 15. Curvas del movimiento armónico simple.

El diagrama de velocidad se obtiene a partir del diagrama de desplazamiento. Como el ángulo ( ) para el circulo correspondiente al angulo de rotación de le leva ( ) tenemos. ( ) ( )

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31

De la Ecuación 1, la velocidad del seguidor es: ( ) ( ) Cuando Cuando:

La curva de velocidad es función del Seno de ( ), donde es constante. De la Ecuación 2 la aceleración del seguidor es:

( ) ( ) Si: Si

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32

| |

| | ( )

La aceleración es función del coseno de ( ) (Figura 15c) la curva de aceleración del M.A.S. es más suave que la del movimiento parabólico, en el punto de transición “M” el cambio es continuo, sin embargo los cambios instantáneos de la aceleración en los puntos A y B causan sacudidas fuertes. Por ello el M.A.S. es recomendable para levas que roten a velocidades moderadas o bajas.

4.4 CURVA DEL MOVIMIENTNO CICLOIDAL

Una cicloide es la curva descrita por un punto de la circunferencia de un disco, cuando éste rueda sin deslizamiento sobre una línea recta (Figura 16).

Figura 16. Curva cicloidal.

Autor: SolidWorks Student Edition 2010-2011. De la figura la proyección de “P” sobre el eje “X” es:

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33

( ) ( )

( )

Según (Figura 17a), el desplazamiento entre A y B es “h” correspondiente al giro de la leva para un ángulo . Como el ángulo de giro total del disco que forma la cicloide es se tiene:

( ) ( )

En la (Figura 17a), el ángulo se dividió en 12 partes iguales, el ángulo de giro total se dividió también en 12 partes para graficar la curva de desplazamiento de la cicloide.

Para el caso de la (Figura 16a)

Si:

( ) ( )

Para obtener la curva de desplazamiento se proyecta la serie de puntos “P” del disco rodante y las ordenadas correspondientes a las divisiones de . Así Y ; Y el desplazamiento “Y” del seguidor es:

( ) Pero ( )

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34

(

( ))

La expresión anterior es la ecuación de desplazamiento del movimiento cicloidal. La expresión para la velocidad es:

( ) ( ) ( ) ( )

La (Figura 17b) demuestra la curva de velocidad para movimiento cicloidal. La curva de aceleración (Figura 17c) se obtiene:

La aceleración es función del seno de , (Figura 17c). El máximo valor ocurre para * + y * +

| |

No se presenta cambio brusco de aceleración en este tipo de movimiento cicloidal, por ello es preferido en el diseño de levas que roten a velocidades altas. Las vibraciones, sacudidas y ruidos que se originen no son muy importantes.

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35

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36

1. Divida el ángulo de rotación de la leva sobre el eje en “n” partes iguales entre A y B (12 divisiones para este caso).

2. Trace una recta de A-B y prolónguelo hacia abajo. 3. Trace un círculo con radio igual a

cuyo centro este sobre la prolongación de la línea AB. Divida el círculo en el mismo número de partes (12).

4. Proyecte los puntos del círculo al diámetro vertical del círculo.

5. Trace por los puntos obtenidos en el diámetro vertical paralelas a la línea AB, intersectando las ordenadas correspondientes a las divisiones de sobre el eje .

6. Trace la curva por los puntos obtenidos de intersección.

4.5 CURVA DE MOVIMIENTO TRAPEZOIDAL MODIFICADA

Es una combinación de las curvas cicloidal y parabólica. En la (Figura 18a), el seguidor se desplaza una altura “h” durante 90° de rotación ( ). El intervalo se divide en cierto número de divisiones (6 para el ejemplo). Distribuidos por conveniencia así: ⁄ - ⁄ - ⁄ - ⁄ - ⁄ y ⁄ . Las ecuaciones de desplazamiento, velocidad y aceleración son dadas en la Tabla 2. Siendo el ángulo de giro de la leva. En las (Figura 18b y 18c) se demuestran los diagramas de velocidad y aceleración respectivamente. La

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máxima velocidad se presenta cuando y la máxima aceleración es ( ) cuando el rango de esta entre ( ) y de ( ).

Observe que esta curva de aceleración presenta una forma algo trapezoidal con sus esquinas redondeadas.

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Figura 18. Curvas de movimiento trapezoidal modificado.

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Tabla 2. Expresiones para movimiento trapezoidal modificado.

Intervalo Desplazamiento “y” (cm o grados)

[ ( )] , *( ) ( ) +- [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] * ( ) ( ) + [ ( ) ( )] Intervalo Velocidad “ ” ( ) { [ ( )]} ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) [ ( )]

Intervalo Aceleración “a” ( )

[ ( )]

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40 [ ( )] Fuente: El Autor

La curva del movimiento trapezoidal modificado incorpora las características deseables de picos bajos de una curva parabólica y el cambio continuo de la aceleración de una curva cicloidal. Por eso, esta curva tiene excelentes características dinámicas.

5. VENTAJAS Y DESVENTAJAS

La selección de los perfiles que se adapten a los requerimientos especiales se hace de acuerdo a los siguientes criterios:

1. La cicloide proporciona aceleración cero en ambos extremos de la acción. En consecuencia, se puede acoplar a un reposo en cada extremo. Debido a que el ángulo de presión es relativamente grande y la aceleración retorna innecesariamente a cero, no se deben acoplar dos cicloides.

2. De las tres curvas, la armónica proporciona la aceleración pico más baja y el ángulo de presión más pequeño. En consecuencia, esta curva se prefiere cuando la aceleración tanto al inicio como al final se puede igualar con la aceleración final de los perfiles adyacentes. Debido a que la aceleración en el punto medio es cero, la semiarmonica se puede usar con frecuencia en los casos en que una elevación a velocidad constante sigue a una aceleración. Sin embargo, un reposo no puede insertarse en el movimiento entre H-5 y H-6, debido a que el jalón se vuelve infinito. La semiarmonica también se puede acoplar a una semicicloide o a una semipolinomial.

3. La polinomial de octavo grado tiene una curva de aceleración no simétrica y proporciona una aceleración pico y un ángulo de presión intermedios entre la armónica y la cicloide.

5.1 EFECTOS DINÁMICOS

Las curvas de desplazamiento representan los movimientos del seguidor en función del ángulo de giro de la leva. Las curvas son seleccionadas de acuerdo a las características dinámicas para alta velocidad de operación.

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5.1.1 Derivadas del movimiento del seguidor.

Se ha visto que el diagrama de desplazamiento se representa gráficamente con el movimiento del seguidor como la ordenada y el ángulo de rotación de la leva como la abscisa, sea cual fuere el tipo de leva o seguidor de que se trate. El diagrama de desplazamientos es, por ende, una gráfica que representa alguna función matemática que relaciona los movimientos de entrada y salida del sistema de leva. En términos generales, la posición del seguidor queda definida mediante:

( ) ( ) La primera derivada se denotara como .

( )

( ) Esta expresión representa la pendiente del diagrama de desplazamientos del ángulo . Esta derivada, aunque ahora parece tener poco valor practico, es una medida de “lo empinado” del diagrama de desplazamientos. En secciones posteriores se descubrirá que está íntimamente relacionada con la ventaja mecánica del sistema de lava y se manifiesta en aspectos tales como el ángulo de presión. Si se considera una leva de cuña, con un seguidor también de cuña, el propio diagrama de desplazamientos tiene la misma forma que la leva correspondiente. Aquí se puede empezar por imaginar las dificultades que se presentaran si la leva es demasiado “empinada”, esto es, si tiene un valor demasiado alto.

La segunda derivada de y con respecto a también es significativa. Se representa aquí como _:

_{( )}

( ) Aunque no es tan fácil de imaginar, esta derivada íntimamente relacionada con el radio de curvatura de la leva en varios puntos a lo largo de su perfil. Puesto que existe una relación inversa, conforme _{si se hace muy grande, el radio de curvatura se hace muy pequeño; si} _{se hace infinita, el perfil de la leva se hace puntiagudo en esa posición, lo que} constituye una condición no satisfactoria en extremo desde el punto de vista de los esfuerzos de contacto entre las superficies de la leva y el seguidor.

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42

La siguiente derivada también se puede representar gráficamente, así: _{( )}

( ) Aunque no es fácil describirla geométricamente, es la rapidez del cambio de , y más adelante se verá que esta derivada también se debe controlar al elegir la forma detallada del diagrama de desplazamientos.

La exposición anterior se relaciona con las derivadas cinemáticas del movimiento del seguidor. Estás son derivadas con respecto a y se relacionan con la geometría del sistema de la leva. Ahora se consideran las derivadas de los movimientos de seguidor con respecto al tiempo. En primer lugar se supondrá que se conoce la ley o el movimiento del seguidor con respecto al tiempo del movimiento de entrada ( ). También se supone que se conoce su velocidad , su aceleración, y su siguiente derivada, llamada con frecuencia tirón o segunda aceleración, ̇ . Por lo común, la leva de placa es impulsada por un eje a velocidad constante. En este caso, es una constante conocida, y ̇ . Sin embargo, durante el arranque del sistema de leva este no es el caso, y primero se considera la situación más general.

Partiendo de la ecuación general del diagrama de desplazamiento: ( )

( )

Por lo tanto, se puede derivar para encontrar las derivadas respecto al tiempo del movimiento del seguidor. La velocidad del seguidor está dada por:

̇ ̇ ( ) Del mismo modo, la aceleración y el tirón del seguidor están dados por:

̈

(43)

43

⃛

_{( )}

Cuando se deriva respecto al tiempo corresponde a la sacudida o sacudida o jerks, si es demasiado grande se presentaran golpeteos y existe la posibilidad de fractura del seguidor. Cuando la velocidad del eje de la leva es constante, estas expresiones se reducen a:

̇ ̈ _⃛ _{( )} Por esta razón se ha hecho costumbre común referirse a las gráficas de las derivadas cinemáticas , como las curvas de velocidad, aceleración y tirón para un movimiento dado. Estos nombres serian apropiados solo para una leva de velocidad constante, y solo en el caso de que su escala fuera determinada por , respectivamente. Sin embargo, resulta útil utilizar estos nombres para las derivadas cuando se están tomando en cuenta las implicaciones físicas de una cierta elección del diagrama de desplazamientos. Para el movimiento parabólico la velocidad del seguidor sube linealmente hasta un máximo y luego decrece hasta cero. La aceleración del seguidor es cero durante la detención inicial y luego cambia bruscamente hasta un valor positivo constante al principiar la subida. Se registran otros dos cambios bruscos más en la aceleración del seguidor, uno en el punto medio y otro al concluir la subida. En cada uno de los cambios súbitos de aceleración y el tirón del seguidor se hace infinito.

5.2 COMPARACION DE LAS CARACTERISTICAS DINAMICAS DE CURVAS

PARA ALTA VELOCIDAD

Las curvas usadas comúnmente para levas de alta velocidad son las del tipo armónico simple, cicloidal y trapezoidal modificado. La comparación entre estos tres tipos de curvas en cuanto a desplazamiento, velocidad y aceleración son mostradas en la (Figura 19). Se parte de mismo desplazamiento “h”; para un mismo ángulo de la leva.

La cicloidal y la trapezoidal tienen la misma velocidad máxima en el punto de transición. La relación entre la velocidad máxima de la trapezoidal y de la armónico simple es de 5:4 (Figura 19b), la trapezoidal y la armónica simple tienen iguales máximos de aceleración. La relación de la aceleración máxima entre la trapezoidal y la cicloidal es de 7:9 (Figura 19c). En las Tablas 3 y 4 se indican los diagramas y fórmulas para desplazamiento, velocidad y aceleración para movimiento armónico simple y cicloidal desarrollados por Kloomok y Mattley.

(44)

44

Figura 19. Comparación entre curvas básicas.

Tabla 3. Diagramas y fórmulas para desplazamiento, velocidad y aceleración para movimiento armónico simple.

A-1 A-2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(45)

45 A-3 A-4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A-5 A-6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fuente: El Autor Movimiento Armónico ( ). ( ); ( ); (

). (De Kloomok y Muffley)

Tabla 4. Diagramas y fórmulas para desplazamiento, velocidad y aceleración para movimiento cicloidal.

C-1 C-2

(46)

46 ( ) ( ) ( ) ( ) C-3 C-4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C-5 C-6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fuente: El Autor Movimiento Cicloidal ( ). ( ); ( ); (

). (De Kloomok y Muffley) EJEMPLO 1

Un seguidor se mueve con un movimiento armónico simple (H-1), con y . La leva gira a 600 rpm, movimiento contrario a las manecillas del reloj constante.

(47)

47

Hallar la posición, velocidad y aceleración del seguidor para 20°. Datos:

De las expresiones de las Tablas 3 y 4, se tiene: [ ( )] [ ( )] [ ( )]

POSICIÓN DEL SEGUIDOR PARA ( )

0 . /1

VELOCIDAD DEL SEGUIDOR Frecuencia angular de la leva

(48)

48 ( ) 0 . /1 ( )( )

ACELERACIÓN DEL SEGUIDOR Para contante ( ) (₎ 0 . /1 ( ) ( )

(49)

49

6. PROCEDIMIENTOS DE DISEÑO Existen dos procesos de diseño:

1. Se conoce los movimientos del seguidor y se determinan la forma de la leva. 2. Se conoce la forma de la leva y se determinan los movimientos de seguidor.

Este primer procedimiento es un buen ejemplo de síntesis. De hecho, el diseño de un mecanismo de la leva a partir de movimiento deseado es una aplicación de la síntesis que se puede resolver en todo momento. Sin embargo una vez diseñada la leva, su fabricación poder ser difícil. La dificultad de la fabricación se elimina en el segundo procedimiento si la leva se hace simétrica y para los contornos de la leva se emplean formas que se pueden generar. Este es el tipo de leva que se emplea en las aplicaciones automotrices, en donde las levas deben producirse con exactitud y economía.

(50)

50

7. MÉTODOS DE DISEÑO

 Método gráfico.

 Método analítico.

7.1 METÓDO GRAFÍCO

7.1.1 DISEÑO GRÁFICO DE LEVA DE PLACA CON SEGUIDOR RADIAL Y DE RODILLO

Para realizar el diseño gráfico de una leva de placa con seguidor radial y de rodillo se deben conocer algunos datos como:

 Movimientos de seguidor.

 Radio del círculo primario.

 Radio del rodillo.

 Velocidad y movimiento de la leva.

Este método se realizará con el mismo problema planteado a continuación para graficar las levas con seguido independiente, iniciando

El seguidor sube 40 mm hasta la posición más alta con un Movimiento Armónico Simple (M.A.S) y 90° de giro en la leva, permanece en reposo en la parte más alta durante 90° de giro de la leva, desciende hasta la posición más baja con un M.A.S. y 90° de giro de la leva, por último se mantiene en reposo en la parte más baja durante 90° de giro de la leva. Nuevamente realiza el ciclo.

Procedimiento:

1. Se realizó el diagrama de flujo con los datos dados anteriormente, para realizar la subida y bajada con un M.A.S. Se debe realizar un semicírculo al lado izquierdo del diagrama, dividiendo éste en diez partes de 0 a 9, luego se pasa una línea paralela al eje x en cada partición hecha en el semicírculo, entonces se une cada línea con cada grado de giro.

(51)

51

Figura 20. Leva de placa con seguidor radial y de rodillo.

Procedimiento:

1. Dibujar a escala el diagrama de desplazamiento. 2. Construcción del perfil de la leva.

 Se dibuja a escala el círculo primario (a trazo suave).

 Localizar el punto más bajo del seguidor: punto de corte del eje de simetría vertical al círculo primario.

(52)

52

 Dibujar el rodillo en la posición más baja, para ello, se dibuja un círculo con centro en el punto de trazo y radio del rodillo.

 Dividir el círculo primario en el número de tramos dados y en sentido contrario al giro de la leva.

 Dividir cada tramo del círculo primario en el número de estaciones realizadas en el diagrama de desplazamiento, cada división corresponde a una estación.

 Transportar los desplazamientos en cada estación para localizar Pi. Por cada estación i, se mide Si del diagrama de desplazamiento y sobre la estación i se mide afuera del círculo primario para localizar Pi.

 Haciendo centro en Pi se dibuja el rodillo con radio rr.

 Dibujar la curva de trazo. Se unen los Pi.

 Dibujar el perfil de la leva tangente a los rodillos y paralela a la curva de trazo.

 Dibujar el seguidor en la posición más baja.

Figura 21. Leva con seguidor de traslación de rodillo.

EJEMPLO 2

(53)

53

Procedimiento:

1. Se dibujan los radios base de 4,5 cm y radio primario de 5,5 cm. 2. Se ubica el punto “A” a (8;2).

3. Se divide el primer cuadrante y el tercer cuadrante en secciones de 10° del radio primario.

4. Se traza una línea de “A” al punto “P” que se encuentra en la primer punto que se delineo anteriormente.

5. Se dibuja un punto en la circunferencia OA con la distancia de AP, desde el segundo punto de la circunferencia primaria, y así con todos los puntos y de igual manera en el tercer cuadrante.

6. Con la distancia AP se traza un arco para cada punto desde el radio primario al radio OA.

7. En el primer arco dibujos una línea recta con una distancia de 4 cm a lo largo de ésta se divide de la siguiente manera:

1 2 mm 2 4 mm 3 8 mm 4 1,6 cm 5 2,4 cm 6 3 cm 7 3,5 cm 8 3,8 cm 9 4 cm

8. Los puntos de la anterior tabla se unen con su respectivo arco así uno con uno, dos con dos y sucesivamente hasta el arco nueve, de igual manera en el tercer cuadrante.

9. En cada intercepción se realiza un círculo de 1 cm de diámetro. 10. Se unen todos los círculos hasta que salga el perfil de la leva. Figura 22. Leva con seguidor de traslación de rodillo oscilante.

(54)

54

EJEMPLO 3

Diseño gráfico de levas con seguidor de traslación de cara plana. Procedimiento:

1. Dibujar el radio base con un radio de 5,5 cm

2. Dividir el primer y tercer cuadrante en secciones de 10°

3. Con la siguiente tabla trazamos puntos en cada sección según corresponda su número.

1 2 mm 2 4 mm 3 8 mm 4 1,6 cm 5 2,4 cm 6 3 cm

(55)

55

7 3,5 cm 8 3,8 cm 9 4 cm

4. Trazar las líneas perpendiculares a cada sección desde cada punto realizado en el paso anterior

5. Terminar de cerrar el perfil de leva.

Figura 23. Leva con seguidor de traslación de cara plana.

EJEMPLO 4

Diseño gráfico de leva para un seguidor excéntrico. Procedimiento:

1. Dibujar los radios base de 4,5 cm y primario de 5,5 cm

(56)

56

3. Trazar una línea tangente a la circunferencia en cada intersección entre las divisiones y el radio primario.

4. Ubicar cada desplazamiento “Y” con su respectivo grado de giro de la leva en los dos cuadrantes.

5. Luego de trazarlos se hace el radio del rodillo del seguidor que se ubica en los puntos que trazar de desplazamiento.

6. Ahora trazar líneas tangente a cada círculo hasta completar el perfil del a leva. Figura 24. Leva para un seguidor excéntrico.

1 2 mm 2 4 mm 3 8 mm 4 1,6 cm 5 2,4 cm 6 3 cm 7 3,5 cm 8 3,8 cm 9 4 cm

(57)

57

7.2 DISEÑO ANALITICO DE LEVAS

7.2.1 SELECCIÓN DE LOS MOVIMIENTOS DEL SEGUIDOR Axioma:

Las gráficas de S vs θ, S’ vs θ, S’’ vs θ deben ser continuas en todo el ciclo. Para explicar la selección de los movimientos del seguidor se explicara mediante el ejemplo 9.

EJEMPLO 9

Una leva de placa con seguidor de movimiento alternativo debe girar en el mismo sentido que el movimiento de las manecillas del reloj a 400 rpm. El seguidor debe tener una detención durante 60° de rotación de la leva, después de lo cual sube hasta una elevación de 2.5 pulgadas. Durante 1 pulgada de su carrera de retorno debe tener una velocidad constante de 40 pulgadas por segundo. Recomiende los movimientos para que sea factible usar un funcionamiento a alta velocidad y determine las elevaciones correspondientes y los ángulos de rotación de la leva para cada segmento de la misma.

Datos:

, constante durante 1 pulg (carrera de retorno) SELECCIÓN DE LOS MOVIMIENTOS

De acuerdo a los requerimientos del problema se recomienda tomar los siguientes movimientos:

Movimiento 1= reposo Movimiento 2= P-1 Movimiento 3= H-3

(58)

58

Movimiento 4= MU Movimiento 5= C-4

Con base en los movimientos recomendados de la Tabla 3, el diagrama de desplazamiento se muestra en la Figura 35.

Fuente: Libro de mecanismos y dinámica de maquinaria 2 Edición. Mabie.

De la figura anterior se tiene:

( ) Dónde: ( )

(59)

59

Analizando los movimientos, Punto A Mov. P-1 Para De la Figura 6a: ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] Reemplazando: ( ) ( ) Punto B Mov. H-3 Para ( ) ( ) Reemplazando: ( ) ( ) Igualando (A) y (B) se obtiene:

(60)

60 Punto C Mov. H-3 Para De la Figura 6c: ( ) Reemplazando: ( ) Punto C Mov. MU ( ) Igualando (C) y (D) se obtiene:

(61)

61 Punto D Mov. C-4 Para ( ) Reemplazando: ( ) Igualando (E) y (D) se obtiene:

( ) Escribiendo las ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reemplazando (4) en (3): ( ) Reemplazando (4) y (5) en (2):

(62)

62 ( ) Reemplazando (6) en (7): ( ) Reemplazando (6) y (8) en (1) Reemplazando en (8): Reemplazando y en (1): Reemplazando en (4): Reemplazando en (5):

7.2.2 DISEÑO ANALITICO DE LEVAS DE PLACA CON SEGUIDOR DE PIE PLANO

A causa de que el diseño gráfico no se conoce los puntos de contacto entre la leva y el seguidor, esto hace que sea difícil determinar la ubicación exacta al momento de diseñar la leva. El diseño analítico consiste en determinar el perfil de la leva, longitud del pie del seguidor, radio del círculo primario y el radio mínimo de curvatura, este último desarrollado por Carver y Quinn.

(63)

63

Figura 26. Diseño analítico de leva de placa de pie plano.

En la figura 31 se muestra una leva con seguidor radial de placa plana. El punto de contacto entre la leva y el seguidor está en (x, y), que está a una distancia L de la línea radial de centros del seguidor. El desplazamiento del seguidor desde el origen está dado por la siguiente ecuación:

( ) Donde,

( ) ( ) = radio del circulo primario

De la figura 36:

P = punto de contacto del seguidor con la leva. Coordenadas de P(x, y)

(64)

64

( ) Derivando la Ecuación (1) y (2) respecto a se obtiene:

( ) ( ) Reemplazando tenemos ( ) Despejando R y L de las Ecuaciones (3) y (4)

( ) ( ) Derivando la Ecuación (6) con respecto a se obtiene:

( ) De las Ecuaciones (6), (7), (8) se obtiene:

( ) ( )

7.2.2.1 LONGITUD DEL PIE DEL SEGUIDOR

(65)

65

Figura 27. Seguidor de pie simétrico.

Autor: SolidWorks Student Edition 2010-2011. Donde:

Es el mayor valor absoluto entre ( ) ( ) Tolerancia, (10%K)

Longitud del pie del seguidor

( )

(66)

66

Figura 28. Seguidor de pie asimétrico.

Autor: SolidWorks Student Edition 2010-2011. Dónde: ( ) (( ) ( )) ( )  ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Reemplazando las Ecuaciones (1) y (9) en las Ecuaciones (3) y (4) se obtiene:

[ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) Las Ecuaciones (12) y (13) son Ecuaciones paramétricas que definen el perfil de la leva. Derivando las Ecuaciones (12) y (13) con respecto a θ se obtiene:

(67)

67

[ ( ) ( )] ( ) EXISTENCIA DE PICOS EN LA LEVA

Para que la leva sea convexa Luego, ( ) _{( )} Para evitar picos,

( ) ( )

Para garantizar que la leva sea convexa, ( ) ( )

Donde,

Radio mínimo de curvatura

( ) ( ) ( ) EJEMPLO 10

Una leva impulsa un seguidor con las siguientes condiciones: Lo acelera durante 12.7mm hasta alcanzar una velocidad de 1.524 m/s, la cual se mantiene durante 38.1mm y posteriormente lo desacelera durante 25.4mm y luego retorna, la velocidad angular es constante, w =30 rad/s cte.

a) Recomiéndese los movimientos y determine los grados de giro de la leva en cada fase

b) Si el seguidor es de pie plano determine Ro y la longitud total del pie

(68)

68

De acuerdo a la tabla 3 los movimientos son los siguientes: Figura 29. Diagrama de desplazamiento.

(69)

(70)

70 DATOS: ( ) W = 30 rad/s ̇ ̇ SOLUCIÓN: a) Ecuaciones: ( ) Igualando las velocidades:

Tramo OA cuando igual al Tramo AB cuando igual al Tramo BC cuando Igual a ( ) ( )

(71)

71

( ) Resolviendo las Ecuaciones y hallando los grados de giro se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

Reemplazando los datos en la Ecuación 1 y despejando se tiene:

b) Longitud de pie plano

Simétrica: | |

Velocidad tramo CD cuando ( ) Velocidad tramo

| | Asimétrica:

(72)

72

| |

Radio primario:

La aceleración mínima está en el tramo BC cuando ( ) ( )

Resolviendo las ecuaciones paramétricas y hallando los puntos de grafica de la leva por el programa: C1 RADIO ( ) 0,000 0 10 0,0000 0,5000 0,0000 12,7000 0,0000 10,0000 0,0000 0,0500 0 10 0,0500 0,5000 0,0000 12,7000 0,0208 9,9461 1,7424 0,1000 0 10 0,1000 0,5000 0,0000 12,7000 0,1639 9,6288 5,8414 0,1500 0 10 0,1500 0,5000 0,0000 12,7000 0,5395 8,8565 11,9277 0,2000 0 10 0,2000 0,5000 0,0000 12,7000 1,2353 7,5245 19,4332 0,2500 0 10 0,2500 0,5000 0,0000 12,7000 2,3075 5,6408 27,6553 0,3000 0 10 0,3000 0,5000 0,0000 12,7000 3,7753 3,3343 35,8349 0,3500 0 10 0,3500 0,5000 0,0000 12,7000 5,6195 0,8436 43,2406 0,4000 0 10 0,4000 0,5000 0,0000 12,7000 7,7839 -1,5134 49,2472 0,4500 0 10 0,4500 0,5000 0,0000 12,7000 10,1808 -3,3838 53,4013 0,5000 0 10 0,5000 0,5000 0,0000 12,7000 12,7000 -4,4337 55,4642

(73)

73 H2 RADIO ( ) ( ) 0,0000 1,2500 61 1,2500 0,7800 1,2500 25,4000 0,0000 51,1516 -29,3705 73,8275 0,0780 1,2500 61 1,3280 0,7800 1,2500 25,4000 3,9734 50,5218 -33,4192 75,2142 0,1560 1,2500 61 1,4060 0,7800 1,2500 25,4000 7,8490 48,6480 -36,6942 75,8970 0,2340 1,2500 61 1,4840 0,7800 1,2500 25,4000 11,5314 45,5764 -30,1173 76,2092 0,2312 1,2500 61 1,5620 0,7800 1,2500 25,4000 14,9297 41,3825 -40,7130 76,2908 0,3900 1,2500 61 1,6400 0,7800 1,2500 25,4000 17,9605 36,1696 -41,5430 76,2704 0,4680 1,2500 61 1,7180 0,7800 1,2500 25,4000 20,5490 30,0661 -41,7020 76,2572 0,5460 1,2500 61 1,7960 0,7800 1,2500 25,4000 22,6316 23,2223 -41,3113 76,3341 0,6240 1,2500 61 1,8740 0,7800 1,2500 25,4000 24,1568 15,8067 -40,5117 76,5528 0,7020 1,2500 61 1,9520 0,7800 1,2500 25,4000 25,0873 8,0019 -39,4552 76,9307 0,7800 1,2500 61 2,0300 0,7800 1,2500 25,4000 25,4000 0,0000 -38,2955 77,4495 P2 RADIO 0,0000 2,0300 10 2,0300 4,2500 2,0300 76,2000 -4,4323 8,9641 0,4250 2,0300 10 2,4550 4,2500 2,0300 76,2000 -59,1471 60,6559 0,8500 2,0300 10 2,8800 4,2500 2,0300 76,2000 -70,8187 38,0434 1,2750 2,0300 10 3,3050 4,2500 2,0300 76,2000 -72,0446 14,5113 1,7000 2,0300 10 3,7300 4,2500 2,0300 76,2000 -64,1279 -5,7107 2,1250 2,0300 10 4,1550 4,2500 2,0300 76,2000 -49,6144 -19,8421 2,5500 2,0300 10 4,5800 4,2500 2,0300 76,2000 -31,5937 -26,3541 2,9750 2,0300 10 5,0050 4,2500 2,0300 76,2000 -13361,5546 -21061,6310 3,4000 2,0300 10 5,4300 4,2500 2,0300 76,2000 548,8874 208,1745 3,8250 2,0300 10 5,8550 4,2500 2,0300 76,2000 8,2115 -7,1782 4,2500 2,0300 10 6,2800 4,2500 2,0300 76,2000 9,9999 -0,0319

(74)

74

Figura 30. Forma de la leva.

(75)

75

EJEMPLO 11

La leva gira a w = 30rad/s mmr y constante.

Tramo Grados Desplazamiento Movimiento

OA 9.3 3 H1 AB 53.8 27 MU BC 120 30 C2 CD 108.9 0 REPOSO DE 38 30 C3 EF 30 30 H4 Determine:

a) Dibuje los movimientos y grafique el perfil de la leva. De acuerdo a la tabla 3, los movimientos son los siguientes.

(76)

76

Autor: SolidWorks Student Edition 2010-2011. DATOS:

(77)

77 SOLUCIÓN: Radio primario:

Para hallar la aceleración mínima: Aceleración en el tramo BC Cuando: ( ) ( ) Aceleración en el tramo DE: Cuando:

( )

(78)

78

La posición mínima está en tramo DE cuando

( )

Resolviendo las ecuaciones paramétricas y hallando los puntos de grafica de la leva por el programa: H1 RADIO ( ) ( ) 0,0000 0,0000 10 0,0000 0,1600 0,0000 3,0000 0,0000 0,0000 10,0000 0,0000 0,0160 0,0000 10 0,0160 0,1600 0,0000 3,0000 0,0369 4,6074 9,9619 4,7674 0,0320 0,0000 10 0,0320 0,1600 0,0000 3,0000 0,1468 9,1013 9,8504 9,4213 0,0480 0,0000 10 0,0480 0,1600 0,0000 3,0000 0,3270 13,3711 9,6735 13,8512 0,0640 0,0000 10 0,0640 0,1600 0,0000 3,0000 0,5729 17,3117 9,4441 17,9525 0,0800 0,0000 10 0,0800 0,1600 0,0000 3,0000 0,8787 20,8260 9,1796 21,6288 0,0960 0,0000 10 0,0960 0,1600 0,0000 3,0000 1,2366 23,8275 8,9010 24,7949 0,1120 0,0000 10 0,1120 0,1600 0,0000 3,0000 1,6380 26,2423 8,6321 27,3786 0,1280 0,0000 10 0,1280 0,1600 0,0000 3,0000 2,0729 28,0109 8,3986 29,3229 0,1440 0,0000 10 0,1440 0,1600 0,0000 3,0000 2,5307 29,0898 8,2265 30,5869 0,1600 0,0000 10 0,1600 0,1600 0,0000 3,0000 3,0000 29,4524 8,1416 31,1474 C2 RADIO 0,0000 1,0900 40 1,0900 2,0900 1,0900 30,0000 -6,9540 48,7422

(79)

79 0,2090 1,0900 40 1,2990 2,0900 1,0900 30,0000 -14,6414 51,7825 0,4180 1,0900 40 1,5080 2,0900 1,0900 30,0000 -22,6766 53,1407 0,6270 1,0900 40 1,7170 2,0900 1,0900 30,0000 -30,8120 52,8001 0,8360 1,0900 40 1,9260 2,0900 1,0900 30,0000 -38,8599 50,7342 1,0450 1,0900 40 2,1350 2,0900 1,0900 30,0000 -46,6467 46,8694 1,2540 1,0900 40 2,3440 2,0900 1,0900 30,0000 -53,9505 41,0816 1,4630 1,0900 40 2,5530 2,0900 1,0900 30,0000 -60,4456 33,2345 1,6720 1,0900 40 2,7620 2,0900 1,0900 30,0000 -65,6734 23,2483 1,8810 1,0900 40 2,9710 2,0900 1,0900 30,0000 -69,0548 11,1830 2,0900 1,0900 40 3,1800 2,0900 1,0900 30,0000 -69,9484 -2,6879 C2 RADIO 0,0000 5,0800 70 5,0800 0,6600 5,0800 30,0000 35,9387 -93,3189 0,0660 5,0800 70 5,1460 0,6600 5,0800 30,0000 39,9756 -91,6356 0,1320 5,0800 70 5,2120 0,6600 5,0800 30,0000 40,1030 -91,5961 0,1980 5,0800 70 5,2780 0,6600 5,0800 30,0000 37,0913 -93,3919 0,2640 5,0800 70 5,3440 0,6600 5,0800 30,0000 31,9727 -96,8975 0,3300 5,0800 70 5,4100 0,6600 5,0800 30,0000 25,9020 -101,6601 0,3960 5,0800 70 5,4760 0,6600 5,0800 30,0000 20,0063 -106,9393 0,4620 5,0800 70 5,5420 0,6600 5,0800 30,0000 15,2468 -111,7929 0,5280 5,0800 70 5,6080 0,6600 5,0800 30,0000 12,3104 -115,1980 0,5940 5,0800 70 5,6740 0,6600 5,0800 30,0000 11,5433 -116,1904 0,6600 5,0800 70 5,7400 0,6600 5,0800 30,0000 12,9369 -114,0048

(80)

80 H4 RADIO ( ) ( ) 0,0000 5,7400 40 5,7400 0,5200 5,7400 30,0000 30,0000 -90,6229 13,0848 -113,7598 0,0520 5,7400 40 5,7920 0,5200 5,7400 30,0000 25,3070 -89,5071 15,3681 -109,7285 0,1040 5,7400 40 5,8440 0,5200 5,7400 30,0000 20,7295 -86,1875 18,3191 -103,8305 0,1560 5,7400 40 5,8960 0,5200 5,7400 30,0000 16,3803 -80,7456 21,7186 -96,0567 0,2080 5,7400 40 5,9480 0,5200 5,7400 30,0000 12,3664 -73,3154 25,3355 -86,4610 0,2600 5,7400 40 6,0000 0,5200 5,7400 30,0000 8,7868 -64,0800 28,9387 -75,1595 0,3120 5,7400 40 6,0520 0,5200 5,7400 30,0000 5,7295 -53,2668 32,3078 -62,3277 0,3640 5,7400 40 6,1040 0,5200 5,7400 30,0000 3,2698 -41,1419 35,2444 -48,1951 0,4260 5,7400 40 6,1560 0,5200 5,7400 30,0000 1,4683 -28,0040 37,5813 -33,0378 0,4680 5,7400 40 6,2080 0,5200 5,7400 30,0000 0,3693 -14,1765 39,1904 -17,1688 0,5200 5,7400 40 6,2600 0,5200 5,7400 30,0000 0,0000 0,0000 39,9892 -0,9273

Figura 32. Forma de la leva.

(81)

81

7.2.3 DISEÑO ANALITICO DE LEVA DE PLACA CON SEGUIDOR DE RODILLO

En cierta medida el diseño analítico de leva de placa con seguidor de rodillo no ostenta muchas dificultades. Este tipo de diseño permite determinar las ecuaciones que definen el perfil de la leva, radio del círculo primario y radio mínimo de curvatura.

Figura 33. Diseño analítico de leva de placa con seguidor de rodillo.

Fuente: Libro de mecanismos y dinámica de maquinaria 2 Edición. Mabie.

La curva de trazo está dada por las coordenadas polares del punto

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82

Donde,

√ (√ ) ( ) La curva de la leva se obtiene al dibujar una curva paralela a la curva de trazo, una distancia .

Para

( ) Angulo de presión.

De la Figura 9a, se obtiene: √ ( ) Pero ( ) Reemplazando (5) en (4): √ ( ) Para: ( )

(83)

83

Considerando el radio de curvatura de la superficie de paso y el radio del rodillo , se puede verificar si se presentan puntas en este tipo de levas gracias al método desarrollado por Kloomok y Muffley. Ver Figuras 44 y 45.

Figura 34. Método desarrollado por Kloomok y Muffley.

Fuente. Libro de mecanismos y dinámica de maquinaria 2 Edición. Mabie, Reinholtz.

Observando la figura 44 se tiene que si se mantiene constante y se aumenta , el radio de curvatura de la superficie de la leva será igual a cero y la leva de hace puntiaguda como se muestra en la figura 45.

(84)

84

Figura 35. Método desarrollado por Kloomok y Muffley.

Fuente. Libro de mecanismos y dinámica de maquinaria 2 Edición. Mabie.

La leva presentaría una socavación o rebaje si se sigue aumentando (ver figura 45). Para evitar que esto suceda se recomienda que debe ser menos que en donde es el valor mínimo de en el segmento específico del perfil que se está considerando. Es importante conocer que si hay varios tipos de movimientos por los cuales para el seguidor, se deberá analizar cada uno por separado.

Para garantizar de que no existan picos se traza un .

[ ( )]

( ) ( ) La Ecuación (8) permite evaluar el valor de para un tipo determinado de movimiento. Para facilitar el trabajo del diseñador, Kloomok y Muffley desarrollaron tres juegos de curvas que muestran la gráfica de ⁄ contra para diversos valores de ⁄ . En estas curvas, es la rotación angular para un evento completo y L es la elevación. Mediante estas curvas es posible determinar si es o no mayor que . Estas curvas se presentan en las Figuras 46, 47 y 48 para los movimientos cicloidales, armónicos simples y polinomio de octavo grado respectivamente.

También se puede determinar el radio mínimo de curvatura gracias a un programa de computadora digital el cual plasma sus resultados en curvas donde se muestran en las

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85

figuras 49, 50, 51, 52 y 53 para los movimientos armónico, cicloidal armónico modificado, semiarmonico y semicicloidales respectivamente.

En el diseño de levas con seguidor de rodillo el ángulo de presión es un factor importante, ya que se debe mantener el ángulo máximo de presión tan pequeño como sea posible para mayor facilidad del diseñador, E.C. Varnum desarrollaron un nomograma que permite determinar la relación entre ⁄ con los datos conocidos de y . El nomograma se muestra en la figura 54.

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Figura 44. Nomograma.

EJEMPLO 12

Para los movimientos seleccionados del seguidor en el ejemplo 6 y los datos calculados, diseñar analíticamente una leva de placa con seguidor radial de rodillo.

Parámetros de diseño