(4;1) (4;1) C C11 C C22
EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL
_________
_________ ________________________________________ ______________ ______ ______ _____ _____ CODIGO
CODIGO APELLIDOS APELLIDOS Y Y NOMBRES NOMBRES SECC SECC FIRMAFIRMA *************************************************************************************************** ***************************************************************************************************
PREGUNTA 1 PREGUNTA 1
Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen de un Una autopista tiene una rampa de salida que empieza en el origen de un sistema coordenado y sigue la curva
sistema coordenado y sigue la curva 5522 1 1 32 32 1 1 :: y y xx C
C == hasta el punto (4; 1). comohasta el punto (4; 1). como se indica en la figura adjunta. Después sigue una
se indica en la figura adjunta. Después sigue una trayectoria circular trayectoria circular C C 22
cuya
cuya curvatura igual curvatura igual a la la a curvaturacurvatura C C 11 en en el el punto punto (4;1).(4;1).
a.
a. Calcule el radio de laCalcule el radio de la trayectoria circular trayectoria circular .. b.
b. Determine el centro de laDetermine el centro de la trayectoria circular trayectoria circular ..
SOLUCION SOLUCION Parte A Parte A ( ( ))
==
γ
γ
32 32 ;; 2 2 / / 5 5 t t t t t t ( ( ))
==
γ
γ
64 64 5 5 ;; 1 1 2 2 / / 3 3 `` t t t t ,,
==
γ
γ
```` 11 22 128 128 15 15 ;; 0 0 t t ,, 4 4 2 2 2 2 44 66 x x y y Arco circular Arco circularcentro (4;8) N→ T En t =4,
( )
3 3 2 3 ` 89 120 8 5 1 64 15 ` ) 4 (=
+
=
γ
γ
γ
=
x K120
89
89
)
4
(
)
4
(
1
)
4
(
=
⇒
ρ
=
ρ
K
Caso B:( )
( ) ( ) 89 5 8 4 4 4 ) ; ( ` `T
= =→
γ γ 89 ) 8 ; 5 ( ) 4 (=
−
N( )
4;1+
ρ
(4) N (4)=
C(
)
( )
( )
5;8 120 89 1 ; 4 89 8 ; 5 120 89 89 ) 1 ; 4 (+
−
=
+
−
=
C
=
15 104 ; 24 7 CPREGUNTA 2
Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 2 ,1
)
de una placa metálica cuya temperatura en ( x, y) es T(x ,y)=
x2−
y. Determine la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura.SOLUCION
(
2 , 1)
) , ( x y=
x−
T d graRepresentamos la trayectoria por la función posición
(
(
)
,
(
)
)
)
(
t
=
x
t
y
t
r
Un vector tangente en cada punto
(
x(t ), y(t ))
viene dado por
=
′
t d y d t d x d t ) , (r
Puesto que la partícula busca el crecimiento más rápido de temperatura, la dirección de
r
′
(t ) y grad T ( x, y) son las mismas en cada punto de latrayectoria. Luego 1 y 2
=
−
=
t d y d x t d x dResolviendo las dos ecuaciones anteriores para t = 0 y
x
=
2
,
y
=
1
−
t
se tiene la trayectoriat
e
t
)
=
2
t,
1
−
(
2r
PREGUNTA 3
Para un fabricante de cámaras y rollos fotográficos, el costo total C (en dólares), de producir q cámaras y,c q rollos fotográficos está definidaf por: 900 0015 0 30
+
+
+
=
qc , qcqf qf CLas funciones de demanda para las cámaras y los rollos fotográficos están dadas por f c c p p q
=
9000 y f c f p p q=
2000−
−
400 respectivamente.Siendo p es el precio por cámara yc p es el precio por rollo fotográfico.f a) Determine la tasa de cambio del costo total con respecto al precio de la cámara cuando pc
=
50 y pf=
2SOLUCION
Primero se debe determinar
∂
C∂
pc por la regla de la cadena,c f f c c c c
p
q
q
c
p
q
q
c
p
c
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
)
1
(
1
015
.
0
(
9000
)
015
.
0
30
(
+
+
−
−
+
=
∂
∂
c f c f cq
P
P
q
p
c
Cuando Pc =50 y Pf =2 entonces qc =
90
2
y qf = 1150. Después desustituir eso valores en 123,207
2 50
−
≈
∂
∂
= = f c p P c p CPREGUNTA 4
Considera la función definida por
= ≠ + − = ) ; ( ) ; ( ; ) ; ( ) ; ( ; ) ( ) : ( 0 0 0 0 0 2 2 2 2 y x y x y x y x xy y x f a) Calcule D1 f(0;0) y D2f(0;0) b) Calcule D12f(0:0) y D21f(0:0) SOLUCION a)
(
)
=
≠
+
−
+
=
) , ( ) , ( ; ) , ( ) , ( ; ( ) , ( 0 0 0 0 0 4 2 2 2 4 2 2 4 1 y x y x y x y y x x y y x f D(
)
=
≠
+
−
−
=
) , ( ) , ( ; ) , ( ) , ( ; ) ( ) , ( 0 0 0 0 0 4 2 2 2 4 2 2 4 2 y x y x y x y y x x x y x f D b) 1 0 ) 0 ; 0 ( ) 0 ; ( ) 0 ; 0 ( 1 0 ) 0 ; 0 ( ) 0 ; 0 ( lim ) 0 ; 0 ( 12lim
lim
lim
0 2 2 0 21 0 1 1 0 = − = − = = − = − − + − = → → → → h h h f D h f D f D h h h f D h f D f D h h h hPREGUNTA 5
Jorge acaba de recibir S/.300 como regalo de cumpleaños y ha decidido gastarlos en discos DVD y juegos de video de computadora. El ha determinado que la utilidad (satisfacción) obtenida por la compra de “
x”
discos DVD e “y”
juegos de video es(
x y)
ln ) y , x ( U=
2Si cada DVD cuesta S/.20 y cada juego de video cuesta S/.30, ¿cuántos DVD y juegos de video debe comprar para maximizar la utilidad?
SOLUCION
)
(
)
(
)
;
;
(
x
y
=
x
2y
−
20
x
+
30
y
−
300
F
λ
λ
Usando el Método de Multiplicadores de Lagrange.
=
−
+
=
=
) ( ) ( ) ( 3 0 300 30 20 2 30 2 1 1 20 2 y x y x λ λDe las ecuaciones (1), y (2) se tiene
λ λ 60 1 10 1
=
=
y x , , luegoreemplazamos estos valores en la ecuación (3) obtenemos
0 300 60 1 0 3 10 1 20
−
=
+
λ λ resolviendo se tiene 120 1=
λ .Por lo tanto Jorge debe comprar x = 12 discos DVD
